ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ
ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА
КРАВЧИШИН ОКСАНА ЗІНОВІЇВНА
УДК 539.3
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ПОШИРЕННЯ ПРУЖНИХ ЗБУРЕНЬ У НЕОДНОРІДНО ДЕФОРМОВАНИХ ТВЕРДИХ ТІЛАХ
01.02.04 механіка деформівного твердого тіла
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізикоматематичних наук
Львів – 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.
Науковий керівник | доктор фізико–математичних наук,
старший науковий співробітник
Чекурін Василь Феодосійович,
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України,
завідувач відділу математичних проблем механіки неоднорідних тіл.
Офіційні опоненти: | доктор фізико–математичних наук, професор
Григоренко Олександр Ярославович,
Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України,
завідувач відділу обчислювальних методів;
доктор фізико–математичних наук, професор
Ємець Володимир Федорович,
Національний університет “Львівська політехніка”,
професор кафедри ЕОМ.
Провідна установа | Львівський національний університет ім. Івана Франка,
кафедра механіки, Міністерство освіти і науки України,
м. Львів.
Захист відбудеться “ 4 ” травня 2005 року о “ 15 ” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою:
79060, м. Львів, вул. Наукова, 3–Б.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою:
79060, м.Львів, вул. Наукова, 3–Б.
Автореферат розісланий “ 1 ” квітня 2005 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,
доктор фізико–математичних наук |
Р. М. Мартиняк
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність. Останнім часом у науковій літературі спостерігається значний інтерес до акустичних (ультразвукових) методів неруйнівного визначення напружено–деформованого стану твердих тіл. В основі цих методів – математичні моделі, які описують пружні хвилі у деформованих тілах. У працях О. М. Гузя була створена лінеаризована теорія поширення пружних збурень у тілах із початковими деформаціями, в рамках якої отримано залежності швидкостей поширення плоских монохроматичних хвиль різних поляризацій від компонент тензора однорідної початкової деформації. На її основі О. М. Гузем, Ф.Г. Махортом та О.І. Гущею були розроблені неруйнівні акустичні методи, які пройшли експериментальну перевірку. Автори запропонували також застосовувати отримані акустичні співвідношення і у випадках, коли поле початкової деформації є слабкозмінним у напрямку поширення плоскої хвилі, замінюючи компоненти напружень їх середньоінтегральними значеннями. Проблеми поширення пружних хвиль в однорідно деформованих середовищах вивчалися також у працях Г.І. Петрашеня, Х.К. Абена, А.Е. Пуро, Г. Дорфі, Т. Токуоки, І. Івашімізі. Разом із тим у літературі відомі лише окремі публікації, автори яких обмежуються дослідженням часткових, достатньо простих випадків полів неоднорідних початкових деформацій. Зокрема, А. Равасоо розглядав задачу поширення повздовжньої хвилі в двовимірному полі початкових деформацій півпростору в нормальному до його поверхні напрямку, І.В. Ананьєв, В.В.Калинчук, І.Б. Полякова вивчали пружні хвилі у плоскому шарі з діагональним тензором початкових напружень.
У цілому проблема опису пружних збурень у твердих тілах з неоднорідними початковими напруженнями ще далеко не вирішена. Тому для реалізації ультразвукових методів визначення неоднорідного напружено–деформованого стану твердих тіл необхідно розвинути математичну модель поширення пружних хвиль у таких тілах, на прямих задачах дослідити взаємозв'язки між інформативними параметрами хвильового поля та розподілами шуканих напружень і деформацій, сформулювати обернені задачі та розробити ефективні методи їх розв’язування.
У дисертаційній роботі розв’язується актуальне наукове завдання — моделювання та дослідження поширення малих пружних збурень у неоднорідно деформованих твердих тілах. Вирішення цього завдання необхідне, зокрема, для створення теоретичних основ неруйнівного визначення неоднорідного напружено–деформованого стану твердих тіл на основі даних акустичних вимірювань.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувалось в рамках держбюджетних наукових тем ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України “Розробка математичних моделей та дослідження міцності неоднорідних тіл з дефектами та залишковими напруженнями” (№ держреєстрації 0197U008955, 1997–2001 рр.), “Математичні моделі, прямі та обернені задачі томографії тензорних полів у твердих тілах з несумісними деформаціями” (№ держреєстрації 0102U000454, 2002–2005 рр.), “Розробка аналітико–числових методів розв’язування обернених задач томографії неоднорідностей у твердих тілах на основі даних зондування фізичними полями” (№ держреєстрації 0102U001618, 2002–2004 рр.), проекту Державного фонду фундаментальних досліджень № .4/275 “Розробка теоретичних основ нелінійного (точного) опису пружних ефектів несилового походження (термо–, електромагнітопружність і т.д.)” (1998–2000 рр.) та Державної науково–технічної програми № .4.2/007114 “Розробка методів теоретико–експериментального визначення напружено–деформованого стану та залишкового ресурсу за міцністю зварних металевих елементів конструкцій при неоднорідному нагріві та силовому навантаженні” (2002–2004 рр.).
