НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМЕНІ С.П. ТИМОШЕНКА

КРИВОБЛОЦЬКА ЛАРИСА МИКОЛАЇВНА

УДК 539.3

НЕЛІНІЙНИЙ ЗГИН ПЛАСТИНИ З ОТВОРОМ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата

фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Каюк Яків Федорович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, провідний науковий співробітник відділу динаміки поліагрегатних систем

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук Беспалова Олена Іванівна, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, провідний науковий співробітник відділу чисельних методів

кандидат фізико-математичних наук Борисов Євген Миколайович, Київський національний економічний університет, асистент кафедри вищої математики

Провідна установа: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, кафедра механіки суцільних середовищ

Захист відбудеться “31” січня 2006 року о 12.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. П.Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, 03057, м. Київ, вул. П.Нестерова, 3.

Автореферат розісланий “26” грудня 2005 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук Жук О.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблемі дослідження концентрації силових факторів біля різної форми отворів у пластинах, оболонках присвячена велика кількість наукових досліджень (в лінійній та нелінійній постановках). Узагальнюючі наукові підсумки з вказаної проблеми викладені в монографії “Методы расчёта оболочек” (А.Н.Гузь, И.С.Чернышенко, Вал. Н.Чехов и др. Киев, 1980. 636 с. (Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями. В 5 т., т. 1)). Оскільки в дисертаційній роботі розглядаються суто нелінійні задачі з вказаної проблеми, то зазначимо, що в постановку цих задач, розробку аналітичних і числових методів їх розв’язування зробили вагомий внесок відомі вчені-механіки: Г.М.Савін, О.М.Гузь, І.С.Чернишенко, Л.П.Хорошун, І.А.Цурпал, М.О.Шульга, О.С.Космодаміанський, С.О.Калоєров, Я.Ф.Каюк, Ю.М.Неміш та ін.

В розробку аналітичних і чисельних методів розв’язування задач статики і динаміки вагомий внесок зробили Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, О.І. Беспалова, В.Г. Карнаухов та ін. Методам розв’язування фізично-нелінійних просторових задач присвячені роботи Борисова Є.М.

В дисертаційній роботі розглядаються задачі геометрично нелінійного деформування гнучких пластин з отвором при згині. В лінійній постановці аналогічні задачі були розв’язані в працях Г.М.Савіна, Н.П.Флейшмана, В.І.Тульчія, Є.Ф.Бурмістрова, О.С.Космодаміанського, О.М. Шульги і багатьох інших авторів. В нелінійній постановці ці задачі майже не розглядалися. Виявляється, що на це є вагомі причини, які полягають у наступному: при розв’язуванні зазначених задач різними ітераційними методами одержуються сингулярні ітерації, тобто такі, які зростають на “нескінченності”; їх порядок суттєво збільшується з ростом номера наближення. Це принципово ускладнює дослідження; методів, які б дозволяли “гасити” порядки зростання на “нескінченності” ітерацій для зусиль і моментів майже немає. Складається враження, що дослідити концентрацію зусиль і моментів біля отворів ізотропних гнучких пластин при їх згині моментами на “нескінченності” відомими ітераційними методами (малого параметра, простих ітерацій, метод Ньютона) досить проблематично. Основна причина – наявність в пластині таких факторів, як “нескінченність” і різного порядку диференціальних операторів, які входять у визначальні рівняння. У випадку фізично-нелінійних задач про концентрацію зусиль і моментів в пластинах подібна ситуація відсутня, тому ряд задач вдалося розв’язати відомими ітераційними методами.

Проведеним оглядом наукових досліджень, пов’язаних із застосуванням ітераційних методів, встановлено, що феномен наростання ітерацій і їх похідних на “нескінченності” або в околі особливих точок зустрічається в задачах із різних областей механіки.

В зв’язку з вищесказаним запропоновано загальну ідею: провести пошук і створити певні методи підсумовування в ітераційних процесах при наявності вказаних сингулярностей.

