НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ЖУРАВСЬКА Ганна Вікторівна

УДК 517.944

РІВНОМІРНЕ НАБЛИЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ

НЕЛІНІЙНИХ ЗАДАЧ

В ПЕРФОРОВАНИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

Офіційні опоненти:

Провідна установа: |

доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України

Скрипник Ігор Володимирович

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор.

доктор фiзико-математичних наук,

академік НАН України

Хруслов Євген Якович,

заступник директора з наукової роботи Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України,

доктор фізико-математичних наук

Мельник Тарас Анатолійович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри математичної фізики механіко-математичного факультету.

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів.

Захист відбудеться ” 25 ” жовтня 2005р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України, 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці інституту.

Автореферат розіслано ” 15 ” вересня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Г. П. Пелюх

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія нелінійних еліптичних та параболічних диференціальних рівнянь в перфорованих областях активно розвивається останнім часом. Це пов’язано з тим, що процеси, які відбуваються в сильно неоднорідних середовищах, мають своїми математичними моделями крайові задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними. Такі рівняння розглядаються в областях складної структури, наприклад таких, що мають границю, яка складається з великої кількості малих компонент, що не перетинаються між собою. Складна структура областей не заважає доведенню існування та єдиності розв’язків крайових задач, але визначити ці розв’язки як точними, так і наближеними методами практично неможливо. Отже, велике значення набуває питання про побудову більш простих задач такого ж самого типу в певних областях, до розв’язку яких і будуть наближатися шукані розв’язки.

Саме в зв’язку з цим питанням, виникла нова область в теорії рівнянь з частинними похідними –– усереднення диференціальних операторів. Побудова граничних задач, умови при яких збігається розв’язок вихідної задачі до розв’язку граничної, задачі на власні значення –– лише кілька питань, яких торкається ця теорія.

В 60-х роках минулого століття з’являються перші роботи по усередненню диференціальних рівнянь з частинними похідними в областях з дрібнозернистою границею. В. О. Марченко та Є. Я. Хруслов вперше дослідили поведінку розв’язків таких задач. Пізніше Є. Я. Хрусловим було розроблено певні варіаційні методи дослідження асимптотичної поведінки розв’язків лінійних еліптичних задач в областях неперіодичної структури.

Важливі результати в цій теорії були отримані І. В. Скрипником, Дж. Даль Мазо, О. А. Ковалевським, Ф. Мюра та іншими. Вони розробили методи усереднення крайових задач для нелінійних еліптичних та параболічних рівнянь другого порядку в перфорованих областях та побудували відповідні граничні задачі, дослідили асимптотику розв’язків еліптичних задач.

Задачі Діріхле для нелінійних рівнянь другого порядку в областях складної структури були вивчені І. В. Скрипником. В основі запроваджених методів лежала побудова асимптотичного розкладу послідовності розв’язків початкових задач з метою подальшого вивчення поведінки його членів. З використанням такого розкладу будувалася усереднена гранична задача та встановлювались достатні умови збіжності, що базувалося на інтегральних та поточкових оцінках розв’язків модельних нелінійних задач. В нинішній час розроблено методи дослідження асимптотичної поведінки розв’язків еліптичних та параболічних задач в послідовності перфорованих областей, доводяться збіжності до нуля залишкових членів в енергетичному просторі. Важливою задачею є доведення цих збіжностей у рівномірній метриці. Достатньо детально це було проведено для нелінійних еліптичних задач при об’ємному розподілі неоднорідностей

В зв’язку з цим становить інтерес асимптотична поведінка розв’язків лінійних та нелінійних параболічних задач в областях з дрібнозернистою границею.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана Інституті математики НАН України у відділі нелінійного аналізу згідно з загальним планом досліджень в рамках науково-дослідної теми "Розробка методів функціонального аналізу та їх застосувань до нелінійних проблем математичної фізики." Номер державної реєстрації 0101 U 000 623. Її результати використані при виконанні наукового проекту 01.07/00252 "Асимптотична поведінка розв’язків рівнянь вищого порядку в областях складної структури" ДФФД України.

