НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Машаров Павло Анатолійович

УДК 517.5

ЕКСТРЕМАЛЬНІ ЗАДАЧІ
ПРО МНОЖИНИ ПОМПЕЙЮ

01.01.01 -– математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
кафедри математичного аналізу і теорії функцій
Донецького національного університету
Волчков Валерій Володимирович

Офіційні опоненти: провідний науковий співробітник відділу
теорії наближень Інституту математики НАН України,
доктор фізико-математичних наук,
Коновалов Віктор Миколайович

старший науковий співробітник відділу теорії функцій
Інституту прикладної математики і механіки
НАН України, кандидат фізико-математичних наук,
Кузнєцова Ольга Іванівна

Провідна установа: Харківський національний університеті ім. В.Н. Каразіна, м. Харків, кафедра теорії функцій і функціонального аналізу

Захист відбудеться “ 21 ” вересня 2005 р. о 15:30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К .193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “ 25 ” липня 200 5 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Чані О.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема Помпейю є однією з галузей інтегральної геометрії та знаходить чисельні застосування в математиці, зокрема, в комплексному аналізі, теорії апроксимацій, диференційних рівняннях в частинних похідних.

Проблема про описання всіх множин Помпейю в просторі Rn, n?2, була сформульована румунським математиком Помпейю в двадцятих роках двадцятого сторіччя і є надзвичайно складною. Цією проблемою та її узагальненнями займалось багато математиків. Серед них найбільш відомими є Радон, Помпейю, Дельсарт, Літтльвуд, Йон, Рудін, Зальцман, Беренстейн, Аграновський, Тригуб, Котляр.

Найбільш загальну достатню умову того, що дана множина є множиною Помпейю отримав Вільямс у вісімдесяті роки минулого сторіччя. З цього результату випливає, що якщо границя у множини є ліпшицевою та гомеоморфною до сфери, але не дійсно-аналітичною, то така множина є множиною Помпейю в Rn, n?2. При цьому залишається питання про те, які множини, що мають дійсно-аналітичну або не ліпшицеву границю є множинами Помпейю. Одним з відомих прикладів множин Помпейю в Rn при всіх n?2 є еліпсоїд, відмінний від кулі. При n=4 множиною Помпейю є також замикання внутрішності тора (C.A., D., 1997 р). Деякі інші приклади множин Помпейю з дійсно-аналітичною границею отримані Дальмассо наприкінці минулого сторіччя. У 2003 році В.В. Волчков отримав результат, з якого випливає, що множина Помпейю може мати не ліпшицеву, навіть фрактальну границю. Прикладом такої множини є “сніжинка Кох”.

Низка узагальнень проблеми Помпейю пов’язана з заміною трійки
(Rn, M(n), dx) на (X, G,m), де X – многовид, G – група Лі, що діє транзитивно на X, dm – інваріантна відносно G міра на. Одним з найбільш цікавих прикладів є випадок, коли X – одиничний круг в комплексній площині C, G – група конформних автоморфізмів X.

Інші узагальнення проблеми Помпейю виникають, якщо замість усього простору Rn розглядати деяку обмежену множину B з Rn, n?2. Якщо в якості B розглядати кулю, то інтегрування буде проводитись по сім’ї множин, які інваріантні тільки відносно обертань. Найбільш повна теорія в цьому напрямку відповідає тому, що відомо під назвою локальної проблеми Помпейю.

C.A., R. отримали результати для багатьох множин A, з
яких випливає, що якщо розміри кулі B досить великі в порівнянні з
розмірами A, то така множина є множиною Помпейю в кулі B. У зв’язку з цим

виникають такі проблеми:

1. Знайти точну нижню межу R(A) радіусів куль B, для яких дана множина A є множиною Помпейю в B.

2. Встановити, чи буде A множиною Помпейю в кулі B знайденого радіуса.

Оскільки вказані проблеми розв’язано для досить невеликої кількості множин, розглянемо їх усі. У 1998-2000 роках В.В. Волчков розв’язав обидві проблеми для паралелепіпедів в Rn, n?2. Розв’язок для куба в Rn був отриманий ним раніше, у 1996 році. У 2000-2003 роках В.В. Волчков розв’язав наведені проблеми для широкого класу багатогранників в Rn, n?2. Першою множиною, для якої було розв’язано обидві вказані проблеми і границя якої складається не лише з частин площин або відрізків прямих, є півкуля в Rn, n?2. Відповідний результат отримав В.В. Волчков у 1996 році. Єдиним прикладом множини з дійсно-аналітичною границею, для якої розв’язана перша з наведених проблем, є еліпсоїд в Rn, n?2, відмінний від кулі. Цей результат В.В. Волчков отримав у 2000 році.

