Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Жучок Анатолій Володимирович

УДК 512.53

ДЕКОМПОЗИЦІЇ ВІЛЬНИХ ДОБУТКІВ НАПІВГРУП

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Луганському національному педагогічному університеті імені Тараса Шевченка та Слов’янському державному педагогічному університеті Міністерства освіти та науки України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук,

професор Усенко Віталій Михайлович,

завідувач кафедри алгебри та дискретної математики

Луганського національного педагогічного

університету імені Тараса Шевченка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Семко Микола Миколайович,

професор кафедри вищої математики Національної академії державної податкової служби України, м. Ірпінь

кандидат фізико-математичних наук,

доцент Дереч Володимир Дмитрович,

доцент кафедри вищої математики Вінницького національного технічного університету

Провідна установа Львівський національний університет імені Івана Франка,

кафедра алгебри і логіки, Міністерство освіти та науки України, м. Львів

Захист відбудеться 23 січня 2006 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м.Київ, проспект академіка Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в Науковій бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано 15 грудня 2005 року.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради Плахотник В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У теорії напівгруп однією з конструкцій, що дозволяє ефективно вивчати структурні властивості напівгруп, є конструкція сполуки напівгруп. Ця конструкція виникає на напівгрупі, якщо остання володіє гомоморфізмом на деяку напівгрупу ідемпотентів. Основними задачами теорії сполук є задача класифікації декомпозицій напівгруп заданого класу в сполуки своїх піднапівгруп та задача побудови композиції сімейства напівгруп, індексованих елементами деякої напівгрупи ідемпотентів.

У наш час напівгрупові сполуки утворюють окремий напрямок досліджень та застосувань у теорії напівгруп. У різних роботах вивчаються властивості сполук напівгруп, описуються компоненти відповідних декомпозицій у сполуки.

Серед перших результатів цього напрямку є теорема Кліффорда про те, що довільна напівгрупа ідемпотентів є напіврешіткою прямокутних сполук та описання Мак-Ліна будови найменшої конгруенції вільної напівгрупи, яка відповідає її декомпозиції у сполуку. Пізніше у роботах Саса, Петрича вивчались комутативні сполуки простих напівгруп. Матричні композиції і декомпозиції у сполуки комутативних напівгруп із скороченнями було описано у роботах Баранського В.А., Трахтмана А.Н., Шайна Б.М., Дікінсона, Петрича. Комутативні сполуки слабокомутативних напівгруп є предметом робіт Тамури, Хіда, Понделічека. У роботах Бурмістровича І.Є., Мак-Алістера, Глускіна Л.М. вивчено властивості комутативних сполук сепаративних напівгруп. Комутативні сполуки архімедових напівгруп із скороченнями вивчались Петричем, Хіггінсом, Холлом Р.. Загальні властивості матричних сполук описано Шутовим Є.Г., Йошидою. Вивченню декомпозицій напівгруп з лівим скороченням та з ідемпотентами присвячено роботи Уорне, Шутова Є.Г., Бернелла, Петрича.

Описання напівгрупових сполук у термінах многовидів напівгруп наведено в роботах Ямади, Хоуві, Петрича, Холла Т..

Декомпозиції напівгруп з нулем в -сполуки вивчались у роботах Богдановича, Чирича.

Декомпозиції вільного добутку напівгрупи та ідемпотента у сполуку наведено в роботі Кізіменка О.М..

Одним з ефективних методів описання конгруенцій напівгруп з конструктивними комбінаторними властивостями є метод, запропонований Усенком В.М., який полягає в заміні кожного напівгрупового гомоморфізму напівретракцією, а відповідної фактор-напівгрупи – мутацією, що дозволяє вивчати гомоморфні образи довільної напівгрупи її внутрішніми засобами. З використанням напівретракцій напівгруп суттєво полегшується задача описання фактор-напівгруп напівгруп заданого класу.

Класифікацію напівретракцій вільних напівгруп, мутації за якими є комутативними напівгрупами та напівгрупами медіальних одиниць, здійснено в роботах Кізіменка О.М..

