Київський національний університет імені Тараса Шевченка

На правах рукопису

Махорт Андрій Пилипович

УДК 519.86

МОДЕЛЮВАННЯ ТА РОЗРАХУНОК ВПЛИВУ

ВНУТРІШНІХ ТА ЗОВНІШНІХ ЧИННИКІВ

НА ЦІНОУТВОРЕННЯ В ЕКОНОМІЧНІЙ СИСТЕМІ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертацiї

на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова Національної академії наук України.

доктор фізико-математичних наук, професор ГОНЧАР Микола Семенович, завідувач відділу математичного моделювання Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України

доктор фізико-математичних наук, професор Капустян Володимир Омелянович, завідувач кафедри математичного моделювання економічних систем Національного технічного університетету України "КПІ", (м. Київ)

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Горбачук Василь Михайлович, старший науковий співробітник відділу математичних методів дослідження операцій Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України, (м. Київ)

Львівський національний університет імені Івана Франка, факультет прикладної математики та інформатики, кафедра інформаційних систем, (м. Львів)

Захист відбудеться "09" червня 2005р. об 16 годині на засіданні спеціалі-зованої вченої ради Д26.001.35 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, Київ, просп. Глушкова, 2, корп.6, ауд.40.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий "06" травня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35,

кандидат фіз.-мат. наук, доц. П.М. Зінько

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Актуальність дисертаційної роботи обумовлена необхідністю дослідження проблеми встановлення рівноваги в економічних системах. Серед різних математичних моделей і методів розв'язання цієї проблеми виокремлюється підхід, який базується на вальрасовому принципі рівноваги. Цьому напряму економічних досліджень приділено достатньо уваги, про що свідчить кількість публікацій, присвячених подібним дослідженням. Варто згадати роботи Леонтьєва, Самуельсона, Ерроу, Дебре, Гейла, Куна, Нікайдо, Узава [Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984, - 293с.] Але певні задачі лишаються досі нерозв'язаними, зокрема такі, як питання встановлення рівноваги в економічній системі, в якій наявні монополісти. На модельному рівні це питання майже зовсім не розроблено.

Загалом вивчення економічних систем вальрасового типу відбувається в рамках класичного опису економічних систем. Складові класичного опису наступні: споживачі характеризуються функцією корисності, а фірми - за допомогою оптимальних планів.

Опис споживачів за допомогою функції корисності не є вичерпним. Втрачається важливий момент, пов'язаний зі стохастичністю вибору споживача. В той же час функція корисності не є реально існуючою економічною величиною і характеризує ідеалізовану картину споживання товарів.

З іншого боку, опис фірм за допомогою оптимальних планів передбачає, що взаємодія між фірмами не береться до уваги. В реальній економічній системі взаємодія між фірмами існує. Важливим моментом класичного опису є принцип максимізації прибутку фірм. Цей принцип не можна вважати таким, що має виконуватись беззаперечно. Зокрема, в реальній економіці, за умови конкуренції, важко визначити - чи є вибрана стратегія поведінки певної фірми оптимальною. Крім того, максимізація прибутку вимагає існування в економічній системі деякого рівноважного вектора цін, на формування якого не впливають фірми, що діють в економічній системі. Насправді фірми можуть впливати на формування рівноважного вектора цін. Також принцип максимізації прибутку передбачає наявність досконалої конкуренції в економічній системі. Тому класичний підхід не може цілком адекватно описувати економічні системи перехідного типу, в яких конкуренція не розвинута в достатній мірі.

Класичний опис не дозволяє всебічно дослідити вплив наявності монополістів в економічній системі на розвиток економічних процесів. З економічної точки зору наявність монополістів в економічній системі неоднозначно впливає на економічну динаміку. Прагнення монополістів до надприбутків може призводити до дискримінації інших суб'єктів економічної системи (фірм-немонополістів). Важливо знайти метод, реалізація якого надала б змогу встановити в економічній системі взаємну збалансованість у споживанні, що усунуло б дискримінацію. Дослідження економічної системи за допомогою функції корисності не дає можливості визначити умови на монопольні ціни, за яких виробництво всіх фірм буде прибутковим. Певний вибір функції корисності дозволяє лише змоделювати попит в економічній системі, але не дозволяє з'ясувати вплив монополістів на ціноутворення, оскільки зміна величин, що характеризують монополістів, вимагатиме зміну вибору функції корисності.

