НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

ГЛАДУН Олексій Володимирович

УДК 531.383, 517.977.1

керування та стабілізація обертального руху
ТВЕРДОГО ТІЛА за допомогою гіродинів

01.02.01 – теоретична механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України .

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук,

професор Ковальов Олександр Михайлович,

Інститут прикладної математики і механіки

НАН України, в.о. директора.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

Жечев Михайло Михайлович,

Інститут технічної механіки НАН України

та НКА України (м. Дніпропетровськ),

провідний науковий співробітник;

кандидат фізико-математичних наук

Кононов Юрій Микитович,

Донецький національний університет, кафедра

теоретичної і прикладної механіки, доцент.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться 09.11.2005 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 28.09.2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради _____________ Ковалевський О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблему керування та стабілізації обертального руху твердого тіла потрібно вирішувати при проектуванні сучасних технічних систем, зокрема, штучних супутників. Можливість використання маховиків, гіроскопів уже досліджувалася в роботах О.О. Анчева, В.І. Воротнікова, В.Н Васильєва, В.І. Зубова, О.М. Ковальова, В.В. Крементуло, Х. Кеннеді, В.С. Хорошилова та інших авторів. Багатьма авторами відзначалося, що застосування роторів (маховиків, гіроскопів) істотно розширює сім'ю можливих стаціонарних рухів системи і область їхньої стійкості, а також дозволяє до деякої міри компенсувати дестабілізуючий вплив пружних елементів і вимагає подальшого вивчення. У роботах В.М. Матросова, Є.Я. Смірнова, В.С. Хорошилова та інших покладено початок вивченню двоступеневих силових гіроскопів – гіродинів, показано перспективність використання гіродинів для розв’язання задач стабілізації обертального руху і орієнтації твердого тіла. Потреби сучасної аерокосмічної техніки в системах керування і увага найкрупніших фахівців теорії керування до гіроскопічних систем визначають актуальність дослідження можливостей, які надають гіродини при розв’язанні задачі керування та стабілізації твердого тіла за їх допомогою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематику дисертації включено в план досліджень відділу технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 1996 - 1999 роки.

Мета і завдання дослідження. Головна мета дослідження – знаходження для твердого тіла (що несе гіродини) стаціонарних рухів, в околі яких можливо розв'язання проблеми керування та стабілізації твердого тіла щодо його центра мас. Можливість розв'язання проблеми припускає, що за допомогою гіроскопів можуть бути розв'язані такі завдання: керування кутовою швидкістю, орієнтація у заданому напрямку, керування орієнтацією, стабілізація кутової швидкості, стабілізація заданої орієнтації.

Іншою метою дослідження є побудова таких механічних систем, що складаються з носія (твердого тіла) і гіродинів, які б з одного боку описувалися досить простою системою диференціальних рівнянь, а з іншого, могли забезпечити розв’язання всіх зазначених завдань для носія. Особливістю механічних систем, у яких використовуються гіроскопи для керування обертальним рухом, є їхня некерованість у класичному розумінні. Проте, для розв’язання встановлених завдань вистачає керованості за частиною змінних, що характеризують кутову швидкість і положення твердого тіла в просторі.

Для дослідження часткової керованості треба одержати достатню умову керованості за частиною змінних.

Наступна важлива мета дослідження – запропонувати конструктивні способи побудови законів керування, що забезпечують керування та стабілізацію носія за тією частиною змінних, що нас цікавить, у околі знайдених стаціонарних рухів.

Наукова новизна отриманих результатів визначається наступними положеннями.

Вперше доведено теорему про відносну керованість динамічних систем за лінійним наближенням.

Для запропонованих механічних систем з гіродинами знайдено стаціонарні рухи. Виокремлено випадки керованості і стабілізовності систем за частиною змінних за лінійним наближенням в околі знайдених стаціонарних рухів.

Отримано конструктивний спосіб розв’язання двоточкової задачі відносного керування нелінійною динамічною системою в околі стану рівноваги із заданим ступенем точності.

Запропоновано алгоритм розв’язання задачі стабілізації стаціонарних рухів за частиною змінних. Вперше продемонстровано, як шляхом вибору власних чисел матриці керованості системи лінійного наближення можна досягти мінімізації норми керування із зворотним зв’язком.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають в основному теоретичне значення. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку теорії керування щодо частини змінних і для подальшого вивчення можливостей, що надаються гіроскопами при розв’язанні завдань керування і стабілізації обертального руху твердого тіла. Результати можуть бути рекомендовані до використання в організаціях, що займаються проектуванням космічних апаратів і гіроскопічних систем.