У роботах Герхардта і Петрича та Петрича і Сільви за допомогою деяких перетворень вільної напівгрупи описано її конгруенції, фактор-напівгрупи за якими є вільними в многовидах напівгруп ідемпотентів, та вивчено відповідні фактор-напівгрупи. При цьому виявляється, що такі перетворення є напівретракціями, а напівгрупи, які виникають на образах цих перетворень, – мутаціями вільної напівгрупи. Виходячи з встановленої відповідності, природньо постає задача, з одного боку, класифікації напівретракцій вільного моноїду за властивостями відповідних мутацій, та, з іншого, – узагальнення щойно згадуваних результатів на конструкцію вільного добутку довільних напівгруп.

Іншою напівгруповою конструкцією, що дозволяє характеризувати структурні властивості напівгруп, є конструкція оболонки зсувів напівгрупи. Оболонка зсувів напівгрупи з нулем грає важливу роль у теорії ідеальних розширень напівгруп, оскільки кожне ідеальне розширення напівгрупи може бути побудовано за допомогою часткового гомоморфізму в . Глускіним Л.М. доведено: якщо слаборедуктивний щільно вкладений ідеал напівгрупи , то . У роботах Глускіна Л.М. та інших авторів у термінах щільно вкладених ідеалів описуються абстрактні характеристики напівгруп. Використовуючи теорію щільно вкладених ідеалів, Глускіним Л.М. вивчено напівгрупи та кільця ендоморфізмів лінійних просторів, а Усенком В.М. – напівгрупи ендоморфізмів вільних груп. Задачу описання напівгрупи лівих (правих) зсувів цілком -простих напівгруп та оболонки зсувів цілком -простих напівгруп було розв’язано Петричем.

Актуальність теми даної дисертаційної роботи визначається згадуваними проблемами, що постають у зв’язку з вивченням структурних властивостей напівгрупових конструкцій. До таких проблем перш за все слід віднести проблему класифікації напівретракцій напівгрупових конструкцій (таких, наприклад, як вільний моноїд), проблему класифікації декомпозицій напівгрупових конструкцій (таких, наприклад, як вільний добуток напівгруп) у сполуки піднапівгруп та проблему описання оболонок зсувів напівгрупових конструкцій (таких, наприклад, як вільний добуток напівгруп).

Метою дисертації є :

Класифікація напівретракцій вільних моноїдів за властивостями відповідних мутацій.

Класифікація декомпозицій напівгрупової конструкції вільного добутку напівгруп у сполуки своїх піднапівгруп.

Описання оболонок зсувів вільних добутків напівгруп та напівгруп Ріса матричного типу.

Описання напівгруп ендоморфізмів вільних добутків напівгруп ідемпотентів.

Основні методи досліджень – загальноалгебраїчні з використанням основних методів теорії напівгруп, метод напівретракцій.

Автором запропоновано також новий метод отримання зовнішніх напівгрупових конструкцій, які виникають як мутації вільного моноїду, що визначаються напівретракціями заданого класу.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Робота виконувалась за програмами НДР „Комплекси алгебраїчних та топологічних систем” (номер державної реєстрації 0203U000460), „Синтетичні методи класифікації математичних структур” (номер державної реєстрації 0000101U0027), що здійснювались у Луганському національному педагогічному університеті імені Тараса Шевченка та в Слов’янському державному педагогічному університеті.

Основні результати дисертації:

Класифіковано напівретракції вільного моноїду за властивостями відповідних мутацій.

Цим результатом модифікуються та доповнюються результати Петрича і Сільви про гомоморфізми вільної напівгрупи на напівгрупи, вільні в деяких многовидах напівгруп ідемпотентів.

Описано декомпозиції вільних добутків напівгруп у сполуки своїх піднапівгруп.

Цей результат розвиває результати Петрича і Сільви та Герхардта і Петрича про будову конгруенцій вільної напівгрупи, фактор-напівгрупи за якими є вільними в многовидах напівгруп ідемпотентів.

