Національна академія наук

Інститут математики

ІЧАНСЬКА Наталія Василівна

УДК 517.95

ЛІЇВСЬКА ТА УМОВНА СИМЕТРІЇ ДЕЯКИХ НЕЛІНІЙНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Полтавському національному технічному

університеті імені Юрія Кондратюка МОН України.

Науковий керівник: доктор фіз.-мат. наук, професор

СЄРОВ Микола Іванович,

Полтавський національний технічний

університет іІмені Юрія Кондратюка,

завідувач кафедрою вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат наук, професор

Білоколос Євген Дмитрович,

Інститут магнетизму НАН України ,

завідувач відділу теоретичної фізики;

кандидат фіз.-мат. наук

Спічак Станіслав Вікторович,

Інститут математики НАН України,

старший співробітник відділу

прикладних досліджень.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, (кафедра інтегральних та диференціальних рівнянь)

Захист відбудеться 14 червня 2005 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституту математики НАН України за адресою: 252601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту Математики НАН України.

Автореферат розісланий 12 травня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ПЕЛЮХ Г.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. При дослідженні різних явищ природи часто при-ходять до математичних моделей у вигляді диференціальних рів-нянь. З виникненням і наступним розвитком теорії ди-фе-рен-ціаль-них рів-нянь природознавство дістало ефективний за-сіб моделювання та дос-лідження різноманітних задач науки та тех-ніки.

Явища, які вивчаються в гідродинаміці, теорії пружності, елек-тро--ди-на-мі-ці, теорії теплопровідності, квантовій механіці, атом-ній фі-зиці тощо, описуються рівняннями математичної фі-зи-ки. Методи інтегрування диференціальних рівнянь почали ін-тен-сив-но розроблятись після появи “Математичних початків на-ту-раль-ної філософії” І. Ньютона в процесі дослідження проблем всесвітнього тяжіння і тео-рії світла. Розквіт методів класичної математичної фізики по-в’я-за-ний із прізвищами Ж. Лагранжа, Л. Ейлера, Ж.Л. д’Алам-бе-ра, П.С. Лапласа, Д. Бернуллі, Ж. Фур’є, М.В. Остроградського, А.М. Ляпунова, С. Лі та багатьох інших. Одним із таких методів є метод Софуса Лі, в основі якого лежить принцип симетрії. Метод грунтується на знаходженні та застосуванні операторів алгебри інваріантності (си-мет-рії Лі) ди-фе-рен-ціаль-но-го рівняння для знаходження його точ-них роз-в’яз-ків.

Багато дослідників використовували і розвивали теорію С. Лі. Впер-ше ідеї Лі були застосовані Пуанкаре (1905 р.) до системи рів-нянь Максвела. У 1918 році Е.Ньотер довела дві важливі теорії, які по-в’я-за-ли групи симетрії з законами збереження. Г. Бейтман ефективно використав симетрію лінійного хвильового рів-нян-ня для одер-жан-ня його точних розв’язків. Роботи В.І. Смір-но-ва і С.Л. Соболєва ( 1932 р.) були присвячені побудові та застосуванню функціонально-інваріантних розв’язків лінійного хвильового рівняння. Тривалий період результати С. Лі щодо гру-по-во-го аналізу диференціальних рівнянь з частинними похідни-ми за-ли-ша-ли-ся маловідомими. Г. Бірк-гоф першим наголосив на їх важливості і прин-циповій можливості застосування теорії груп у механіці. Подальший розвиток метод С. Лі набув у роботах Л.В. Овсяннікова і його школи, якими була створена теорія інваріантних і частково-інваріантних розв’язків диференціальних рівнянь. Важливі результати були одержані Дж. Блуменом та І.Д. Коулом, У. Міллером, П. Олівером, Н.Х. Ібрагімовим, П. Він-тер-ні-цем. В Україні перші роботи на цю тему були опубліковані львівським математиком В.Г. Костенком наприкінці 50-их років. Про-від-ну роль у цих дослідженнях відіграла українська школа теоретико-алгебраїчного аналізу, що була заснована В.І. Фущичем. Ма-те-ма-тич-ни-ми основами теорії симетрії займалися українські математики П.І. Голод, А.У. Клімик.