Як бачимо, перша проблема розв’язана для порівняно невеликої кількості множин. Зокрема, при цьому жодного разу не розглядалися множини, границя яких, окрім прямолінійних відрізків, складається з дуг декількох кіл. Тому актуальним було знайти загальні ідеї вирішення і розв’язати наведені проблеми для множин з більш складною границею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематику дисертації обрано відповідно до планів наукових досліджень, які проводяться на кафедрі математичного аналізу і теорії функцій ДонНУ. Роботу виконано в рамках державної наукової теми Г – 02.40 “Теорія функцій та операторів”.

Мета і задачі дослідження. Мета дослідження дисертаційної роботи полягає в тому, щоб для кожної з певного переліку плоских множин A, границі яких складаються з дуг кіл та, можливо, відрізків прямих, або знайти величину R(A), або покращити попередні оцінки цієї величини. На додачу до цього, для множин A, для яких буде знайдене точне значення R(A), з’ясувати, чи буде A множиною Помпейю в крузі знайденого екстремального радіусу.

Методи дослідження. В роботі використано сучасні та класичні методи теорії функцій, гармонічного аналізу та інтегральної геометрії: розкладання в ряд Фур’є, зведення інтегрального рівняння до задачі Коші, дослідження розв’язку диференційного рівняння, перетворення Радона.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше одержано такі
результати:

1. Знайдено величину R(A) для всіх кругових секторів.

2. Знайдено величину R(A) для трикутника Рело.

3. Знайдено величину R(A) для широкого класу кругових сегментів, кругових лінз та циліндрів, для решти вказаних множин отримані оцінки величини, що суттєво покращують відомі раніше.

4. Для всіх кругових секторів A(a) з кутовою мірою досліджене питання про те, чи є A(a) множиною Помпейю в крузі радіусу R(A(a)).

5. Встановлено, що трикутник Рело A є множиною Помпейю в крузі радіуса R(A).

6. Встановлено, що множинами Помпейю в крузі радіуса R(A) є сегменти A(a), дуги яких мають міру .

Практичне значення одержаних результатів. Результати та методи, що розвиваються в роботі, мають теоретичний характер та можуть знайти застосування до різних питань математичного та комплексного аналізу, а також до теорії наближення функцій. Зокрема, в п’ятому розділі дисертації, як застосування головних результатів, отримані уточнення класичних теорем Морери та Дзядика про голоморфність функції, а також – достатня умова замкненості лінійних комбінацій індикаторів плоских множин, що конгруентне до даного, в просторах Lp, 1?p<?. Фомуліла (4.3) застосована в статті Volchkova“Inversion of the local Pompeiu transform” (Functional Analysis and its Applications. – Elsevier. – 2004. – V. 197. – P. 301–309).

Особистий внесок дисертанта. Роботи [1–9] написані дисертантом особисто. Керівнику належить постановка задачі та деякі ідеї розв’язання.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались особисто на наступних міжнародних конференціях:

1. International Conference dedicated to A.M. Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary, Kiev, 31 October –3 November 2000;

2. XXII конференція молодих вчених при механіко-математичному факультеті МДУ, Москва, 17 – 21 квітня 2000;

3. International conference on complex analysis and potential theory (Ukrain, Kiev 7–12 august 2001), Abstracts, p. 77–78,

а також на конференції Донецького нацiонального унiверситету за пiдсумками науково-дослiдницької роботи за перiод 1999–2000 рр. (секцiя математики) 18–20 квiтня 2001;

Крім цього, результати були представлені на міжнародній конференції "Теорія функцій та математична фізика", присв. 100-річчу М.І. Ахієзера, Харьків, 13–17 серп. 2001.

На додачу до цього, результати дисертації доповідались та обговорювались на наукових семінарах кафедри математичного аналізу і теорії функцій Донецького національного університету (керівник – доктор фіз.-мат. наук, професор Тригуб Р. М.), та на Харківському міському семінарі з теорії функцій (керівники: доктор фіз.-мат. наук, професор Грішин А.П., доктор фіз.-мат. наук, професор Фаворов С.Ю.).

