МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Копичко Ольга Миколаївна

УДК 539.3:534.1

НОРМАЛЬНІ ХВИЛІ У ОТОЧЕНОМУ

РІДИНОЮ АНІЗОТРОПНОМУ ШАРІ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Донецькому національному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник – доктор технічних наук, професор

Сторожев Валерій Іванович,

Донецький національний університет,

завідувач кафедри теорії пружності і

обчислювальної математики.

Офіційні опоненти – доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Шульга Микола Олександрович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

завідувач відділу електропружності;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Моісеєнко Віктор Олексійович,

Донбаська національна академія будівництва і архітектури,

завідувач секції прикладної математики.

Провідна установа – Національний технічний університет

“Харківський політехнічний інститут”, кафедра прикладної математики,

Міністерство освіти і науки України, м. Харків.

Захист відбудеться “8” вересня 2005 р. о 14.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).

Автореферат розісланий “5” серпня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наук, доцент Мисовський Ю.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теоретичне дослідження процесів розповсюдження пружних хвиль у твердих деформівних тілах, що за окремими граничними поверхнями або повністю контактують з ідеальною або в’язкою рідиною, є важливим аспектом загальної проблеми вивчення хвильових процесів у суцільних середовищах, яка зберігає важливе фундаментально - наукове та прикладне значення. Це пов’язано з одного боку з численними сучасними практичними застосуваннями відомостей про властивості та закономірності розповсюдження таких хвиль у гідроакустиці, акустоелектрониці, дефектоскопії, сейсмології, сейсморозвідці, неруйнуючих методах контролю та діагностики, ультразвукових дослідженнях. З іншого боку актуальність і фундаментальне значення досліджень за цією проблемою обумовлені внутрішньою логікою розвитку гідропружності анізотропних деформівних середовищ як наукового напрямку у механіці деформівного твердого тіла, за яким, зокрема, з’ясовуються провідні фізико-механічні закономірності впливу рідкої фази у анізотропних шаруватих складених хвилеводах на дисперсійні, кінематичні та енергетичні характеристики нормальних хвиль.

Попри більш ніж півсторічну історію теоретичних досліджень з цієї проблематики та зростання зацікавленості і кількості публікацій за нею в останні десять років, майже відкритими залишаються, зокрема, актуальні проблеми дослідження сукупного впливу суттєвої механічної анізотропії хвилеводу з твердою компонентою у вигляді пружного шару та властивостей оточуючої рідини на структуру і кількісні характеристики дисперсійних спектрів, на фазові швидкості, кінематичні і енергетичні характеристики симетричних, антисиметричних і зв’язаних згинно-повздовжніх нормальних хвиль з різних мод спектрів при різноманітних напрямках їх розповсюдження; дослідження впливу цих факторів на параметри енергетичного розсіяння у витікаючих нормальних хвилях.

Зважаючи на використання анізотропних композиційних матеріалів у конструкціях гідроакустичної техніки та корпусних конструкціях суден, на застосування анізотропних кристалічних матеріалів у конструкціях хвилеводних компонентів акустоелектронних пристроїв, зазначені вище проблеми є сучасними і актуальними на сьогоднішньому етапі розвитку механіки деформівного твердого тіла як в науковому, так і в прикладному аспектах. Ці міркування і обумовили вибір теми даної дисертаційної роботи.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що складають дисертаційну роботу, виконані у відповідності з планами наукових робіт за рядом конкурсних науково-дослідницьких тем і проектів, у тому числі за фінансованими Міністерством освіти і науки України конкурсними держбюджетними науково-дослідницькими темами (номери держреєстрації 0196U007098, 0199U001502, 0101U005370, 0104U002148). Переважна частина результатів дисертаційної роботи ввійшла до звітів за зазначеними НДР.

Метою дисертації є визначення основних закономірностей в дисперсійних, кінематичних і енергетичних властивостях нормальних хвиль у хвилеводах, складених з анізотропного пружного шару орторомбічної системи, який за обома чи за однією з граней межує з півпросторами ідеальної або в’язкої слабко стисливої рідини на підставі узагальнення чисельно - аналітичних методик розв’язання відповідних спектральних крайових задач та фізико - механічної інтерпретації результатів їх аналізу.

Задачами наукового дослідження, які необхідно розв’язати для досягнення поставленої мети, є:

- побудова аналітичної форми дисперсійних співвідношень для визначення повних спектрів зв’язаних повздовжно - згинних, а також симетричних та антисиметричних нормальних хвиль у хвилеводі з анізотропного пружного шару орторомбічної системи, який за однією чи за обома гранями межує з півпросторами ідеальної або в’язкої слабко стисливої рідини, розробка схем чисельно-аналітичного аналізу побудованих рівнянь;

- розробка програмних засобів для чисельної комп’ютерної реалізації побудованих методик;

- дослідження і узагальнення відмінностей та особливостей у структурі повних дисперсійних спектрів для хвилеводів досліджуваного типу, особливостей у кінематичних та енергетичних характеристиках витікаючих нормальних хвиль, які обумовлені сукупним впливом факторів анізотропії хвилеводу та наявності і властивостей оточуючої рідини.

Реалізація зазначених цілей і складає основний зміст дисертаційної роботи.

Об'єктом дослідження є загальні закономірності пружних хвильових процесів в оточених рідиною деформівних твердих тілах.