Метою дисертації є розвиток математичних моделей для опису поширення пружних збурень у неоднорідно деформованих твердих тілах стосовно до задач неруйнівного визначення полів напружень та деформацій, дослідження на цій основі закономірностей взаємодії пружних хвиль із полем початкових напружень і оцінка ефективності застосування розробленого математичного апарату та результатів проведених досліджень. Для досягнення поставленої мети необхідно було:
·
побудувати математичну модель поширення малих пружних збурень у неоднорідно деформованому твердому тілі, зорієнтовану на задачі неруйнівного визначення полів початкових напружень і деформацій;
·
розробити ітераційний алгоритм розв’язування задачі про поширення пружного збурення в неоднорідно деформованому континуумі;
·
дослідити вплив параметрів поля початкових напружень на характеристики збурень;
·
отримати інтегральні співвідношення акустопружності, що встановлюють зв’язок між часами затримки пружних імпульсів різної поляризації та розподілом початкових напружень вздовж шляху їх поширення;
·
застосувати отримані інтегральні співвідношення для формулювання прямих і обернених задач неруйнівного визначення полів початкових напружень і деформацій;
·
оцінити на конкретних прикладах ефективність застосування розробленого математичного апарату для неруйнівного визначення полів початкових напружень та деформацій у твердому тілі.
Об’єктом дослідження є ізотропне однорідне (у вихідній недеформованій конфігурації) тверде тіло, що перебуває у неоднорідному напружено–деформованому стані.
Предметом дослідження є пружні хвильові процеси у неоднорідно деформованих твердих тілах.
Методи досліджень. Для побудови математичної моделі поширення малих пружних збурень у неоднорідно деформованому тілі застосовувались методи нелінійної теорії пружності, лінеаризації, акустопружності, при розробці ітераційного алгоритму розв'язування задачі про поширення пружного збурення в неоднорідно деформованому тілі використовувалися фундаментальні розв'язки для систем рівнянь гіперболічного типу, а при дослідженні оберненої задачі — варіаційний підхід та числовий експеримент.
Наукова новизна роботи полягає у наступному:
·
побудовано систему рівнянь динаміки малих пружних збурень у неоднорідно деформованому твердому тілі, яка пов’язує параметри збурень і компоненти тензора напружень Коші, що визначаються стосовно незбуреної актуальної конфігурації;
·
сформульовано задачу Коші про поширення малого пружного збурення в неоднорідно деформованому континуумі, яка моделює відому схему ультразвукового зондування;
·
розроблено ітераційний алгоритм розв’язування задачі Коші та встановлено умови його збіжності;
·
на конкретних прикладах досліджено вплив параметрів поля початкових напружень на середню швидкість та час поширення імпульсу деформації;
·
для випадку плоскої деформації отримано інтегральні співвідношення, що пов’язують час проходження в деформованому тілі обмеженого імпульсу пружного збурення із розподілом компонент тензорів початкових деформації та напружень на напрямку його поширення;
·
із використанням отриманих інтегральних співвідношень сформульовано пряму та обернену задачі неруйнівного визначення двовимірного поля залишкових напружень;
·
реалізовано варіаційні методи розв’язування прямої та оберненої задач неруйнівного визначення поля залишкових напружень у кусково–однорідній смузі.
Практичне значення дисертаційної роботи полягає у тому, що розроблено математичний апарат для створення нових методик і технічних засобів неруйнівного визначення неоднорідного напружено–деформованого стану твердих тіл із застосуванням методів акустопружності, й на основі результатів проведених досліджень для конкретного класу задач обгрунтована його ефективність.
Вірогідність отриманих результатів та висновків роботи забезпечується строгістю та коректністю математичного формулювання задач, використанням апробованих аналітичних та числових методик розв’язування, доведенням існування та єдиності розв’язку, збіжності ітераційного процесу, а також узгодженням у часткових випадках отриманих результатів із відомими у літературі.
Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 17 наукових праць, у тому числі 12 статей [1 – ] у наукових журналах та збірниках, з них 6 [1, та 4 – ] – у фахових виданнях з переліку ВАК України.
Основні результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самос-тійно. У роботі [1] В. А. Осадчуку належить загальна постановка проблеми, що розв’язувалась. У працях [1, , ] І. Б. Прокопович брав участь у поста-новці задачі та обговоренні отриманих результатів. У роботах [3–12, –17] науковому керівнику В. Ф. Чекуріну належать постановки задач, основні ідеї методик їхньої реалізації, участь у якісній інтерпретації отриманих резуль-татів. Дисертантка брала участь у формулюванні задач, обговоренні резуль-татів, провела всі аналітичні викладки при створенні математичних моделей, розробці методів їх реалізації та побудові розв’язків і виведенні умов їх існування, єдиності та збіжності запропонованого ітераційного процесу.
