КИїВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

МАШКЕВИЧ СТЕФАН ВОЛОДИМИРОВИЧ

УДК 530.145; 531.19; 537.633.2

КВАНТОВА ТА СТАТИСТИЧНА МЕХАНІКА

СИСТЕМ ІЗ ДРОБОВОЮ СТАТИСТИКОЮ

Спеціальність 01.04.02 – теоретична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

КИЇВ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Стасюк ІгорВасильович

Інститут фізики конденсованого стану, Львів,

заступник директора

доктор фізико-математичних наук, професор

Ребенко ОлексійЛукич

Інститут математики, Київ,

провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор

Ситенко ЮрійОлексійович

Інститут теоретичної фізики ім.М.М.Боголюбова, Київ,

завідувач відділу квантової теорії поля

Провіднаустанова:

Національний науковий центр

“Харківський фізико-технічний Інститут”, Харків

Захист відбудеться 27 вересня 2005 р. о 14:00 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради

Д 26.001.08 Київського національного університету

імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, Київ, проспектГлушкова, 2,

корпус 1, фізичний факультет,ауд. 500.

З дисертацією можнаознайомитись у науковійбібліотеці

Київського національногоуніверситету імені ТарасаШевченка

за адресою: 01033, вул.Володимирська, 58.

Автореферат розісланий“_5_”__серпня__ 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої радиД26.001.08

кандидатфізико-математичних наук Свечнікова О.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальністьтеми. Робота присвячена одній зосновних концепцій у квантовіймеханіці - концепції квантової статистики.Той факт, що в двовимірному (таодновимірному) просторі загальні принципиквантової механіки дозволяютьіснування неперервного наборустатистик, що інтерполює міждвома граничними випадками бозонної та ферміонноїстатистики, призводить донеобхідності докладного розгляду новогокласу квантовомеханічнихзадач про еніони (частинки, що підкорюютьсядробовій статистиці) та їхнітопологічно нетривіальні хвильові функції.Позаяк спектри еніонних системзмінюються неперервно зі зміноюстатистичного параметра, тесаме повинне мати місце для термодинаміки. Таким чином,передбачується неперервнийперехід від фермі-газу до бозе-газу; требаз'ясувати, як саме вінвідбувається.

Дробовастатистика ніяким чином неявляє собою суто математичну концепцію; вона ефективновиникає в природі. Незважаючина те, що фундаментальні частинки можутьбути лише бозонами абоферміонами, елементарні збудження в системах, девиникає дробовий квантовийефект Холла, можуть із великою точністюрозглядатися як еніони. Це булодоведено шляхом явного аналізу хвильовоїфункції Лафліна, щодо якої, всвою чергу, було знайдено, що вона дуже добрехарактеризує основний станквантової холлівської рідини, що не стискується.Таким чином, постає одразу дваактуальних завдання: 1) виявити, щовідбувається в ідеальнійситуації, коли частинки точно описуються дробовоюстатистикою; 2) зрозуміти, якимчином такий опис може бути неточним та що з цьоговипливає. Обидва ці завданнявиконуються в дисертації.

Серед іншихпрактичних аспектів ідеїдробової статистики слід зазначити її потенційнезастосування довисокотемпературної надпровідності (що на цей моментздається дещо сумнівним, але неможе бути апріорі виключеним) та донанотехнологій, у тому числіквантових комп'ютерів (було показано, що коли елементитаких комп'ютерів підкорюютьсятакій статистиці, то їхня ефективністьта стійкість до помилокнабагато зростає). Треба також зазначити, щорозуміння квантових спектрівіз дробовою статистикою може допомогти врозв'язанні суто математичнихпроблем, як-от знаходження розподілуймовірностей чиселобертів.

На відміну відтого, як це має місце для бозонівта ферміонів, задача багатьох еніонів незводиться до задачі однієїчастинки навіть за відсутності взаємодії; томувона є нетривіальною, і всіспроби її повного точного розв'язання до цьогочасу не були успішними. Цей фактобумовлює необхідність вдаватися дочисельних методів та/аботеорії збурень.

Те, що еніоннастатистика може ефективновиникати за рахунок взаємодії, наприклад, зкалібрувальним полем, робитьактуальним інше питання: які ще існуютьможливості для того, щобстатистика відрізнялася від бозонної та ферміонної, таякий тип взаємодії можепризвести до появи інших типів статистики? Беручиза визначення різні аспектистатистики та міняючи ті визначення,отримуємо щонайменше триможливі узагальнення. Конкретно, змінюючи діюоператорів симетрії нахвильову функцію, комутаційні співвідношення міжоператораминародження/знищення, абоправила підрахунку числа станів,отримуємо концепції,відповідно, парастатистики, куонної статистики таексклюзійної статистики.Остання виявляється найбільш цікавою та багатою зточки зору практичногозастосування. Вже відомо, що, незважаючи на дужерізні визначення, є певнийзв'язок між ексклюзійною статистикою таеніонною статистикою. Вдисертації розглядається цей зв'язок у двох різнихситуаціях та встановлюєтьсяйого мікроскопічна природа.

Топологія двовимірногопростору призводить до щеодного нового явища: статистика більше не євластивістю саме лише тотожнихчастинок. Це має як практичний (квазіелектрони таквазідірки в дробовомуквантовому ефекті Холла), так і концептуальнийаспект. Треба зрозуміти, якстатистика багатьох сортів частинокспіввідноситься зістатистикою тотожних частинок, який вигляд мають відповідніхвильові функції, і т. ін.

Близько пов'язаний ізпопереднім є інший кластопологічних квантовомеханічних задач - задачі просистеми з магнітнимидомішками. Вони мають відношення як до систем іздробовим квантовим ефектомХолла, так і до мікроскопічних та наносистем, такихяк квантові точки та,потенційно, квантові комп'ютери.

Зв'язок роботи знауковими програмами, планами,темами. Дисертаційнідослідження були часткововиконані в рамках Комплексної наукової програми“Електро- та магнітооптикагетерогенних рідкокристалічних та іншихструктурно подібних систем”,номер теми БФ051-07, держ. реєстрація 0101U002881.

Мета дисертаційної роботи: знайтизагальні та конкретніквантовомеханічні та термодинамічні властивостісистем тотожних та таких, щорозрізняються, частинок, які підкорюютьсядробовій статистиці, а такожвиявити зв'язки між різними типами такоїстатистики.

Для досягнення поставленоїмети необхідно було вирішитітакі задачі:

1. Зібрати якомога більшеточної та чисельної інформаціїв задачі трьох еніонів та виробитисистематику триеніонногоспектру.

2. Узагальнити відомий точнийрозв'язок рівняння Шредінгерадля N еніонів на найнижчому рівні Ландаусильного магнітного поля навипадок багатьох сортів та на режим“антиекранування” (колинапрямок магнітних потоків еніонів співпадає з напрямкомзовнішнього магнітного поля).