Особистий внесок здобувача. Результати, опубліковані в статті [3] отримані здобувачем самостійно. Здобувачеві належить ідея використання власних чисел матриці керованості для досягнення мінімізації норми керування із зворотним зв’язком. Науковому керівникові проф. О.М. Ковальову належить ідея заміни змінних, що спрощує систему диференціальних рівнянь, постановка задач, загальний план дослідження і участь в аналізі отриманих результатів.

Апробація. Основні результати дисертаційної роботи були повідомлені та обговорені на:

– VII Міжнародній конференції “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (ICSCD), (Донецьк, 1999 р.);

– VI Всеукраїнській молодіжній науково-практичній конференції з міжнародною участю “Людина і Космос” (Дніпропетровськ, 2004 р.);

– VII Всеукраїнській молодіжній науково-практичній конференції з міжнародною участю “Людина і Космос” (Дніпропетровськ, 2005 р.).

– семінарах відділів прикладної і технічної механіки ІПММ НАН України, Донецьк 1997 - 2005р. (керівники член-кор. НАНУ П.В. Харламов і член-кор. НАНУ О.М. Ковальов).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 8 роботах [1]-[8], серед яких 3 статті в збірниках наукових праць, 1 стаття в матеріалах міжнародної конференції і 4 роботи в збірниках тез конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 138 сторінках і містить вступ, основну частину з п’яти розділів, висновки та список літератури. Список використаної літератури складається із 83 джерел і розташований на 8 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми і сформульовано мету та завдання дослідження. Окремими положеннями показано наукову новизну отриманих результатів та їх практичне значення. Розглянуто зміст роботи з висвітленням найважливіших результатів.

У першому розділі подано огляд робіт, пов’язаних з темою дисертації. У підрозділі 1.1 оглянуто основні наукові праці, що стосуються задачі керування та стабілізації за допомогою обертових мас. У підрозділах 1.2 і 1.3 проведено огляд робіт, що містять найбільш важливі результати стосовно до теорії керування і теорії стабілізації за частиною змінних.

У другому розділі викладено загальну методику і основні методи досліджень. У підрозділі 2.1 наведено означення і теореми, що стосуються керування динамічних систем за частиною змінних. Підрозділ 2.2 присвячено стабілізації систем за частиною змінних. У ньому також викладено алгоритм стабілізації нелінійних систем за лінійним наближенням. У підрозділі 2.3 розглядаються основні методи динаміки твердого тіла. У підрозділі 2.4 викладено виведення рівнянь, які описують рух механічної системи, що складається з носія і гіродинів, а також системи з носія і спарок гіродинів.

У третьому розділі введено поняття відносної керованості, що включає в себе як керованість за конкретними змінними (за всіма або за частинами), так і за лінійними комбінаціями цих змінних. Це поняття використано в дослідженні спочатку лінійних, а потім нелінійних динамічних систем на керованість.

Розглянемо автономну динамічну систему, рух якої на відрізку , можна описати системою звичайних диференціальних рівнянь

. (1)

Тут – вектор, що характеризує стан системи, – керування, t – час, ? знак транспонування. Клас припустимих керувань для системи (1) складається з усіх обмежених вимірних функцій u: [t0, t1] ? U.

Зобразимо вектор стану системи в наступному вигляді = =, , , тоді рівняння (1) можна переписати як

, , (2)

де .

Задача відносної керованості полягає в тому, що необхідно знайти припустиме керування , , що переводить систему (2) із точки простору у довільну точку деякої площини вимірності . Ця площина складається із усіх точок , для яких виконана умова . При цьому від кінцевих значень змінних потрібна лише обмеженість.

Сукупність всіх точок , для яких виконана умова , задається за допомогою деякої матриці D за правилом

, (3)

де ? матриця D, , відокремлює змінні y, щодо яких вивчається керованість системи (2), від змінних z.

Визначення 3.1. Якщо для довільних заданих T, , існує припустиме керування , таке, що відповідний йому рух системи (1) задовольняє умови

, , (4)

то система (1) називається цілком керованою щодо множини W (або просто ? цілком керованою).

Якщо в (3) в якості постійної вибрати нуль, то множина

є підпростором простору .

