харківський національний унІверситет

імені В.Н. КАРАЗІНА

МИХАЙЛЕНКО Володимир Володимирович

УДК 533.951

НЕМОДАЛЬНА ТЕОРІЯ СТАЛОСТІ ЗСУВНИХ ТЕЧІЙ ПЛАЗМИ

01.04.08 – фізика плазми

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико – математичних наук

Харків – 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: | доктор фізико – математичних наук, професор Азарєнков Микола Олексійович, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна МОН України, директор Інституту високих технологій.

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор Білецький Микола Миколайович, Інститут радіофізики та електроніки імені О.Я. Усикова НАН України, завідувач відділом;

доктор фізико-математичних наук Ткаченко Віктор Іванович, Національний науковий центр “Харківський фізико–технічний інститут”, директор науково-виробничого комплексу “Відновлювальні джерела енергії та ресурсозберігаючі технології”.

Провідна установа: | Інститут теоретичної фізики імені М.М. Боголюбова НАН України, відділ теорії та моделювання плазмових процесів, м. Київ

Захист відбудеться 04.11.2005 р. о_17_ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.051.12 при Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна за адресою: 61108, м. Харків, пр. Курчатова, 31.

З дисертацією можна ознайомитися у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61077,

м. Харків, м. Свободи, 4.

Автореферат розісланий 03.10.2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради _____________ С.О. Письменецький

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з найбільш важливих і вражаючих відкриттів останнього часу у фізиці керованого термоядерного синтезу є знайдений експериментально на токамаці ASDEX (Германія) режим поліпшеного утримання плазми. Експерименти, які були проведені на токамаках ASDEX, Dublet IIID (США), TEXT (США) та інших показали, що режим поліпшеного утримання плазми характеризується виникненням радіального неоднорідного електричного поля і зумовленого ним полоїдального та тороїдального обертання плазми та зменшенням рівня флуктуацій на краю плазми. При цьому область такої неоднорідної зсувної течії співпадала з областю придушення флуктуацій плазми. Подальші експерименти довели, що саме зсувна течія на краю плазми є причиною подавлення низькочастотних флуктуацій дрейфового типу та зменшення внаслідок цього аномального переносу частинок та енергії плазми. Незважаючи на значні зусилля, теоретичні дослідження сталості плазми з зсувною течією все ще знаходяться у стані розвитку. Сучасний стан теоретичних досліджень зумовлений складністю та недосконалістю застосованих математичних методів. Лінійна теорія сталості плазми з зсувною течією базується, як правило, на використанні спектральних перетворень (Фур’є або Лапласа) по часовій змінній. Цей підхід приводить до виникнення у рівняннях, які визначають просторову структуру моди, сингулярності у критичних точках, де фазова швидкість окремої моди співпадає з швидкістю течії у цих точках. Внаслідок такої сингулярності ці рівняння є не нормальними, їх власні функції не є взаємо ортогональними і сильно інтерферують при розв’язанні задачі на початкові дані. Тому аналіз сталості зсувних течій, що базується на аналізі тільки власних значень (тобто частот збурень) може неадекватно описувати реальний стан. Окрім цього, незважаючи на те, що метод Лапласа дає повний розв’язок задачі на початкові дані, обчислити обернене перетворення Лапласа вдається тільки для асимптотично великого часу. Але ці асимптотичні результати аналізу впливу зсувної течії на сталість плазми не дають відповіді на питання, коли ці результати вірно відтворюють реальні процеси, оскільки всі проміжні процеси (як і час їх виникнення) залишаються невизначеними. Також на основі цих результатів неможливо провести порівняний аналіз важливості лінійних та нелінійних чинників у еволюції зсувної течії. Тому розробка нових методів аналітичного дослідження зсувних течій плазми та їх використання для дослідження низькочастотних хвиль та несталостей дрейфового типу, які є відповідальними за аномальний переніс частинок та енергії плазми, є актуальною задачею сучасної теорії плазми.

Вищевказані недоліки відсутні у так званого немодального підходу, започаткованого ще Лордом Кельвіном. Суть немодального підходу полягає у переході просторових координат з лабораторної системи відліку до конвективної і дослідженні часової еволюції окремих просторових мод Фур’є. Ці моди відрізняються від мод звичайного модального підходу тим, що їх частота і хвилеві числа у лабораторній системі відліку є залежними від часу внаслідок урахування деформацій хвиль зсувною течією. Цей підхід виявився дуже вдалим останнього часу у дослідженнях зсувних течій звичайної рідини та магнітогідродинамічних течій, але він не використовувався у дослідженнях еволюції низькочастотних хвиль і несталостей, характерних для межового шару плазми токамаків.

Практична значимість цих досліджень полягає у тому, що саме несталості дрейфового типу і дрейфова турбулентність є відповідальними за аномальне перенесення частинок і енергії плазми, що утримується магнітним полем. Дослідження впливу зсувної течії на ці несталості і турбулентність дадуть змогу з’ясувати фізику переходу до стану поліпшеного утримання плазми (так званого L–H переходу).