Вивчено оболонки зсувів вільних добутків напівгруп.

Описано будову напівгрупи ендоморфізмів вільного добутку напівгруп ідемпотентів.

Цей результат доповнює результати Глускіна Л.М. про напівгрупи ендоморфізмів лінійних просторів та результати Усенка В.М. про напівгрупи ендоморфізмів вільних груп.

Описано точні зображення напівгруп зсувів матричних напівгруп Ріса над групами.

Цим результатом модифікуються результати Петрича про оболонки зсувів цілком -простих напівгруп.

Наукова новизна та теоретичне значення. Усі результати роботи є новими. Результати роботи мають теоретичне значення як такі, що є внеском у подальший розвиток структурної теорії напівгруп. Вони можуть бути застосованими до вивчення будови різних класів напівгруп.

Тема роботи є пов’язаною з науковими дослідженнями, що здійснюються в Луганському національному педагогічному університеті імені Тараса Шевченка, Донецькому національному університеті, Слов’янському державному педагогічному університеті, Інституті прикладної математики та механіки НАН України, Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна.

Особистий внесок здобувача.

Усі результати дисертації одержані автором особисто.

Результати дисертації доповідались на

Третій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Суми, липень, 2001),

Українському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю з дня народження М.В. Остроградського (Київ, серпень, 2001),

IX-ій Міжнародній науковій конференції імені акад.М. Кравчука (Київ, травень, 2002),

Міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю від початку роботи Д.А.Граве в Київському університеті (Київ, червень, 2002),

Всеукраїнській конференції “Алгебраїчні методи дискретної математики” (Луганськ, вересень, 2002),

4th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstacts (Lviv, August, 2003),

Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova (Chisinau, August, 2004),

5th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstracts (Odessa, July, 2005),

1-й загальноуніверситетській конференції молодих вчених Луганського національного педагогічного університету імені Тараса Шевченка (Луганськ, січень, 2004),

Алгебраїчних семінарах Київського національного університету імені Тараса Шевченка та Луганського національного педагогічного університету імені Тараса Шевченка (2001-2005рр.),

Звітних наукових конференціях Слов’янського державного педагогічного університету (2000-2005 рр.).

Публікації. Публікацію основних результатів дисертації здійснено в 11 роботах автора, з яких 4 є статтями у фахових періодичних виданнях, затверджених ВАК України, та 7 є тезами доповідей наукових конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація обсягом 152 сторінки складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку літератури, що містить 69 найменувань. Кожний із розділів роботи складається з параграфів, які в свою чергу розбиті на пункти. Перша цифра в нумерації пунктів відповідає номеру параграфа відповідного розділу, друга – номеру пункту в цьому параграфі. Наприклад, запис „теорема п.3.4, розд. ІІІ” означає, що дана теорема міститься в четвертому пункті третього параграфа третього розділу.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність проблематики дисертації, наведено короткий огляд робіт за темою дисертації, сформульовано мету дослідження, викладено основні наукові результати дисертації, охарактеризовано зміст роботи.

У першому розділі роботи сформульовано основні поняття та результати теорії напівгруп, які використовуються в подальшому, описано конструкцію вільного добутку довільних напівгруп у термінах визначеної в §2 конструкції мультимероморфного добутку.

Нехай деяка напівгрупа, напівгрупа ідемпотентів.

Гомоморфізм назвемо -декомпозицією напівгрупи . Задачу описання -декомпозицій напівгруп заданого класу назвемо задачею -розщеплення (пряма задача теорії сполук).

Зворотньою для задачі -розщеплення є задача побудови напівгрупи яка була б деякою -сполукою даного сімейства напівгруп Цю задачу назвемо задачею -згортки (зворотня задача теорії сполук).

Через позначатимемо булеан множини , через множину скінченних непорожніх підмножин множини . Якщо прямий добуток напівгруп , то через будемо позначати -у компоненту елемента .

Нехай сімейства напівгруп, довільна напівгрупа. Якщо системи гомоморфізмів та, відповідно, такі, що для всіх то покладемо

.

