НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ

Жильцов Андрій Володимирович

УДК 621.3.013.22

ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ РОЗРАХУНКУ

МАГНІТНИХ ПОЛІВ У КУСКОВО-ОДНОРІДНИХ

ЛІНІЙНИХ І НЕЛІНІЙНИХ СЕРЕДОВИЩАХ

МЕТОДОМ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Спеціальність 05.09.05 - теоретична електротехніка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної електродинаміки Таврійського національного університету ім. В. І. Вернадського Міністерства освіти і науки України, м. Сімферополь.

Науковий керівник – доктор технічних наук, професор

Стадник Іван Петрович,

завідувач кафедри прикладної електродинаміки

Таврійського національного університету

ім. В. І. Вернадського, м. Сімферополь.

Офіційні опоненти: – доктор технічних наук, професор

Загірняк Михайло Васильович,

ректор Кременчуцького державного

політехнічного університету;

–

Кондратенко Ігор Петрович,

старший науковий співробітник відділу електромагнітних систем

Інституту електродинаміки НАН України, м. Київ.

Провідна установа – Інститут проблем моделювання в енергетиці НАН України (відділ математичного моделювання електромагнітних полів), м. Київ.

Захист дисертації відбудеться "05" квітня 2005 р. о 14-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.187.01 при Інституті електродинаміки НАН України за адресою: 03680, м. Київ-57, проспект Перемоги, 56.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту електродинаміки НАН України (03680, м. Київ-57, проспект Перемоги, 56).

Автореферат розіслано "28" лютого 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.С. Федій

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Вступ. В даний час існують різні підходи і методи розрахунку магнітних полів з урахуванням реальних електрофізичних властивостей матеріалів: метод скінчених різниць, метод скінчених елементів, метод інтегральних рівнянь та інші методи, які ефективно використовуються для розрахунків електромагнітних полів на ЕОМ.

Питаннями розрахунку магнітних полів займалися й продовжують займатися ряд наукових шкіл, численні наукові колективи, вчені та інженери-розроблювачі. Теорія скінченорізницевих методів знайшла вичерпний виклад у монографіях Г. Стренга і Дж. Фіксу, Ж. Обена, Л. Сегерлінда, П. Сільвестера і Р. Феррарі, Л.А. Оганесяна і Л.А. Рухівця, Г.І. Марчука, О.А. Самарського, В.П. Ільїна та ін. Ідея методу інтегральних рівнянь та його первісний варіант запропоновані Г.А. Грінбергом. Подальший розвиток методу одержало в роботах О.В. Тозоні, І.Д. Маергойза, Є.І. Петрушенко, С.С. Романовича, С.Т. Толмачева, Е.В. Колесникова, І.П. Стадника, І.І. Пеккера, П.А. Курбатова, С.А. Арінчина, А.Г. Кірсанова, О.Д. Подольцева, В.Т. Чемеріса та ін.

Наявні підходи та методи рішення задач розрахунку магнітних полів різні по постановці, складності чисельної реалізації, можливостям повного врахування реальної геометрії магнітної системи і реальних магнітних властивостей компонентів, що в неї входять. У в зв’язку з необхідністю проведення багатоваріантних розрахунків при проведенні оптимізації конкретних електротехнічних пристроїв залишається необхідність в розробці уточнених математичних моделей для збільшення точності, зниження трудомісткості і скорочення часу розрахунку магнітного поля в цих пристроях. Незважаючи на великі можливості використовуваної в подібних розрахунках обчислювальної техніки, проблема розробки більш ефективних математичних моделей для розрахунку магнітних полів на даний час ще невичерпана повністю.

Актуальність теми. При проектуванні нових та оптимізації існуючих електротехнічних пристроїв актуальним залишається визначення доцільності застосування методу граничних інтегральних рівнянь з використанням вторинних джерел типа простого шару магнітних зарядів, подвійного шару магнітних зарядів, простого шару струмів, подвійного шару струмів, що дозволяє проводити найбільш ефективні розрахунки магнітного поля з урахуванням реальних електрофізичних властивостей матеріалів. Одночасно залишається актуальним визначення оптимальних чисельних методів рішення електродинамічних задач визначеного типу, а також з'ясування граничних можливостей різних методів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі прикладної електродинаміки Таврійського національного університету в рамках НДР “Розрахунок і синтез електромагнітних систем” (№ ДР: 0101U005648), а основні експериментальні дані отримані на фірмі “Оптимаг” (м. Сімферополь). Роль автора у виконанні зазначеної НДР полягає в розробці уточнених математичних моделей для розрахунку магнітного поля в кусково-однорідних лінійних і нелінійних середовищах та у проведенні на цій основі чисельних розрахунків.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток інтегральних методів розрахунку магнітного поля, створюваного стаціонарними струмами або постійними магнітами, з урахуванням магнітних властивостей матеріалів; розробка на їхній основі уточнених математичних моделей для збільшення точності і (або) зменшення часу розрахунку магнітного поля в кусково-однорідних лінійних і нелінійних середовищах, а також застосування цих математичних моделей для розрахунку та оптимізації магнітних систем конкретних електротехнічних пристроїв.