Мета дослідження. Вивчити асимптотичну поведінку розв’язків параболічних та еліптичних рівнянь в областях з дрібнозернистою границею. Об’єктом дослідження є нелінійні еліптичні та параболічні задачі Діріхле другого порядку в областях з дрібнозернистою межею. Предметом дослідження стали асимптотичні розклади розв’язків кожної з розглянутих задач та характеристика збіжності.

Наукова новизна одержаних результатів.

· Для лінійної параболічної задачі в області з дрібнозернистою

границею при об’ємному розподілі неоднорідностей доведено рівномірну збіжність до нуля залишкового члена асимптотичного розкладу.

· В випадку нелінійної параболічної задачі в області з дрібнозернистою границею при об’ємному розподілі неоднорідностей для залишкового члена асимптотичного розкладу було доведено сильну збіжність до нуля в просторі V2 (QT) і рівномірну збіжність до нуля.

· В випадку нелінійної параболічної задачі в області з дрібнозернистою границею при поверхневому розподілі неоднорідностей для залишкового члена асимптотичного розкладу було доведено сильну збіжність до нуля в просторі V2 (QT) і рівномірну збіжність до нуля.

· Для нелінійної еліптичної задачі в області з дрібнозернистою границею при поверхневому розподілі неоднорідностей доведено рівномірну збіжність до нуля залишкового члена асимптотичного розкладу.

· Доведено поточкову оцінку на просторову похідну для розв’язку модельної нелінійної параболічної задачі.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в роботі мають теоретичний характер і можуть бути використані при вивченні фізичних та механічних процесів, що моделюються нелінійними еліптичними та параболічними задачами Діріхле в областях з дрібнозернистою границею.

Особистий внесок здобувача. Роботи [2-4] виконані в співавторстві з науковим керівником. Керівнику належить постановка задачі, схеми доведення основних оцінок, а дисертанту –– доведення всіх результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації були представлені на міжнародних конференціях "Нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними" (м. Київ, 2001 р.; м. Алушта, 2003 р.); на науковому семінарі кафедри математичної фізики Національного технічного університету України "КПІ"(2004) та на спільному засіданні відділу диференціальних рівнянь в частинних похідних та відділу нелінійного аналізу Інституту математики НАН України (м. Київ, 2005).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 3-х працях [1-3] в провідних наукових фахових виданнях, 1-му препринті Iнституту математики НАН України [4] та 2-х тезах [5,6] міжнародних наукових конференцій.

Структура та об’єм роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел. Робота викладена на 123 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 114 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, розглянуто сучасний стан проблеми, вказано мету та задачі дослідження, наукову новизну, практичне значення, апробацію результатів та зміст роботи.

В першому розділі зроблено огляд результатів, що стосуються теми роботи.

В другому розділі розглядається низка допоміжних нерівностей. Новим результатом є оцінка на просторову похідну розв’язку модельної нелінійної параболічної задачі.

Нехай 1 –– обмежена відкрита множина в n-вимірному евклідовому просторі Rn, n?3, і припустимо, що F –– замкнена множина, яка лежить в кулі радіусу d, d<1, з центром в точці х0. Позначимо через r відстань від B (x0, d) до .

В циліндричній області , розгляд-дається модельна нелінійна параболічна задача

Вважаємо, що виконуються такі умови:

А1) функції aj(x,t,) визначені при x, t[0,T], Rn, неперервні по при майже всіх x, t, вимірні по x, t при всіх і aj(x,t,0)=0 при (x, t)QT, j = 0,1, …, n;

А2) існують додатні константи 1, 2, 1 такі, що при всіх x, t, мають місце нерівності

.

Доведення основних теорем третього, четвертого та шостого роз ділу базується на таких оцінках.

