НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ГОНЧАРОВА Світлана Яківна

УДК 519.21

СТОХАСТИЧНА СТІЙКІСТЬ ТА ОПТИМАЛЬНЕ

КЕРУВАННЯ НАПІВМАРКОВСЬКИМИ

ПРОЦЕСАМИ РИЗИКУ

01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ –2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук

Свіщук Анатолій Віталійович,

Університет Калгарі, Алберта, Канада,

професор факультету математики і статистики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

академік НАН України

Королюк Володимир Семенович,

Інститут математики НАН України, радник при дирекції

доктор фізико-математичних наук, професор

ЯСИНСЬКИЙ Володимир Кирилович,

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,

завідувач кафедри математичної і прикладної статистики

Провідна установа

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,

відділ математичних методів теорії надійності складних систем, м. Київ

Захист відбудеться „ 17 ” травня 2005 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ -4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України (01601, м. Київ -4, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий “ 15 ” квітня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Г.П. Пелех

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Сучасна актуарна (страхова) математика є повнокровною гілкою прикладної математики та прикладної теорії ймовірностей. Математична теорія ризику – найважливіший розділ в актуарній математиці, саме вона є основною темою даної дисертації.

Теорія ризику розвивається вже декілька десятиріч і містить різні аспекти, яким присвячені численні роботи. Основна увага в теорії ризику зосереджена на вивченні ймовірності банкрутства в класичній моделі ризику та її узагальненнях, що є абстрактними математичними моделями реальних стохастичних систем. Серед досліджень, що були зроблені в цьому напрямку, можна назвати роботи Асмуссена С., Бюльмана Г., Гербера Г., Грендела Ж., Гусака Д., Ембрехтса Т., Клюппельберг К., Королюка В., Леоненка М., Мішури Ю., Пархоменко В., Свіщука А., Шмідлі Г., Ядренка М.

В класичній моделі Крамера-Лундберга розміри виплат, які проводяться страховою компанією, утворюють послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин. Виплати відбуваються в момент стрибків однорідного пуассонівського процесу. Припущення про пуассоновість процесу надходження замовлень на виплати накладає певні обмеження на модель процесу ризику. А тому доцільно розглядати узагальнення цієї моделі. Напівмарковський процес ризику і є одним з узагальнень класичної моделі ризику.

Ми розглядаємо таку стохастичну модель процесу ризику, в якій джерелом ризику є весь страховий портфель деякої страхової компанії і сумарний її капітал за час t описується процесом z(t), що є імпульсним процесом переносу в напівмарковському випадковому середовищі, а тому має інтерпретацію напівмарковської випадкової еволюції.

Теорія напівмарковських випадкових еволюцій має різноманітне застосування. Наприклад,у теоріях запасів, переносу, стохастичних диференціальних рівнянь.У роботі теорія напівмарковських випадкових еволюцій застосовується до дослідження напівмарковських процесів ризику.

Суттєвого розвитку теорія еволюційних стохастичних систем і випадкових еволюцій набула завдяки роботам Королюка В., Пінського М., Свіщука А., Турбіна А. Стійкість еволюційних стохастичних систем і випадкових еволюцій досліджувалась у роботах Арнольда Л., Бланкеншіпа Дж., Гіхмана І., Дороговцева А., Королюка В., Кушнера Г., Папаніколау Г., Пінського М., Свіщука А., Скорохода А., Хасьмінського Р. Тематиці стохастичного керування еволюційними стохастичними системами і випадковими еволюціями присвячені роботи Бланкеншіпа Дж., Гіхмана І., Кушнера Г., Папаніколау Г., Портенка М., Свіщука А., Скорохода А., Хасьмінського Р.

Незважаючи на велику кількість робіт по тематиці еволюційних стохастичних систем і випадкових еволюцій, багато питань залишається нез’ясованими. Зокрема, це стосується застосування теорії напівмарковських випадкових еволюцій до напівмарковських процесів ризику. Ось чому математичні дослідження цих питань є актуальними та перспективними.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі випадкових процесів згідно із загальним планом досліджень у рамках науково-дослідної роботи „Методи дослідження локальної та асимптотичної поведінки систем, які не описуються класичними стохастичними рівняннями”. Номер державної реєстрації 0101U00109.

Мета і завдання дослідження. Провідною метою даної роботи є подальший розвиток теорії напівмарковських випадкових еволюцій, зокрема, розширення кола теоретичних і практичних її застосувань, а також подальший розвиток теорії ризику.