Визначення 3.2. Стан динамічної системи (1) називається цілком керованим щодо підпростору W0, якщо при будь-якому Т знайдеться припустиме керування , таке, що відповідний йому рух системи (1) задовольняє умови

, .

Визначення 3.3. Динамічна система (1) називається локально цілком керованою щодо простору W0, якщо існує число , таке, що всі стани з

є цілком відносно керованими.

Для випадку, коли динамічна система (1) має вигляд

, (5)

де , дійсні і – матриці, у роботі знайдено розв’язок проблеми цілком керованості щодо множини (3).

Позначимо через – матрицю, що задана наступною рівністю

= ,

де – фундаментальна матриця однорідної системи рівнянь, що відповідає вихідній системі (5). Надалі введену матрицю будемо розуміти як матрицю-стовпець , елементи якого суть вектор-функції .

Теорема 3.1. Для того, щоб динамічна система (5) була цілком керованою щодо множини W необхідно і цілком достатньо, щоб вектор-функції

, , … ,

були лінійно незалежними на всякому довільному проміжку [t0, t1].

У ході доказу теореми отримана функція керування для розв’язання встановленої задачі у явному вигляді

= . (6)

Керування не єдина функція керування, що забезпечує виконання крайових умов (4). При цьому, серед всіх розв’язків знайдене керування є оптимальним у розумінні мінімальності “енергії” керуючого впливу. Це означає, що

> , = .

Для випадку, коли в динамічній системі (5) матриці постійні, тобто

, (7)

формулюється наступна теорема і наводиться схема її доведення.

Теорема 3.2. Щоб лінійна динамічна система (7) була цілком керованою щодо множини W необхідно і цілком достатньо, щоб

.

У загальному випадку нелінійної динамічної системи (1), якщо функція неперервна і має похідну в деякій кулі із центром у точці простору й виконана умова , розглянемо її лінійне наближення – лінійну систему (7), де матриці А и В мають вигляд

, . (8)

Сформульовано і доведено достатню умову локальної цілком керованості. Встановлено, що з відносної цілком керованості системи лінійного наближення (7), (8) випливає локальна цілком керованість вихідної системи (1) щодо підпростору .

Теорема 3.3. Нехай виконані умови

1) ;

2) ;

3) ,

, .

Тоді динамічна система (1) локально цілком керована щодо підпростору .

Побудоване для лінійної системи (7) керування u = u0(t) не приводить стан вихідної системи (1) у потрібну точку. Додаючи до правої частини системи (7) вектор-функцію , що надалі будемо називати збуренням, одержимо

. (9)

Кожній лінійній системі (9) з певним збуренням v(t) відповідає єдине керування вигляду (6), що вирішує двоточкову задачу для цієї системи.

Розглянуто послідовність збурень (k = 1, 2…)

, (10)

кожне з яких визначає відповідну систему (9) із властивістю, що під дією керування , траєкторії систем (9) і (1) збігаються, а керування , є для системи (9) розв’язком двоточкової задачі.

Продемонстровано, що якщо послідовність (10) збігається рівномірно до функції , то керування розв’язує двоточкову задачу для системи (9) зі збуренням . Більше того, траєкторії руху систем (9) і (1) збігаються, отже, є розв’язок двоточкової задачі і для вихідної системи (1).

У цьому випадку послідовності збурень (10) відповідає послідовність керувань вигляду (6)

, (11)

де через M позначено постійну матрицю .

Оскільки пошук керувань за формулою (11) досить трудомісткий і вимагає багато часу, послідовність (11) зведено до більш простого вигляду шляхом обчислення інтегралів. Отримано

, (12)

де – точка, у яку потрапляє нелінійна система (1) під дією керування в момент часу t1. Цю точку можна знайти з необхідною точністю, розв’язуючи нелінійну систему із заданим керуванням , наприклад, методом Рунге-Кутта.

Зауваження 3.4. Збурення (10) можна розглядати як відхил, що виникає при наближенні нелінійної системи (1) до лінійної системи (7).

Зауваження 3.5. У випадку збіжності послідовності (10) або (12), з кожним кроком керування уточнюються. Тому, виконавши необхідну кількість кроків, одержимо керування, що розв’язує двоточкову задачу для нелінійної системи (1) із заданим ступенем точності.

У четвертому розділі рівняння, які описують рух твердого тіла, що несе гіродини, записано в припущеннях:

1. ротор є кульовим ( = = , );

2. гірокамера динамічно симетрична щодо своєї осі обертання ( = , );

3. головний момент зовнішніх сил щодо центру мас, що діють на динамічну систему, дорівнює нулю (MC = 0).