Для досягнення поставленої мети було необхідно вирішити наступні задачі:

·

·

·

·

·

·

·

Об'єкт дослідження. Магнітні системи, що містять котушки з постійним струмом і (або) постійні магніти і магнітопровід, виготовлений з магнітном'якого феромагнетику.

Предмет дослідження. Розподіл магнітного поля в зазорі магнітної системи та усередині магнітопроводу.

Методи дослідження. Запропоновані уточнені математичні моделі магнітного поля базуються на методах теорії потенціалу, функціонального аналізу, інтегральних рівнянь. При оптимізації магнітних систем використовувалися також методи нелінійного програмування. У якості фізичної основи використана класична електродинаміка.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

·

·

·

·

·

·

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати у формі відповідної методики розрахунку впроваджені у фірмі “Оптимаг” (м. Сімферополь) і використовуються при проектуванні електротехнічних пристроїв (електродвигунів, електромагнітів і ін.). Розроблені алгоритми й методики розрахунку магнітних полів дозволяють скоротити терміни підготовки виробництва нової продукції і знизити витрати на експериментальні дослідження, що можуть бути замінені моделюванням проектованих пристроїв на ЕОМ. Практична цінність підтверджується актами впровадження результатів у конкретні проектно-конструкторські розробки.

Основні методики розрахунку магнітного поля з використанням запропонованих математичних моделей використовуються в навчальному процесі Таврійського національного університету ім. В. І. Вернадського в курсах “Електродинаміка”, “Статичні поля” для бакалаврів, що навчаються по напрямку “фізика”.

Особистий внесок здобувача. У наукових працях, опублікованих у співавторстві, автору дисертації належать: у [1] – методика визначення намагніченості однорідно намагнічених постійних магнітів по обмірюваній магнітній індукції в одній точці поза магнітом, пр

оведення серії експериментів по перевірці запропонованої методики; у [2, 5] – розробка уточненої математичної моделі розрахунку магнітного поля в кусково-однорідному лінійному середовищі при допущенні магнітної проникності феромагнітних тіл рівної нескінченності, проведення чисельних розрахунків; у [3] – додаткові інтегральні співвідношення на основі принципу безперервності магнітного потоку в інтегральній формі, закону повного струму в інтегральній формі до відповідних граничних інтегральних рівнянь, розробка алгоритмів спільного рішення граничного і додаткового інтегральних рівнянь, проведення чисельних розрахунків; у [4] – розробка математичної моделі розрахунку магнітного поля в кусково-однорідному нелінійному середовищі, проведення чисельних розрахунків.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на Міжнародній науково-практичній конференції “Динаміка наукових досліджень” (м. Дніпропетровськ, 2002 р.), VI Міжнародній науково-практичній конференції “Наука та освіта 2003” (м. Дніпропетровськ, 2003 р.), II Міжнародній науково-технічній конференції “Інформаційна техніка та електромеханіка” (м. Луганськ, 2003 р.), V Міжнародній конференції “Электромеханика, электротехнологии и электроматериаловедение” (АР Крим, м. Алушта, 2003 р.), Міжнародній науково-технічній конференції “Проблеми підвищення ефективності електромеханічних перетворювачів в електроенергетичних системах” (м. Севастополь, 2004 р.), на 30 - 32 конференціях професорсько-викладацького складу Таврійського національного університету (м. Сімферополь, 2001-2003 рр.).

Публікації. Основні положення й результати роботи опубліковані в 5 статтях у фахових наукових виданнях і 4 тезах доповідей на наукових конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновку, списку використаних джерел, додатка. Загальний обсяг роботи складає 155 сторінок, в тому числі 108 сторінок основного тексту, рисунків – 35 (15 сторінок), таблиць – 21 (15 сторінок), список використаних джерел з 127 найменувань (12 сторінок) та 1 додаток (5 сторінок).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, зв’язок ії з науковими програмами та темами, сформульовані мета та основні задачі роботи, вказано об’єкт та предмет дослідження, викладено наукову новизну, описані методи дослідження, дані про практичне значення одержаних результатів, апробацію, публікації.

