НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

КОЧЕРГА Ольга Іванівна

УДК 517.928

АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ

ВИРОДЖЕНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Ніжинському державному університеті імені Миколи Гоголя

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

ЯКОВЕЦЬ Василь Павлович,

Ніжинський державний університет імені Миколи Гоголя, ректор.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, академік АПН України

ШКІЛЬ Микола Іванович,

Національний педагогічний університет імені М.П. Драгоманова,

завідувач кафедри математичного аналізу;

кандидат фізико-математичних наук,

БУРИЛКО Олександр Андрійович,

Інститут математики НАН України, науковий співробітник.

Провідна установа:

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

кафедра математичної фізики.

Захист відбудеться “ 25 ” жовтня 2005 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою:

01601, Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України, 01601, Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий “ 21 ” вересня 2005 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Г.П. Пелюх

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У даній дисертаційній роботі розглядається вироджена сингулярно збурена система диференціальних рівнянь виду

, (1)

в якій - шуканий та заданий n-вимірні вектори, - квадратні матриці n-го порядку, > 0 - малий дійсний параметр, h - натуральне число, причому матриця B(t) тотожно вироджена на заданому відрізку [0;T].

Системи такого типу (як з параметром, так і без нього) зустрічаються досить часто при розв’язуванні багатьох практичних задач, зокрема, оптимального керування, лінійного програмування, автоматичного регулювання, в теорії електричних кіл, масового обслуговування, хімічної та біологічної кінетики та інших.

Наявність виродженої матриці при похідних значно ускладнює дослідження розв’язків систем (1), оскільки в загальному випадку її не можна звести до нормальної сингулярно збуреної системи, теорія якої добре розроблена. Тому активне вивчення систем виду (1), а також вироджених систем без параметра

(2)

розпочалося порівняно недавно, з початку 80-х років минулого століття. У працях Ю.Є. Бояринцева, В.Ф. Чистякова, S.L. Campbell, L.R Petzold, Е. Griepentrog, R. Marz, R.E. O’Malley, А.Г. Руткаса, А.М. Самойленка, В.П. Яковця, М.І. Шкіля, та інших математиків, опублікованих протягом останніх двох десятиліть, розроблено різні аспекти загальної теорії систем виду (2). Зокрема, знайдено необхідні та достатні умови існування в них загального розв’язку типу Коші та встановлена його структура, досліджено питання про існування та єдиність періодичного розв’язку по аналогії з теорією Флоке-Ляпунова для нормальних систем звичайних диференціальних рівнянь. На основі цього в роботах Г.С. Жукової, А.М. Самойленка, В.П. Яковця, К.І. Чернишова розроблена теорія асимптотичного інтегрування сингулярно збурених систем типу (1) з матрицею B(t,) при похідних, яка вироджується при 0. У цій теорії, яка ґрунтується на застосуванні матричних в’язок та методу діаграм Ньютона, узагальнено та розвинуто класичні результати G.D. Birkhoff, Я.Д. Тамаркіна, Х.Л. Тер-ритина, М.І. Шкіля та їх учнів щодо побудови асимптотичних розв’язків лінійних диференціальних рівнянь.

У даний час вироджені системи диференціальних рівнянь вивчаються інтенсивно в роботах багатьох авторів різних країн, що свідчить про важливість проведення досліджень у даному напрямку. Але, незважаючи на значний прогрес у розвитку теорії асимптотичного аналізу вироджених лінійних систем вигляду (1), досягнутий протягом останнього десятиліття, деякі проблеми залишається недостатньо дослідженими. Однією з них є розробка методів побудови асимптотичного розв’язку задачі Коші для системи (1) з початковою умовою

, (3)

де – заданий n-вимірний вектор.

Незважаючи на те, що в згаданих вище роботах досить детально досліджена асимптотика загального розв’язку системи (1), безпосереднє застосування цих результатів до розв’язання початкової задачі (1), (3) не є тривіальним і наштовхується на серйозні труднощі принципового характеру.

