КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

КУЧМЕНКО Світлана Миколаївна

УДК 519.41/47

ГРУПИ З ВЕЛИКИМИ

СИСТЕМАМИ ПІДГРУП,

БЛИЗЬКИХ ДО НОРМАЛЬНИХ

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертація є рукопис.

Робота виконана на кафедрі вищої математики та математичних методів в економіці Національної академії державної податкової служби України, Державна податкова адміністрація України

Науковий керівник:

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

СЕМКО Микола Миколайович,

Національна академія державної податкової служби України, професор кафедри вищої математики та математичних методів в економіці.

Заслужений діяч науки і техніки, доктор фізико-математичних наук, професор

Курдаченко Леонід Андрійович,

Дніпропетровський національний університет, завідувач кафедри алгебри і геометрії;

доктор фізико-математичних наук, професор

СУЩАНСЬКИЙ Віталій Іванович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри алгебри та математичної логіки.

Провідна установа: |

Львівський національний університет імені Івана Франка, кафедра алгебри і топології, Міністерство освіти і науки України, м. Львів.

Захист відбудеться “ 26 ” грудня 2005 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “ 22 ” листопада 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради _____________________ Плахотник В. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Групи з великими системами підгруп, близьких у тому чи іншому сенсі до нормальних, є досить давнім об’єктом дослідження у теорії груп. Наявність великої кількості нормальних підгруп і близьких до них типів підгруп дуже сильно впливає на структуру групи. Образно кажучи, чим група більше має нормальних і близьких до них підгруп, тим вона ближче до абелевої. Наприклад, якщо всі підгрупи групи є нормальними, то неабелеві групи з такою властивістю мають дуже просту будову, як показують результати робіт Р. Дедекінда 1 та Р. Бера 2. Існує багато природних типів підгруп, що близькі до нормальних. Наприклад, в теорії скінченних груп важливу роль грають субнормальні підгрупи, підгрупи, що не збігаються зі своїм нормалізатором (за їх допомогою характеризуються скінченні нільпотентні групи), підгрупи, які переставні з кожною циклічною підгрупою групи (вони грають велику роль в скінченних надрозв’язних та розв’язних групах). Ці підгрупи зберігають свій вплив і в нескінченних групах, хоча там їх роль не є такою визначальною. Наприклад, на відміну від скінченних груп, існують нескінченні групи з одиничним центром, всі підгрупи яких субнормальні. Приклади таких груп побудовані Г. Хайнекеном та І. Мохамедом 3, 4, Б. Хартлі 5, 6, Ф. Менегаццо 7. Виникнення й розвиток теорії груп з умовами скінченності привів до появи нових важливих типів підгруп, що близькі до нормальних. Такі типи підгруп розглянув Б. Нейман у своїй роботі 8, що вже стала класичною. Зокрема, він почав розглядати вплив на будову групи підгруп, що мають скінченну множину спряжених. Оскільки кожна така підгрупа має нормалізатор скінченного індексу, такі підгрупи почали пізніше називати майже нормальними. У своїй роботі 8 Б. Нейман охарактеризував групи, всі ідгрупи яких майже нормальні, як групи, що мають центр скінченного індексу. Такі групи пізніше стали називати скінченними над центром. Трохи пізніше __________

1 Dedekind R. Ьber Gruppen deren sammtliche Teiler Normalteiler sind // Math. Annalen. – 1897. – 48.– S. 548 – 561.

2 Baer R. Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe // S.- B. Heidelberg Akad.– 1933. – 2. – S. 12 – 17.

3 Heineken H. and Mohamed I.J. Groups with normalizer condition // Math. Annalen.– 1972.–198, № 3.– P.178 – 187.

4 Heineken H. and Mohamed I.J. Non-nilpotent groups with normalizer condition // Lecture Notes Math. – 1974. – 372.– P. 357 – 360.

5 Hartley B. A note on the normalizer condition // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1973. –74, №1.– P. 11 – 15.

6 Hartley B. О нормализаторном условии и мини-транзитивных группах подстановок // Алгебра и логика. – 1974.– 13, № 5.– C. 589 – 602.