Теорема 2.1. Припустимо, що виконано умови А1), А2). Тоді існує додатна константа М1, що залежить лише від n, T , 1, 2, 1, така, що при , t[0, T], має місце оцінка

Доведення оцінки проводиться аналогічно до представленої в (Скрыпник И.В. Поточечная оценка решения модельной нелинейной параболической задачи // Нелинейные граничные задачи. – 1991. – No.3. – С.72-86).

Новим є такий результат, доведений модифікацією методу Мозера.

Теорема 2.2. Припустимо, що виконано умови А1), А2). Тоді існує додатна константа М2, що залежить лише від n, T , 1, 2, така, що при , t[0, T ], має місце оцінка

В третьому та четвертому розділах розглядаються відповідно лінійна та нелінійна параболічні задачі при об’ємному розподілі неоднорідностей. Нехай –– обмежена відкрита множина в n-вимірному евклідовому просторі Rn, n?3, і при s = 1, 2, ... визначені замкнені множини Fi(s) , i = 1, …, I(s), що не перетинаються між собою. Через di(s) позначається нижня границя радіусів куль, що містять в собі Fi(s), і нехай точка xi(s) така, що . Через ri(s) позначимо відстань від B(xi(s),di(s)) до . Припустимо, що виконуються такі умови:

В1) , де r(s)=max{ri(s), і = 1, …, I(s)};

В2) існує додатне число 3 таке, що при i=1,…, I(s), s=1,2…

Підрозділ 3.1 присвячений постановці задачі та побудові асимпто-тичного розкладу послідовності розв’язків задачі.

В циліндричній області , розгляд-

дається лінійна параболічна задача

Будемо вважати, що функції ajk(x,t), aj(x,t), a(x,t), f(x,t), g(x,t), j,k=1,…,n, визначені при x, t(0,T), вимірні та задовольняють такі умови з додатними , 1, 2 :

А1) функції ajk(x,t) мають узагальнені похідні по x і задовольняють нерівностям з довільним Rn

А2) виконана умова p, q>1,

–– узагальнені похідні функції g(x,t) і –– норма в Lp(0,T;Lq()).

Головну роль при вивченні асимптотичної поведінки послідовності {us(x,t)} відіграють функції vi(s)(x,t), що визначаються як розв’язки допоміжних задач

де : R1 R1 –– фіксована нескінченно диференційована функція, що дорівнює одиниці на (-?,?), нулю на [1,?] і така, що 0?(z)?1 при zR1.

Введемо функції i(s) в такий спосіб:

Далі, визначимо асимптотичний розклад

us (x,t) = u0 (x,t) – [ g(x,t) – u0 (x,t) ] rs (x,t) + ws (x,t), (7)

де , а функція u0 (x,t)C([0,T];L2()) є розв’язком такої усередненої граничної задачі:

Тут c(x,t) –– невід’ємна функція, що визначається ємкісними характеристиками множин Fi(s) і має оцінку c(x,t)=C0 зі сталою С0.

Крім побудови асимптотичного розкладу наводиться також таке твердження.

Теорема 3.1. Припустимо, що виконано умови А1), А2), В1), В2). Тоді послідовність ws(x,t) прямує до нуля в L8([0,T],L2())nL2(0,T;W21 ()) при s 8 .

Підрозділ 3.2 містить доведення рівномірної збіжності залишкового члена асимптотичного розкладу.

Теорема 3.2. Припустимо, що виконано умови А1), А2), В1), В2), і). Тоді

,

де ws (x, t) –– залишковий член асимптотичного розкладу.

Для доведення збіжності був використаний метод мозерівського типу.

В четвертому розділі вивчається нелінійна параболічна задача в області з дрібнозернистою границею. В підрозділі 4.1 ставиться задача та будується асимптотичний розклад розв’язку.

