Національна Академія наук України

Інститут геофізики ім. С. І. Субботіна

Чорна Оксана Арнольдівна

УДК 550.831:550.838

ДОСЛІДЖЕННЯ

ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ЛОГАРИФМІЧНОГО ПОТЕНЦІАЛУ ДЛЯ ТІЛ, БЛИЗЬКИХ ДО ЗАДАНИХ

04.00.22 — ГЕОФІЗИКА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ, 1999

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в відділі глибинних процесів Землі і гравіметрії Інституту геофізики ім. С. І. Субботіна Національної академії наук України.

Науковий керівник:

академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор СТАРОСТЕНКО Віталій Іванович, Інститут геофізики НАН України, директор.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор БУЛАХ Євгеній Георгієвич, Інститут геофізики НАН України, головний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, професор ЯКИМЧУК Микола Андрійович, Інститут прикладних проблем екології, геофізики і геохімії, директор.

Провідна установа Національна гірнича академія, кафедра геофізики, МВО України, м. Дніпропетровськ.

Захист відбудеться “23” вересня 1999 року о 14.30 годині на засіданні спеціалізованої ради Д 26.200.01 при Інституті геофізики ім. С. І. Субботіна НАН України за адресою: 252 680, Київ-142, пр. Палладіна, 32.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту геофізики ім. С. І. Субботіна НАН України.

Автореферат розіслано “ 16 ” 08. 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради В. С. ГЕЙКО

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Однією з найважливіших проблем геофізичних досліджень є проблема побудови змістовних моделей глибинної структури кори і мантії Землі для виявлення основних закономірностей розміщення корисних копалин і спрямування пошуку і розвідки відповідних родовищ. В загальному комплексі досліджень чільне місце відводиться гравіметрії та магнітометрії, які постачають цінну інформацію у вигляді даних вимірювання гравітаційного і магнітного полів. Для розкодування цієї інформації важливу роль відіграє теорія задачі визначення форми тіла за його зовнішнім потенціалом, центральне місце в якій займають глобальні теореми єдиності і локальні теореми існування і стійкості розв’язків для різних потенціалів при певних припущеннях що-до заданої області та її густини (чи намагніченості). Для пошуку розв’язків задачі розроблені спеціальні математичні методи, що складають основу найплідніщого напряму сучасної обчислювальної математики. Разом з тим ці крупні наукові досягнення знаменують собою тільки початок великого наукового пошуку. Ще й досі не вирішені питання коректного розв’язування за Тихоновим некоректних задач. В питаннях єдиності, існування та стійкості локальних розв’язків оберненої задачі того чи іншого потенціалу, як і раніше, наштовхуються на значні труднощі при відновленні різних класів тіл в зв’язку з винятковою складністю відповідних рівнянь. Більшість вагомих результатів в цій області одержано за допомогою конформних відображень, що не мають просторових аналогів. Тому тлумачення одержаних результатів без обмежень на розмірність простору також заслуговує на пильну увагу. Деякі з перерахованих проблем визначили коло питань, що розглядаються в дисертації.

Зв’язок з науковими планами. В основу дисертації покладено результати досліджень у відповідності з науково-тематичними роботами Інституту:

1. Деякі обернені задачі потенціалів, що задовольняють самоспряженим еліптичним рівнянням, і їх застосування в геофізиці (1991-95 р.р.).

2. Гранична задача про відновлення потенціалу за модулем його градієнта та її використання в геодезичній гравіметрії і в теорії інтерпретації гравітаційних і магнітних аномалій (1995-2000 р.р.).

Метою роботи є розробка основ теорії оберненої задачі логарифмічного потенціалу для тіл обмеженого, близького до круга, і необмеженого, близького до шару постійної товщини, з відомою постійною густиною без суттєвих обмежень на розмірність простору в рамках загальної теорії наближеного розв’язування умовно-коректних задач.

Основні задачі формулюються так:

1. Визначити фундаментальні співвідношення для обчислення контуру тіла у вигляді відхилень від контуру заданого тіла за відомими значеннями логарифмічного потенціалу (чи його похідної).

2. З’ясувати умови коректного розв’язування оберненої задачі потенціалу для класу тіл, що розглядаються.

3. Дослідити властивості функціоналів нев’язки і типу нев’язки для рівнянь, що визначають наближення контурів тіл. Побудувати такі стабілізуючі функціонали, які описують множини єдиності точних (нормальних) розв’язків цих рівнянь.

4. Сконструювати регуляризуючі оператори визначення зірчастих областей з використанням адаптивних процедур згладжування даних спостережень.