Предметом дослідження є закони дисперсії витікаючих біжучих та вироджених крайових стоячих нормальних хвиль з довільним напрямком розповсюдження в площині контактуючого з рідиною анізотропного монокристалічного шару орторомбічної системи, закономірності розподілу кінематичних характеристик та енергетичних потоків для різних мод спектру досліджуваних нормальних хвиль.

Методами дослідження, що застосовуються в роботі, є чисельно-аналітичні методи математичної фізики для одержання аналітичних форм дисперсійних рівнянь, аналітичних співвідношень для кінематичних і енергетичних характеристик хвиль; методи асимптотичного аналізу коренів квазіполіноміальних рівнянь; методи комп’ютерної алгебри у середовищі спеціалізованого пакету Maple; ітераційні методи чисельного розв’язання трансцендентних рівнянь, реалізовані у створених комп’ютерних програмах на алгоритмічній мові Fortran.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що

- вперше реалізовано побудову трансцендентних дисперсійних рівнянь для симетричних та антисиметричних нормальних хвиль з довільним напрямком розповсюдження у площині анізотропного кристалічного шару з матеріалу орторомбічної системи, який за обома плоскими гранями межує з півнескінченими областями, заповненими ідеальною або в’язкою слабко стисливою рідиною;

- для рівнянь зазначеного типу вперше побудовані асимптотичні співвідношення для визначення комплексних коренів;

- вперше здійснено побудову дисперсійних рівнянь для нормальних хвиль з пружно-еквівалентними напрямками розповсюдження у анізотропному шарі орторомбічної системи, який за протилежними плоскими граничними поверхнями межує з вакуумом та ідеальною рідиною;

- на підставі чисельно-аналітичних досліджень одержані нові дані стосовно структури та особливостей дисперсійних спектрів симетричних та антисиметричних нормальних хвиль вздовж пружно-еквівалентних та декількох непружно-еквівалентних напрямків у площині оточеного водою або модельною рідиною шару з монокристалу сегнетової солі;

- визначені і узагальнені нові дані про основні кінематичні та енергетичні властивості симетричних та антисиметричних нормальних хвиль вздовж пружно-еквівалентних та деяких непружно-еквівалентних напрямків розповсюдження у шарі орторомбічного монокристалу сегнетової солі, що оточений або межує за однією гранню з ідеальною рідиною, або оточений в’язкою рідиною (гліцерином чи модельною рідиною з варійованим показником в’язкості).

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій. Основні результати роботи одержані шляхом розвитку та застосування обґрунтованих математичних методів до задач, які строго поставлені в рамках апробованих моделей просторового лінійного деформування анізотропних пружних середовищ та у рамках апробованих лінеаризованих моделей механіки суцільного середовища, що описують поведінку ідеальної та в’язкої слабко стисливої рідини. Достовірність результатів чисельного розв’язання дисперсійних рівнянь із застосуванням ітераційних методів контролюється шляхом аналізу практичної збіжності та контролю ступеня задовільнення трансцендентних дисперсійних рівнянь визначеними наближеними значеннями комплексних хвильових чисел, тобто контролем задовільнення крайовим умовам на граничних поверхнях хвилеводів при точному задовільненні динамічним диференціальним рівнянням для його складових частин. Здійснено контроль ідентичності одержаних у спеціальних окремих частинних випадках чисельних результатів з відомими результатами інших досліджень, що наведені у науковій літературі.

Практичне значення отриманих результатів дисертаційної роботи полягає у можливостях використання основних встановлених фізико-механічних ефектів, закономірностей, даних про структуру повних дисперсійних спектрів, енергетичне розсіяння, кінематичні та енергетичні властивості нормальних хвиль у оточеному рідиною кристалічному шарі, а також застосування створених програмних засобів для чисельної реалізації побудованих у дисертаційній роботі розв’язків в прикладних розрахунках, пов’язаних зі створенням принципових схем функціонування, проектуванням та визначенням робочих параметрів конструкційних елементів акустоелектронної техніки, гідроакустичних пристроїв, приладів ультразукового контролю і діагностики (датчиків, резонаторів, ультраакустичних фільтрів, хвилеводів), а також у геоакустичних дослідженнях.

Апробація результатів роботи. Основні результати досліджень, окремі положення роботи, а також дисертація в цілому були представлені та обговорені на наступних наукових конференціях та семінарах: International Conference “Modelling and investigation of systems stability” (Kiev, 1997); Міжнародній конференції “Математические модели физических процессов и их свойства” (Таганрог, 1997); Міжнародній науковій конференції “Современные проблемы концентрации напряжений” (Донецьк, 1998); 7 та 8 Міжнародних конференціях “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (Донецьк, 1999; Донецьк, 2002;); Українсько–польському колоквіумі “Математичні проблеми механіки” (MPM’04, Донецьк, 2004); Міжнародній студентській науково-технічній конференції “Механика жидкости и газа” (Донецк, 2004); наукових конференціях Донецького національного університету за підсумками науково-дослідницької роботи за періоди 1999-2000 рр. та 2001-2003 рр., (Донецьк, 2001; Донецьк, 2003; Донецьк, 2005); на об’єднаних наукових семінарах кафедри теорії пружності і обчислювальної математики, кафедри прикладної механіки і комп’ютерних технологій Донецького національного університету та відділу аналітичних методів механіки гірничих порід Інституту прикладної математики і механіки НАН України (1996 – 2005), на науковому семінарі у Національному технічному університеті “Харківський політехнічний інститут” (Харків, 2005).

Публікації і особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковано у 12 наукових працях [1–12], з яких 5 статей – у наукових журналах, затверджених ВАК України фаховими виданнями [1 - 5], 7 тез і матеріалів наукових конференцій [6 - 12].