Іншим суттєвим моментом є те, що моделі економіки вальрасового типу, наприклад Ерроу-Дебре, не можуть використовувати статистику міжгалузевого балансу для аналізу економічної системи. Виникає невідкладна потреба розробки економічної моделі, яка могла б використати таку економічну статистику, оскільки статистика міжгалузевого балансу містить всю необхідну для аналізу інформацію, зокрема, про економіку України.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України згідно плану робіт по темі "Теоретичне дослідження динаміки відкритої економічної системи за наявності монополій та статистичної механіки густих середовищ" (державний реєстраційний номер 0198U004764), та темі "Моделювання процесів на фондовому ринку" (державний реєстраційний номер 0101U004482).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є пошук співвідношень між величинами, що характеризують ізольовану та відкриту економічні системи, в яких наявні монополісти. Співвідношення мають забезпечити побудову алгоритму знаходження розв'язків нелінійних рівнянь, які описують економічну систему і процес встановлення в ній рівноваги в рамках моделі економіки з незмінними інтересами споживачів. Зазначені розв'язки задачі про рівновагу в економічній системі мають надати інформацію про певні економічні параметри, за допомогою яких можна виявляти фактори, що дестабілізують економічну систему, знаходити шляхи поліпшення ситуації і тим самим регулювати розвиток процесів. В підсумку функціонування економіки має бути ефективним. На основі результатів теоретичного дослідження для з'ясування причин кризових явищ та шляхів їх усунення буде виконано практичні розрахунки та проведено аналіз стану і виявлено потенційні можливості економіки України.

Об'єктами дослідження є ізольована та відкрита економічні системи, в яких наявні такі суб'єкти економічномії діяльності як монополісти.

Предметом дослідження є вплив монополізму, як зовнішнього, так і внутрішнього, та вибраної системи оподаткування на ціноутворення в економічних системах.

Методи дослідження. Розв'язання поставлених в дисертаційній роботі задач вимагало розробки нових методів та алгоритмів, які базуються на використанні ітераційних методів розв'язання нелінійних рівнянь, зокрема методу нерухомої точки, оптимізаційних методів та методів теорії матриць.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі в рамках моделі економіки з незмінними інтересами споживачів вперше

розвинуто опис економічних систем, в яких відсутня досконала конкуренція, за допомогою зазначеної математичної моделі;

для моделі ізольованої економічної системи за наявності монополістів запропоновано алгоритм побудови розв'язків задачі про економічну рівновагу;

вивчено умови на задані характеристики ізольованої економічної системи за наявності монополістів, виконання яких дозволяє отримати аналітичні вирази розв'язків задачі про економічну рівновагу;

досліджено вплив монополістів на ефективність функціонування в економічній системі решти фірм (галузей) і вказано схему оптимізації негативного впливу;

знайдено граничні оцінки рівнів споживання монополістів в економічній системі, за яких потреби кожної з фірм, що складають економічну систему, задовольняються якомога повніше, але так, щоб в економічній системі не відбувалась дискримінація певних галузей або фірм;

для моделі відкритої економічної системи побудовано розв'язки задачі про економічну рівновагу і вивчено залежність розв'язків від структури торгівлі економічної системи з зовнішньо-економічним оточенням;

знайдено умови на задані характеристики відкритої економічної системи, за яких виконуватиметься умова торговельного балансу;

запропоновано метод коригування заданих характеристик для підвищення ефективності функціонування відкритої економічної системи;

досліджено стратегію оподаткування у випадку наявності монополістів в економічній системі в рамках опису за допомогою моделі економіки з незмінними інтересами споживачів;

за допомогою запропонованих математичних моделей проведено аналіз стану економіки України, її реакцію на можливі негативні монопольні впливи, розглянуто чинники, які призводять до виникнення монопольних впливів.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертації, відкривають можливість зрозуміти особливості впливу зовнішніх та внутрішніх чинників на ціноутворення в економічній системі, в якій наявні монополісти. Виконані дослідження надають змогу у подальшому вивченні економічної системи, в якій наявні монополісти, використати раніше розроблену для економічної системи без монополістів теорію оподаткування. Доведені в дисертаційній роботі теореми та знайдені зв'язки є основою для аналізу реальних економічних систем. Чисельні розрахунки, проведені в дисертаційній роботі, дозволили оцінити реакцію економіки України на можливі монопольні стрибки цін в енергетичних галузях.

Особистий внесок здобувача. У спільній публікації [2] автором одержані умови, виконання яких забезпечує реалізацію можливості оптимального вибору розв'язків у моделі ізольованої економічної системи за наявності монополістів. У публікації [6] автором розв'язано поставлену задачу про знаходження умов рівноваги у відкритій та ізольованій економічних системах, знайдено оцінки рівнів споживання монополістів, за виконання яких монополісти не дискримінують інших суб'єктів економічної діяльності. У публікації [8] відповідно до поставленої задачі автором знайдено алгоритм розв'язання задачі, розширено на випадок наявності монополістів в економічній системі стратегії оподаткування і зроблені чисельні розрахунки для виявлення впливу монопольних стрибків цін на стан української економіки.