У першому розділі дисертаційної роботи приведено аналіз стану питання, якій включає в себе короткий огляд і класифікацію різних підходів до рішення задач магнітостатики. Розглянуті такі сучасні методи розрахунку магнітного поля як скінченорізницеві методи, метод інтегральних рівнянь і інші методи, які ефективно використовуються для розрахунків електромагнітних полів на ЕОМ. Показано переваги використання математичного апарату інтегральних рівнянь (ІР). Розглянуто математичні моделі розрахунку магнітного поля на основі просторових інтегральних рівнянь, на основі граничних інтегральних рівнянь для простого шару магнітних зарядів, подвійного шару магнітних зарядів, простого шару струмів, подвійного шару струмів.

Зазначено, що найбільш важливими моментами, що впливають на точність рішення магнітостатичної задачі за допомогою інтегральних рівнянь, є апроксимація області інтегрування та апроксимація функцій, що інтегруються, і перехід до апроксимуючих інтегральне рівняння систем алгебраїчних рівнянь, що може бути реалізовано кількома способами. Однак, при безпосередній алгебраізації інтегрального рівняння навіть точне рішення отриманої системи алгебраїчних рівнянь не дозволяє одержати точне рішення задачі, тому що в рівняннях цієї системи не враховуються залишкові члени квадратурних формул при заміні інтегралів скінченими сумами. Одержати алгебраїчну систему, близьку до вихідного інтегрального рівняння, яка еквівалентна крайовій задачі розрахунку магнітного поля, можна за допомогою інтегральних законів поля: принципу безперервності магнітного потоку чи закону повного струму. Однак, при використанні простого шару магнітних зарядів чи подвійного шару струмів, закон повного струму виконується автоматично при будь-якому розподілі цих джерел на межі феромагнетику, так само як і принцип безперервності магнітного потоку виконується автоматично при використанні подвійного шару магнітних зарядів чи простого шару струмів. У той час як у першому випадку точність виконання принципу безперервності магнітного потоку, а в другому випадку точність виконання закону повного струму залежить від точності знаходження густини фіктивних джерел на межі феромагнетику. Тому необхідно досліджувати можливість використання інтегральних законів поля для підвищення ефективності методу інтегральних рівнянь для розрахунку магнітного поля.

Викладені у даному розділі результати аналізу методів розрахунку магнітних полів дозволили сформулювати мету та задачі роботи.

У другому розділі на основі методу граничних інтегральних рівнянь представляються уточнені математичні моделі розрахунку магнітного поля стаціонарних струмів і постійних магнітів у кусково-однорідних лінійних середовищах.

Сформулюємо задачу розрахунку магнітного поля в магнітній системі. Первинним джерелом магнітного поля в магнітній системі є стаціонарний струм. В полі цього струму розташований магнітопровід, виконаний з феромагнетику з постійною магнітною проникністю . Потрібно визначити поле як усередині, так і поза магнітопроводом.

Для чисельного розрахунку магнітного поля зручно скористатися методом граничних інтегральних рівнянь, які записуються для вторинних джерел, розподілених на межі розділу середовищ із різними електрофізичними властивостями. Метод граничних інтегральних рівнянь у даному випадку має перевагу в тому, що шукана функція густини у двовимірних крайових задачах залежить фактично від однієї змінної, а в тривимірних – від двох. Тому дискретизується не вся розрахункова область, а тільки її межа. Однак, як показано у роботі на прикладі рішення методичних і складних практичних задач, точне рішення граничного інтегрального рівняння (точніше, його дискретного аналога) не гарантує одержання з тим же ступенем точності розрахунку магнітного поля.

При використанні вторинних джерел типу простого шару магнітних зарядів чи подвійного шару струмів, інтегральні рівняння, до яких зводиться розрахунок магнітного поля, наприклад, у плоскопаралельній магнітній системі (рис.1), мають вид

, (1)

яке з використанням співвідношення з метою поліпшення властивостей інтегрального оператора може бути зведене до виду

; (2)

. (3)

В рівняннях (1)-(3):

, – відповідно, поверхнева густина простого шару магнітних зарядів, z-проекція поверхневої густини подвійного шару струмів у відповідній точці;

;

– магнітна проникність феромагнетику;

– магнітна проникність зовнішнього стосовно до феромагнетику середовища;

– зовнішня до межі феромагнетику нормаль у точці (аналогічно );

– радіус-вектор, спрямований із точки P у точку Q;

, – відповідно, напруженість, z-проекція векторного магнітного потенціалу струмів намагнічування.

Для підвищення ефективності розрахунку магнітного поля ІР (1) або (2) доповнюється співвідношеннями

,, (4)

а ІР (3) співвідношеннями

,, (5)

отриманими з принципу безперервності магнітного потоку в інтегральній формі, записаного для замкнутих поверхонь, які частково охоплюють магнітопровід. На рис.1 зазначені сліди () цих поверхонь.