Наукова новизна. В результаті для відновлення збурюючої зірчастої області за значеннями потенціалу пропонується вперше процес послідовних наближень області у вигляді розв’язків послідовностей лінійних інтегральних рівнянь першого роду з невід’ємними симетричними цілком неперервними операторами. На основі проведеного спектрального аналізу операторів і вивчення структури області їх визначення і області визначення нормальних розв’язків доведені локальні теореми існування і стійкості. Показано, що на компактних множинах в банахових просторах даних і розв’язків задача поставлена коректно. Вперше досліджено функціонал типу нев’язки для класу рівнянь, що розглядаються. Вперше побудовані і адекватні стабілізатори для цих рівнянь за допомогою таких диференціальних операторів, власні функції котрих співпадають з власними функціями вихідних інтегральних операторів. В арсенал нових досягнень можна віднести також побудову методом регуляризації адаптивних процедур згладжування даних спостережень в загальній конструкції не тільки локального регуляризуючого оператора, але й глобального у вигляді послідовності локальних.

Достовірність і обгрунтованість одержаних результатів визначається детальною логіко-аналітичною проробкою кола питань, що обговорюються, починаючи з формулювання задачі, виводу відповідного функціонального рівняння, виявлення умов існування та стійкості його розв’язку і закінчуючи побудовою стійких обчислювальних алгоритмів визначення наближених розв’язків. Основні результати сформульовані у вигляді доведених лем, теорем та їх висновків. Їх справедливість перевірена в обчислювальних експериментах на ЕОМ при розв’язуванні тестових задач.

Практичне значення проведених досліджень заключається в розробці регуляризуючих алгоритмів і в складанні програм, що реалізують їх на ЕОМ, для обчислення за заданим полем зірчастих областей.

Особистий внесок автора. Самостійно одержані результати, що описані у всіх п’яти главах дисертації, за виключенням п.п.1.2; 2.1; 2.2.3; 3.1.2 і 3.2.

Апробація результатів. Результати чисельного випробування алгоритмів аналітичного продовження потенціальних полів, що базуються на інтегральних перетвореннях з швидко спадаючими ядрами і використовуються при розв’язуванні задачі визначення наближень контактної границі, доповідались на наступних конференціях:

1. Наукова конференція аспірантів і молодих вчених. Київ, 1993 р.

2. Анізотропія. Фрактали. Проблеми використання. Київ, 1994 р.

Публікації. Основні положення і результати дисертації висвітлені в 14-ти статтях, опублікованих в журналах “Доповіді НАН України”, “Геофизический журнал”, “Geophysical Journal” і в 2-х тезах доповідей на наукових конференціях.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, 5-ти глав, висновків, списку літератури із 140 найменувань, 5 рисунків та додатку; обсяг роботи 178 сторінок, з них 145 сторінок тексту.

Робота виконувалась на протязі 1991-99 р.р. під керівництвом академіка НАН України В. І. Старостенка, якому автор висловлює глибоку подяку за постійну підтримку і допомогу при виконанні цієї роботи.

ЗМІСТ РОБОТИ

1. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ЛОГАРИФМІЧНОГО ПОТЕНЦІАЛУ ДЛЯ ДЕЯКИХ ТІЛ, БЛИЗЬКИХ ДО ЗАДАНИХ

1.1. Нехай за заданими на прямій значеннями логарифмічного потенціалу потрібно визначити контур гравітуючої областіпри додатковій умові, що значення потенціалу на мало відрізняються від значень потенціалу круга радіусу з центром в точці , заповненого масою тієї ж сталої густини , з якою розподілена маса по області . При малому відхиленні зовнішніх потенціалів шукане тіло буде мало відрізнятись від апроксимуючого круга і тому область буде зірчастою по відношенню до . Для визначенності вісь прямокутної системи спрямуємо вздовж , вісь — в бік збурюючого тіла так, щоби вона проходила через центр круга і . Запишемо вираз потенціалу в полярній системі координат з полюсом в

де

Для визначення границі тіла, близького до круга, інтервал інтегрування розіб’ємо з урахуванням радіуса круга на два підінтервали і відповідно з цим функцію подамо у вигляді двох доданків

один з яких післе інтегрування дасть потенціал круга, а другий — потенціал «надлишкового » по відношенню до круга тіла .