Апробація результатів дисертації. Основні результати доповідались

на семінарах у Інституті теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України (1996 - 2004),

наукових сесіях Інституту теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України (2002, 2003),

на Міжнародних наукових конференціях з дослідження динамічних систем і стабільності (Dynamical system and Stability Investigation, Київ, 1999, 2001),

на Міжвідомчій аналітично-консультативній раді з питань розвитку продуктивних сил і виробничих відносин при Кабінеті Міністрів України (1997-2002),

на Київський Боголюбівський міжнародній науковій конференції (Modern problems of mathematics and theoretical physics, Київ 2004),

на семінарі "Моделювання та оптимізація систем з неповними даними" у Київському національному університеті ім. Т.Шевченка, факультет кібернетики (2004),

на семінарі кафедри Математичного моделювання економічних систем Національного технічного університету України "КПІ" (2005).

Публікації. За темою дисертаційної роботи виконано вісім робіт, п'ять з яких [1-5] опубліковані у вигляді статей у фахових наукових журналах, а три [6-8] у вигляді матеріалів конференції.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі Вступу, чотирьох Розділів, в кінці кожного з яких є висновки про одержані в розділі результати, Висновків і Списку використаних джерел. Робота викладена на 131 сторінках, містить одну таблицю і список цитованої літератури, який складається з 65 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У Вступі подано короткий огляд робіт, які присвячені дослідженню проблеми встановлення рівноваги в економічних системах вальрасового типу. Обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи і сформульовано мету роботи. Подано загальну характеристику дисертації, викладено короткий зміст кожного розділу. Відзначено наукову новизну основних результатів, які отримані у дисертаційній роботі.

В першому розділі "Ізольована економічна система за наявності монополістів" досліджуються умови встановлення економічної рівноваги в економічній системі, яка не взаємодіє з зовнішнім оточенням. Це означає, що кожна фірма, яка утворює економічну систему, споживає лише вироблені в економічній системі товари. Дослідження такої економічної системи важливе, оскільки вивчення більш реалістичної відкритої економічної системи може бути зведено до вивчення саме ізольованої економічної системи. Розглядається ефективна модель обміну, в якій вважається, що структура споживання товарів певними виробниками в точності відповідає структурі їх виробництва.

У підрозділі 1.1 викладені теоретичні засади математичного опису ізольованої економічної системи за наявності монополістів. Опис ґрунтується на використанні моделі економіки з незмінними інтересами споживачів, де кожна фірма, що складає економічну систему, характеризується вектором попиту, побудованому за допомогою деякої структурної матриці. Компоненти цієї структурної матриці визначають технологічні коефіцієнти виробництва, а також і споживання товарів певними фірмами в економічній системі. Економічна рівновага в системі визначається умовою рівності попиту і пропозиції. Така умова подається системою нелінійних рівнянь:

(1)

- вектор випусків товарів, - вектор цін, - відповідно елементи технологічної матриці і елементи матриці попиту, для яких у випадку ефективної моделі обміну має місце рівність , - множина індексів всіх фірм, які утворюють економічну систему. Монополісти нумеруються індексами з множини , а немонополісти - .

Підрозділ 1.2 містить алгоритм побудови розв'язків нелінійних рівнянь, що описують економічну систему. Розробка алгоритму побудови розв'язків полягає у знаходженні операторного рівняння, за допомогою якого можна було б визначити, наприклад чисельно, прийнятні розв'язки, що забезпечуватимуть економічну рівновагу в системі. Прийнятність розв'язків полягає у тому, що, з одного боку, рівноважні ціни і обсяги випусків товарів, за яких в економічній системі встановлюватиметься рівновага, були б додатніми, а з іншого, значення рівноважних цін і обсягів випусків товарів мають забезпечувати незбитковість виробництва фірм в економічній системі, якщо характеристики економічної системи допускають таку можливість (не слід виключати можливості існування збиткових виробництв в економічній системі на певному етапі її функціонування).

Задача розв'язується наступним чином: від пошуку рівноважних цін і обсягів випусків товарів здійснюється перехід до знаходження нових невідомих - ступеней прибутковості фірм, які задаються компонентами вектора . Відповідним чином записується і умова рівності попиту і пропозицій, з якої одержується рівняння для визначення вектора . Доведено теорему про необхідні і достатні умови існування вектора .

