КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ГОРОБЕЦЬ Олександр Вікторович

УДК 519.812.3

УДК 519.21

ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В МОДЕЛЯХ ПЕРЕСТРАХУВАННЯ

СТРАХОВИХ КОМПАНІЙ

01.05.04 — системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичної та прикладної статистики Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фіз.-мат. наук, професор

Єлейко Ярослав Іванович,

Львівський національний університет імені Івана Франка,

завідувач кафедри теоретичної та прикладної статистики.

Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук, cтарший науковий співробітник

Зінченко Надія Мусіївна,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

провідний науковий співробітник кафедри теорії ймовірності та математичної статистики;

кандидат фіз.-мат. наук, доцент

Навродський Володимир Олександрович,

Київський національний інститут культури і мистецтв,

доцент кафедри економіки.

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України, відділ математичних методів дослідження операцій, м. Київ.

Захист відбудеться “17” березня 2005 р. о 16.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .001.35 Київського національного університету імені Тараса Шевченка (03127, м. Київ, пр-т Акад. Глушкова, 2, корп. 6, факультет кібернетики, ауд 40.).

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка, за адресою:

Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “9” лютого 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради П.М. Зінько

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Математична економіка займає окреме місце в сучасній математиці. Внаслідок особливостей страхових послуг від інших послуг і процесів, що відбуваються в економіці і підлягають математичному моделюванню, для них використовують специфічні методи та прийоми, які об’єднані в прикладну галузь математики — актуарну математику. В актуарній математиці плідно використовують методи теорії ймовірності, випадкових процесів, математичної статистики, методи оптимізації, теорії ігор, системного аналізу і теорії прийняття рішень.

Одною з проблем розв’язаних в даній роботі є знаходження оптимального договору перестрахування. Для вирішення цієї задачі були застосовані елементи і поняття теорії корисності, теорії прийняття рішень та теорії ігор. Вперше поняття функції корисності було введено Дж. фон Нейманом та О. Моргенштерном. Використанням теорії корисності і теорії ігор у дослідженні економічних питань займалися Р. Мартин, Л. Гурвіч, С. Карлін, Дж. Неш, В. Парето та багато інших. Парето на основі функції корисності ввів поняття корисності як такої. Значний вклад в теорію прийняття рішень зробили радянські математики, зокрема Подіновский В.В., Гурвіч В.А., Ногін В.Д. та інші.

Одним із напрямків актуарної математики є теорія ризику, яка включає комплекс понять, моделей та методів, що допомагають кількісно оцінити, передбачити та мінімізувати ризики в роботі страхової компанії. Одною з основних моделей функціонування страхової компанії вважається динамічна модель страхування, вперше запропонована Ф. Лундбергом у своїй дисертації (1903 р.). Їм було отримано точний вираз для ймовірності банкрутства при певних додаткових припущеннях на розподіл величин вимог, а також нерівність (нерівність Лундберга), що дає експоненційні оцінки зверху для ймовірності банкрутства в більш загальному вигляді. В рамках цієї моделі природно постала проблема знаходження асимптотичної оцінки поведінки ймовірності банкрутства з ростом початкового капіталу.

Ідеї Лундберга інтенсивно розвивалися, в першу чергу завдяки зусиллям шведських математиків таких як Г. Крамер та Е.С. Андерсен. Проблему асимптотики ймовірності банкрутства для моделі Лундберга розв’язано Г. Крамером в 1930 р.

Важливим моментом, що забезпечує стабільність страхової компанії є перестрахування. Зокрема, впливом перестрахування на ймовірність банкрутства займалися в 60-70 роки К. Борх, в 80-і роки Х. Гербер. Динамічна модель функціонування страхової компанії за умов перестрахування практично не розглядалася, хоча ця проблема є важливою і є предметом даної дисертаційної роботи.

