ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

ЛЕМЕШКО Олександр Віталійович

УДК 621.391

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ УПРАВЛІННЯ МЕРЕЖНИМИ РЕСУРСАМИ З ВИКОРИСТАННЯМ ТЕНЗОРНИХ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ

05.12.02 – Телекомунікаційні системи та мережі

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Харків – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському університеті Повітряних сил Міністерства оборони України

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор

ПОПОВСЬКИЙ Володимир Володимирович,

Харківський національний університет радіоелектроніки,

завідувач кафедрою телекомунікаційних систем

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

БОРЩ Валентин Іванович,

Одеська національна академія зв’язку ім. О.С. Попова,

завідувач кафедрою автоматичної комутації

доктор технічних наук, професор

ПОЛЯКОВ Петро Федорович,

Українська державна академія залізничного транспорту,

завідувач кафедрою транспортного зв’язку

доктор технічних наук, професор

РОМАНОВ Олександр Іванович,

Військовий інститут телекомунікацій та інформатизації Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут", начальник кафедри бойового застосування математичного та програмного забезпечення АСУ

Провідна установа: Український науково-дослідний інститут зв’язку, Державний

департамент з питань зв’язку та інформатизації, м. Київ

Захист відбудеться 22.06.2005 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.03 в Харківському національному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

Автореферат розісланий 20.05.2005 року.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради

доктор технічних наук В.М. Безрук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У відповідності до загальносвітових тенденцій розвитку систем телекомунікацій головним завданням галузі зв'язку України є створення мультисервісної мережі зв'язку, що відповідає постійно зростаючим вимогам користувачів до якості обслуговування. Його успішне рішення тісно пов’язане з необхідністю узагальнення вже накопиченого світового досвіду в сфері телекомунікацій і цілком залежить від ступеня технологічного впровадження передових принципів та методів передачі інформації. У свою чергу, надання послуг зв’язку гарантованої якості традиційно пов'язане з необхідністю вдосконалення систем мережного управління, у рамках яких значна увага приділяється процесам управління мережними ресурсами.

Актуальність теми. У теорії управління мережами зв'язку наукою накопичено значний теоретичний матеріал і практичний досвід, причому вагомий внесок у розвиток моделей і методів управління мережними ресурсами зробили вітчизняні й закордонні вчені, серед яких Kleinrock., Gallager., Ford.R., Fulkerson.R., Garcia-Luna-Aceves. J., Vutukury., Захаров Г.П., Вишневський В.М., Поповський В.В., Стєклов В.К., Лосєв Ю.І., Борш В.І., Поляков П.Ф., Романов О.І., Димарський Я.С., Яновський Г.Г., Назаров О.М. та ін. Разом з тим з часом сама постановка загальної проблеми й окремих задач управління мережними ресурсами істотно змінюється через необхідність обліку ряду загальних одночасно діючих факторів, до числа яких у першу чергу варто віднести наступні:

· зростання різнорідності трафіків користувачів, обумовлене насамперед постійним збільшенням мультимедійної частки в загальному обсязі абонентського навантаження;

· підвищення та розширення переліку вимог до якості обслуговування – QoS (Quality of Service), що здебільшого проявляється в необхідності підтримки диференціації послуг зв'язку одночасно за декількома показниками якості (швидкість передачі, середня затримка доставки пакетів, джитер, імовірність правильної або своєчасної доставки пакета й ін.);

· підвищення вимог до ефективності використання окремих мережних ресурсів і телекомунікаційної системи в цілому.

Спроби комплексного обліку вищевикладених тенденцій, як показує практика, супроводжуються появою новітніх концепцій активних мереж (Active Network, AN), інжинірингу трафіку (Traffic Engineering, TE), QoS-based Routing, Load-Balance Routing та ін., що визначають загальні вимоги й підходи до розв’язання проблеми управління мережними ресурсами в сучасних мультисервісних ТКС. Важливо відзначити, що в рамках цих концепцій пропонується динамічне відстеження стану системи, розширення переліку врахованих при управлінні мережних параметрів і показників якості обслуговування, реалізація багатошляхової стратегії маршрутизації та ін. Як правило, це не тільки виходить за рамки існуючих мережних технологій і протокольних рішень, але й припускає перегляд існуючих моделей, методів і самої теорії управління мережними ресурсами у бік підвищення рівня їх інформативності, функціональності й системності в цілому. У зв'язку з цим виникає наступна важлива наукова проблема, що полягає в розробці теоретичних основ управління мережними ресурсами для забезпечення їхнього збалансованого завантаження й гарантованої якості обслуговування різнорідних трафіків користувачів у мультисервісних ТКС.

Ключовим етапом успішного вирішення поставленої наукової проблеми, пов'язаного з підведенням належної теоретичної основи під існуючі та новітні мережні концепції й технології, є етап математичного моделювання, націлений на створення ефективного інструментарію адекватного опису ТКС з системних позицій. На сучасному рівні розвитку засобів математичної формалізації спостерігається закономірна тенденція до значного ускладнення й одночасного розширення спектру моделей, які використовуються при аналізі тих або інших властивостей і характеристик ТКС та здатні з різним ступенем детальності описати той чи інший аспект структурної або функціональної побудови системи.