В.І. Фущичем та А.Г. Нікітіним розроблено новий підхід до дослідження алгебр інваріантності диференціальних рівнянь, головна відмінність якого від класичного полягає в тому, що базисні елементи алгебри інваріантності даних рівнянь є інтегро-диференціальними операторами. Цей метод дослідження симетрійних властивостей рівнянь дозволив знайти нові симетрії багатьох добре відомих рівнянь квантової механіки: Дірка, Максвела, Ламе тощо.

Виявляється, що є цілі класи рівнянь, що широко застосовуються при описанні конкретних фізичних процесів, які не володіють ліївською симетрією, а це означає, що стандартний метод Лі для них є малоефективним. І тому актуальною стала задача узагальнити метод Лі з метою побудови принципово нових анзаців і точних розв’язків, які не можуть бути отримані стандартним алгоритмом Лі. В 1969 році Дж. Блумен і І.Д. Коул ввели поняття некласичної симетрії, яка дала можливість знаходити оператори інваріантності диференціальних рівнянь, відмінні від операторів С. Лі. Продовження розвитку ідей Блумена і Коула спостерігається в роботах Олівера та Розенау, В.І. Фущича і І.М. Цифри. На основі цих досліджень в роботах В.І. Фущича, В.І. Чопика та М.І. Сєрова було розроблено новий метод знаходження симетрії. За допомогою цього методу можна виділити такі підмножини розв’язків диференціального рівняння, симетрія яких ширша, а іноді зовсім відрізняється, від симетрії всієї множини його розв’язків.

Принципи симетрії відіграють фундаментальну роль у природознавстві. Закони збереження енергії, імпульсу, моменту кількості руху є наслідком однорідності, ізотропності чотиривимірного простору – часу. По відношенню до диференціальних рівнянь, симетрію можна також розглядати як принцип, за допомогою якого із найрізноманітніших логічно допустимих моделей (рівнянь, співвідношень) відбираються тільки ті, котрі володіють широкою симетрією. Це пов’язано перш за все, з тим, що основні фізичні закони, рівняння руху, різні математичні моделі володіють явною чи неявною, геометричною чи негеометричною, локальною чи нелокальною симетріями. Усі класичні рівняння математичної фізики (рівняння Ньютона, Лапласа, д’Аламбера, Шредінгера, Ліувілля, Дірка, Максвела і т.д.) інваріантні відносно достатньо широких груп перетворень. Саме ця властивість виділяє їх із множини інших диференціальних рівнянь.

Побудова конструктивного математичного апарату, здатного виявляти різні типи симетрій, - одна з найважливіших задач якісної теорії диференціальних рівнянь. Не менш важливою є задача, в деякому змісті обернена до сформульованої вище: по заданій групі перетворень побудувати математичні моделі (рівняння чи системи), що володіють зазначеною симетрією. Розв’язанню таких актуальних задач і присвячена дана дисертація.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень кафедри вищої математики Полтавського національного технічного університету імені Юрія Кондратюка.

Мета і задачі досліджень. Мета дисертації – це проведення класифікації нелінійних рівнянь еволюційного типу для скалярних та векторних полів відносно розширеної конформної алгебри та алгебри Галілея. Дослідження умовної інваріантності (1+2)- вимірних рівнянь теплопровідності.

Загальна методика досліджень. В роботі використовуються тео-ре-тико-алгебраїчні методи математичної фізики, методи теорії дифе-ренціальних рівнянь.

Наукова новизна. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, наступні:

1. Реалізовано задачу повного опису операторів Q-умовної інваріант-ності нелінійних (1+2)-вимірних рівнянь теплопровідності. От-ри-мані Q-умовні оператори використано для редукції відповід-них рівнянь до диференціальних рівнянь з двома незалежними змінними. Показано, що наслідком Q-умовної симетрії для деяких рівнянь такого типу є можливість розділення змінних та проведення анти редукції.

