Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Хітько Іван Володимирович

УДК 517.977.5; 517.925.51

АНАЛІЗ, ОЦІНКА ТА ОПТИМІЗАЦІЯ

ДИНАМІКИ ПУЧКІВ З ІМПУЛЬСНОЮ ДІЄЮ

01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі моделювання складних систем

факультету кібернетики Київського національного

університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

доктор технічних наук, професор Гаращенко Федір Георгійович

(Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри моделювання складних систем).

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Бойчук Олександр

Андрійович (Інститут математики НАН України, провідний

науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь і теорії коливань);

кандидат фізико-математичних наук Номіровський Дмитро

Анатолійович (Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, доцент кафедри методів

обчислювального експерименту).

Провідна установа:

Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України,

відділ інтелектуальних систем керування динамічними об’єктами, м. Київ.

Захист відбудеться “27” жовтня 2005 р. на засіданні спеціалізованої

Вченої ради Д 26.001.35 Київського національного університету

імені Тараса Шевченка, м. Київ, пр. Академіка Глушкова 6, корп.2,

факультет кібернетики, ауд. 40 о 15:30 год.

З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка,

м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “26” вересня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої Вченої ради Д 26.001.35 П.М.Зінько

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В багатьох прикладних задачах виникає необхідність враховувати елементи невизначеності характеристик системи. Один з підходів до розв'язування таких задач полягає в тому, щоб при відсутності точної інформації про початковий стан системи, розглядати деяку множину, з якої можуть вибиратися початкові значення. Тоді динаміка системи описується множинами можливих станів. У задачах оптимізації таких систем функціонал якості часто є функцією максимуму за початковими даними. Крім того, значній кількості прикладних задач притаманна наявність короткотривалих процесів або на систему діють зовнішні сили, тривалістю яких можна знехтувати при складанні відповідних математичних моделей. Таким чином, приходимо до задач недиференційованої оптимізації пучка траєкторій, що розвивається в силу системи диференціальних рівнянь з імпульсною дією. На практиці важливо також оцінити область всіх початкових даних, для яких відповідні траєкторії не порушують заданих фазових обмежень на проміжку функціонування системи, тобто є актуальною задача відшукання максимальної, в певному сенсі, області практичної стійкості.

Теорія недиференційованої оптимізації набула розвитку завдяки працям Ф.П.Васильєва, А.М.Гупала, Ю.М.Даніліна, В.Ф.Дем’янова, Ю.М.Єрмольєва, Ф.Кларка, М.М.Моісеєва, О.Г.Наконечного, Б.М.Пшеничного, Р.П.Федоренка, В.В.Федорова, Н.З.Шора та інших вчених. У працях Ю.О.Митропольського, А.М.Самойленка, М.О.Перестюка, О.А.Бойчука, Ю.В.Теплінського, Д.І.Мартинюка, В.Г.Самойленка та інших досліджено значне коло питань теорії диференціальних рівнянь з імпульсною дією. Різні питання оптимізації динамічних систем з імпульсною дією вивчалися у роботах Л.Т.Ащепкова, В.В.Величенка, В.К.Горбунова, С.В.Ємельянова, Д.Я.Хусаїнова, Ф.О.Сопронюка, В.А.Троїцького та ряду інших вчених. В основі розвитку теорії оптимізації динаміки пучків лежать роботи Т.Ф.Ананьїної, Б.М.Бублика, Ф.Г.Гаращенка, М.Ф.Кириченка, О.Б.Куржанського, Д.О.Овсяннікова та їх численних учнів. Однак важливі класи задач, в яких досліджуються проблеми оптимізації пучка траєкторій динамічних систем з імпульсною дією та пов'язані з ними питання побудови чисельних алгоритмів залишаються відкритими. Дана робота присвячена дослідженню питань практичної стійкості та оптимізації динаміки пучків з імпульсною дією.