Об’єктом дослідження роботи є модель імпульсного процесу переносу в напівмарковському випадковому середовищі, що має інтерпретацію напівмарковської випадкової еволюції і застосовується для вивчення процесу ризику.

Предметом дослідження є стохастична стійкість та оптимальне стохастичне керування напівмарковськими процесами ризику, а саме: стійкість, асимптотична, експоненційна стійкість нульового положення напівмарковського процесу ризику з імовірністю 1, стійкість нульового положення напівмарковських процесів ризику в схемах усереднення та дифузійної апроксимації, оптимальне стохастичне керування напівмарковськими процесами ризику в схемах усереднення, дифузійної апроксимації.

Методами дослідження даної роботи є методи напівмарковських випадкових еволюцій, стохастичних функцій Ляпунова та мартингальні методи.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну та виносяться на захист є такі:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Усі результати роботи є новими і одержані вперше, так як досліджується новий об’єкт – напівмарковські процеси ризику.

Методи доведення теорем про стохастичну стійкість та оптимальне стохастичне керування для напівмарковських процесів ризику є удосконаленням відомих методів для марковських систем. Одержані результати відрізняються від раніше відомих, так як досліджуються напівмарковські процеси, а відомі деякі результати лише для марковських процесів. Стійкість у схемах усереднення та дифузійної апроксимації досліджувалась лише для марковських систем та диференціальних рівнянь з марковськими перемиканнями (Королюк В.). Проблема оптимального стохастичного керування розглядалась лише для марковських систем (Королюк В., Кушнер Г., Свіщук А., Скороход А., Хасьмінський Р.).

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати доповнюють відповідні дослідження процесів ризику та напівмарковських випадкових еволюцій. Практична цінність результатів дослідження визначається можливістю їх використання в економіці, страховій справі, а також у навчальному процесі в області фінансової та страхової математики, теорії ймовірностей та теорії випадкових процесів.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану та напрямок досліджень, постановка задач належать науковому керівнику – Свіщуку А.В. Усі результати дисертації, що виносяться на захист, належать автору.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи були представлені на VІІ Вільнюській міжнародній конференції з теорії ймовірностей і мат. статистики (серпень 1998р., Вільнюс, Литва), доповідались і обговорювались на ІІІ Українсько-Скандинавській конференції з теорії ймовірностей і мат. статистики (червень 1999р., Київ), на міжнародній конференції з обчислювальної та прикладної математики, присвяченій 80-річчю академіка НАНУ І.І. Ляшка (вересень 2002р., Київ), на семінарі з теорії ймовірностей і мат. статистики Інституту математики НАНУ (14.10.1999р., керівник акад. НАНУ Королюк В.С.), на семінарі з теорії ймовірностей і мат. статистики при кафедрі теорії ймовірностей і мат. статистики мех.-мат. факультету Київського державного університету (5.11.1999р., керівник д.ф.-м.н., проф. Козаченко Ю.В.), на семінарах відділу випадкових процесів Інституту математики НАНУ (5.04.2000р., 14.10.2003р., 29.09.2004р., 6.10.2004р., керівник член-кор. НАНУ, д.ф.-м.н., проф. Портенко М.І.), на семінарі відділу теорії ймовірностей і мат. статистики Інституту прикладної математики і механіки НАНУ (3.05.2001р., Донецьк, керівник д.ф.-м.н., проф. Ліньков Ю.М.), на семінарах „Числення Маллявена та його застосування” (10.09.2002р., 11.03.2003р., 9.09.2003р., керівник д.ф.-м.н. Дороговцев А.А.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 8 наукових праць, із них 5 – у спеціалізованих фахових журналах, 3 – у збірниках тез міжнародних наукових конференцій.

Структура та об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел із 55 назв і викладена на 112 сторінках друкованого тексту.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан проблеми, сформульовано задачі дослідження.

У першому розділі дається огляд літератури за темою дисертації та необхідні відомості з теорії напівмарковських випадкових еволюцій та теорії ризику. Визначається основний стохастичний об’єкт, що використовується як математична модель випадкового середовища.

Нехай (Щ,F,P) імовірнісний простір, на якому розглядатимемо випадкові величини із значеннями у вимірному просторі.