3. На основі вищезгаданогорозв'язку встановити зв'язокміж еніонною статистикою та дробовоюексклюзійною статистикою длявипадків одного та багатьох сортів.

4. Розв'язати модельнітопологічніквантовомеханічні задачі длясистем частинок і магнітних домішок,визначити структуру спектрівтаких систем.

5. Зрозуміти, як відбиваєтьсяна статистиці скінченнийрозмір частинок в площині, а також скінченнийрозмір системи в третьомувимірі. Обчислити статистичний форм-фактор впевних теоретикопольовихмоделях; показати, як дробова статистикаефективно виникає, количастинки знаходяться в площині зі скінченноюймовірністю.

6. “Виправити” теорію збурень,в якій мале відхилення відбозонної статистики розглядається якзбурення, таким чином, щобпертурбативні корекції не містили сингулярностей дляідеальних (точкових) еніонів тащоб пертурбативні ряди рівномірнозбігались для еніонівскінченного розміру.

7. Обчислити третій тачетвертий віріальнікоефіцієнти точкових еніонів та зробити висновки проскінченність та збіжністьвіріального розкладу.

8. Розробити статистичнумеханіку для дробовоїстатистики багатьох сортів частинок. Отриматизагальний вигляд кластерногота віріального розкладів для ексклюзійноїстатистики; чисельнорозрахувати мішані віріальні коефіцієнти низькихпорядків для еніонів багатьохсортів.

9. Знайти термодинамічнівластивості ідеальних еніонівна найнижчому рівні Ландау, еніонівскінченного розміру тапсевдотривимірних еніонів.

Об'єктомдослідження є дво-та одновимірні квантові системи.

Предметомдослідження єдробова (проміжна) статистика, що є можливою в такихсистемах.

Методамидослідження єквантовомеханічний формалізм; теорія груп тазастосування властивостейсиметрії; теорія диференційних рівнянь; методфункцій Гріна; чисельні методи,зокрема чисельна діагоналізація матриць таметод Монте-Карло.

Науковановизна отриманихрезультатів. В даній роботі:

1. Вперше обчисленоточні кратності виродження станів трьохеніонів із заданими значеннямиенергії та кутового моменту, а також звеликою точністю та до високихзначень енергії чисельно знайдено спектрсистеми трьох еніонів угармонічному потенціалі.

2. Введено поняття еніоннихтраєкторій, тобто неперервнихзалежностей енергетичних рівнів відкутового моменту. Показано, якуявлення про траєкторії спрощує розумінняспектру довільного числаеніонів, та знайдено властивості і побудованокласифікацію триеніоннихтраєкторій.

3. Чисельно знайдено (зточністю на чотири порядкибільшою, ніж раніше) третій та (вперше) четвертийвіріальні коефіцієнти еніонів.Спростовано гіпотезу, що існувала раніше, щодоточної формули для третьоговіріального коефіцієнта, та поданосвідчення на користь того, щовсі віріальні коефіцієнти еніонів є скінченними.

4. Вперше побудованокластерний та віріальнийрозклади для еніонів, що розрізняються; чисельнознайдено мішані віріальнікоефіцієнти третього порядку та зформульованонаближення двохчастинковихкореляцій, в якому віріальний розклад має дужепростий вигляд.

5. Вперше чисельно вирішенозадачі (1+2) та (2+1) тіл для системичастинок з магнітними домішками. Отриманонаближене рівняння, що являєсобою умову перетину рівнів для основного станув системі (2+1) тіл.

6. Вперше отримано вирази длявіріальних коефіцієнтівеніонів скінченного розміру в двох граничнихвипадках. Обчисленоформ-фактор статистичного параметру у конкретнійпольовій моделі, де ефективновиникають еніони скінченного розміру.

7. Послідовно розробленотеорію збурень для еніонів.Продемонстровано, як за допомогою належногоперетворення хвильовоїфункції “виправити” теорію збурень, тобтопозбавитись сингулярностей увипадку точкових еніонів та забезпечитирівномірну збіжність дляскінченного розміру.

8. Вперше розглянутотривимірну модель, в якійефективно виникає дробова статистика. Показано, якскінченна ймовірністьзнаходження частинок у площині впливає на їхнійефективний статистичнийпараметр, а також продемонстровано, як статистичнавзаємодія на площині можепризводити до утворення зв'язаних станів навітьза відсутності потенціалу вперпендикулярному напрямку.

9. Побудованоквантовомеханічну модельексклюзійної статистики:показано, який вигляд повинен матибагаточастинковий спектр, абичастинки ефективно підкорювалися такійстатистиці.

10. Розроблено термодинамікуексклюзійної статистики.Вперше отримано кластерний та віріальнийрозклади у загальному випадку,як для одного, так і для багатьох сортів частинок,та встановлено зв'язок цієїстатистики із моделлю еніонів нанайнижчому рівні Ландау, щоточно розв'язується.

Практичнезначення отриманихрезультатів полягає в тому, що в роботірозвинено та узагальненопідходи та методи, за допомогою яких можутьдосліджуватись багато іншихзадач, що мають відношення до низьковимірних систем татопологічних аспектівквантової механіки. Зокрема, розроблений в роботіметод монтекарловськогообчислення статистичних сум може бутивикористаний для будь-якихтопологічних квантовомеханічних моделей.Обчислення спектру систем здомішками дозволяє вирішити суто математичнузадачу про розподілімовірностей чисел обертів. Результати можуть бутивикористані для розв'язкуприкладних задач, пов'язаних із квантовим ефектомХолла, квантовими комп'ютерами,та в потенціалі - високотемпературноюнадпровідністю. Отриманірезультати збагачують загальні уявленняквантової механіки таквантової статистики.

Особистий внесок здобувача у роботи,виконані у співавторстві,визначається наступним чином. В роботах[3] та[10] автор cформулювавзадачу, взяв участь врозрахунках та здійснив якісний аналіз результатів.В роботі [4] автор здійснив більшість аналітичнихта всі чисельні розрахунки. Вроботах [5] та[6] авторвзяв участь у формулюванні задачі та врозрахунках. В роботі [7] авторвзяв участь у формулюванні задачі, здійснив всікомп'ютерні аналітичнірозрахунки та отримав рівняння стану еніонівбагатьох сортів. В роботі [8]автор cформулював задачу,здійснив більшістьаналітичних та всі чисельні розрахунки. В роботі[9] авторвисловив ідею, розробив класифікаціюспектру трьох еніонів та взявучасть в аналітичних розрахунках. В роботі [11] авторрозробив алгоритм обчислення,винайшов методи екстраполяції, що їхзастосовано, та здійснив всічисельні розрахунки. В роботі [14] автор взяв участьу формулюванні задачі та здійснив частинуручних та всі комп'ютерніаналітичні розрахунки. В роботі [15] автор взяв участьу формулюванні задачі, здійснив чисельнірозрахунки разом із Я.Мірхеймом та взяв участь в обробці чисельнихрезультатів. В роботі[17] автор взяв участь у формулюваннізадачі та в аналітичнихрозрахунках. В роботі [18]автор взяв участь уформулюванні задачі, здійснив частину аналітичних тавсі чисельні розрахунки. Вроботі [19] авторвзяв участь у формулюваннізадачі разом із двома співавторами таздійснив чисельні розрахункиразом із Я. Мірхеймом.