Складність проблеми полягає в тому, що задача (1), (3) має розв’язок не при будь-якому , а лише при певних умовах, які необхідно визначити. Крім того, асимптотичне розвинення розв’язку початкової задачі у більшості випадків починаються з від’ємних степенів параметра , які також апріорі невідомі. Особливо великі труднощі виникають у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць , оскільки відповідні розвинення можна побудувати тільки за дробовими степенями параметра .

На даний час різними авторами, зокрема В.П. Яковцем, І.І. Старуном, С.П. Зубовою, В.П. Скрипником, розглянуто лише окремі найбільш прості випадки задачі (1), (3), що не вирішує проблеми в цілому. Тому проведення досліджень у даному напрямку є досить важливим і актуальним.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дана робота проводилась в рамках бюджетної науково-дослідної теми “Асимптотичне інтегрування вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь”, номер державної реєстрації 0199V000134.

Мета і задачі дослідження. Основним об’єктом наукового дослідження є лінійні сингулярно збурені системи диференціальних рівнянь з тотожно виродженою матрицею при похідних.

Предметом дослідження є задача Коші (1), (3).

Метою даної роботи є знаходження умов розв’язності даної задачі Коші, розробка методів побудови її формального розв’язку у різних випадках поведінки спектра граничної в’язки матриць та доведення асимптотичного характеру знайдених формальних розв’язків.

Методи дослідження ґрунтуються на розробленій у даний час загальній теорії вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь, методах теорії збурень лінійних операторів, асимптотичних методах М.М. Крилова, М.М. Боголюбова, Ю.О. Митро-поль-сь-кого, А.М. Самойленка, М.І. Шкіля, теорії в’язок матриць та узагальненого обернення матриць.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі основні результати дисертації є новими. У ній вперше–

знайдено достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші (1), (3) у випадку регулярності системи (1);–

виходячи з відомих результатів асимптотичного аналізу загального розв’яз-ку системи (1), розроблено метод безпосередньої побудови формального розв’язку початкової задачі (1), (3) за виконання знайдених умов його існування та єдиності; –

встановлено критерій для визначення степенів малого параметра, з яких починаються відповідні формальні розвинення, у різних випадках поведінки спектра граничної в’язки матриць;–

розроблено алгоритм для визначення коефіцієнтів відповідних формальних розвинень у випадку простого і кратного спектра граничної в’язки матриць;–

досліджено особливості побудови розв’язків у так званому некритичному та критичному випадках;–

знайдено умови, за виконання яких побудовані формальні розв’язки є асимптотичними розвиненнями відповідних точних розв’язків.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати мають як теоретичне, так і практичне значення. Вони доповнюють та розширюють існуючі результати з теорії асимптотичного аналізу вироджених сингулярно збурених систем звичайних диференціальних рівнянь і можуть бути використані для подальшого розвитку загальної теорії сингулярних збурень. Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості їх застосування до розв’язання конкретних задач фізики та техніки (гідродинаміки, теорії пружності, електротехніки, радіотехніки, теорії управління, економічного прогнозування та інших), математичні моделі яких зводяться до систем даного типу.