Основні результати були отримані автором самостійно. У роботах [1, 5, 6, 12] співавторам Сторожеву В.І., Шпаку В.А. належить участь у постановці розглянутих задач, виборі методу дослідження й обговоренні отриманих результатів. У роботі [11] автору належать результати, що стосуються теоретичних моделей розповсюдження нормальних хвиль у складених кристалічних хвилеводах з рідинним оточенням, а співавторам Бутко С.Б, Волобуєвій Т.В., Сторожеву В.І., Шпаку В.А. належать результати, що стосуються всіх інших питань з проблем збудження і розповсюдження пружних хвиль у пластинчатих, призматичних і циліндричних кристалічних хвилеводах орторомбічного класу.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаних джерел зі 168 найменувань і трьох додатків. Основний текст і додатки містять 63 рисунки. Загальний обсяг дисертації складає 208 сторінок, з яких 17 сторінок займає список літератури, 44 сторінки – додатки. Основний зміст роботи викладено на 147 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано вибір та актуальність теми дослідження; охарактеризовано зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами; сформульовано мету, завдання і методи дослідження; наведено характеристику наукової новизни, обгрунтованості і достовірності наукових положень, висновків і рекомендацій роботи, її наукового та практичного значення; охарактеризовано особистий внесок здобувача в спільній публікації за темою дисертаційної роботи, наведено дані про апробацію результатів дисертації; викладено коротку анотацію змісту роботи.

Перший розділ роботи містить аналітичний огляд опублікованих результатів у галузі проблем розповсюдження пружних хвиль у твердих деформівних тілах та складених хвилеводах у вигляді пружних тіл, що межують з рідиною. Зазначено, що загальні методологічні засади, які використовуються при теоретичних дослідженнях проблеми аналізу хвилеводних властивостей твердих деформівних тіл просторової геометрії, в сучасному викладі наведені в роботах В.А. Бабешка, В.М. Бабича, О.М. Багна, О.В. Білоконя, О.О. Ватульяна, І.І. Воровича, Є.В. Глушкова, В.Т. Головчана, Н.С. Городецької, О.Я. Григоренка, В.Т. Гринченка, О.М. Гузя, В.І. Гуляєва, А.Ю. Жарія, О.П. Жука, В.Г. Карнаухова, Г.Л. Коміссарової, О.С. Космодаміанського, В.Д. Кубенка, Л.В. Курпи, П.З. Лугового, П.Г. Махорта, В.В. Мелешка, В.О. Моісеєнка, Л.О. Молоткова, А.В. Наседкіна, О.М. Подлипенця, В.І. Пожуєва, О.Д. Пряхіної, В.Л. Рвачьова, В.С. Саркісяна, І.Т. Селезова, І.К. Сенченкова, В.І. Сторожева, А.Ф. Улітка, Ю.А. Устинова, М.О. Шульги, Ю.К. Енгельбрехта, J.D.B.A. Auld, D.E.C.D.S.J.R.P.C.Y.H.D.R.D.I.A.H.Y.H.L.S.I.N.R.J.T.R.N. Thurston, J.та ряду інших вчених. На підставі аналізу літературних джерел визначені сучасні актуальні наукові проблеми у цій галузі, які за більшістю аспектів є практично відкритими, і на цій підставі обґрунтовано доцільність передбачених у дисертації досліджень.

У другому підрозділі сформульовано фізичну і математичну постановку задач, що розглядаються у роботі. Досліджувана хвилеводна структура складається з анізотропного пружного шару орторомбічної системи, який обіймає у безрозмірній прямокутній координатній системі область та нерухомої ідеальної або в’язкої слабко стисливої рідини з однаковими фізико-механічними характеристиками, що оточує шар і займає півнескінчені області або одну із півнескінчених областей. Якщо рідина знаходиться тільки по одну сторону шару, то інша його гранична площина за припущенням межує з вакуумом (вільна).

Розповсюдження нормальних хвиль у даних структурах вздовж довільно орієнтованого напрямку в площині шару описується крайовою спектральною задачею, яка включає рівняння пружних хвилевих рухів шару, рівняння хвильових процесів у рідині, граничні умови на поверхнях контакту складових хвилеводу, поєднані з умовами затухання інтенсивності хвилевих рухів у заповнених рідиною півпросторах при , або граничні умови на вільній поверхні. Застосовуються лінеаризовані моделі хвилевих рухів ідеальної або в’язкої слабко стисливої рідини. Крайові умови на границях контакту граней шару з півпросторами такої рідини відповідно мають вигляд (1), (2).

У третій частині цього розділу висвітлюється концепція чисельно-аналітичного розв’язання проблеми, яка передбачає одержання аналітичної форми дисперсійних рівнянь з крайових умов спектральних задач на підставі попереднього аналітичного інтегрування рівнянь стаціонарної хвильової динаміки.

Другий розділ роботи вміщує комплекс досліджень з проблеми визначення повних дисперсійних спектрів та властивостей нормальних гідропружних хвиль в анізотропному кристалічному шарі орторомбічної системи, оточеному півпросторами ідеальної слабко стисливої рідини. У першому підрозділі отримані дисперсійні рівняння для нормальних симетричних та антисиметричних по товщині хвилеводу трьохпарціальних хвиль вздовж довільного напрямку в площині шару, який характеризується кутом між вектором хвильової нормалі та координатним напрямком . Для амплітудних функцій товщинної координати у введених для випадку симетричних хвиль комплексних характеристиках хвильових пружних зміщень у шарі та хвильового тиску у рідині (3) шляхом інтегрування відповідних динамічних рівнянь одержані співвідношення зі структурою (4), за якими дисперсійне рівняння одержано у вигляді (5), де - дисперсійна функція для симетричних нормальних хвиль у вільному за гранями шарі, а мають вигляд. Подібну структуру має дисперсійне рівняння для антисиметричних трьохпарціальних нормальних хвиль вздовж довільного напрямку розповсюдження у досліджуваному хвилеводі.