Автор написав увесь текст робіт [3], [4], [8], [10], [11], [18],[19], більшість тексту[7], [9], [15], та частини тексту[5], [6], [14], [17].Аналіз та обговорення результатів у всіхвипадках проводились напаритетній основі.

Апробація результатів дисертації.Основні результатидисертаційної роботи доповідались на такихконференціях: V Іnternatіonal Conference ``Symmetry Methods іnPhysіcs'' (ОІЯД, Дубна, 1993); NATO Advanced Research Workshop ``Hot hadronіc matter: Theory and Experіment''(Дівонн-ле-Бен, Франція, 1994); ІnternatіonalWorkshop ``Quantum Systems: New Trends and Methods'' (Мінськ, 1994); XІth Іnternatіonal Congress of Mathematіcal Physіcs(Париж, 1994); 5th Іnternatіonal Symposіum on Foundatіons of Quantum MechanіcsІSQM-Tokyo'95 (Токіо, 1995); VІ Іnternatіonal Conference ``Symmetry Methods іn Physіcs'' (ОІЯД,Дубна, 1995); Іnternatіonal workshop on strongly correlated low-dіmensіonal systems(NORDІTA, Копенгаген, 1995); X Іnternatіonal Conference ``Problems of quantum fіeld theory''(Алушта, 1996); Іnternatіonal Europhysіcs Conference on Hіgh Energy PhysіcsHEP-97 (єрусалим, 1997); Іnternatіonal Conference ``Mathematіcal Physіcs - today, Prіorіty technologіes - fortomorrow'' (Київ, 1997); VІІ Іnternatіonal Conference ``Symmetry Methods іnPhysіcs'' (ОІЯД, Дубна, 1997); Іnternatіonal Workshop on Low-Dіmensіonal Physіcs(Тронхейм, 1999); 5th Lіquіd Matter Conference of the European PhysіcalSocіety (Констанц, Німеччина, 2002); 92nd Statіstіcal Mechanіcs Conference(Нью-Брансвік, США, 2004); 93rd Statіstіcal MechanіcsConference (Нью-Брансвік, США, 2005). Результати роботи такождоповідались на науковихсемінарах на: кафедрі квантової теорії поляфізичного факультетуКиївського національного університету імені ТарасаШевченка; Інститутітеоретичної фізики НАН Украіни; Харківськомуфізико-технічному Інституті;Інституті фізики конденсованого стану (Львів);Університеті Осло; НорвезькомуТехнічно-природничонауковому Університеті,Тронхейм (Норвегія);Лабораторії теоретичної фізики та статистичнихмоделей, Орсе (Франція);Білефельдському Університеті (Німеччина);Національному Інститутіядерної фізики, Турін; Університеті Салерно (Італія);Стокгольмському Університеті(Швеція); Оксфордському Університеті(Великобританія); Університетіштату Нью-Йорк у Стоні-Брук; СтенфордськомуУніверситеті; Університетіштату Меріленд, Коледж-Парк; Університеті штатуЮта, Солт-Лейк-Сіті;Рочестерському Університеті; Університеті штатуКаліфорнія, Сан-Дієго (США);Університеті Західного Онтаріо, Лондон (Канада).

Публікації.Результати, викладені вдисертації, опубліковано в 30 науковихпрацях: у 22 журнальних статтях, зяких 8 є самостійними, та у 8 матеріалах і тезахдоповідей міжнароднихконференцій.

Об'єм і структурадисертації. Дисертація складається зі змісту,вступу, шести розділів тависновків, списку використаних джерел із 217найменувань на 24 сторінках імістить 64 малюнки і 6 таблиць. Повний обсягдисертації складає 320 сторінок,обсяг основноі частини - 296 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТРОБОТИ

У Вступі до дисертаціїобговорюється стан науковоїпроблеми, обраної для теоретичних досліджень,обгрунтовано актуальністьтеми дисертацїі, сформульовано мету роботита основні завданнядосліджень, показано зв'язок дисертаційної роботи знауковими програмами, планамиі темами, відображено наукову новизну іпрактичне значення отриманихрезультатів, визначено особистий внесокздобувача, наведено дані прооб'єм і структуру дисертації і про апробацію їїрезультатів.

Перший розділприсвяченийквантовомеханічній задачібагатьох еніонів. Основне питання, щодосліджується: як влаштованийспектр N еніонів та яким чином відбуваєтьсяінтерполяція між бозонним таферміонним спектрами, коли статистичнийпараметр неперервнозмінюється від 0 до 1?

Підрозділ 1.1 маєоглядовий характер; в ньому наведено відомірезультати, щовикористовуються в цій роботі. Формулюється граничнаумова на хвильову функцію, щоявляє собою визначення еніонноїстатистики:

(1)

де alpha - дійсне число,що зветься статистичнимпараметром. Наоснові простих топологічних міркуваньдоводиться, що звичайна вимогаP_jk^2 = І, з якої випливає, що частинки можуть бути лишебозонами та ферміонами, не маємісця у двовимірному просторі, як це буловперше показано в роботіЛейнааса і Мірхейма [31]. Тож статистика у такомупросторі може змінюватисьнеперервно; звідси й термін еніон [32] (англ. anyon, відany -будь-який).

Хвильова функція Nчастинок, що задовольняє граничній умові (1)для всіх j та k, має загальнийвигляд

(2)

де z_j = x_j + і y_j -комплексна координата j-тої частинки, а psі_sym - будь-якасиметрічна функція z_1, ..., z_N. Тойфакт, що комплекснозначна функція вигляду (2) при нецілому єнеоднозначною і не може бутиподана як сума добутків одночастинковихфункцій, обумовлює принциповітруднощі в розв'язанні задачі багатьохеніонів, навіть за відсутностікласичної взаємодії.

