Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

КОВТУН ОКСАНА ІВАНІВНА

УДК 517.9

МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ

ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ДОДАТКОВИМИ УМОВАМИ

01.01.02 - Диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико – математичних наук

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі інтегральних та диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

ЛУЧКА Антон Юрійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор ВІРЧЕНКО Ніна Опанасівна, Національний технічний університет України “КПІ”, фізико–математичний факультет, професор кафедри математичного аналізу та теорії імовірностей

кандидат фізико-математичних наук, доцент ГОРДИНСЬКИЙ Любомир Дмитрович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко–математичний факультет, доцент кафедри загальної математики

Провідна установа: Одеський національний університет ім. І.І. Мечнікова, кафедра математичного забезпечення комп’ютерних систем

Захист відбудеться “ 23“ травня 2005 р. о 14.00 годині на засіданні спеціалізованої ради Д 26.001.37 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03022, м. Київ-22, пр-т. Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка, 03022, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “15“ квітня 2005 р.

Вчений секректар

спеціалізованої ради Моклячук М. П.

ЗАГАЛЬНА ХАРЕКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Математичними моделями різноманітних задач природознавства та техніки, як відомо, є диференціальні, інтегральні чи інтегро – диференціальні рівняння та їх системи. В наш час привертають до себе увагу дослідження систем диференціальних рівнянь з параметрами та з імпульсним впливом, узагальнені крайові задачі, інтегральні рівняння з обмеженнями. Різним аспектам теорії цих задач присвячені праці А.М.Самойленка, М.О.Перестюка, О.А.Бойчука, М.С.Ткаченка, С.І.Трофімчука, М.Й.Ронто, І.О.Парасюка, В.Г.Самойленка, В.О.Плотнікова та інших.

В працях А.Ю.Лучки, О.Б.Поліщук та Т.А.Самойленко висвітлено методику дослідження інтегральних рівнянь з обмеженнями і обгрунтовано застосування до них ітераційних та проекційно – ітеративних методів. Основний підхід до дослідження таких задач полягав в тому, що розглядувана задача введенням невідомих параметрів довизначалась і зводилась до нового інтегрального рівняння без обмежень, за допомогою якого встановлювалися умови сумісності та збіжності наближених методів.

В дисертаційній роботі метод досліджування інтегральних рівнянь з обмеженнями отримав подальший розвиток. В ній запропоновано новий підхід до дослідження такого класу задач, який дозволяє встановлювати умови сумісності широкого класу задач з обмеженнями і розробляти нові ефективні наближені методи їх розв’язання, ніж відомі в літературі. Такі методи мають низку переваг в порівнянні з існуючими, а тому заслуговують на увагу та подальший розвиток

Запропонований підхід розвиває та збагачує теорію рівнянь з обмеженнями, тому тема дисертаційної роботи є актуальною і перспективною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводились згідно плану досліджень кафедри диференціальних та інтегральних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка у відповідності з науково–дослідницькою темою 01ДФО38–08 “Досліджування проблем теорії некласичних дифференціальних рівнянь” (номер державної реєстрації 0101U05771).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є встановлення умов сумісності інтегральних рівнянь з обмеженнями; розробка і обгрунтування методів наближеного розв'язання задач такого типу; побудова зручних обчислювальних алгоритмів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати,які визначають наукову новизну та виносяться на захист, наступні:

1. Запропоновано новий підхід до дослідження сумісності лінійних та нелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями.

2. Розроблено новий варіант ітераційного методу знаходження наближених розв`язків інтегральних рівнянь з обмеженнями, і дано його обгрунтування.