В дисертаційній роботі удосконалена модель перестрахування страхової компанії, яка наведена в роботі Ротаря В.І., Бенінга В.Е. і розглянуто функціонування компаній у нестабільній економіці. Крім того, за умов орієнтації страховика не на корисність тої чи іншої страхової ситуації, а на ймовірність банкрутства, було запропоновано іншу модель перестрахування в рамках теорії ризику. Цим проблемам присвячена дана дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, обраний у дисертаційній роботі, був передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка.

Результати дисертації отримані в рамках виконання держбюджетних тем “Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайових задач для диференціальних рівнянь i випадкових еволюцій” (шифр теми МД-23Б, номер державної реєстрації 0100U001411) та “Аналітичні методи дослідження перехідних явищ у випадкових еволюціях” (шифр теми МС-129Б).

Мета й задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка та обґрунтування економіко-математичних моделей перестрахування для знаходження кількісних параметрів функціонування страхової компанії в умовах ринку, що розвивається. Досягнення поставленої мети забезпечувалося шляхом вирішення таких завдань:

Дослідження особливостей діяльності страхової компанії при перестрахуванні;

Побудова моделей перестрахування страхових компаній в умовах випадкової зміни економічної ситуації;

Оцінка зміни ймовірності банкрутства страхової компанії при перестрахуванні;

аналіз класичних моделей теорії корисності з метою пошуку шляхів їх адаптації для моделювання діяльності страховика в умовах нестабільного ринку;

Використання на практиці елементів класичної математичної теорії функціонування страхових компаній.

Предмет дослідження — економіко-математичні методи та моделі в системі оптимального управління діяльністю страхової компанії в умовах ринку, що змінюється. Теоретичною та методологічною основою дослідження є праці вітчизняних (Базилевич В.Д., Мішура Ю.С., Кокуш А.М., Ядренко М.Й. та ін.) та зарубіжних (К. Борх, Х. Гербер, Дж. Фон Нейман, О. Моргенштерн, Дж. Неш, В. Парето, Г. Крамер та ін.) учених як у сфері страхування, так і в сфері побудови математичних моделей страхування.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі при постановці та розв’язанні поставлених задач використовувалися методи системного аналізу, елементи теорії корисності, теорії ігор, варіаційного числення та чисельних методів, теорії ймовірності, математичної статистики, випадкових процесів.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукова новизна результатів дисертаційного дослідження полягає в поглибленні та розвитку математичних методів моделювання діяльності страхових компаній.

До основних наукових результатів, які становлять здобуток дисертанта і виносяться на захист, належать:

а) Узагальнення класичної математичної моделі перестрахування страхових компаній та доведення аналогу теореми Гурвіча ефективності рішення в просторі функцій. Розглядається випадок функціонування компаній у нестабільній економіці. Нестабільність описується напівмарковським процесом.

б) Вивчається поведінка коефіцієнта Крамера–Лундберга та ймовірності банкрутства страхової компанії при пропорційному перестрахуванні та перестрахуванні на базі екцеденту збитку.

в) Отримання необхідних умов на коефіцієнт перестрахування, за яких з імовірністю одиниця зменшується ймовірність банкрутства.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають в загальному практичний характер і можуть бути використані страховими компаніями в умовах нестабільності економічної ситуації у країні.

За допомогою результатів отриманих у першій главі можна оцінити корисність перестрахування, знайти оптимальний розподіл збитків між компаніями: вибрати кращий серед факультативних видів перестрахування, що часто використовуються в страховому бізнесі, або знайти власний вид, оптимальний саме в даній ситуації. Результати, отримані в інших розділах, допоможуть оцінити страхову ситуацію, яка склалася на даний момент, знайти ймовірність банкрутства страхової компанії, як до так і після підписання договору про перестрахування, й оцінити доцільність перестрахування з певним перестраховим тарифом.

Отримані результати можуть бути використати для стабілізації роботи страхової компанії й зменшення ймовірності її банкрутства.

Практичні результати роботи використані в діяльності страхових компаній "СКАЙД-ВЕСТ" (довідка №199 від 12.08.2004 р.) та "Скарбниця" (довідка №320 від 22.09.2004 р.).