Показано, щостатистична фаза типу (1) може виникати, количастинки являють собою такзвані зарядо-потокові композити [33] - за рахуноквзаємодії заряду з топологічно нетривіальнимелектромагнітним потенціаломмагнітного потоку, як це має місце в ефектіАаронова-Бома. Далі наведеноточний розв'язок задачі двох еніонів угармонічному потенціалі. Рухцентру мас відокремлюється, а спектр відносного рухуявляє собою одночастинковийспектр у гармонічному потенціалі, в якомукутовий момент набуваєдробової частини, що дорівнює статистичномупараметру. Таким чином, маємолінійну (за статистичним параметром)інтерполяцію для всіх рівнів,що дає неперервний перехід від бозонного доферміонного спектру[31,32]. Такі “лінійні” стани, яквиявляється, можуть бутиузагальнені на випадок N енонів, але для N>2 вони невичерпують весь спектр.Лінійними станами є ті, в яких відносний кутовий моментвсіх N(N-1)/2пар частинок має один і той самий знак. Наквазікласичній мові, всі париобертаються в одному й тому самому напрямку.Кожна пара дає однаковийвнесок, +-alpha, в повну енергію, і, відповідно, повнаенергія дорівнює E() = E(0) +- N(N-1)/2.

В підрозділі 1.2 йдеться прозадачу трьох еніонів[1]. Виявляється, що самі лишеміркування симетрії танеперервності спектру дозволяють знайти точнікратності станів, щоінтерполюють між заданими бозонними та ферміоннимирівнями. Оскільки кутовиймомент у гармонічному потенціалі зберігається,довільний еніонний станінтерполює між бозонним станом із заданимизначеннями енергії та кутовогомоменту (E,L) та ферміонним станом ізвідповідними значеннями (E+Delta E, L+DeltaL). Можна показати, що для всіх станів Delta L = 3, тоді як Delta E моженабувати значень -3, -1, +1 або +3 (водиницях гармонічної частоти). При цьомустани з Delta E = +- 3 є “лінійними”(енергія лінійно залежить від статистичногопараметру), стани з Delta E = +- 1 -“нелінійними”. Отже, маємо чотири групи станів, та,відповідно, чотири невідомихкратності для кожної пари (E,L), для знаходженняяких потрібно чотири рівняння.Два рівняння випливають із неперервностіспектру (повне число станів набозонній та ферміонній границях,відповідно, дорівнює відомимкратностям). Третє - із властивості P-симетрії, що їїможна застосувати наферміонній границі. Четверте - із властивості такзваної “суперсиметрії” [34,35]:множина нелінійних станів виявляєтьсясиметричною щодо перетворенняalpha -> 1-alpha. Таким чиномвиникає можливість точнообчислити кратності, а отже побудувати картинуінтерполяції спектру, в якійневідомим залишається тільки точний виглядзалежності E(alpha) для нелінійнихстанів.

З огляду на періодичністьумови (1) по alpha, весь еніоннийспектр має бути інваріантним щодо заміни alpha to alpha+2. Цеозначає, що коли якийсьіндивідуальний стан, визначений на інтервалі alpha іn[0,2), подовжити за межі цьогоінтервалу, він співпаде з якимось іншим станом,що без врахування вказаноїперіодичності сприймався б як окремий. Інакшекажучи, нескінченна кількістьстанів на інтервалі alpha іn [0,2) насправдіявляє собою іt один і той самийстан на інтервалі alpha іn (-іnfty,іnfty). Зручніше, ніж alpha,розглядати як незалежну зміннукутовий момент L, що визначений однозначно.Спектр еніонів, таким чином,являє собою множину функцій E(L), що отрималиназву іt траєкторій (термін єалюзією на траєкторії Редже) [9]. В підрозділі 1.3розглядаються властивостіеніонних траєкторій, подається повнакласифікація триеніоннихтраєкторій та робляться деякі загальні висновки щодоN-еніонного випадку.

Наступний підрозділ, 1.4,присвячений чисельномурозв'язку задачі трьох [5,20].Шляхом введення новихкоординат, що являють собою дискретнефур'є-перетворення трьохкомплексних координатчастинок, відокремлюється рух центрумас, а гамільтоніан зберігаєсиметричну форму щодо двох координат, щозалишаються, та припускаєрозділення змінних. Втім, еніонні граничні умовивиявляються несумісними зрозділеною формою хвильової функції, тожостанню треба шукати у вигляділінійної комбінації одночленів по новихкоординатах. В кінцевомупідсумку задача зводиться до ефективної задачі зодним ступенем свободи таанулювання детермінанту. Знайдено, що навіть заневисоких значень енергії(порядку 10) існують стани з Delta E = +- 1, для якихзалежність E(alpha) є лінійною зточністю до 10^-4 та вище. Подано квазікласичнуінтерпретацію таких“квазілінійних” станів. Показано також, як переходити відіндивідуальних станів дотраєкторій (рис. 1).

Рис. 1. Прикладтраєкторії, тобто залежності E(L), для трьох еніонів.Крапками та хрестикамипозначені точки, в яких статистика є, відповідно,бозевською та фермієвською.

В підрозділі 1.5йдеться про систему N еніонів, для якої може бутиотриманий повний розв'язок унаближенні, що має чіткий фізичний сенс.Мається на увазі системаеніонів на найнижчому рівні Ландау у сильномумагнітному полі. Виявляється,що всі стани, котрі належать до найнижчогорівня Ландау, відносяться докласу лінійних; отже, їхня енергія відома точно.Оскільки вищі рівні Ландаувідділені енергетичною щіллю, розмір якої єпропорційним до циклотронноїчастоти, виникає можливість побудуватирівняння стану, яке будесправедливим за умови, що температура набагатонижча, ніж циклотронна частота.Для так званого режиму екранування (колинапрямок магнітних потоківеніонів в моделі зарядо-потокових композитівє протилежним до напрямкузовнішнього поля) це було зроблено раніше [36];тут розглядається режимантиекранування (напрямок потоків співпадає знапрямком поля), який є більшскладним [17].Доведено, що рівняння стану маєвигляд

(3)

де rho_rm L = eB/2pі - густинастанів на одному рівні Ландау на одиницюплощини, nu = rho/rho_rm L - числозаповнення. За умови іt критичного заповнення, nu = 1/(2+alpha), тискрозбігається; реально цеозначає, що починають відігравати роль вищірівні Ландау.

У другому розділі розглядаютьсяузагальнення еніонів.Елементарні частинки в реальному тривимірномупросторі не можуть бутиеніонами. Дробова статистика може практичновиникати тільки за умовиефективної розмірної редукції та наявності взаємодіїааронов-бомівського типу міжчастинками. Мета цього розділу -проаналізувати, щовідбувається, коли та й/або іншаумова виконуються лишеприблизно (що й відповідаєбудь-якій практичній ситуації). Виявляється також, щоакуратний розгляд моделі, вякій ааронов-бомівськи потоки маютьскінченний розмір, дозволяєподолати певні труднощі, що виникають у теорії збуреньза умов, коли потоки є точковими,тобто сингулярними.