Отримано систему рівнянь

, (13)

, (14)

де и - матриця тензора інерції системи носій-гіродини;

, , - матриці напрямних ортів гіродинів;

, , ? деякі постійні матриці;

, ;

? вектор кутової швидкості носія;

? вектор кутів повороту гірокамер щодо носія;

? вектор керувань.

Рівняння (13),(14) перетворені за допомогою заміни змінних

і запису рівнянь у системі координат Oxyz, жорстко пов'язаної з носієм і обраної таким чином, щоб виконувалося співвідношення

,

де ? узагальнені моменти інерції.

У результаті система рівнянь (13), (14) приймає вигляд

, (123)

, ; (15)

, .

У дисертаційній роботі розглянуто п'ять окремих випадків рівнянь (15).

1. Нехай на супутнику встановлено один гіродин й орти , , задають його початкове розташування. Вісь обертання гірокамери спрямована за віссю Ox. Тоді рух механічної системи носій-гіродини описується системою рівнянь вигляду

,

,

, (16)

,

.

2. Розташуємо на носії два гіродини так, щоб вісь обертання гірокамери першого була спрямована за віссю Ox, а вісь обертання гірокамери другого — за віссю Oу.

,

,

, (17)

,

,

,

.

3. Нехай на супутнику встановлено два гіродини і вісь обертання одного з них не збігається з жодною із координатних осей. Приймемо такі орти:

; ; ;

; ; .

Тоді одержуємо рівняння руху у формі

,

,

,

, (18)

,

,

.

Розглянуто механічну систему, що складається із твердого тіла (носія) і s спарок гіродинів. Рівняння, які описують рух системи у випадку виконання припущень 1-3, можуть бути записані у вигляді

, (19)

.

Вектором керування обрано вектор кутових швидкостей повороту гірокамер щодо носія

, (20)

тоді головний момент керуючих сил визначається рівністю

.

І ми можемо обмежитися у розглянутому випадку тільки рівнянням (19), що описує рух носія, для якого, враховуючи (20), одержуємо

. (21)

Рівняння (21) записані у системі координат Oxyz, жорстко пов'язаної з носієм, яка вибрана таким чином, щоб виконувалося співвідношення

.

У результаті одержано систему рівнянь (22), (20), де

. (123) (22)

4. Нехай на супутнику встановлено одну спарку гіродинів і нехай орти

, , ,

задають її початкове розташування. Осі обертання гірокамер спарки не є паралельними ні одній з координатних осей. Тоді рух механічної системи носій-спарка гіродинів описується системою рівнянь вигляду

,

, (23)

,

.

5. Розташуємо на носії дві спарки гіродинів так, щоб осі обертання гірокамер першої спарки були паралельні вісі Oy, а осі обертання гірокамер другої – вісі Oz. Як орти приймемо наступні:

; ; ; ; ; .

Тоді одержуємо рівняння руху у формі

,

, (24)

,

.

Для кожного з наведених випадків знайдені стаціонарні рухи при u=0.

У випадку 1 для системи (16) отримано наступні рівномірні обертання

,

,

,

і стан рівноваги .

У випадку 2 для системи (17), де , знайдено рівномірні обертання:

,

,

,

,

,

і стан рівноваги

. (25)

У випадку 3 для системи (18), де , маємо такі рівномірні обертання:

,

за умови, що ,

, якщо ,

, якщо ,

, якщо ,

, якщо ,

і стан рівноваги (25).

У випадку 4 отримано рівномірні обертання

,

, (26)

,

,

,

і стан рівноваги

. (27)

У випадку 5 знайдено рівномірні обертання

,

,

і стан рівноваги

. (28)

Механічні системи лінеаризуються в околі знайдених стаціонарних рухів і досліджуються щодо відносної керованості за лінійним наближенням за допомогою Теореми 3.3. У випадку керованості будується керування, що розв’язує двоточкову задачу за формулою (12). Для системи лінійного наближення обчислюється фундаментальна матриця відповідної однорідної системи і матриця = . Пошук керування за формулою (12) виконується поступово

,

де , , .