Теорема 1.1. Якщо збурююча область мало відхиляється від круга в сенсі виконання умови , де

то підінтегральна функція

розкладається в абсолютно збіжний ряд

На основі цієї теореми пошук функції здійснюється за допомогою послідовних наближень , які в свою чергу визначаються як розв’язки послідовності лінійних інтегральних рівнянь першого роду

(1)

1.2. Найпростіша модель оберненої задачі визначення необмеженого зірчастого тіла постійної густини , близького до шару постійної товщини і тієї ж густини, за значеннями “вертикальної” складової логарифмічного потенціалу зводиться до нелінійного інтегрального рівняння виду

де . Невідому однозначну функцію можна відшукувати у вигляді послідовних наближень, організованих за аналогією з пошуком контура в п.1.1. Відправним пунктом пошуку є

Теорема 1.2. Ряд за умови близькості шарів , абсолютно збігається до граничної суми .

Звідси для генерування послідовності наближень функції пропонується наступний процес послідовних наближень

,

(2)

2. ДЕЯКІ ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ

ОПЕРАТОРІВ ПРЯМИХ ЗАДАЧ ВИЗНАЧЕННЯ ОБЛАСТІ

2.1. Вивчаються властивості операторів прямої відповідності рівнянь (1) і (2) в просторах неперервних функцій, Лебега і Гільберта і установлюється, що коли контури збурюючих тіл мало відхиляються від заданих, то лінійні інтегральні оператори є обмеженими, неперервними і компактними операторами з в і з в , , де або для задач (1) і (2) відповідно.

Теорема 2.3. Області значень кожного з операторів рівнянь (1) і (2) являють собою множини першої категорії як об’єднання компактних множин і всюди щільні в .

2.2. Кожному з лінійних операторів , , відповідає спряжений лінійний оператор , який також буде обмеженим, ненеперервним і компактним при відображенні в . При оператори і діють в одному і тому ж гильбертовому просторі і співпадають один з одним, .

Для знаходження власних функцій і власних значень самоспряженого в компактного оператора рівняння (1) скористаємось лемою 1.2, доведеною в дисертації, і одержимо розгортання ядра

в абсолютно збіжний ряд. Звідси випливає

Теорема 2.4. Послідовності

являють собою повну систему власних чисел і відповідних їм власних функцій неперервного симетричного ядра самоспряженого оператора рівняння (1).

Висновок 1. Лінійне по відношенню до наближення інтегральне рівняння (1) є рівнянням Фредгольма першого роду.

Висновок 2. Спектр оператора дискретний і визначається зліченним числом значень , причому границі його належать відрізку , де якщо або якщо .

Висновок 3. Нуль-множина оператора, тобто власний підпростір простору , що відповідає нульовому власному значенню оператора, являє собою множину другої категорії.

Висновок 4. Області визначень операторів і суть , , причому

Критерій приналежності функції з множині має вигляд нескінченного числа співвідношень (висновки 3 і 4) і не може вважатися ефективним. Тому залишається єдина можливість “розпізнавання” елементів множини за допомогою різноманітних процедур “згладжування” даних. Що стосується підмножини , що розглядається як область визначення нормальних розв’язків рівняння (1), то для її розпізнавання необхідно ввести додаткові критерії, тісно пов’язані з її внутрішньою структурою. За розпізнавальну особливість можна вибрати рівномірну в середньому обмеженість її підмножин та їх рівностепеневу в середньому неперервність. Ознаку рівностепеневої неперервності можна замінити еквівалентною їй, що ефективно перевіряється, ознакою рівномірної обмеженості перших похідних функцій цієї множини. Отже, область визначення нормальних розв’язків рівнянь (1) може бути задана множиною

де цілком визначені сталі.

Спектральний аналіз самоспряженого оператора рівняння (2) одразу ж виявляє тільки часткову подібність його характеристик з властивостями оператора рівняння (1), обумовлену тим, що ці оператори діють в різних гільбертових просторах.

Теорема 2.5. Лінійний цілком неперервний самоспряжений оператор рівняння (2), діючий в , має неперервний спектр , і відповідні йому узагальнені власні функції , . Числа є власними числами оператора, до того ж числу 1 відповідає власна функція 1, а числу 0 підпростір простору , що являє собою замкнену нуль-множину оператора.

Висновок 1. Лінійне по відношенню до наближення інтегральне рівняння (2) є інтегральним рівнянням Фредгольма першого роду.

Висновок 2. Області визначення операторів і , що діють в , подаються відповідно у вигляді до того ж із-за спряженності оператора ці теоретико-множинні рівності ототожнюються з розщепленням де і

Звідси виводимо, що ефективний критерій приналежності функції із множині , як і в випадку рівняння (1), відсутній, оскільки він має вигляд нескінченного числа співвідношень, визначаючих ортогональність підпросторів і . Тому, як і в попередньому випадку, праву частину рівняння (2) доводиться обирати за допомогою певних процедур “згладжування”, а область визначення нормальних розв’язків задачі розшукування контакту задавати у вигляді

.