Крім того, обрані результати дисертації увійшли в огляд В.В. Волчкова та Віт.В. Волчкова Экстремальные задачи интегральной геометри” (Математика сегодня № . – Вып. 12. – Киев, 2001, с. 51–79) та в монографію В.В. Волчкова “Integral Geometry and Convolution Equations” (Kluwer Academic Publishers DordRecht/Boston/London 2003, 454p). Посилання на [2] містяться в огляді по проблемі Помпейю Zalcman. “Supplementary bibliography to “A bibliographic survey of the Pompeiu problem” in Radon Transforms and Tomography” (Contemp. Math.2001, – №278. – p. 69–74).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 4 статті у фахових виданнях [1-4] та тези 5 конференцій [5-9].

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел та трьох додатків. Загальний обсяг дисертації становить 162 сторінки, які містять 19 рисунків та включають список використаних джерел, що складається з 84 найменувань та розміщений на 8 сторінках, а також додатки, що займають 22 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі дається короткий аналіз сучасного стану проблеми і обґрунтовується актуальність теми, формулюється мета і задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, структура, головні результати та апробація роботи.

Перший розділ – допоміжний. В ньому обговорюються основні поняття та позначки, а також доводяться найбільш застосовні та важливі допоміжні результати.

Через M(n) будемо позначати групу всіх рухів дійсного евклідового простору Rn, n?2, з евклідовою нормою |x|, |x|2=x12+…+xn2. Для непорожніх множин A, B Rn покладемо Mot(A,B)={M(n): A B}. Для відкритої множини B Rn через Lloc(B) будемо позначати клас локально інтегрованих на B функцій.

Будемо казати, що компактна множина A має властивість Помпейю в B та позначати APomp(B), якщо для довільної функції f Lloc(B) з виконання умови

(1)

для всіх Mot(A,B) випливає, що f=0 майже всюди в B.

Для відкритих A, BRn через Ploc(A,B) будемо позначати клас функцій з Lloc(B), для яких замикання Pomp(B). Перетин Ploc(A,B)C?(B) будемо позначати через Ploc?(A,B). Символом BR будемо позначати відкриту кулю в Rn радіуса R з центром в початку координат. Диференційні оператори /x, /y та (y /x – x /y), а також всі можливі їх лінійні комбінації, оскільки вони утримують функцію в класі Ploc?(A,B), будемо називати припустимими.

На початку метода, обраного для розв’язання зазначених проблем, треба за допомогою підстановки замість функції f дії припустимого диференційного оператора на f звести інтеграл, що стоїть в лівій частині), до лінійної комбінації значень якихось диференційних операторів від функції f в особливих точках (вершинах) границі множини A. Тому в першій частині вивчається доцільність застосування тих чи інших операторів для зведення інтегралів з, можливо, деякою вагою, по потрібним кривим до значень функції на кінцях цієї кривої, а також – алгебра цих операторів. Наприкінці першого розділу для кожної з плоских множин A, що розглядаються, та для всіх можливих значень їх параметрів знайдено величину r*(A)=inf{R>0: A}, побудовані нетривіальні приклади функцій з нульовими інтегралами по деяким множинам.

Друга частина присвячена розв’язанню обох поставлених проблем для кругових секторів A1()={zC: |z|<1, |arg z|</2}, відмінних від півкола. Вона складається з трьох підрозділів. Розглянемо наступну функцію

(2)

Основним результатом другого розділу є таке твердження.

Теорема 2.1. Наступні твердження є вірними:

1. Якщо (0,arccos(4/5)][,2), R>1(), та f Ploc(A1(),BR), тоді f=0.

2. Якщо (arccos(4/5),), R?1(), та f Ploc(A1(),BR), тоді f=0.

3. Якщо r*(A1())<R<1() при (0,] або R=1() при (,2), то існує ненульова функція f Ploc?(A1(),BR).

Зокрема, R(A1())=1() для кожного (0,2).

В першому підрозділі другого розділу отримана інтегральна формула, яка є дуже важливою при застосуванні обраного методу розв’язання поставлених проблем. Розглянемо такі диференційні оператори: p=cos(/2)/x+sin(/2)/y, q=cos(/2)/x-sin(/2)/y.

Лема 2.1. Нехай z1=(a,b)R2, z2=(a+cos(/2),b-sin(/2)), z3=(a+cos(/2),b+sin(/2)), S –замикання множини A1()+z1 та fC5(S), тоді

Диференційний оператор, що діє на функцію f під інтегралом в останній формулі є припустимим. Тому лема .1 лежить в основі розв’язання поставлених проблем.