Використання пучків траєкторій дозволяє моделювати динаміку системи з врахуванням невизначеності при розв'язуванні задач з різних предметних галузей, зокрема в задачах оптимізації динаміки заряджених частинок в прискорюючих та фокусуючих системах. Тому тема дисертації є актуальною як з математичної, так і з прикладної точок зору.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у відповідності до плану наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідної теми ТЗ НДР №01БФ015-05 „Розробка структурованих математичних та програмних технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем” (номер держ. реєстрації 0101U000968), наукових грантів №97508 „Розвиток конструктивної теорії моделювання та оптимального керування складних систем з неповними даними” та №97544 „Розробка проблемно-орієнтованих математичних і програмних засобів моделювання, аналізу та синтезу керованих фізико-математичних систем” Міністерства науки та технологій України з фундаментальних та прикладних досліджень.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методів знаходження оптимальних за включенням множин практичної стійкості розв'язків динамічних систем з імпульсною дією, побудова оптимального керування імпульсними динамічними системами з недиференційованими критеріями якості та параметрична оптимізація функціонала типу максимуму за початковими даними на розв'язках систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією.

Поставлена мета зумовлює такі задачі: *

Сформулювати та довести теореми практичної стійкості імпульсних систем. *

Побудувати та теоретично обґрунтувати алгоритми відшукання максимальних за включенням множин практичної стійкості динамічних систем з імпульсною дією. *

Довести необхідні умови оптимальності керування для імпульсних динамічних систем з недиференційованим критерієм якості. *

Побудувати алгоритми параметричної оптимізації функціонала, який є функцією максимуму за початковими даними на розв'язках імпульсних систем. *

Розробити алгоритмічне та програмне забезпечення для апробації отриманих результатів та провести обчислювальний експеримент.

Об'єктом дослідження є системи диференціальних рівнянь з імпульсною дією, зокрема пучки траєкторій розв'язків таких систем.

Предметом дослідження є практична стійкість розв'язків імпульсних систем, оптимальні за включенням множини практичної стійкості таких систем, оптимальне керування імпульсними системами з недиференційованим критерієм якості, параметрична оптимізація функціоналів типу максимуму за початковими даними на розв'язках систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією.

Методи дослідження. В даній роботі використано методи математичного аналізу, теорії стійкості, оптимального керування та оптимізації, а також чисельні методи.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в дисертації вперше: *

Сформульовано і доведено необхідні, а також достатні умови практичної стійкості розв'язків динамічних систем з імпульсною дією. *

Сформульовано і доведено конструктивні критерії практичної стійкості розв'язків лінійних систем з імпульсною дією. *

Побудовано алгоритми знаходження оптимальних за включенням множин практичної стійкості лінійних імпульсних систем для випадку опуклих або зіркових фазових обмежень. *

Сформульовано і доведено необхідні умови оптимальності для задач керування пучком траєкторій динамічної системи з імпульсною дією для випадку коли функціонал якості є: а) функцією максимуму за початковими даними; б) функцією максимуму за незалежною змінною. *

Побудовано алгоритм параметричної оптимізації функції максимуму за початковими даними для імпульсних динамічних систем. *

Розроблено алгоритмічне та програмне забезпечення для задач оптимізації динаміки заряджених частинок в прискорюючих та фокусуючих системах. Проведено відповідний обчислювальний експеримент.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані для розв'язування задач параметричної оптимізації недиференційованих критеріїв якості на розв'язках динамічних систем з імпульсною дією, при дослідженні задач практичної стійкості таких систем, при розв’язуванні задач оптимізації динаміки пучків у системах прискорення та фокусування, а також інших задач, що моделюються системами диференціальних рівнянь з імпульсною дією.