Особистий внесок здобувача. Загальний план роботи та постановка задач визначені науковим керівником – В.П. Яковцем. Усі наукові результати, включені в дисертацію, одержано здобувачем особисто. У сумісних роботах з науковим керівником [2, 3, 6, 7, 8, 10] В.П. Яковцю належать постановка задачі, вибір методики дослідження та обговорення результатів, автору дисертації – проведення досліджень та доведення всіх тверджень.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на Міжнародній науковій конференції “Моделирование и исследование устойчивости систем” (Київ, 1997 р.); Міжнародному науковому семінарі “Асимптотичні та якісні методи теорії диференціальних рівнянь” (Ужгород, 1998 р.); Міжнародній науковій конферен-ції “Dynamical systems modelling and stability investigation” (Київ, 1999 р.); науковому семінарі з асимптотичних методів у теорії диференціальних рівнянь в Національному педагогічному університеті ім. М.П. Драгоманова (керівник – академік АПН України, доктор фізико-математичних наук, професор М.І. Шкіль, 2000 р.); VIII Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2000 р.); Міжнародній науковій конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння” (м. Одеса, 2000 р.); Міжнародній науковій конференції “Диферен-ціальні рівняння і нелінійні коливання” (Чернівці, 2001 р.); Міжнародній конференції “Теорія еволюційних рівнянь” (п’яті Боголюбівські читання, м. Кам’янець-Подільський, 2002 р.); Міжнародній конференції “Асимпто-тичні методи в теорії диференціальних рівнянь” (м. Київ, 2002 р.); Х Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2004 р.); звітних наукових конференціях у Ніжинському державному педагогічному університеті імені Миколи Гоголя (1997 – 2004 рр.); науковому семінарі відділу диференціальних рівнянь і теорії коливань Інституту математики НАН України (2005 р.) (керівник – академік НАН України, професор Самойленко А.М.).

Публікації. Основні результати надруковані в 14 наукових працях, 6 з яких – статті у фахових наукових виданнях і 8 – тези доповідей наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, що містять 15 підрозділів, висновків та списку використаних джерел (127 найменувань). Загальний обсяг роботи становить 174 сторінки, основний зміст викладено на 161 сторінці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан проблеми, виділено мету та задачі дослідження, наведено основні результати, визначено їх новизну та практичне значення і зазначено особистий внесок здобувача, апробацію роботи та публікації.

У першому розділі зроблено огляд праць, які стосуються лінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь. Проаналізовано етапи розвитку теорії асимптотичного інтегрування систем диференціальних рівнянь, коефіцієнти яких залежать від малого параметра, у різних випадках поведінки коренів характеристичного рівняння. Розглянуто методи побудови загального розв’язку вироджених лінійних систем. Проаналізовано останні дослідження щодо розв’язання задачі Коші для систем даного типу.

У розділі 2 розглянуто питання побудови асимптотики розв’язку початкової задачі (1), (3) у випадку простого спектра граничної в’язки матриць. Знайдено умову розв’язності цієї задачі. Доведено теореми, якими встановлено вигляд розв’язку у некритичному та критичному випадках, знайдено асимптотичну оцінку побудованих розв’язків.

У підрозділі 2.1 формулюється постановка задачі Коші для системи диференціальних рівнянь виду (1) з початковою умовою (3).

Припускається, що:

1) матриця A(t,e) і вектор f (t,e) допускають рівномірні асимптотичні розвинення на даному відрізку [0,T]:

2) матриці , (k = 0,1,...), B(t) та вектор-функції , (k = 0,1,...) нескінченно диференційовні на [0;T];

3) гранична в’язка матриць регулярна на [0;T] і має простих скінченних елементарних дільників та один – нескінченний.

У підрозділі 2.2 розглянуто теорему А.М. Самойленка і В.П. Яковця про звідність системи (1) до центральної канонічної форми. Користуючись її результатами, знайдено умови існування і єдиності розв’язку задачі (1), (3). Доведено, що в загальному випадку умови розв’язності задачі Коші матимуть вигляд

. (4)

де , – n-вимірні вектори, які утворюють жорданів ланцюжок матриці В відносно оператора.

Розглянуто найпростіший випадок, коли матриця B(t) має на відрізку [0;T] жорданів ланцюжок векторів завдовжки 1 відносно оператора. Тоді умови (4) запишуться у вигляді

, k = 0,1,... , (5)

де (t) – власний вектор матриці (t), спряженої з В(t), що відповідає її нульовому власному значенню.

Якщо матриця B(t) має на відрізку [0;T] жорданів ланцюжок векторів завдовжки 2 відносно оператора, то умови розв’язності задачі Коші запишуться таким чином:

У підрозділі 2.3 розроблено метод побудови формального розв’язку задачі (1), (3) при виконанні умов 1) – 3). Для некритичного випадку, тобто коли серед власних значень в’язки немає нульового, доведено таку теорему.