Однак погоджене рішення всього комплексу управлінських завдань можна забезпечити лише маючи у розпорядженні цілісний, тобто багатоаспектний опис системи, який здатний адекватно формалізувати процеси управління мережними ресурсами у рамках заданих вимог. Як показав проведений аналіз, на роль ефективного засобу цілісного опису складних систем різної фізичної природи обґрунтовано претендує апарат тензорного аналізу мереж, основи якого розроблені американським ученим Г. Кроном шляхом розвитку класичного тензорного числення на випадок дискретних просторів, представлених симпліціальними моделями. До теперішнього часу спроби тензорного опису ТКС носили епізодичний характер і обмежувалися рішенням часткових завдань щодо розрахунку надійності й пропускної здатності мережі, оцінки сигнально-завадової обстановки. У цьому зв'язку тематика дисертації, що присвячена розробці теоретичних основ управління мережними ресурсами з використанням тензорних математичних моделей телекомунікаційних систем, є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами й темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності із “Національною програмою інформатизації України”, “Концепцією розвитку зв'язку України до 2010 року”, “Концепцією конвергенції телефонних мереж і мереж з пакетною комутацією в Україні” і є подальшим розвитком науково-дослідних робіт (НДР) "Трал" та "Релікт", що проводилися у Харківському університеті Повітряних сил (ХУ ПС).

Результати роботи були реалізовані в ході виконання шести НДР – “Розробка підсистеми збору й обробки радіолокаційної інформації для Військово-Повітряних сил” (шифр "Кара-Даг", ХУ ПС), “Розробка методики дослідження ефективності структур телекомунікаційних систем регіону та оптимізації розміщення об'єктів зв'язку” (шифр "Степлер"), Теоретичні дослідження режиму групового використання частотних каналів в мережах рухомого стільникового зв’язку стандартів GSM-900/1800” (шифр "Смуга-ХДРНТЦ"), “Розробка концепції обробки, аналізу та передачі даних в ІАС НКАУ” (шифр “Моніторинг-С”), “Дослідження умов та можливостей експлуатації базових станцій рухомого стільникового зв’язку стандартів GSM/DCS з використанням груп каналів (смуг радіочастот)” (Шифр “Смуга-П”), НДР №129-1 "Розробка технології побудови активних телекомунікаційних мереж, методології їх аналізу та синтезу для забезпечення розподілених інформаційно-обчислювальних систем" (ДР № 0101U005126), яка виконувалася в Харківському національному університеті радіоелектроніки (ХНУРЕ), а також у навчальному процесі ХУ ПС і ХНУРЕ.

Мета роботи – підвищення продуктивності мультисервісних ТКС за рахунок забезпечення ефективного управління їх мережними ресурсами.

Для розробки теоретичних основ управління мережними ресурсами з використанням тензорних моделей ТКС у дисертаційній роботі вирішувалися наступні завдання дослідження:

§ обґрунтування емпіричних передумов щодо необхідності вдосконалення математичних моделей ТКС шляхом аналізу сучасного стану мережних концепцій, технологій і протокольних рішень, а також перспектив їхнього вдосконалення й напрямків розвитку;

§ категоріально-тензорний опис ТКС як складної технічної системи у відповідності з вимогами принципів і постулатів системотехніки;

§ визначення понятійного апарату моделювання телекомунікаційних систем у рамках симпліціальних і тензорних формалізмів;

§ розробка симпліціальних моделей аналізу основних структурних характеристик ТКС – зв’язності, складності й структурної неоднорідності;

§ розробка системи тензорних моделей та методів розрахунку основних параметрів ТКС, що використовуються при розв’язанні задач забезпечення QoS одночасно за декількома ймовірнісно-часовими показниками, а також задач маршрутизації, розподілення мережних ресурсів, пріоритетного обслуговування та фрагментації (дефрагментації) пакетів;

§ оцінка адекватності й ефективності тензорних моделей управління мережними ресурсами з розробкою науково-практичних рекомендацій щодо їх практичної реалізації в сучасних і перспективних мультисервісних телекомунікаційних системах.

Об'єктом дослідження є процеси управління мережними ресурсами в мультисервісних телекомунікаційних системах.

Предметом дослідження є моделі та методи управління мережними ресурсами в мультисервісних ТКС.

Методи дослідження. Для обґрунтування вимог до системного опису ТКС були застосовані принципи й постулати системотехніки. Для забезпечення цілісного подання ТКС як складної системи були використані можливості теорії категорій. При розробці тензорних моделей телекомунікаційних систем було використано елементи комбінаторної топології, теорію масового обслуговування, математичний апарат тензорного числення й аналізу, а також оптимізаційні методи дослідження операцій.

Наукова новизна отриманих результатів.

Головним новим науковим результатом дисертаційної роботи є розвиток теорії управління мережними ресурсами, що грунтується на використанні тензорних моделей ТКС. Запропоновані теоретичні основи містять у собі вихідні емпіричні дані, понятійний апарат теорії, її базові тензорні моделі й тензорні методи розв’язання основних задач управління мережними ресурсами. У межах головного результату отримані наступні наукові результати:

1. Отримало подальший розвиток подання моделі ТКС у вигляді математичної категорії. Новизна полягає в тензорній інтерпретації категоріального подання телекомунікаційної системи, у рамках якого тензорні оператори дозволили конкретизувати й забезпечити прикладну направленість категоріальним засобам обліку системотехнічних вимог до математичного опису ТКС як складної системи.