Теорема 1. Нехай невід'ємна матриця продуктивна і нерозкладна. Необхідною і достатньою умовою існування додатного розв'язку системи рівнянь (1) для заданого додатного вектора монопольних цін є існування діагональної матриці такої, що її діагональні матричні елементи пов'язані з компонентами вектора ступенів прибутковості наступним чином

а для компонент заданого вектора обсягів випусків товарів справедливе представлення

де вектор строго додатний розв'язок системи рівнянь

За відомими ступенями прибутковості визначити рівноважні ціни і обсяги випусків товарів досить нескладно. Натомість складнощі, які були пов'язані зі знаходженням рівноважних цін і обсягів випусків товарів безпосередньо з умови рівності попиту і пропозиції в економічній системі, з'являються тепер при визначенні ступеней прибутковості фірм. Тим не менше, такій підхід до розв'язання задачі про економічну рівновагу має певні переваги. Зокрема, оскільки умова рівності попиту і пропозиції в економічній системі подається системою нелінійних рівнянь, то при визначенні з цих рівнянь невідомих цін і обсягів випусків товарів взагалі кажучи невідома область фазового простору, утвореного вектором цін і вектором обсягів випусків товарів, в якій знаходитимуться економічно прийнятні розв'язки. Тому, навіть при застосуванні чисельних методів розв'язування нелінійних рівнянь, не завжди вдається знайти розв'язки, що одночасно забезпечуватимуть встановлення рівноваги в економічній системі і ефективне функціонування окремих складових економічної системи. Натомість при визначенні ступеней прибутковості фірм області знаходження економічно прийнятних розв'язків відома. Справді, якщо ступінь прибутковості певної фірми більша за одиницю, то така фірма буде прибутковою. Задача знаходження невідомих спочатку розв'язується у випадку слабкої взаємодії між монополістами, тобто тоді, коли вважається, що для кожного монополіста частка споживання товарів решти монополістів є малою в порівнянні зі споживанням товарів інших фірм, які складають економічну систему. В цьому випадку частиною членів, які є малими, у рівняннях, що характеризують поведінку економічної системи, можна знехтувати. Будується наближене операторне рівняння, за допомогою якого можна отримати розв'язки.

(2)

- вектор ступеней прибутковості фірм-немонополістів, - вектор, побудований за матрицею, оберненою до головного мінора технологічної матриці.

Формулюються теореми, умови яких забезпечують існування і єдиність додатних розв'язків операторного рівняння.

Теорема 2. Для кожного значення параметрів для яких виконуються умови:

невід'ємна продуктивна невироджена матриця,

існує єдиний вектор який розв'язує операторне рівняння (2). Для компонентів вектора має місце оцінка

Доведення теорем ґрунтується на принципі нерухомої точки і властивостях стискуючого оператора.

Розв'язки наближених рівнянь використовуються для знаходження розв'язків точних рівнянь.

Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 2 про існування та єдиність розв'язку операторного рівняння (2), невід'ємна матриця продуктивна і нерозкладна, а вектор і побудований за ним вектор задовольняють умовам

де компоненти вектора визначаються формулою

а компоненти вектора співвідношеням

Тоді існує позитивний розв'язок операторного рівняння

і його можна побудувати за розв'язком операторного рівняння (2). Для компонент вектора матиме місце оцінка

Основні результати, наведені в першому розділі, опубліковані в роботі [1].

Другий розділ називається "Точні розв'язки задачі про рівновагу в ізольованій економічній системі за наявності монополістів". В цьому розділі проводиться подальше дослідження ізольованої економічної системи за наявності монополістів. Вивчається модель виробництва, в якій вважається, що структура споживання товарів певними виробниками може відрізнятись від структури їх виробництва.

У підрозділі 2.1 наводяться основні засади опису економічної системи за допомогою моделі виробництва, вони базуються, як і у випадку ефективної моделі обміну, на використанні моделі економіки з незмінними інтересами споживачів. Поряд зі структурною матрицею, що визначає технології виробництва, економічна система характеризується також і іншою матрицею (попиту), компоненти якої визначають споживання товарів фірмами або галузями. Кожна фірма характеризується, як і раніше, вектором попиту, який тепер будується за матрицею попиту. Подається зв'язок між описами економічної системи за допомогою ефективної моделі обміну і моделі виробництва.

У двох наступних підрозділах 2.2, 2.3 вивчаються особливості опису економічної системи, які можуть полегшити знаходження розв'язків задачі про економічну рівновагу. Зокрема, вивчаються умови побудови аналітичних виразів точних розв'язків нелінійних рівнянь, що визначають рівність попиту і пропозиції в економічній системі.