В циліндричній області розглядається нелінійна параболічна задача

Будемо вважати, що функції aj(x,t,u,), j=0,1,…,n, визначені при x, t[0,T], uR1, Rn та задовольняють такі умови:

А1) функції aj(x,t,u,) неперервні по u, при майже всіх x, t, вимірні по x, t при всіх u, і aj(x,t,0,0)=0, при (x,t)QT, j = 0,1,…, n;

А2) існують додатні константи 1, 2 такі, що при всіх x, t, u, v, , мають місце нерівності

з деякою невід’ємною функцією b(x,t).

А3) функції aj(x,t,0,), j=1,…,n, мають узагальнені похідні по , x, які задовольняють оцінкам

А4) f(x,t) визначена при x, tR1, дорівнює нулю при t<0 і задовольняє нерівність

де –– норма в Lp(0,T;Lq()), 0 < < 1.

При вивченні асимптотичної поведінки послідовності {us(x,t)}велику роль відіграють функції , що визначаються як розв’язки такої допоміжної задачі

де : R1 R1 означається так само, як і для задачі (4)-(6).

Введемо ще функції за допомогою рівностей

Для кожної пари (i, s) такої, що 1 ? i = I(s), s ? 1 розділимо відрізок [0, T] на K(i, s) відрізків однакової довжини точками таким чином, щоб . Визначимо на [0,T] кусково-лінійну функцію qi(s)(t), лінійну на проміжку і таку, що в точках , вона дорівнює , де – середні значення функцій f(x,t), u0(x,t) відносно циліндра

Визначимо асимптотичний розклад послідовності {us(x,t)}

us (x,t)= u0 (x,t) +rs (x,t) + ws (x,t), (17)

де , ws(x,t) –– залишковий член асимптотичного розкладу, а функція u0(x,t)C([0,T];L2()) є розв’язком усередненої граничної задачі

де функція c(x,t,q) означена при (x,t)[0,T], qR1, і така, що для довільних t1, t2(0,T) і довільної кулі B виконано рівність

ii)

тут Is(B)={i: 1=і=I(s), xi(s)B}, –– розв’язок задачі (14)–(16) при q(t) = q для 0 ? t = T .

Сформулюємо основну теорему підрозділу 4.2.

Теорема 4.1. Припустимо, що виконано умови А1), А2), А4), В1), В2). Тоді послідовність ws(x,t) прямує до нуля в V2 ( QT) при s8.

Підрозділ 4.3 містить в собі доведення рівномірної збіжності залишкового члена асимптотичного розкладу. Для доведення був використаний метод мозерівського типу.

Теорема 4.2. Припустимо, що виконано умови А1), –А4), В1), В2), іі). Тоді

,

де ws (x, t) –– залишковий член асимптотичного розкладу.

П’ятий та шостий розділи присвячено дослідженню нелінійних задач в перфорованих областях при поверхневому розподілі неоднорідностей. Нехай –– обмежена відкрита множина в n-вимір-ному евклідовому просторі Rn, n?3, і припустимо, що при s=1,2,... визначені замкнені множини Fi(s), i=1,…,I(s), що не перетинаються між собою. Множини Fi(s) зосереджуються біля деякої гладкої (n–1)-вимірної поверхні, розташованої всередині . Позначимо через di(s) нижню границю радіусів куль, що містять в собі Fi(s), і визначимо точку xi(s) так, щоб . Через ri(s) позначимо відстань від B (xi(s), di(s)) до . Далі, для довільної множини Rn через Uс( ) позначимо множину точок простору Rn, віддалених від на відстань, не більшу ніж с.

В п’ятому розділі розглядається нелінійна еліптична задача. В підрозділі 5.1 будується асимптотичний розклад розв’язку еліптичної задачі.

В області розглядається нелінійна еліптична задача

де f(x,t) –– деяка відома означена в функція.

Будемо вважати, що функції aj(x,u,p), j = 0,…,n, задовольняють такі умови:

А1) функції aj(x,u,p), j = 0,1, …, n визначені при x, uR1, pRn, неперервні по u, p при майже всіх x, вимірні по x при всіх uR1, pRn і aj(x,0,0)=0 при x, j=0,1,…, n;

А2) існують додатні константи 1, , 2 такі, що 1> і при x, u,vR1, p, qRn мають місце нерівності

де , .