3. ПРОБЛЕМИ ІСНУВАННЯ, ЄДИНОСТІ І СТІЙКОСТІ РОЗВ’ЯЗКІВ

3.1. Питання про існування розв’язків обернених задач вивчаються на більш тонких структурах, аніж вихідні банахові простори, в яких діє оператор задачі.

Теорема 3.2 (існування). Якщо збурююча область , яка породжує зовнішній потенціал , і круг радіуса , , що індукує потенціал , мало відрізняються один від одного в сенсі виконання нерівності , де — однозначна функція, яка описує конфігурацію границі області , а функція , , то послідовність наближень , що генерується процесом (1), збігається за метрикою до функції , тобто до розв’язку нелінійного інтегрального рівняння

при умові, що кожне з наближень належить до компактної множини при і що виконується нерівність

де і

Умови існування розв’язку задачі визначення контакту двох різнорідних необмежених шарів сформульовано в аналогічній теоремі.

3.2. Множини коректності задач, що досліджуються, визначаються відомими теоремами Новікова і Страхова єдиності глобальних розв’язків.

3.3. Для доведення теорем стійкості розв’язків використовуються два допоміжних твердження, в котрих під “подібними” розуміються такі області і , границі яких описуються відповідно функціями і . Одним із них є

Лема 3.1. Якщо поля , породжені двома подібними однорідними класу областями , , незначно відхиляються одне від одного, тобто задовільняють умову , при досить малому , то і самі області мало відрізняються поміж собою в смислі виконання нерівності де стала, зв’язана з параметрами границі однієї з подібних облатей.

Теорема 3.4 (стійкості). Якщо однозначні функції , що описують границі зірчастих однорідних обмежених областей , належать компактній множині , а породжені областями потенціали незначно відхиляються один від одного в сенсі виконання нерівності при досить малому , то самі області мало відрізняються поміж собою, так що згадані функції підпорядковуються умові де — стала, залежна від параметрів класу .

Аналогічна теорема стійкості доводиться для тіла, близького до шару постійної товщини.

4. ПРО СТІЙКІ СПОСОБИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ВИЗНАЧЕННЯ ЗІРЧАСТИХ ОБЛАСТЕЙ

4.1. Задачу розв’язування лінійного інтегрального рівняння Фредгольма першого роду

(3)

з самоспряженим оператором замінимо задачею мінімізації квадратичного функціоналу нев’язки

(4)

або функціоналу типа нев’язки

(5)

на множині . В зв’язку з цим позначимо через проекцію точки на множину , через точку нижньої грані функціоналів (4) або (5) на , а через при множину всіх точок мінімуму функціоналів або на області .

Теорема 4.1. Задача розв’язування лінійного інтегрального рівняння (3) еквівалентна задачі знаходження мінімуму функціоналу нев’язки чи функціоналу типу нев’язки на компактній множині .

Отже, для розв’язування рівняння достатньо побудувати мінімізуючу послідовність для кожного функціоналу, що збігається до множини .

4.2. Властивості функціоналів розгортають

Теорема 4.2. Функціонали та над випуклі функції. Функціонал напівнеперервний згори, функціонал напівнеперервний згори при або ж при , , а при — напівнеперервний знизу. Множина незамкнена і в довільній кулі радіуса з центром в точці знайдеться хоча б одна точка , на відміну від , в якій функціонал досягає своєї нижньої границі. Гиперповерхня, що описується функціоналом чи , являє собою циліндр з твірною типу параболи, а множина всіх точок мінімуму функціоналу над — це гиперплощина .

Теорема 4.3. Функціонали і двічі неперервно диференційовані над , їх градієнти і належать до класу з константами Ліпшиця і відповідно. Кожен з функціоналів над довільними елементами , з задовільняє одну із наступних нерівностей де або .

Теорема 4.4. Всяка точка локального мінімуму функціоналів і над є одночасно точкою їх глобального мінімуму над , до того ж множини всіх точок мінімуму відповідних функціоналів або випуклі.

Теорема 4.5. Множини Лебега функціоналів над опуклі при будь-якій сталій .

В банахових просторах умови не є достатніми для (глобального) мінімуму функціонала. Дійсно, якщо глобальний мінімум функціоналу досягається в точці , то відповідно з теоремою 4.2 він досягається і в будь-якій точці простору , де . Тому, хоча довільна мінімізуюча послідовність , при , завжди збігається до множини , до множини єдиності розв’язку рівняння (3) може і не збігатися. Тому спроби визначити нормальний розв’язок відповідного рівняння першого роду за допомогою мінімізації функціоналів нев’язки з додатковою вимогою мінімальності норми розв’язку часто-густо приречені до невдачі.