2. На додаток до існуючих розроблено і запропоновано до практичного використання новий тип моделей ортогональних мереж, що використовуються при топологічному описі ТКС одновимірними симпліціальними комплексами. Новизна моделі полягає в тому, що структура системи подається у вигляді ортогональної мережі розімкнутих шляхів і внутрішніх вузлових пар (-мережі), що дозволило визначити додатковий тип систем координат подання тензорних моделей ТКС при геометризации її структури з розширенням спектра розв'язуваних за їхньою допомогою мережних задач.

3. Одержала подальший розвиток топологічна модель ТКС, представлена багатовимірним симпліціальним комплексом. Новизна моделі полягає,

по-перше, у введенні групового і розширеного структурних векторів, що дозволило при аналізі зв’язності ТКС в рамках симпліціального опису забезпечити більш повний облік особливостей структурної побудови підсистем (симплексів), що утворюють систему в цілому (симпліціальний комплекс);

по-друге, у введенні показника структурної складності телекомунікаційної системи, сформульованого на підставі її симпліціального подання, який задовольняє переліку аксіом структурної складності, що дозволило одержати більш загальну міру порівняння складності структурної побудови ТКС;

по-третє, у використанні симпліціального розкладання при аналізі структурної неоднорідності ТКС за інформаційним показником, що на відміну від відомих розкладань у рамках графових моделей дозволило одержати більш адекватні оцінки ступеня неоднорідності структури системи.

4. У рамках симпліціального опису ТКС одновимірними однопродуктовими двополюсними мережами (ОДМ) уперше запропоновані ймовірнісно-часові тензорні моделі багатошляхової доставки одиночних пакетів. Новизна моделей полягає в тензорному поданні телекомунікаційної системи неортогональною мережею або ортогональною мережею з однотипним збудженням, що дозволило на відміну від раніше відомих рішень, по-перше, надати адаптивний характер процедурам фрагментації (дефрагментації) пакетів у вузлах мережі й зорієнтувати їх на забезпечення заданих значень показників якості зв'язку – середньої затримки або ймовірності правильної доставки, по-друге, реалізувати багатошляховий безпетельний спосіб доставки фрагментів переданого пакета з контролем показників QoS уздовж кожного з розрахованих шляхів, по-третє, забезпечити аналітичне розв’язання задач розрахунку

максимальної довжини пакета, що може бути переданий між заданою парою вузлів мережі за необхідний час або з необхідною ймовірністю правильної доставки;

мінімальної затримки або максимальної ймовірності правильної доставки пакета відомої довжини між заданою парою вузлів мережі з використанням у вузлах мережі процедур адаптивної фрагментації (дефрагментації) пакетів.

Крім того, при тензорному поданні ТКС одновимірною ортогональною мережею базисних контурів і вузлових пар (-мережею) на відміну від опису телекомунікаційної системи неортогональними мережами забезпечувалося розв’язання зазначених задач у рамках єдиного тензорного подання з відмовою від використання множини різнотипних мереж (контурних і вузлових). У свою чергу, тензорні моделі ТКС, представлених неортогональними мережами, дозволили забезпечити меншу обчислювальну складність розв’язання зазначених задач у порівнянні з тензорними моделями, що грунтуються на використанні ортогональних мереж з однотипним збудженням.

5. У рамках симпліціального опису телекомунікаційної системи в евклідовому просторі одновимірною ортогональною ОДМ уперше запропонована ймовірнісно-часова тензорна модель ТКС із потоковим характером трафіка, новизна якої полягає, по-перше, у тензорному представленні ТКС одновимірною ортогональною мережею базисних контурів і вузлових пар (-мережею) і, по-друге, у використанні комбінованого збудження мережі як коваріантними, так і контраваріантними змінними, що дозволило на відміну від відомих рішень формалізувати задачу багатошляхової маршрутизації з адаптивною фрагментацією (дефрагментацією) пакетів у вузлах мережі та забезпеченням якості обслуговування одночасно за швидкісними та ймовірнісно-часовими показниками (швидкість передачі, середня часова затримка та ймовірність правильної доставки пакетів).

6. Тензорні моделі ТКС, представлені в евклідовому просторі ортогональними ОДМ, одержали подальший розвиток шляхом їхнього подання у рімановому просторі, що дозволило на відміну від відомих рішень сформулювати в аналітичному вигляді умови забезпечення гарантованої якості обслуговування одночасно за швидкісними та ймовірнісно-часовими показниками (швидкість передачі, середня затримка пакета, джитер, імовірність своєчасної доставки пакетів) з реалізацією багатошляхової стратегії маршрутизації як із попереднім розрахунком шляхів (при тензорному описі ТКС ортогональною -мережею), так і без попереднього розрахунку шляхів (при тензорному описі ТКС ортогональною -мережею).

7. Тензорні моделі ТКС, представлені однопродуктовими двополюсними мережами, одержали подальший розвиток у бік моделювання багатопродуктових багатополюсних мереж (ББМ). Новизна подібних моделей полягає в математичному поданні телекомунікаційної системи геометричним об'єктом змішаного виміру – мультитензором, що дозволило на відміну від відомих рішень одержати в аналітичному вигляді умови забезпечення кожному з множини циркулюючих у ТКС трафіків необхідного рівня якості обслуговування одночасно за швидкісними і ймовірнісно-часовими показниками шляхом розподілу між ними доступних канальних і буферних ресурсів з реалізацією багатошляхової стратегії маршрутизації.