Другий підрозділ присвячено геометричному описанню деяких множин, що відіграють значну роль для визначення величини R(A1()). Відзначимо, що тут і далі вершини сектора позначатимуться такими самими літерами, як і в лемі .1. Для R>r*(A1()) розглянемо такі множини: V(z1,R,) -– містить всі допустимі положення вершини z1 при таких рухах Mot(A1(),BR), що сектор A1() має вісь симетрії, яка проходить через початок координат; цілком аналогічно, лише с заміною z1 на z-3 визначається множина V(z3,R,); W(z1,R,) та W(z3,R,), що містять допустимі положення вершини z1 та z3 відповідно при всіх можливих рухах Mot(A1(),R).

Перераховані множини є кільцями. В другому підрозділі розглянуті всі цікаві співвідношення між параметрами R та та можливі положення секторів всередині круга і знайдені радіуси цих кілець. Підрозділ містить досить багато рисунків, що покращують сприйняття.

В третьому підрозділі другого розділу отримано решту допоміжних тверджень, необхідних для отримання головного результату, та доведено цей результат. Серед допоміжних результатів найбільш значущими є наступні.

Наслідок 2.2. Нехай R>r*(A1()), ненульова радіальна функція f Ploc?(A1(),BR). Тоді існує таке натуральне n, що функції f, f, … , nf – лінійно залежні в W(z1,R,)W(z3,R,).

Побудовано приклад нескінченно диференційованої функції, що має потрібні інтеграли по всім прямим, що характеризуються лише відстанню до них від початку координат, а в наслідку .3 отримано, що така функція належить класу Ploc(A1(),BR) для ?arccos(4/5) та R(r*(A1()), 1()).

В лемах 2.6, 2.7 отримані частинні випадки основного результату, а в лемах 2.9, 2.10 та 2.11, виходячи з властивостей класу Ploc(A1(),BR), зроблено висновки, які складові функції цього класу не можуть мати.

В третій частині дисертації розв’язано обидві проблеми для трикутника Рело. Вона складається з двох підрозділів. Нагадаємо, що трикутником Рело називається перетин трьох кругів однакового радіусу з центрами в вершинах рівнобічного трикутника, довжина сторони якого співпадає з радіусом кругів. В роботі розглядається трикутник Рело A2, радіус кругів якого дорівнює одиниці.

Основним результатом третього розділу є

Теорема 3.1. Наступні твердження є вірними:

1. Якщо R?1 та f Ploc(A2,BR), тоді f=0.

2. Якщо R<1, то існує ненульова функція f Ploc?(A2,BR).

Зокрема, R(A2)=1.

Першою складністю, яка виникла при вирішенні проблем обраним методом, було знайти необхідний припустимий диференційний оператор, іншими словами – отримати аналог леми 2.1. Ця складність полягає в наступному. По-перше, границя трикутника Рело складається з трьох дуг різних кіл. А по-друге, припустимим диференційним оператором, застосування якого до досить гладкої функції зводить інтеграл по дузі кола до значень похідних цієї функції в кінцях дуги, є сума оператора зі сталими коефіцієнтами та D=(y/x–x/y), тобто він не є оператором зі сталими коефіцієнтами. І тому він не є переставним з диференційними операторами, що мають сталі коефіцієнти. Тому, для того, щоб винайти необхідний диференційний оператор, потрібно було зробити деякі дослідження, які містяться в першому підрозділі третього розділу. Остаточним результатом цих досліджень є лема .7. В ній вершини трикутника Рело позначаються так само як і відповідні вершини сектора A1(/3) в лемі .1. Розглянемо такі диференційні оператори: P1=b/x–a/y, P2=(b–1/2)/x–(a+/2)/y, P3=(b+1/2) /x–(a+/2)/y, Dk=Pk-D (k=1,2,3); D4=D2(/y–D3/x)+D3(/y–D2/x); P=/y–/x, Q=/y+/x, P’= /y+/x, Q’= –/y+/x; D5=(D1-2–1)P2Q2+4(P2Q’2+Q2P’2)–2(P2QQ’+ Q2PP’)D1+10PP’QQ’; L1(f)=(2+/x)f(z1)–(1–/2/x)(f(z2)+f(z3)), L2(f)= /x(3/2–/4/x) (f(z2)–f(z3))– /y (/2+3/4/x)(f(z2)+f(z3)), L3(f)=(2/x2–3/42/y2)(f(z2)+f(z3))–5/42/xy) (f(z2)–f(z3)), L3(f)=4,752/xy(f(z2)+f(z3))+ /2(4,52/x2–42/y2)(f(z2)–f(z3)).

Лема 3.7. Нехай T – замикання трикутника Рело z1+A2, функція fC12(T), тоді вірна рівність

(3)

.