В співвідношеннях (4), (5) позначено:

;

;

.

У роботі запропоновано алгоритми розрахунку магнітного поля, засновані на рішенні інтегральних рівнянь разом з додатковими до них інтегральними співвідношеннями зведенням їх до систем апроксимуючих алгебраїчних рівнянь із наступним рішенням їх методом послідовних наближень або прямим методом.

Процес послідовних наближень із використанням додаткових інтегральних співвідношень, наприклад, при рішенні інтегрального рівняння для простого шару магнітних зарядів (2) буде виглядати так

(6)

де

, n – число ітерацій;

;

;

;

.

Кількість ітерацій n при реалізації ітераційного процесу (6) визначається з умови

чи на кроці більше, ніж на кроці,

де

– погрішність рішення інтегрального рівняння:

,

під нормою розуміється величина ;

– погрішність виконання принципу безперервності магнітного потоку, яка дозволяє судити про точність розрахунку магнітного поля (рис. 1):

,

– позитивна частина потоку ;

– задана погрішність у відсотках.

Для методу зведення інтегрального рівняння з додатковими співвідношеннями до системи апроксимуючих лінійних алгебраїчних рівнянь із наступним прямим методом її рішення в роботі запропоновано наступний алгоритм. Межу феромагнетику розбиваємо на елементарні відрізки, на кожному з яких поверхневу густину простого шару магнітних зарядів вважаємо постійною. Точки колокації ( , - число елементів розбивки межі феромагнетику) розташовуємо в центральних точках елементарних ділянок. Тоді система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), яка відповідає, наприклад, рівнянню (2), буде мати вид

, , (7)

де

– поверхнева густина магнітних зарядів на k-му елементарному відрізку (аналогічно );

– вектор, якій з'єднує довільну точку P відрізка і центральну точку елементарного відрізка і спрямований з першої точки в другу;

– зовнішня одинична нормаль до відрізка ;–

напруженість магнітного поля заданих струмів намагнічування в центральній точці елементарного відрізка .

З метою збільшення точності визначення магнітного поля при використанні густини заряду СЛАР (7) доповнюється співвідношеннями (4), які отримають на основі принципу безперервності магнітного потоку в інтегральній формі, заміняючи інтегрування підсумовуванням, у виді

, . (8)

СЛАР (7) разом із співвідношеннями (8) являє собою перевизначену СЛАР

, (9)

у який рівнянь і N невідомих, тобто вектори і мають розмірність, рівну .

З метою досягнення рівноцінного внеску кожного з рівнянь СЛАР (9) рядки матриці нормуються, тобто множенням рядка на постійну, СЛАР (9) приводиться до виду

(10)

де , .

Знаходження псевдорішення СЛАР (10) зводиться до відшукання рішення СЛАР із квадратною матрицею

, ,

тут

; .

Розрахунок магнітного поля з використанням вторинних джерел типу простого шару струмів чи подвійного шару магнітних зарядів зводиться до рішення одного з наступних інтегральних рівнянь (рис.2)

; (11)

, (12)

яке з використанням співвідношення з метою поліпшення властивостей інтегрального оператора може бути зведено до виду

(13)

чи з використанням співвідношення до виду

. (14)

В рівняннях (11)-(14):

, – відповідно, z-проекція поверхневої густини простого шару струмів, поверхнева густина подвійного шару магнітних зарядів у відповідній точці;

– одиничний орт осі z;

, – відповідно, магнітна індукція, скалярний магнітний потенціал струмів намагнічування;

C – довільна константа.

Якщо поверхневими джерелами є простий шар струмів або подвійний шар магнітних зарядів, ІР доповнюються інтегральними співвідношеннями, отриманими із закону повного струму в інтегральній формі для контурів, що проходять в області, де нас цікавить поле, і охоплюють заданий струм (рис.2):

,; (15)

,, (16)

де позначено:

;

;

.

При розрахунку магнітного поля шляхом рішення інтегральних рівнянь для простого шару струмів чи подвійного шару магнітних зарядів разом із додатковими співвідношеннями використано алгоритми, аналогічні наведеним для простого шару магнітних зарядів, тільки замість погрішності при реалізації ітераційного процесу, аналогічного (6), використовується погрішність виконання закону повного струму, яка, наприклад, для вторинних джерел типу простого шару струмів знаходиться таким чином

.

У роботі розглянутий також випадок розрахунку магнітного поля постійних у часі струмів чи постійних магнітів, збудженого феромагнітним тілом, коли його магнітна проникність набагато більше проникності повітря . Тут використовуються зазначені вище ІР (2), (3), (11), (13) чи (14) разом з відповідними додатковими інтегральними співвідношеннями, у яких приймають , при цьому останні будуть мати більш простий вид. Показано, що у випадку використання простого шару магнітних зарядів чи подвійного шару струмів тут також з'являється можливість використання додаткових співвідношень, отриманих із закону повного струму в інтегральній формі.