2. Знайдено в явному вигляді широкі класи інволютивних мно-жин двох операторів Q- умовної симетрії нелінійних рівнянь теп-ло-про-відності. Проведено редукцію та побудовано деякі роз-в’яз-ки цих рів-нянь.

3. Розв’язано обернену задачу симетрійної класифікації для еволюційних рівнянь та систем довільного порядку. Побудовано нелінійні еволюційні рівняння та системи довільного порядку, що інваріантні відносно розширеної конформної алгебри.

4. Проведено повну групову класифікацію деяких класів нелінійних еволюційних рівнянь другого, третього та довільного порядку. Для рівняння другого порядку, що виокремлюються найширшою симетрією в цьому класі, проведено редукцію та побудовано деякі класи його точних розв’язків.

5. Досліджено симетрій ні властивості системи (1+2)-вимірних рівнянь теорії проникання, що описує адіабатичний рух нев’язкої стисливої рідини у випадку відсутності та наявності масових сил. Знайдено системи інваріантні відносно узагальненої алгебри Галілея при відсутності та наявності осьової симетрії.

6. Проведено повну класифікацію квазілійних систем еволюційних рівнянь третього порядку інваріантних відносно алгебри Галілея та її розширень операторами масштабних та проективних перетворень.

Практичне значення отриманих результатів.. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути використані при розв'язуванні ряду конкретних задач теорії диференціальних рівнянь, теорії проникання, тепло-про-від-нос-ті, дифузії, та деяких інших.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального напрямку дослідження, а також постановка задач належать науковому керівнику доктору фіз.-мат. наук, професору М.І. Сєрову. Конкретне розв’язання поставлених задач, доведення всіх результатів дисертації здійснювалось безпосередньо автором.

В роботах, які опубліковано разом з іншими авторами і включено до автореферату, особистий внесок дисертанта такий. У роботі [3] М.І. Сєрову належить загальна постановка задачі і аналіз отриманих ре-зультатів, дисертанту – доведення теорем про симетрійну кла-си-фі-кацію та проведення редукції дослідженої системи; в праці [4] М.М. Сєровою прокласифіковано еволюційне n-вимірне рівняння від-носно розширеної конформної алгебри, дисертантом – до-слід-же-но симетрійні властивості (1+2)-вимірного рівняння та проведена ре-дукція даного рівняння до рівнянь з меншою кількістю не-за-леж-них змінних; в роботах [5, 7] М.І. Сєрову належить загальна пос-та-нов-ка задачі та уточнення деяких формулювань теорем і твер-джень, дисертанту – доведення всіх теорем та розв’язання поставлених задач, Л.О. Тулуповій проведення редукції отриманих сис-тем до систем з меншою кількістю незалежних змінних; у ро-бо-тах [6, 8] М.М. Сєровій належить загальна постановка й уточнення де-яких формулювань теорем і тверджень, дисертанту – розв’язання за-дачі.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної ро-бо-ти доповідалися і обговорювалися на семінарах кафедри вищої ма--те-ма-ти-ки Полтавського національного технічного університету іме-ні Юрія Кондратюка, відділу прикладних досліджень і відділу ди-фе-рен-ціаль-них рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України, на ІІ Міжнародній конференції “Symmetry in Non-li-near Mathematical Physics” (м. Київ, 1997), на Всеукраїнській нау-ко-вій конференції “Нові підходи до розв’язання диференціальних рів-нянь” присвяченій 70-річчю від дня народження професора В. Ско-ро-багатька (м. Дрогобич, 1997).

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел із 115 най-ме-ну-вань. Об’єм роботи – 148 сторінок машинописного текс-ту.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність теми, сформульовано ос-нов-ні поняття та визначення, що використовуються в роботі, зроблено ко-роткий опис змісту та результатів дисертації.

У першому розділі обгрунтовано вибір напрямку досліджень і здійс-нено постановку задач, які розв’язано в дисертації. Також опи-са-но основні етапи розвитку наукової думки щодо групового аналізу ди-ференціальних рівнянь та подано огляд праць, які стосуються цієї проблеми.