В підрозділі 2.1вводиться поняття про еніони скінченногорозміру. Це зарядо-потоковікомпозити, в яких густина магнітного потоку єскінченною. На відстанях, щонабагато перевищують характерний радіусмагнітного потоку, такічастинки поводять себе як ідеальні (точкові) еніони, тодіяк на відстанях, набагатоменших за цей радіус, ефективної змінистатистики немає. Еніонискінченного розміру виникають у так званих мішанихчерн-саймонсівських моделях,де частинки у (2+1)-вимірній теорії полявзаємодіють із калібрувальнимполем, до лагранжіану якого входить топологічнийчлен Черна-Саймонса табудь-який інший член. За таких умов точковий зарядстає джерелом магнітного поля,що певним чином залежить від відстані.Розподіл магнітного потоку завідстанню є іt статистичним форм-фактором, щовизначає, як само ефективнозмінюється статистика носіїв заряду.Статистичний форм-фактор f(r)визначаємо як профіль магнітного потоку (вважаємо, щовін залежить тільки відрадіусу), нормований на одиницю

(4)

де phі(r) - потік черезколо радіусу r. Конкретний виглядформ-фактора залежить відвигляду лагранжіана. В роботі, заради повноти, наводитьсяобчислення форм-фактора вмоделі Максвелла-Черна-Саймонса [37], після чогоцей фактор обчислюється [4] упевній P,T-інваріантній моделі [38,39].

Виходячи з того, щозадача N еніонів, ймовірніш за все, не можебути вирішена точно, виникаєідея про застосування теорії збурень за умов,коли відхилення від бозонноїабо ферміонної статистики є малим. У моделізарядо-потокових композитівможна розглядати частину гамільтоніана, щовідповідає за взаємодію зарядуз калібрувальним потенціалом, якзбурення. Однак спробаобчислити стандартну пертурбативну корекцію доосновного стану двох бозонів (атакож для будь-якого стану, в якому відноснийкутовий момент пари частинокдорівнює нулю) призводить до розбіжностей.Причина полягає в тому, щохвильова функція таких станів на малихвідстанях r поводить себе як r^alpha.Відповідно, збурену хвильову функцію, щообертається в нуль при r=0, неможна подати як незбурену функцію, що не обертається внуль, плюс малий доданок.Стандартна теорія збурень не працює: має місцеультрафіолетова розбіжність.

Перехід від ідеальних(точкових) еніонів до еніонівскінченного розміру дозволяє зрозуміти ситуацію іпобудувати коректнийпертурбативний алгоритм. Це зроблено в підрозділі2.2 [12]. Прискінченному розмірі еніонів хвильовіфункції завжди єнесингулярними, тому пертурбативні ряди збігаються; але,як виявляється, радіусзбіжності прямує до нуля разом із радіусоммагнітного потоку. Аналізситуації зі скінченним радіусом дозволяємодифікувати теорію збуреньтаким чином, щоб корекції, котрі розбігаються всингулярній границі, невиникали. Ідея полягає в перевизначенні хвильовоїфункції, за рахунок якогопотенційно сингулярний множник ізолюється, тазастосуванні теорії збурень дорегулярної частини. Показано, що якщо ввестианзац

(5)

із функцією chі(r), щозадовольняє диференційному рівнянню

(6)

то теорія збуреньдля функції tіldepsі(r), із гамільтоніаном, щоперевизначається відповіднимчином, збігається за як завгодно малих значеньрадіусу магнітного потоку.Перевірено, що пертурбативна поправкапершого порядку відповідаєточному розв'язку в простій моделі еніонівскінченного розміру, в якійпотік рівномірно розподілений по колу радіусу R. Всингулярній границі, коли f(r) = theta(r),маємо chі(r) = r^alpha. Таким чином, ізолюється тоймножник в хвильовій функції, щоповодить себе непертурбативно по alpha.Пертурбативна поправкапершого порядку дає точний вираз для енергії основногостану N еніонів.

В підрозділі 2.3аналізується ефект скінченного розміру втретьому вимірі [8]. Як було показано вище, дробовастатистика може ефективновиникати, коли рух в напрямку, перпендикулярномуплощині, є вимороженим, ачастинки в площині взаємодіють подібно дозарядо-потокових композитів.Що відбувається, коли третій ступень свободивиморожений не повністю? Вякому сенсі можна говорити про ефективнудробову статистику в трьохвимірах?

Перша модель, щорозглядається - модельчастинок, що зі скінченноюймовірністю знаходяться уфіксованій площині тавзаємодіють ааронов-бом-подібним чином тільки в цій площині.Це відповідає ситуації,подібної до квантового ефекту Холла, але зурахуванням неідеальноїдвовимірності системи (збудження можуть виходити зплощини). Показано, щопертурбативна поправка першого порядку доосновного стану N частинок втакій моделі становить N(N-1)/2w_0^2alpha, де w_0 - імовірністьзнаходження одної частинки в площині. Таким чином,ефективно має місце дробовастатистика з параметром w_0^2alpha. Цей результатінтуїтивно зрозумілий, зврахуванням парного характеру статистичноїкореляції.

В другій моделі вважається, щофіксована площина відсутня, ачастинки підлягають статистичнійвзаємодії, коли різниця їхніхтретіх координат, Delta z, не перевищує певноївеличини l. З точністю доспрощеного характеру взаємодії, це відповідаєзарядженим магнітнимсоленоїдам скінченної довжини, орієнтованим по вісі z(соленоїди нескінченноїдовжини є ідеальними еніонами). Якщо частинки безурахування статистичноївзаємодії є ферміонами, внесок руху в площині xy венергію їхнього відносногоруху менше при |Delta z| < l, ніж при |Delta z| > l (бо в першомувипадку вони ефективно єеніонами, а енергія основного стану двох еніонівменше, ніж двох ферміонів). Такимчином, виникає ефективний потенціал, щозалежить від z, з потенційноюямою при |Delta z| < l. Оскільки в одновимірнійпотенційній ямі, незалежно відїї глибини, завжди існує принаймні один зв'язанийстан, приходимо до висновку, що вмоделі, про яку йдеться, завжди існуютьзв'язані стани навіть завідсутності зовнішнього потенціалу.Статистична взаємодія сама пособі може утримувати частинки поблизу від одноїплощини.

У третьомурозділі йдетьсяпро статистику частинок, що розрізняються. Ті саміміркування, з яких випливаєіснування дробової статистики, призводятьдо висновку про можливість“статистичної взаємодії” нетотожнихчастинок. Дійсно, позаяк P_jk^2 ne І,для частинок різних сортів, a і b, можна накласти

(7)

де взаємний статистичний параметр alpha_ab -знов-таки будь-яке дійсне число.Умова (7), вочевидь, є періодичною по alpha_ab зперіодом 1, і цілі значеннявідповідають звичайним частинкам, щорозрізняються - тобтовідсутності будь-якої кореляції. Коли ж частинки являютьсобою, приміром,зарядо-потокові композити із різними значеннями зарядів тапотоків, величина alpha_ab стаєдробовою; маємо так звану взаємну статистику.