Таким чином, розробка методів регуляризації сингулярних ітерацій на “нескінченності” дає змогу:

а) розв’язати нелінійні задачі про згин гнучких ізотропних пластин (суцільних або з отвором), дослідити напружений стан біля отворів при згині;

б) переносити запропоновані підходи, методи розв’язку на задачі з інших областей механіки та фізики.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика досліджень дисертаційної роботи пов’язана з науковими розробками, які проводяться у відділі динаміки поліагрегатних систем Інституту механіки НАН України ім. С.П.Тимошенка. Держбюджетна тематика – “Аналіз динамічних процесів, пов’язаних з особливостями моделей матеріалів, хвилеводів та космічних апаратів”, номер державної реєстрації – 1.3.1.343, 2004-2007.

Мета і задачі дослідження. Метою наукових досліджень дисертаційної роботи є:

-

-

-

-

Об’єкт дослідження. Тонкі гнучкі пластинки з отвором, матеріал яких однорідний ізотропний.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є напружено-деформований стан пластин під дією згинних моментів на “нескінченності” при неосесиметричному та осесиметричному деформуванні.

Методи дослідження. Геометрично-нелінійні задачі запропоновано розв’язувати єдиним методом – методом розкладу по параметру навантаження на “нескінченності”. Розв’язання послідовності лінійних граничних задач, які одержані при застосуванні зазначеного методу, проведено аналітично. Для регуляризації сингулярних на “нескінченності” ітерацій запропоновано нові спеціальні методи лінійного і нелінійного підсумовування рядів, послідовностей.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі одержано наступні нові результати:

-

-

-

-

-

-

-

Практичне значення результатів досліджень. Отримані аналітичні і числові розв’язки дають можливість оцінити характер деформування гнучких пластин з отвором при великих прогинах, різних значеннях вхідних параметрів; інформація є важливою при розробці різних типів приладів, в яких гнучка пластина є основним робочим елементом. Запропоновані нові методи підсумовування сингулярних ітерацій мають достатньо широку область застосування в різних задачах механіки та фізики. Зокрема, в дисертації це проілюстровано (додаток Б) при розв’язуванні істотно нелінійної задачі Лайтхілла про розповсюдження ударної хвилі в газі.

Достовірність виконаних досліджень підтверджується використанням усталеної моделі деформування досліджуваного механічного об’єкту, апробованих ітераційних методів, математичним обгрунтуванням запропонованих методів розв’язування поставлених задач, перевіркою ефективності і достовірності зазначених методів на тестових задачах, відповідності отриманих механічних явищ відомим уявленням про напруженний стан в околі отвору і на “нескінченності” та ін.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень доповідались: на семінарі відділу динаміки поліагрегатних систем Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (Київ, 2005), на семінарі кафедри “Механіка суцільних середовищ” Київського національного університету ім. Т.Г.Шевченка, семінарі кафедри приладів та систем керування літальними апаратами Національного технічного університету України “КПІ” (2005); міжкафедральному семінарі “Проблеми міцності і динаміки” Національного транспортного університету України (2005). Основні результати з дисертації доповідалися на міжнародних конференціях “Актуальные проблемы механики сплошних сред” (2002, Донецьк), “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (2005, Донецьк); на ХХХІV науковій конференції викладачів, співробітників і аспірантів (2003, Кіровоград), на ХХХVІ науковій конференції викладачів, співробітників і аспірантів (2005, Кіровоград).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 8 наукових робіт [1-8], серед яких статті [1-4] опубліковано у фахових виданнях, затверджених ВАК України.

Особистий внесок здобувача. В дисертаційній роботі здобувачу особисто належить участь у формулюванні постановки задачі, реалізація запропонованих проф. Каюком Я.Ф. і деяких видозмінених здобувачем методів при розв’язуванні зазначених нелінійних задач; проведення аналітичних та числових обчислень. У працях [1-4], опублікованих здобувачем з науковим керівником дисертації, останньому належить формулювання методів підсумовування, загальний задум проведення досліджень, обговорення і аналіз отриманих результатів

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, списку використаної літератури із 138 найменувань, додатків (A, Б, В, Д, Ж), включає 18 рисунків, 6 таблиць; загальний обсяг дисертації – 154 сторінки.