У такий спосіб знайдено наступні керування:

а) в околі стану рівноваги (27) побудоване керування, яке переводить систему (23) у протилежне обертання;

б) в околі рівномірного обертання (26) припущено, що під впливом зовнішніх збурень було порушено рівномірне обертання твердого тіла, і в результаті вектор фазових координат прийняв вигляд . На 17-ому кроці було отримано вектор і відповідне йому керування u17(t):

p17* = (- 0.993918277, - 0.963725265, - 8.150778573),

u17(t) = 0.5747858866 cos(- 4.0697846378 + 4.0697846378 t) - 0.7779212062 -
- 1.5281953524 sin(- 4.0697846378 + 4.0697846378 t),

яке повертає твердому тілу вихідне рівномірне обертання з точністю до 0.00001;

в) в околі стану рівноваги (27) розв’язано задачу надання носію рівномірного обертання навколо осі Oy з точністю до 0.00001;

г) для механічної системи (24) в околі стану рівноваги (28) розв’язано задачу орієнтації носія у заданому напрямку s0.

У п'ятому розділі запропоновано алгоритм побудови керувань, що здійснюють стабілізацію механічної системи за частиною змінних у випадку керованості за цими змінними системи лінійного наближення. Для системи лінійного наближення може бути побудоване лінійне керування зі зворотним зв’язком, що забезпечує для характеристичного рівняння системи

лm +d1лm-1+...+ dm=0, di=const,

будь-які наперед задані корні. Функція керування явно залежить від коефіцієнтів di, а значить і від самих характеристичних значень. При побудові вихідна система перетворюється на систему спеціального вигляду, для якої стабілізація досягається шляхом вибору власних чисел, що відповідають матриці перетвореної системи і від яких, як від змінних, залежить керування. Сучасні математичні пакети для ЕОМ дозволяють одержувати явний вигляд вектора c коефіцієнтів керування, як функції змінних .

У розділі під час розв’язання завдання стабілізації за лінійним наближенням розглянуто задачу мінімізації норми стабілізуючого керування

.

Так в околі стану рівноваги (25) розв’язана задача стабілізації орієнтації в напрямку заданого орта за допомогою двох гіродинів (18). Після заміни , де T ? лінійно незалежний блок матриці керованості системи, останнє рівняння містить тільки керування . Шляхом вибору його відповідним чином, забезпечується стабілізація змінної y7 фазового вектора перетвореної системи. Обрано , тоді , де і характеристичне значення . Для інших рівнянь це означає, що в кожному з них змінна y7 монотонно спадає, отже, для стабілізації решти змінних фазового вектора, досить розв’язати задачу стабілізації для системи із шести рівнянь, що залишилися.

Розглянуто дві можливості мінімізації норми керування:

a) За рахунок добору уявних частин власних чисел у матриці лінійного наближення.

Нехай , а шукаємо такі, щоб приймала мінімальне значення в замкненій області D1: , , . Мінімум знайдено методом спряжених градієнтів. Спуск початий з точки , , . Отримано

при , , .

Підставляючи у формулу керування, маємо

b) За рахунок добору як уявних, так і дійсних частин власних чисел.

Нехай дійсні частини власних чисел не фіксовані. Будемо шукати мінімум не тільки за уявними , але й за дійсними частинами . Мінімум знайдено в замкненій області D2: , , , , , методом спряжених градієнтів. Спуск почато з точки , , , , , . Отримано

при , , ,

, , .

Підставляючи , у формулу керування, маємо

Порівнюючи a) і b), бачимо, що у другому випадку за допомогою вибору власних чисел отримано мінімум , що у два рази менше досягнутого в a). Продемонстровано, що траєкторії руху системи (18) і керування , отримані у випадку b), мають менше коливань і забезпечують більш швидку стабілізацію, ніж в a).

В околі стаціонарних рухів аналогічно побудовано керування, що стабілізують кутову швидкість, рівномірне обертання твердого тіла (носія) за допомогою двох гіродинів. Вісь обертання одного з гіродинів не збігається з жодною з координатних осей. Керування, що стабілізує орієнтацію носія, отримано для твердого тіла, що несе три гіродини.

Побудовано керування для механічних систем, що представляють собою тверде тіло, що несе або однакові гіродини, або різні (з різними кінетичними моментами). У результаті порівняння керувань зроблено висновок про те, що використання гіродинів з різними кінетичними моментами приводить до законів керування, які мають менше коливань.

Наведено результати чисельного моделювання поводження динамічних систем при заданих числових параметрах під дією побудованих керувань.