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на:

Першій Всеукраїнській економетричній конференції (Львів, 2-4 лютого 1998 р.);

Літній школі з прикладної статистики і фінансової та актуарної математики (Феодосія, 2000 р.);

Засіданнях наукового семінару кафедри теоретичної та прикладної статистики Львівського національного університету імені Івана Франка (кер. проф. Єлейко Я.І., проф. Копитко Б.І., Львів, 2000-2003 рр.);

Міжнародній конференції “Стохастичний аналіз та його застосування”, присвяченій 70-річчу А.В. Скорохода (Львів, 2001 р.);

Міжнародній економетричній конференції (Львів, 2001 р.);

Міжнародній школі із застосувань статистичних та математичних методів в економіці, фінансах та страхуванні (Гурзуф, 23-30 червня 2001 р.);

Міжнародній конференції, присвяченій 90-річчу з дня народження Б.Г. Гнеденко (Київ, 2002 р.);

Шостій міжнародній школі по статистичним та математичним методам в економіці, фінансах та страхуванні (Ласпі, 2002 р.);

Засіданні наукового семінару кафедри теорії ймовірності та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (кер. проф. Козаченко Ю.В., та член кор. НАН України Ядренко М.Й., Київ, 2003 р.);

Засіданні наукового семінару кафедри системного аналізу та прийняття рішень Київського національного університету імені Тараса Шевченка (кер. проф. Наконечний О.Г., Київ, 2003 р.);

Третій міжнародній науковій школі “Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах” (МАБР–2003, Санкт-Петербург, Росія, 20-23 серпня 2003 р.);

Міжнародній конференції “Problems of decision making under uncertainties” (PDMU–2003, Алушта, 8-12 вересня 2003 р.).

Міжнародній науковій школі "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (МАБР–2004, Санкт-Петербург, Росія, 22-25 червня, 2004 р.).

Публікація результатів досліджень. Результати дисертаційної роботи опубліковано в 10 роботах. З них 3 — у наукових фахових журналах, що входять до переліку №1 ВАК України, і 6 — у тезах конференцій.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У сумісних роботах дисертанту належить розв’язання поставлених перед ним задач, побудова математичних моделей.

Структура дисертації та її обсяг. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел. Основний зміст роботи викладено на 108 сторінках машинописного тексту, містить 3 таблиці, 6 малюнків. Список використаних джерел налічує 41 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Автор цієї дисертаційної праці удосконалив модель перестрахування страхової компанії в одного перестраховика, яка була наведена Ротарем В.І., Бенінгом В.Е., на випадок двох і більше перестраховиків, і розглянув функціонування компаній в нестабільній економіці. Крім того, за умов орієнтації страховика не на корисність тої чи іншої страхової ситуації, а на ймовірність банкрутства, запропоновано іншу модель перестрахування в рамках теорії ризику. Цим проблемам присвячена дисертаційна робота.

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано предмет та об’єкт дослідження, його мету і завдання, показано наукову новизну, теоретичне та практичне значення роботи, апробацію одержаних результатів.

У першому розділі "Огляд літератури, вибір напрямків дослідження й основні результати" подається огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, та розглядаються основні результати дисертації.

У другому розділі "Оптимальний договір перестрахування страхових компаній" наводиться модель перестрахування страхових компаній з використанням теорії корисності. Розглядається двовимірний випадок, коли в договорі по перестрахуванню фігурують дві компанії: страховик та перестраховик і наведений приклад. Наводиться багатовимірний випадок і випадок функціонування компаній у нестабільній економіці. Доведений критерій ефективності в просторі рішень. Знайдений оптимальний з точки зору корисності вид перестрахування, якого мають дотримуватися всі страхові компанії, що беруть участь у договорі, для забезпечення найкращих фінансових становищ у майбутньому.

Перша частина другого розділу присвячена математичному опису становища страхової компанії (її ризикової ситуації), яке описується за допомогою початкового капіталу і функції розподілу , її загальних збитків .

Корисність ризикової ситуації з випадковою величиною доходу з функцією розподілу характеризується величиною

,

де — функція корисності грошей компанії.