Дисертант висловлює щиру подяку науковому керівнику доктору фізико-математичних наук, професору Каюку Я.Ф. за консультації при виконанні роботи, обговоренні отриманих результатів досліджень.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі викладено загальну характеристику сучасного стану проблеми, яка розглядається у дисертаційній роботі, обгрунтовується актуальність вибраної теми; сформульовано мету та задачі дослідження, відзначається наукова новизна та практичне значення одержаних результатів.

В першому розділі наведено відомі рівняння рівноваги, основні деформаційні і силові характеристики, які описують напружено-деформований стан гнучких пластин та використовуються при подальших дослідженнях. Сформульовано основні припущення, системи координат в недеформованому і деформованому станах для випадку гіпотези Кірхгофа-Лява.

В розділі також наведені нелінійні векторні і скалярні рівняння рівноваги теорії гнучких пластин, з яких одержані відомі ключові рівняння Кармана.

В другому розділі дана постановка і метод розв’язання нового класу задач із нелінійної механіки гнучких пластин з отвором. Розглядається тонка пластина товщиною h, яка ослаблена криволінійним отвором з достатньо гладким контуром (рис.1). Вважаємо, що контур співпадає з однією з координатних ліній, наприклад . Початок інерціальної системи відліку вибирається в точці , яка належить області, обмеженої контуром . Матеріал пластини вважаємо однорідним ізотропним; контур отвору – вільним від зовнішнього навантаження. На “нескінченності” прикладені згинні моменти, вектори яких колінеарні координатним лініям .

Ставиться задача: дослідити в геометрично-нелінійній постановці напружено-деформованний стан пластинки з отвором за умови, що вона перебуває під дією зазначених моментів.

Для розв’язку задачі необхідно знайти функцію прогинів та функцію напружень з рівняннь Кармана, які представлено в операторному вигляді тут - бігармонійний оператор, - білінійна диференціальна форма – лінійні диференціальні оператори

Шукані функції повинні задовольняти наступним граничним умовам:

- лінійний оператор виду:

На зовнішньому контурі пластинки (на “нескінченності”) граничні умови можуть бути різного типу. Для довільних криволінійних ортогональних координат ці умови наведені в додатку Ж. Шукані функції повинні наближатись до певних сталих значень (наприклад, до напруженого стану аналогічної пластини без отвору).

Розв’язок поставленої задачі можна знаходити різними варіантами методів ітерацій, в роботі використовуємо метод розкладу по параметру.

Шукані функції і подаємо у вигляді розкладів по параметру :

де е – безрозмірний параметр , за який приймаємо інтенсивність моментного навантаження на “нескінченності”.

В результаті одержано два типи лінійних граничних задач.

Задачі а) з граничними умовами:

Задачі б): з граничними умовами:

Оскільки в дисертаційній роботі всі розв’язки одержано аналітичними методами, то для спрощення обчислень попередньо встановлено формули для загальних розв’язків однорідних рівнянь і відповідних їм частинних інтегралів певного типу бігармонійної проблеми.

Для випадку прямокутної пластинки з круглим отвором радіуса одержано в трьох наближеннях із використанням формул (14), (15) загальні розв’язки задач а) і б) при несиметричному деформуванні:

Явний вигляд громіздких коефіцієнтів, які входять у формули (16), (17), наведено у додатку А.

Обчислено радіальні, зсувні і кільцеві зусилля, а також радіальні і кільцеві моменти. Тут наведений, наприклад, вираз для

З аналізу виразів (16), (17), (18) та ін. встановлено, що сингулярності (на “нескінченності”) типу з’являються у виразах не лише для прогинів, а й для силових і моментних характеристик. В лінійній постановці ця ситуація має місце лише для прогинів. Проблемі пошуку методів регуляризації (“гасіння”) зазначених особливостей присвячені наступні розділи.

В третьому розділі викладено результати пошуку і аналізу виконаних досліджень із деяких областей механіки з метою встановлення типів сингулярностей і методів , які застосовувались для їх регуляризації. Кінцева мета оглядових досліджень – встановити можливість застосування вже відомих методів до розв’язування задач із згаданими проблемами.