В другому підрозділі третього розділу отримана решта допоміжних тверджень та доведена теорема .1. Тут дано геометричне описання множини V(A2,R) та W(A2,R), які визначаються аналогічно до тих, що були розглянуті для сегментів. І, як і у випадку з сектором, було отримано наступне дуже важливе твердження.

Наслідок 3.2. Нехай R>r*(A2), ненульова радіальна функція fPloc?(A2,BR). Тоді існує таке натуральне n, що функції f, f, … , nf – лінійно залежні в W(A2,R).

Відзначимо, що для отримання цього результату потрібно було зробити велетенську кількість розрахунків по спрощенню виразів типу того, що стоїть у правій частині формули), якщо функцію розглядати радіальною, і замість неї підставляти деякі її частинні похідні. Після отримання таких спрощених виразів, потрібно було диференціювати їх по першій координаті вершини z1. Тому, для того, щоб не робити ці розрахунки на папірці автором дисертації було розроблено комп’ютерну програму, яка зробила необхідні обчислення. Її текст міститься у додатку А. Примітимо, що серед усіх комп’ютерних програм, якими користується переважна більшість людей і які дозволяють робити символьні обчислення (маються на увазі програми та пакети Mathcad, Maple, Mathematica), жодна не має можливостей проводити подібні обчислення.

Крім вказаних обчислень, для отримання наслідку .2 необхідно було розв’язувати системи лінійних рівнянь з семи невідомими, коефіцієнтами яких є досить великі числа. Тому для вирішення систем з багатьма невідомими автором дисертації було написано комп’ютерну програму, текст якої міститься в додатку Б. В основі цієї програми лежить чисельний метод Гауса з вибором вирішуючого елемента, оскільки цей метод дає найбільш точні результати для систем такого типу.

Наступні леми 3.9, 3.10 та 3.11 є аналогами для випадку трикутника Рело лем 2.9, 2.10 та .11. В них стверджується про те, які складові не може мати функція з класу Ploc(A1,BR) для деяких значень R. Наприкінці третього розділу доведено основний результат, теорему .1.

Четверту частину присвячено розв’язанню основних проблем дисертації для інших множин. При цьому використовується метод, основні ідеї якого застосовувались у другому та третьому розділах. Ця частина складається з трьох підрозділів.

В першому підрозділі розглянуті кругові сегменти A3()={zC: |z|<1, Re z>cos(/2)}. Спочатку отримані деякі інтегральні формули, одна з яких виражає інтеграл по сегменту від дії припустимого диференційного оператора на функцію f через значення диференційних операторів у вершинах сегмента. Таким чином, на функцію, що входить до класу Ploc?(A2(), BR), отримано диференційне рівняння в тих точках, в які можна дістатись вершинами, щоб при цьому сам сегмент залишався всередині круга BR. Далі розглядається геометрія положень вершин, відрізка та дуги границі сегмента при всіх розміщеннях його в крузі BR для потрібних значень R та .

Після цього розв’язано диференційне рівняння, звідки отримано загальний вигляд радіальної функції вказаного класу. Далі отримано ще декілька необхідних умов приналежності радіальної функції класу Ploc?(A2(), BR), з яких одержано її загальний вигляд в деякому кільці. Якщо тепер між R та буде виконуватись таке співвідношення, при яких отримане кільце стає кругом BR, то це означатиме, що стає відомим вигляд довільної радіальної функції з класу Ploc?(A2(), BR), що в свою чергу призводить до вирішення проблем дисертації у випадку сегмента.

Таким чином наприкінці першого підрозділу отримано головний результат. Для його формулювання розглянемо функції

.

Позначимо через 0 абсцису точки перетину графіків K1() та K2() на проміжку (0,) та розглянемо

В додатку В побудовано в одній системі координат графіки цих функцій. Там можна побачити точку перетину графіків функцій K1() та K2(). Основним результатом першого підрозділу є така

Теорема .1. Наступні твердження є вірними.

1. Якщо (0,2-2arccos(1/7)], R>3(), та f Ploc(A3(),BR), тоді f=0.

2. Якщо /2(-arccos(1/7),), R?3(), та f Ploc(A3(),BR), тоді f=0.

3. Якщо /2(0,-arccos(1/7)], r*(A3())<R<K2(), то існує ненульова функція f Ploc?(A3(),BR).

4. Якщо /2(-arccos(1/7), ) та r*(A3())<R<1-cos(/2), то існує ненульова функція f Ploc?(A3(),BR).