Теорема 2.2. Якщо виконуються умови 1) – 3), , і вектор задовольняє умову (5), то задача Коші (1), (3) має формальний розв’язок вигляду (6)

де , , - n- вимірні вектор-функції, , - скалярні функції, які зображаються формальними розвиненнями за степенями малого параметра e: (7)

Досліджено критичний випадок, коли серед власних значень в’язки є тотожно нульове. Не зменшуючи загальності, покладається, що . Тоді справджується наступна теорема.

Теорема 2.3. Нехай виконуються умови 1) – 3) і , , , , і початковий вектор при всіх k = 0, 1,... задовольняє умову (5). Тоді, якщо виконується співвідношення, де – власний вектор матриці , (t) – власний вектор матриці , то задача Коші (1), (3) має формальний розв’язок вигляду (6), де (8)

У процесі доведення теорем 2.2 та 2.3 розроблено алгоритм для послідовного визначення будь-яких коефіцієнтів формальних розвинень (7), (8).

Слід зазначити, що результати, отримані в цьому розділі, дещо повторюють результати роботи Самойленко А.М., Шкіль М.І., Яковець В.П. “Лінійні системи диференціальних рівнянь з виродженнями”, однак у вказаній роботі розглядається тільки некритичний випадок, а для побудови асимптотичного розв’язку задачі (1), (3) застосовується метод регуляризації, який значно складніший від методу, розробленого в дисертації.

У підрозділі 2.5 доведено, що побудовані формальні розв’язки задачі (1), (3) мають асимптотичний характер, тобто є асимптотичним зображенням точного розв’язку. Відповідний результат сформульовано в такій теоремі.

Теорема 2.4. Якщо виконуються умови теореми 2.2 і , t[0;T], (0;0], , то при досить малих виконується нерівність

,

де x(t,) – точний розв’язок задачі (1), (3), а – m-наближення, утворене з (6) шляхом обривання формальних розвинень (7) на m-у члені, с – деяка стала, яка не залежить від .

Для розв’язку, який будується в критичному випадку згідно з теоремою 2.3, відповідна оцінка має вигляд

Наведено приклад, який ілюструє теоретичні викладки підрозділу 2.3. Розглянуто задачу Коші

,

де і знайдено її розв’язок.

Розділ 3 дисертації присвячено дослідженню початкової задачі (1), (3) у більш складному випадку, коли спектр регулярної граничної в’язки матриць є кратним. При цьому розглянуто різні найбільш типові ситуації, пов’язані із структурою відповідних скінченних та нескінченних елементарних дільників. У кожному з розглянутих випадків знайдено умови існування та єдиності розв’язку, встановлено його вигляд і розроблено алгоритм для визначення коефіцієнтів відповідних асимптотичних розвинень. Всі випадки, проаналізовані в цьому розділі, іншими авторами не досліджувались і в даній дисертації розглядаються вперше.

Підрозділи 3.1 та 3.2 є допоміжними. У першому з них дається постановка задачі (1), (3) в припущенні, що замість 3) виконується така умова:

4) матрична в’язка регулярна на [0,T] і має один скінченний елементарний дільник кратністю p та один нескінченний – кратністю q = n – p.

У підрозділі 3.2 проведено асимптотичний аналіз структури загального розв’язку однорідної системи. Розглянуто структуру розв’язків першої групи – тих, що відповідають скінченним елементарним дільникам і розв’язків другої групи – що відповідають нескінченним елементарним дільникам. Використовуючи метод діаграм Ньютона, наведено методику визначення дробових показників параметра при побудові розв’язку задачі Коші (1), (3).