Практична значимість отриманих результатів полягає у можливості їх безпосереднього використання у сучасних та перспективних транспортних технологіях (IP, ATM, MPLS, GMPLS) мереж наступного покоління як основи протоколів маршрутизації, забезпечення QoS, розподілу та резервування мережних ресурсів, механізмів пріоритетного обслуговування й адаптивної фрагментації (дефрагментації) пакетів у вузлах мережі відповідно до вимог концепцій Actіve Network, Traffіc Engіneerіng, QoS-based Routіng.

Особистий внесок здобувача. Всі основні наукові результати, висвітлені в дисертаційній роботі, здобувач одержав самостійно. Крім того, у статті [46] автором у рамках динамічної моделі ТКС запропонована методика одержання обмежень на змінні стану та маршрутні змінні, виконання яких гарантує задані значення часової затримки пакетів; у статті [37] автором здійснена постановка задачі управління мережними ресурсами на етапі доступу, а також обґрунтовано метод розв’язання виникаючої оптимізаційної задачі; у статті [26] автором сформульовано вимоги до математичного опису ТКС із погляду на вирішення завдань мережного рівня еталонної моделі взаємодії відкритих систем (ЕМВВС); у статті [24] автором запропонована тензорна модель дейтаграмних мереж пакетної комутації з розробкою процедури виключення надлишкових шляхів у вирішенні завдань багатошляхової маршрутизації; у статті [3] автором запропоновані тензорні діакоптичні методи розв’язання задач електромагнітної сумісності для угруповання засобів зв'язку; у статті [5] автором обґрунтовано застосування концепції інтелектуальних мереж у системах мережного управління військового призначення; у статті [36] автором обґрунтовано та здійснено постановку оптимізаційної задачі щодо забезпечення гарантованої якості зв'язку при розв’язанні задач мережного рівня ЕМВВС; у статті [7] автором проведено аналіз існуючих засобів забезпечення QoS у мережах з пакетною комутацією, а також запропоновано метод розв’язання виникаючої оптимізаційної задачі; у статті [1] автором обґрунтований вибір марківської моделі агрегованого трафіка при розв’язанні маршрутних задач у ТКС; у статті [49] автором обґрунтована доцільність реалізації стратегії управління розімкненого типу при розв’язанні задач управління доступом у рамках динамічної моделі ТКС; у статті [2] автором запропоновано підхід до симпліціального моделювання структури ТКС та аналізу зв’язності її елементів; у статті [33] автором у рамках симпліціальної моделі ТКС сформульовано аксіоми та показник структурної складності, а також проведено аналіз структурної складності ТКС різної структурної конфігурації; у статті [10] автором запропоновано підхід до тензорного моделювання ТКС в рамках одновимірних контурних мереж з розв’язанням задачі щодо розрахунку максимальної довжини пакета, переданого в мережі за заданий час.

Апробація основних положень дисертаційної роботи проводилася в ході 25 доповідей на 23 наукових і науково-практичних конференціях галузевого, державного й міжнародного рівнів, у тому числі на Науковій конференції “Інформаційні технології Військово-Повітряних сил у ХХІ сторіччі” (Харків, Харківський інститут Військово-Повітряних сил, 2001); міжнародних молодіжних форумах "Радиоэлектроника и молодежь в ХХI веке" (Харків, ХНУРЕ, 2002, 2003); міжнародних конференціях "Теория и техника передачи, приема и обработки информации" (Харків, ХНУРЕ, 2001-2004); Науково-практичній конференції „Розвиток сучасних послуг зв’язку через інтелектуальні платформи” (Київ, Укртелеком, 2001); 5–й Міжнародній конференції „Еволюція транспортних мереж телекомунікацій. Проблеми побудови, розвитку та управління” (Ялта, Український науково-дослідний інститут зв’язку, 2002); Міжнародному радіоелектронному форумі “Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития” – МРФ-2002 (Харків, Академія наук прикладної радіоелектроніки, 2002); Міжнародних науково-практичних конференціях “Проблеми управління мережами та послугами телекомунікацій в умовах конкурентного ринку” (Ялта, Український науково-дослідний інститут зв’язку, 2002, 2003); 4–й Міжнародній науково-технічній конференції “Электроника и информатика – 2002” (Москва, Московський інститут електронної техніки, 2002); 5-й Міжнародній науково-технічній конференції „АВІА-2003” (Київ, Національний авіаційний університет, 2003); Міжнародній науково-технічній конференції "Радиосвязь, телевидение и радиовещание – вчера, сегодня, завтра" (РТР-2003) (Одеса, Український науково-дослідний інститут радіо і телебачення, 2003); 5-й Міжнародній науково-практичній конференції „Системний аналіз та інформаційні технології” (Київ, Національний технічний університет України „Київський політехнічний інститут”, 2003); Військово-науковій конференції „Програмно-цільові методи планування розвитку та управління функціонуванням складних ергатичних систем” (Харків, Науковий центр бойового застосування Військово-Повітряних сил, 2003); міжнародних науково-практичних конференціях “Системы и средства передачи и обработки информации” (Одеса, Академія зв’язку України, ОНАЗ, 2003, 2004); Міжнародній науково-технічній конференції "Інформаційні технології в авіації (ITA – 2003)" (Харків, Харківський інститут Військово-Повітряних сил, 2003); International Conference “Modern Problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Science” TCSET’2004 (Lviv-Slavsko, 2004); Міжнародній конференції “Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике” (КЛИН-2004) (Ульяновськ, Ульяновський державний технічний університет, 2004).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 50 наукових працях, з яких 23 виконані без співавторства. Серед праць 33 статті в наукових журналах і збірниках наукових праць, з яких 27 надруковані у фахових виданнях, затверджених ВАК України, одна стаття – у фаховому виданні Російської Федерації, а також 17 матеріалів і тез доповідей на науково-технічних конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, семи розділів і пяти додатків. Загальний обсяг роботи становить 347 сторінок, у тому числі 283 сторінки основного тексту, 31 малюнок, 11 таблиць і 5 додатків усього на 64 сторінках. Список використаних джерел містить 302 найменування, викладених на 24 сторінках.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито зміст та стан проблеми, обґрунтовується актуальність теми дослідження, зазначається зв'язок роботи з науковими програмами і темами, формулюються мета та завдання дослідження, визначаються об’єкт, предмет та методи дослідження, формулюється наукова новизна та практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі проведено аналіз сучасного стану, тенденцій розвитку ТКС та основних вимог до них. Визначено роль та проведено змістовний огляд основних телекомунікаційних технологій, концепцій і протокольних рішень щодо управління мережними ресурсами. Огляд існуючих засобів управління мережними ресурсами показав, що більшість рішень у цій області ґрунтується переважно на евристичних схемах, найпростіших комбінаторних або потокових моделях ТКС, які здебільшого не відповідають вимогам системного характеру. Використання подібних моделей при формалізації системних за своєю суттю задач маршрутизації, розподілу канальних і буферних ресурсів часто призводить до прийняття неадекватних рішень щодо використання мережних потужностей, що врешті-решт суттєво знижує показники продуктивності і якості обслуговування. Крім того, виконано аналіз теоретичних досліджень в області управління мережними ресурсами в мультисервісних ТКС. За результатами аналізу зроблено висновок про обмеженість існуючих математичних моделей ТКС в умовах комплексних вимог новітніх мережних концепцій, наприклад Active Network, Traffic Engineering, QoS-based Routing і Load-Balance Routing, особливо щодо якості обслуговування різнорідних трафіків користувачів та забезпечення збалансованого завантаження мережі. Виділено проблемні місця й напрямки подальших насамперед системно-орієнтованих досліджень у цій області.