При застосуванні метода малого параметра в задачах про періодичні коливання нелінійних дискретних систем з’являються сингулярності (секулярні множники). Наприклад, задача про нелінійні вертикальні коливання вантажу на пружині зводиться до інтегрування рівняння

При застосуванні метода розкладу по параметру одержано розв’язок

Шуканий розв’язок є неперіодичним і прямує до “нескінченності” при . Вперше Ліндстед запропонував метод, який був узагальнений Пуанкаре. Суть метода: попередньо вводити в основні рівняння і співвідношення довільні величини, варіюючи значенням яких можна “знищувати” сингулярні доданки.

Сингулярності часто зустрічаються при розв’язуванні задачі про “n – тіл” (у випадку співударів та відштовхувань довільної пари тіл). Віддалі між двома матеріальними точками, які завжди входять у знаменники коефіцієнтів диференціальних рівнянь руху, можуть бути достатньо малими величинами. На прикладі задачі про рух трьох тіл К. Зундман вперше запропонував метод, який дозволяє регуляризувати вказані особливості. Метод полягає в наступному: шукані розв’язки розглядаються як степеневі ряди по змінній вводиться певна заміна змінної з довільними величинами згідно формули

В результаті Зундман обгрунтував, що можна вибирати таки типи замін, при яких нові ряди по змінній будуть рівномірно збігатися при довільних видах руху матеріальної системи. Зундман, мабуть вперше, у формулу заміни змінної ввів не лише довільні параметри, а й шукані функції.

У випадку задачі про рух двох тіл, де мають місце аналогічні сингулярності, теоретики-астрономи Е. Штіфель, Г. Шейфеле, Р. Кустаанхеймо розробили новий метод (так званий KS-метод), який полягає в наступному: пропонується пошук замін залежних і незалежних змінних, при яких в основних рівняннях руху зникають вказані сингулярності. Цим методом розв’язано ряд важливих задач в теоретичній астрономії.

Розглянуто задачу з газової динаміки – так звану нелінійну задачу Лайтхілла; мається на увазі задача про розповсюдження ударної хвилі в газі (плоска постановка) від точкового імпульсивного джерела. Сингулярності з’являються як у виразах для швидкостей в околі звукового і ударного фронтів, так і у виразі для потенціалу швидкостей. Для розв’язання задачі Лайтхілл застосував метод Пуанкаре –Лайтхілла – Го.

Проаналізовано також суть відомого метода регуляризації А.М. Тихонова і можливість його застосування до розглянутих в дисертації задач.

На основі аналіза вказаних вище досліджень та ін. прийшли до висновку, що розроблені раніше методи не можуть бути застосовуваними до поставленої проблеми. Проте встановлено основну важливу ідею: необхідно в основні рівняння або ітераційні схеми вводити певним чином довільні функції і параметри; варіюючи їх вибором впливати на “добротність” методу в широкому розумінні.

Для цього в дисертаційній роботі запропоновано використовувати спеціальні методи підсумовування рядів по параметру. Основна ідея їх полягає в тому, що вихідні ряди замінюються новими, коефіцієнти яких містять деякі довільні величини.

Суть запропонованих методів викладено для рядів такого загального вигляду:

з частинними сумами

Ряди (19) розглядаються в області , яку займає пластинка кінцевих розмірів з отвором, координати точок якої .Через позначено множину функцій, які означені в точках області і задовольняють граничним умовам ідентичним граничним умовам пластинки на контурі і на “нескінченності”. Припускається, що для , на введена норма .

В класичному розумінні ряди (19) збігаються до граничного елемента , якщо для - достатньо мале число.

Поняття частинних сум і збіжності послідовності видозмінюється на основі конструктивної схеми. Розглядається впорядкована множина просторів з дійсними змінними : припускається, що на обмежених областях задано послідовність дійсних неперервних функцій.

В цих відображеннях - довільні додатні обмежені параметри або функції вказаних змінних . Лінійні відображення, як частинний випадок, мають так структуру: тут - величини, які можуть залежати від довільних обмежених параметрів та функцій.

За правилами суперпозиції можна розглядати частинні суми більш загального вигляду ніж :

Зрозуміло, що , однак в загальному випадку . Тому перша умова при виборі відображень полягає в тому, щоб виконувалася умова при довільному заданні параметрів та функцій. Якщо остання умова виконана, то можна ставити питання про збіжність в метриці до елемента з цього простору. В результаті можна формулювати різні методи “F-підсумовування” вихідної послідовності .