ВИСНОВКИ

У дисертації досліджено задачу керування і стабілізації твердого тіла, що несе один, два або три гіродини, чи одну або дві спарки гіродинів. Для запропонованих механічних систем з гіродинами знайдено стаціонарні рухи. У їх околі виокремлено випадки керованості і стабилізовності систем за частиною змінних за лінійним наближенням. Розглянуто поняття керованості системи щодо множини (відносна керованість). Підсумком використання поняття відносної керованості при дослідженні динамічних систем стали наступні результати:

1) Для лінійних систем отримано критерій відносної керованості і явний вигляд розв’язку двоточкової задачі, оптимального за нормою.

2) Сформульовано і доведено достатню умову локальної відносної цілком керованості для нелінійних систем.

3) Отримано явний розв’язок двоточкової задачі керування нелінійною динамічною системою по частині змінних в околі стану рівноваги із заданим ступенем точності.

4) Побудовано керування, що забезпечують переведення твердого тіла у протилежне обертання, розкручування носія із стану рівноваги до заданого значення кутової швидкості обертання навколо осі і орієнтацію носія в заданому напрямку. Двоточкові задачі розв’язано в околі стаціонарних рухів із заданим ступенем точності.

5) Запропоновано алгоритм побудови керувань, що здійснюють стабілізацію механічної системи за частиною змінних у випадку керованості за цими змінними системи лінійного наближення. За рахунок певного добору як уявних, так і дійсних частин власних чисел матриці лінійного наближення, забезпечується мінімізація норми керування зі зворотним зв’язком.

6) В околі стаціонарних рухів побудовано керування, що стабілізують кутову швидкість, рівномірне обертання твердого тіла (носія) і орієнтацію в напрямку заданого орта за допомогою двох гіродинів. Вісь обертання одного з гіродинів не збігається з жодною з координатних осей. Керування, що стабілізує орієнтацію носія, отримано для твердого тіла, що несе три гіродини. Продемонстровано, що це є мінімальна кількість гіродинів, при якій встановлені задачі можуть бути розв’язані за лінійним наближенням.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гладун А.В. Об относительной управляемости динамических систем по линейному приближению // Труды Института прикладной математики и механики. – 1998. Том 2. – С.21-31.

2. Гладун А.В. Управление вращательным движением твердого тела с помощью двух спарок гиродинов. // Труды Института прикладной математики и механики. – 1999. Том 4. – С.44-51.

3. Гладун А.В., Ковалев А.М. Частичная стабилизация стационарных движений спутника с гиродинами. // Космічна наука і технологія. Додаток. – 2005. Том 11, № 1. – С.11-18.

4. Гладун А.В. Стабилизация ориентации твердого тела с помощью гиродинов. // Труды Института прикладной математики и механики. – 2005. Том 10. – С.32-38.

5. Гладун А.В. Управление движением твердого тела с помощью гиродинов. // Сборник тезисов докладов VII Международной конференции “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (ICSCD 99), Донецк: ИПММ НАН Украины.? 1999. ? С.21-22.

6. Гладун А.В. Частичная стабилизация стационарных движений спутника с гиродинами. Збірник тез VI Всеукраїнської молодіжної науково-практичної конференції з міжнародною участю “Людина і Космос”. - Дніпропетровськ:НЦАОМУ - 2004. ? С.137.

7. Гладун А.В. Стабилизация ориентации спутника с помощью гиродинов. Збірник тез VII Всеукраїнської молодіжної науково-практичної конференції з міжнародною участю “Людина і Космос”. - Дніпропетровськ:НЦАОМУ - 2005. ? С132.

8. Гладун О.В. Управління та стабілізація обертального руху супутника за допомогою гіроскопів. Збірник тез конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача.. ? Львів, 2005. ? С143.

АНОТАЦІЇ

Гладун О.В. Керування та стабілізація обертального руху твердого тіла за допомогою гіродинів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 ? теоретична механіка. ? Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк 2005.

У дисертації досліджено задачу керування і стабілізації твердого тіла, що несе гіродини, або спарки гіродинів. Для запропонованих механічних систем з гіродинами знайдено стани відносної рівноваги і рівномірні обертання твердого тіла. У їх околі виокремлено випадки керованості і стабилізовності систем за частиною змінних за лінійним наближенням.