У підрозділі 2.2 розглянуто випадок симетричності структурної матриці ефективної моделі обміну і ефективної матриці моделі виробництва. Для такого випадку знайдено аналітичні вирази розв'язків поставленої задачі і одержано умови прибутковості фірм, що складають економічну систему. Знайдені вирази дозволили дати умовам прибутковості фірм просту і очікувану економічну трактовку. Рівень монопольних цін не повинен перевищувати певного рівня, оскільки в тому випадку, коли таке перевищення наявне, фірмам, які споживають товари монополістів, може не вистачити коштів для забезпечення технологічного процесу свого виробництва всіма необхідними складовими, тому що, за умов рівноваги в економічній системі, ціни на товари, вироблені фірмами-немонополістами, не завжди можуть досягти такого рівня, який би влаштовував виробників. Інакше кажучи, не знайдеться покупців товарів фірм-немонополістів за цінами, які б влаштовували ці фірми, тоді як монополісти, підвищівши ціни на свої товари, практично завжди отримують бажаний рівень прибутку. Інший тип обмежень в умовах прибутковості - це обмеження на обсяги випусків товарів немонополістів, які, як і монопольні ціни, вважаються фіксованими. Очевидно, що для оптимізації виробничих витрат фірми-немонополісти мають випускати тільки таку кількість товарів, яка відповідає попиту, а випуск товарів в більших обсягах лише збільшить витрати.

У підрозділі 2.3 виявлено, що якщо за допомогою заданих характеристик економічної системи (вектора випусків товарів немонополістами, монопольних цін або доданих вартостей монополістів, в залежності від того, розглядається ефективна модель обміну, чи модель виробництва, елементів структурної матриці ефективної моделі обміну або ефективної матриці моделі виробництва) можна побудувати нормальну матрицю за вказаними формулами, то також можна одержати аналітичні вирази точних розв'язків задачі про економічну рівновагу.

В підрозділі 2.4 досліджується вплив монополістів на ефективність функціонування економічної системи. Вивчається можливість оптимального вибору розв'язків задачі про економічну рівновагу, за яких потреби кожної з фірм, які складають економічну систему, задовольняються, з одного боку, якомога повніше, з іншого так, щоб не дискримінувати решту фірм (тобто, щоб рівень задоволення потреб решти фірм не був істотно низьким, в порівнянні з рівнем задоволення потреб вибраної фірми). Запропоновано алгоритм побудови аналітичних виразів оптимальних розв'язків. Показано, яким чином вибрати значення компонентів вектора , щоб компоненти вектора ступеней задоволення потреб споживачів набували оптимальних значень:

- заданий вектор, - заданий вектор обсягів випусків товарів немонополістами, - вектор, побудований за структурною матрицею, яка характеризує економічну систему, , - вектор, побудований за матрицею, оберненою до головного мінора структурної матриці, .

Оптимальні значення вектора визначаються за допомогою мінімізації функціонала.

Теорема 4. Для досить малих значень параметра існує додатний вектор , на якому досягатиметься мінімум функціоналу

причому вектор додатний.

Параметр характеризує рівень споживання монополістів

Наводяться оцінки рівнів споживання монополістів в економічній системі, за виконання яких зазначений алгоритм реалізується, а в економічній системі не відбуватиметься дискримінації певних галузей або фірм, що складають економічну систему. Результати, викладені в другому розділі, опубліковані в роботі [2].

Третій розділ - "Відкрита економічна система" присвячений дослідженню впливу взаємодії (торгівлі) деякої економічної системи зі своїм зовнішнім оточенням на розвиток процесів ціноутворення в цій економічній системі.

Підрозділ 3.1 містить загальні положення опису відкритої економічної системи. Характеристикою зовнішніх чинників, що впливають на рівновагу в економічній системі, є структурна матриця обміну, яка визначає взаємодію економічної системи з зовнішньо-економічним оточенням, а також задані ціни на товари, які постачаються в економічну систему ззовні. До рівнянь, якими подається рівність попиту і пропозиції в економічній системі тепер, оскільки економічна система відкрита, додається умова торговельного балансу, яка визначає рівновагу між економічною системою і її оточенням.