При довільному виборі функцій , які задовольняють першій умові, можливі різні ситуації: може збігатися до деякої суми; послідовність , в свою чергу, може збігатися до того ж елемента або іншого з , або взагалі розбігатись; вихідна послідовність може повільно збігатися або взагалі бути розбіжною, в той час як буде збігатися повільно або швидко до якогось элементу з та інші ситуації.

Враховуючи вищезгадане, сформульовано другу умову для вибору функцій : їх необхідно підбирати такими, щоб у випадку збіжності вони забезпечили збіжність послідовності , при чому до того ж элемента при всіх значеннях довільних функцій ; другу умову називають умовою перманентності.

Так як члени послідовності можуть містити довільні параметри, функції, то варіюючи їх вибором, можна покращувати збіжність рядів по параметру, “гасити” або знижувати порядки особливостей в ітераціях.

В роботі на основі викладеного вище загального алгоритму запропоновано два нелінійні та лінійний методи підсумовування рядів по параметру.

В четвертому розділі сформульовано спеціальний метод лінійного підсумовування, який слід розглядати як конкретизацію зазначеного вище метода до розв’язання нелінійних проблем.

Доведено теорему перманентності для метода підсумовування у випадку, коли в формальні ряди для розв’язків вводяться довільні строго додатні функції і параметри.

Запропоновано метод обгрунтування задовільності нових (регуляризованих) типів апроксімацій для прогинів і функцій напружень рівнянням рівноваги і граничним умовам. Встановлено, що вказане буде мати місце з асимптотичною точністю для випадку, коли оператори розглядуваної граничної задачі полілінійні.

Розв’язана, використовуючи розроблений метод, задача про напружено-деформований неосесиметричний стан гнучкої пластинки з отвором при згині на “нескінченності”. Викладено послідовно алгоритм регуляризації сингулярних наближень, вказано загальні правила вибору регуляризуючих функцій і параметрів; в явному виді отримано формули для обчислення деформаційних і силових характеристик, які вже “затухають” на “нескінченності”, досліджено проблему концентрації кільцевих зусиль. Одержано формули для обчислення коефіцієнта концентрації кільцевих моментів в залежності від геометричних і механічних характеристик з урахуванням геометричної нелінійності. Встановлено, що врахування геометричної нелінійності приводить до зменшення концентрації на 10-15 %. В таблиці 1 наведені значення кільцевих моментів, прогину пластинки в залежності від координати , величини -безрозмірного значення зовнішнього навантаження (при).

Відповідно до даних таблиці і даних для інших значень () на рис. 2 побудовано графіки зміни значень кільцевого і радіальних моментів при різних , і .

З графіків випливає, що в околі отвору має місце максимальне значення кільцевих моментів; їх величини при віддалені від контура отвору спадають і вони “при ” прямують до певної сталої величини. В свою чергу, радіальні моменти приймають максимальні значення на певній відстані від контура, а потім при “великих” прямують до певної сталої величини (при різних значеннях параметра ).

Наведені числові дані і відповідні графіки повністю відповідають тим загальним фактам і механічним ефектам, що мають місце в лінійній і нелінійній теоріях про концентрацію зусиль і моментів біля отворів в пластинах і оболонках. Це підтверджує достовірність і ефективність запропонованого метода регуляризації сингулярних ітерацій. Більш того, як бачимо з таблиці, прогини зростають при віддалені від контура отвору, що також узгоджується з фізичним уявленням використовуваної математичної моделі деформування.

Достовірність запропонованого метода обгрунтована також на елементарних (тестових) задачах; задачі підбирались з таким розрахунком, щоб вони відображали характерні риси основного досліджуваного в дисертаційній роботі класу задач: наявність нелінійності, нескінченної області, затухання розв’язку на “нескінченності” та ін.

Розглядалася гранична задача для нелінійного диференціального рівняння

з граничними умовами

Відомий точний розв’язок задачі. Наближений розв’язок, знайдений методом розкладу по параметру має вигляд: ; бачимо, що наближений розв’язок сингулярний на “нескінченності”. Результати обчислень на основі регуляризованого і точного розв’язків представлені в таблиці 2 (в дисертації наведений відповідний графік).