Особистий внесок здобувача. В публікаціях, що виконані зі співавторами, особистий внесок автора полягав у обговоренні постановок задач, виконанні всіх основних доведень, розрахунків та формулюванні висновків. Співавторам належать постановка задач та рекомендації щодо методів їх розв'язування.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися на наукових семінарах кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, а також на: *

Міжнародній конференції „Dynamical systems modeling and stability investigation” (27–30 травня 2003 р., Київ). *

Десятій міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (13–15 травня 2004 р., Київ). *

11-ій міжнародній конференції по автоматичному управлінню „Автоматика-2004” (27-30 вересня 2004 р., Київ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 7 роботах [1-7], з яких 4 у фахових виданнях [-].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 138 сторінках машинописного тексту, складається з вступу, 4 розділів, висновків, списку використаних джерел з 149 найменувань, 2 додатків та містить 10 ілюстрацій.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність вибраної теми, визначається наукова новизна отриманих результатів та висвітлюється їх теоретична та практична цінність.

В розділі 1 дисертаційної роботи зроблено огляд літератури з тематики дисертації (підрозділ 1.1), описано загальні поняття теорії імпульсних систем (підрозділ 1.2), наведено математичні моделі прикладних задач з різних предметних галузей, що описуються динамічними системами з імпульсною дією (підрозділ .3).

В розділі 2 розглянуто питання практичної стійкості розв'язків динамічних систем з імпульсною дією. В підрозділі 2.1 сформульовано задачі, які розглядаються у розділі 2.

В підрозділі 2.2 доведено достатні умови практичної стійкості розв'язків систем звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією.

В підрозділі 2.3 на практичну стійкість досліджено лінійні імпульсні системи.

Підрозділ 2.4 присвячений дослідженню практичної стійкості лінійних імпульсних систем при наявності постійно діючих збурень.

Доведено критерії практичної стійкості для обох випадків при лінійних та нелінійних фазових обмеженнях.

В підрозділі 2.5 доведено конструктивні умови максимальних за включенням областей практичної стійкості.

Описано алгоритм чисельного розрахунку максимальної за включенням множини практичної стійкості розв'язку лінійної системи диференціальних рівнянь з імпульсною дією, який ґрунтується на доведених критеріях.

В розділі 3 розглянуто задачі оптимального керування динамічними системами з імпульсною дією з недиференційованими критеріями якості та задачі структурно-параметричної оптимізації таких систем. У підрозділі 3.1 сформульовано постановки задач, що розглядаються в розділі 3 та показано методику параметризації керування, переходячи, таким чином, від задач оптимального керування у класі кусково-неперервних функцій до скінченновимірних оптимізаційних задач. Такий підхід є конструктивним і дає змогу визначити оптимальні фізично реалізуємі режими. В підрозділі 3.2 доведено необхідні умови оптимальності керування імпульсною системою для випадку, коли функціонал якості є функцією максимуму за початковими умовами та функцією максимуму за незалежною змінною.

В підрозділі 3.3 виведено формули для обчислення частинних похідних першого порядку за параметром від функції максимуму за початковими даними на розв'язках динамічних систем з імпульсною дією та побудовано алгоритм мінімізації цієї функції.

Розділ 4 присвячений оптимізації динаміки заряджених частинок в прискорюючих та фокусуючих системах. У підрозділі 4.1 приводяться рівняння руху частинок в електромагнітних полях та формулюються постановки задач. У підрозділі 4.2 розглядається задача мінімізації енергетичного розкиду на виході прискорювача. Підрозділ 4.3 присвячений задачі мінімізації на виході прискорювача енергетичного розкиду та розкиду за радіальними складовими. В підрозділі 4.4 розглянуто задачу максимального захвату частинок в процес прискорення. Опис розробленого програмного забезпечення та проведеного обчислювального експерименту наведено у підрозділі 4.5. Програмне забезпечення розроблялося на ANSI С++ (ISO/IEC 14882, Standard for C++ Programming Language) з використанням системи MDS (www.soft.unicyb.kiev.ua). Всі засоби, які використовувалися при розробці програмного забезпечення, є opensource та freeware.