В підрозділі 3.1обговорюються загальні властивості частинокіз взаємною статистикою таїхніх хвильових функцій. Узагальненнямграничних умов (1) на випадокчастинок, що розрізняються, є рівняння (7) та більшсильна умова для тих парчастинок, що є тотожними:

(8)

Узагальненнямвиразу (2) дляхвильової функції є

(9)

де psі_rm sym єоднозначною функцією, симетричною лише відносноперестановок частинок одного йтого самого сорту. Така функція задовольняєумовам (7)-(8). Таксамо, як для тотожних еніонів,існують точні розв'язки рівняння Шредінгера,з енергією, що лінійно залежитьвід всіх статистичних параметрів (угармонічному потенціалі); це тістани, де всі пари обертаються в одному й томусамому напрямку, і внесок пари“частинка сорту a + частинка сорту b” доповної енергії дорівнює +-alpha_ab.Знов-таки, ці стани складають весь спектр лише увипадку двох частинок.

Твердження про те,що в сильному магнітному полі всі стани, якіналежать до найнижчого рівняЛандау, можуть бути знайдені точно,залишається справедливим і ввипадку еніонів, що розрізняються. Така системарозглядається в підрозділі 3.2.Нехтуючи внеском від вищих рівнів Ландау,можливо знайти рівняння стану(див. підрозділ 6.4); в режимі екранування церівняння має вигляд

(10)

в режиміантиекранування - той самий вигляд із заміною alpha_aa to alpha_aa+2, alpha_abto alpha_ab+1 (пор. (3)).

Друга половинатретього розділу присвячена системам змагнітними домішками. Підмагнітною домішкою в цьому контексті розуміємостатичний магнітний потік.Коли заряджена частинка обертається навколодомішки, її хвильова функціянабуває фазового множника, що дорівнюєдобутку заряду на магнітнийпотік. Задача про частинки з домішками цілкомеквівалентна задачі про еніонибагатьох сортів, частина з яких маєнескінченну масу. Практичнацінність таких задач полягає, по-перше, в їхньомузв'язку з ситуаціями типуквантового ефекту Холла та, потенційно, еніоннимиквантовими комп'ютерами йіншими нанотехнологічними застосуваннями,по-друге, в тому, що обчисленнястатистичної суми системи “1 еніон + N домішок”дозволило б вирішитиматематичну задачу про розподіл імовірностейчисел обертів замкнених путейна площині з N виключеними точками.

В підрозділі 3.3 розглядаєтьсясистема (1+2) тіл (одна частинкаплюс дві домішки) [18].Виявляється, що ця задача заскладністю приблизно еквівалентна задачітрьох еніонів; той факт, що двічастинки є статичними, не набагато спрощуєситуацію. Як і раніше, длядискретизації спектру застосовуєтьсягармонічний потенціал; двідомішки розташовуються на рівній відстані rho_0 та впротилежних напрямках відцентру, але їхні параметри (параметр домішкивизначається як магнітнийпотік в одиницях кванту потоку) вважаються різними.Хвильову функцію шукаємо яксуперпозицію парціальних хвиль із цілимизначеннями кутового моментупри rho < rho_0 та як суперпозицію хвиль іззначеннями кутового моменту,дробові частини яких дорівнюють сумі параметрівдомішок, при rho > rho_0; граничні умовизв'язують ці два вирази на колі rho = rho_0 такимчином, аби при обході навколодомішок виникали необхідні фазові множники. Врезультаті отримуємонескінченну систему рівнянь для коефіцієнтіврозкладу, що має бути обрізаната вирішена чисельно (детермінантприрівнюється до нуля). Булообчислено основний стан та два найнижчих збудженихстани, якісно обгрунтовановідповідні залежності енергії від параметрівдомішок та проаналізованозалежність їхніх енергій від відстані міжними. Залежність від відстаніхарактеризується наявністю перетину рівнів,коли параметри домішокспівпадають, та відштовхування рівнів в іншомувипадку; це пояснюється тим, щопри співпадінні параметрів, на відміну відзагального випадку, має місцеC_2-симетрія, та рівні, що перетинаються,відповідають різній симетріїхвильових функцій.

Задачі (2+1) тіл присвяченийпідрозділ 3.4 [21]. Система, що розглядається, являє собоюстандартну систему двохеніонів у гармонічному потенціалі, в центрі якогорозміщений магнітний потік.Наявність останнього призводить до того, щорух центру мас невідокремлюється; виникає необхідність вирішуватизадачу в термінаходночастинкових координат. Алгоритм полягає в тому, щобокремо розглядати ситуацію |z_1| <|z_2|, в якій хвильову функцію треба шукати яксуперпозицію хвиль з кутовимимоментами з дробовою частиною gamma для першоїчастинки та alpha+gamma для другої, де alpha -статистичний параметр еніонів, gamma -параметр домішки, окремо |z_1| > |z_2|, та“зшивати” рішення граничними умовами при |z_1| = |z_2|.За умови gamma=0 таким чиномвідтворюється розв'язок стандартної задачідвох еніонів. За ненульовихзначень gamma, частина станів потрапляє до класулінійних, подібно до того як цевідбувається в системі N еніонів. Це ті стани,де знак відносного кутовогомоменту пари еніонів співпадає зі знакоммагнітного потоку домішки;внесок від пари еніонів до повної енергіїдорівнює alpha, кожної з двох пар“еніон + домішка” - gamma; таким чином, енергія лінійногостану є E(alpha,gamma) = E(0,0) +- (alpha + 2gamma). Рештустанів потрібно знаходити чисельно. Бувобчислений основний стансистеми; подібно до того, як це має місце в системітрьох еніонів, основним станомпри досить малих значеннях alpha та gamma є один злінійних станів, при більшихзначеннях - один з нелінійних. З чисельнихрезультатів виведенонаближену умову, за якої відбувається перетин цихрівнів, тобто зміна структуриосновного стану:

(11)

Поведінкаосновного стану також пояснюється з квазікласичнихміркувань.