У другому підрозділі окремо побудовані дисперсійні рівняння для нормальних симетричних та антисиметричних хвиль, які розповсюджуються за пружно-еквівалентними напрямками і досліджуваного хвилеводу. Для симетричних хвиль вздовж , наприклад, таке рівняння має структуру (6), де - дисперсійний визначник для симетричних нормальних хвиль вздовж у вільному за гранями монокристалічному ортотропному шарі. Дисперсійні рівняння для інших типів товщинної симетрії у хвильових функціях та інших напрямків розповсюдження мають аналогічну структуру.

В окремому підрозділі проаналізовано питання про критичні частоти досліджуваних дисперсійних спектрів і з’ясовано існування множин таких частот, на яких пружні хвилеві переміщення у точках граней шару є суто зсувними рухами вздовж координатних напрямків .

Четвертий підрозділ містить розв’язок задачі про побудову асимптотичних співвідношень для гілок великих за модулем комплексних коренів дисперсійних рівнянь типу (5).

За попередньо визначеною асимптотичною формою дисперсійного рівняння (7) та загальною методологією асимптотичного аналізу коренів квазіполіномів побудовані співвідношення для асимптотик гілок коренів рівняння досліджуваного типу (8), де елементи підмножини комплексних у загальному випадку значень , які мають своїми зображеннями точки на комплексній площині і є вершинами многокутника – випуклої оболонки точок , а нумерацію визначено так, щоб значення індексу зростало при обході границі многокутника за часовою стрілкою і значення відповідало першій з точок зазначеної випуклої оболонки, розташованій у першому квадранті комплексної площини.

Подальші підрозділи містять характеристику методологій та результати чисельних досліджень з розрахунків повних дисперсійних спектрів гідропружних нормальних хвиль, з аналізу провідних кінематичних та енергетичних властивостей нормальних хвиль і, зокрема, ефекту енергетичного розсіяння у витікаючих хвилях (leaky waves) спектру. Так, у п’ятому підрозділі подано результати розрахунків повних дисперсійних спектрів та кінематичних характеристик нормальних хвиль вздовж пружно-еквівалентних напрямків розповсюдження у шарі монокристалу сегнетової солі з фізико-механічними характеристиками , , , оточеному водою з параметрами щільності і швидкості акустичних хвиль , .

Досліджувані дисперсійні рівняння мають, за суто окремими виключеннями для певних частот, лише комплексні корені трьох груп: корені з відносно малою уявною складовою, корені з відносно малою дійсною складовою, корені з рівновеликими дійсною та уявною складовими. Корені першої групи є хвильовими числами “псевдобіжучих” виткаючих нормальних хвиль (leaky waves); для вільного шару без рідинного оточення гілки цих коренів є дійсними і характеризують вільні біжучі нормальні хвилі; уявна складова цих гілок характеризує ефекти затухання нормальних хвиль, розсіяння енергії біжучих хвиль при розповсюдженні вздовж хвилевода, “витікання” енергії за рахунок псевдопоршневих рухів його плоских граничних поверхонь. Кінематичною характеристикою ступеня енергетичного розсіяння є показник . Вибір знаку уявних частин комплексних коренів має відповідати властивостям затухання характеристик хвильового поля у заданому напрямку розповсюдження. Трансформація “суттєво” комплексних гілок повного спектру (гілок коренів третьої групи) порівняно з їх структурою для хвилеводу з вільною бічною поверхнею полягає у появі розгалуження дійсних і уявних частин цих гілок на діаграмах дисперсійних кривих. На відміну від випадку вільного кристалічного шару хвилі, що відповідають кореням другої та третьої груп, вже не є крайовими стоячими хвилями; вони мають у своїх представленнях компоненти, що характеризують енергетичне “витікання”. Гілки хвиль з уявними у спектрі вільного шару при появі рідинного оточення трансформуються у комплексні гілки з відносно малими дійсними складовими. Характерна структура дисперсійного спектру для симетричних хвиль вздовж напрямку з зображеними суцільними лініями гілками комплексних коренів, зображеними штрих-пунктирними лініями гілками розгалужених комплексних коренів та наведеними для порівняння зображеними пунктирними лініями гілками спектру вільного шару, дана на рис. 1. Найбільш суттєві якісні зміни у структурі спектрів для шару з рідинним оточенням порівняно зі спектрами вільного або закріпленого шару виникають в околі частот запирання і частотних мінімумів на дисперсійних кривих шару без рідинного оточення. Поряд з ефектом “подвоєння” комплексних гілок спектру вільного шару (появою двох розгалужених гілок коренів третього типу замість однієї гілки у спектрі вільного шару) відповідно виникає трансформація спектру у зонах входження дійсної частини комплексної гілки зі спектра вільного шару у точку мінімуму на дійсній гілці “зворотних” біжучих хвиль. Внаслідок “розштовхування” у точці входу з’являються дві гілки дійсних частин комплексних мод з дещо відмінними частотними залежностями. Міра розштовхування зі збільшенням ступеня “енергетичного витікання” росте і, поряд з цим, дві криві , що з’явились, стають все більш гладкими. Найбільші кількісні відмінності простежуються у поведінці дійсної складової (постійної розповсюдження) нижчої моди з нульовою частотою запирання. Для частотного діапазону, у якому проводились розрахунки з результатами, відображеними на рис. , розбіжність між хвильовими числами нижчої нормальної хвилі у шарі з рідинним оточенням та у вільному шарі з ростом частоти збільшується. Цей ефект доповнюється і відповідною поведінкою уявної складової дисперсійної кривої цієї моди; він знаходить певні пояснення і за результатами аналізу розподілу амплітудних характеристик хвильових рухів по товщині кристалічної складової хвилеводу. Показник для цієї моди на приведених частотах , , відповідно має значення 0.17, 0.76 та 0.33, що узгоджується з характером змін . Характер відмінностей дисперсійних спектрів для вільного шару і шару з рідинним оточенням в цілому є якісно подібним для антисиметричних хвиль та для хвиль з обома типами симетрії вздовж напрямку . Поряд з цим можливо зазначити, що для антисиметричних хвиль темп зростання при збільшенні уявної складової хвильового числа, є значно вищим, тобто певний фіксований ступінь енергетичного розсіяння у антисиметричних хвилях виникає при значно більших відносних товщинних рухах граней порівняно з випадком симетричних хвиль. Ще одна з відмінностей спектрів вздовж напрямку полягає у тому, що для симетричних хвиль тут існує критична частота витікаючої хвилі, що співпадає з “верхньою” критичною частотою петлеподібної моди для вільного шару, а для антисиметричних хвиль критична частота витікаючої хвилі співпадає з “нижньою” критичною частотою петлеподібної моди вільного шару відповідно до характеру пружних рухів плоскої грані на зазначених частотах.