4.3. Для корекції мінімізуючих послідовностей вводяться такі функціонали

на множинах

,

де , — тотожній в , оператор, або , — вага похідної. Для функціоналів справедлива

Теорема 4.7. Функціонали і на множинах невід’ємні, сильно опуклі, диференційовані функції класу мають градієнти класу і задовільняють нерівності .

Висновок. Функціонали і на множинах не мають локальних мінімумів, що відрізняються від глобального, який досягається на елементі

В зв’язку з тим, що на функціонал можна подати у вигляді де додатний і симетричний (само-спряжений) оператор, то для нього справедлива

Теорема 4.8. Послідовності

утворюють повну систему власних чисел і відповідних до них власних функцій неперервного додатнього самоспряженого диференціального оператора в .

Теорема 4.10. Послідовності і утворюють в повну систему власних чисел і відповідних до них регулярних узагальнених власних функцій неперервного додатнього самоспряженого диференціального оператора в .

Порівнюючи ці твердження з теоремами 2.4 і 2.5, приходимо до висновку, що (узагальнені) власні функції оператора в співпадають з (узагальненими) власними функціями лінійних невід’ємних інтегральних операторів задачі відновлення фінітної або необмеженої типа шару області, що ефективно використовується при конструюванні алгоритмів чисельного розв’язку задач зірчастих областей.

Розглянемо множини , допустимих функцій .

Теорема 4.11. Функціонали і над є стабілізаторами задачі розв’язку лінійного інтегрального рівняння першого роду (3) з невід’ємним самоспряженим оператором .

Висновок. Кожна з випуклих множин ; компактна за метрикою , при довільних , для і довільних , для .

4.4. Для обгрунтування заміни задачі на мінімум над задачею мінімізації на за умови, що на екстремалі виконується рівність , доводиться

Теорема 4.12. Якщо точна нижня грань стабілізатора , над опуклою множиною , що визначається досить великими і для і досить малим для , досягається на функції з компакта , то нев’язка для цієї функції визначається рівністю .

В результаті приходимо до типової класичної задачі варіаційного обчислення на умовний екстремум, яка розв’язується методом невизначених множників Лагранжа. Складаємо згладжуючий функціонал Тихонова,

і на множині будемо відшукувати такий елемент , на якому функціонал досягає своєї точної нижньої грані з параметром регуляризації , що визначається за умовою . Конкретно в ситуації, що розглядається, можливі такі модификації згладжуючого функціоналу Тихонова

Перші три модифікації функціоналу з чотирьох перерахованих не використовувались аж до теперішнього часу. В численних роботах даного напрямку розв’язки переважної більшості лінійних обернених задач не тільки геофізики зводились до пошуку мінімуму згладжуючого функціоналу типу , що являв собою, як правило, зважену суму функціоналу нев’язки і стабілізатора типу норми в відшукуваного розв’язку.

Умова мінімуму на для кожного із згладжуючих функціоналів приводить відповідно до наступних рівнянь Ейлера

(6) З точки зору обчислень на ЕОМ всі ці рівняння не еквівалентні між собою. Дійсно, кожне з рівнянь (6) з додатним оператором зводиться при чисельній реалізації його розв’язку до певної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невиродженою додатньою симетричною матрицею. До того ж, якщо рівняння типу перших двох з (6) редукуються до систем з матрицями , то рівняння типу останніх двох з (6) — з матрицями виду . Відомо, що стійкість чисельного розв’язку систем залежить від міри обумовленності і їх матриць і . І чим більша міра обумовленості матриць, тим меньша точність чисельного розв’язку. А тому що і міра ніколи не буває менше одиниці, то стійкість чисельного розв’язку з матрицею завжди вища стійкості чисельного розв’язку з матрицею . В зв’язку з цим обмежимося дослідженням перших двох із чотирьох виписаних функціоналів і відповідних їм рівнянь Ейлера.

Для висвітлення принципово важливого питання існує чи ні функція з множини стануть в пригоді характеристики функцій , скалярного аргументу . Їх розкриває

Теорема 4.13. Для довільних елементу і числа екстремалі згладжуючого функціоналу Тихонова на множині такі, що на інтервалі функції , і виявляються неперервними, монотонно зростаючими, опуклими вгору, а — неперервною, монотонно спадаючою, опуклою вниз функцією.

Висновок 1. Якщо — довільна функція з , то

На основі висновку легко вибирається вихідне значення параметру регуляризації у вигляді для .

Висновок 2. Для всякого додатного числа і довільного елементу існує додатне число таке, що .