Апробація результатів. Результати досліджень за темою дисертації доповідались на наукових конференціях та семінарах, зокрема на Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, ), 5–ій Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Луцьк, 2000), Міжнародній конференції “Сварные конструкции” (Київ, 2000), 5-ому Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків (Львів, 2001), 6-ому Міжнародному семінарі “Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory” (Львів, 2001), 9–ій Всеукраїнській науковій конференції “ Cучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2002), 7–ому Міжнародному семінарі “Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory” (Тбілісі, 2002), Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2003), 8–ому Міжнародному семінарі “Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory” (Львів, 2003), 9–ому Міжнародному семінарі “Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory” (Тбілісі, 2004), 4–ій Українсько–Польській конференції “Environmental mechanics, methods of computer science and simulations”, (Львів, 2004).
У повному обсязі робота доповідалась та обговорювалась на семінарі відділу математичних проблем механіки неоднорідних тіл Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, на кваліфікаційному семінарі “Механіка деформівного твердого тіла” цього ж інституту, на семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка Міністерства освіти і науки України, на семінарі за напрямком “Механіка оболонкових систем” Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України (керівник – академік НАН України Я. М. Григоренко).
Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, 4 розділів, які містять 27 рисунків та 4 таблиці, висновків та списку літератури із 100 найменувань. Загальний обсяг роботи 117 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі досліджень; охарактеризовано наукову новизну, вірогідність та практичне значення отриманих результатів; наведено дані про апробацію результатів роботи та її зв’язок з науковими програмами і планами, що виконуються в установі, де працює автор, вказано кількість публікацій за темою дисертації та особистий внесок здобувача.
У першому розділі виконано огляд літературних джерел, у яких вивчаються питання, близькі за проблематикою до теми дисертації; зроблено огляд сучасного стану проблем математичного моделювання, методів розв’язування задач про поширення пружних збурень в об’єктах з неоднорідними початковими деформаціями та їх застосування для неруйнівного визначення залишкових напружень у твердих тілах; вказано місце роботи серед досліджень, що проводяться з даної проблематики.
Рис.1. Конфігурації тіла
У другому розділі розглядається ізотропне тверде тіло, яке перебуває в неоднорідному стані пружної рівноваги. Нехай у цьому стані, що називають початковим, у тілі під дією зовнішніх чинників виникає нестаціонарне пружне збурення, яке, взаємодіючи з полем початкових напружень, змінює свої параметри. Для опису процесу поширення збурення доцільно розглядати три конфігурації тіла (рис. .1): відлікову конфігурацію , у якій відсутні напруження, початкову (незбурену) конфігурацію , що характеризується рівноважним початковим напружено–деформованим станом, і збурену нерівноважну конфігурацію .
Хоч підходи Лагранжа і Ейлера до опису напружено–деформованого стану є еквівалентними, у нелінійній теорії пружності здебільшого викорис-товують лагранжевий підхід. Це пов’язано з тим, що у прямих задачах відлікова конфігурація, як правило, задана, а актуальна підлягає визначенню. За такого підходу за параметри напружено–деформованого стану вибирають тензор (міру) деформації Коші–Гріна та енергетичний тензор напружень (або тензори Піоли–Кірхгофа), а вектори переміщень, тензори деформації та напружень, векторні диференціальні оператори задаються своїми компонентами в локальній базі відлікової конфігурації .
Натомість у задачах неруйнівного визначення напружено–деформованого стану відомою, як правило, є початкова конфігурація , яка досягається тілом під впливом навантажень, зумовлені якими напруження та деформації і підлягають визначенню. Більше того, параметри зовнішніх пружних збурень, які вводяться в тіло з метою отримання інформації про початковий напружено–деформований стан, визначають стосовно цієї ж (а не відлікової) конфігурації. Тож метою цього розділу була побудова математичної моделі поширення малих пружних збурень у неоднорідно деформованому твердому тілі, параметри напружено–деформованого стану якої визначаються стосовно початкової напруженої конфігурації .
Для вибору локальних параметрів моделі використаємо відомий вираз для елементарної роботи деформації довільного внутрішнього елемента тіла, який займає в актуальній конфігурації область , обмежену замкненою поверхнею . За відсутності масових сил матимемо
, (1)
де – радіус–вектор точки в області , – тензор напружень Коші.
Вираз, що стоїть під знаком інтегралу, є варіацією густини пружної енергії в актуальній конфігурації. Зазначимо, що за лагранжевого опису зазвичай використовується густина , розрахована на одиницю об’єму відлікової конфігурації і пов’язана з відомим співвідношенням. Виразивши параметр , який входить до виразу для густини енергії , через міру деформації Фінгера , визначену стосовно актуальної конфігурації, отримаємо
. (2)
Аналогічні подання для варіації пружної енергії, отримані у дисертації також із використанням мір деформації Альманзі та Генкі.