У другому розділі розглядається клас нелінійних (1+2)-вимірних рів-нянь теплопровідності вигляду

H(u)u0+u=F(u), (1)

де та –

довільні гладкі функції. Для цього класу отримано наступні результати.

Уточнено групову класифікацію в класі рівнянь (1). Знайдено всі додаткові перетворення еквівалентності між випадками, в яких рівняння вигляду (1) допускає розширення групи симетрії.

Проведено повний опис операторів Q-умовної інваріантності для класу рівнянь (1). В дисертації доведена наступна теорема.

Теорема 1. Будь-який оператор Q-умовної симетрії нелінійного рівняння теплопровідності (1) або є еквівалентним оператору ліївської симетрії цього рівняння, або з точністю до перетворень з групи еквівалентності та додаткових перетворень є еквівалентним одному з наступних операторів:

1. у випадку ;

2. , де ,

, ;

3. , де ,

, ,.

Тут , , ,  — довільні сталі.

Знайдені оператори використано для побудови анзаців та проведення редукції відповідних рівнянь до диференціальних рів-нянь з двома змінними. Показано, що наслідком Q- умовної симетрії для рівнянь такого типу є можливість побудови рівнянь в роз-ді-ле-них змінних та проведення антиредукції.

Для класу (1) знайдено в явному вигляді широкі класи ін-во-лю-тив-них множин двох операторів Q- умовної симетрії. Отримані ре-зуль--тати повністю описуються такими тео-ре-ма-ми.

Теорема 2. Будь-яка множина операторів

-умовної симетрії нелінійного рівняння теплопровідності (1) або є ек--ві-валентною мно-жи-ні операторів ліївської симетрії цього рів-нян-ня, або з точністю до перетворень з групи ек-ві-ва-лент-нос-ті та до-дат-кових перетворень є еквівалентною одній з множин, які на-ве-де-ні ниж-че:

1. , де , , ;

2. , де , ,

, .

Тут  — довільний многочлен третього по-ряд-ку відносно ,  — сталі вектори такі, що , .

Теорема 3. Будь-яка множина двох операторів -умовної симетрії

нелінійного рівняння теплопровідності (1) або є еквівалентною мно-жи-ні операторів ліївської симетрії цього рівняння, або з точністю до перетворень еквівалентності та додаткових перетворень є ек-ві-ва-лентною одній з множин з таблиці .

Отримані для рівнянь класу) інволютивні множини двох операторів -умовної інваріантності використано для побудови анзаців, проведення редукції, що дало змогу знайти суттєво нові точні розв’язки даного рівняння (суттєво нові в тому розумінні, що їх не можна отримати стандартним методом Лі).

По відомих операторах ліївської та -умовної інваріантності (1+1)-вимірного рівняння теплопровідності одержано оператори -умовної інваріантності (1+)-вимірного рівняння теплопровідності.

Tаблиця 1

| Оператори | Зауваження

| | , |

| | , |

| | , |

| | , |

| | , |

| | , |

| | , |

| | , |

Тут , , , , , , , — довільні сталі, — гладка фун--кція,  — ортогональні вектори, — функція Вейєрштрасса, .

У третьому розділі дисертації розв’язано задачу побудови ма-те-матичних моделей, які описуються еволюційними рівняннями чи сис-темами, що володіють зазначеною симетрією, для рівнянь вигляду

(2)

тут і далі , , , — сукупність всіх по-хід-них функції по змінній до порядку , — довільна гладка функ-ція.

Отримано повний опис рівнянь з класу (2), які є інваріантними від-носно алгебри

(3)

Оператори (3) є реалізацією алгебри . Оскільки є алгеброю конформної групи одновимірного простору, то ал-гебру надалі будемо називати розширеною кон-форм-ною алгеброю і позначати . Оскільки ми розглядаємо кон-крет-ну реалізацію (3) алгебри, то під інваріантністю рівняння чи сис-теми рівнянь відносно алгебри ми розуміємо ін-ва-ріант-ність відносно її реалізації (3).