Означення 1.1. Напівмарковським процесом називається процес x(t), що задається співвідношеннями:

,

,

де фn – моменти відновлення, – невід’ємні випадкові величини, що задають інтервали між моментами відновлення.

У момент відновлення фn, n>1, напівмарковський процес змінює свій стан, перебуваючи в кожному стані xn = x час. Моменти відновлення фn, n>0, є марковськими моментами для напівмарковського процесу.

Двокомпонентний ланцюг Маркова (xn, фn, n>0) називають процесом марковського відновлення, що породжує напівмарковський процес.

Процесу x(t) відповідає наступне напівмарковське ядро:

, (1)

де P(x,A)= {xn+1A/xn=x},

Gx(t)= <t/xn=x}, ф>0.

Розглядатимемо регулярні напівмарковські процеси:

.

У другому розділі вивчається напівмарковський процес ризику, що є одним із узагальнень класичної моделі ризику Крамера-Лундберга, означення якого приведене у підрозділі 2.1.

Нехай x(t) напівмарковський процес.

Означення 2.1. Напівмарковським процесом ризику називається розв’язок наступного рівняння:

, (2)

де 0<z< – числовий параметр;

(z, x) – функція неперервна, невід’ємна, неперервно диференційовна по z, обмежена по x при кожному і така, що, , та, K>0;–

невід’ємна, вимірна, обмежена функція на X.

Напівмарковський процес ризику z(t), визначений в (2), є імпульсним процесом переносу в напівмарковському випадковому середовищі, а тому має інтерпретацію напівмарковської випадкової еволюції. Процес z(t) DR[0,+, де DR[0,+ – простір функцій без розривів 2-го роду на [0,+ із значеннями в R.

В підрозділі 2.2 розглядається алгоритм усереднення з малим параметром е>0 напівмарковських процесів ризику.

Напівмарковський процес ризику в напівмарковському випадковому середовищі x(t/) задається розв’язком інтегрального рівняння:

, (3)

де е>0 малий параметр, функції (z, x) та визначені в означенні 2.1.

Згідно алгоритму фазового усереднення напівмарковських випадкових еволюцій існує єдиний граничний при для процесу zе(t), визначеного в (3), процес у розумінні слабкої збіжності в DR[0,+, який задається розв’язком рівняння

,

де,

,

, , – стаціонарний розподіл вкладеного ланцюга Маркова,

, , ,

функція визначена в (1),

.

У підрозділі 2.3 розглядається алгоритм дифузійної апроксимації при виконанні умови балансу з малим параметром е>0 напівмарковських процесів ризику.

Напівмарковський процес ризику в напівмарковському випадковому середовищі задається як розв’язок рівняння:

, (4)

де функції (z, x), визначені в означенні 2.1.

Згідно алгоритму дифузійної апроксимації напівмарковських випадкових еволюцій при виконанні умови балансу, для процесу zе(t), визначеного в (4), існує граничний неперервний процес у розумінні слабкої збіжності в DR[0,+, який задовольняє стохастичне диференціальне рівняння

(5)

де – стандартний вінерівський процес,

,

,

;

; ;

, .

Третій розділ присвячений дослідженню стохастичної стійкості напівмарковських процесів ризику.

У підрозділі 3.1 наводяться означення стохастичної стійкості нульового положення напівмарковських процесів ризику; доведено лему, результат якої використовується надалі в доведеннях теорем; доводяться теореми про стійкість, розглядаються приклади їх застосування.

Нехай

, , (6)

де функції (z, x), визначені в означенні 2.1.

Означення 3.1. Нульовий стан напівмарковського процесу ризику z(t), визначеного в (6), є стійким з імовірністю 1 (за Г. Кушнером), якщо

таке, що якщо, то

,

де – умовна ймовірність при початковому стані

Нехай трьохкомпонентний неперервний справа строго марковський процес у з інфінітезимальним оператором

, ,

де

, (7)–

минулий час перебування;

, ; функція визначена в (1).

Лема. Нехай виконуються умови:

А1) функція є невід’ємною та неперервною на відкритій множині

(8)

для деякого фіксованого;

А2) оператор є інфінітезимальним оператором зупиненого процесу

,

де ;

A3) та є неперервною та обмеженою по z функцією в множині та

в , (9)

де визначений в умові А2), множина – в (8).

Тоді процес є невід’ємним супермартингалом зупиненого процесу і для:

,

де.