У висновках сформульовано основні результати дисертації. У додатку А приведено результати обчислювального експерименту в табличній та графічній формах. Опис основних програмних модулів міститься в додатку Б.

ВИСНОВКИ

В дисертації отримано нові науково обґрунтовані результати в галузі структурно-параметричної оптимізації, оптимального керування та аналізу практичної стійкості динаміки пучків з імпульсною дією. Вони можуть бути використані при розв'язуванні задач оцінки областей практичної стійкості розв'язків динамічних імпульсних систем, а також для задач параметричної оптимізації та оптимального керування динамікою пучків імпульсних систем з недиференційованими критеріями якості, зокрема для оптимізації динаміки пучка заряджених частинок в прискорюючих та фокусуючих системах.

Основними результатами дисертаційної роботи є: *

Доведено теореми про практичну стійкість динамічних систем з імпульсною дією при відсутності та при наявності постійно діючих збурень. *

На основі поняття стійкості за напрямком приведено критерії для розрахунку оптимальних за включенням множин практичної стійкості розв'язків лінійних імпульсних систем. Розроблено алгоритми чисельного розрахунку цих областей для опуклих та зіркових фазових обмежень. *

Доведено необхідні умови оптимальності керування імпульсними системами для функціонала якості у вигляді: а) функції максимуму за початковими умовами; б) функції максимуму за незалежною змінною. *

Виведені формули для обчислення похідних за напрямком одиничного вектора від функції максимуму за початковими даними на розв'язках динамічних систем з імпульсною дією. Розроблено чисельний алгоритм мінімізації даної функції. *

Розроблено чисельні методи мінімізації розкиду частинок за енергією, радіальними координатами та їх швидкостями на виході прискорювача у прискорюючих та фокусуючих системах. Проведено відповідний обчислювальний експеримент.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

. Гаращенко Ф.Г., Хитько И.В. Практическая устойчивость импульсных систем // Кибернетика и вычислительная техника. – 2003. – Вып. 138. –
С.48–56.

. Гаращенко Ф.Г., Хитько И.В. Максимальные по включению множества практической устойчивости импульсных систем // Кибернетика и вычислительная техника. – 2004. – Вып. 142. – С.65–72.

. Гаращенко Ф.Г., Хітько І.В. Про недиференційовані задачі оптимізації систем з імпульсною дією // Вісник КНУ. Серія кібернетика. – 2005. – № 6. – С.9–14.

. Хітько І.В. Про оптимальне керування імпульсними системами з недиференційованими критеріями якості // Вісник КУ. Серія фіз.-мат. наук. – 2004. – № 4. – С.256–260.

. Хітько І.В. Практична стійкість лінійних динамічних систем з імпульсною дією // Праці міжнар. конф. ``Dynamical systems modeling and stability investigation'' (May 27–30, 2003). – К.: КНУ, 2003. – С.116.

. Хітько І.В. Максимальні по включенню множини практичної стійкості динамічних систем з імпульсною дією // Праці десятої міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука (13-15 травня 2004 р.). – К.: Національний технічний університет України ``КПІ''. – 2004. – С.538.

. Хітько І.В. Про негладкі задачі оптимального керування імпульсними системами // Матеріали 11-ої міжнародної конференції по автоматичному управлінню "Автоматика–2004" (27–30 вересня 2004 р.) – Т. 1. – К: НУХТ, 2004. – С.43.

В роботах, що виконувалися зі співавторами, науковому керівнику професору Гаращенку Ф.Г. належить постановка задач та рекомендації щодо методів їх розв’язування.