У разі, коли загальні збитки невід’ємні і обмежені зверху певною величиною , корисність доходу або, що те саме, корисність ризикової ситуації може бути подана в такому вигляді

.

В другій частині другого розділу розглядається двовимірний випадок, коли в договорі по перестрахуванню фігурують дві компанії: страховик та перестраховик. Шукається оптимальний в певному сенсі договір по перестрахуванню для цього випадку. Наступна частина присвячена прикладу, коли величини сумарних страхових виплат обох компаній рівномірно розподілені і функції корисності мають вигляд

, ,

де — деякі числа з .

Четверта частина присвячена багатовимірному випадку, коли в договорі фігурують компаній: страховик і решта перестраховиків.

Ризикова ситуація є кращою за ризикову ситуацію для -ї страхової компанії тоді і лише тоді, коли

, .

Будемо вважати, що індекс відповідає за страховика, решта — за перестрахові компанії.

Договір по перестрахуванню описується парою . Кожен елемент з пари є борелівською вектор-функцією від випадкових величин збитків

;

.

Функція відповідає за тарифи за перестрахування. Зрозуміло, що сума всіх тарифів не перевищує одиниці. — вектор-функція збитків перестрахових компаній, після укладення договору. відповідає за збитки першого перестраховика, — за збитки другого перестраховика, і т.д. Тоді, відповідно, збитки страховика після укладання договору перестрахування складатимуть величину

.

Будемо шукати оптимальні для страхових компаній умови в класі неперервних функцій. Позначимо через множину всіх можливих договорів перестрахування

.

Корисності ризикових ситуації залежать від та через величину (покомпонентно)

.

Тоді позначимо

.

Отже, після укладання договору згідно маємо

,

,

.

Розглянемо багатокритеріальну задачу прийняття групового рішення (наша група складається з компаній), коли векторний критерій з цільових функції кожного з індивідів, що входять в групу , — множина допустимих рішень і

або

множина допустимих оцінок. Зрозуміло, що .

Для опису оптимального договору перестрахування покладемо, що компанії ведуть себе раціонально. Пара або величина не приймається, якщо існує така пара (величина ), що

, ,

і хоча б одна з нерівностей є строгою. В цьому випадку говорять, що пара (величина ) домінує над парою (величиною ).

Недомінована величина для якої не існує іншої величини , яка б домінувала над нею, називається ефективним рішенням або рішенням оптимальним за Парето, і відповідно договір по перестрахуванню, що відповідає величині , будемо називати ефективним договором перестрахування або договором перестрахування оптимальним за Парето. Іншими словами, виконується одна з нерівностей

,

або перетворюються в рівність всі нерівності одночасно.

Точка з множини допустимих оцінок, яка є образом ефективного рішення, називається ефективною точкою або ефективною оцінкою.

Доведена наступна лема.

Лема 2.3

Для вищенаведеної багатокритеріальної задачі існує хоча б одна ефективна точка.

Сформульовано критерій оптимальності.

Теорема 2.3. Рішення ефективне тоді і тільки тоді, коли існує набір зростаючих неперервно-диференційованих функцій , , такий, що для всіх з виконується нерівність

.

Це є те саме, що є розв’язком, який максимізує функціонал

.

Можемо зауважити, що будь-який недомінований договір не погіршує початкову ризикову ситуацію, оскільки в протилежному випадку ми завжди матимемо договір, що виражається рівностями

(покомпонентно),

, ,

який не змінює початкової ситуації.

Теорема 2.4

Для будь-якої ефективної точки виконуються нерівності

,

і хоча б одна з нерівностей є строгою тоді і тільки тоді, коли договір не є ефективним.

Отже, всі ефективні договори , при виконанні умови теореми, не погіршують початкових корисностей ризикових ситуацій як страховика, так і перестраховиків.

Повертаючись до нашої задачі, за допомогою теореми 2.3 ми можемо відшукати всі договори по перестрахуванню, які згідно теореми 2.4 покращують початкові ризикові ситуації страхових компаній.