Теорема 3.1. Нехай для деякого фіксованого виконуються умови А1)–А3), (9), , таке, що якщо , .

Тоді нульове положення напівмарковського процесу ризику z(t), визначеного в (6), є стійким з імовірністю 1.

Приклад 3.1. z(t) – розв’язок рівняння (6); (z, x)= (x)z, де z – скінченний початковий параметр; 0< (x)<, неперервна функція. Функція, де обмежена, неперервна функція, задовольняє умовам теореми 3.1 при умовах:, , де.

Означення 3.2. Нульовий стан напівмарковського процесу ризику z(t), визначеного в (6), є експоненційно стійким з імовірністю 1, якщо він є стійким з імовірністю 1 і для всіх

, .

Теорема 3.2. Нехай виконуються умови А1)–А3) і, , , та на для деякого.

Тоді нульове положення напівмарковського процесу ризику z(t), визначеного в (6), є експоненційно стійким з імовірністю 1 і для,

.

Якщо умови теореми виконуються для довільних, тоді

.

Приклад 3.2. – розв’язок рівняння (6); (z, x)= (x)z, де z – скінченний початковий параметр; 0< (x)<, неперервна функція. Функція, де обмежена, неперервна функція. Доведено, що існує додатна константа така, що виконуються умови теореми 3.2.

Означення 3.3. Нульовий стан напівмарковського процесу ризику z(t), визначеного в (6), є асимптотично стійким з імовірністю 1, якщо він є стійким з імовірністю 1 та

.

З теорем 3.1 та 3.2 випливає:

Наслідок. Нехай виконуються умови А1)–А3) та на, де функція є рівномірно неперервною на множині і нерівність вірна для деяких.

Тоді нульове положення напівмарковського процесу ризику z(t), визначеного в (6), є асимптотично стійким з імовірністю 1.

У підрозділі 3.2 доведена теорема про стохастичну стійкість нульового положення напівмарковських процесів ризику в схемі усереднення.

Нехай

, (10)

де е малий параметр, функції (z, x) та визначені в означенні 2.1.

Означення 3.4. Нульовий стан напівмарковського процесу ризику zе(t), визначеного в (10), є асимптотично рівномірно по е стійким з імовірністю 1, якщо – фіксоване, таке, що, та і, то

, – константа, та

.

Теорема 3.3. Нехай виконуються умови:

1) вкладений ланцюг Маркова є рівномірно ергодичним із стаціонарним розподілом;

2) функція, визначена в (1), є диференційовною по t та

є неперервною та обмеженою функцією;

3) існує гладка невід’ємна функція на така, що,–

поліноміальна і;

4) для деякого і скінченного початкового капіталу, де

, .

Тоді нульовий стан напівмарковського процесу ризику, визначеного в (10), є асимптотично рівномірно по е стійким з імовірністю 1.

Приклад 3.3. В рівнянні (10) функція (z, x)= (x)z, де 0< ( x)<, неперервна функція, 0<z< – початковий параметр. Функція V(z)=z2 задовольняє умовам теореми 3.3.

У підрозділі 3.3 доведена теорема про стохастичну стійкість нульового положення напівмарковських процесів ризику в схемі дифузійної апроксимації при виконанні умови балансу.

Нехай

, (11)

де е>0 малий параметр, функції (z, x) та визначені в означенні 2.1.

Теорема 3.4. Нехай виконуються умови:

1) вкладений ланцюг Маркова (xn; n>0) є рівномірно ергодичним із стаціонарним розподілом;

2) функція, визначена в (1), є диференційовною по t і є неперервною та обмеженою функцією;

3) існує гладка невід’ємна функція V(z) на така, що,

V(z) – поліноміальна і V(z)=0 z=0,

4) для деякого і скінченного початкового капіталу, де функції та визначені в (5);

5), ,

де.

Тоді нульовий стан напівмарковського процесу ризику, визначеного в (11), є асимптотично рівномірно по е стійким з імовірністю 1.

Приклад 3.4. В рівнянні (11) функція (z, x)= (x)z, де, неперервна функція, 0<z< – початковий параметр. Функція задовольняє умовам теореми 3.4.

Четвертий розділ присвячений дослідженню оптимального стохастичного керування напівмарковськими процесами ризику.

У підрозділі 4.1 виводиться рівняння Беллмана для напівмарковських процесів ризику.