На прикладі розрахунку поля у С-подібних магнітних системах (рис.3) у роботі досліджений вплив додаткових рівнянь на точність розрахунку магнітного поля, а також на швидкість збіжності пропонованих ітераційних схем. Струм I приймався рівним 1 А. Розрахунок магнітного поля проводився при значеннях магнітної проникності феромагнетику, рівних , , , а також при .

Шляхом чисельних експериментів встановлено наступне. Застосування інтегрального рівняння (2) для простого шару магнітних зарядів, отриманого із (1) с використанням додаткової інформації виду , яка є наслідком принципу безперервності магнітного потоку, є малоефективним з точки зору підвищення точності розрахунку магнітного поля. Так, наприклад, при рахунку поля в магнітній системі, зображеній на рис. , без застосування додаткових співвідношень, отриманих з інтегральних законів поля, при рішенні інтегрального рівняння для густини простого шару магнітних зарядів навіть велика кількість розбивок межі феромагнетику (1414 елементів) приводить до грубого виконання зазначених співвідношень (с погрішністю до 8При малих числах розбивки (142 елемента) зазначена погрішність збільшується до 25Такі погрішності будуть і при розрахунку густини магнітних зарядів і, отже, розрахунках поля в зазорі. Крім того, використання перетворених ІР (2), (13), (14) при розрахунку магнітного поля в симетричних магнітних системах (рис.3) дає такий же результат, як і використання відповідних неперетворених ІР (1), (12).

Показано, що запропоновані у роботі прийоми із застосовуванням додаткових співвідношень, отриманих із інтегральних законів поля, приблизно на 5-23 % зменшують погрішність визначення поля в заданій області при використанні в якості вторинних джерел простого шару магнітних зарядів або простого шару струмів, а також дозволяють скоротити час розрахунків при розв’язанні ІР для усіх розглянутих вторинних джерел методом послідовних наближень в 3-5 разів. Час розрахунків при розв’язанні ІР методом зведення до СЛАР більше, однак, точність розрахунку поля вище. З усіх розглянутих видів рівнянь самими оптимальними з точки зору точності розрахунку магнітного поля є рівняння для густини подвійного шару магнітних зарядів або подвійного шару струмів. Перевага перших у порівнянні з другими полягає у тому, що джерела типу подвійного шару магнітних зарядів є скалярними величинами на відміну від джерел типу подвійного шару струмів, які є векторними величинами.

Проведені розрахунки магнітного поля в тих же магнітних системах скінченорізницевими методами показали, що точність виконання інтегральних законів поля (принципу безперервності магнітного потоку й закону повного струму) співпадає з точністю розрахунку магнітного поля, тобто по точності їхнього виконання можна судити про точність розрахунку поля.

У розділі розглянуте також застосування розроблених методик до розрахунку магнітних систем із постійними магнітами. В силу того, що на точність розрахунку поля в даному випадку також впливає точність завдання намагніченості постійних магнітів, запропоновано простий засіб визначення намагніченості однорідно намагнічених постійних магнітів по вимірюванню магнітної індукції в одній точці поза магнітом. Отримано формули зв'язку намагніченості і магнітної індукції. Методика виміру намагніченості однорідно намагнічених постійних магнітів підтверджена експериментом.

Як приклад рішення практичної задачі на основі уточненої моделі розрахунку магнітного поля у роботі вирішена задача оптимізації індуктивності трифазної магнітної системи з лінійними магнітними характеристиками, що використовується в блоці керування двигунами з постійними магнітами.

Третій розділ присвячено підвищенню ефективності розрахунку магнітного поля у кусково-однорідних нелінійних середовищах за допомогою граничних інтегральних рівнянь, результатам чисельного моделювання параметрів конкретних магнітних систем, що містять елементи з нелінійними магнітними характеристиками розрахунку поля в С-подібних магнітних систем, розрахунку тягової характеристики втяжного електромагніта. Приведено результати розрахунків і натурного експерименту. Показано добрий збіг із розрахунковими даними.

Для розрахунку магнітостатичних полів у кусково-однорідних нелінійних середовищах запропоновано наступний алгоритм. Нелінійний феромагнетик розбивають на елементарні області. У кожній елементарній області на кожній ітерації магнітну проникність приймають постійною величиною ( , N – число елементарних областей, k – номер ітерації). При такому допущенні додаткові джерела магнітного поля (крім первинних струмів) виникають тільки на поверхні феромагнетику і на всіх межах між елементарними областями.