Зауважимо, що для конкретних рівнянь можуть виникати реалі-зації подібні до (3), де у виразах для , при других до-дан-ках стоїть ненульовий коефіцієнт . Але такі реалізації зводяться до (3) локальними перетвореннями .

Також обернену задачу симетрійної класифікації розв’язано для класу систем еволюційних рівнянь вигляду

(4)

де — довільні гладкі функції, , .

Використовуючи класичні результати Лі щодо диференціальних інваріантів груп перетворень, які діють на площині, доведено наступні твердження.

Теорема 4. Рівняння 2) інваріантне відносно алгебри тоді і тільки тоді, коли воно має вигляд

(5)

де , , - довільна гладка функція, від-по-від---них аргументів.

Теорема 5. Системи з класу 4) інваріантні відносно алгебри

тоді і тільки тоді, коли вони мають вигляд:

(5)

де , , , (суми по індексу немає) , , ,

В підрозділі 3.2 розв’язано задачу групової класифікації для рівнянь, які належать до класу рівнянь) і мають вигляди:

(6)

(7)

Доведено, що найбільш широкою симетрією в класі (6) та (7), з точністю до групи перетворень еквівалентності, володіють рівняння

Третій підрозділ присвячено повній груповій класифікації рівнянь

(8)

де , — довільна гладка функція змінної , тобто функція залежить лише від старшої похідної , причому . Доведено, що найбільш широкою симетрією в класі рівнянь) володіє рівняння, яке з точністю до групи перетворень еквівалентності має вигляд

(9)

На рівняннях вигляду (9) реалізовано максимальну кількість операторів еволюційного рівняння.

В четвертому підрозділі симетрійні властивості рівняння (6) при використано для проведення редукції даного рівняння до звичайних диференціальних рівнянь.

В підрозділі 3.5 розглядаються системи нелінійних рівнянь теплопровідності:

(10)

де , ,  — довільні гладкі фун-кції, , . Система (10) при конкретних не-лі-ній-ностях знаходить широке застосування в теорії процесів теп-ло-про-відності, дифузії, описує еволюцію температури  та гус-ти-ни  у термоядерній плазмі. Приведений повний опис нелінійних сис-тем вигляду (10) інваріантних відносно алгебри та розширеної конформної алгебри

(11)

де , , — довільні сталі. В дисертації до-ве-де-но наступне твердження.

Теорема 6. Система (10) інваріантна відносно алгебри (11) тоді і тіль-ки тоді, коли вона локально еквівалентна одній з наступних систем:

(12)

де , ;

(13)

де ;

(14)

де .

В формулах (12)–(14) , , — довільні гладкі функції.

Четвертий розділ присвячений дослідженню систем рівнянь еволюційного типу інваріантних відносно алгебр Галілея.

У першому підрозділі досліджено симетрійні властивості системи рівнянь теорії проникання

(15)

що описує адіабатичний рух нев’язкої стисливої рідини. Проведено гру-пову класифікацію в класі систем вигляду (15), де довільними еле-ментами вважалися функції , та стала . Вста-новлено максимальну алгебру інваріантності у випадках наяв-нос-ті та відсутності осьової симетрії. З проведеної класифікації вип-ли-ває, що система рівнянь (15) при відсутності осьової симетрії () інваріантна відносно узагальненої алгебри Галілея , якщо , , де , — довільні сталі, а у ви-падку наявності осьової симетрії система (15) інваріантна від-нос-но узагальненої алгебри Галілея при довільній сте-пе-не-вій нелінійності, а саме , , де  — до-віль-ні сталі, причому .

В підрозділі 4.2 розглянуто системи еволюційних рівнянь третього порядку вигляду:

(16)

де , , , , — гладкі функції, , , — сталі, . Система (16) при конкретних нелінійностях зна-хо-дить широке застосування в теорії густих частотних полів, в за-галь-них розтягах і деформаціях скінчених середовищ, подібних до роз-тя-гів Хабла Всесвіту в астрофізиці, в явищах турбулентної дифузії, в про-цесах, пов’язаних з рідинами Ван–дер–Вальса.