В підрозділі 3.2 будується алгоритм знаходження розв'язків задачі про економічну рівновагу. Виявлено, що наявність умови торговельного балансу призводить до того, що рівняння для знаходження невідомих лінеаризуються. В той же час, труднощі знаходження розв'язків нелінійних рівнянь не зникають, а набувають іншого вигляду. Принциповим моментом тепер є узгодження умови торговельного балансу для знайдених розв'язків. Питання узгодження торговельного балансу розглядається не лише з точки зору прийнятності для зовнішніх споживачів цін на товари, які виробляються всередині економічної системи. Зовнішні фіксовані ціни також мають влаштовувати споживачів в економічній системі. Знайдено умови на зовнішні ціни, виконання яких забезпечить їх прийнятність для економічної системи, і умови на задані характеристики економічної системи, за виконання яких розв'язки узгоджуватимуться з умовою торговельного балансу. Досягти балансу можна і іншим способом, змінивши характеристики економічної системи. Цей спосіб розв'язання проблеми можна використати і у випадку, коли зовнішні фіксовані ціни є неприйнятними для економічної системи, оскільки рівень зовнішніх цін не завжди можливо змінити (що і обумовлює їх фіксацію).

Підрозділ 3.3 описує метод, що дозволяє певним чином скоригувати попит фірм (галузей) та технології виробництва товарів, щоб забезпечити привабливість і конкурентноздатність товарів вироблених в економічній системі для експорту їх за межі економічної системи. Наведено вирази, які показують як слід змінити задані характеристики економічної системи (обсяги випусків фірм-виробників, технологічні коефіцієнти, елементи структурної матриці попиту), щоб ціни на товари, вироблені в економічній системі, досягли певного фіксованого рівня при незмінних цінах на товари, які постачаються в економічну систему ззовні.

В підрозділах 3.2, 3.3 розглядалась економічна система, де монополістами були зовнішні економічні агенти, що постачали в економічну систему товари за визначеними цінами. За наявності монополістів в економічній системі для знаходження розв'язків можна використовувати методи, розвинені для ізольованої економічної системи.

В підрозділі 3.4 наведено зв'язок між описами відкритої економічної системи та ізольованої економічної системи за наявності монополістів.

В підрозділі 3.5 подається зв'язок між розглянутою в цьому розділу задачею та задачею, коли в економічну систему постачатимуться ззовні товари того ж виду, що виробляються (в недостатніх для споживачів кількостях) в економічній системі. Ця задача розв'язуватиметься в наступному розділу. Матеріал, що міститься у третьому розділі, опублікований в роботі [3].

У четвертому розділі "Дослідження стану економіки України" одержані у попередніх розділах теоретичні результати використовуються для розширення стратегії оподаткування на випадок наявності монополістів в економічній системі і здійснюється практичний аналіз економіки України.

В підрозділі 4.1 наводяться загальні положення опису економічної системи, формулюється постановка задачі, а також наводяться основні рівняння, що описують економічну систему в моделі економіки з незмінними інтересами споживачів з урахуванням оподаткування. Тепер задача полягає у знаходженні таких вектора цін, вектора обсягів випусків товарів та вектора оподаткування, за яких в економічній системі встановлюватиметься рівновага. Умову рівності попиту і пропозиції можна подати у вигляді

(3)

(4)

де - вектор випуску товарів; - вектор цін; - вектор експорту; - векторімпорту; - вектор ступеней задоволення потреб споживачів, - вектор оподаткування; – відповідно елементи матриці попиту та технологічної матриці. Монополісти нумеруються індексами з множини , а немонополісти - . Всього в економічній системі суб'єктів, з яких - виключно споживачі.

Підрозділ 4.2 містить матеріал, що обґрунтовує можливість застосування раніше запропонованої стратегії оподаткування на випадок наявності монополістів. Зокрема доведено

Теорема 5. Вектор оподаткування за наявності монополістів та за векторів монопольних цін і ступенів задоволення потреб споживачів узгоджений зі структурою споживання в економічній системі, якщо існує строго додатний вектор що є розв'язком системи рівнянь (4) з правою частиною, у якій фігурують компоненти вектора ступенів задоволення потреб споживачів , такий, що:

спектральний радіус матриці

менший від одиниці;

2) справедливі нерівності

де розв'язок системи рівнянь

(5)

3) виконуються рівності

Умови 1) - 3) є достатніми, якщо матриця нерозкладна, а матриця не містить ні нульових рядків ні стовпчиків. Умови 1) - 3) є необхідними, якщо для деякого строго додатного розв'язку системи рівнянь (4), існує розв'язок системи рівнянь (5) і або матриця нерозкладна та хоча б для одного індексу виконується

(6)

або нерівності (6) виконуються для всіх індексів а матриця не містить нульових стовпчиків.

На основі цієї теореми показано, що запропоновані в попередніх розділах алгоритми знаходження розв'язків задачі про економічну рівновагу можуть бути застосовані до розв'язання поставлених задач, якщо невідомими є частина компонент вектора обсягів випусків товару. Розглянуто і випадок, коли невідомим є весь вектор випусків. Додатково доведено ряд теорем, які дозволяють побудувати алгоритм знаходження розв'язків за таких умов.