Мета і задачі дослідження.

Метою дисертації є теоретичне дослідження еволюції низькочастотних хвиль та несталостей дрейфового типу у зсувній течії плазми на основі немодального підходу. Мета дисертації досягається шляхом розв’язання наступних задач:

· Побудова теорії часової еволюції дрейфових хвиль та дрейфової резистивної несталості зсувної течії плазми.

· Побудова теорії часової еволюції альфвенівських та дрейфово-альфвенівських хвиль у зсувній течії плазми з холодними іонами.

· Побудова теорії еволюції дрейфово-альфвенівських несталостей у зсувній течії плазми з гарячими іонами.

· Побудова теорії лінійної та нелінійної еволюції несталості Релея – Тейлора у зсувній течії плазми.

Наукова новизна одержаних результатів.

В дисертації вперше в теорії плазми був застосований так званий немодальний підхід для дослідження низькочастотних несталостей дрейфового типу зсувної течії плазми.

1. Уперше одержано точний розв’язок рівняння Хасегава – Мима, що описує дрейфові хвилі, для випадку плазми з однорідною зсувною течією. Знайдено, що звичайний синусоїдальний (модальний) розв’язок для дрейфових хвиль має місце тільки протягом обмеженого часу. Для довільного часу розв’язок є суто немодальним, який з плином часу перетворюється на розв’язок, який описує конвективну комірку з нульовою частотою.

2. Уперше показано, що пакети дрейфових хвиль плазми із зсувною течією відбиваються від свого критичного рівня, що приводить до зникнення умов для її аномального переносу.

3. Уперше досліджено на основі моделі Хасегави – Вакатані часову еволюцію дрейфово – резистивної несталості та дрейфових хвиль у зсувній течії плазми з частими та рідкими зіткненнями. Знайдено умову подавлення несталості зсувною течією. Показано, що у стані подавлення (насичення) дрейфової несталості дрейфові хвилі є принципово немодальними (за рахунок деформації хвиль зсувною течією). При цьому процес стабілізації дрейфової несталості є немодальним і не може бути вірно досліджений на основі загально визнаного модального підходу.

4. Уперше досліджена еволюція альфвенівських та дрейфово–альфвенівських хвиль у неоднорідній зсувній течії плазми з холодними іонами. Як у випадку плазми низького тиску , так і у плазмі помірного тиску () рішення для альфвенівських та дрейфово-альфвенівських хвиль є немодальними з хвилевим вектором і частотою, що змінюються у часі. Встановлено, що з часом фазова швидкість альфвенівських хвиль у зсувній течії плазми стає близькою до електронної теплової швидкості, що веде на кінцевій стадії еволюції альфвенівських хвиль до їх сильного поглинання внаслідок затухання Ландау на електронах. Показано, що зсувна течія плазми з часом стає непроникною для альфвенівських хвиль.

5. Уперше досліджено вплив зсувної течії плазми на резистивну дрейфово–альфвенівську і гідродинамічну дрейфово–альфвенівську несталості плазми. Визначено, що ці альфвенівські несталості швидко стають немодальними з інкрементом, який росте з часом. Але тільки у випадку досить сильного зсуву швидкості, коли градієнт швидкості поперек течії стає порівняним з частотою альфвенівської хвилі, лінійні немодальні ефекти приводять до придушення цих несталостей.

6. Уперше проведено дослідження впливу немодальних ефектів на слабконелінійну еволюцію несталості Релєя – Тейлора. Визначено умови при яких нелінійні немодальні збурення (включно до четвертого порядку відносно амплітуди початкових збуджень) стають згасаючими, стабілізуючи при цьому несталість Релєя – Тейлора як у лінійному, так і нелінійному режимах.

Практичне значення результатів.

Використаний у дисертації немодальний підхід виявився найбільш практичним і плідним для аналізу сталості зсувних течій плазми. На цій основі вперше розв’язані задачі на початкові дані щодо часової еволюції у зсувній течії плазми дрейфових і альфвенівських хвиль та нестійкостей, а також нестійкості Релєя – Тейлора. Використання немодального підходу дало можливість визначити у явному вигляді закони зміни у часі електростатичного і магнітного потенціалів, збурень густини і тиску компонентів плазми для довільних значень часу, а не тільки для асимптотично великих значень, як це є у звичайно використовуваному методі Лапласа. Одержані результати дали можливість провести порівняльний аналіз немодальних та нелінійних ефектів у процесі еволюції несталостей і встановити характерні структури і час їх формування для дрейфових і альфвенівських хвиль у зсувній течії плазми. Саме ці структури, які враховують деформації форм хвиль зсувною течією, а не плоскі хвилі, повинні бути використані для побудови теорії турбулентності зсувної течії плазми.