А3) функції aj(x,u,p), j = 0,1, …, n, диференційовані по x, p і для них має місце оцінка

Вважаємо, що виконано умови:

В1) існує замкнена поверхня Ляпунова , розташована всередині , і послідовність чисел { (s) =0, s = 1,…} такі, що при i=1,…,I(s) .

В2) існує число М1 таке, що при s=1,…, i=1,…,I(s) мають місце умови

Головну роль при вивченні асимптотичної поведінки послідовності розв’язків {us(x)} відіграють функції vi(s)(x), що визначаються як розв’язки допоміжних задач.

Тут –– фіксоване число =, де с відстань від до .

В роботі І. В. Скрипника (О сходимости решений нелинейной задачи Дирихле при измельчении границы области. // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. – 1982. – 115.– с.236-250.) було доведено, що існує слабка збіжність us (x) до u0 (x) в Wm1 () і сильна в Wp1 (), p<m. Побудова граничної задачі в цьому випадку аналогічна проведеним при об’ємному розподілі множин. Отже, u0 (x) є узагальненим розв’язком такої усередненої граничної задачі

Тут – відповідно граничні значення u (x) на з боку внутрішньої області і , обмеженої поверхнею , і області е=, n(x) – нормаль до поверхні в точці x, напрямлена в бік області е , а функція c(x,k1,k2) така, що для довільної кулі В має місце рівність

і)

де Is (B) –– множина тих номерів j, 1 = j = I(s), для яких xj(s)B.

Визначимо зрізуючі функції i(s) рівністю

при i = 1, …, I(s), s =1,2, ...,

де –– фіксована нескінченно диференційовна функція, що задана на R1 і задовольняє умови

Визначимо при s = 1, 2, ..., i = 1, …, I(s):

де через ui(s), fi(s) позначено середні значення функцій u0(x), f(x) на кулі.

Запишемо наступний асимптотичний розклад для us(x):

(29)

де ws(x)= – залишковий член розкладу.

Підрозділ 5.2 містить доведення рівномірної збіжності залишкового члену асимптотичного розкладу.

Теорема 5.1. Припустимо, що виконано умови А1), –А3), В1), В2), і). Тоді

,

де ws ( x ) –– залишковий член асимптотичного розкладу.

Доведення базується на методі, запропонованому для випадку обємного розподілу в (Скрипник І. В. Асимптотика решений нелинейных эллиптических задач в перфорированных областях. // Мат. сб. – 1993. – 184, вып.10. – С.67-90).

В шостому розділі розглядається нелінійна параболічна задача. В підрозділі 6.1 ставиться задача та будується асимптотичний розклад розв’язку.

В циліндричній області , розглядається нелінійна параболічна задача

Умови на коефіцієнти співпадають з наведеними для задачі (11)–(13), яка розглядається при об’ємному розподілі неоднорідностей в четвертому розділі.

Вважаємо, що виконані умови:

В1) існує замкнена поверхня Ляпунова , розташована всередині , і послідовність чисел {(s)=0, s=1,…}, такі, що при i=1,…,I(s) .

В2) існує додатне число 3 таке, що при s=1,…, i=1,…,I(s),

Функції відіграють головну роль при вивченні асимптотичної поведінки послідовності {us(x,t)} і визначаються як розв’язки наступної допоміжної задачі

де : R1 R1 означається так само, як і для задачі (4)-(6).

Функція u0(x,t)C([0,T];L2()) є розв’язком такої усередненої граничної задачі:

де функція c(x,t,q) визначена при (x, t)[0,T], qR1, і така, що для довільних t1, t2 (0,T) і довільної кулі B виконана рівність

іі)

Для побудови асимптотичного розкладу введемо функції за допомогою рівностей

Аналогічно до міркувань, наведених в розділі 3 визначимо асимптотичний розклад послідовності {us(x,t)}: us (x, t) = u0 (x, t) +rs (x, t) + ws (x, t), (39)

де , ws(x,t) –– залишковий член асимптотичного розкладу.