З урахуванням формули (2), рівняння Гіббса для тіла матиме вигляд
, (3)
де – температура, , – густини вільної енергії та ентропії, розраховані стосовно актуальної конфігурації. Права частина рівності (3) є повним диференціалом, звідки випливає, що за спряжені параметри напружено–деформованого стану можна вибрати міру деформації Фінгера та тензор напружень Коші . Якщо аналітична структура функції відома, то на підставі (3) можна встановити залежність тензора напружень від параметрів стану . Для ізотермічних процесів диференціал вільної енергії, згідно з формулою (3), дорівнює диференціалові пружної енергії , звідки випливає співвідношення, яке пов’язує тензор напружень з мірою деформації Фінгера за ізотермічних умов
. (4)
Тут розглядається як скалярна функція інваріантів тензора .
Із теореми Гамільтона–Келлі та формули (4) випливає, що функцію можна подати у вигляді
‚ (5)
де – одиничний тензор, – функції інваріантів міри деформації Фінгера , які визначаються через пружний потенціал за формулами
. (6)
Залежності у явному вигляді можна отримати, якщо відома аналітична структура функції. Зокрема, вибираючи подання Мурнагана, отримуємо
(7)
Тут – сталі Ляме, – пружні сталі третього порядку.
У дисертації отримані також співвідношення, аналогічні до (4) –), з використанням міри деформації Альманзі та пружної енергії у формі Сіньйоріні.
Деформації збурення визначатимемо лінійним тензором
, (8)
де – оператор градієнта у просторі , – вектор переміщення з в .
Застосувавши формулу (5) для збуреного стану, виразимо у співвідношеннях пружності тензор через тензори та . Враховуючи малість компонент тензора градієнта вектора переміщень отримуємо таке подання тензора напружень Коші у збуреній конфігурації :
. (9)
Тут, (10)
де .
У результаті отримуємо лінеаризоване рівняння руху збурення стосовно незбуреної конфігурації у вигляді
. (11)
У геометрично лінійному наближенні у декартовій системі координат, з урахування формули (10), система рівнянь (11) набуває вигляду
, (12)
де ,
;
– компоненти тензора початкової деформації; – символ Кронекера; – символ Леві–Чивіта.
Співвідношення (12) є системою рівнянь гіперболічного типу, коефіцієнти якої визначаються через компоненти тензора початкових напружень Коші, які є функціями просторових координат.
У третьому розділі побудована система рівнянь (12) використовується для дослідження впливу параметрів поля початкових напружень на параметри хвильового поля – на середню швидкість та час поширення імпульсу. З цією метою сформульована задача Коші про поширення малого пружного збурення в неоднорідно деформованому континуумі, яка моделює відому схему ультразвукового зондування. Для розв’язування задачі розроблено ітераційний алгоритм та встановлені умови його збіжності.
На рис.2 зображена спрощена схема зондування об’єкта дослідження імпуль-сами ультразвуку, які створюються і реєструються п’єзоелектричними перетво-рювачами 3. Щоб забезпечити проходжен-ня імпульсів ультразвуку у вибраному напрямку, використовують хвилеводи 2 зі скошеною поверхнею, швидкості поши-рення акустичних хвиль в яких близькі до їх значень в об’єкті 1. При збудженні перетворювача у хвилевід уводиться збурення, що рухається у напрямку нормалі до скошеної поверхні хвилеводу. Це моделюється задачею Коші для системи рівнянь (12) з початковими умовами
, (13)
де функції залежать лише від однієї координати у напрямку поширення збурення , а – фазові швидкості поздовжньої та поперечної хвиль у тілі без напружень.
Нехай – лінійний розмір області локалізації початкових деформацій у напрямку . Уведемо середньоінтегральні значення компонент початкової деформації на відрізку поширення хвилі
,
де – точка входження хвилі у тіло, та відхилення компонент початкової деформації від їх середньоінтегральних значень на цьому відрізку і перепишемо систему рівнянь (12) у декартовій системі координат
. (14)
Тут диференціальні оператори
;.
Запропоновано ітераційний алгоритм для розв’язування (14) у вигляді
, (15)
де індекс у дужках угорі вказує на номер ітерації.
На нульовій ітерації маємо систему рівнянь з постійними коефіцієнтами
. (16)
Щоб обмежитись розглядом лише поперечної хвилі, покладемо у початкових умовах (13)
,. (17)
Тоді за формулою Даламбера матимемо такий розв’язок задачі (16), (17)
, (18)
де, а на й ітерації отримуємо
. (19)
Тут.
У дисертації встановлені умови збіжності ітераційного процесу. На конкретних прикладах проведені числові розрахунки, які підтвердили теоретичні оцінки збіжності. У таблиці показані максимальні значення похибок на -й ітерації для лінійного розподілу початкової деформації.