3. Розроблено нові варіанти модифікованого проекційно-ітеративного та нестаціонарного модифікованого проекційно – ітеративного методів для квазілінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями. Встановлено достатні умови збіжності і оцінки похибки, розроблено ефективні обчислювальні схеми.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Одержані в роботі результати збагачують теорію задач з обмеженнями і дають можливість поширити запропонований підхід на інші класи задач з обмеженнями. Побудовані алгоритми наближених методів можуть бути застосовані для розв'язування прикладних задач механіки, фізики, теорії пружності та інших прикладних задач.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності і постановка задач належить науковому керівнику - професору А.Ю. Лучці. Доведення всіх результатів дисертації проведено особисто автором.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися і обговорювалися на семінарі кафедри диференціальних та інтегральних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка; на семінарі кафедри вищої математики ІЕМ Національного авіаційного університету; на Міжнародній конференції “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики”, червень 1997 року, м. Нальчик; на Шостій та Десятій Міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука, травень 1997 року, травень 2004 року м.Київ; на II Всеукраїнській науковій конференції ”Нелінійні проблеми аналізу”, вересень 2000 року, м. Івано-Франківськ; на Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання", серпень 2001 року, м.Київ; на Міжнародній науковій конференції студентів та молодих вчених, присвяченій 10-річчю незалежності України ”Наука і молодь”, жовтень 2001 року, м. Київ; на Міжнародній конференції "АВІА - 2004", квітень 2004 року, м.Київ.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 11 роботах, з них 5 статей у фахових журналах і 6 – в працях міжнародних конференцій.

Структура та об`єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел із 85 найменувань. Обсяг дисертації становить 118 сторінок друкованого тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, ставиться мета і задачі дослідження, викладено основні результати і відзначається їх новизна.

У першому розділі дисертації зроблено загальний огляд наукових праць за тематикою дисертаційної роботи.

Другий розділ дисертації присвячений роз-в`язанню лінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями.

В першому підрозділі встановлено умови сумісності лінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями вигляду

, (1)

(2)

де ядро – відомі функції, – відома множина чисел, – невідома функція.

Розглядувана задача вважається сумісною, якщо існує функція , яка одночасно задовольняє рівняння (1) та умови (2). В противному разі задача несумісна.

В пунктах 2.1.2–2.1.3 запропоновано метод зведення задачі (1), (2) до рівносильного їй інтегрального рівняння. Встановлено умови існування розв`язку лінійного інтегрального рівняння з обмеженнями.

Розглядається допоміжна задача

(3)

де – задані функції, – керування, яке шукається у вигляді

(4)

і визначається так, що функція задовольняє задачу (3), де – невідомі параметри , – система лінійно незалежних функцій.

Вважаємо, що резольвенту ядра можна побудувати віднос–но легко в явному вигляді, зокрема це ядро може бути вироджене.

Надалі припускається, що задача (3) має єдиний розв`язок, тобто існують такі функції і , що розв'язок цієї задачі подається формулами

(5)

де

– елементи матриці, оберненої до матриці системи

(6)

де

В пункті 2.1.2 для ядер і доведено наступні властитвості:(7)

В п.2.1.3 безпосередньо розглядається питання сумісності поставленої задачі. Поклавши ,

та позначивши (8)за допомогою формул (5) вихідна задача (1) – (2) зводиться до інтегрального рівняння

(9)

Встановлено справедливість твердження

Теорема2.1. Якщо матриця системи (6)

невироджена, то задача (1) та (2) буде сумісна лише тоді, коли виконується умова де –- довільний розв`язок рівняння

–- ядра спряжені до , а має вигляд (8).

Ілюстрацію теоретичних досліджень на прикладі проведено в пункті 2.1.4.

В пункті 2.1.5 розглянуто інший підхід до встановлення умов сумісності задачі (1) та (2).

Інтегральне рівняння (9), врахувавши властивість (7), можна трактувати як систему рівнянь

де ,

,,

– підпростір, породжений системою лінійних незалежних функцій .

Встановлено справедливість тверджень

Теорема2.2. Якщо є розв'язком задачі (1) і (2), то функція ,

де , задовольняє рівняння

(10)

і умову

(11)

де .

Теорема 2.3. Якщо – розв'язок рівняння (10) і виконується умова (11), то функція задовольняє рівняння (1) та умови (2).

Теорема 2.4. Якщо рівняння (10) має єдиний розв'язок і виконується умова (11), то і задача (1), (2) має єдиний розв'язок.

В підрозділі 2.2 розглянуто і обгрунтовано застосування ітераційного методу до задачі (1)-(2), згідно з яким наближені розв'язки вихідної задачі знаходяться із допоміжної задачі(12)

де.

Початкове наближення визначаємо із задачі (12) при , а – задаємо довільно.

В пункті 2.2.2 наведено достатні умови збіжності запропонованого методу.