Нехай

, , (12)

де функція неперервна;

u – параметр керування;–

невід’ємна, вимірна, обмежена функція на X.

Припускатимемо, що параметр керування u в рівнянні (12) вибирається у вигляді функції від z(t), x(t) та, тобто, де x(t) – напівмарковський процес, , – дефект-процес. Таке керування називатимемо марковським.

Вважатимемо, що є дійсною скалярною або векторною функцією.

Функцію назвемо допустимою, якщо функція в рівнянні (12) неперервна, неперервно диференційовна по z; обмежена по x; невід’ємна і така, що, та. Клас допустимих функцій позначимо U. Кожній функції (допустимому керуванню) відповідає напівмарковський процес ризику z(t), що є єдиним розв’язком рівняння (12). Надалі писатимемо замість просто u(t).

Розглядається варіант задачі оптимального стохастичного керування, що полягає у виборі такого керування, де U – компактна множина допустимих керувань у просторі дійсних неперервних функцій на, що задовольняють локальній умові Ліпшица по z, яке переводить процес, де z(t) визначений в (12), з початкового стану у множину з імовірністю 1, де, , , і щоб при цьому мінімізувався в порівнянні з іншими керуваннями із раніше визначеної множини допустимих керувань U функціонал якості

, (13)

де – випадковий момент попадання в множину;

b(z,x,t) – невід’ємна, обмежена та неперервно диференційовна на функція;–

неперервна за сукупністю змінних функція.

Визначимо оптимальний функціонал якості або оптимальний функціонал ціни:

.

Теорема 4.1. Нехай z(t) є керованим напівмарковським процесом ризику, визначеним у (12), C(z,x,T,u) – функціонал якості (ціни), визначений в (13), – цільова множина, де,.

Допустиме керування, , якому відповідає оптимальна якість (ціна), є оптимальним тоді і тільки тоді, коли C0 задовольняє рівняння

(14)

де, , , оператор – твірний оператор марковського процесу.

Рівняння (14) назвемо рівнянням Беллмана для напівмарковського процесу ризику.

Приклад 4.1. z(t) – розв’язок рівняння (12), (z,x,u)= (x)(z+u), z+u>0, де (x) – додатна, обмежена, неперерна функція; z – початковий скінченний параметр,; критерій якості з функцією k(z,x,t,u)=h(x,t)z2+ (x,t)u2, де h(x,t), (x,t) – додатні, обмежені, неперервні функції;

C0(z,x,t)=b(x,t)z2, ,

,

де G0=[0,z0), , , b(x,t) – додатна, обмежена, неперервна, неперервно диференційовна по t невідома функція.

Для знаходження функції b(x,t) отримуємо диференціальне рівняння типу Ріккаті.

У підрозділі 4.2 будуються оптимальні стохастичні керування напівмарковськими процесами ризику.

Розглядається задача оптимального стохастичного керування, що полягає у виборі такого керування, яке переводить процес (z(t),x(t), (t)) з початкового стану (z,x,T) у множину з імовірністю 1, де U – компактна множина допустимих керувань у просторі дійсних неперервних функцій на, що задовольняють локальній умові Ліпшица по z, G0=(0, z 0), , , z(t) – керований напівмарковський процес ризику, визначений в (12), і при цьому вимагається, щоб процес зупинився в момент, коли він вийде з множини G0=(0, z 0). Щоб розв’язати поставлену задачу, кожному керуванню зіставляється критерій якості:

, (15)

де – момент першого попадання в множину або момент припинення керування, якщо цей момент наступить раніше.

Теорема 4.2. Нехай b(z,x,T)=0 і V(z,x,T) – деяка функція, визначена на, така, що V(z,x,T) невід’ємна та неперервна на, V(z,x,T)=0 на, , V(z,x,T); dV/dz – неперервна та обмежена функція по z на;

, ,

де – інфінітезимальний оператор процесу, що відповідає керуванню u; – момент першого попадання в множину або момент припинення керування, якщо цей момент наступить раніше.

Припустимо, що при з імовірністю 1.

Тоді існує деяка неспадна послідовність марковських моментів зупинки, що задовольняє умовам:

з імовірністю 1,

,

.

При цьому

V(z,x,T).

Теорема 4.3. Нехай V(z,x,T) є неперервною, невід’ємною функцією на і V(z,x,T) на, V(z,x,T); – неперервна та обмежена функція по z на;

, (z,x,T).