Таблиця . Похибки ітераційного процесу
Для одновісного напруженого стану проведені теоретичні та числові дослідження впливу початкових напружень та деформацій стану на параметри хвильового поля для нульової та першої ітерацій для деяких матеріалів. Розглядалися два випадки поширення збурення:
·
у напрямі, що співпадає із напрямом дії напружень
;
·
у напрямі, перпендикулярному до напряму дії напружень
.
Система рівнянь, що описує поширення хвилі для розглядуваного напруженого стану, складається із двох рівнянь (для хвиль поздовжньої та поперечної поляризацій) і має наступний вигляд для безрозмірних змінних , ,():
. (20)
Тут – середньоінтегральні значення компонент тензора початкових напружень; – приведені модулі Юнга матеріалу, де
,
.
Уведені параметри , є характеристиками матеріалу, за якими можна оцінювати його акустичну чутливість до зміни напружено-деформованого стану. Їх значення для деяких матеріалів наведені у таблиці .
Таблиця . Характеристики акустопружності деяких матеріалів
Встановлено, що величини відносних поправок для фазових швидкостей та часів поширення хвиль різних поляризацій для першої ітерації мають порядок , де – функція відхилень поля напружень від його середньоінтегрального значення.
На рис. 3 показані приклади залежностей відносних поправок для часу поширення імпульсу різних поляризацій () на першій ітерації від безрозмірної координати (всі величини помножені на 1013). На рисунках цифрою 1 позначені графіки для алюмінієвого сплаву 1915; 2 – для сталі ВМСТЗ, а 3 – для сталі 45Г17ЮЗ. Розподіл початкових напружень брали у вигляді .
Рис.
Важливим результатом третього розділу є зведення опису поширення пружного збурення в неоднорідному полі початкових деформацій до послідовності задач для рівнянь зі сталими коефіцієнтами та теоретична оцінка швидкості збіжності ітераційного процесу. На цій основі виявлено та підтверджено числовим експериментом, що для широковживаних конструктивних матеріалів час проходження імпульсу та його середня швидкість достатньо точно описуються вже в нульовому наближенні теорії.
У четвертому розділі, базуючись на результатах та висновках третього, отримані інтегральні співвідношення, що пов’язують у випадку плоскої де-формації час проходження обмеженого імпульсу із розподілами компонент тензора початкових напружень на напрямку його поширення:
, (21)
де ,
,
та – параметри, що визначать точку входження хвилі в тіло та напрям її поширення; індекс визначає поляризацію хвилі (квазіпоздовжня, квазіпоперечна та поперечна).
Базуючись на співвідношеннях (21), сформульовано та розв’язано пряму й обернену задачі неруйнівного визначення залишкових напружень у кусково–однорідній смузі.
Пряма задача полягає у визначенні часів поширення пружних імпульсів вздовж заданої множини напрямків в смузі. Для вирішення цієї задачі необхідно було спочатку знайти розподіл напружень в тілі, розв’язавши пряму задачу теорії пружності. З цією метою розглядалася вільна від навантажень смуга , що складається із двох різних півсмуг та . Залишкові напруження в смузі зумовлені стрибками переміщень та напружень, що діють на межі півсмуг та :
. (22)
Такі умови контакту дозволяють змоделювати залишкові напруження, які виникають при зварюванні двох пластин достатньо тонким швом.
Функцію напружень Ері для прямої задачі вибирали у вигляді розвинень за системою однорідних розв’язків Папковича:
. (23)
Тут – комплексні сталі, що підлягають визначенню;
;;
; – комплексні корені рівняння ; верхній індекс для та для .
Коефіцієнти розвинення , знаходили з умови мінімуму функціонала
(24)
де , – напруження та переміщення в смузі, що відповідають функції напружень (23).
У результаті отримали безмежну систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) стосовно дійсної та уявної частини невідомих коефіцієнтів , . Цю систему розв’язували методом редукції для випадку, коли функції стрибків напружень та переміщень мають вигляд
;.
На рис. 4 показані розподіли напружень ((а) – , (б) – , (в) – ) у півсмузі за товщинною координатою при різних відстанях від поверхні контакту : цифрою 1 позначено графік для , 2 – , 3 – . Всі значення на графіках – безрозмірні, віднесені до модуля Юнга півсмуги , і помножені на нормуючий множник 103.
Рис.
Підставивши отримані розподіли початкових напружень у формули (21), обчислили часи затримки імпульсів для різних напрямків. Ці значення використані в подальшому як вхідні дані для оберненої задачі.
Обернена задача визначення залишкових напружень у кусково–однорідній смузі полягає у знаходженні компонентів тензора напружень та вектора переміщень як функцій координат , які задовольняють рівняння рівноваги та сумісності деформацій у кожній із півсмуг, умови ненавантаження сторін , частину умов контакту, що апріорі відомі, та згасають при і погоджуються в смислі найменших квадратів з формулами (21) та даними вимірювань часу поширення імпульсу на заданій множини напрямків .
У частковому випадку, коли зондування смуги здійснюється лише у на-прямках осі , інтегральні співвідношення (21) зводяться до формули виду
, (25)
де .