7 Menegazzo F. Groups of Heineken-Mohamed // J. Algebra. – 1995.– 171.– P. 807 – 825.

8 B.H. Neumann B.H. Groups with finite classes of conjugate subgroups // Math. Z. – 1955.– 63, № 1.– P. 76 – 96.

С.М. Черніков у роботі 9 розглянув групи, в яких CG(A) має скінченний індекс для кожної абелевої підгрупи A. Такі групи також виявились скінченними над центром. У звязку з цими двома результатами С.М. Черніков поставив питання про будову груп, у яких кожна абелева підгрупа буде майже нормальною. Відповідь на нього отримав І.І. Єрьомін 10, який довів, що такі групи також будуть скінченними над центром. У статті 11 І.І. Єрьомін почав розглядати групи, в яких усі нескінченні підгрупи майже нормальні. Локально майже розв’язні групи з цією властивістю були описані значно пізніше в роботі М.М. Семка, С.С. Левіщенка та Л.А. Курдаченка 12. З цієї роботи починається систематичне вивчення груп, у яких система Lan(G) всіх майже нормальних підгруп групи G “дуже велика” чи система Lnon–an(G) всіх підгруп, що не є майже нормальними, “дуже мала”. Так у роботі 13 Л.А. Курдаченка та В.Е. Горецького розглядались групи, у яких система всіх майже нормальних підгруп є щільною. Результати цієї роботи були пізніше узагальнені в роботах 14, 15. У роботі Л.А. Курдаченка, М.Ф. Кузенного та М.М. Семка 16 були розглянуті групи, у яких (впорядковані за включенням) системи Lan(G) та Lnon–an(G) задовольняють умову максимальності, а в роботі Л.А. Курдаченка та В.В. Пилаєва 17 були розглянуті групи, у яких система Lnon–an(G) задовольняє умову мінімальності. Узагальнення результатів робот 16, 17 було отримано пізніше в статті Ж. Кутоло та Л.А. Курдаченка 18, де розглядались локально майже розв’язні групи, у яких система Lnon–an(G) задовольняє слабку умову максимальності та слабку умову мінімальності.

__________

9 Черников С.Н. О строении групп с конечными классами сопряженных элементов // Докл. АН СССР.– 1957.–115, № 1.– С. 60 – 63. 10 Еремин И.И. Группы с конечными классами сопряженных абелевых подгрупп //Мат. сб. – 1959.– 47, № 1.– С. 45 – 54.

11 Еремин И.И. Группы с конечными классами сопряженных бесконечных подгрупп // Уч. зап. Пермского ун-та.– 17, № 2.– С. 13 – 14.

12 Семко Н.Н., Левищенко С.С., Курдаченко Л.А. О группах с бесконечными почти нормальными подгруппами // Изв. вузов. Математика.–1983.– № 10.– С. 57 – 63.

13 Курдаченко Л.А., Горецкий В.Э. Группы с плотной системой почти нормальных подгрупп // Укр. мат. журн.– 1983.–35, № 1.– С. 42 – 46.

14 Курдаченко Л.А., Кузенний М.Ф., Семко М.М. Групи з щільною системою нескінченних підгруп // ДАН УРСР. Серія А. –1985.– № 3.– С. 7 – 9.

15 Курдаченко Л.А., Кузенний М.Ф., Семко М.М. Группы с плотной системой бесконечных почти нормальных подгрупп // Укр. мат. журн.– 1991.– 43, №7-8.– С. 969 – 974.

16 Курдаченко Л.А., Кузенний М.Ф., Семко М.М. Групи з деякими умовами максимальності // ДАН УРСР. серія А. – 1987. № 1.– С. 9 – 11.

17 Курдаченко Л.А., Пылаев В.В. Группы, богатые почти нормальными подгруппами // Укр. мат. журн.–1988.– 40, №3.– С. 326 – 330.

18 Cutolo G. and Kurdachenko L.A. Weak chain conditions for non-almost normal subgroups // London Math.Soc., Lecture Notes Ser. – 1995.– 211.– P. 120 – 130.

С. Франциозі, Ф. де Жиованні та Л.А. Курдаченко 19 розглянули групи, у яких майже нормальними будуть всі підгрупи за винятком скінченно породжених. В той же час вивчались і інші властивості системи майже нормальних підгруп. Так К. Касоло вивчав групи, у яких властивість “бути майже нормальною підгрупою” є транзитивною і в цьому звязку також розглянув групи, у яких кожна субнормальна підгрупа є майже нормальною 20, 21. Ця тематика була продовжена у роботі К. Касоло, С. Франциозі, Ф. де Жиованні 22. У статті С. Франциозі, Ф. де Жиованні та Л.А. Курдаченко 23 була розглянута зовсім інша ситуація – були розглянуті групи, у яких кожна підгрупа або майже нормальна, або субнормальна. Неважко упевнитись у тому, що множина всіх майже нормальних підгруп, впорядкована за включенням, буде решіткою. Але також неважко побачити, що загалом ця решітка не є повною. Л.А. Курдаченко та С. Рінауро 24 розглянули групи, у яких (впорядкована за включенням) множина всіх майже нормальних підгруп буде повною решіткою. Інший тип підгруп, які також почав розглядати Б. Нейман у статті 8, це підгрупи, що мають скінченний індекс у своєму нормальному замкненні. Б. Нейман не дав цим підгрупам ніякої спеціальної назви. Пізніше у роботі 14 такі підгрупи були названі скінченно-нормальними. Ця назва здається не зовсім вдалою. У статті 25 був використаний інший термін – near normal subgroup. Буквальний переклад цього терміну – наближено нормальні підгрупи, і цією назвою будемо далі користуватись. Інтерес до системи наближено нормальних підгруп групи виник досить недавно. У роботі Л.А. Курдаченка, М.Ф. Кузенного та М.М. Семка 14 розглядались групи, у яких система всіх наближено нормальних підгруп є щільною.