Зокрема, R(A3())?3() для кожного (0,0) та R(A3())=3() для кожного (0,2).

У другому підрозділі четвертого розділу досліджується перша проблема для кругових лінз. Розглядаються такі лінзи A4(,t)={zC: |z|<1, |z–(cos (/2)+(sin (/2)-t2)/(2t))|<(sin2(/2)+t2)/(2t)}, що 0<<, –(1–cos (/2))<t?1–cos (/2), t0, та t1+cos (/2). Оскільки означення таких лінз містить два незалежних параметри, то виникає суттєва проблема, пов’язана з порівнянням деяких функцій. Тому з головного результату не випливає, яким є точне значення R(A4(,t)) та для яких пар (,t) воно знайдене. Метод отримання цього результату майже всюди співпадає з методом, що був описаний для сегментів. Тому, після введення необхідних позначень, відразу його сформулюємо.

Розглянемо функції

,

,

4(,t) = max{K1(), K3(,t), K4(,t)}.

Теорема .2. Нехай 0<<, t(–1+cos(/2);1–cos(/2)]\{0,1+cos(/2)}. Тоді наступні твердження є вірними.

1. Якщо R>4(,t) та f Ploc(A4(,t),BR), тоді f=0.

2. Якщо r*(A4(,t))?R<K3(,t), то існує ненульова функція f Ploc?(A4(,t),BR).

Зокрема, K3(,t)?R(A4(,t))?4(,t).

В третьому підрозділі вивчається перша проблема для прямих циліндрів в R3 з основами в множинах Aj, j=1,2,3. Нехай символ позначає декартів добуток множин. Розглянемо циліндри A1(,h)=A1()(–h/2,h/2), A2(h)=A2(–h/2,h/2), A3(,h)=A3()(–h/2,h/2). Позначимо через h3() таке його значення, яке більше ніж 2r*(A3())/ та задовольняє рівності

;

нехай

В третьому підрозділі четвертого розділу доведене таке твердження.

Теорема .3. Якщо h?h3(), то має місце оцінка (,h)?R(A3(,h))?3(,h). Якщо h>h3(), то R(A3(,h))=3(,h).

Доведення відповідних тверджень для циліндрів, основами яких виступають кругові сектори або трикутник Рело, є цілком аналогічними. Тому в дисертації ці твердження сформульовані без доведення.

П’ята частина дисертації присвячена застосуванню отриманих результатів в комплексному аналізі та теорії апроксимацій. Вона складається з чотирьох підрозділів.

В першому підрозділі отримано уточнення класичної теореми Морери про аналітичність функції.

Будемо казати, що функція fHol(B), якщо вона майже всюди співпадає з голоморфною в B функцією. Якщо A, B – області в C, то через Mor(A,B) позначимо множину функцій з Lloc(B), для яких вірна рівність для всіх Mot(,B). Множину функцій Mor?(A,B) визначимо як перетин Mor(A,B) з C?(B). В першому підрозділі п’ятого розділу доведене таке твердження.

Теорема 5.2. Наступні твердження є вірними:

1. Якщо (0, 2)\{}, R>1(), та f Mor(A1(),BR), тоді fHol(BR).

2. Якщо (arccos(4/5),), R=1(), тоді існує функція
f Mor(A1(),BR)\Hol(BR).

3. Якщо (0, 2)\{}, r*(A1())<R<1(), то існує функція
f Mor?(A1(),BR)\Hol(BR).

Решта теорем цього підрозділу є аналогами теореми 5.2, тому наводяться без доведення. В них замість секторів розглядаються трикутник Рело, сегменти та кругові лінзи.

В другому підрозділі п’ятого розділу отримані теореми типу Морери в областях зі слабкою умовою конуса. Будемо казати, що область BC задовольняє слабкій умові конуса та позначати BK,h ((0,/2), h>0), якщо для довільної точки zB існує таке число (–,], що z+T,h,B, де T,h,={zC: 0<Re(ze-i)?h, |–arg z|?}. Якщо C, а AC, то будемо позначимо A={zC: z/A}, нехай r0(,h)=h sin/(1+sin ). Доведено таке твердження.

Теорема .6. Нехай BK,h, 0(0,2] фіксоване, S=A1(0), де (0,r0(,h)/1(0)). Тоді Mor(S,B)Hol(B).

Інші твердження, що містяться в другому підрозділі, є аналогами теореми .6. В них розглядаються трикутник Рело та сегменти.

В третьому підрозділі отримано уточнення теореми В.К. Дзядика.