Четвертийрозділ присвяченийтак званій ексклюзійнійстатистиці (англ.exclusіon statіstіcs). Поняття проексклюзійну статистику буловперше введено Холдейном в роботі [40]. Воно докладнообговорюється в підрозділі 4.1. Визначенняексклюзійної статистики, навідміну від еніонної, не пов'язане зрозмірністю простору абовластивостями хвильової функції. Натомість, в якостівизначення приймаєтьсяузагальнення принципу Паулі. Постулюється, щододавання одної частинки досистеми зменшує розмірність гільбертовогопростору станів, що єдоступними для подальших частинок, на деяку величину g.Інакше кажучи, додаваннячастинки виключає g станів з числа доступних;звідси й термін “ексклюзійнастатистика”. Очевидно, g=0 відповідає бозонам, g=1 -ферміонам. Проміжні значенняпризводять до дробової статистики; втім,можливі й значення g>1 або навітьg<0. Дробова величина g розуміється як середнєзначення: при додаванні Nчастинок виключається gN станів; втермодинамічній границідробовою частиною числа gN gg 1 можна знехтувати.

Це визначення легкоузагальнюється на випадок частинок, щорозрізняються. За визначеннямвзаємної ексклюзійної статистики,додавання одної частинки сортуb виключає g_ab станів для частинок сорту a, де g_ab -елемент матриці взаємноїстатистики. Зазначимо, що матриця g_ab ніяк незобов'язана бути симетричною -на відміну від багатьох еніонів, де симетріяматриці статистичнихпараметрів випливає з трансляційної інваріантності.

Як і в випадку з еніонами,ексклюзійна статистика можевиникати лише ефективно, внаслідок взаємодіїміж частинками із бозевськоюабо фермієвською статистикою. МодельХолдейна було введено вконтексті опису квазічастинкових збуджень удробовому квантовому ефектіХолла. Отже, одразу виникає питання про можливийзв'язок цієї статистики зеніонною - незважаючи на принципово різнівизначення. Казати про повнуеквівалентність завідомо не можна, бо для еніонів неіснує поняття одночастинковихстанів. Втім, якщо б виявилось, щоквантовомеханічний спектрбагатьох частинок з ексклюзійною статистикою заякихось умов співпадає зеніонним, мало б сенс казати, що еніони ефективнозадовольняють такійстатистиці. Тож виникає задача про знаходженнябагаточастинкового спектру,який би відповідав узагальненому принципуПаулі в тому ж сенсі, в якомубагатоферміонний спектр відповідаєстандартному. Цю задачувирішено в підрозділі 4.2 [13]. Увипадку одновимірногогармонічного потенціалу спектр частинок багатьохсортів, який задовольняє ційумові, має вигляд (в одиницях гармонічноїчастоти)

(12)

де n_aj - бозонніквантові числа, впорядковані так, що n_a,j+1 гq n_aj, а N_a -число частинок сорту a.Знов-таки, по аналогії з еніонами, пара частинок сорту a ісорту b дає внесок g_ab до повноїенергії.

У двовимірномувипадку спектр отримується з умови, щоузагальнений принципвиключення застосовується “вздовж одного ступенясвободи”. Якщо подати енергіюяк суму двох частин, що відповідають двомступеням свободи (у випадкугармонічного потенціалу - x- та y-координати, аборадіальний та кутовий рух), тазалишити одну частину незмінною, а другуперетворити зі зміноюстатистики подібно до (12), - знов-таки багаточастинковийспектр, що утворюється врезультаті, відповідає ексклюзійній статистиці.

Відповідність між спектром(12) таузагальненим принципом Паулі може бутипродемонстрована за допомогоюпростих якісних міркувань. Розглянемочастинки одного сорту водновимірному гармонічному потенціалі. їхні квантовічисла повинні задовольнятиумовам (з точністю до перенумерації) n^B_j+1 гq n^B_j длябозонів, n^F_j+1 > n^F_j для ферміонів.Остання нерівність уособлює принцип Паулі:наступна частинка можерозташовуватися тільки вище попередньої. Легкобачити, що між спектрами Nбозонів та N ферміонів існує бієкція: будь-якамножина n^B_j бозонних квантовихчисел взаємно однозначно перетворюється намножину n^F_j ферміоннихквантових чисел, якщо покласти n^F_j = n^B_j + j - 1.Узагальненням цьогоспіввідношення на випадокдробової статистики є

(13)

Таким чином, другачастинка розміщується якнайменше на g станіввище за першу, третя - якнайменшена g станів вище за другу, і т.д.Підставляючи задані такимчином квантові числа в вираз для енергії N вільнихчастинок в гармонічномупотенціалі, отримаємо доданок до сумарної енергіїfracN(N-1)2g. Узагальнення виразу (13) навипадок частинок, що розрізняються, має вигляд

(14)

що призводить доспектру (12).Звичайно, дробових рівнів длявільних частинок не існує; але якщо взаємодія міжчастинками може бути зведенадо ефективної заміни квантових чиселзгідно (14) - стверджуємо, що такавзаємодія еквівалентна заміні статистики збозонної на ексклюзійну. Точнедоведення еквівалентності подається врозділі 6, де розглядаєтьсятермодинаміка ексклюзійної статистики.

Наступним кроком врозумінні зв'язку між еніонною таексклюзійною статистикою єконстатація того факту, що спектр, про який йдетьсявище, притаманий еніонамбагатьох сортів на найнижчому рівні Ландау занаявності гармонічногопотенціалу - як це показано в підрозділі 3.2. Такимчином, приходимо до важливоговисновку, що становить основне твердженняпідрозділу 4.3 [14]: еніони багатьох сортів на найнижчомурівні Ландау ефективнопідкорюються ексклюзійній статистиці. Це саметвердження обгрунтовуєтьсядвома іншими способами. По-перше, якщосприймати еніони якзарядо-потокові композити, є сенс ввести наближеннясереднього поля, в якому всіпотоки усереднюються та віднімаються відзовнішнього поля (в режиміекранування) або додаються до нього (в режиміантиекранування), а частинкивважаються вільними. Не дозволяючи точно отриматиспектр або рівняння стану,такий підхід, втім, пояснює ефективневиникнення ексклюзійноїстатистики в режимі екранування. Додаючи частинку досистеми, зменшуємо величинузовнішнього поля, внаслідок чого зменшуєтьсягустина станів на рівні Ландау,яка пропорційна цьому полю, і таким чиномзменшується число станів,доступних для подальших частинок.Кількісний розрахунок даєточний результат: g_ab = alpha_ab. По-друге, цю систему можнарозглянути квазікласично. Якщоодин еніон розмістити в центрі гармонічногопотенціалу, то кутові моментивсіх інших еніонів, що обертаються навколонього, набувають дробовихчастин, що дорівнюють відповідним взаємнимстатистичним параметрам. Такафракціоналізація квантового числа, яквиявляється, відбувається вточному співпадінні з рівнянням (refnjgab). Це й означає, щочастинки, про які йдеться,ефективно підкорюються ексклюзійнійстатистиці. На відміну віднаближення середнього поля, це міркування дає вірнувідповідь як в режиміекранування, так і в режимі антиекранування (востанньому випадку треба взятидо уваги, що коли знак кутового моментузмінюється на протилежний,відповідний стан виходить з найнижчого рівня Ландау).