У другому розділі зазначено, що в процесі дослідження ТКС має розглядатися як складна система, якій притаманні чітко виражені системні властивості, тобто властивості, яких не має жоден з її елементів. На підставі аналізу системотехнічних принципів і постулатів сформульовано перелік вимог, відповідно до яких має бути організований процес математичного моделювання ТКС як складної організаційно-технічної системи. По-перше, у рамках постулату цілісності принципу фізичності пропонується організовувати процес математичного опису ТКС як цілісного об'єкта, що допускає залежно від постановки задачі й прийнятого аспекту розгляду різні варіанти декомпозиції на елементи, а при дослідженні елементів системи неприпустима втрата цілісних (системних) понять. По-друге, постулат автономності націлює на застосуванні теоретико-групових методів до створення як фундаментальних, так і прикладних теорій, що грунтуються на геометризації представлення складних систем із введенням адекватних метрик, тобто залежно від особливостей розв'язуваної проблеми або задачі ТКС може розглядатися в адекватному їй геометричному просторі з певним типом метрики. По-третє, з погляду постулату цілісності розмаїтість декомпозицій сприяє виявленню (збереженню) системних властивостей, а в рамках постулату автономності та принципу моделювання телекомунікаційна система в загальному випадку може бути представлена кінцевою множиною моделей в адекватній метриці, кожна з яких характеризує певну сторону (аспект) ТКС. По-четверте, постулат додатковості орієнтує на те, що складні системи, знаходячись у різних умовах, можуть проявляти різні системні властивості, у т.ч. альтернативні, а в ряді випадків навіть суперечливі, тобто залежно від мети дослідження модель ТКС має забезпечити процес аналізу (синтезу) з урахуванням умов розгляду системи.

Зазначено, що врахування зазначених системотехнічних вимог накладає істотний відбиток на зміст теоретичних основ управління мережними ресурсами в ТКС, припускаючи розширення змісту їх основних складових – понятійного апарата, базових моделей та ін. Для визначення основних напрямків задоволення сформульованих вимог щодо принципів моделювання ТКС використано можливості теорії категорій, за допомогою якої вдалося забезпечити багатоаспектний опис системи в залежності від рівня абстрагування на одному із трьох рівнів: спостережуваних множин, базових моделей та каркасів. Властивості системи, які зазвичай формулювалися через її внутрішню структуру, у рамках теорії категорії досить ефективно виражалися через властивості її відображень в однотипні з нею системи. Зсув акценту з вивчення внутрішньої структури системи на аналіз її зовнішніх зв'язків є характерною рисою реалізації можливостей теорії категорій при дослідженні системних об'єктів.