АНОТАЦІЯ

Хітько І.В. Аналіз, оцінка та оптимізація динаміки пучків з імпульсною дією. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

В дисертаційній роботі розглядаються задачі практичної стійкості та оптимізації динаміки пучків з імпульсною дією. Проведено аналіз практичної стійкості імпульсних систем без збурень та з постійно діючими збуреннями. Для опуклих та зіркових фазових обмежень доведено конструктивні умови максимальних за включенням множин практичної стійкості. Доведено необхідні умови оптимальності керування імпульсними системами з функціоналом якості типу: а) функції максимуму за початковими даними; б) функції максимуму за незалежною змінною. Побудовано ітераційні процедури параметричної мінімізації функції максимуму за початковими даними на розв’язках імпульсних динамічних систем. Розроблену методику застосовано до моделювання оптимальної динаміки заряджених частинок.

Ключові слова: імпульсні системи, практична стійкість, оптимальне керування, недиференційована оптимізація, пучок.

АННОТАЦИЯ

Хитько И.В. Анализ, оценка и оптимизация динамики пучков с импульсным воздействием. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 – системный анализ и теория оптимальных решений. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов практической устойчивости и оптимизации динамики пучков с импульсным воздействием, а также построению алгоритмов для решения этих задач.

В первом разделе сделан обзор литературы по данной тематике, описаны общие понятия теории импульсных системы, приведены некоторые прикладные задачи, которые моделируются системами дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, сформулированы задачи, которые исследуются в работе.

Второй раздел посвящен вопросам исследования задач практической устойчивости импульсных систем. Исследуются как системы без возмущений, так и системы с постоянно действующими возмущениями. Для общего случая доказаны достаточные условия практической устойчивости. Для линейных систем при выпуклых фазовых ограничениях доказаны необходимые и достаточные условия практической устойчивости, которые имеют конструктивный характер. Также была рассмотрена задача построения максимальных по включению множеств практической устойчивости. Для выпуклых и звездных фазовых ограничений были доказаны конструктивные условия максимальных по включению областей практической устойчивости и разработан соответствующий численный алгоритм.

В третьем разделе рассматриваются задачи оптимального управления импульсными системами с недифференцированными критериями качества и задачи структурно-параметрической оптимизации функции максимума по начальным данным на решениях импульсных систем. На основе игольчатой вариации управления доказаны необходимые условия оптимальности функционала типа функции максимума: а) по начальным данным; б) по независимой переменной. На практике часто применяют методику параметризации управления и переходят к конечномерным задачам структурно-параметрической оптимизации. Для решения таких задач были выведены формулы вычисления производной от критерия качества по направлению единичного вектора. На основе этих формул были построены итерационные процедуры улучшения параметров.

В четвертом разделе проведена апробация результатов работы на примере задачи оптимизации динамики заряженных частиц в ускоряющих и фокусирующих системах. Рассмотрены задача минимизации энергетического разброса на выходе ускорителя, задача минимизации энергетического разброса и разброса по радиальным компонентам, задача максимизации захвата частиц в процесс ускорения. Описано разработанное программное обеспечение и приведены результаты вычислительного эксперимента.

Коды основных программных модулей и результаты вычислительного эксперимента в графической и табличной формах приведены в приложениях.

Ключевые слова: импульсные системы, практическая устойчивость, оптимальное управление, негладкая оптимизация, пучок.

ANNOTATION

Khitko I.V. – Analysis, estimation and optimization of beams dynamics with impulse influence. – Manuscript.

Thesis of degree of Candidate of Science (PhD) in Physics and Mathematics, the speciality 01.05.04 – system analysis and theory of optimal solution. – Kiev National Taras Shevchenko University, Kiev, 2005.

Problems of practical stability and optimization of beams dynamics with impulse influence are considered. The systems without disturbances and with standing disturbances are investigated. The necessary and sufficient conditions of practical stability of impulse systems are received. For convex and star-shaped phase restrictions the constructive conditions maximal behind inclusion of areas of practical stability are proved. The necessary conditions of non-differential optimal control are proved. The iterative procedures of parametrical minimization of function of a maximum on the initial data are constructed. The developed technique is applied to modeling of optimal dynamics of the charged beams.

Key words: impulse systems, practical stability, optimal control, non-differentiable optimization, beam.