Відповідь на основне питання існує чи ні регуляризуючий оператор для рівняння (3) дає

Теорема 4.14. Якщо нормальний розв’язок інтегрального рівняння (3) з лінійним невід’ємним самоспряженим оператором в , то для всякої функції з і довільного числа існує єдина неперервна функція з регулярною на узагальненою похідною для або ж з похідною, що інтегрується з квадратом на , для , на якій функціонал Тихонова досягає своєї нижньої грані на при досить великому , а сімейство функцій із для збігається рівномірно за метрикою, що індукується стабілізаторами або , до нормального розв’язку при .

Для доведення суттєво використовується

Лема 4.1. Якщо функціонал , , визначається на множині Лебега , елементів з за нев’язкою лінійного інтегрального рівняння (3) з невід’ємним цілком неперервним оператором, то його нижня і верхня грані на оцінюються залежностями

відповідно, де і — певні додатні числа.

Проведені дослідження показують, що пошук розв’язків лінійних інтегральних рівнянь першого роду в рамках класичних обмірковувань не завжди бувають найбільш ефективними з обчислювальної точки зору, а вимога мінімальності норми розв’язку рівняння і поготів не достатня для кола задач, що розглядаються. Для таких задач (коли оператори рівнянь невід’ємні) більш ефективним видається пошук розв’язку за допомогою мінімізації функціоналів типу нев’язки за умови мінімальності стабілізаторів чи на компактах в .

5. ПРО ПОБУДОВУ РЕГУЛЯРИЗУЮЧИХ ОПЕРАТОРІВ

ВИЗНАЧЕННЯ ЗІРЧАСТИХ ОБЛАСТЕЙ

В загальній конструкції (глобального) регуляризуючого оператора визначення зірчастої області, близької до заданої, в числі першорядних розглядається проблема проектування елементів гильбертового простору даних на множину значень оператора прямої відповідності в умовах, коли дані обтяжені великими похибками і безпосереднє їх використання може привести до порушення обмежень, що забезпечують існування (локального) регуляризуючого оператора. Процедури згладжування будуються методами теорії регуляризації з врахуванням подальшого використання даних.

В задачі визначення контура тіла, близького до круга, згладжені значення поля визначаються на колі, що охоплює тіло, за заданими значеннями поля на дискретній нерівномірній сітці точок скінченного відрізку, розташованого зовні указаного кола. Для реалізації адаптивної процедури згладжування використовується математичний апарат компромісної сплайн-апроксимації і апарат, розроблений для аналітичного продовження поля в площину з вирізаним кругом скінченного радіуса за значенням поля на прямій зовні круга. В задачах визначення шару змінної товщини згладженні значення поля обчислюються за припущенням, що земний рельєф на заданому інтервалі добре апроксимується прямою.

Глобальні регуляризуючі оператори будуються у вигляді послідовностей локальних регуляризуючих операторів для відповідних послідовностей лінійних інтегральних рівнянь першого роду, в правих частинах яких вибираються згладжені вихідні дані. В свою чергу локальні регуляризуючи оператори будуються у вигляді параметризованих мінімізуючих послідовностей функціоналів, що являють собою зважену суму функціоналу типу нев’язки з одним із запропонованих стабілізаторів, що забезпечують однозначне розв’язування даного рівняння. Для визначення необмеженої області запропоновано регуляризуючий алгоритм обчислення контакту за значеннями поля на суттєво короткому інтервалі.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ

В результаті проведених досліджень створені теорія і методи розв’язування оберненої задачі логарифмічного потенціалу зірчастих обмежених чи необмежених з відомою сталою щільністю (або намагніченістю) областей, близьких до круга чи шару сталої товщини. Ключові положення теорії і методів такі.

10. Описано математичні моделі оберненої задачі у вигляді нелінійних інтегральних рівнянь з цілком неперервними операторами, які визначають відхилення контурів збурюючих тіл від заданих. За припущення, що відхилення невеликі, для пошуку розв’язків нелінійних рівнянь запропоновано ітераційні процедури, на кожному кроці яких наближення відхилень обчислюються у вигляді розв’язків лінійних інтегральних рівнянь з симетричними, невід’ємними і компактними операторами.

20. Вивчено спектральні характеристики інтегральних операторів в гільбертовому просторі. З’ясована структура множини нормальних розв’язків і множини відповідних їм значень даних. Встановлено, що нуль-множини операторів є множинами другої категорії по відношенню до множин нормальних розв’язків. Наведені приклади сильної нестійкості операторів. Знайдені ефективні критерії належності вихідних даних і розв’язків відповідним областям значень операторів і областям визначення нормальних розв’язків, які враховуються при конструюванні адаптивних процедур згладжування даних і в регуляризуючих алгоритмах пошуку оптимальних розв’язків.