__________

19 Franciosi S., de Giovanni F. and Kurdachenko L.A. On groups with many almost normal subgroups // Ann. Mat. Pura Appl.– 1995.–169, № 4.– P.35 – 65.

20 Casolo C. Groups with finite classes of subnormal subgroups // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. – 1989.– 81.– P. 107 – 149.

21 Casolo C. Subgroups of finite index in generalized T-groups // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova – 1989.– 81.– P. 265 – 277.

22 Casolo C., Franciosi S., de Giovanni F. Groups with finitely many infinite conjugacy classes of subnormal subgroups // Ricerche Mat. – 1994.– 43, №2.–P. 309 – 321.

23 Franciosi S., de Giovanno F. and Kurdachenko L.A. Groups with finite conjugacy classes of non-subnormal subgroups // Archiv der Mathematik.– 1998.– 70. – P. 169 – 181.

24 Kurdachenko L.A., Rinauro S. Intersection and join of almost normal subgroups // Communications in Algebra.– 1995.– 23, №5.– P. 1967 – 1974.

25 Galoppo A. Groups satisfying the maximal condition on non-nearly normal subgroups // Ricerche Mat. –2000.– 49, № 2.– P. 213 – 220.

У роботі С. Франціозі і Ф. де Жиованні 26 були розглянуті групи, у яких система Lnon–nn (G) задовольняє умову мінімальності, а у вже цитованій вище роботі A. Галоппо 25 були розглянуті групи, у яких система Lnon-nn(G) задовольняє умову максимальності. У статті С. Франциозі, Ф. де Жиованні та Л.А. Курдаченка 27 були розглянуті групи, у яких кожна підгрупа або наближено нормальна, або субнормальна. Відмітимо також статтю К. Мюзелли 28, де вивчалися деякі властивості решітки усіх наближено нормальних підгруп.

В дисертаційній роботі розглядаються групи, у яких системи Lnon–an (G) та Lnon–nn (G) складаються з підгруп, що мають той або інший скінченний ранг, а саме: ранг, вільний від скруту (0-ранг), секційний ранг, спеціальний ранг, тотальний ранг, мінімаксний ранг. Слід відмітити, що такий підхід почав зараз застосовуватись і для інших важливих систем підгруп. Так у роботі С. Франциозі, Ф. де Жиованні та М. Ньюэла 29 розглядались групи, у яких множина усіх ненормальних підгруп складається із розв’язних підгруп того чи іншого скінченного рангу, а у роботах Л.А. Курдаченка та П. Соулеса 30 та Л.А. Курдаченка та Х. Сміта 31 вивчались групи, у яких система усіх підгруп, що не є субнормальними, складається з підгруп скінченного спеціального рангу.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Tема дисертаційної роботи пов’язана з тематикою наукових досліджень Інституту математики НАН України і Національної академії державної податкової служби України (номер державної реєстрації 0101U000527).

Мета і задачі дослідження. Mетою даної роботи є вивчення будови груп, у яких система підгруп, що не є наближено нормальними, та система підгруп, що не є майже нормальними, складаються з

_____________

26 Franciosi S., de Giovanni F. Groups satisfying the minimal condition on certain non-normal subgroups // "Groups - Korea 94".– 1995.– Berlin: Walter de Gruyter. – P. 107 – 118.

27 Franciosi S., de Giovanni F. and Kurdachenko L.A. Groups with restrictions on non-subnormal subgroups // Ricerche di Matematica.– 1997.– 46, № 2.– P. 307 – 320.

28 Musella C. Isomorphisms between lattices of nearly normal subgroups // Note di Matematica.– 2000/2001.– 20, № 1.– P. 43 – 52.

29 Franciosi S., de Giovanni F. and Newell M.L. Groups with polycyclic non-normal subgroups // Algebra Colloquium. – 2000.– 7, № 1.– P. 33 – 42.

30 Kurdachenko L.A., Soules P. Groups with all non-subnormal subgroups of finite rank // Groups St Andrews 2001 in Oxford, London Math. Soc. Lecture Note Series.– Cambridge University Press.– 2003.– 305.– P. 366 – 376.