У підрозділі 4.3 доведено теорему, умови якої гарантують існування розв'язків задачі в разі використання запропонованого алгоритму.

В підрозділі 4.4 одержані теоретичні результати застосовуються до аналізу української економіки. Формулюється вартісний опис економічної системи у моделі економіки з незмінними інтересами споживачів і подається зв'язок між ним і агрегованим описом, який дозволяє використати статистичні дані міжгалузевого балансу України у моделі економіки з незмінними інтересами споживачів. Для пошуку необхідних для аналізу величин використовується запропонований алгоритм – рівноважні вектор цін та вектор випусків товарів знайдемо з виразів

(7)

(8)

а невідомий вектор , який фігурує у виразах (7), (8), визначається з оптимізаційної задачі:

знайти мінімум функціоналу

за умов

де – відповідно елементи матриці попиту та технологічної матриці у вартісних показниках, – задані матричні елементи, – вектори відповідно ступеней задоволення потреб споживачів та випуску товарів у вартісних показниках, – вектори експорту та імпорту.

В Підрозділі 4.5 подано інтерпретацію одержаних чисельних результатів, розрахованих для здійснення аналізу впливу монополістів на економіку України. Проаналізовано можливий влив монопольних стрибків цін в енергетичних галузях економіки. Вказано чинники, що можуть бути пов'язані з монопольними стрибками цін. Виявлено дисбаланси цін, що утворюються внаслідок монопольної зміни ціни в енергоміських галузях, що пов'язано з енергомістким характером структури виробництва та споживання, деформованою структурою зовнішньо-економічних зв'язків. Встановлено зменшення споживання внаслідок дисбалансів цін. Вказано, що курсова політика Національного банку, структура зовнішньо-економічних зв'язків та система оподаткування, яка може бути сприятливою для енергоміських галузей, пов'язані з можливим виникненням монополізму у формуванні цін. Результати обчислень наведені в таблицях.

Нарешті, у Висновках наведено основні результати дисертаційної роботи та рекомендації щодо їх використання.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджувався вплив монополізму, як зовнішнього, так і внутрішнього, та вибраної системи оподаткування на ціноутворення в економічних системах. Отримано результати:

В рамках опису економічної системи за допомогою ефективної моделі обміну розв'язано задачу про економічну рівновагу в ізольованій економічній системі за наявності монополістів. Розроблено алгоритм знаходження таких додатних рівноважних цін на товари немонополістів і обсягів випусків товарів монополістів, які забезпечуватимуть незбитковість всіх фірм (або галузей), що складають економічну систему.

В рамках описів економічної системи, в якій наявні монополісти, за допомогою моделі виробництва і ефективної моделі обміну знайдено співвідношення між характеристиками ізольованої економічної системи, за виконання яких можна отримати точні аналітичні вирази розв'язків нелінійних рівнянь, що описують економічну систему. Досліджено вплив монополістів на ефективність функціонування економічної системи. Розроблено метод оптимального вибору розв'язків, який дозволяє кожній фірмі, що складають економічну систему, задовольняти свої потреби так, щоб не дискримінувати решту фірм. Знайдено оцінки рівнів споживання монополістів в економічній системі, за виконання яких можлива реалізація оптимального вибору розв'язків.

В рамках описів відкритої економічної системи за допомогою моделі виробництва і ефективної моделі обміну розв'язано задачу про економічну рівновагу у відкритій економічній системі. Розроблено алгоритм знаходження економічно прийнятних розв'язків (таких, які забезпечуватимуть прибутковість виробництва фірм, що складають економічну систему, і буде виконуватись торговельний баланс між економічною системою і її оточенням). Знайдено умови прийнятності для економічної системи фіксованих цін на товари, які постачаються в економічну систему ззовні. Розроблено метод коригування заданих характеристик відкритої економічної системи, в якій відсутні монополісти, що сприяє підвищенню ефективності функціонування економічної системи.

Розширено на випадок наявності в економічній системі монополістів стратегію оподаткування. За допомогою розглянутих теоретичних моделей використано статистичні дані міжгалузевого балансу України і здійснено аналіз реакції економіки України на можливі впливи монопольних стрибків цін в деяких галузях. Вказано чинники, які можуть призводити до таких стрибків.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Махорт А.П. Побудова розв'язків нелінійних рівнянь, які описують економічну систему за наявності монополістів // Доповіді НАН України. - 1997. - N 5. - С.102-106.

Гончар Н.С., Махорт А.Ф. Ценообразование в экономической системе с монополистами // Проблемы управления и информатики. - 2000. - N 1. - С.123-139.