У підрозділі 3.3 розроблено метод побудови формального розв’язку задачі Коші у випадку, коли , . Аналізуючи розв’язок задачі (1), (3) для некритичного випадку, приходимо до висновку, що вектор-функції, і скалярні функції, зображаються формальними розвиненнями за степенями. При цьому відповідні розвинення для вектор-функцій мають починатися з від’ємного степеня , показник якого дорівнює (), оскільки розв’язки першої групи стають лінійно незалежними тільки тоді, коли кількість членів їх розвинень не менша, ніж .

Основним результатом цього підрозділу є така теорема.

Теорема 3.3. Якщо виконуються умови 1), 2), 4), , серед власних значень в’язки L (t,) немає нульового і вектор x0 задовольняє співвідношення (5), то задача (1), (3) має на даному відрізку [0;T] фор-мальний розв’язок вигляду

(9)

де , , – n-вимірні вектор-функції, а , , – скалярні функції, які зображаються формальними розвиненнями (10)

У підрозділі 3.4 досліджується критичний випадок, коли і, отже, det A0(t) 0. У цьому випадку справджується наступна теорема.

Теорема 3.4. Нехай виконуються умови 1), 2), 4) і на [0,T]. Тоді, якщо виконується умова і вектор задовольняє співвідношення (5), то задача (1), (3) має на даному відрізку формальний розв’язок вигляду (9), де вектор-функції , , та скалярні функції , зображаються формальними розвиненнями (11) в яких

У підрозділі 3.5 побудовано розв’язок задачі (1), (3) в загальному випадку, коли p > 1 і q = n – p > 1.

Припускається, що виконуються умови, які назвемо основними:

, , (12)

де (t), (t) – елементи нуль-просторів матриць та В(t) відповідно, (t), (t) – елементи нуль-просторів відповідних спряжених матриць та .

Тоді загальний розв’язок однорідної системи є лінійною комбінацією р розв’язків першої групи та q – 1 розв’язків другої групи. При цьому відповідні розвинення вектор-функцій і функцій для розв’язків першої групи будуються за степенями , а вектор-функцій і функцій – для розв’язків другої групи – за степенями . Аналіз методу побудови розв’язків обох груп, показує, що їх лінійна незалежність має місце тільки тоді, коли береться не менше, ніж (р – 1) членів відповідних формальних рядів для розв’язків першої групи і не менше, ніж (q – 2) – для розв’язків другої групи.

Для некритичного випадку () сформульована така теорема.

Теорема 3.5. Якщо виконуються умови 1), 2), 4), (12), власне значення в’язки відмінне від нуля і вектор x0 задовольняє співвідношення (5), то задача (1), (3) має на даному відрізку [0;T] формальний розв’язок вигляду

(13)

де , , , , – n-вимірні вектор-функції, , , , – скалярні функції, які зображаються формальними розвиненнями (14) в яких

У критичному випадку справджується така теорема.

Теорема 3.6. Якщо виконуються умови 1), 2), 4), (12), власне значення в’язки тотожно дорівнює нулю і вектор x0 задовольняє співвідношення (5), то задача (1), (3) має на даному відрізку [0;T] формальний розв’язок вигляду (13), де (15)

в яких

У підрозділі 3.6 розглянуто побудову асимптотики розв’язку задачі Коші у випадку невиконання основних умов (12), тобто припускається, що виконуються умови

, (16)

, ,

, (17)

де , і = 1, 2.

Причому, може виконуватись або одна з умов (16) або обидві. Розглянуто різні випадки. Проведено аналіз відповідних діаграм Ньютона. У кожному з цих випадків розглянуто вигляд загального розв’язку системи (1).

Ґрунтовно досліджено випадок, коли умови (16), (17) виконуються одночасно, який є найбільш загальним. При цьому матимемо р розв’язків першої групи, (причому p – 1 розв’язків будуються у вигляді розвинень за степенями параметра і один розв’язок – за степенями параметра ) і q – 2 розв’язки другої групи (розвинення ведуться за степенями параметра ). Якщо р = 2, то обидва розв’язки першої групи будуються за цілими степенями параметра і знаходження такого розв’язку аналогічне до відшукання розв’язку задачі Коші у випадку виконання основних умов. Тому припускаємо, що р > 2.