Алгеброю iнварiантностi багатьох основних класичних рiвнянь ма-тематичної фізики, таких як рiвняння теплопровiдностi, Шре-дiн-ге-ра, Нав’є-Стокса та iнших, є узагальнена алгебра Галiлея . Тому, виникає питання: при яких виглядах функцій системи (16) володітимуть достатньо широкою симетрією, а саме, що-най-мен-ше будуть інваріантними відносно алгебри Галілея. В підрозділі 4.2 дисертації поставлена і розв’язана задача: знайти такі функції при яких система (16) є інваріантною відносно алгебри Галілея

розширеної алгебри Галілея

та узагальненої алгебри Галілея

де , , , , , — до-віль-ні сталі, — довільні гладкі функції.

В результаті проведених досліджень одержано п’ять суттєво різних систем третього порядку, інваріантних відносно узагальненої алгебри Галілея:

1.

2.

3.

4.

5.

де – довільні сталі. Доведено, що у класі сис--тем третього порядку 16) лише дані системи є інваріантними від-носно узагальненої алгебри Галілея. В зв'язку з тим, що вказані сис--теми інваріантні відносно узагальненої алгебри Галілея, вони мо-жуть претендувати на описання реальних фізичних процесів. Заз-на-чи-мо, що система 1 застосовується при описі солітонових процесів, а друга, при , є системою рівнянь Бусінеска, яка опи-сує хвильові процеси.

Висновки

Вивчення симетрійних властивостей рівнянь і систем ди-фе-рен-ціаль-них рівнянь та класифікація їх у залежності від вигляду не-лі-ній-нос-тей є однією з найважливіших проблем теорії ди-фе-рен-ціаль-них рівнянь. Особливу увагу привертають задачі про знаходження ін-варіантних розв’язків рівнянь та систем. Реалізація таких задач і про-водилась у дисертаційній роботі.

Основними результатами, які отримано в дисертації є нас-туп-ні:

1. Для (1+2)-вимірних нелінійних рівнянь теплопровідності про-ведено повний опис операторів -умовної ін-ва-ріант-нос-ті. Отримані оператори використано для редукції відповідних рів-нянь до диференціальних рівнянь з двома незалежними змін-ними.

2. Проведено вичерпний опис інволютивних множин -умов-них операторів вигляду , та . Запропоновано деякі, суттєво нові, розв’язки цього рівняння.

3. Розв’язано обернену задачу симетрійної класифікації для ево-люційних рівнянь та систем довільного порядку. По-бу-до-ва-но нелінійні еволюційні рівняння та системи довільного по-рядку, що інваріантні відносно розширеної конформної ал-геб-ри.

4. Розв’язано задачу групової класифікації класів ево-лю-цій-них рівнянь (6)(8) другого, третього та довільного порядків, від-повідно. Для рівняння, що виокремлюється найширшою си-метрією в класі рівнянь другого порядку, проведено ре-дук-цію та побудовано деякі класи точних розв’язків.

5. Досліджено симетрійні властивості системи рівнянь теорії про-никання, що описує адіабатичний рух нев’язкої стисливої рі-дини у випадку відсутності та наявності масових сил, вста-нов-лено нелінійності, при яких дана система інваріантна від-нос-но узагальненої алгебри Галілея у випадках наявності та від-сутності осьової симетрії.

6. Проведено повну класифікацію квазілінійних систем ево-лю-ційних рівнянь третього порядку інваріантних відносно ал-гебри Галілея та її розширень операторами масштабних та про-ективних перетворень.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Ічанська Н.В. Галілеївська інваріантність нелінійної системи еволюційних рівнянь третього порядку // Вісник Київського університету. — 2004. — Т. . — С. –112.

2. Андреєва Н.В. Cиметрійні властивості нелінійної системи рівнянь параболічного типу // Симетрійні та аналітичні методи в математичній фізиці: Зб. наук. пр. НАН України. Інститут математики. — 1998. — Т. . — С. –13.