За розв’язок оберненої задачі приймаємо функції, що забезпечують мінімум функціоналові
(26)
в якому компоненти напружень та переміщень визначаються відповідно до функції напружень (23). В результаті знову отримали безмежну СЛАР стосовно коефіцієнтів розвинення функції напружень.
Для кількісного дослідження оберненої задачі застосували метод числового експерименту, використовуючи в якості вхідних даних результати, отримані при розв’язуванні відповідної прямої задачі.
Точність розв’язку оберненої задачі оцінювали за значенням функціонала . Для оцінки істинної похибки обчислювали значення функціонала (24) на знайденому розв’язку оберненої задачі. При цьому параметр визначає середньоквадратичне відхилення на межі знайденого розв’язку оберненої задачі від розв’язку відповідної прямої задачі, за яким розраховувались вхідні дані для оберненої задачі. Проведені числові дослідження показали, що зі зростанням кількості членів у розвиненнях за повною системою функцій для компонент напружень та переміщень похибка спадає значно швидше, ніж істинна похибка . У таблиці 3 показані зміни похибок та у залежності від кількості членів розкладу (23) для шуканих функцій.
Таблиця 3. Похибки обчислень оберненої задачі
Проведені числові дослідження розв’язків прямої та оберненої задач показали, що запропоновані формулювання цих задач та розвинені варіаційні методи їх розв’язування можна використовувати для створення засобів неруйнівного визначення розподілів компонент тензорів напружень і деформацій у кусково-однорідних об’єктах, на основі даних їх зондування імпульсами ультразвуку.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ
Дисертаційна робота присвячена розв’язанню наукового завдання – розвитку математичних моделей для опису поширення пружних збурень у неоднорідно деформованих твердих тілах, дослідженню на цій основі закономірностей взаємодії пружних хвиль з полем початкових деформацій стосовно до задач неруйнівного визначення напружено–деформованого стану твердих тіл з використанням методу акустопружності.
У роботі отримано такі основні результати:
·
побудовано математичну модель поширення малих пружних збурень у неоднорідно деформованому твердому тілі, яка пов’язує параметри збурень і компоненти тензорів початкових напружень та деформацій, що визначаються стосовно початкової напруженої конфігурації;
·
сформульовано задачу Коші про поширення малого пружного збурення в неоднорідно деформованому континуумі, що моделює відому схему ультразвукового зондування;
·
опис поширення пружного збурення в неоднорідному полі початкових деформацій зведено до послідовності задач для рівнянь зі сталими коефіцієнтами;
·
на конкретних прикладах досліджено вплив параметрів поля початкових напружень твердого тіла на середню швидкість та час поширення імпульсу деформації;
·
для випадку плоскої деформації отримано інтегральні співвідношення, що пов’язують час проходження в деформованому тілі обмеженого імпульсу збурення із розподілом компонент тензора початкових напружень (деформацій) на напрямку його поширення;
·
із використанням отриманих інтегральних співвідношень сформульовано пряму та обернену задачі неруйнівного визначення двовимірного поля залишкових напружень;
·
реалізовано варіаційні методи розв’язування прямої та оберненої задач неруйнівного визначення поля залишкових напружень у кусково–однорідній смузі.
На основі отриманих результатів можна зробити наступні висновки:
·
використання підходу Ейлера дозволяє отримати лінеаризовану систему рівнянь динаміки пружного збурення в неоднорідно деформованому тілі, коефіцієнти якої залежать від компонент тензора напружень Коші, завдяки чому ця система є дещо простішою і зручнішою, ніж за підходу Лагранжа, для задач неруйнівного визначення напружено-деформованого стану твердих тіл із використанням методів акустопружності;
·
моделювання відомої схеми ультразвукового зондування тіла з допомогою задачі Коші для системи рівнянь динаміки збурень дозволяє виключити з розгляду процеси відбивання хвиль без істотної втрати точності опису, оскільки в практиці ультразвукових вимірювань, як правило, вживаються спеціальні заходи, які мінімізують вплив цих процесів на вимірювані акустичні параметри;
·
запропонований ітераційний алгоритм зводить вихідну задачу опису пружного збурення в неоднорідно деформованому тілі до швидкозбіжної послідовності задач для хвильових рівнянь з постійними коефіцієнтами;
·
подання розподілів компонент початкових деформацій у вигляді суми середньоінтегральної на відрізку поширення імпульсу складової та відхилень від неї дозволило отримати в якості нульового наближення теорії систему хвильових рівнянь, коефіцієнти якої виражаються через інтеграли від компонент тензора деформації вздовж напрямку поширення імпульсу;
·
внаслідок цього отримала математичне підтвердження запропонована іншими авторами ідея використання для випадку слабкозмінних полів початкових деформацій співвідношень акустопружності, встановлених для однорідного напружено-деформованого стану, замінивши в них компоненти деформації відповідними середньоінтегральними значеннями;
·
конструктивні та функціональні матеріали можна класифікувати за їх акустичною чутливістю до початкових напружень та деформацій на підставі значень встановлених у роботі матеріальних параметрів, які виражаються через пружні модулі третього порядку;
·
для широковживаних конструктивних матеріалів час проходження імпульсу та його середня швидкість достатньо точно описуються вже в нульовому наближенні теорії;
·
запропоновані математичні моделі та результати проведених досліджень можна ефективно застосовувати для розв’язування як прямих, так і обернених задач неруйнівного визначення напружено-деформованого стану кусково–однорідних тіл, зокрема, у складі відповідних систем контролю та технічної діагностики.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ
1.