У цьому випадку додаткові рівняння, наприклад, для рівняння (14) мають вид, аналогійний (16), а саме

, (17)

де

,

.

Тут , частина контуру , що проходить усередині і поза феромагнетику відповідно;, если , – i-а елементарна область.

Поле знаходиться по формулі

. (18)

Запропонований ітераційний процес розрахунку магнітного поля в нелінійному феромагнетику виглядає так:

1.

2.

3.

4.

5.

Введення коефіцієнта кореляції дозволяє розбіжний (чи коливний) при процес зробити добре збіжним.

З використанням розроблених методик розрахунку магнітних полів у кусково-однорідних лінійних і нелінійних середовищах був проведений розрахунок поля у С-подібної магнітної системі, а також розрахунок тягової характеристики втяжного електромагніта (рис. 4). У останньому випадку використовувалися наступні методи розрахунку магнітного поля, необхідного для знаходження тягового зусилля: метод інтегральних рівнянь при допущенні сталості магнітної проникності матеріалу магнітопроводу, метод інтегральних рівнянь з урахуванням нелінійної магнітної характеристики матеріалу магнітопроводу. Відповідні залежності приведені на рис. 5, де крива 1 відповідає лінійній задачі, ІР складалося для густини простого шару струмів без застосування додаткового співвідношення (відносна середньоквадратична погрішність розрахункової та експериментальної характеристики дорівнює 25 %); крива 2 – лінійній задачі, ІР для поверхневої густини простого шару струмів з застосуванням додаткового співвідношення (теж саме - 6 %); крива 3 – лінійній задачі, ІР для подвійного шару магнітних зарядів з застосуванням додаткового співвідношення (теж саме – 6; крива 4 – нелінійній задачі, ІР для подвійного шару магнітних зарядів із застосуванням додаткового співвідношення (теж саме - 3,8 %); крива 5 – натурному експерименту. Використання додаткових співвідношень також дозволяє скоротити час розрахунків не менше, чим у 5 разів.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі одержали подальший розвиток інтегральні методи розрахунку магнітного поля і на цій основі вирішено актуальну наукову задачу підвищення точності і скорочення часу розрахунку поля у магнітних системах, що містять котушки з постійним струмом і (або) постійні магніти і магнітопровід, за рахунок багаторазового використання рівнянь електродинаміки в інтегральній формі (принципу безперервності магнітного потоку й закону повного струму) у якості додаткових до відповідних граничних інтегральних рівнянь, що у сукупності з науково обґрунтованими результатами дослідження є суттєвими при вирішенні задач побудови та підвищення ефективності електромагнітних систем.

Основні результати, отримані в роботі, полягають у наступному.

1. На підставі аналізу існуючих методів обґрунтовано актуальність і необхідність розробки нових більш ефективних математичних моделей для розрахунку магнітних полів з урахуванням реальних електрофізичних властивостей матеріалів.

2. Удосконалено метод граничних інтегральних рівнянь для розрахунку магнітного поля в кусково-однорідних лінійних і нелінійних середовищах. Удосконалення засноване на використанні додаткової інформації, отриманої з принципу безперервності магнітного потоку чи закону повного струму в інтегральній формі, що дозволяє значно підвищити точність і скоротити час розрахунків.

3. Отримано додаткові інтегральні співвідношення для густини вторинних джерел із принципу безперервності магнітного потоку для поверхневої густини простого шару магнітних зарядів, поверхневої густини подвійного шару струмів і із закону повного струму для поверхневої густини простого шару струмів, поверхневої густини подвійного шару магнітних зарядів.

4. Розроблені алгоритми спільного рішення граничних інтегральних рівнянь із додатковими інтегральними співвідношеннями для підвищення точності і скорочення часу розрахунку магнітного поля: метод послідовних наближень і метод зведення системи інтегральних рівнянь до спільної СЛАР і наступним її рішенням. Використання цих алгоритмів дозволяє більш ефективно використовувати ресурси ЕОМ для розрахунків магнітних систем.

5. Оцінено точність розроблених математичних моделей магнітного поля стаціонарних струмів у лінійних і нелінійних середовищах на прикладі розрахунку поля в середніх по складності геометрії магнітних системах. В порівнянні з раніше застосовуваними чисельними методами рішення інтегральних рівнянь, до яких зводиться розрахунок поля, збільшена в 3-5 разів швидкість збіжності ітераційного процесу для всіх розглянутих типів вторинних джерел, при цьому для вторинних джерел типу простого шару магнітних зарядів і простого шару струмів збільшена точність розрахунку магнітного поля на 5–23 % .