Ефекти трансформації спектрів при варіюванні властивостей рідини та зміні напрямку розповсюдження нормальних хвиль розглянуті у шостому підрозділі. Зокрема для хвиль вздовж пружно-еквівалентних напрямків додатково розглянуті випадки оточення модельною рідиною L1, L2, L3, L4. Характеристики рідини L3 та L4 відповідно співпадають з характеристиками гліцерину та бромоформу без врахування в’язкості. Типові відмінності спектрів симетричних хвиль вздовж напрямку у шарі монокристалу сегнетової солі, оточеному рідиною L1 (точкові лінії), L2 (штрих – пунктирні лінії) та водою (суцільні лінії) ілюструє рис. .

Для хвилевода з рідинним оточенням L1 у спектрі виникають лише кількісні відмінності. Вони є досить малими для складової нижчої гілки спектру з нульовою частотою запирання, але ступінь затухання хвиль цієї гілки у діапазоні досить суттєво зростає. На інші гілки витікаючих псевдобіжучих нормальних хвиль досліджуваного спектру фактор заміни рідинного оточення шару на рідину L1 у кількісному відношенні майже не впливає. Відчутним є кількісний вплив зазначених змін у властивостях хвилеводу на “праву” з розгалужених суттєво комплексних гілок спектру у діапазоні частот . Заміна рідинного оточення на рідину L2 зі щільністю, що перебільшує щільність матеріалу шару, призводить вже до якісних змін у поведінці окремих гілок спектру. Зокрема якісно змінюються кутові напрямки дійсних складових нижчої гілки витікаючих псевдобіжучих нормальних хвиль та правої з розгалужених суттєво комплексних гілок (ці складові перетинаються і начебто обмінюються кутовими напрямками), тобто фазові швидкості нижчої витікаючої хвилі якісно збільшуються. Суттєво, майже якісно збільшуються значення уявної складової “лівої” з розгалужених суттєво комплексних гілок. Слід також зазначити, що на моди другої, третьої та четвертої гілки витікаючих псевдобіжучих нормальних хвиль при зазначені вище зміни властивостей оточуючої рідини навіть кількісно практично не впливають.

Характерні відмінності у структурі спектрів трьохпарціальних антисиметричних нормальних хвиль вздовж напрямку у шарі монокристалу сегнетової солі, пов’язані з появою оточення водою, показує рис. .

Якісні відмінності у структурі спектрів подібні до тих, що мають місце для спектрів вздовж пружно-еквівалентних напрямків. Провідні кількісні відмінності стосуються значень постійної розповсюдження у нижчий моді витікаючих хвиль.

У окремому підрозділі здійснено аналіз енергетичних характеристик досліджуваних нормальних хвиль, а саме розподілів щільностей середніх за період потоків потужності у полях хвильових рухів. Характерний вигляд розподілу характеристик (точкові лінії) та (суцільні лінії) по товщині шару і в прилеглій до шару зоні рідинного оточення на прикладі хвилі з частотою з першої моди спектру симетричних хвиль вздовж напрямку у оточеному водою шарі сегнетової солі зображено на рис. .

Проведено аналіз характеристик ступеня енергетичного витікання у хвилях з різних досліджуваних спектрів.

Показано, що зміни показників енергетичного витікання корелюють з даними аналізу кінематичних характеристик пружних зміщень точок на гранях шару та поведінкою показника хвильового розсіяння .

У третьому розділі дисертації викладені результати досліджень повних дисперсійних спектрів та кінематичних і енергетичних властивостей нормальних хвиль у анізотропному шарі орторомбічної системи, оточеному півпросторами нерухомої в’язкої слабко стисливої рідини. На відміну від випадку оточення ідеальною рідиною, модель хвильової динаміки в’язкої рідини передбачає введення потенціалів поля швидкостей хвильових зміщень (9).