3. Сєров М.І., Ічанська Н.В. Симетрійні властивості, редукція та точні розв’язки системи рівнянь типу Кортевега–де Фріза // Доповіді НАН України. — 2000. — № . — C. –35.

4. SerovaAndreevaEvolution equations invariant under the conformal algebra // Proceedings of the Second International Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Phisics". — Kyiv: Institute of Mathematics. — 1997. — Vol. . — P. –221.

5. Сєров М.І., Тулупова Л.О., Ічанська Н.В. Симетрійні властивості та редукція системи рівнянь Деві–Стюардсона // Праці Інституту математики НАН України. — 2001. — Т. . — С. –253.

6. Сєрова М.М., Ічанська Н.В. Інваріантність рівнянь теорії проникання відносно розширеної алгебри Галілея // Вісник Київського університету. — Вип. . — 2000. — С. –111.

7. Сєров М.І., Тулупова Л.О., Андреєва Н.В. -умовна симетрія нелінійного двовимірного рівняння теплопровідності // УМЖ. — 2000. — Т. , №  — С. –849.

8. Сєрова М.М., Андреєва Н.В. Cиметрійні властивості узагальненого рівняння Гарі–Діма // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції "Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь", присвяченій 70-річчю від дня народження професора В.Скоробагатька, 15–19 вересня 1997р., м. Дрогобич. — Київ: Інститут математики НАН України. — 1997. — С. .

Анотації

ІЧАНСЬКА Н.В. “ Ліївська та умовна симетрії деяких нелінійних еволюційних рівнянь ”. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико–ма-тематичних наук зі спеціальності 01.01.02 — диференціальні рів-нян-ня. Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

Дисертацію присвячено дослідженню симетрійних влас-ти-вос-тей нелінійних еволюційних рівнянь та знаходженню їх точних роз-в’яз-ків. Досліджено -умовну симетрію (1+2)-вимірних рівнянь теп-лопровідності. Розв’язано обернену задачу симетрійної кла-си-фі-ка-ції і побудовано нелінійні еволюційні рівняння та системи -го по-рядку інваріантні відносно розширеної конформної алгебри. Дос-лід-жено симетрійні властивості системи рівнянь теорії проникання, що описує адіабатичний рух нев’язкої стисливої рідини у випадку від-сутності та наявності масових сил при наявності та відсутності осьо-вої симетрії. Проведена повна класифікація квазілінійних сис-тем еволюційних рівнянь третього порядку інваріантних відносно ал-гебри Галілея та її розширень операторами масштабних та про-ектив-них перетворень.

Ключові слова: квазілінійні рівняння, рівняння еволюційного типу, гру--пова класифікація, алгебра Лі, оператор симетрії, точні роз-в’яз-ки.

ИЧАНСКАЯ Н.В. “ Лиевская и условная симметрии некоторых нелинейных эволюционных уравнений ” — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–ма-тематических наук по специальности 01.01.02 — диф-фе-рен-циаль-ные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

Диссертация посвящена исследованию симметрийных свойств не-линейных уравнений эволюционного типа для скалярных и век-тор-ных полей и нахождению их точных решений.

Основные задачи, рассмотренные в работе, — задача на-хож-де-ния операторов -условной инвариантности и задача групповой клас-сификации нелинейных уравнений эволюционного типа для ска-лярных и векторных полей.

Решение задачи нахождения операторов -условной сим-мет-рии интересно тем, что в диссертации проводилось исследование от-но-сительно инволютивных множеств операторов -условной ин-ва-риант-ности. Важно то, что в случае одномерного инволютивного мно-жества проведено полное описание -условных операторов, ко-то-рыми обладает нелинейное (1+2)-мерное уравнения тепло-про-вод-нос-ти. Полученные операторы использованы для проведения ре-дук-ции соответствующих уравнений к дифференциальным уравнениям с двумя неизвестными переменными. Следует отметить, что ре-дук-ция для каждого с полученных операторов имеет свои характерные осо-бенности.