У цьому випадку справджується така теорема

Теорема 3.7. Якщо виконуються умови 1), 2), 4), (16), (17) і вектор x0 задовольняє співвідношення

k = 0,1,…,

то задача Коші (1), (3) має на даному відрізку [0;T] формальний розв’язок вигляду

де , , , , w(t,) – n-вимірні вектор-функції, , , , – скалярні функції, які зображаються формальними розвиненнями

де s = 1, m = 0 в некритичному випадку і s = 2, m = 2 – в критичному випадку.

Розглянуто конкретний приклад.

У підрозділі 3.7 доведено асимптотичні властивості формальних розв’язків. Основним результатом є теорема, яка доведена для випадку, коли виконуються всі умови теореми 3.5.

Теорема 3.8. Нехай виконуються умови теореми 3.5, а також наступні:

,

. (18)

Тоді існує такий точний розв’язок задачі Коші (1), (3), що має місце оцінка

, (19)

де, с – деяка стала, що не залежить від , .

Аналогічні оцінки мають місце також для формальних розв’язків, які встановлюються за теоремами 3.6, 3.7.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена побудові асимптотичного розв’язку задачі Коші для вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь. Основним завданням досліджень є знаходження умов існування та єдиності відповідного розв’язку та розробка методу безпосередньої побудови його асимптотики у різних випадках поведінки граничної в’язки матриць.

У дисертаційній роботі отримано такі нові наукові результати:–

знайдено достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші (1), (3) у випадку регулярності системи (1);–

виходячи з відомих результатів асимптотичного аналізу загального розв’яз-ку системи (1) розроблено метод безпосередньої побудови формального розв’язку початкової задачі (1), (2) за виконання знайдених умов його існування та єдиності; –

встановлено критерій для визначення степенів малого параметра, з яких починаються відповідні формальні розвинення у різних випадках поведінки спектра граничної в’язки матриць;–

розроблено алгоритм для визначення коефіцієнтів відповідних формальних розвинень у випадку простого і кратного спектра граничної в’язки матриць;–

досліджено особливості побудови розв’язків у так званому некритичному та критичному випадках;–

знайдено умови, за виконання яких побудовані формальні розв’язки є асимптотичними розвиненнями відповідних точних розв’язків.

Одержані результати мають в основному теоретичний характер. Строге математичне обґрунтування цих результатів визначає їх достовірність. Вони доповнюють та розширюють існуючі результати з теорії асимптотичного аналізу вироджених сингулярно збурених систем звичайних диференціальних рівнянь і можуть бути використані для подальшого розвитку загальної теорії сингулярних збурень. Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості їх застосування до розв’язання конкретних задач фізики та техніки (гідродинаміки, теорії пружності, електротехніки, радіотехніки, теорії управління, економічного прогнозування та інших), математичні моделі яких зводяться до систем даного типу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

АНОТАЦІЯ

Кочерга О.І. Асимптотичне розв’язання задачі Коші для вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2005.

Дисертаційна робота присвячена побудові асимптотичного розв’язку задачі Коші для вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь. Знайдено достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші у випадку регулярності системи. Виходячи з відомих результатів асимптотичного аналізу загального розв’яз-ку даної системи, розроблено метод безпосередньої побудови формального розв’язку початкової задачі при виконанні знайдених умов його існування та єдиності. Встановлено критерій для визначення степенів малого параметра, з яких починаються відповідні формальні розвинення у різних випадках поведінки спектра граничної в’язки матриць. Розроблено алгоритм для визначення коефіцієнтів відповідних формальних розвинень у випадку простого і кратного спектра граничної в’язки матриць. Досліджено особливості побудови розв’язків у так званому некритичному та критичному випадках. Знайдено умови, при виконанні яких побудовані формальні розв’язки є асимптотичними розвиненнями відповідних точних розв’язків.