У першому підрозділі цього розділу побудовані дисперсійні рівняння для хвиль вздовж довільних напрямків розповсюдження, що не співпадають з пружно – еквівалентними. Зокрема, дисперсійні функції у випадку симетричних хвиль мають форму функціональних визначників шостого порядку (10) з елементами структури.

У двох подальших підрозділах з’ясоване питання про можливість існування критичних частот досліджуваних спектрів та окремо побудовані дисперсійні рівняння для нормальних симетричних та антисиметричних хвиль SH та P-SV – типу вздовж пружно-еквівалентних напрямків розповсюдження.

Четвертий підрозділ містить результати чисельних досліджень з впливу фактору в’язкості рідини на дисперсійні спектри, кінематичні та енергетичні властивості нормальних SH хвиль у хвилеводі з монокристалічного шару сегнетової солі, оточеного рідиною, яка має різні показники другого коефіцієнту в’язкості . Зокрема, розглянуті випадки оточення шару рідиною - гліцерином з та модельними рідинами з та з , які мають інші фізико-механічні сталі, властиві гліцерину. Характерна діаграма розподілу дисперсійних кривих у випадку розповсюдження симетричних SH хвиль вздовж напрямку наведена на рис. .

Характерною для структури досліджуваних спектрів є наявність фрагментів дійсних складових гілок, де варіювання практично не впливає на значення у відповідній гілці, та фрагментів з певними інтервалами зміни і , у яких є наявним значний вплив параметру на . Різке зменшення впливу спостерігається для кожної гілки незалежно від типу симетрії хвиль і напрямку розповсюдження при великих , тобто у відносно короткохвильовому діапазоні. Зокрема у наведеному спектрі для першої (нижчої) моди інтервал “розгалуження” в поведінці при рідинних оточеннях з різними орієнтовно спостерігається на інтервалі , тобто ; для хвиль другої моди - при , для хвиль третьої моди при . При частотах, для яких має місце максимальне розгалуження у значеннях , відповідні значення навпаки зближуються; частотному інтервалу розгалуження передує інтервал, у якому відповідної гілки зменшується, а безпосередньо на початку інтервалу розгалуження тенденція зменшення змінюється на протилежну. Таким чином, у інтервалах розгалуження нормальних хвиль зростають показники розсіювання і водночас стають суттєво відмінними їх фазові швидкості. За інтервалом розгалуження моди витікаючих зсувних нормальних хвиль незалежно від значення показника асимптотично зближуються; їх уявні складові – показники розсіювання монотонно зменшуються і асимптотично прямують до нульового значення, що означає практично відсутність впливу в’язкого рідинного оточення на високочастотні короткі хвилі спектру. Для хвиль розрахованих спектрів також досліджені кінематичні і енергетичні характеристики. З’ясовані співвідношення між показниками та значеннями для різних мод спектрів.

У четвертому розділі роботи представлені результати досліджень дисперсійних спектрів, кінематичних і енергетичних властивостей нормальних хвиль вздовж пружно-еквівалентних напрямків кристалічного шару орторомбічної системи, який за протилежними гранями межує з вакуумом та ідеальною рідиною. Наведені теоретичні результати побудови дисперсійних рівнянь, у яких ліву частину представлено функціональним визначником п’ятого порядку. Зокрема у частинному випадку розповсюдження нормальних хвиль вздовж напрямку це рівняння має структуру (11).

Здійснені чисельні дослідження побудованих дисперсійних рівнянь, визначені повні спектри нормальних хвиль вздовж обох пружно-еквівалентних напрямків хвилеводу та проведені розрахунки окремих кінематичних і енергетичних характеристик цих хвиль. Зокрема розрахований повний дисперсійний спектр для напрямку зображено на рис. . З’ясовано, що досліджувані дисперсійні спектри мають парціальну структуру і одночасно містять складові, характерні для спектрів симетричних та антисиметричних нормальних хвиль для хвилеводів з двохстороннім рідинним оточенням у відповідних напрямках розповсюдження. За аналізом амплітудних характеристик хвильових рухів та розподілів щільностей потоків потужностей у цих хвилях зроблено висновок, що ці розподіли у кількісному відношенні також майже повністю мають ознаки, властиві формам для симетричних або антисиметричних нормальних хвиль для шару з симетричним рідинним оточенням. Ступінь виникнення “асиметрій” у розподілах амплітудних характеристик хвильових зміщень по товщині шару є суттєвішим для “більш пружного” напрямку анізотропного хвилеводу порівняно з напрямком . При аналізі енергетичних характеристик визначено достатньо великий ступінь енергетичного витікання нормальних хвиль у нижній рідинний простір.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі у цілому дано узагальнення, розвиток та практичне застосування методик теоретичного чисельно-аналітичного дослідження структури і властивостей повних спектрів нормальних хвиль деформацій стосовно до нового класу задач для низькосиметричних анізотропних гідропружних хвилеводів у вигляді пружного шару з матеріалу орторомбічної системи з одностороннім та двохстороннім півнескінченим ідеальним або в’язким слабко стисливим рідинним оточенням.