Для визначення єдиного з недомінованих договорів, можливо є сенс поставити ще одну оптимізаційну задачу, наприклад, із множини оптимальних договорів вибирати лише такий, який задовольняє умову Неша максимізації добутку

.

Важливою є задача знаходження оптимального договору перестрахування в умовах швидких змін економічної ситуації в окремо взятій країні. Ця задача є особливо важливою для України. Розв’язанню цих проблем присвячена остання п’ята частина другого розділу.

Звичайно, в певні моменти часу економіка попадає в сприятливі умови для страхування. Такі моменти сприятливі і для перестрахування. При збільшенні кількості клієнтів, кількості проданих полісів, величин страхових сум, тощо, зростає й необхідність у перестрахуванні взятих на себе зобов’язань в інших страхових і перестрахових компаній. Також, згідно закону України “Про страхування”, держава зобов’язує страхові компанії перестраховуватися, коли страхова сума по окремо взятому полісу перевищує 10% суми сплаченого статутного фонду і сформованих вільних і страхових резервів, або коли страхові зобов’язання, що прийняті страховиком на себе, перевищують можливість їх виконання за рахунок власних активів.

Існують стани економіки, які певним чином обмежують коло можливих дій страхових компаній, сковують їх, зменшуючи наплив клієнтів і прибутки. Так само, перебування в таких станах має значний вплив і на об’єми перестрахованих компанією ризиків. Такі стани обумовлюються змінами законодавства, загальними економічними спадами, сезонністю.

Швидкі зміни законодавства в галузі страхування зумовлюють коливання страхового ринку і економічного становища компанії. Оскільки змінюється ситуація на ринку, то повинна змінюватися і стратегія поведінки страхової компанії.

Необхідно всі результати розглянути в умовах нестабільної економіки. Нестабільність ми описуємо напівмарковським процесом з випадковими величинами часу перебування в -му стані та зі скінченою кількістю станів . В кожному зі станів економічного становища страховик має власну функцію корисності .

Для використання викладеної вище моделі нам необхідно якимось чином усереднити всі можливі функції корисності й отриману функцію використовувати в подальших обчисленнях. Візьмемо в якості усередненої таку функцію

.

Використовуючи ергодичну теорему для неперервних напівмарковських процесів з одним класом не рекурентних станів, ми отримаємо

,

де .

Дану усереднену функцію ми приймаємо в якості функції корисності на весь період дії договору по перестрахуванню і використовуємо у всіх розрахунках, які були приведені вище, для знаходження оптимального договору.

У третьому розділі "Оцінка ймовірності банкрутства за допомогою принципу Ешера" розглянуто модель знаходження страхових тарифів за допомогою принципу Ешера і знайдена оцінка вірогідності банкрутства страховика. Розглянуто випадок нестабільної економічної ситуації.

Нехай страхова премія обраховується як функція Ешера

,

при умовах на функцію

Ми розглядаємо випадок

,

при і для деякого ;

.

По-перше, будемо вважати, що кількість клієнтів страхової компанії є величиною неперервною, яка залежить напряму від страхового тарифу ,

,

де — деяка початкова кількість клієнтів.

Зауважимо, що

.

Вважаємо, що початковий капітал страхової компанії відсутній, тоді заощаджений капітал рівний

.

Знайдено асимптотичну залежність ймовірності небанкрутства від коефіцієнта при великих , що виражається наступним співвідношенням

,

де дорівнює квантілю рівня для стандартного нормального розподілу .

Четвертий розділ Четвертий розділ "Оцінка річних збитків і перестрахових тарифів при непропорційному перестрахуванні на базі екцеденту збитку" присвячений використовуванню класичної моделі перестрахування на практиці. Коли страховик із перестраховиками розділяє величину можливого збитку на леєри і кожна компанія оплачує лише частину позову згідно до свого леєру, як це намальовано на рис. 4.2

Рис. 4.2. Порядок виплат страхових відшкодувань на прикладі чотирьох компаній.