Ключові слова: диференціальне рівняння, сингулярне збурення, вироджені системи, гранична в’язка матриць, діаграма Ньютона, розвинення в ряд, асимптотична оцінка, жордановий ланцюжок.

АННОТАЦИЯ

Кочерга О.И. Асимптотическое решение задачи Коши для вырожденных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, 2005.

Диссертационная работа посвящена построению асимптотического решения задачи Коши для вырожденных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений.

Найдены достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши в случае регулярности системы.

Исходя из известных результатов асимптотического анализа общего решения системы, разработан метод непосредственного построения формального решения данной начальной задачи при выполнении найденных условий его существования и единственности. Суть этого метода состоит в том, что сначала, используя известные результаты, с помощью диаграмм Ньютона устанавливается количество линейно независимых решений первой и второй групп, которые образовывают общее решение исходной однородной системы, и определяются дробные показатели степеней малого параметра, по которым можно построить асимптотические разложения этих решений. Потом определяются отрицательные показатели степеней малого параметра, с которых может начинаться разложение решения задачи Коши. После чего составляется искомое разложение как линейная комбинация соответствующих разложений частных решений однородной и неоднородной системы. Коэффициенты этого разложения находятся из систем уравнений, которые получаются в результате его подстановки в исходную систему и начальное условие и приравнивания выражений при одинаковых степенях параметра.

Исследованы различные случаи поведения спектра предельного пучка матриц, а именно:

1) случай простого спектра, когда предельный пучок матриц имеет простых конечных элементарных делителей и один бесконечный;

2) случай кратного спектра, когда матричный пучок имеет конечный элементарный делитель кратности p = n –1 и один бесконечный элементарный делитель – кратности 1;

3) случай кратного спектра, когда матричный пучок имеет конечный элементарный делитель кратностью p > 1 и один бесконечный элементарный делитель – кратности q = n – p > 1;

Детально рассмотрен случай кратного спектра предельного пучка матриц, поскольку соответствующее разложение в этом случае можно построить только по дробным степеням параметра .

Исследованы особенности построения решений в так называемом некритическом и критическом случаях. Рассмотрены случаи выполнения и невыполнения основных условий.

Найдены условия, при выполнении которых построенные формальные решения являются асимптотическими разложениями соответствующих точных решений.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, сингулярное возмущение, вырожденные системы, предельный пучок матриц, диаграмма Ньютона, разложение в ряд, асимптотическая оценка, жорданова цепочка.

ABSTRACT

Kocherga O.I. The asymptotic solution of Cauchy problem for the degenerated singularly perturbed systems of the differential equations. – Manuscript.

The thesis for obtaining the scientific degree of candidate of physics and mathematical sciences on speciality 01.01.02 – differential equations. – Institute of mathematics National academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

The thesis work is devoted to constructing the asymptotic solution of Cauchy problem for the degenerated singularly perturbed systems of differential equations. The sufficient conditions of existence and uniqueness of Cauchy problem solution in case of the system regularity have been found out. Proceeding from the known results of the asymptotic analysis of the given system’s general solution, the method of direct construction of the initial problem’s formal solution has been worked out. But it is necessary to take into account the found conditions of its existence and uniqueness. The criterion for determining the degrees of small parameter has been fixed. From this power the corresponding formal expansions in different cases of spectrum behaviour of the limit bundle of matrices began. The algorithm for determining the coefficients of the corresponding formal expansions in case of simple and multiple spectrum of the limit bundle of the matrices has been worked out. The peculiarities of constructing solutions in the so-called non-critical and critical cases have been studied. The conditions under which the constructed formal solutions are the asymptotic expansions of the corresponding exact solutions have been found out.

Key words: differential equation, singular perturbation, degenerated systems, limit bundle of matrices, diagrams of Newton, expansion into a series, asymptotic estimation, Jordan chain.