Для визначення основних підходів щодо прикладної реалізації досить загальних за своїм змістом ідей і принципів, закладених у категоріальний підхід, здійснено тензорну інтерпретацію категоріального опису ТКС, яка ґрунтувалася на подвійності понять категорія й тензор, об'єкт категорії і проекція тензора в одній із систем координат, декомпозиція й система координат, модель (підмодель) і простір (підпростір), морфізми (моделі стану каркасу) і матриці координатного перетворення. Математичний апарат тензорного аналізу мереж, розроблений американським ученим Г. Кроном, припускає координатний опис систем і узагальнює ідеї тензорного числення на випадок дискретних просторів-структур. Його розробки в області тензорного аналізу базуються на використанні інваріантних величин – тензорів, які, у свою чергу, подібно каркасу зв'язують перетворення структури складних систем.

В рамках тензорного аналізу мереж було забезпечено можливість спільного дослідження структури ТКС і процесів інформаційного обміну, що протікають у ній. На практиці в рамках координатного опису ТКС складність розв’язання основних задач щодо управління мережними ресурсами може бути значно знижена за рахунок вдалого вибору систем координат подання моделі системи, у рамках яких вдалося б одержати якомога повнішу інформацію про особливості розв'язуваної задачі. Оскільки при тензорному моделюванні ТКС забезпечується взаємодоповнення можливостей дифференціальної геометрії та комбінаторної топології, то як додаткове джерело інформації при виборі шуканої системи координат (СК) залучено топологічний опис ТКС, представлений у вигляді p-мереж, яким відповідають симпліціальні моделі розмірності p. Категоріально-тензорне представлення визначило основні напрямки подальшої розробки математичних моделей ТКС, що ґрунтуються на координатному описі системи і визначають необхідність геометризації її структури з адекватним введенням понять простору, метрики та систем координат.

У третьому розділі здійснено топологічний опис ТКС шляхом представлення її структури одновимірним симпліціальним комплексом – одновимірною мережею S=(U,V), де множина U нульвимірних симплексів моделює вузли мережі, а множина V одновимірних симплексів – гілки мережі (рис.1).

Рис. 1. Приклад одновимірної мережі

Адаптовано понятійний апарат тензорного аналізу мереж щодо систем телекомунікацій шляхом введення базових мережних термінів і понять: вузол, гілка, шлях, остов, контур (), вузлова пара (), внутрішня вузлова пара (), розімкнутий шлях () та ін., визначено їх взаємозв'язок для мереж різної конфігурації. Введено алгебру шляхів у мережі на підставі операції алгебраїчного підсумовування.

З метою подальшого тензорного опису ТКС здійснена геометризація її топологічної моделі за рахунок введення понять простору, систем координат і координатних осей. Структура мережі визначила векторний n-вимірний дискретний простір, розмірність якого відповідає числу гілок у мережі. У рамках обраного простору виділено два типи пар ортогональних підпросторів: підпростір контурів і вузлових пар, а також підпростір розімкнутих шляхів і внутрішніх вузлових пар. Як системи координат уведених на гілках мережі дискретних просторів (підпросторів) виступали множини відповідних базисних шляхів (контурів, розімкнутих шляхів та вузлових пар). Самі ж базисні шляхи визначали в цих СК координатні осі. У рамках уведеної алгебри шляхів визначені правила координатного перетворення як у рамках одного простору (підпростору), так і між системами координат різних просторів (підпросторів). Ці правила формалізовані у вигляді відповідних матриць координатного перетворення, які для першого випадку мають вигляд квадратної невиродженої матриці (,і,), а для другого – прямокутної матриці (,і і). Встановлено, що ортогональність введених просторів (підпросторів) визначалась виконанням наступних умов:

,

де I – одинична матриця.

Здійснено топологічний опис ТКС з використанням багатовимірних симпліціальних комплексів для аналізу її зв’язності, структурної складності та структурної неоднорідності. Для аналізу зв’язності ТКС було використано математичний апарат q-аналізу, в рамках якого основною характеристикою зв’язності є перший структурний вектор

, (1)

що відображає структуру симпліціального комплексу в цілому. Компоненти першого структурного вектора фіксують наявність q-незв'язних між собою груп симплексів у комплексі, при цьому зв’язність симплексів усередині подібних груп визначається індексом q. Оскільки перший структурний вектор (1) якісно враховує характер структур підсистем (симплексів), апарат q-аналізу було доповнено такими важливими поняттями як розширений структурний вектор і груповий структурний вектор, відповідно

та , (2)

де груповий структурний вектор визначає склад q-зв’язних груп симплексів розмірності, а – кількість симплексів, що входять до складу j-ї групи симплексів.

Введення групового та розширеного структурних векторів дозволило детальніше підійти до процесів q-аналізу зв’язності ТКС та забезпечити більш повний облік особливостей структурної побудови підсистем (симплексів), що утворюють систему в цілому (симпліціальний комплекс). Шляхом узагальнення аксіом складності структурної побудови систем сформульовано показник структурної складності ТКС як функції компонент векторів (2)

.

На розрахункових прикладах (табл.1) продемонстровано адекватність запропонованої моделі аналізу структурної складності в рамках сформульованого показника, що підтверджувалося відповідністю наведеним у роботі аксіомам складності.

Таблиця 1

Приклади розрахунку структурних векторів і показників структурної складності

для різних моделей ТКС, представлених у вигляді графів і симпліціальних комплексів

Запропонований математичний апарат аналізу структурної складності, що базується на дослідженні алгебраїчної зв’язності, рекомендується використати при розв’язанні задач порівняльного аналізу різних структур ТКС, а також при одержанні систематичної процедури для декомпозиції системи на підсистеми або об'єднання цих підсистем у єдине ціле. Крім того, через структурну оцінку системної складності можна висвітлити аспект динамічної (функціональної) складності телекомунікаційної системи.