В підрозділі 4.4 вказується, щодля тотожних частинок існуєодновимірна модель, спектр якої являє собоюодносортову версію спектру(12). Це модельКалоджеро [41,42] (атакож Сюзерленда [43,44]), що точнорозв'язується, в якій частинки в гармонічній потенційній ямівзаємодіють череззворотньо-квадратичний потенціал.Чи існуєузагальнення цієї моделі на випадок багатьох сортівчастинок, що характеризувалосяб спектром (12),невідомо. Однак загальнийвисновок полягає в тому, що ексклюзійна статистика єявищем по суті одновимірним:вона виникає тоді, якщо система з самогопочатку є одновимірною, як-отмодель Калоджеро, або якщо має місце ефективнаредукція розмірності фазовогопростору (як в моделі еніонів нанайнижчому рівні Ландау, десильне зовнішнє магнітне поле призводить до такоїредукції за рахуноквиморожування одного ступеня свободи), за умови, щовзаємодія може бути зведена дофракціоналізації квантового числа.

П'ятийрозділ є першим здвох, що присвячені статистичній механіці татермодинаміці з дробовоюстатистикою. Тут розглядаються ідеальні еніони, якодного, так і багатьох сортів.Основне питання подібне до того, що ставилося увідношенніквантовомеханічних спектрів: яким чином відбуваєтьсяінтерполяція між бозонною таферміонною термодинамікою? За яких умов газеніонів “схожий” на бозе-газ, заяких - на фермі-газ?

В цій роботі обмежуємосьвипадком високих температур,де можна застосувати інформацію про спектрисистем декількох частинок.Знання багаточастинкових статистичних сум доN-го порядку включно даєможливість обчислити кластерні коефіцієнти(розклад тиску по ступеняхактивності) та віріальні коефіцієнти (розкладтиску по ступенях густини) доN-го порядку. Схему обчислень наведено впідрозділі 5.1. Оскільки задачадвох еніонів вирішується точно, вираз для другоговіріального коефіцієнтавідомий [45]:

(15)

(тут і далі, всівіріальні коефіцієнти обезрозмірені: A_N = lambda^-2Na_N, де a_N -розмірний коефіцієнт, lambda = sqrt2pіbeta/m -теплова довжина хвилі). Рівняння(15)справедливе при 0 leq alpha leq 2 та має бути періодично подовженеповз цей інтервал. Те, що похіднаdA_2(alpha)/dalpha зазнає розриву при alpha=0, є наслідкомтого, що такого ж розривузазнають похідні енергій деяких рівней. Це, в своючергу, викликано наявністюточок загострення в деяких хвильових функційпри alphato0.

В підрозділі 5.2обчислюється третій віріальний коефіцієнт [11].На основі попередньогообчислення цього коефіцієнта за методомМонте-Карло, Мірхеймом таОлауссеном було висунуто гіпотезу [46], що формула

(16)

є точною. Ця формулаузгоджується з пертурбативнимрезультатом другого порядку,що був отриманий раніше [47,48]. Внашій роботі проведенообчислення A_3(alpha) на основі розрахованого спектрутрьох частинок в гармонічномупотенціалі (підрозділ 1.4). В такомубезпосередньому обчисленністатистичної суми з необхідністю присутнє обрізанняпо енергії (враховуються лишерівні, енергія яких не перевищує деякоївеличини cal E, тобто скінченнечисло їх). Оскільки віріальні коефіцієнтиобчислюються втермодинамічній границі, коливідношення гармонічної частотидо температури прямує до нуля,таке обрізання призводить, здавалося б, добезглуздого результату - бочисло рівнів, котрі потрібно врахувати, абиотримати статистичну суму ізнаперед заданою точністю, в границі, щорозглядається, прямує донескінченності. Однак знання загальної структуриспектру, викладені впідрозділі 1.2, дозволяють досягти дуже високоїточності навіть за не дужевисокого значення параметру обрізання cal E. Для цього наоснові структури спектрувиводиться асимптотичний вираз длястатистичної суми в залежностівід параметру обрізання, Z(cal E), в який підставляютьсязначення Z, отримані за різнихзначень cal E, та проводиться екстраполяціядо cal Etoіnfty. Результатом є вираз длятретього віріального коефіцієнта,похибка якого на чотирипорядки менша від похибки монтекарлівськогообчислення:

(17)

(рис. 2). Таким чином,гіпотезу (16)спростовано. Форма виразу (17)дозволяє зробити припущення, що A_3(alpha) являє собою рядФур'є по alpha, який швидкозбігається. В усякому разі, немає жодних сумнівів втому, що третій віріальнийкоефіцієнт еніонів є скінченним.

Рис. 2. Третійвіріальний коефіцієнт еніонів.

Підрозділ 5.3 міститьобчислення четвертого віріальногокоефіцієнта [15]. Оскільки досягти необхідної точності вбезпосередньому обчисленністатистичної суми (для якого потрібно було бзнайти спектр чотирьохеніонів) було б вкрай важко, був застосованийметод Монте-Карло. Ідеяобчислення полягає в наступному. Статистична сумаподається як інтеграл зазамкненими шляхами в уявному часі. Тотожністьчастинок означає, що замкненийшлях може бути таким, що призводить доперестановки частинок, тобтотопологічно нетривіальним. Загалом, кожен такийшлях характеризуєтьсяпопарними числами обертів (англ. wіndіngnumbers), що їх одначастинка з вибраної пари робить навколо другої.Легко довести, що внесоккожного окремого шляху еніонів добагаточастинковоїстатистичної суми дорівнюєвнеску того самого шляху для бозонів,помноженому на величину exp(sum_іjrmіalpha Q_іj), де Q_іj - число обертів пари (іj). Такимчином, повна статистична сумаZ_N(alpha) являє собою фур'є-образ розподілуймовірностей сум попарнихчисел обертів в системі N частинок. Звідси й випливаєалгоритм обчислення за методомМонте-Карло. Симулюються окремі шляхи наоснові бозонного пропагатора,для кожного з них підраховується сумарнечисло обертів, що призводить дорозподілу ймовірностей. Це, в свою чергу, даєзмогу обчислити кластерні тавіріальні коефіцієнти, знов-таки до тогопорядку, до якого обчисленостатистичні суми.

Оскількистатистична сума двох еніонів відома точно,зворотне перетворення Фур'єдає точний результат для розподілу ймовірностейчисел обертів для двохчастинок. В задачі багатьох тіл має сенс розглянутинаближення двохчастинковихкореляцій, в якому ймовірності чиселобертів для пар (1,2) та (1,3)вважаються незалежними. Втакому наближенні можуть бути обчислені розподілиймовірностей, а отже кластерніта