Розглянута аналогічного типу друга нелінійна задача, підтверджена також ефективність і достовірність запропонованого метода. При розгляді цієї задачі виникла ідея створення нового метода розв’язування нелінійних граничних задач, який викладено в операторному і алгоритмічному виді в розділі 5.

В п’ятому розділі дана постановка і розв’язок новими методами нелінійної задачі про осесиметричний напружений стан круглої гнучкої пластинки з вільним отвором під дією моментного навантаження на “нескінченності”; розв’язок задачі отримано в аналітичному виді у порівняно високих (шести) наближеннях:

Одержано вирази аналогічної структури для ; коефіцієнти, які входять у (23), (24) явно обчислено і представлено у додатках В і Д. На основі аналізу формальних аналітичних розв’язків бачимо, що і в цій задачі містяться ряд сингулярностей типу , які спричиняють істотній ріст вказаних силових характеристик на “нескінченності”. Застосування до цієї задачі запропонованих методів регуляризації дозволило побудувати розв’язки, які відповідають усталеним уявленням про напружений стан пластин з отвором при віддалені від контура, що підтверджується графіками залежності моментів та зусиль для різних значень та . Одержано формули для обчислення коефіцієнта концентрації кільцевих моментів і величини кільцевих зусиль на контурі отвору.

Встановлено, що їх значення залежить не лише від механічних характеристик, а і від геометричних розмірів пластини, величини зовнішнього навантаження. З урахуванням геометричної нелінійності коефіцієнт концентрації кільцевих моментів зменшується на 10-15 %.

З аналізу даних таблиці і графіків бачимо, що кільцеве зусилля біля контура має максимальне значення і істотно залежить від рівня навантаження.

ВИСНОВКИ

На основі проведених в дисертаційній роботі досліджень можна сформулювати такі узагальнюючі наукові результати:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

-

-

7.

8.

9.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

За результатами дисертації опубліковано 8 наукових праць, у тому числі 4 статті у фахових журналах, що входять до переліку ВАКу, а також 4 роботи у збірниках матеріалів і праць конференцій:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8 Кривоблоцкая Л.Н. Проблемы сингулярных итераций в нелинейных задачах

концентрации напряжений // Наукові записки – Вип. 2. – Кіровоград: КДТУ,

2001. – С.205-207.

АНОТАЦІЯ

Кривоблоцька Л.М.

Нелінійний згин пластини з отвором. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико – математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ 2005 р.

Дисертація присвячена розв’язуванню задач із нелінійної механіки пластин і оболонок – про напружено-деформований стан гнучких пластин з отвором під дією моментного навантаження на “нескінченності”. Розв’зок задач запропоновано знаходити методом розкладу по параметру зовнішнього навантаження. При розв’язуванні встановлено, що значення прогинів і силових характеристик необмежено зростають при відході від краю отвору. Для розробки методів регуляризації проведено огляд і аналіз задач із різних областей механіки. Сформульовано на основі вказаного огляду новий підхід до розв’язання проблеми регуляризації: запропоновано змінити усталене уявлення про частинні суми рядів і методи їх підсумовування. Створено такі методи лінійного і нелінійного підсумовування, коли в підсумовуючі функції входять довільні параметри і функції. На основі запропонованого метода розв’язані нові геометрично–нелінійні задачі механіки пластин и оболонок в неосесиметричній та осесиметричній постановках про згин на “нескінченності” моментними навантаженнями пластини з отвором. Встановлено, що одержані конкретні числові дані, графіки не суперечать усталеним уявленням про напружено – деформований стан пластин з отвором; одержано певні механічні ефекти. Методи регуляризації апробовані на тестових задачах.

Математично обгрунтовано, що одержані розв’язки задовольняють рівнянням рівноваги з деякою асимптотичною точністю і точно лінійним граничним умовам, якщо оператори вихідної задачі полілінійні.

Ключові слова: пластини, нелінійне деформування, концентрація зусиль і моментів, сингулярні ітерації, методи регуляризації, теорема перманентності, підсумовуючі функції.

АННОТАЦИЯ

Кривоблоцкая Л.Н.