Неважко перевірити безпосередньо, що є напівгрупою. Отриману напівгрупу назвемо мультимероморфним добутком напівгруп та напівгрупи з системами гомоморфізмів

Для кожного покладемо – вільний добуток одноелементних напівгруп (множина натуральних чисел), сімейство довільних напівгруп.

Нехай далі зовнішній ідемпотент, вільний добуток напівгруп , вільний добуток напівгруп Для кожного через позначимо систему гомоморфізмів

,

де елемент, отриманий із заміною елементів із ідемпотентом , а через систему гомоморфізмів

де елемент, отриманий із заміною елементів, не рівних , ідемпотентом .

Відзначимо, що для всіх та позначимо через сімейство напівгруп а через сімейство напівгруп

Через позначимо вільний добуток довільних напівгруп .

Основним результатом §2 першого розділу є

Теорема (п.2.3, розд. І). , , .

Цим результатом узагальнюється результат Кізіменка О.М. про будову вільних добутків одноелементних напівгруп.

Перетвореня напівгрупи називають лівою напівретракцією, якщо

при будь-яких . Якщо замість останньої тотожності виконується наступна:

то говорять про праву напівретракцію.

Перетворення напівгрупи називають (симетричною) напівретракцією, якщо для всіх

Якщо ідемпотентна напівретракція напівгрупи , то безпосередньо перевіряється, що множина є напівгрупою відносно операції . Напівгрупу називають -мутацією напівгрупи

У другому розділі роботи наведено приклади напівретракцій напівгрупових конструкцій та класифікацію напівретракцій вільного моноїду за їх дією на довжину та зміст напівгрупових слів.

У §1 другого розділу наведено приклади напівретракцій напівгруп Ріса матричного типу, прямих добутків напівгруп, напівпрямих добутків напівгруп, вінцевих добутків напівгруп, напівгруп відображень та вільних добутків напівгруп.

У §§2-4 другого розділу вивчаються симетричні напівретракції вільного моноїду та структурні властивості відповідних мутацій.

Нехай вільний моноїд в алфавіті , порожнє слово, вільна напівгрупа в тому ж алфавіті.

Через позначатимемо довжину слова .

У §§2,3 наведено класифікацію напівретракцій за їх дією на довжину напівгрупових слів.

Напівретракцію вільного моноїду назвемо -напівретракцією, якщо для будь-якого виконується умова причому знайдуться такі, що

Напівретракцію вільного моноїду назвемо -напівретракцією, якщо для будь-якого виконується умова , причому знайдуться елементи такі, що ,.

Напівретракцію вільного моноїду назвемо -напівретракцією, якщо є або - або -напівретракцією.

У §2 доведено існування -напівретракцій.

Напівретракцію вільного моноїду назвемо -напівретракцією, якщо для всіх .

Напівретракцію вільного моноїду назвемо -напівретракцією, якщо знайдуться елементи такі, що ,,.

Напівретракцію вільного моноїду назвемо -напівретракцією, якщо є або - або -напівретракцією.

У §3 доведено існування -напівретракцій.

Через позначимо множину елементів , які входять до запису елемента . Множину назвемо змістом слова . Будемо вважати, що .

У §4 розглянуто дію напівретракцій на зміст напівгрупових слів.

Напівретракцію вільного моноїду назвемо -напівретракцією, якщо для будь-яких .

Напівретракцію вільного моноїду назвемо -напівретракцією, якщо знайдуться елементи такі, що та .

Напівретракцію вільного моноїду назвемо -напівретракцією, якщо є або - або -напівретракцією.

У §4 доведено існування -напівретракцій.

Для всіх покладемо слово, отримане із нескінченного слова викресленням всіх літер, які не входять в множину .

Визначимо перетворення , вільного моноїду , поклавши

де для всіх та перша (остання) літера слова .

Перетворення вільного моноїду є -напівретракцією.

Через позначимо напівгрупу на множині з операцією диз’юнкції .