6. Доведена істотна перевага (по точності й часу розрахунку поля) використання поверхневої густини подвійного шару магнітних зарядів як шуканої функції в інтегральному рівнянні, яке описує магнітне поле в кусково-однорідному середовищі.

7. Запропоновано використання додаткових інтегральних співвідношень до граничних інтегральних рівнянь при розрахунку магнітних полів з урахуванням нелінійної характеристики феромагнітних матеріалів у сполученні з розбивкою області, займаною магнітопроводом, на елементи з постійною магнітною проникністю і з коефіцієнтом релаксації для зменшення впливу нелінійності, що привило до створення методики розрахунку магнітного поля з високим ступенем точності.

8. Доведено на прикладі оптимізації індуктивності трифазної магнітної системи з лінійними характеристиками (тривимірна задача) і розрахунку силової характеристики втяжного електромагніта (вісесиметрична задача), що запропоновані моделі розрахунку полів у магнітних системах складної геометрії більш ефективні й прості в чисельній реалізації. Розбіжність експерименту й розрахунку силової характеристики електромагніта складає не більш 4 %.

9. Розроблено методику визначення намагніченості однорідно намагнічених постійних магнітів, що дозволяє по виміру магнітної індукції в одній точці поза магнітом визначити намагніченість магніту. Проведені експерименти по визначенню намагніченості постійних магнітів показали, що зазначена методика дозволяє визначити намагніченість із погрішністю, що не перевищує 3,5

10. Основні теоретичні й прикладні результати дисертаційної роботи у формі відповідної методики розрахунку впроваджені на фірмі “Оптимаг” (м. Сімферополь) і використовуються при проектуванні електротехнічних пристроїв (електродвигунів, електромагнітів і ін.). Основні методики до розрахунку магнітного поля із застосуванням запропонованих математичних моделей використовуються в навчальному процесі Таврійського національного університету ім. В. І. Вернадського в курсах “Електродинаміка”, “Статичні поля” для бакалаврів, що навчаються по напрямку “фізика”.

11. Вірогідність та обґрунтованість наукових результатів забезпечена використанням коректних методів досліджень, апробацією основних положень та одержаних результатів на наукових конференціях, результатами їх практичного застосування при розрахунках магнітних полів в конкретних електротехнічних пристроях, а також узгодженням результатів теоретичних досліджень з експериментальними даними.

ОСНОВНІ Публікації за темою дисертації

1.

2.

3.

4.

5.

Анотації

Жильцов А.В. Підвищення ефективності розрахунку магнітних полів у кусково-однорідних лінійних і нелінійних середовищах методом інтегральних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.09.05 – теоретична електротехніка. – Інститут електродинаміки НАН України, Київ, 2005.

Дисертаційна робота присвячена розробці на основі методу інтегральних рівнянь уточнених математичних моделей розрахунку магнітного поля стаціонарних струмів чи постійних магнітів, збудженого феромагнітним тілом. Підвищення точності й зменшення часу розрахунку поля досягається за рахунок використання додаткових інтегральних співвідношень, два і більш, що випливають із принципу безперервності магнітного потоку в інтегральній формі (для джерел у виді простого шару магнітних зарядів або подвійного шару струмів) чи закону повного струму в інтегральній формі (для джерел у виді простого шару струмів або подвійного шару магнітних зарядів). Розроблено два алгоритми рішення запропонованих систем інтегральних рівнянь, що описують магнітні поля в кусково-однорідних лінійних середовищах: ітераційний і алгоритм зведення системи до перевизначеної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Досягнуто істотне підвищення точності й скорочення часу розрахунку магнітного поля завдяки використанню двох чи трьох додаткових інтегральних співвідношень. Розроблено методику визначення намагніченості однорідно намагнічених постійних магнітів по обмірюваній магнітній індукції в одній точці поза магнітом. Основні теоретичні й прикладні результати дисертаційної роботи у формі відповідної методики розрахунку впроваджені на фірмі “Оптимаг” (м. Сімферополь) і використовуються при проектуванні електротехнічних пристроїв (електродвигунів, електромагнітів і ін.), а основні підходи до розрахунку магнітного поля з застосуванням запропонованих математичних моделей використовуються в навчальному процесі Таврійського національного університету ім. В. І. Вернадського в курсах “Електродинаміка”, “Статичні поля” для бакалаврів, що навчаються по напрямку “фізика”.

Ключові слова: стаціонарне магнітне поле, математичні моделі, граничні інтегральні рівняння, підвищення ефективності.

Zhiltsov A. V. Increasing the efficiency of magnetic fields' calculation in peace-homogeneous linear and nonlinear mediums with method of the integrated equations. - Manuscript.

Thesis for candidate degree of technical sciences by speciality 05.09.05 - Theoretical electrical engineering. - Institute of electrodynamics of NAS Ukraine, Kyiv, 2005.