Припустимо, що з імовірністю 1. Тоді існує неспадна послідовність марковських моментів зупинки така, що

з імов. 1,

,

.

При цьому

V(z,x,T)=C(z,x,T,u).

У наступній теоремі порівнюється значення критерію якості, визначеного в (15), що відповідає керуванню u, із значенням цього критерію якості для інших допустимих керувань.

Нехай – керування, що переводить процес з початкового стану в множину з імовірністю 1, де U – компактна множина допустимих керувань, , ,; – момент першого попадання в множину або момент припинення керування, якщо цей момент наступить раніше.

Теорема 4.4. Нехай керування u і такі, що і з імовірністю 1.

Нехай V(z,x,T) – невід’ємна, неперервна функція, така, що

V(z,x,T)=b(z,x,T) на ,

V(z,x,T)

V(z,x,T),

dV/dz – неперервна та обмежена функція по z,

(z,x,T).

Нехай для керувань u і виконуються умови:

LuV(z,x,T)=-k(z,x,T,u)<0, (z,x,T),

V(z,x,T)> -k(z,x,T,), (z,x,T),

де k(z,x,T,)>0.

Припустимо, що існують такі послідовності марковських моментів зупинки і для керувань u і, відповідно, які задовольняють умовам теореми 4.3. Тоді

V(z,x,T)=C(z,x,T,u)<C(z,x,T,), (z,x,T).

У підрозділі 4.3 досліджується задача оптимального стохастичного керування напівмарковськими процесами ризику в схемі усереднення.

Нехай

zе(t)=z+, (16)

де керування такі, що, – компактна множина допустимих керувань в просторі дійсних неперервних функцій на, для яких виконується умова Ліпшица по z, і

. (17)

Усереднений процес ризику, що відповідає керуванню, визначеному в (17), і є слабкою границею в при процесу zе(t) в (16), задається розв’язком рівняння

, (18)

де,

, ,

,.

Введемо позначення:

– інфінітезимальний оператор процесу, , що відповідає керуванню u, де оператор визначений в (7); ;

(19)

– інфінітезимальний оператор усередненого процесу ризику в (18), що відповідає керуванню u, де функція та константа визначені в (18).

Визначимо допоміжні функції таким чином:

,

де функція;

є розв’язком рівняння

;

оператор визначений в (19), а

.

Визначимо функціонал критерію якості для процесу, визначеного в (18):

, (20)

де функція – неперервна і невід’ємна.

Визначимо далі функцію таким чином, що

де, і рівність виконується для деякого керування, що мінімізує критерій якості, визначений в (20).

Тоді введемо сім’ю функцій вигляду

таких, що

,

і розглядатимемо задачу оптимальної стабілізації напівмарковського процесу ризику zе(t), визначеного в (16), в розумінні критерію якості

. (21)

Теорема 4.5. Нехай існує невід’ємна функція, що задовольняє умовам теореми 3.3, та керування такі, що задовольняють при, наступним умовам:

,

,

де оператор визначений в (19), z – початковий капітал компанії.

Тоді функція розв’язує задачу про оптимальну стабілізацію напівмарковського процесу ризику zе(t), визначеного в (16), в схемі критерію якості в (21) для достатньо малого та фіксованого, причому

,

де визначений в (20).

Приклад 4.2. Функція;;, , де z – скінченний початковий параметр, , – невідома додатна константа.

Знаходимо і керування, що буде оптимальним для напівмарковського процесу ризику zе(t), визначеного в (16).

У підрозділі 4.4 досліджується задача оптимального стохастичного керування напівмарковськими процесами ризику в схемі дифузійної апроксимації при виконанні умови балансу.

Нехай

, (22)

де керування такі, що, – компактна множина допустимих керувань в просторі дійсних неперервних функцій на, для яких виконується умова Ліпшица по z, і

. (23)

Дифузійний процес ризику, що відповідає керуванню, визначеному в (23), і є слабкою границею в при напівмарковського процесу ризику zе(t) в (22) при виконанні умови балансу , де і визначені в (18), задається розв’язком рівняння

(24)

де – стандартний вінерівський процес,

,

.

Введемо позначення:

– інфінітезимальний оператор процесу, , що відповідає керуванню u, де оператор, визначений в (7);;

, , (25)–

інфінітезимальний оператор дифузійного процесу ризику в (24), що відповідає керуванню u.