Найдены в явном виде широкие классы инволютивных мно-жеств двух операторов относительно которых нелинейное (1+2)-мер-ное уравнение теплопроводности есть -условно ин-ва-риант-ным. Найденные операторы -условной инвариантности ис-поль-зо-ва-ны для проведения редукции и поиска некоторых решений этого урав-нения.

По заданной группе преобразований построены ма-те-ма-ти-чес-кие модели, которые обладают указанной симметрией. Для эво-лю-цион-ных уравнений и систем решена обратная задача симметрийной клас-сификации, в ходе решения которой получены широкие классы не-ли-нейных эволюционных уравнений и систем произвольного по-ряд-ка, инвариантных относительно расширенной конформной ал-геб-ры. Для выделенных подклассов второго, третьего и -го по-ряд-ков решена задача полной групповой классификации. Для урав-не-ния второго порядка, что принадлежит классу и отличается на-ли-чием самых широких симметрийных свойств в этом классе, мак-си-маль-ную алгебру инвариантности использовано для проведения ре-дук-ции и построения некоторых классов решений.

Для известного обобщения нелинейного уравнения тепло-про-вод-ности на случай системы двух уравнений относительно двух не-извест-ных функций решена задача симметрийной классификации от-носительно расширенной конформной алгебры. Описано не-эк-ви-ва-лентные реализации расширенной конформной алгебры от-но-си-тель-но которых инвариантна эта система.

Исследованы симметрийные свойства системы уравнений тео-рии проникания, которая описывает адиабатическое движение не-вяз-кой сжимаемой жидкости. Проведена групповая классификация в клас-се систем уравнений теории проникания в случае отсутствия и на-личия цилиндрической симметрии. Доказано, что система ин-ва-риант-на относительно обобщенной алгебры Галилея в случае от-сутст-вия цилиндрической симметрии при конкретной степенной не-ли-нейности, а в случае наличия цилиндрической симметрии при про-извольной степенной нелинейности.

Проведена полная классификация квазилинейных систем эво-лю-ционных уравнений третьего порядка инвариантных от-но-си-тель-но алгебры Галилея и ее расширений операторами масштабных и проек-тивных преобразований т.е., среди всевозможных допустимых ма-тематических моделей определенного вида отобрано только те, ко-торые удовлетворяют принцип относительности Галилея. Найде-ны широкие классы квазилинейных систем третьего порядка ин-ва-риантных относительно: алгебры Галилея, расширенной алгебры Га-ли-лея, обобщенной алгебры Галилея. Эти системы в силу наличия ши-роких симметрийных свойств могут быть использованы для опи-са-ния реальных физических процессов.

Ключевые слова: квазилинейные уравнения, уравнения эво-лю-цион-ного типа, групповая классификация, алгебра Ли, оператор сим-метрии, алгебра Галилея, точные решения.

ICHANSKA N.V. “and Conditional Symmetry of Some Nonlinear Evolution Equations ” — Manuscript.

Thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D.), specialization 01.01.02 — Differential equations. Institute of Ma-the-ma-tics, National Academy of Sciences of Ukraпna, Kyпv, 2005.

This thesis is devoted to investigation of symmetry properties of non-li-near evo-lu-tion equations and construction of their exact solutions. The -conditional sym-metry of two-dimensional heat equations is in-ve-sti-ga-ted. The inverse group classification problem is solver for nonlinear evo-lu-tionary equations and -order systems of such equations, which are in-variant with respect to the conformal algebra. Symmetries of systems of equations of penetration theory, which describe adiabatic motion of non-vis-cous compressible fluid, are investigated. Completed classification of third order quasi-linear systems of evolutionary equations invariant with respect to the extended Galilei algebra is carried out.

Key words: quasi-linear equations, equations of evolutionary type, group classification, Lie algebras, symmetry operator, equivalence group, exact solution.

__________________________________________________________

Підписано до друку 04.04.2005. Формат 6090/16. Папір офс. Офс. друк.

Фіз. друк. арк. 1,31. Умов. друк. арк. 1,22.

Тираж 100 пр. Зам. 757. Безкоштовно.

Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка,

36601 Україна, м. Полтава, Першотравневий проспект, 24.