31 Kurdachenko L.A., Smith H. Groups in which all subgroups of infinite rank are subnormal // Glasgow Journal of Mathematics. – 2004.– 46.– P. 83 – 90.

підгруп скінченного 0-рангу;

підгруп скінченного секційного р-рангу, р – просте число;

підгруп скінченного секційного рангу;

підгруп скінченного спеціального рангу;

підгруп скінченного тотального рангу;

підгруп скінченного мінімаксного рангу;

черніковських підгруп;

майже поліциклічних підгруп.

Задачі дослідження:

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескінченного

0-рангу яких є наближено нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескінченного

секційного р-рангу яких є наближено нормальною, р – просте число;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескінченного

секційного рангу яких є наближено нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескінченного

спеціального рангу яких є наближено нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескінченного

тотального рангу яких є наближено нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескінченного

мінімаксного рангу яких є наближено нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа яких, що не є черніковською, буде наближено нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа яких, що не є майже поліциклічною, буде наближено нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескіннченого

0-рангу яких є майже нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескінченного

секційного р-рангу яких є майже нормальною, р – просте число;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескінченного

секційного рангу яких є майже нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескінченного

спеціального рангу яких є майже нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескінченного

тотального рангу яких є майже нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа нескінченного

мінімаксного рангу яких є майже нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа яких, що не

є черніковською, буде майже нормальною;

опис узагальнено розв’язних груп, кожна підгрупа яких, що не

є майже поліциклічною, буде майже нормальною.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано нові теоретичні результати:

опис FC-гіперцентральних та локально нетерових груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного 0-рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

опис FC-гіперцентральних та локально нетерових радикальних груп, кожна підгрупа нескінченного секційного р-рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною), р – просте число;

опис радикальних груп, кожна підгрупа нескінченного секційного рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного спеціального рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного тотального рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа нескінченного мінімаксного рангу яких є наближено нормальною (відповідно майже нормальною);

опис локально майже розв’язних груп, кожна підгрупа яких, що не є черніковською, буде наближено нормальною (відповідно майже нормальною) ;

опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, кожна підгрупа яких, що не є майже поліциклічною, буде наближено нормальною (відповідно майже нормальною).

Допоміжним новим результатом, що має самостійне значення, є твердження про наявність у групі нескінченного 0-рангу без періодичних нормальних підгруп, яка має зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними або локально скінченними факторами, абелевих підгруп нескінченного 0-рангу.

Практичне значення одержаних результатів. Pобота має теоретичний характер. У роботі був здійснений новий для цієї області підхід до вивчення груп з малими системами підгруп, що не є наближено нормальними (відповідно майже нормальними), пов’язаний із застосуванням різних рангів. Результати дисертації можуть бути використані в теоретико-групових дослідженнях, що проводяться в Інституті математики НАН України, Київському, Дніпропетровському та Львівському національних університетах.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно і опубліковані у фахових виданнях [1 – 6]. В опублікованих разом з Семком М.М. роботах ідеї й методи доведень результатів із цих робіт належать Семку М.М., а їх реалізація – пошукачу.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися і опубліковані в тезисах матеріалів:

Х Міжнародної математичної конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ – 2004 р.);

Міжнародної алгебраїчної конференції, присвяченій 250-річчю Московського університету (Москва – 2004 р.);

V Міжнародної алгебраїчної конференції в Україні (Одеса – 2005 р.).

Крім того, результати дисертаційної роботи доповідались на засіданнях кафедри вищої математики та математичних методів в економіці Національної академії державної податкової служби України (2002 – 2005 роки) та алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2005 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 10 наукових роботах [1 – 10]. З них 6 робіт у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України та 4 тези доповідей на міжнародних математичних конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, 3 основних розділів (які містять 12 підрозділів), висновків і списку використаних джерел. Список використаних джерел складається із 148 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 122 сторінки машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтована актуальність дослідження, показаний зв’язок теми, що досліджується в роботі, з темами та планами наукових досліджень, формулюється мета і задачі досліджень, охарактеризовано наукову новизну роботи, практичне значення отриманих результатів, особистий внесок дисертанта, апробацію результатів дисертації, наведено інформацію про структуру та обсяг дисертації. В структурі дисертації виділяється три основні розділи I – III.

Як уже відмічалося вище, у даній роботі розглядаються групи, в яких системи L non–an (G) та L non-nn (G) складаються з підгруп, що мають той або інший скінченний ранг. В теорії груп природно виникли та досить ефективно працюють різні ранги. В даній роботі будуть розглядатися ранг, вільний від скруту (0-ранг), секційний ранг, спеціальний ранг, тотальний ранг, мінімаксний ранг.