Розглянуто поняття керованості системи щодо множини. Запропоновано алгоритм, що дає явне розв’язання двоточкової задачі відносної керованості у околі стаціонарного розв’язку із заданим ступенем точності. Побудовано керування, які здійснюють стабілізацію механічної системи за частиною змінних. При побудові вихідна система зводиться до системи спеціального вигляду, для якої стабілізація досягається шляхом вибору власних чисел матриці лінійного наближення. Як уявні, так і дійсні частини власних чисел цієї матриці добираються таким чином, щоб мінімізувати норму керування зі зворотним зв’язком.

Отримано керування, що розв’язують задачу орієнтації носія в заданому напрямку і переведення носія у протилежне обертання, що стабілізують кутову швидкість і рівномірне обертання твердого тіла, а також його кутове положення. Наведено результати чисельного моделювання поводження механічних систем під дією побудованих керувань при заданих числових параметрах.

Ключові слова: тверде тіло, гіродин, спарка гіродинів, рівномірні обертання, стан рівноваги, відносна керованість, стабилізовність, лінійне наближення.

Гладун А.В. Управление и стабилизация вращательного движения твердого тела с помощью гиродинов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 ? теоретическая механика. ? Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк 2005.

В диссертации исследуется задача управления и стабилизации твердого тела, несущего один, два или три гиродина, одну или две спарки гиродинов. Для предложенных динамических систем с гиродинами получены стационарные решения, которым соответствуют положения относительного равновесия и равномерные вращения твердого тела. Выделены случаи управляемости и стабилизируемости систем по части переменных по линейному приближению.

Предложен алгоритм построения управлений, которые осуществляют стабилизацию динамической системы по части переменных. Алгоритм применим в случае управляемости по этим переменным системы линейного приближения. При построении исходная система приводится к системе специального вида, для которой стабилизация достигается путем выбора собственных чисел. Эти числа отвечают матрице преобразованной системы и от них, как от переменных, зависит управление. Как мнимые, так и действительные части собственных чисел этой матрицы подбираются таким образом, чтобы минимизировать норму управления с обратной связью. Задача минимизации решается методом сопряженных градиентов.

В окрестности стационарных движений построены управления, стабилизирующие угловую скорость, равномерное вращение твердого тела и ориентацию в направлении заданного орта с помощью двух гиродинов. Управление, стабилизирующее ориентацию носителя, получено для твердого тела с тремя гиродинами. Показано, что это минимальное количество гиродинов, при котором поставленные задачи могут быть решены по линейному приближению.

Управляемость по части переменных рассматривается с точки зрения понятия управляемости относительно множества. Для построения управлений предложен алгоритм, который дает явное решение двухточечной задачи относительной управляемости в окрестности стационарного решения с заданной степенью точности. С его помощью построены управления, обеспечивающие перевод твердого тела в противовращение, раскрутку носителя из положения равновесия до заданного значения угловой скорости вращения вокруг оси и ориентацию носителя в заданном направлении.

Приведены результаты численного моделирования поведения механических систем при заданных числовых параметрах под действием построенных управлений.

Ключевые слова: твердое тело, гиродин, спарка гиродинов, равномерное вращение, положение равновесия, относительная управляемость, стабилизируемость, линейное приближение.

Gladun A.V. Control and stabilization of a rotary motion of a rigid body with the help of gyrodins. - Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.02.01 - theoretical mechanics. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics NAS of Ukraine, Donetsk 2005.

In the thesis the problem of control and stabilization of the rotary motion of a rigid body which bears gyrodins, or doubled gyrodins is investigated. Positions of relative equilibrium and uniform rotations of the mechanical systems with gyrodins are found. The cases of relative controllability and stabilizability of systems are chosen by a linear approximation in a neighbourhood of the found fixed motions.

An algorithm which gives the explicit solution of a two-point problem with respect to a part of the variables with the given degree of accuracy is proposed. Controls which implement stabilization of a dynamic system with respect to the part of the variables have been built. While constructing the initial system is reduced to a system of a special kind for which stabilization is reached by selection of eigenvalues for linear approximation matrix. Both imaginary and real parts of eigenvalues of this matrix are selected in such a way as to minimize the norm of control with feedback. The problem of minimization is solved by the method of conjugate gradients.

The controls to provide controlling and stabilization of angular velocity, orientation and uniform rotation of a rigid body were constructed. Results of numerical modeling of behaviour of mechanical systems under the influence of the built controls are given under prescribed numerical parameters.

Keywords: rigid body, gyrodin, doubled gyrodins, uniform rotations, equilibrium position, relative controllability, stabilizability, linear approximation.