Основним результатом підрозділу 6.2 є така теорема:

Теорема 6.1. Припустимо, що виконано умови А1), А2), А4), В1), В2). Тоді послідовність ws(x,t) прямує до нуля в V2 (QT) при s8 .

В підрозділі 6.3 за допомогою метода мозерівського типу доводиться рівномірна збіжність залишкового члена.

Теорема 6.2. Припустимо, що виконано умови А1), –А4), В1), В2), ii). Тоді

,

де ws ( x, t ) –– залишковий член асимптотичного розкладу.

ВИСНОВКИ

В дисертації отримано наступні нові результати

1) Для лінійної параболічної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при об’ємному розподілі неоднорідностей доведено рівномірну збіжність до нуля залишкового члена асимптотичного розкладу.

2) В випадку нелінійної параболічної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при об’ємному розподілі неоднорідностей для залишкового члена асимптотичного розкладу було доведено сильну збіжність до нуля в просторі V2 (QT) і рівномірну збіжність до нуля.

3) В випадку нелінійної параболічної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при поверхневому розподілі неоднорідностей для залишкового члена асимптотичного розкладу було доведено сильну збіжність до нуля в просторі V2 (QT) і рівномірну збіжність до нуля.

4) Для нелінійної еліптичної задачі другого порядку в області з дрібнозернистою границею при поверхневому розподілі неоднорідностей доведено рівномірну збіжність до нуля залишкового члена асимптотичного розкладу.

5) Доведено поточкову оцінку на просторову похідну для розв’язку модельної нелінійної параболічної задачі.

Основні результати дисертації опубліковані в працях:

1. Журавская А.В. Поточечная оценка градиента нелинейной параболической задачи // Групові та аналітичні методи в математичній фізиці: Праці Ін-ту математики НАН України. – Київ: Ін-т математики НАН України, 2001. – Т. 36, – С.103-110.

2. Скрыпник И.В., Журавская А.В. Равномерная аппроксимация решений параболических задач в перфорированных областях. // Нелинейные граничные задачи. – 2003. – №. 13. – С.149-164.

3. Скрыпник И.В., Журавская А.В. Равномерная апроксимация решений нелинейных параболических задач в перфорированных областях // Укр. мат. жур. – 2004. – Т.56. – № 9. – С.1244-1258.

4. Скрипник І.В., Журавська Г. В Рівномірне наближення розв’язків нелінійних задач в перфорованих областях при поверхневому розподілі неоднорідностей. – Київ, 2005.– 56 с.– (Препр. / НАН України. Ін-т математики; 2005.4)

5. Zhuravskaya A.V. The pointwise estimation for the gradient of the solution of nonlinear parabolic problem // NPDE Kyiv-2001. Book of abstracts, – Donetsk, – 2001, – p. 126-127.

6. Zhuravskaya A.V. Uniform aproximation of nonlinear parabolic problem in perforated domains. // NPDE Alushta-2003. Book of abstracts, – Donetsk, – 2003, – p. 225.

Автор висловлює подяку науковому керівнику, академіку НАН України І.В. Скрипнику, за постановку задач та постійну увагу до роботи.

АНОТАЦІЇ

Журавська Г.В. Рівномірне наближення розв’язків нелінійних задач в перфорованих областях. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

Дисертацію присвячено питанням усереднення сімей задач Діріхле для еліптичних та параболічних рівнянь другого порядку в областях з дрібнозернистою межею. В роботі розглянуто лінійну та нелінійну параболічні задачі при об’ємному розподілі неоднорідностей. Для кожного випадку доведено рівномірну збіжність до нуля залишкового члена асимптотичного розкладу розв’язку, а для нелінійного випадку –– ще і сильну збіжність до нуля в V2 (QT).