Якщо для всіх , то розглянемо напівгрупи

визначені, відповідно, відносно наступних операцій:

де

Нехай

многовид комутативних напівгруп ідемпотентів,

многовид лівих нормальних напівгруп ідемпотентів,

многовид нормальних напівгруп ідемпотентів,

многовид правих нормальних напівгруп ідемпотентів,

Нехай напівгруповий многовид.

Напівретракцію вільної напівгрупи назвемо -напівретракцією, якщо -мутація цієї напівгрупи є вільною в многовиді .

Через позначимо обмеження перетворення на множині .

Основним результатом §4 другого розділу є

Теорема (п.4.5, розд.ІІ). Будь-яке перетворення вільної напівгрупи є -напівретракцією, для якої існує ізоморфізм

Отриманий результат доповнює результати Герхардта і Петрича про декомпозиції вільних напівгруп у сполуки своїх піднапівгруп.

У §5 другого розділу вивчаються однобічні напівретракції вільного моноїду та встановлюється зв’язок між деякими типами лівих та симетричних напівретракцій цього моноїду.

У третьому розділі роботи розв’язується задача -розщеплення конструкції вільного добутку напівгруп та описується будова відповідних декомпозицій у сполуку. Крім цього, вивчено оболонки зсувів вільних добутків напівгруп, описано напівгрупи ендоморфізмів вільних добутків напівгруп ідемпотентів та знайдено точні зображення напівгруп лівих (правих) зсувів напівгруп Ріса матричного типу над групами.

У §1 третього розділу в термінах напівретракцій напівгруп описано найменшу конгруенцію вільного добутку одноелементних напівгруп, що відповідає його декомпозиції у сполуку.

Нехай вільний добуток одноелементних напівгруп , порожнє слово, приєднане до напівгрупи .

Для всіх покладемо

множина елементів які входять до запису елемента

початкове (кінцеве) слово мінімальної довжини слова , для якого

остання (перша) літера слова ,

слово, отримане з викресленням літери .

Визначимо на напівгрупі перетворення , поклавши

для всіх

Зрозуміло, що результат дії цього перетворення на довільному елементі знаходимо за допомогою індукції за потужністю множини .

Основним результатом §1 третього розділу є

Теорема (п.1.6, розд. ІІІ). Перетворення вільного добутку одноелементних напівгруп є напівретракцією такою, що -мутація напівгрупи є вільною напівгрупою ідемпотентів.

У §2 третього розділу описано будову довільної напівретракції вільного добутку довільних напівгруп, нерозкладних у сполуку, мутація за якою є напівгрупою ідемпотентів, та операторні властивості деяких напівретракцій вільних напівгруп.

Нехай ідемпотентна напівретракція напівгрупи , , де .

Визначимо перетворення напівгрупи , поклавши

для всіх .

Перетворення вільного добутку напівгруп є напівретракцією.

Зафіксуємо елемент та накладемо на напівретракцію наступну умову:

.

Легко бачити, що в цьому випадку напівгрупа є вільним добутком одноелементних напівгруп Щойно отриману напівретракцію напівгрупи назвемо канонічною.

Напівретракцію вільного добутку напівгруп , мутація за якою є напівгрупою ідемпотентів, назвемо -напівретракцією.

Нехай сімейство напівгруп, нерозкладних у сполуку.

Основний результат §2 третього розділу описує -напівретракції напівгрупи за допомогою канонічної напівретракції та напівретракції напівгрупи .

Теорема (п.2.4, розд.ІІІ). Для будь-якої -напівретракції напівгрупи знайдеться підходяща напівретракція напівгрупи така, що .

У випадку вільного добутку , де , , остання теорема залишається справедливою.

У §3 третього розділу описуються конгруенції вільного добутку довільних напівгруп, нерозкладних у сполуку, фактор-напівгрупи за якими є вільними в многовидах напівгруп ідемпотентів, а також класи конгруенцій вільного добутку, фактор-напівгрупи за якими є вільними лівими (правими) нормальними напівгрупами ідемпотентів, вільними нормальними напівгрупами ідемпотентів, вільними комутативними напівгрупами ідемпотентів, вільними в многовидах напівгруп лівих (правих) нулів та в многовидах напівгруп медіальних одиниць.