30. Доведено теореми існування і стійкості локальних розв’язків оберненої задачі для заданого класу тіл на компактних підмножинах множини єдиності.

40. Розглянуто загальний метод пошуку оптимального розв’язку лінійного інтегрального рівняння першого роду з невід’ємним симетричним компактним оператором, який використовується як одне із наближень відхилення контура від заданого в глобальному ітеративному процесі. Він полягає в побудові локального регуляризуючого оператора для даного рівняння у вигляді мінімізуючої послідовності згладжуючого функціоналу, що являє собою зважену суму функціоналу типу нев’язки з спеціальним стабілізатором, визначеним на множині єдиності. Побудовані два типи стабілізаторів (слабкий і сильний). Вони конструюються за допомогою таких диференціальних операторів, власні функції яких співпадають з власними функціями операторів прямої відповідності, що визначає наперед успішне їх застосування при пошуку оптимального розв’язку. Для цих стабілізаторів доведена теорема існування локальних регуляризуючих операторів, які серед відомих своїх модифікацій мають найкращу обумовленість і забезпечують найвищу точність обчислень. Регуляризуючі оператори кожній функції із гільбертового простору даних ставлять у відповідність функції гільбертового простору розв’язків , що мають узагальнену похідну у випадку слабкого і інтегровану з квадратом похідну у випадку сильного стабілізаторів.

50. Розроблено ефективний спосіб розв’язування нелінійних інтегральних рівнянь, що описують відхилення контурів збурюючих зірчастих областей від заданих. Глобальний регуляризуючий оператор для нелінійного рівняння розшукується у вигляді послідовності локальних регуляризуючих операторів для відповідних лінійних інтегральних рівнянь з компактними операторами. Для визначення правої частини цих рівнянь розроблено спеціальні адаптивні процедури згладжування вихідних даних.

Основні положення дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Интеграл Шварца для полосы и его приложения в геофизике // Докл. НАН Украины. - 1993. - №10. - С. 126-129 (соавтор В. И. Старостенко).

2. Интеграл Шварца для полосы и его приложения в геофизике // Геофиз. журн. - 1993. - Т. 15, №4. - С. 12-22 (соавтор В. И. Старостенко).

3. Об интегральных уравнениях обратной задачи логарифмического потенциала определения контура звездного тела, близкого к заданному // Геофиз. журн. - 1997. - Т. 19, №6. - С. 3-10 (соавторы В. И. Старостенко, А. В.Черный).

4. Интегральные уравнения задачи определения контуров звездных тел, близких к заданным // Докл. НАН Украины. - 1998. - №7. - С. 129-131 (соавторы В. И. Старостенко, А. В.Черный).

5. О постановке обратных задач логарифмического потенциала определения формы некоторых тел, близких к заданным // Геофиз. журн. - 1998. - Т. 20, №1. - С. 15-25 (соавторы В. И. Старостенко, Н. Н. Черная, А. В.Черный).

6. О фундаментальных свойствах операторов прямого соответствия в задачах определения звездных областей, близких к заданным // Геофиз. журн. - 1998. - Т. 20, №3. - С. 3-23 (соавторы В. И. Старостенко, Н. Н. Черная, А. В.Черный).

7. Последовательности линейных интегральных уравнений для восстановления звездных областей, близких к заданным // Докл. НАН Украины. - 1999. - №2. - С. 135-139 (соавторы В. И. Старостенко, Н. Н. Черная, А. В.Черный).

8. О характеристических свойствах операторов прямого соответствия в задачах определения звездных областей, близких к заданным // Докл. НАН Украины. - 1999. - №5. - С. 146-149 (соавторы В. И. Старостенко, Н. Н. Черная, А. В.Черный).

9. Проблемы существования, единственности и устойчивости решений задач определения звездных областей, близких к заданным // Геофиз. журн. - 1999. - Т. 21, №1. - С. 3-19 (соавторы В. И. Старостенко, Н. Н. Черная, А. В.Черный).

10. Об устойчивых способах решений задач определения звездных областей, близких к заданным. 1. // Геофиз. журн. - 1999. - Т. 21, №3. - С.100-118.

Черная О. А. Исследование обратных задач теории логарифмического потенциала для тел, близких к заданным. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 04.00.22 геофизика. Институт геофизики им. С. И. Субботина НАН Украины. Киев, 1999.

Диссертация посвящена разработке теории и методов решения обратной задачи логарифмического потенциала звездных областей с известной плотностью, близких к кругу или слою постоянной толщины.