Знайдено тарифи перестрахування для чотирьох перестраховиків, які представлені в таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

Леєр,

$ Збитки,

$ Коефіцієнт тарифу,

%

Пріоритет страхувальника 927268,26 93,586

80000 xs 20000 19720,24 1,355

400000 xs 100000 115599,31 4,222

500000 xs 500000 26594,34 0,833

Unlimited xs 1000000 179,71 0,004

Всього 1089361,86 100,000

Приведено оцінки для загальних збитків по різним видам транспорту при умові, що компанія працює на ринку менше ніж 6 років і ще не вийшла на справжній рівень збитків, обрахованих в табл. 4.1. Так як позови до сплати приходять із запізненням і не всі страхові випадки припадають на той самий рік, коли були продані відповідні їм поліси.

У п’ятому розділі "Зміна ймовірності банкрутства при перестрахуванні" розглянуто модель перестрахування на основі класичної теорії колективного ризику. Отримані результати про поведінку ймовірності банкрутства при різних видах перестрахування: пропорційному, на основі екцеденту збитку і в загальному випадку.

Ми розглядаємо класичну динамічну модель розорення страхової компанії. Відомо, що капітал страхової компанії в найпростішому випадку в момент часу описується

,

де — початковий капітал компанії,

— швидкість надходження премій за страхування,

— пуасонівським процесом поступлення позовів з інтенсивністю ,

— величини розмірів страхових виплат, які є невід’ємні незалежні однаково розподілені з функцією розподілу та скінченним математичним сподіванням .

Швидкість надходження премій дорівнює

,

де — відносна страхова надбавка.

Ймовірність розорення страхової компанії позначається через . Страхова компанія розорюється, коли знайдеться такий момент часу, що капітал в момент часу буде від’ємним. Тобто

для деякого .

Відома оцінка Лундберга для ймовірності розорення [17]

,

де — коефіцієнт Крамера-Лундберга або характеристичний коефіцієнт визначається як додатній розв’язок характеристичного рівняння відносно

.

Також має місце така асимптотична оцінка (теорема Крамера-Лундберга)

~, при ,

де .

Пропорційне перестрахування (proportional reinsurance) полягає в тому, що на долю страховика припадає виплатити лише певний відсоток від величини кожного позову, . При величині позову , страховик витрачає лише

.

Перестраховик оплачує решту від величини позову. За цю послугу страховик зобов’язується виплатити перестраховій компанії тариф перестрахування , відсоток від величини всіх отриманих премій.

Наступна теорема показує, як зміниться асимптотика ймовірності банкрутства після перестрахування.

Лема 5.1. 1) Якщо після перестрахування зросте коефіцієнт Крамера-Лундберга , тоді існує такий початковий капітал , що для всіх виконується .

2) Якщо ж виконується , то існує початковий капітал , такий, що для всіх виконується .

Зрозуміло, що на зміну коефіцієнту Крамера-Лундберга впливає величина і тариф перестрахування . При чому страховик вирішує яку частину від випадкової величини позову покриває перестраховик, а перестраховик встановлює оплату, тариф перестрахування. Наступна теорема встановлює умову на тариф перестрахування, при виконанні якої страховик, за допомогою перестрахування, зменшує ймовірність свого банкрутства.

Теорема 5.1. Якщо при пропорційному перестрахуванні виконується

,

то існує початковий капітал , такий, що для всіх виконується

,

де — ймовірність банкрутства страховика після перестрахування,

.

При перестрахуванні на базі екцеденту збитку (excess-of-loss reinsurance) страховик виплачує при настанні страхового випадку з позову суму

.

Теорема 5.2. Якщо при перестрахуванні на базі екцеденту збитку виконується

,

то існує початковий капітал , такий, що для всіх виконується

.

В загальному випадку, при виплаті страховиком величини після договору по перестрахуванню при настанні страхового випадку є вірною наступна теорема.

Теорема 5.3. Якщо виконується

,

то існує початковий капітал , такий, що для всіх виконується

.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота містить теоретичні узагальнення та практичні розробки в галузі управління ризиками страхових компаній в умовах становлення страхового ринку України.