Група G має скінченний 0-ранг r0(G) = r, якщо вона має скінченний субнормальний ряд, у якому точно r факторів будуть нескінченними циклічними, а всі інші є періодичними.

Будемо говорити, що група G має скінченний секційний p-ранг rp(G) = r, якщо кожна абелева p-секція групи G має порядок не вищий за pr і існує така абелева p-секція U/V, що U/V= pr.

Будемо говорити, що група G має скінченний спеціальний ранг r(G) = r, якщо кожна її скінченно породжена підгрупа може бути породжена не більше ніж r елементами 32.

Спеціальний ранг називають також рангом Мальцева-Прюфера.

Нехай A – абелева група. Визначимо тотальний ранг A за наступним правилом

rtot(A) = r0(A) + p (A) rp(A).

Абелева група A належить до класу A1 тоді і тільки тоді, коли її тотальний ранг є скінченним.

Зокрема, це означає, що множина (A) – скінченна. Далі A A1 тоді і тільки тоді, коли A має скінченний 0-ранг і періодична частина A є черніковською підгрупою.

Розв’язна група G тоді і тільки тоді належить до класу S1, коли G має скінченний субнормальний ряд, кожний фактор якого є A1-групою.

Клас S1 співпадає з класом розв’язних A3-груп, які були введені А.І. Мальцевим 33.

Відмітимо також, що А.І. Мальцев розглянув підклас розв’язних A4-груп, який складається з груп, що мають скінченний субнормальний ряд, кожний фактор якого є A1-групою зі скінченною періодичною частиною.

Іншими натуральними розширеннями класу скінченних груп буде клас M груп, що задовольняють умову максимальності для всіх підгруп та клас M груп, що задовольняють умову мінімальності для всіх підгруп. Обидва ці класи є одними з найстаріших обєктів вивчення у теорії груп. Однак приклади груп з умовами мінімальності та максимальності для всіх підгруп, що були побудовані А.Ю. Ольшанським та його учнями 34, глави 28, 35, 38, показують, що такі групи можуть мати властивості, які дуже далекі від властивостей скінченних груп.

__________

32 Мальцев А.И. О группах конечного ранга // Мат. сб. – 1948.– 22, № 2.– С. 351 – 352.

33 Мальцев А.И. О некоторых классах бесконечных разрешимых групп // Мат. сб. – 1951.– 28, № 3.– С. 567 – 588.

34 Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. – М.: Наука, 1989.– 447 с.

Класи M та M можуть бути природно об’єднані у класі мінімаксних груп.

Група G називається мінімаксною, якщо вона має скінченний субнормальний ряд, фактори якого належать до класів M або M.

Клас розв’язних мінімаксних груп позначається через S2 35. Зокрема, S2F – це клас груп, що мають скінчений субнормальний ряд, кожний фактор якого – черніковська або майже поліциклічна група. Теорія майже розв’язних мінімаксних груп є дуже розвиненою, ці групи вивчались багатьма авторами з різноманітних точок зору. З мінімаксними групами пов’язана наступна комбінаторна характеристика.

Наслідуючи Д.І. Зайцева 36, будемо говорити, що група G має скінченний мінімаксний ранг rmmx(G) = m, якщо для кожного такого скінченного ланцюга підгруп

<1> = G0 G1 . . . Gn = G,

що всі індекси Gj + 1: Gj є нескінченними, має місце співвідношення n m, та існує ланцюжок підгруп, для якого n = m. Якщо такого номера не існує, то мінімаксний ранг групи вважається нескінченним, а якщо ж G є скінченною, то rmmx(G) = 0.

Слід відмітити, що в статті 36 Д.І. Зайцев використав інший термін – показник мінімальності, який виявився не дуже вдалим. Тому пізніше Д.І. Зайцев відмовився від нього і запропонував інший – мінімаксний ранг 37, розділ 4, § 3.

У розділі І “Огляд літератури” дається огляд літератури, присвяченої дослідженням груп з обмеженнями на майже нормальні та наближено нормальні підгрупи. Також наведено короткий перелік відомих результатів, які використовуються в подальшому.

Розділ 2 “Групи з великими системами наближено нормальних підгруп” присвячений розгляду груп, у яких підгрупи, що не є наближено нормальними, мають той або інший скінченний ранг.

У підрозділі 2.1 “Попередні результати” наведено деякі потрібні для подальшого результати.

__________

35 Robinson D.J.S.. Infinite soluble and nilpotent groups.– London: Queen Mary College Mathematics Notes, 1968.– 210 p.

37 Казарин Л.С., Курдаченко Л.А. Условия конечности и факторизации в бесконечных группах // Успехи мат. наук. 1992. – 47, № 3.–С. 81 – 126.