Описаны математические модели обратной задачи в виде нелинейных интегральных уравнений с вполне непрерывными операторами, которые определяют отклонения контуров возмущающих тел от заданных. В предположении, что отклонения невелики для поиска решений нелинейных уравнений предложены итерационные процедуры, на каждом шаге которых приближения отклонений вычисляются в виде решений линейных интегральных уравнений с симметричными, неотрицательными и компактными операторами.

Изучены спектральные характеристики интегральных операторов в гильбертовом пространстве. Выяснена структура множества нормальных решений и множества соответствующих им значений данных. Установлено, что нуль-многообразия операторов являются множествами второй категории по отношению к множествам нормальных решений. Приведены примеры сильной неустойчивости операторов. Найдены эффективные критерии принадлежности входных данных и решений соответствующим областям значений операторов и областям определения нормальных решений, которые учитываются при конструировании адаптивных процедур сглаживания данных и в регуляризующих алгоритмах поиска оптимальных решений.

Доказаны теоремы существования и устойчивости локальных решений обратной задачи для заданного класса тел на компактных подмножествах множества единственности.

Рассмотрен общий метод поиска оптимального решения линейного интегрального уравнения первого рода с неотрицательным симметричным компактным оператором, которое используется в качестве одного из приближений отклонения контура от заданного в глобальном итерационном процессе. Он состоит в построении локального регуляризующего оператора для данного уравнения в виде минимизирующей последовательности сглаживающего функционала, представляющего собой взвешенную сумму функционала типа невязки со специальным стабилизатором, определенным на множестве единственности.

Построены два типа стабилизаторов (слабый и сильный). Они конструируются при помощи таких дифференциальных операторов, собственные функции которых совпадают с собственными функциями операторов прямого соответствия, что предопределяет успешное их применение при поиске оптимального решения. Для этих стабилизаторов доказана теорема существования локальных регуляризующих операторов. Они среди известных своих модификаций обладают наилучшей обусловленностью и обеспечивают самую высокую точность вычислений. Регуляризующие операторы каждой функции из гильбертова пространства данных ставят в соответствие функции гильбертова пространства решений , имеющих обобщенную производную в случае слабого и интегрируемую в квадрате в случае сильного стабилизаторов.

Разработан эффективный способ решения нелинейных интегральных уравнений, описывающих отклонения контуров возмущающих звездных областей от заданных. Глобальный регуляризующий оператор для нелинейного уравнения отыскивается в виде последовательности локальных регуляризующих операторов для соответствующих линейных интегральных уравнений с компактными операторами. Для определения правой части этих уравнений разработаны специальные адаптивные процедуры сглаживания входных данных.

Ключевые слова: логарифмический потенциал, обратная задача гравиметрии, функционал, стабилизатор, оператор, теория регуляризации.

Чорна О. А. Дослідження обернених задач теорії логарифмічного потенціалу для тіл, близьких до заданих. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 04.00.22 геофізика. Інститут геофізики ім. С. І. Субботіна НАН України, Київ, 1999.

Дисертація присвячена розробці теорії і методів розв’язування оберненої задачі логарифмічного потенціалу зірчастих областей з відомою густиною, близьких до круга або шару постійної товщини.

Виведено нелінійні інтегральні рівняння з компактними операторами для визначення контурів збурюючих тіл поблизу заданих. Доведено локальні теореми існування і стійкості розв’язків. Запропоновано ефективний спосіб розв’язку нелінійних інтегральних рівнянь. Глобальний регуляризуючий оператор для кожного з них розшукується у вигляді послідовності локальних регуляризуючих операторів для відповідних лінійних інтегральних рівнянь з компактними невід’ємними операторами. Для визначення правих частин цих рівнянь розроблено спеціальні адаптивні процедури згладжування вихідних даних.

Ключові слова: логарифмічний потенціал, обернена задача гравіметрії, функціонал, стабілізатор, оператор, теорія регуляризації.

Chorna O. A. Investigation of inverse problems of the logarithmic potential theory for bodies resembling the given ones. Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree by speciality 04.00.22 geophysics. Institute of geophysics named after S. I. Subbotin, NASU, Kyiv, 1999.

The thesis is devoted to the elaboration of theory and methods of inverse problem solving of the logarithmic potential of star-shaped domains with known density. They look like circle or layer of constant thickness. Unlinear integral equations with compact operators for defining contours of disturbed bodies near the given data are received. Local theorems of existing and stability of solving have been proved. An effective method of solving unlinear integral equations has been suggested. Global regularized operator for each of them is being found as a sequence of local regularized operators for corresponding linear integral equations with compact non-negative operators. Special adapted procedures of smoothing data-in have been elaborated for the definition of right parts of these equations.

Key words: logarithmic potential, inverse problem of gravimetry, functional, stabilizator, operator, theory of regularization.