Теорема .10. Нехай множина A є однією з A1(), A2, A3(), A4(,t) та відповідно R>j (j=1,2,3,4; 2=1). Нехай також u,vC(BR) – дійсні функції. Тоді для того, щоб одна з функцій u+iv або u-iv була голоморфною в BR необхідно та достатньо, щоб частини поверхонь графіків функцій u, v та , розташовані над довільною множиною A, де Mot(,BR), мали однакову площу.

В четвертому підрозділі на основі результатів дисертаційної роботи отримано наступну теорему з теорії наближень. Через Lp(BR) тут позначено множину функцій, p-тий степінь модуля яких є інтегрованою в BR функцією.

Теорема .11. Нехай число 1?p<, множина A є однією з A1(), A2, A3(), A4(,t). Тоді якщо R>j (при відповідному j=1,2,3,4; 2=1), то довільну функцію f Lp(BR) можна з довільною точністю наблизити в Lp(BR) лінійними комбінаціями індикаторів множин A, де Mot(A,BR).

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена знаходженню радіусів кругів (або куль в R3) R, для яких дана множина A є множиною Помпейю (APomp(BR)), а також дослідженню питання про приналежність даної множини сукупності множин Помпейю в крузі (кулі) найменшого зі знайдених радіусів (позначатиметься R(A)). В ній вперше в якості даних множин розглянуті такі, що мають границю, яка складається з дуги кола та двох відрізків або з більш, ніж однієї дуги різних кіл.

Вперше знайдено величини R(A) для всіх кругових секторів, трикутника Рело, для широкого класу кругових сегментів, кругових лінз та циліндрів в R3. Для решти кругових сегментів, кругових лінз та циліндрів отримані оцінки величини R(A), які покращують відомі раніше оцінки Беренстейна та Гея.

Для всіх кругових секторів A1(a) з кутовою мірою , для трикутника Рело та сегментів A3(a), дуги яких мають міру досліджене питання про те, чи є ця множина множиною Помпейю в крузі відповідного екстремального радіусу.

Всі результати одержані автором особисто. Вони є новими і докладно обґрунтованими. Основні результати роботи знаходять застосування до різних питань математичного та комплексного аналізу, до теорії наближень, а також до обертання локального перетворення Помпейю.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Машаров П.А. Про циліндри з локальною властивістю Помпейю // Вiстник Донецьконо нацiонального унiверситету. Серiя А. Природничi науки. – 2000. – № . – c. –25

2. Машаров П.А. Новая теорема типа Мореры в единичном круге // Вiсник Харкiвського нацiонального унiверситету. – 2000. – № 475, Серiя "Математика, прикл. математика i механiка", вип. 49 – с. –132.

3. Машаров П.А. Экстремальные задачи о множествах с локальным свойством Помпейю // Доповiдi НАН України. 2001. – № . – с. 25–29.

4. Машаров П.А. Решение локального варианта проблемы Помпейю для треугольника Рело // Вiсник Днiпропетровського унiверситету. Математика, випуск 6, 2001. – с. 72–81.

5. Машаров П. А. О множествах с локальным свойством Помпейю // Аналитические и численные методы в математике и механике, Труды XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, (17 – 21 апреля 2000 г.), Москва, мех.-мат. МГУ, 2001. –с. –118.

6. Машаров П. А. О замкнутости некоторых систем индикаторов плоских множеств в пространствах Lp // International Conference dedicated to M. A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centerary. Abstract. – Kiev.: IM NAS Ukraine, 2000. – с. –78.

7. Машаров П. А. Решение локального варианта проблемы Помпейю для треугольника Рело // Працi наукової конференції Донецького нацiонального унiверситету за пiдсумками науково-дослiдницької роботи за перiод 1999–2000 рр. (секцiя математики) 18–20 квiтня 2001 р., с. –6.

8. Машаров П. А. О плоских множествах с локальным свойством Помпейю // International conference on complex analysis and potential theory (Ukrain, Kiev 7–12 august 2001), Abstracts, p. –78.

9. Машаров П. А. Экстремальные варианты проблемы Помпейю для круговых луночек // Тезисы докладов международной конференции "Теория функций и математическая физика", посв. 100-летию Н. И. Ахиезера, Харьков, 13–17 авг. (2001), с. –68.

АНОТАЦІЇ

Машаров П.А. Екстремальні задачі про множини Помпейю. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2005.

Дисертацію присвячено розв’язанню локального варіанту проблеми Помпейю для деяких плоских множин, а також – дослідженню питання про те, чи є дана множина множиною Помпейю в крузі знайденого екстремального радіусу. В ній вперше в якості множин розглянуті такі, границя яких складається з дуги кола та двох відрізків або з більш, ніж однієї дуги різних кіл.