Нехай деякі напівгрупи, сюр’єктивні гомоморфізми, деяка фіксована напівретракція напівгрупи

Позначимо через відношення на напівгрупі яке визначено за правилом:

.

Відношення є конгруенцією напівгрупи .

Нехай многовид напівгруп.

Через позначимо найменшу конгруенцію напівгрупи таку, що вільна напівгрупа в многовиді , а через напівретракцію напівгрупи , відношення рівнозначності за якою співпадає з .

Основним результатом §3 третього розділу є

Теорема (п.3.4, розд.ІІІ). Для будь-якого многовида напівгруп ідемпотентів існують напівгрупа і сюр’єктивні гомоморфізми , такі, що .

Ця теорема посилює результати Герхардта, Петрича та Сільви про будову всіх конгруенцій вільної напівгрупи , фактор-напівгрупи за якими є вільними в многовидах напівгруп ідемпотентів.

Розглянемо напівгрупи

,

визначені, відповідно, відносно наступних операцій:

Треба помітити, що всі чотири напівгрупи є вільними напівгрупами в деяких многовидах напівгруп ідемпотентів.

Для довільного слова покладемо , перша (остання) літера елемента

Безпосередньо перевіряється, що відображення

,

,,

є гомоморфізмами.

Для всіх покладемо

Множини , є класами конгруенцій гомоморфізмів, відповідно, і, отже, піднапівгрупами напівгрупи

Нехай , . Покладемо . Через позначимо напівгрупу .

Визначимо -матрицю умовою:

де

та розглянемо напівгрупу Pica

матричного типу над напівгрупою з сендвіч-матрицею .

Наступний результат §3 третього розділу описує будову напівгруп .

Теорема (п.3.17, розд.ІІІ). Існує мономорфізм

.

У пункті 3.19 третього розділу в термінах напівгруп Ріса матричного типу описуються напівгрупи , коли .

У §4 третього розділу вивчаються оболонки зсувів вільних добутків довільних напівгруп. При цьому описано напівгрупи лівих (правих) зсувів вільних добутків одноелементних напівгруп, а також напівгрупи ендоморфізмів вільних добутків напівгруп ідемпотентів.

У п.п.4.2-4.4 знайдено всі ліві (праві) зсуви вільного добутку довільних напівгруп та описано необхідні та достатні умови зв’язаності лівого і правого зсувів вільного добутку.

У п.4.8, п.4.10 в термінах напівгруп строго мономіальних по рядках (стовпчиках) матриць отримано описання напівгрупи правих (лівих) зсувів вільного добутку одноелементних напівгруп.

Нехай довільна непорожня множина, напівгрупа з зовнішнім нулем. Напівгрупу всіх -матриць, строго мономіальних по рядках, будемо позначати через .

Нехай сімейство довільних напівгруп.

Длякожної пари через позначимо сукупність всіх гомоморфізмів та покладемо

На множині природньо визначеною є часткова операція композиції гомоморфізмів. Довизначимо на множині ( – зовнішній ідемпотент) операцію наступним чином:

для всіх . Дана операція є асоціативною. Щойно отриману напівгрупу позначимо через

Нехай далі сімейство довільних напівгруп ідемпотентів.

Через позначимо напівгрупу ендоморфізмів вільного добутку довільних напівгруп .

Одним із результатів §4 третього розділу є

Теорема (п.4.13, розд.ІІІ). Існує мономорфізм

.

Ця теорема залишається справедливою для вільного добутку будь-якої скінченної множини напівгруп ідемпотентів.

Оскільки у п.п.3.17, 3.19 третього розділу при описанні декомпозицій вільного добутку напівгруп у сполуки своїх піднапівгруп виникають напівгрупи Ріса матричного типу, то природньо розглянути оболонки зсувів таких напівгруп.