Визначимо допоміжні функції таким чином:

,

де функція, а функції і визначаються з рівнянь

,

;

оператор визначений в (25).

Визначимо функціонал критерію якості для процесу ризику в (24):

, (26)

де функція – неперервна та невід’ємна.

Визначимо далі функції, таким чином, що

,

де, і рівність виконується для деякого керування, що мінімізує критерій якості, визначений в (26).

Тоді введемо сім’ю функцій вигляду

,

таких, що,

і розглядатимемо задачу оптимальної стабілізації напівмарковського процесу ризику zе(t), визначеного в (22), в розумінні наступного критерію якості:

. (27)

Теорема 4.6. Нехай існує невід’ємна функція , що задовольняє умовам теореми 3.4, та керування такі, що задовольняють при, умовам

,

,

де оператор визначений в (25), z–початковий капітал.

Тоді функція розв’язує задачу про оптимальну стабілізацію напівмарковського процесу ризику zе(t), визначеного в (22), в схемі критерію якості в (27) для достатньо малого та фіксованого е>0, причому

,

де визначений в (26).

Приклад 4.3. Функція, , , де – додатна, обмежена, неперервна функція, z – скінченний параметр, , , де л –невідома додатна константа.

Знаходимо л>0 і оптимальне керування для процесу ризику zе(t), визначеного в (22), в схемі дифузійної апроксимації при виконанні умови балансу.

ВИСНОВКИ

В роботі досліджувалась стохастична стійкість та оптимальне стохастичне керування напівмарковськими процесами ризику, що мають інтерпретацію напівмарковських випадкових еволюцій.

Методи доведення теорем про стохастичну стійкість та оптимальне стохастичне керування для напівмарковських процесів ризику є удосконаленням відомих методів для марковських систем.

Отримані достатні умови стійкості та експоненційної стійкості, як наслідок, асимптотичної стійкості з імовірністю 1 нульового положення напівмарковських процесів ризику. Ці теореми є узагальненнями теорем Ляпунова про стійкість, асимптотичну стійкість на стохастичні системи.

За умов стійкості нульового положення усередненого процесу ризику та дифузійного процесу ризику, відповідно, встановлюється асимптотична рівномірна по е стійкість з імовірністю 1 нульового положення напівмарковських процесів ризику в схемах усереднення та дифузійної апроксимації при виконанні умови балансу.

Виводиться рівняння Беллмана для напівмарковських процесів ризику, що є модифікацією принципу Беллмана в теорії детерміністичного оптимального керування стосовно задач оптимальної стабілізації стохастичних систем.

Будуються оптимальні стохастичні керування напівмарковськими процесами ризику.

Досліджено задачі оптимального стохастичного керування напівмарковськими процесами ризику в схемах усереднення та дифузійної апроксимації при виконанні умови балансу.

Результати, отримані в роботі, є узагальненням відповідних результатів теорії ризику та теорії напівмарковських випадкових еволюцій.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації:

1. Свіщук А.В., Гончарова С.Я. Оптимальне стохастичне керування процесами ризику//Нелінійні коливання – 1998.– 2. – С. 122–131.

2. Гончарова С.Я. Оптимальне керування процесами ризику в схемі усереднення // Доп. НАН України. – 1999.– №10. – С. 20–24.

3. Свіщук А.В., Гончарова С.Я. Стійкість напівмарковських процесів ризику // Доп. НАН України –1999.–№7. – С. 30–34.

4. Свіщук А.В., Гончарова С.Я. Стійкість напівмарковських процесів ризику в схемах усереднення та дифузійної апроксимації // УМЖ – 1999.–т.51, №7. – С. –979.

5. Гончарова С.Я. Оптимальне стохастичне керування напівмарковськими процесами ризику в схемі дифузійної апроксимації // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат. наук. – 2003.–№1. – С. 15–20.

6. Swishchuk A.V., Goncharova S.Ya. Stochastick stability and optimal control of semi-Markov risk processes // 7th Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistic. – Vilnius. – 1998.– P. 409.

7. Swishchuk A.V., Goncharova S.Ya. Stochastic stability and optimal control of semi-Markov risk processes // The 3-d Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistic – K. – 1999.–P. 148.

8. Гончарова С.Я. Стохастична стійкість та оптимальне стохастичне керування напівмарковськими процесами ризику в схемах усереднення та дифузійної апроксимації // Міжнародна конференція з обчислювальної та прикладної математики, присвячена 80-річчю академіка НАН України І.І. Ляшка. – К., 2002.–С. .