В роботі знайдено точну нижню межу радіусів кругів, для яких дана множина є множиною Помпейю в крузі цього радіусу для наступних множин: всі кругові сектори, трикутник Рело, широкий клас кругових секторів, кругових лінз та циліндрів в R3. Для решти кругових сегментів, кругових лінз та циліндрів отримані оцінки шуканої величини, які покращують відомі раніше оцінки Беренстейна та Гея.

Для всіх кругових секторів A1(a) з кутовою мірою , для трикутника Рело та сегментів A3(a), дуги яких мають міру досліджене питання про те, чи є ця множина множиною Помпейю в крузі відповідного екстремального радіусу.

Ключові слова: проблема Помпейю, множина Помпейю, екстремальний радіус, локальний варіант проблеми Помпейю, досягнення екстремального радіусу, теореми Морери та Дзядика про голоморфність функції, трикутник Рело.

Машаров П.А. Экстремальные задачи о множествах Помпейю. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2005.

Диссертационная работа посвящена решению локального варианта проблемы Помпейю для некоторых плоских множеств, а также – исследованию вопроса о том, является ли рассматриваемое множество множеством Помпейю в круге найденного экстремального радиуса. В ней впервые в качестве множеств рассматриваются такие, границы которых состоит из дуги окружности и двух отрезков или из более, чем одной окружности.

Рассмотрим функцию

Во второй главе доказано, что для каждого кругового сектора, отличного от полукруга, со стороной равной единице и угловой мерой , искомый экстремальный радиус равен 1(). Кроме того, получено, что каждый сектор с угловой мерой является множеством Помпейю в круге радиуса 1(). Для углов подобный вопрос не имеет смысла, так как в этом случае невозможно поместить замкнутый сектор со стороной единичной длины в открытый круг радиуса 1.

В третьей главе исследуются основные проблемы диссертации для треугольника Рело ширины 1. Экстремальный радиус в этом случае равен 1. Доказано также, что такой треугольник Рело является множеством Помпейю в единичном круге.

В четвертой главе найдены экстремальные радиусы для широкого класса круговых сегментов, круговых луночек и цилиндров в R3, а для остальных множеств этого вида получены оценки искомой величины, которые уточняют известные ранее оценки Беренстэйна и Гэя. Для круговых сегментов с угловой мерой дуги доказано, что такие сегменты являются множествами Помпейю в кругах найденных экстремальных радиусов.

Пятая глава посвящена применениям полученных результатов в комплексном анализе и в теории аппроксимаций. Здесь получены уточнения классической теоремы Мореры об аналитичности непрерывной функции, интегралы от которой по всем замкнутым спрямляемым кривым равны нулю. В качестве кривых рассматриваются такие, которые являются границами всех содержащихся в данном круге множеств, конгруэнтных одному из рассматриваемых в диссертации. Также получены теоремы типа Мореры в областях со слабым условием конуса и теоремы типа Дзядыка в круге. Кроме этого, получена теорема о замкнутости в Lp (1?p<) линейных комбинаций индикаторов множеств, конгруэнтных одному из рассматриваемых в диссертации.

Ключевые слова: проблема Помпейю, множество Помпейю, экстремальный радиус, локальный вариант проблемы Помпейю, достижимость экстремального радиуса, теоремы Мореры и Дзядыка о голоморфности функции, треугольник Рело.

Masharov The extremum problems on Pompeiu sets. – Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2005.

The dissertation is devoted to solving a local Pompeiu problem for some flat sets, and to investigation of the question if the given set is the Pompeiu set in the circle with a found extreme radius. The sets with boundary which contains the circumference arc and two line segments or more than one circumference arcs are considered for the first time.

The infimum of circles radii has been found in which every of the following sets: circular sectors, Reuleaux triangle, wide range of circular segments, circular lunes, and cylinders in R3 is the Pompeiu set. The estimates of sought quantity for the other circular segments, circular lunes, and cylinders are obtained. These estimates improve the well known estimates of C.A.and R.

For all circular sectors A1(a) with angle standard , Reuleaux triangle, and segments A3(a) with angle standard the question if the given set is the Pompeiu set in the circle with a found extreme radius is investigated.

Key words: Pompeiu problem, Pompeiu set, extreme radius, local Pompeiu problem, accessibility of extreme radius, Morera and Dzyadyk theorems about analyticity of function, Reuleaux triangle.