Осадчук В.А., Прокопович І.Б., Кравчишин О.З. Лінеаризовані рівняння поширення пружних збурень у тілі з вільними деформаціями // Мат.методи та фіз.–мех. поля. – 1997. – 40, № . – С. 76–82.
2.
Кравчишин О.З., Прокопович І.Б. Співвідношення акустопружності для тіла з вільними деформаціями // Мат.методи та фіз.–мех. поля. – 2000. – 43, № . – С. 153 – 156.
3.
Чекурін В.Ф., Кравчишин О.З. Математична модель акустичного контролю залишкових напружень у кусково–однорідних тілах // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. В 2-х т. Львів, 2000. – Т. 2. – С. 165 – 168.
4.
Чекурін В.Ф., Кравчишин О.З. Задача поширення збурення у пружно деформованому континуумі // Мат.методи та фіз.–мех. поля. – 2001. –44, № . – С. 129 – 134.
5.
Чекурін В.Ф., Кравчишин О.З. До теорії акустичної томографії напружень у твердих тілах // Фіз. – хім. механіка матеріалів. – 2002. –35, № 2. – С. 97 – 104.
6.
Кравчишин О.З., Чекурін В.Ф. Про одну задачу Коші для системи рівнянь гіперболічного типу зі змінними коефіцієнтами // Вісник Львів. університету. – 2003 – Вип. 6. – С. 64 – 67.
7.
Кравчишин О.З., Чекурін В.Ф. Нелінійна модель поширення пружних збурень у пружно-деформованому континуумі // Мат. методи та фіз.–мех. поля. – 2004. – 47, № . – С. 163 – 170.
8.
ChekurinKravchyshynA mathematical model for small elastic disturbances propagation in strained solid continuum // Proceedings of VI-th Intern. Seminar/Workshop on direct and inverse problem of electromagnetic and acoustic wave theory (DIPED – 2001). Lviv, September 18 – 20, 2001. P.170–174.
9.
ChekurinKravchyshynRay acousto-elasticity integrals for 2-D strain field // Proceedings of VII–th Intern. Seminar/Workshop on direct and inverse problem of electromagnetic and acoustic wave theory (DIPED – 2002). Tbilisi, Georgia, October 10 – 13, 2002. P.170–174.
10.
ChekurinO.Z. Kravchyshyn. Inverse problem for acoustical tomography of stress fields in piecewise-homogeneous strip // Proc. of VIII-th Intern Seminar/Workshop on direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory (DIPED – 2003). Lviv, 2003. P.194–198.
11.
ChekurinV.F., O.Z. Kravchyshyn Effect of initial stress field on propagation velocity and shape of strain pulse // Proc. of IX–th Intern. Seminar/Workshop on Direct and inverse problem of electromagnetic and acoustic wave theory (DIPED – 2004). Lviv, 2004. P.135–138.
12.
Chekurin V., Kravchyshyn O. A theory for acoustical tomography of tensor fields in solids // 4-th Ukrainian–Polish Conference “Environmental mechanics, methods of computer science and simulations”, Lviv, 2004. – P. 241 – 251.
13.
Прокопович І., Кравчишин О. Про опис поширення малих пружних збурень в ізотропному тілі з вільними деформаціями // Матеріали конференції “Сучасні проблеми механіки і математики”, Львів, 25–28 травня, 1998. – С. 112.
14.
Чекурин В.Ф., Кравчишин О.З. Обратная задача ультразвукового контроля закалочных напряжений в листах // Тезисы стендовых докладов международной конференции “Сварные конструкции”.– Киев.– 2000.– С. 64.
15.
Чекурін В.Ф., Кравчишин О.З. До теорії ультразвукового контролю зварювальних напружень // Тези доп. 5-го міжнародного симпозіуму українських інженерів–механіків у Львові, 16– 18 травня, 2001. – С. 110.
16.
Чекурін В.Ф., Кравчишин О.З. Ітераційний метод розв’язування задачі Коші для рівняння гіперболічного типу зі змінними коефіцієнтами // Матеріали 9-ої Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”, Львів, 24 – 26 вересня, 2002. – С. 131 – 132.
17.