У §5 третього розділу описано точне зображення напівгрупи лівих (правих) зсувів напівгрупи Ріса матричного типу над групою в правому (лівому) вінцевому добутку напівгруп, вивчено алгебраїчні властивості відповідних напівгруп такі, як ідемпотентність, відношення подільності, відношення Гріна. Результати, які при цьому отримано, модифікують та доповнюють результати Петрича про оболонки зсувів цілком -простих напівгруп.

Нехай довільна напівгрупа, довільна непорожня множина.

Через позначимо лівий (правий) стандартний вінцевий добуток напівгрупи і симетричної напівгрупи , а через – напівгрупу лівих (правих) зсувів напівгрупи .

Нехай напівгрупа Ріса матричного типу над групою із сендвіч-матрицею

Основним результатом §5 третього розділу є

Теорема (п.5.2, розд.ІІІ).

Двоїсто в термінах напівгрупи описується напівгрупа .

ВИСНОВКИ

У роботі отримано нові результати про структурні властивості вільних добутків та напівгрупових сполук.

Для вільних моноїдів отримано описання основних типів напівретракцій з характеризацією відповідних мутацій, яким модифікуються та доповнюються результати Петрича та Сільви.

Для вільних добутків напівгруп описано конгруенції, фактор-напівгрупи за якими є вільними в многовидах напівгруп ідемпотентів. Ці описання посилюють результати Герхардта, Петрича та Сільви.

Крім цього, вивчено оболонки зсувів вільних добутків довільних напівгруп, описано напівгрупи зсувів вільних добутків одноелементних напівгруп та напівгрупи ендоморфізмів вільних добутків напівгруп ідемпотентів.

Досліджено алгебраїчні властивості напівгруп зсувів напівгруп Ріса матричного типу. Отримано модифікацію результатів Петрича про оболонки зсувів регулярних рісівських напівгруп.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Жучок А.В. Декомпозиції вільних добутків // Вісник Київ. ун-ту. Сер. фіз.-мат. наук.-2002.-вип.2.-с.41-49.

2. Жучок А.В. Свободные полугруппы идемпотентов // Известия Гомельского ун-та им.Ф.Скорины. 2003, №4 (19), с.55-58.

3. Жучок А.В. Зсуви напівгрупи Ріса матричного типу // Вісник Донецького ун-ту. Сер. А. Природничі науки, ч.1.-вип. 1.-2005.-с.7-15.

4. Жучок А.В. Напівретракції вільних моноїдів // Труды ИПММ НАН Украины. 2005. Вып.11.-с.1-7.

5. Жучок А.В. Свободные произведения и прямоугольные связки // Третя Міжнародна алгебр.конф. в Україні (2-8 липня 2001р.), СумДПУ ім.А.С.Макаренка, с.178.

6. Жучок А.В. Напівретракції вільних моноїдів // Матеріали IX-ої Міжнародної наукової конференції імені акад.М. Кравчука (16-19 травня 2002р., Київ), с.278.

7. Жучок А.В. Про деякі напівретракції вільного моноїду // Міжнародна конференція, присвячена 100-річчю від початку роботи Д.А.Граве в Київ.ун-ті, Київ, 17-22 червня, 2002р., с.89-90.

8. Жучок А.В. Вільні напівгрупи ідемпотентів // Всеукраїнська конференція “Алгебраїчні методи дискретної математики” (Луганськ, 23-27 вересня 2002р.), с.26-27.

9. Zhuchok A. Free idempotent semigroups // 4th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstacts (August, 4-9, 2003, Lviv), p.246-247.

10. А.V.Zhuchok. Translations of the Rees matrix semigroups // Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova (Chisinau, August, 17-19, 2004), р.331-332.

11. Zhuchok A. Free semigroups of idempotents // 5th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstracts (July, 20-27, 2005, Odessa), p.252.

АНОТАЦІЇ

Жучок А.В. Декомпозиції вільних добутків напівгруп. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка. Київ, 2005.