Нелинейный изгиб пластины с отверстием. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформированного твердого тела – Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев 2005 г.

Диссертация посвящена решению задач нелинейной механики пластин и оболочек – о напряжённо-деформированном состоянии гибких пластин с отверстием под действием моментного нагружения на “бесконечности”. Решение задач предложено находить методом разложения по параметру внешнего нагружения. В результате получена последовательность двух типов линейных граничных задач для определения прогиба и функции напряжения. При вычислениях установлено, что значения прогибов и силовых характеристик неограниченно возрастают при удалении от края отверстия, что не позволяет исследовать напряженно- деформируемое состояние этих пластин. Для разработки соответствующих методов регуляризации был проведен обзор и анализ задач из различных областей механики (нелинейная механика колебаний, механика движения в потенциальних полях двух и трех тел, теоретическая астрономия, газовая динамика). В результате установлено, что предложенные ранее методы в целом нельзя использовать для регуляризации полученых сингулярных итераций. Однако, на основе указаного обзора сформировался новый подход к решению проблемы регуляризации. Суть его в том, что предложено изменить устоявшееся представление о частичных суммах рядов и методах их суммирования. Предложено создать такие методы линейного и нелинейного суммирования, когда в суммирующие функции входят произвольные параметры и функции. Варьируя выбором этих функций, параметров можно во многих случаях существенно влиять на сходимость и скорость сходимости рядов, снижать порядки сингулярностей и регуляризовывать их. Для некоторых типов суммирующих функций математически обоснована теорема перманентности, которая рассматривает случаи, когда суммирующие функции не будут изменять сумму рядов по параметру исходной задачи.

На основе предложеного метода решены геометрически–нелинейные задачи механики пластин и оболочек в неосесимметричной (три приближения) и осесимметричной (шесть приближений) постановках об изгибе на “бесконечности” моментными нагружениями пластины с отверстием. Используя предложенные методы сингулярных разложений установлено, что полученные конкретные числовые данные, графики не противоречат устоявшимся представлениям о напряженно-деформируемом состоянии пластин с отверстием; получены определенные механические эффекты. Предложенные методы регуляризации апробированы на тестовых задачах.

Математически обосновано, что получаемые решения на основе методов суммирования удовлетворяют уравнениям равновесия с некоторой асимптотической точностью и точно линейным граничным условиям, если операторы исходной задачи полилинейны.

Ключевые слова: пластины, нелинейное деформирование, концентрация усилий и моментов, сингулярные итерации, методы регуляризации, теорема перманентности, суммирующие функции.

SUMMARY

Krivoblotskaya L.N.

Nonlinear bending of plates with hole.- Manuscript.

Dissertation on getting of a scientific degree of the Ph. D. in physical- mathematic sciences on speciality 01.02.04 – mechanics of deformed solid body. – Institute of mechanics after named S.P.Tymoshenko of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2005.

The dissertation is dedicate to solving of problems of nonlinear mechanics of plates and shells – problems about stress-deformed state of flexible plates with hole under action of moment loading on “infinity”. Solve of problems is offered to find with method of expansion of parameter of the external loading. During the solving was determined, that the value of bending and power descriptions unlimitedly increase at breaking from the edge of hole. For elaboration of regularization methods was conducted the survey and analysis of problems from different fields of mechanics. On the basis of this survey was formed the new approach to the solving of problem of regularization: it is offered to change the usual notions about particular sum of series and methods of their summing. It is created such methods of linear and nonlinear summing, when in summable functions the arbitrary parameters and functions enter. On basis of this method was solved the new geometrical-nonlinear problems of plates and shells mechanics in nonaxes-symmetrical and axes-symmetrical arrangement about bending on “infinity” with moment loading of plates with hole. It is established, that the finding numeral data, diagrams do not conflict with the usual notions about stress-deformed conditions of plates with hole; definite mechanical effects are got. The methods of regularization are approved on test problems.

It is grounded mathematically, that the got solutions satisfy to equilibrium equations with some asymptotical exactness and exactly to the linear limit conditions, if the operators of initial problem will be polylinear.

Keywords: plates, nonlinear deformation, concentration of efforts and moments, singular iteration, method of regularization, theorem of permanence, summable functions.