Проведене дослідження дало підстави сформулювати такі висновки та пропозиції:

Аналіз методів прийняття рішень в завданнях, які стоять перед страховими компаніями, показав, що стандартні підходи до моделювання діяльності страховиків є неефективними в умовах перехідної нестабільної економіки та страхового ринку, що тільки розвивається. Класичні моделі страхування та перестрахування — це моделі стаціонарної економічної системи, які не можна без відповідної адаптації переносити на перехідну економіку.

Узагальнено класичну модель перестрахування страхових компаній з використанням функцій корисності на випадок будь-якої кількості перестраховиків та доведено аналог теореми Гурвіча ефективності рішення в просторі функцій для цього випадку.

Розглянуто випадок функціонування компаній в нестабільній економіці, де нестабільність описується напівмарковським процесом.

Розроблено модель поведінки коефіцієнта Крамера–Лундберга та ймовірності банкрутства страхової компанії при пропорційному перестрахуванні та перестрахуванні на базі екцеденту збитку.

Отримано необхідні умови на коефіцієнт перестрахування, за яких з імовірністю одиниця зменшується ймовірність банкрутства.

Побудовані в дисертації моделі мають теоретичне та практичне значення для оптимізації функціонування страхової компанії і зменшення ризику банкрутства, оскільки можуть виступати інструментарієм для прийняття динамічних управлінських рішень.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Горобець О.В., Єлейко Я.І. Одна математична модель перестрахування страхових компаній // Вісник Львівського університету, Серія механіко-математична. — Львів, 2000. — Вип. 58. — C. 183-190.

Горобець О.В., Єлейко Я.І. Принципи розрахунку премії одного виду страхування // Вісник Львівського університету, Серія прикладна математика та інформатика. — Львів, 2002. — Вип. 4. — С. 114-119.

Горобець О.В. Зміна ймовірності банкрутства при пропорційному перестрахуванні // Вісник Київського університету, серія фізико-математичних наук. — Київ, 2003. — Вип. №4. — С. 184-187.

Горобець О.В. Розрахунок річних збитків в страхуванні цивільної відповідальності власників транспортних засобів // Вісник Комерційної Академії. — Львів, 2001. — С. 78-81.

Горобець О.В., Єлейко Я.І. Розрахунки страхових тарифів для страхування майна від пожеж // Економетричні методи і моделі в економіці: теорія і практика — Збірник матеріалів перш. Всеукр. економ. конф. — Львів, 2-4 лютого. — 1998. — С. 96-100.

Alexander V. Gorobets, Yaroslav I. Yelejko, The insurance premium calculation // Abstracts of the international conference "Stochastic analysis and its applications". — Lviv, June 10-17. — 2001. — P. 20.

Горобець О.В., Єлейко Я.І. Розрахунок річних збитків в страхуванні цивільної відповідальності власників транспортних засобів // Збірник матеріалів інтернаціональної школи по математичним та статистичним застосуванням в економіці, фінансах та страхуванні. — Гурзуф, 23-30 червня. — 2001. — С. 13.

O.V. Horobets and Ya.I. Yeleyko, Estimate of bankruptcy probability in unstable economic situation // Abstracts. International Gnedenko conference. — Kyiv, June 3-7. — 2002. — P. 177

Горобець О.В. Оцінка ймовірності банкрутства страхової компанії на основі принципу Ешера // Збірник матеріалів Шостої інтернаціональної школи по математичним та статистичним методам в економіці, фінансах та страхуванні. — м. Ласпі, 9-14 вересня. — 2002. — С. 14.

Горобець О.В. Модель перестрахування страхових компаній з використанням функції корисності // Збірник матеріалів міжнародної конференції "Problems of decision making under uncertainties" (PDMU-2003). — Алушта, 8-12 вересня. — 2003. — С. 84-87.

Горобец А.В. Изменение вероятности банкротства при непропорциональном перестраховании // Сб. материалов Международной научной школы "Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах". — С.-Петербург, 2004.

АНОТАЦІЯ

Горобець О.В. Прийняття рішень в моделях перестрахування страхових компаній. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 — системний аналіз і теорія оптимальних рішень / Київський національний університет імені Тараса Шевченка. — Київ, 2004.