Моделювання ТКС симпліціальними комплексами також відкрило нові можливості щодо аналізу структурної неоднорідності системи. Застосування симпліціального розкладання дозволило розвити підхід, що ґрунтується на оцінці структурної неоднорідності за інформаційним показником. Якщо K – симпліціальний комплекс, заданий множиною симплексів, то цю множину можна розглядати як повну групу несумісних подій, визначаючи частоту (імовірність) кожної події за формулою , де k – число класів симплексів у комплексі. Ентропію такої системи, пов'язану з вихідним комплексом, можна розглядати як міру складності щодо даного розкладання на окремі симплекси. Тоді імовірнісна схема для повної групи подій та кількість структурної інформації визначаються у такий спосіб:

, .

Кількість структурної інформації визначається як міра структурної неоднорідності. Тобто чим одноманітніше структура, тим менше особливостей у зв'язках її елементів, тим менше структурної інформації в ній закладено. Результати порівняльного аналізу структурної неоднорідності ТКС за інформаційним показником з використанням симпліціального розкладання (СР), хроматичного розкладання (ХР) та розкладання орбіт (РО) групи автоморфізмів графа підтвердили адекватність отриманих оцінок і переваги симпліціального розкладання, що на відміну від інших порівнюваних розкладань не завищувало оцінюваний показник (табл.2), наприклад для регулярних за своїм характером структур №4 та №5.

Таблиця 2

Приклад розрахунку показників структурної неоднорідності ТКС,

структури яких представлені графовими () та симпліціальними () моделями

У четвертому розділі з метою подальшого тензорного узагальнення введено до розгляду на рівні постулату першого узагальнення Г. Крона математичні моделі елементів ТКС у вигляді аналітичних виразів для оцінки ймовірнісно-часових показників QoS, які отримано за допомогою теорії масового обслуговування, експериментальним шляхом та ін.

Запропоновано тензорні моделі та методи розрахунку основних ймовірнісно-часових характеристик ТКС, представлених неортогональними однопродуктовими двополюсними мережами. Подання обмежувалося контурною мережею (-мережею) і вузловою мережею (-мережею). Необхідна цілісність математичного опису телекомунікаційної системи досягалася за рахунок взаємопов'язаного розгляду тензорної моделі ТКС – двовалентного змішаного тензора одночасно в декількох координатних системах: гілок мережі, базисних контурів і базисних вузлових пар мережі. Неортогональний характер тензорних моделей ТКС виражався в різній розмірності аналізованих СК, що визначило прямокутну структуру матриць координатного перетворення і, які формалізували взаємозв'язок отриманих рішень.

В основу ймовірнісно-часових тензорних моделей ТКС, що представлені -мережами, покладено тензорні рівняння

T=RH, (3) P=YH, (4)

де T – коваріантний тензор затримок передачі пакетів, H – контраваріантний тензор довжин пакетів у базисних шляхах мережі, P – коваріантний тензор представлених у логарифмічній формі ймовірностей правильної доставки пакетів, R – двічі коваріантний тензор відносних затримок пакетів у базисних шляхах мережі, Y – двічі коваріантний тензор, проекція якого у СК гілок мережі – діагональна матриця з елементами , – ймовірність бітової помилки (BER – Bit Error Rate) в гілці.

Рівняння (3) і (4) у СК гілок мережі та базисних контурів набудуть відповідно вигляду

.

Відповідно до категоріального подання тензорних моделей ТКС, що представлені -мережами, вдалося забезпечити аналітичний розрахунок довжини пакета, який може бути переданий шляхом його фрагментації (дефрагментації) між заданою парою вузлів мережі за необхідний час () або із необхідною ймовірністю правильної доставки () за формулою

або .

При цьому координата вектора, що відповідає обраному напрямку передачі, визначила шукану довжину пакета, який можна передати в мережі за необхідний час або із необхідною ймовірністю правильної доставки. Інші координати вектора визначають порядок фрагментації (дефрагментації) пакета у вузлах мережі.

Імовірнісно-часові тензорні моделі ТКС, представлені -мережами, ґрунтуються на тензорних рівняннях

H=LT, (5) H=XP, (6)

де L – двічі контраваріантний тензор пропускних здатностей базисних шляхів мережі,

X – двічі коваріантний тензор, проекція якого у СК гілок мережі – діагональна матриця з елементами.

Рівняння (5) і (6) у СК гілок мережі та СК базисних вузлових пар набудуть вигляду

, (7) , (8) , (9) . (10)

Відповідно до категоріального подання тензорних моделей ТКС, представлених -мережами, з використанням виразів (9) та (10) вдалося тензорним методом забезпечити аналітичний розрахунок мінімальної часової затримки або максимальної ймовірності правильної доставки пакетів відомої довжини шляхом їхньої фрагментації (дефрагментації) між заданою парою вузлів мережі за формулами

та .

Координати вектора регламентують порядок фрагментації (дефрагментації) пакета у вузлах мережі, а координати векторів та визначать відповідно мінімальний час і максимальну ймовірність правильної доставки пакета між заданою парою вузлів мережі.