The thesis is devoted to development the specified mathematical models of calculation of a magnetic field of stationary currents or the permanent magnets, inby a ferromagnetic body, on the basis of a method of the integrated equaIncreasing the precision and diminution of field calculation's time is achieved due to use of the additional integrated relations, two and more, which is turning out from a principle of a continuity of a magnetic flux in the integrated shape (for radias a simple layer of magnetic charges or a double layer of currents) or an Am-pere law in the integrated shape (for radiants as a simple layer of currents or a double layer of magnetic charges). Two algorithms of the solution of the offered systems of integral equations which is described magnetic fields in the peace-homogeneous linand nonlinear mediums are developed: iterative and algorithm of transformating the system to the overdetermined system of the linear algebraic equations. Essential increase of precision and time's reduction of magnetic field's calculation due to use of two or three additional integrated relations is reached. The procedure of definition of a magnetization homogeneously magnetized stationary values of magnets with the measured magnetic induction in one point outside of a magnet designed. The basic theoretical and applied results of a thesis in the shape of the relevant design proceare introduced in firm " Optimag " (Simferopol) and used at designing electro-technical devices (electromotors, electromagnets, etc.), and the basic approaches to calculation of a magnetic field with use of the offered mathematical models are used in educational process of Taurida V.I.Vernadsky national university in rates "Elec-trodynamics", "Permanent fields" for bachelors who are trained on a direction "physics".

Key words: a stationary magnetic field, mathematical models, boundary integral equations, to increase the efficiency.

Жильцов А.В. Повышение эффективности расчета магнитных полей в ку-сочно-однородных линейных и нелинейных средах методом интегральных уравнений. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.09.05 – теоретическая электротехника. – Институт элек-тродинамики НАН Украины, Киев, 2005.

Диссертационная работа посвящена разработке на основе метода инте-гральных уравнений уточненных математических моделей расчета магнитного поля стационарных токов или постоянных магнитов, возмущенного ферромаг-нитным телом. Показано, что для численного расчета магнитного поля в ку-сочно-однородных средах удобно воспользоваться методом граничных инте-гральных уравнений, которые записываются для вторичных источников, рас-пределенных на границе раздела сред с разными электрофизическими свойст-вами. В работе показано на примере решения практических задач, что точное решение граничного интегрального уравнения (точнее, его дискретного ана-лога) не гарантирует получения с тем же степенью точности расчета магнит-ного поля.

Предложены уточненные математические модели расчета магнитного поля с использованием интегральных уравнений, которые позволяют повысить точность расчета магнитного поля при просто реализуемой кусочно-постоян-ной аппроксимации плотности вторичных источников и при небольшом числе разбиений границы ферромагнетика. Уточнение заключается в том, что гра-ничные интегральные уравнения, к которым сводиться расчет магнитного поля, дополняются соотношениями, полученными из принципа непрерывности маг-нитного потока (для источников типа простого слоя магнитных зарядов, двой-ного слоя токов) или закона полного тока в интегральной форме (для простого слоя токов, двойного слоя магнитных зарядов).

Разработаны два алгоритма решения предложенных систем интегральных уравнений, которые описывают магнитные поля в кусочно-однородных линей-ных средах: итерационный и алгоритм сведения системы к переопределенной системе линейных алгебраических уравнений, которая в свою очередь сводится к совместной СЛАУ с квадратной матрицей. В первом случае достигается вы-сокая скорость сходимости итерационных процессов (число итераций сокраща-ется в 3-5 раз), при этом повышается точность расчета поля: при использовании простого слоя магнитных зарядов или простого слоя токов на 5-23 %. При ис-пользовании двойного слоя магнитных зарядов или двойного слоя токов по-грешность определения поля существенно не меняется и не превышает 1 %. Во втором случае, по сравнению с методом последовательных приближений, по-грешность определения поля меньше, однако время счета существенно возрас-тает с увеличением размерности СЛАУ. Поэтому преимущества использования дополнительных соотношений для метода последовательных приближений особенно заметны при росте числа решаемых уравнений, что характерно для сложных магнитных систем.

Из всех рассмотренных типов вторичных источников, относительно ко-торых составляются интегральные уравнения, самым оптимальным является двойной слой магнитных зарядов и двойной слой токов. Для них получена са-мая высокая точность расчета магнитного поля при равных остальных парамет-рах.

Разработанные методы применены к расчету магнитного поля в магнит-ных системах с постоянными магнитами. Разработана методика определения намагниченности однородно намагниченных постоянных магнитов по изме-ренной магнитной индукции в одной точке вне магнита. Экспериментальная проверка показала, что она дает