Махорт А.Ф. Влияние торгового баланса на ценообразование в открытой экономической системе // Проблемы управления и информатики. - 1999. - N 1. - С.124-137.

Махорт А.П. Рівноавга в економічній системі за наявності монополістів // Вісник Київського національного університету ім. Т.Шевченка - вип.5 - 2001 - с.130-132.

Махорт А.Ф. Об алгоритме определения решений в модели изолированной экономической системы при наличии монополистов // Проблемы управления и информатики. - 2002. - N 4. - С.142-156.

Гончар М.С., Махорт А.П. Ціноутворення в економічній системі за наявності монополістів // Abstr. International Conf. "Dynamical system modelling and Stability Investigation". - Kyiv(Ukraine). - 1999. - P. 19.

Махорт А.П. Рівновага в економічній системі за наявності монополістів // Abstr. International Conf. "Dynamical system modelling and Stability Investigation". - Kyiv (Ukraine). - 2001. - P. 195.

Gonchar N.S., Makhort A.P. The influence of momopolies on an economic system // Abstr. International Conf. "Modern problems of mathematics and theoretical physics". - Kyiv (Ukraine). - 2004. - P. 44.

Махорт А.П. Моделювання та розрахунок впливу внутрішніх та зовнішніх чинників на ціноутворення в економічній системі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційна робота присвячена дослідженю проблеми встановлення рівноваги в економічних системах. В рамках моделі економіки з незмінними інтересами споживачів, сформульованої у вигляді ефективної моделі обміну та моделі виробництва, досліджено відкриту економічну систему та ізольовану економічну систему з монополістами. Запропоновано алгоритми знаходження економічно прийнятних розв'язків задачі про економічну рівновагу. Такі розв'язки забезпечуватимуть ефективне функціонування економічних систем. Знайдено умови на задані характеристики економічних систем, виконання яких гарантуватимуть реалізацію запропонованих алгоритмів. Отримані теоретичні результати застосовано до дослідження економіки України. Зроблено аналіз впливу монополістів на ефективність функціонування української економіки.

Ключові слова: економічна рівновага, попит, пропозиція, монополісти, ціноутворення, рівноважні ціни.

Махорт А.Ф. Моделирование и расчет влияния внутренних и внешних факторов на ценообразование в экономической системе. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Диссертационная работа посвящена изучению проблемы достижения равновесия в экономических системах. В рамках модели экономики с постоянными интересами потребителей, сформулированной в виде эффективной модели обмена и модели производства, исследованы открытая экономическая система и изолированная экономическая система с монополистами. Предложено алгоритмы определения экономически приемлемых решений задачи о экономическом равновесии. Такие решения позволяют экономическим системам функционировать эффективно. Найдены условия на заданные характеристики экономических систем, выполнение которых гарантирует реализацию предложенных алгоритмов. Полученные теоретические результаты применены к исследованию экономики Украины. Проведен анализ влияния монополистов на эффективность функционирования украинской экономики.

В рассмотренной математической модели экономическая система описывается системой нелинейных уравнений. Такое описание экономической системы позволяет исследовать влияние монополизма и системы налогообложения на ценообразование в экономической системе. Нахождение экономически приемлемых решений нелинейных уравнений требовало разработки новых алгоритмов. Методы решения поставленых в диссертационной работе задач основываются на использовании метода неподвижной точки, оптимизационных методов и методов теории матриц. Алгоритмы нахождения решений задач строились с учетом возможного их применения к анализу реальных экономических систем. Полученные выражения для модельных характеристик экономической системы позволили исследовать влияние монополизма на украинскую экономику, определить характер этого влияния и указать факторы приводящие к возникновению монополизма, а также выявить негативные аспекты влияния.

Ключевые слова: экономическое равновесие, спрос, предложение, монополисты, ценообразование, равновесные цены.

Makhort A.P. Modelling and calculating the influence of internal and external factors on price formation in an economy. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.05.02 - mathematical modelling and computation methods. -

National Taras Shevchenko University of Kyiv, Kyiv, 2005.

The thesis concerns a study of the equilibrium problem in economic systems. The open economic system and the closed economic system with monopolies are investigated by using the model of an economy with regular interests of consumers formulated as the effective exchange model or the production model. Algorithms of searching economic acceptable solutions of the economic equilibrium problem are developed. Such solutions allow economic systems to function effective. The conditions on the defined characteristics of economic systems provided realising the proposed algorithms are found. The obtained theoretical results are used to an investigation of the Ukrainian economy. The analysis of the monopolies influence on efficiency functioning of the Ukrainian economy are considered.

Key words: economic equilibrium, demand, supply, monopolies, price formation, equilibrium price.