У п’ятому розділі розроблено систему тензорних моделей і методів розрахунку основних ймовірнісно-часових характеристик ТКС, представлених в евклідовому просторі ортогональними однопродуктовими двополюсними -мережами. Особливістю ортогональних мереж є їх універсальність, тому що процес збудження мережі носить комбінований характер, що дозволило розглядати -мережі та -мережі як окремий випадок прояву -мереж.

При тензорному моделюванні ТКС -мережею її структура розглядалася як множина базисних контурів і вузлових пар. Часова тензорна модель ТКС, представлена в евклідовому просторі -мережею, ґрунтувалась на тензорному рівнянні (5). До розгляду приймалися дві системи координат – СК гілок мережі та СК базисних контурів та вузлових пар. Правила координатного перетворення були формалізовані за допомогою невироджених квадратних матриць відповідно коваріантного та контраваріантного перетворень. Надалі індекси в цих матрицях, коли мова йтиме про -мережі, будуть опущені.

З’ясовано, що взаємозв'язок проекцій тензора довжин пакетів H в СК гілок мережі й СК базисних контурів і вузлових пар здійснюється відповідно до матриці контраваріантного перетворення, а взаємозв'язок проекцій тензора часових затримок пакетів T здійснюється відповідно до матриці коваріантного перетворення, тобто

, (11) , (12)

де, – представлені у вигляді n-вимірних векторів проекції тензорів H і T у СК базисних контурів та вузлових пар.

Відповідно до постулату другого узагальнення Г. Крона тензорне рівняння (18) у СК базисних контурів і вузлових пар набуває вигляду

, (13)

в якому проекції двічі контраваріантного метричного тензора L при зміні координатної системи перетворюються в такий спосіб: .

Для розв’язання задачі щодо розрахунку мінімальної затримки пакета відомої довжини між заданою парою вузлів з урахуванням спеціальної форми складових рівняння (13)

використано вирази

та,

в яких координати вектора визначили шукану затримку пакета, координати вектора задають довжину пакета, а забезпечення гарантує відсутність контурів (петель) і мінімально однаковий час затримки фрагментів пакета уздовж кожного з розрахованих маршрутів доставки між заданою парою вузлів.

Для розв’язання задачі щодо розрахунку максимальної довжини пакета, переданого в мережі за заданий час, рівняння (13) було представлено у вигляді

при,(14)

де вектори і відомі, причому координати за визначенням дорівнюють нулю, оскільки визначають довжини пакетів, які надходять або убувають із мережі через її внутрішні вузли. Координата кількісно характеризує необхідну затримку передачі між заданою парою вузлів. Тоді з виразу (14) можна розрахувати вектор, тобто

,

координата якого визначає максимальну довжину пакета, що може бути переданий між заданою парою вузлів мережі за час. Остаточне розв’язання задачі полягало у розрахунку вектора із виразу (11).

За основу імовірнісної тензорної моделі ТКС, представленої в евклідовому просторі -мережею було прийнято тензорне рівняння (4). З’ясовано, що взаємозв'язок проекцій тензора імовірностей правильної передачі пакетів P здійснюється відповідно до матриці коваріантного перетворення, тобто

,

де – представлена у вигляді n-вимірного вектора проекція тензора P у системі координат базисних контурів та вузлових пар.

Тензорне рівняння (4) у СК базисних контурів і вузлових пар набуває вигляду

, (15)

в якому проекції двічі коваріантного метричного тензора Y при зміні координатної системи перетворюються в такий спосіб: .

Для розв’язання задачі щодо розрахунку максимальної ймовірності правильної доставки пакета відомої довжини між заданою парою вузлів мережі відповідно до рівняння (15) було отримано наступні формули:

, (16) (17)

при

.

Координати вектора задають довжину пакета, вектор дорівнює нулю, гарантуючи відсутність контурів (петель) і максимально однакову ймовірність правильної доставки фрагментів пакета уздовж кожного з розрахованих маршрутів між заданою парою вузлів. Координати вектора (17) визначають максимальну ймовірність правильної доставки фрагментів пакету однакову уздовж кожного з розрахованих маршрутів, а за відомими складовими (16) та вектора можна знайти шукані значення координат вектора з виразу (11), визначивши тим самим остаточне розв’язання поставленої задачі.

Для розв’язання задачі щодо розрахунку максимальної довжини пакета, переданого в мережі із заданою ймовірністю правильної передачі шляхом його фрагментації в мережних вузлах, було використано вираз

при, (18)

у якому характеризує необхідне значення ймовірності правильної доставки пакета між заданою парою вузлів, а координата визначає шукану довжину пакета. Грунтуючись на розрахованому векторі (18), кінцевий розв’язок задачі визначив вектор (11).

З метою усунення надлишкових шляхів доставки фрагментів пакету у результаті аналітичного розв’язання вищезгаданих задач в ТКС, представлених -мережами, запропонована адаптивна процедура їх виключення, що носить, у загальному випадку, ітераційний характер. Застосування процедури виключення надлишкових шляхів до розв’язання задачі багатошляхової доставки пакета в ТКС також дозволило адаптивно обирати необхідну кількість маршрутів та одержати розв’язок задачі пошуку найкоротшого шляху в мережі.

Використання тензорних полів при математичному описі ТКС у рамках тензорного аналізу дозволило значно розширити область застосування отриманих моделей, зокрема, у бік моделювання динаміки зміни вимог