Описано декомпозиції вільних добутків напівгруп у термінах сполук напівгруп. Для вільних добутків отримано узагальнення результатів Петрича і Сільви про конгруенції вільних напівгруп. Запропоновано конструкцію мультимероморфного добутку, в термінах якої отримано описання вільних добутків довільних напівгруп.

Запропоновано метод класифікації напівретракцій напівгруп за властивостями відповідних мутацій. За допомогою цього методу описано основні типи напівретракцій вільних моноїдів та вивчено властивості відповідних мутацій. Вивчено оболонки зсувів вільних добутків довільних напівгруп. В термінах напівгруп мономіальних матриць отримано характеристику напівгрупи ендоморфізмів вільного добутку напівгруп ідемпотентів. Досліджено алгебраїчні властивості напівгруп зсувів напівгруп Ріса матричного типу та модифіковано результати Петрича про оболонки зсувів регулярних рісівських напівгруп.

Ключові слова: напівгрупа, сполука, напівгрупа Ріса матричного типу, вільний добуток, вільний моноїд, напівретракція, мутація, зсув.

Жучок А.В. Декомпозиции свободных призведений полугрупп. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра і теория чисел. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко. Киев, 2005.

Описаны декомпозиции свободных произведений полугрупп в терминах связок полугрупп. Для свободных произведений получено обобщение результатов Петрича и Сильвы о конгруэнциях свободных полугрупп. Построена теоретико-полугрупповая конструкция, в терминах которой характеризуется свободное произведение произвольных полугрупп. Этот результат обобщает характеристику свободного произведения одноэлементных полугрупп, полученную Кизименко А.М..

Предложен метод классификации полуретракций полугрупп по свойствам соответствующих мутаций. С помощью этого метода получена классификация полуретракций свободных моноидов по их действию на длины и содержания полугрупповых слов. Описаны свойства соответствующих мутаций свободных моноидов. Изучены сдвиговые оболочки свободных произведений произвольных полугрупп. Найдены все левые (правые) сдвиги свободных произведений произвольных полугрупп, а также необходимые и достаточные условия связанности левого и правого сдвигов свободного произведения. Построены адекватные полугрупповые конструкции, в терминах которых описаны полугруппы сдвигов свободного произведения одноэлементных полугрупп. В терминах полугрупп матриц получена характеристика полугрупп эндоморфизмов свободных произведений полугрупп идемпотентов. Этот результат дополняет результаты Глускина Л.М. о строении полугрупп эндоморфизмов линейных пространств и результаты Усенко В.М. о строении полугрупп эндоморфизмов свободных групп. Исследованы алгебраические свойства полугрупп сдвигов полугрупп Риса матричного типа. В терминах сплетений полугрупп описаны полугруппы левых (правых) сдвигов полугрупп Риса матричного типа. Этот результат модифицирует и совершенствует результаты Петрича о сдвиговых оболочках регулярных рисовских полугрупп.

Ключевые слова: полугруппа, связка, полугруппа Риса матричного типа, свободное произведение, свободный моноид, полуретракция, мутация, сдвиг.

Zhuchok A.V. Decompositions of free products of semigroups. – Manuscript.

Thesis of dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 – algebra and number theory. – Kyiv national Taras Shevchenko university. Kyiv, 2005.

The decompositions of free products of semigroups are described in the terms of bands of semigroups. The generalization of results of Petrich and Silva about the congruence of free semigroups for free products is obtained.

The method of classification semiretractions of semigroups according to the qualities of mutations is offered. With the help of this method the existence of semiretractions of free monoids is proved. The qualities of mutations are studied in terms of theoretical constructions of semigroups. The translational hulls of free products of arbitrary semigroups are studied.

The characteristic of semigroups of endomorphisms free products semigroups of idempotents is obtained in terms of semigroups matrix.

Algebraic qualities the translations semigroups over the Rees matrix semigroups are examined and the results of Petrich about translational hulls of regular semigroups are modified.

Key words: semigroup, band, Rees matrix semigroup, free product, free monoid, semiretraction, mutation, translation.