Окремо розглянуто нелінійні еліптичну та параболічну задачі при поверхневому розподілі неоднорідностей. Для цього випадку доведено рівномірну збіжність до нуля залишкових членів асимптотичних розкладів, причому для параболічної задачі доведено

також і сильну збіжність до нуля в V2 (QT).

В якості основного технічного засобу в роботі використано поточкову оцінку на просторові похідні розв’язку нелінійної модельної параболічної задачі.

Ключові слова: усереднення, асимптотичний розклад, перфоровані області, рівномірна збіжність, еліптичні крайові задачі, параболічні крайові задачі.

Журавская А.В. Равномерное приближение решений нелинейных задач в перфорированных областях. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

Во многих областях физики и механики возникают вопросы, связанные с так называемыми композитными и перфорированными материалами. Это вопросы теории фильтрации, диффузии, теории дисперсных сред и т. п. Математическими моделями процессов, которые возникают в таких неоднородных средах, являются линейные и нелинейные эллиптические и параболические задачи в перфорированных областях. Исследованиями таких задач занимались В. А. Марченко, Е. Я. Хруслов, О. А. Олейник, И. В. Скрипник, Дж. Даль Мазо, А. А. Ковалевский, Ф. Мюра и многие другие.

Диссертация посвящена вопросам усреднения семейств задач Дирихле для эллиптических и параболических уравнений второго порядка в последовательности перфорированных областей непериодической структуры.

Были рассмотрены линейная и нелинейная параболические задачи при объёмном распределении неоднородностей. В каждом случае строились соответствующее асимптотическое разложение решения и усредненная задача. Для линейного случая была доказана равномерная сходимость а нулю остаточного члена разложения, для нелинейного –– сильная в V2 (QT) и равномерная сходимости к нулю остаточного члена.

Рассмотрено также нелинейную эллиптическую задачу при поверхностном распределении неоднородностей и доказана равномерная сходимость к нулю остаточного члена

соответствующего асимптотического разложения.

Отдельно исследована нелинейная параболическая задача при поверхностном распределении неоднородностей. В этом случае построены асимптотическое разложение решения и усредненная задача. Также доказаны сильная в V2 (QT) и равномерная сходимости к нулю остаточного члена разложения.

В работе также выведена поточечная оценка на пространственную производную решения нелинейной модельной параболической задачи, которая играет важную роль в доказательстве основных результатов.

Ключевые слова: усреднение, асимптотическое разложение, перфорированные области, равномерная сходимость, эллиптические краевые задачи, параболические краевые задачи.

Zhuravskaya A. V. Uniform approximation of solutions of nonlinear problems in perforated domains. – Manuscript.

Thesis for candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by specialty 01.01.02 – differential equations. – The Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

The dissertation is devoted to the asymptotical behaviour of the solutions of elliptic and parabolic Dirichlet problems in perforated domains. There are considered linear and nonlinear parabolic problems in perforated domain of general structure. In each case the asymptotical expansion of solution and homogenized problem are built and the uniform convergence of the sequence of remainders of the expansion for each case and strong convergence in the space V2 (QT) for nonlinear case are proved. Also there are studied the nonlinear elliptic and parabolic problems in the domains with a fine-grain boundary, when the heterogeneities are inclined near some surface. For the elliptic problem is shown the uniform convergence of the sequence of remainders of the expansion. For the parabolic the strong convergence in the space V2 (QT) and the uniform convergence are proved.

Key words: homogenization, asymptotical expansion, perforated domains, uniform convergence, elliptic boundary value problems, parabolic boundary value problems.

Підп. до друку 6.09.2005. Формат 6084/16.

Папір тип. Офс. друк. Фіз. друк. арк. 1,5.

Ум. друк. арк.. 1,4. Тираж 100 пр.

Ін-т математики НАН України

01601, Київ-4, МСП, вул. Терещенківська,3