Підрозділ 2.2 присвячений розгляду періодичних груп, у яких всі підгрупи нескінченного секційного р-рангу наближено нормальні. Основним результатом його є

2.2.8. Теорема. Нехай G – локально майже розв’язна група, у якій всі підгрупи нескінченного секційного р-рангу наближено нормальні. Якщо G містить у собі періодичну підгрупу нескінченного секційного р-рангу, то G має скінченний комутант.

У підрозділі 2.3 розглядаються групи, у яких всі підгрупи нескінченного 0-рангу наближено нормальні. Через P(G) будемо позначати максимальну нормальну періодичну підгрупу групи G. Основними результатами цього підрозділу є

2.3.7. Теорема. Нехай G – група нескінченного 0-рангу, у якій всі підгрупи нескінченого 0-рангу наближено нормальні. Якщо G має зростаючий ряд нормальних підгруп, фактори якого локально нільпотентні або локально скінченні, то G/P(G) – абелева група без скруту.

2.3.8. Теорема. Нехай G – розв’язна група нескінченного 0-рангу, всі підгрупи якої, що мають нескінченний 0-ранг, наближено нормальні. Припустимо, що всі скінченно породжені підгрупи G мінімаксні. Тоді група G має скінченний комутант.

Підрозділ 2.4 присвячений вивченню груп, у яких всі підгрупи нескінченного секційного рангу наближено нормальні. Основними результатами цього підрозділу є

2.4.1. Теорема. Нехай G – радикальна група, всі підгрупи якої, що мають нескінченний секційний р-ранг, наближено нормальні. Якщо G має нескінченний секційний p-ранг, але всі періодичні підгрупи мають скінченні секційні p-ранги, то G/Op’(G) має скінченний комутант.

Тут Op’(G) – максимальна нормальна періодична підгруппа групи G, що не містить р-елементів.

2.4.2. Теорема. Нехай G – розв’язна група, всі підгрупи якої, що мають нескінченний секційний р-ранг, наближено нормальні. Припустимо також, що кожна скінченно породжена підгрупа G є мінімаксною. Якщо G має нескінченний секційний p-ранг, то комутант групи G буде скінченним.

Наступний підрозділ 2.5 вивчає групи, у яких всі підгрупи нескінченного тотального рангу наближено нормальні. Основними його результатами є

2.5.1. Теорема. Нехай G – локально майже розв’язна група, всі підгрупи якої, що мають нескінченний тотальний ранг, наближено нормальні. Якщо G містить у собі періодичну підгрупу нескінченного тотального рангу, то G має скінченний комутант.

2.5.2. Теорема. Нехай G – група нескінченного тотального рангу, всі підгрупи якої, що мають нескінченний тотальний ранг, наближено нормальні. Якщо G має зростаючий ряд нормальних підгруп, фактори якого локально нільпотентні або локально скінченні, то G має скінченний комутант.

Групи, у яких всі підгрупи нескінченного мінімаксного рангу наближено нормальні, вивчаються у підрозділі 2.6. Нехай A – абелева група без скруту. Позначимо через PMmmx(A) перетин усіх тих сервантних підгруп А, які не є мінімаксними. Будемо називати цю підгрупу сервантним мінімаксним монолітом групи A. Підгрупа PMmmx(A) була введена до розгляду у роботі Д. Кутоло і Л.А. Курдаченка 18 .

2.6.15. Теорема. Нехай G – майже розв’язна А3-група, і припустимо, що вона не мінімаксна і має нескінченний комутант. В групі G всі підгрупи, що мають нескінченний мінімаксний ранг, є наближено нормальними тоді і тільки тоді, коли G задовольняє наступні умови:

(1) G містить у собі таку скінченну нормальну підгрупу F, що G/F = D/F E/F, де D/F – ділима черніковська підгрупа, а підгрупа E/F вільна від скруту та нільпотентна;

(2) Z/F = (E/F) не є мінімаксною, а фактор-група (E/F)/(Z/F) є скінченно породженою;

(3) [E/F, E/F] PMmmx(Z/F), зокрема, Z/F містить у собі сервантну мінімаксну підгрупу M/F, для якої r0(Z/M) = 1.

І останній підрозділ 2.7 другого розділу присвячений вивченню груп, у яких всі підгрупи, що не є майже поліциклічними, наближено нормальні. Опис таких груп отримано в наступних теоремах.