Справедливе наступне твердження

Теорема 2.5. Якщо задача (1), (2) сумісна і інтегральний оператор , такий, що спектральний радіус , то існує єдина функція , яка задовольняє задачу (1), (2) і виконуються співвідношення

Оцінки похибки методу отримано в пункті 2.2.3.

Теорема2.6. Якщо для будь якого виконується нерівність і , то справедливі наступні оцінки де,

.

В пункті 2.2.4 побудовано обчислювальну схему для реалізації методу.

Застосування ітераційного методу проілюстровано на прикладі в пункті 2.2.5.

Третій розділ дисертації присвячено методам розв’язання нелінійних інтегральних рівнянь зі слабкою нелінійністю з обмеженнями. Розглядається задача знаходження функції , що задовольняє рівняння (13)

і додаткові умови

(14)

Припускається, що:

1° функції і належать дійсному простору , де – обмежена область з ;

2° лінійні інтегральні оператори

відображають в себе і є цілком неперервні;

3° дійсна функція змінних задовольняє умову Ліпшиця

а функція належить простору , – малий параметр.

В підрозділі 3.1 встановленно умови сумісності нелінійної задачі. Для цього в пункті 3.1.2 задача (13), (14) зводиться до інтегрального рівняння

(15 ) де.

Встановлено справедливість твердження

Теорема 3.1. Задача (13)–(14) сумісна тоді і тільки тоді, коли існує розв'язок рівняння (15), який задовольняє умову

. (16)

В пункті 3.1.3 розглянуто іншій підхід до встановлення умов сумісності нелінійної задачі. Рівняння (15) зводиться до рівносильної системи

,.Знайдено в іншому вигляді умови розв’язності нелінійної задачі (13)–(14), які сформульовано в наступних твердженнях

Теорема 3.2. Якщо рівняння (17)

має єдиний розв’язок , і виконується умова (16), в якій

,

то задача (13) – (14) має єдиний розв'язок, який зображається формулою .

Теорема 3.3. Якщо існує єдиний розв'язок задачі (13) – (14), то рівняння (17) має єдиний розв'язок ,де

i виконується умова (16).

В підрозділі 3.2 запропоновано застосування ітераційного методу до розв'язання задачі (13) - (14). Ідея методу полягає в тому, що наближені розв'язки визначаються із задачі

(18)

в якій , (19)

(20)

– система лінійно незалежних функцій, .

Початкове наближення визначається із задачі (18) – (20) при і заданній функції .

В пункті 3.2.2. отримано достатні умови збіжності методу.

Теорема 3.4. Якщо задача (13), (14) сумісна і інтегральний оператор на підпросторі є оператор стиску, то існує єдина функція , яка задовольняє задачу (13) – (14), і виконуються співвідношення .

В пункті 3.2.3. наведено оцінки похибки методу (18)–(20).

Теорема 3.5. Якщо і , то справедливі наступні оцінки , , .

Стала така, що виконується нерівність .

В пункті 3.2.4 побудовано обчислювальну схему для реалізації методу.

Підрозділ 3.3 присвячено розробці та обгрунтуванню модифікованого варіанту проекційно-ітеративного методу розв'язання задачі (13) – (14). Суть методу полягає в тому, що послідовні наближення знаходимо із задачі

(21)

де мають вигляд (19), а

.(22)

Поправка шукається у вигляді

, (23)

а невідомі коефіцієнти визначаються з умови

(24)

де (25)

– відомі системи лінійно неза–лежних функцій із .

Початкове наближення знаходиться з задачі (21) при і заданій функції .

В пункті 3.3.2 дано обгрунтовання методу за умови, що системи функцій пов'язані співідношеннями

26)

де .

В цьому випадку запропонований алгоритм зводиться до модифікованого варіанту проекційно-ітеративного методу розв`язання інтегральнього рівняння (15).

В пункті 3.3.3, використовуючи теорію проекційно-ітеративних методів, отримано достатні умови збіжності методу (21)-(25).

Теорема 3.6. Якщо спектральний радіус матриці ,де

=,,

і задача (13)–(14) сумісна, то вона має єдиний розв`язок , і послідовність , побудована за методом (21)–(25) збігається по нормі в до цього розв`язку.

Константи – детально описано в п.3.3.3.

В пункті 3.3.4 наведено оцінки похибки, а в пункті 3.3.5 побудовано обчислювальну схему для реалізації розглядувального методу.