Найбільш важливі результати проведеного дослідження полягають у наступному:

1. Здійснено побудову в аналітичній формі декількох нових типів дисперсійних рівнянь, у тому числі: дисперсійних рівнянь, що визначають спектри симетричних та антисиметричних нормальних хвиль вздовж довільних та пружно-еквівалентних напрямків розповсюдження у анізотропному шарі, оточеному з обох сторін півпросторами ідеальної слабко стисливої рідини; дисперсійних рівнянь для зв’язаних повздовжно-згинних нормальних хвиль вздовж пружно-еквівалентних напрямків анізотропного шару, що за однією гранню контактує з ідеальною рідиною, а за іншою з вакуумом; трансцендентних дисперсійних рівнянь, що визначають повні спектри симетричних або антисиметричних нормальних хвиль вздовж довільних або пружно-еквівалентних напрямків розповсюдження у хвилеводі, утвореному оточеним з обох сторін півпросторами однакової слабко стисливої в’язкої рідини пружним анізотропним шаром.

2. Здійснено подальшу розробку аналітичних та чисельних методик визначення коренів побудованих дисперсійних рівнянь, які внаслідок фізичних властивостей досліджуваних хвилеводів є суто комплексними. Одержані асимптотичні формули для гілок комплексних коренів дисперсійних рівнянь, що описують спектри нормальних хвиль з довільним напрямком розповсюдження у анізотропному шарі, оточеному рідинними півпросторами. Досліджена наявність критичних частот спектрів. Із застосуванням схем декількох чисельних методів розроблені і запрограмовані алгоритми визначення коренів побудованих дисперсійних рівнянь.

3. Одержані аналітичні співвідношення для визначення провідних кінематичних та енергетичних характеристик досліджуваних хвильових процесів, зокрема амплітудних форм хвильових рухів та щільностей середніх за період потоків потужності нормальних хвиль.

4. Здійснено комплекс чисельних досліджень, які обіймають:

- розрахунки повних дисперсійних спектрів симетричних та антисиметричних нормальних хвиль в хвилеводі у вигляді оточеного водою або модельною рідиною шару монокристалу сегнетової соли для пружно-еквівалентних та декількох непружно-еквівалентних напрямків розповсюдження; дисперсійних спектрів нормальних SH – хвиль вздовж пружно-еквівалентних напрямків розповсюдження у шарі з сегнетової солі, оточеного в’язкою рідиною зі змінюваним другим коефіцієнтом в’язкості; повних дисперсійних спектрів нормальних P-SV – хвиль вздовж пружно-еквівалентних напрямків розповсюдження у хвилеводі з шару сегнетової солі, що за однією з граней межує з півпростором ідеальної слабко стисливої рідини - води, а за іншою – з вакуумом;

- розрахунки амплітудних форм хвильових рухів та щільностей середніх за період потоків потужності для певної множини хвиль з досліджуваних спектрів.

5. На підставі чисельного аналізу з’ясовані і узагальнені деякі характерні хвильові ефекти у досліджуваних процесах.

Досліджені кількісні і якісні відмінності, які виникають у спектрах для шару з рідинним оточенням порівняно зі спектрами для вільного шару. Охарактеризовані відмінності, що пов’язані з ефектом витікання енергії нормальних хвиль, який кількісно характеризують уявні складові комплексних хвильових чисел.

Визначені випадки появи якісних змін у структурі спектрів для шару з рідинним оточенням. З’ясовано, що найбільші кількісні відмінності у значеннях постійної розповсюдження мають місце для хвиль нижчої моди.

Простежено взаємозв’язок між значенням уявної складової хвильового числа витікаючої хвилі, кінематичною характеристикою відносного рівня хвильових зміщень граней шару у товщинному напрямку та товщинною компонентою середнього за період потоку потужності цієї хвилі на межі шару і рідини.

З’ясовано взаємозв’язок ступеня енергетичного розсіяння з типом симетрії рухів у нормальній хвилі та відносним показником “ступеня пружності” матеріалу шару вздовж напрямку розповсюдження.

Визначені інтервали зміни частотного параметру та постійної розповсюдження (відносної довжини хвиль), у яких має місце суттєвий вплив фактору в’язкості на швидкості і показники енергетичного розсіяння (“витікання”) симетричних або антисиметричних нормальних SH – хвиль з різних мод спектрів. З’ясовано, що зміни коефіцієнту в’язкості практично не впливають на характеристики досліджуваних хвиль у високочастотному короткохвильовому діапазоні.

Визначена оцінка рівнів енергетичного витікання нормальних хвиль у нижній рідинний півпростір для хвилеводу у вигляді шару монокристалу сегнетової солі, що межує з рідною (водою) та вакуумом; показано, що у цьому випадку спектри нормальних хвиль у хвилеводі мають парціальну структуру і одночасно містять складові, характерні для спектрів симетричних та антисиметричних нормальних хвиль для хвилеводів з ідентичним двохстороннім рідинним оточенням.

Основний зміст дисертаційної роботи відображено в публікаціях:

1. Копычко О.Н., Сторожев В.И., Шпак В.А. Изгибные нормальные волны в окруженном жидкостью кристаллическом слое // Теорет. и прикл. Механика. 1998. Вып. 28. С. 123-131.

2. Копычко О. Н. Рассеяние вытекающих нормальных упругих волн для кристаллической пластины в жидкой среде. // Теорет. и прикл. Механика. 1999. Вып. 30. С. 156-161.

3. Копичко О. М. Дисперсія нормальних хвиль у кристалічному шарі на поверхні напівнескінченого об’єму iдеальної стисливої рiдини // Вiсник Донецького ун-ту. Сер. А. 2001. Вып. 1. С. 321-327.