2.7.1. Теорема. Нехай G – нечерніковська локально майже розв’язна група, у якій всі підгрупи, що не є черніковськими, наближено нормальні. Тоді G – група одного з наступних типів:

(1) G – група, що має скінченний комутант;

(2) G – нескінченна діедральна група;

(3) G = D A, де D – ділима черніковська підгрупа, A – група типу (2);

(4) G містить у собі таку скінченну нормальну підгрупу F, що G/F – група типу (2);

(5) G містить у собі таку скінченну нормальну підгрупу F, що G/F – група типу (3).

2.7.5. Теорема. Нехай G – локально скінченна група. У групі G всі її підгрупи, що не є майже поліциклічними, наближено нормальні тоді і тільки тоді, коли G – група одного з наступних типів:

(1) G – група зі скінченним комутантом;

(2) G – майже квазіциклічна група.

2.7.13. Теорема. Нехай G – неперіодична локально майже розв’язна група, яка містить у собі нескінченну періодичну підгрупу. У групі G всі її підгрупи, що не є майже поліциклічними, наближено нормальні тоді і тільки тоді, коли G – група одного з наступних типів:

(1) G – група зі скінченним комутантом.

(2) [G, G] містить у собі таку нормальну в G квазіциклічну підгрупу D, що [G, G]/D – скінченна, G/D – скінченно породжена.

(3) G задовольняє наступні умови:

(3A) [G, G] містить у собі таку квазіциклічну підгрупу D, що D Ј z(G);

(3B) множина всіх елементів скінченного порядку фактор-групи G/D складає скінченну підгрупу T/D;

(3C) G/T– абелева мінімаксна група;

(3D) Sp(G/T) = {p} = P(D), p – просте число;

(3E) якщо A – FC-підгрупа групи G, то A/(A З D) буде скінченно породженою. Зокрема, кожна підгрупа G, що не має скінченної системи породжуючих елементів, містить у собі D.

Нехай A – абелева група вільна від скруту. Позначимо через PMfg(A) перетин усіх тих сервантних підгруп А, які не є скінченно породженими, та будемо називати цю підгрупу сервантним поліциклічним монолітом групи A. Підгрупа PMfg(A) була введена до розгляду у роботі С. Франціозі, Ф. де Жіованні та Л.А. Курдаченка 19 .

2.7.17. Теорема. Нехай G – неабелева локально нільпотентна група без скруту, що не має скінченної системи породжуючих елементів. Припустимо також, що комутант групи G є скінченно породженим. У групі G всі підгрупи, що не є майже поліциклічними, наближено нормальні тоді і тільки тоді, коли G задовольняє наступні умови:

(1) G містить у собі таку скінченно породжену підгрупу E, що G = E (G) і E (G) = [G, G];

(2) (G) не має скінченної множини породжуючих елементів;

(3) [G, G] PMfg((G)), зокрема, PMfg((G)) <1>, а тому (G) містить у собі таку скінченно породжену сервантну підгрупу M, що (G)/M – нециклічна локально циклічна група.

2.7.23. Теорема. Нехай G – неабелева локально нільпотентна група без скруту. Припустимо також, що комутант групи G не є скінченно породженим. У групі G всі підгрупи, що не є майже поліциклічними, наближено нормальні тоді і тільки тоді, коли G задовольняє наступні умови:

(1) (G) містить у собі таку скінченно породжену підгрупу M, що (G)/M – квазіциклічна р-група для деякого простого числа р;

(2) G/(G) – абелева мінімаксна група, причому Sp(G/(G)) = Sp((G)) = {p};

(3) [G, G] PMfg((G)), зокрема, PMfg((G)) <1>;

(4) для кожної абелевої підгрупи А секція А/(A [G, G]) є скінченно породженою.

Розділ 3 “Групи з великими системами майже нормальних підгруп” присвячений розгляду груп, у яких підгрупи, що не є майже нормальними, мають той або інший скінченний ранг. Багато його результатів є паралельними відповідним результатам розділу 2.

Його підрозділ 3.1 розглядає групи, у яких всі підгрупи нескінченого 0-рангу майже нормальні. Основними його результатами є

3.1.9. Теорема. Нехай G – група нескінченного 0-рангу, у якій всі підгрупи нескінченного 0-рангу майже нормальні. Якщо G має зростаючий ряд нормальних підгруп, фактори якого локально нільпотентні або локально скінченні, то G/P(G) – абелева група без скруту.

3.1.10. Теорема. Нехай G – розв’язна група нескінченного 0-рангу, всі підгрупи якої, що мають нескінченний 0-ранг, майже нормальні. Припустимо, що всі скінченно породжені підгрупи G є мінімаксними. Тоді група G – скінченна над центром.