В підрозділі 3.4 розроблено та запропоновано застосування до задачі (13)–(14) нестаціонарного модифікованого проекційно–ітеративного методу.

Нехай задано координатну систему лінійно незалежних функцій , та неспадну послідовність натуральних чисел , причому , , де – деяке фіксоване число, і наближення вже побудовано.

Побудуємо функцію на основі формул (22) – (25), поклавши в формулі (24) .

Після цього знаходимо функцію , де коефіцієнти визначаємо з умови

Тоді наближений розв’язок знаходиться із задачі

(31)

де шукається у вигляді (19).

В пункті 3.4.2 обгрунтовано нестаціонарний модифікований проекційно – ітеративний метод за умови, що ситеми функцій пов’язані співвідношеням (26). В цьому віипадку запропонований алгоритм зводиться до нестаціонарного модифікованого проекційно–ітеративного методу розв’язання інтегрального рівння (15).

Зручну обчислювальну схему наведено в п.3.4.3. Реалізація цього методу про -ілюстрована в пункті 3.4.4.

ВИСНОВКИ

1. Розроблено методику дослідження сумісності лінійних та нелінійних інтегальних рівнянь з обмеженнями.

Побудовано ітераційний метод знаходження наближених розв`язків лінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями. Встановлено достатні умови збіжності та оцінки похибки запропонованого методу.

Запропоновано модифікований проекційно-ітеративний та нестаціонарний модифікований проекційно–ітеративний методи для квазілінійних інтегральних рівнянь з обмеженями. Дано їх обгрунтування та розроблено зручні обчислювальні схеми.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Ковтун О.І. Інтегральні рівняння Фредгольма другого роду з додатковими умовами // Вісн. Київ. ун-ту. Серія фіз.-мат. науки.–1997.–Вип.1.–С.81–89.

Ковтун О.І. Розв’язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду з додатковими умовами методом послідовних наближень // Вісн. Київ. ун-ту. Серія фіз.-мат. науки. – 1997. – Вип.3. – С.62–68.

Ковтун О.І. Проекційно-ітеративні методи для інтегральних рівняннь зі слабкою нелінійністю і додатковими умовами // Нелінійні коливання. – 2000. – 3,№3. –С.365–374.

Ковтун О.І. Нелінійні інтегральні рівняння зі слабкою нелінійністю і обмеженнями на шукану функцію // Вісн. Нац. ун-ту “Львівська політехніка.” Прикладна математика, 2000. – №411. – С.174–177.

Ковтун О.І. Наближені методи побудови розв`язання нелнійних інтегральних рівнянь зі слабкою нелінійністю з обмеженнями // Вісн. Київ. ун-ту. Серія фіз.–мат. науки.–2004. – Вип.№2. – С.111-120.

Ковтун О.І. Інтегральні рівняння Фредгольма другого роду з обмеженнями // Шоста Міжнародна наукова. конференція. ім. акад. М.Кравчука: Тези доп. конф. (Київ, 15-17 травня 1997р.) – Київ, 1997. – С.205.

Ковтун О.І. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма второго рода с ограничениями // Межд. конф.”Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики”: Сбор. науч. трудов.-(Нальчик, 2 –6 июня 1997г.) – Киев: Институт математики НАН Украины – 1997 – С.146-150.

8. Ковтун О.І. Проекційно-ітеративні методи для інтегральних рівнянь зі слабкою неліній-ністю та додатковими умовами // Диференціальні рівняння і нелінійні коливання: Тези доповідей Міжнародної наукової конференції (Чернівці, 27 –29 серпня 2001р.) – Київ, 2001. – С.58.

Ковтун О.І. Наближені методи розв`язання квазілнійних інтегральних рівнянь з додатковими умовами // Міжнародна наукова конференція студентів та молодих вчених, присвячена 10-річчю незалежності України “Наука і Молодь”. Тези доп. конф. (Київ., 10-11 жовтня 2001р.) – Київ: НАУ. – 2001. – С.98.

10. Ковтун О.І. s Методи розв`язання нелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями // Шоста Міжнародна науково – технічна конференція ”АВІА-2004”: Матеріали.– Київ: НАУ. – 2004.–С.26.67 – 26.70.