Чекурін В.Ф., Кравчишин О.З. Обернена задача неруйнівного визначення залишкових напружень у кусково-однорідній смузі методом акустопружності // Матеріали міжнар. конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”, Львів, 25 – 28 травня, 2003. – С. 396 – 397.
АНОТАЦІЯ
Кравчишин О. З. Математичне моделювання та дослідження поширення пружних збурень у неоднорідно деформованих твердих тілах. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико–математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2005.
Дисертація присвячена моделюванню та дослідженню поширення малих пружних збурень у неоднорідно деформованих твердих тілах. У роботі побудовано систему рівнянь динаміки малих пружних збурень у неоднорідно деформованому твердому тілі, яка пов’язує параметри збурень і компоненти тензора напружень Коші, що визначаються стосовно початкової напруженої конфігурації. Для отриманої системи рівнянь сформульовано задачу Коші про поширення малого пружного збурення в неоднорідно деформованому континуумі, яка моделює відому схему ультразвукового зондування. Розроблено ітераційний алгоритм розв’язування задачі Коші та встановлені умови його збіжності й на конкретних прикладах досліджено вплив параметрів поля початкових напружень твердого тіла на середню швидкість та час поширення імпульсу деформації. Для випадку плоскої деформації отримано інтегральні співвідношення, що пов’язують час проходження в деформованому тілі обмеженого імпульсу збурення із розподілом компонент тензора початкової деформації на напрямку його поширення. Із використанням отриманих інтегральних співвідношень сформульовано пряму та обернену задачі неруйнівного визначення двовимірного поля залишкових напружень. Реалізовано варіаційні методи розв’язування прямої та оберненої задач неруйнівного визначення поля залишкових напружень у кусково–однорідній смузі.
Ключові слова: кусково-однорідні тіла, залишкові напруження, нелінійна пружність, пружне збурення, інтегральні співвідношення акустопружності, ітераційні методи, обернені задачі акустопружності.
АННОТАЦИЯ
Кравчишин О. З. Математическое моделирование и исследование распространения упругих возмущений в неоднородно деформированных твердых телах. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2005.
Диссертация посвящена моделированию и исследованию распространения малых упругих возмущений в неоднородно деформированных твердых телах. В работе построена система уравнений динамики малых упругих возмущений в неоднородно деформированном твердом теле, которая связывает параметры возмущений и компоненты тензора напряжений Коши, определенные относительно невозмущенной напряженной конфигурации. Сформулирована задача Коши о распространении малого упругого возмущения в неоднородно деформированном континууме, которая моделирует известную схему ультразвукового зондирования; разработан итерационный алгоритм решения задачи Коши и установлены условия его сходимости. На конкретных примерах исследовано влияние параметров поля начальных напряжений твердого тела на среднюю скорость и время распространения импульса деформации. Для случая плоской деформации получены интегральные соотношения, связывающие время прохождения ограниченного импульса возмущения с распределением компонент тензора начальной деформации на направлении его распространения. С использованием интегральных соотношений сформулированы прямая и обратная задачи неразрушающего определения двухмерного поля остаточных напряжений; реализованы вариационные методы решения прямой и обратной задач неразрушающего определения поля начальных напряжений в кусочно–однородной полосе.
Ключевые слова: кусочно-однородные тела, остаточные напряжения, нелинейная упругость, упругое возмущение, интегральные соотношения акустоупругости, итерационные методы, обратные задачи, акустоупругости.
SYMMARY
Kravchyshyn O.The mathematical modeling and investigation of elastic disturbances propagation in nonhomogeneously strained solid. – Manuscript.
Thesis for a candidate’s degree of physical and mathematical sciences on specialty 01.02.04 – Mechanics of Deferrable Solids. – Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, L'viv, 2005.
The thesis is devoted to modeling and investigation of propagation of small elastic disturbances in nonhomogeneously strained solids. A system of equations of dynamics of small elastic disturbances in nonhomogeneously strained solids is constructed. This system connects the disturbances parameters and components of Chauchy stress tensor which are defined relative to the initial stressed configuration. For the obtained system of equations the Chauchy’s problem on propagation of small elastic disturbances in nonhomogeneously strained continuum is formulated. The problem models the known scheme of ultrasonic sounding. An iterative algorithm for solution of Chauchy’s problem is developed and conditions of its convergence are determined. The influence of parameters of initial stress field of a solid on the mean velocity and time of propagation of a strain pulse is studied on the specific examples. For the case of plane strain the integral relations are obtained. They connect the travel time of a limited disturbances pulse in the strained solid with distribution of the components of initial strain tensor on the direction of its propagation. Using the obtained integral relations, the direct and inverse problems of nondestructive definition of the 2D field of residual stress are formulated. The variation methods for solution of direct and inverse problems of nondestructive definition of the field of residual stresses in a piecewise-homogeneous strip are realized.
Key words: piecewise-homogeneous solids, residual stresses, nonlinear elasticity, elastic disturbances, integral acoustoelasticity relations, iterative methods, inverse acoustoelasticity problems.