Дисертаційна робота присвячена розробці математичного інструментарію для вирішення специфічних проблем функціонування страхових компаній в умовах коливання навколишнього середовища.

В роботі приведена модель перестрахування страхових компанії з використанням теорії корисності. Розглянутий багатомірний випадок і випадок функціонування компаній в нестабільній економіці. Доведений критерій ефективності рішень. Знайдено оптимальний з точки зору корисності вид перестрахування, якого мають притримуватися всі страхові компанії, що приймають участь в договорі. Розглянута модель знаходження страхових тарифів за допомогою принципу Ешера і знайдена оцінка ймовірності банкрутства. Наведена модель перестрахування на основі теорії ризиків і досліджена поведінка ймовірності банкрутства при різних факультативних видах перестрахування.

Ключові слова: напівмарковський процес, функція корисності, ефективне рішення, функція Ешера, коефіцієнт Крамера–Лундберга, ймовірність банкрутства.

АННОТАЦИЯ

Горобец А.В. Принятие решений в моделях перестрахования страховых компаний. — Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук за специальностью 01.05.04 — системный анализ и теория оптимальных решений / Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка. — Киев, 2004.

В диссертационной работе приводятся модели перестрахования страховых компаний. Оценивается поведение вероятности разорения страховика до и после перестрахования.

Диссертация состоит из введения, пяти разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников. Объем диссертации — 108 страниц. Список используемых источников включает 41 наименование. Во введении дано обоснование актуальности темы, указываются цели и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и апробация полученных результатов.

В первом разделе дан обзор результатов, имеющих непосредственное отношение к теме диссертационной работы и основные результаты диссертации.

Во втором разделе приводится модель перестрахования страховых компаний с использованием теории полезности. Рассмотрен многомерный случай и случай функционирования компаний в неустойчивой экономике, присущей в данный момент Украине. Дано определение полезности финансовой ситуации страховой компании. Доказан критерий эффективности решения в многомерном случае. Найден оптимальный с точки зрения полезности вид перестрахования, которого должны придерживаться все страховые компании, участвующие в договоре. Рассмотрен пример нахождения оптимального перераспределения убытков двух страховых компаний: страховика и перестраховика.

В третьем разделе рассмотрена модель нахождения страховых тарифов с помощью принципа Эшера и произведена оценка вероятности разорения страховика. Построена модель зависимости параметра принципа Эшера и квантиля вероятности не банкротства. Рассмотрен также случай нестабильной экономической ситуации.

Четвертый раздел посвящен использованию классической модели перестрахования на практике. Найдено наиболее разумное распределения страховой премии между страховиком и четырьмя перестраховиками.

В пятом разделе представлена модель перестрахования на основе теории рисков. Произведена оценка поведения вероятности разорения страховика при разных видах перестрахования: пропорциональном, на основе экцедента убытка и в общем случае. Найден минимальный тариф перестрахования, при котором страховик останется на том же уровне вероятности банкротства, как и до перестрахования.

Ключевые слова: полумарковский процесс, функция полезности, эффективное решение, функция Эшера, коэффициент Крамера–Лундберга, вероятность банкротства.

ANNOTATION

Horobets O.V. Decisions making in the reinsurance models of insurance companies. — Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical sciences degree on a speciality 01.05.04 — system analysis and theory of the optimum solutions / Kiev Taras Shevchenko National University, Kiev, 2004.

The dissertation dwells upon the development of mathematical toolkit for solving specific problems of insurance companies functioning under conditions of the variable environment.

There is investigated influence reinsurance on insurer activity. The work is dedicated to construction of decision-making models. Reinsurance models of insurers are given in the dissertation. Both the multidimensional case and the case of functioning of companies in unsteady economics are examined. Infinite-dimensional analogue of the Gurvich theorem is proved. There are obtained results concerning the behaviour of the ruin probability certain insurer under reinsurance.

Key words: Semi-Markov process, insurer, function of utility, effective solution, Escher function, adjustment coefficient, ruin probability.