11. Ковтун О.І. Модифікований проекційно-ітеративний метод розв`язання нелінійних інтегральних рівнянь з параметром // Десята Міжнародна наукова. конференція. ім. акад. М.Кравчука: Тези доп. конф. (Київ, 13-15 травня 2004р.) – Київ, 2004. – С.414.

АНОТАЦІЇ

Ковтун О.І. Методи розв`язання інтегральних рівнянь з обмеженнями.-Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння – Київський національний університет імені Тараса Шевченка.

В даній дисертаційній роботі узагальнюється методика встановлення умов сумісності інтегральних рівнянь з обмеженнями. Розробляється новий варіант ітераційного методу знаходження наближених розв`язків лінійної задачі, встановлюються достатні умови збіжності та оцінки похибки запропонованого методу. Застосовано ітераційний, модифікований проекційно-ітеративний та нестаціонарний проекційно-ітеративний методи до нелінійних інтегральних рівнянь зі слабкою нелінійністю з обмеженнями. Дано їх обгрунтування та розроблено зручні обчислювальні схеми.

Ключові слова: інтегральне рівняння, обмеження, лінійність, слабка нелінійність, сумісність, ітераційний метод, модифікований проекційно-ітеративний метод, збіжність методу, оцінки похибки, обчислювальна схема.

Kovtun O.I. Method for investigation of integral equations with restrictions. – Manuscript.

The thesis is presented for a scientific degree of the candidate of physics and mathematics in speciality 01.01.02 – differential equations. – Taras Shevchenko Kyiv National University, Кyiv, 2004.

A new approach to the investigation of integral equations with restrictions is proposed. Due to this approach the conditions of solvability of linear and nonlinear integral equations with restrictions are found. Iterative method of finding aproximate solutions of linear problem is applied, sufficient conditins of convergence and estimates of erros for suggested methods are received. Modified projective – iterative and nonstationary modified projective – iterative methods are applied for solving nonlinear integral equations with weak nonlinearity with restrictions. The methods are justified and convenient ealculating schemes are built.

Key words: integral equation, restriction, lenear, weak nonlinear, solvability

iterative method, modified projective – iterative method, convergence of method, estimates of errors, calculating schemes.

Ковтун О.И. Методы исследования интегральных уравнений с ограничениями. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико – математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. –Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко.

На сегодняшний день, при математическом моделировании реальных процессов, особое внимание уделяется исследованиям систем дифференциальных уравнений с параметрами и с импульсным воздействием, обобщенным краевым задачам, интегральным уравнениям с ограничениями. Разным аспектам теории этих задач посвящены работы А.М.Самойленко, Н.А.Перестюка, А.Ю.Лучки, А.А. Бойчука, Н.И.Ронто, И.О.Парасюка, В.Г.Самойленко, В.А.Плотникова и других.

Исследование задач с ограничениями можно проводить разными методами. Так, известным является подход, основанный на теории обобщенно – обратных или псевдообратных операторов. Изучать задачи с ограничениями можно также с помощью задач с параметрами. В литературе рассматривается подход, при котором рассматриваемая задача введением неизвестных параметров доопределяется и сводится к задаче без ограничений, с помощью которой устанавливаются условия совместимости и сходимости приближенных методов.

В диссертационной работе метод исследования интегральных уравнений с ограничениями получил дальнейшее развитие. В ней предложенно новый подход к исследованию такого класса задач, который позволяет устанавливать условия совместимости широкого класса задач с ограничениями и разрабатывать новые эфективные приближенные методы их решения.

Рассмотренный подход развивает и обогащает теорию уравнений с ограничениями, поэтому есть актуальным и преспективным.

В диссертации получены следующие результаты:–

Предложен новый подход к исследованию линейных и нелинейных интегральных уравнений с ограничениями.–

Разработан новый вариант итерационного метода нахождения приближенных решений интегральных уравнений с ограничениями и проведено его обоснование.–

Построены новые варианты модифицированного проекционно-итеративного и нестационарно модифицированного проекционно-итеративного методов для квазилинейных интегральных уравнений с ограничениями. Установлено достаточные условия сходимости и оценки погрешностей, разроботаны удобные вычислительные схемы.

Ключевые слова: интегральное уравнение, ограничение, линейность, слабая нелинейность, совместимость, итерационый метод, модифицированный проекционно-итеративный метод, сходимость методу, оценка погрешности, вычисылительная схема.