Анотації

Гончарова С.Я. Стохастична стійкість та оптимальне керування напівмарковськими процесами ризику. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. – Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

Досліджуються умови стійкості, асимптотичної та експоненційної стійкості з імовірністю 1 нульового положення напівмарковських процесів ризику. Отримані достатні умови асимптотичної рівномірної по е стійкості з імовірністю 1 нульового положення напівмарковських процесів ризику в схемах усереднення та дифузійної апроксимації. Досліджуються оптимальні стохастичні керування напівмарковськими процесами ризику. Доводиться е -оптимальність керування напівмарковськими процесами ризику в схемах усереднення та дифузійної апроксимації.

Ключові слова: напівмарковський процес ризику, схема усереднення, дифузійна апроксимація, стохастична стійкість, оптимальне стохастичне керування.

Гончарова С.Я. Стохастическая устойчивость и оптимальное управление полумарковскими процессами риска. – Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05– теория вероятностей и математическая статистика.– Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

Исследуются условия устойчивости, асимптотической и экспоненциальной устойчивости с вероятностью 1 нулевого положения полумарковских процессов риска. Получены достаточные условия асимптотической равномерной по е устойчивости с вероятностью 1 нулевого положения полумарковских процессов риска в схемах усреднения и диффузионной аппроксимации. Исследуются оптимальные стохастические управления полумарковскими процессами риска. Доказывается е -оптимальность управления полумарковскими процессами риска в схемах усреднения и диффузионной аппроксимации.

Ключевые слова: полумарковский процесс риска, схема усреднения, диффузионная аппроксимация, стохастическая устойчивость, оптимальное стохастическое управление.

Goncharova S.Y. Stochastic stability and optimal control of semi-Markov risk processes. – Manuscript. Thesis for a candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.05 – theory of probabilities and mathematical statistics. – The Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

The object under investigation is the semi-Markov risk process which describes a dynamic of summary capital of an insurance company.

The semi-Markov risk process is a generalization of classic risk model.

The abstract model of semi-Markov risk process can be represented by a semi-Markov random evolution.

The main attention is paid to the problems of stochastic stability and optimal stochastic control of semi-Markov risk processes.

The thesis consists of introduction, four chapters and references.

In the introduction the importance of the topic is justified, the current stage of the investigations in the field is analyzed and the main results are briefly described.

In the first chapter the review of the literature on a theme of the dissertation and necessary data under the theory of semi-Markov random evolutions and the theory of risk are given.

In the second chapter we study the summary capitals of some insurance company, which are described over semi-Markov risk process.

Algorithms of averaging and diffusion approximations under balance condition with small parameter of a series е>0 of semi-Markov risk processes are considered. Algorithms of averaging and diffusion approximations under balance condition of semi-Markov random evolutions are used.

In the third chapter the theorems on stability, asymptotic and exponential stability of zero state of semi-Markov risk processes with probability one are proved.

We also investigate asymptotic stability uniformly by е with probability one of zero state of semi-Markov risk process in scheme of averaging under condition of stability of zero state of averaged risk process.

Sufficient conditions of asymptotic stability uniformly by е with probability one of zero state of semi-Markov risk process in scheme of diffusion approximation under balance condition are stated. The main of these conditions is stability of zero state of diffusion risk process.

In the fourth chapter the optimal stochastic control for the controlled semi-Markov risk processes is studied.

The Bellman equation for semi-Markov risk processes is derived.

The optimal stochastic control is constructed by cost functional.

Sufficient conditions of optimal stochastic controls over the controlled semi-Markov risk processes in scheme of averaging are stated. One of these conditions is asymptotic stability uniformly by е with probability one of zero state of semi-Markov risk process in scheme of averaging.

The theorem on optimal stochastic controls over the controlled semi-Markov risk processes in scheme of diffusion approximation under balance condition is proved. The necessary condition of this theorem is asymptotic stability uniformly by е with probability one of zero state of semi-Markov risk process in scheme of diffusion approximation under balance condition.

The theory of semi-Markov random evolutions, martingale methods and properties of the respected stochastic Lyapunov functions are used.

The main results of the thesis have been published in 8 scientific publications.

Key words: semi-Markov risk process, scheme of averaging, diffusion approximation, stochastic stability, optimal stochastic control.