4. Копычко О.Н. Сдвиговые вытекающие нормальные волны в анизотропном слое, окруженном вязкой жидкостью// Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. – Донецк, 2004. Вып. 9. С. 122-130.

5. Копычко О.Н., Сторожев В.И., Шпак В.А. Локализация и рассеяние упругих волн в анизотропных пластинах пространственной геометрии // Труды Международной научной конференции “Современные проблемы концентрации напряжений” (21-25 июня 1998 г., г. Донецк). – 1998. – С. 132 – 135.

6. Сторожев В. I.,Копичко О. М., Шпак В. А. Симетричнi нормальнi хвилi в оточеному iдеальною рiдиною ортотропному пружному шарi // Вiсник Донецького ун-ту. Сер. А. 1997. Вып. 1. С. 83-88.

7. Копычко О. Н. Анализ характеристик рассеяния нормальных волн в кристаллической пластине, окруженной идеальной или вязкой жидкостью. // Тезисы докладов 7 Международной конференции (7-9 сентября, 1999 года).-Донецк: Ин-т прикл. Математики и механики НАНУ, 1999. С. 58.

8. Копычко О.Н. Особенности спектра вытекающих нормальных волн в кристаллической пластине, контактирующей с жидкостью по одной из граней // Праці наукової конференції Донецького національного університету за підсумками науково-дослідної роботи за період 1999-2000 рр. (18-20 квітня 2001 р., м. Донецк). – 2001. – С. 42 – 43.

9. Копычко О.Н. Влияние вязкости окружающей жидкости на структуру спектра сдвиговых нормальных волн в кристаллической пластине // Тезисы докладов VIII Международной конференции “Устойчивость, управление и динамика твердого тела”(Донецк, 3-7 сентября 2002 года). – Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2002. С.103-104.

10. Копычко О.Н. Сдвиговые нормальные волны в анизотропном слое, погруженном в вязкую жидкость // Материалы III Международной научно-технической студенческой конференции “Механика жидкости и газа”. (Донецк, 7-9 декабря 2004 года). – Донецк: ДонНТУ, 2004. С.167 – 168.

11. Бутко С.Б., Волобуева Т.В., Копычко О.Н., Сторожев В.И., Шпак В.А. Исследование теоретических моделей возбуждения и распространения упругих волн в пластинчатых, призматических и цилиндрических кристаллических волноводах орторомбического класса // Международная конференция “Математические модели физических процессов и их свойства” (Таганрог, 1997).- Тез. Докладов. – Таганрог, 1997. – С. 19.

12. Копычко О. Н., Сторожев В. И. Дисперсия нормальных волн в помещенной в идеальную жидкость прямолинейно-ортотропной пластине // International Conference “Modelling and investigation of systems stability” (Kiev, 1997). - Thesis of Conference Reports. – Киев, 1997. С. 26.

АНОТАЦІЯ

Копичко О.М.: Нормальні хвилі у оточеному рідиною анізотропному шарі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла, Донецький національний університет, Донецьк, 2005.

Дисертаційна робота присвячена теоретичному чисельно-аналітичному дослідженню дисперсійних спектрів та кінематичних і енергетичних властивостей нормальних хвиль у пружному анізотропному шарі орторомбічної системи, який повністю або за однією з граничних поверхонь контактує з півпросторами ідеальної або в’язкої рідини. Побудовані та досліджені дисперсійні співвідношення для нормальних хвиль у випадках їх розповсюдження вздовж пружно-еквівалентних та непружно-еквівалентних напрямків у площині шару. Розраховані і проаналізовані повні дисперсійні спектри нормальних хвиль з різною симетрією хвильових рухів по товщині хвилеводу, кінематичні та енергетичні характеристики хвиль, властивості показників енергетичного розсіяння і асимптотичної поведінки хвиль. Досліджені ефекти трансформації повних дисперсійних спектрів нормальних хвиль при зміні напрямку розповсюдження та окремі ефекти впливу щільності і в’язкості рідини на структуру спектрів.

Ключові слова: анізотропний пружний шар з рідинним оточенням, пружні матеріали орторомбічної системи, ідеальна або в’язка рідина, повні дисперсійні спектри нормальних гідропружних хвиль, перетворення дисперсійних спектрів зі зміною напрямків розповсюдження, витікаючи хвилі, кінематичні та енергетичні характеристики, енергетичне розсіяння хвиль.

АННОТАЦИЯ

Копычко О.Н.: Нормальные волны в окруженном жидкостью анизотропном слое.– Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк, 2005.

Диссертационная работа посвящена теоретическому численно-аналитическому исследованию дисперсионных спектров, а также кинематических и энергетических свойств нормальных волн в упругом анизотропном слое орторомбической системы, который полностью или по одной из граничных поверхностей контактирует с полупространствами идеальной или вязкой слабо сжимаемой жидкости. Построены и исследованы дисперсионные соотношения для нормальных симметричных, антисимметричных и трехпарциальных связанных продольно-изгибно-сдвиговых волн в случаях их распространения вдоль упруго-эквивалентных и неупруго-эквивалентных направлений в плоскости слоя. Получены асимптотические формулы для больших по модулю комплексных корней дисперсионных уравнений. Исследован вопрос о существовании критических частот спектров. Рассчитаны и проанализированы полные дисперсионные спектры нормальных волн с различной симметрией волновых движений по толщине волновода, кинематические и энергетические характеристики волн, свойства показателей энергетического рассеяния и асимптотического поведения волн. Исследованы эффекты трансформации полных дисперсионных спектров