Підрозділ 3.2 присвячений вивченню груп, у яких всі підгрупи нескінченного секційного р-рангу майже нормальні. Тут основними результатами будуть

3.2.7. Теорема. Нехай G – локально майже розв’язна група, у якій всі підгрупи нескінченного секційного р-рангу майже нормальні. Якщо G містить у собі періодичну підгрупу нескінченного секційного р-рангу, то G – скінченна над центром.

3.2.9. Теорема. Нехай G – розв’язна група, всі підгрупи якої, що мають нескінченний секційний р-ранг, майже нормальні. Припустимо також, що кожна скінченно породжена підгрупа G є мінімаксною. Якщо G має нескінченний секційний p-ранг, то G – скінченна над центром.

3.2.13. Теорема. Нехай G – радикальна група нескінченного секційного рангу. Якщо всі її підгрупи, що мають нескінченний секційний ранг, майже нормальні, то група G – скінченна над центром.

3.2.16. Теорема. Нехай G – група нескінченного спеціального рангу і припустимо, що G має зростаючий ряд нормальних підгруп, фактори якого локально нільпотентні або локально скінченні. Якщо всі її підгрупи, що мають нескінченний спеціальний ранг, майже нормальні, то група G – скінченна над центром.

У підрозділі 3.3 розглядаються групи, у яких всі підгрупи нескінченного тотального рангу майже нормальні. Його основними результатами є

3.3.1. Теорема. Нехай G – локально майже розв’язна група, всі підгрупи якої, що мають нескінченний тотальний ранг, майже нормальні. Якщо G містить у собі періодичну підгрупу нескінченного тотального рангу, то G – скінченна над центром група.

3.3.2. Теорема. Нехай G – група нескінченного тотального рангу, всі підгрупи якої, що мають нескінченний тотальний ранг, майже нормальні. Якщо G має зростаючий ряд нормальних підгруп, фактори якого локально нільпотентні або локально скінченні, то G – скінченна над центром група.

І, нарешті, заключний підрозділ 3.4 розглядає структуру групи, у яких всі підгрупи нескінченного мінімаксного рангу майже нормальні.

Застосовуючи результати попередніх розділів, можна звести загальну ситуацію розгляду груп з майже нормальними підгрупами нескінченного мінімаксного рангу до розгляду їх в класі майже розв’язних А3-груп. І далі

3.4.2. Теорема. Нехай G – майже розв’язна А3-група, і припустимо, що вона не мінімаксна і має центр нескінченного індексу. У групі G всі підгрупи, що мають нескінченний мінімаксний ранг, є майже нормальними тоді і тільки тоді, коли G задовольняє наступні умови:

(1) G містить у собі таку скінченну нормальну підгрупу F, що G/F = D/F E/F, де D/F – ділима черніковська підгрупа, а підгрупа E/F вільна від скруту та нільпотентна;

(2) Z/F = (E/F) не є мінімаксною, а фактор-група (E/F)/(Z/F) є скінченно породженою;

(3) [E/F, E/F] PMmmx(Z/F), зокрема, Z/F містить у собі сервантну мінімаксну підгрупу M/F, для якої r0(Z/M) = 1.

Наступне питання, що тут розглядається, є питання про будову груп, у яких всі підгрупи, що не є черніковськими, майже нормальні та груп, у яких всі підгрупи, що не є майже поліциклічними, майже нормальні. Опис таких груп отримано в наступних теоремах.

3.4.3. Теорема. Нехай G – нечерніковська локально майже розв’язна група, у якій всі підгрупи, що не є черніковськими, майже нормальні. Тоді G – група одного з наступних типів:

(1) G – скінченна над центром;

(2) G = A ? <g>, де g = p – просте число, A = CG(A) – вільна абелева група, r0(A) = p – 1, g індукує на A раціонально незвідний автоморфізм;

(3) G = D (A ? <g>), де D – ділима черніковська підгрупа, A ? <g> – група типу (2);

(4) G містить у собі таку скінченну нормальну підгрупу F, що G/F – група типу (2);

(5) G містить у собі таку скінченну нормальну підгрупу F, що G/F – група типу (3).

ВИСНОВКИ

Одна з перших задач теорії груп, яка зберігає своє значення і до цього часу, полягає у вивченні впливу на будову групи систем L(G) підгруп групи G, що мають властивість для найбільш важливих природних властивостей . У цьому напрямку важливою є задача вивчення будови груп, у яких система L(G) підгруп групи G, що мають властивість , є дуже велика чи система Lnon-(G) підгруп групи G, що не мають властивості , є дуже мала для найбільш важливих природних властивостей . У даній дисертаційній роботі розглядаються узагальнено розв’язні групи, у яких системи підгруп, що не є майже нормальними та наближено нормальними, складаються з підгруп того чи іншого скінченного рангу. Зауважимо, що для інших важливих