Завдяки проведеному аналізу вперше встановлено, що насичення дрейфово-резистивної нестійкості і нестійкості Релєя – Тейлора у зсувній течії плазми є суто немодальними процесами, які раніше не вдавалося дослідити на основі загальноприйнятого модального аналізу. Одержані результати дають можливе пояснення придушенню короткохвилевої частини спектру дрейфової турбулентності, що спостерігалося у торсотроні Ураган 3М.

Встановлено, що насичення дрейфово–альфвенівських несталостей зсувної течії може бути досягнуто внаслідок розвитку нелінійних процесів (таких, як наприклад, посилена зсувною течією нелінійна декореляція). Але на інтервалах часу, коли це насичення може мати місце, ці несталості розвиваються вже як немодальні з інкрементом, який росте з часом. Тільки у випадку сильного градієнту швидкості, коли він стає порівняним з частотою альфвенівських хвиль, немодальність придушує розвиток дрейфово–альфвенівських несталостей зсувної течії за час, менший за обернений інкремент. Вперше виявлено явище блокування пакетів дрейфових та альфвенівських хвиль, яке може стати одним із найважливіших елементів у теорії формування транспортних бар’єрів.

Персональний внесок здобувача. У роботах [1–6] здобувач приймав участь у теоретичних розрахунках, приймав участь у спільному обговоренні результатів та аналізі літературних джерел. Особисто здобувач зробив такі внески:

1. Одержав розв’язки задачі на початкові дані для лінеаризованої системи рівнянь Хасегави–Вакатані для збурення електростатичного потенціалу неоднорідної плазми у випадках рідких та частих зіткнень електронів, визначив умови придушення дрейфово–резистивної несталості зсувною течією.

2. Одержав розв’язки, які визначають часову еволюцію альфвенівських хвиль та несталостей у плазмі низького та помірного тиску, з холодними та гарячими іонами.

3. Знайшов розв’язки, які визначають часову еволюцію вимушених дрейфових та альфвенівських хвиль, які виникають внаслідок збурення межі напівобмеженої зсувної течії і розповсюджуються у зсувній течії плазми.

4. Визначив умови придушення несталості Релєя – Тейлора на її нелінійній стадії за рахунок зсувної течії з урахуванням нелінійних складових до четвертого порядку по амплітуді початкового потенціалу включно.

5. Одержав закони збереження енергії для немодальних дрейфових і альфвенівських хвиль та для несталості Релєя – Тейлора і дослідив на цій основі немодальну часову еволюцію цих хвиль і нестійкостей.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень за темою дисертації доповідалися на наступних Міжнародних конференціях:

IAEA Technical Committee Meeting on “First Principle Based Transport Theory”, June 21 – 23, 1999, Kloster Seeon, Germany; 9th International Conference and School on Plasma Physics and Controlled Fusion, Alushta (Crimea), Ukraine, September, 13–18, 2002; 10th International Conference and School on Plasma Physics and Controlled Fusion, Alushta (Crimea), Ukraine, September, 13–18, 2004.

Публікації. В основу дисертації покладено шість статей, які опубліковані в наукових журналах, та три доповіді, які надруковані у виданнях наукових праць конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів основного тексту, висновків і списку літератури. Повний обсяг дисертації складає 124 сторінки і 17 малюнків, розміщених на цих сторінках. Список використаних літературних джерел налічує 68 найменувань.

Основний зміст дисертації

У вступі охарактеризовано стан наукової проблеми, що досліджувалась при виконані цієї роботи, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі проведеного дослідження, розкрито наукову новизну та практичне значення здобутих результатів.

У першому розділі представлені результати теоретичного дослідження еволюції дрейфових хвиль у зсувній течії плазми. Дослідження проведено на основі нелінійної гідродинамічної системи рівнянь для збурення електростатичного потенціалу та густини електронів, запропонованої Хасегавою і Вакатані (Hasegawa A., М.Wakatani, Plasma edge turbulence, Phys. Rev. Lett.,1983,–Vol. 50, P.682–686), яка дозволяє урахувати вплив зсувної течії на еволюцію електростатичної дрейфово–резистивної несталості плазми з зіткненнями в умовах характерних для крайового шару токамака. У підрозділі 1.2 на основі немодального підходу без використання спектральних перетворень по часу виведено основні рівняння та сформульована задача на початкові дані для дрейфових хвиль у зсувній течії плазми з постійним градієнтом швидкості, розв’язанню якої та дослідженню одержаних рішень присвячені підрозділи 1.3 – 1.6 цього розділу. У підрозділі 1.3 розглянуто граничний випадок плазми без зіткнень. У цьому випадку система рівнянь Хасегава–Вакатані зводиться до рівняння ХасегавиМіма для збурення електростатичного потенціалу. Вперше одержаний точний розв’язок задачі на початкові дані для лінеаризованого рівняння Хасегави–Міма для зсувної течії плазми для довільних значень часу , який має вигляд:

(1)

де – початкове збурення потенціалу , – іонний ларморівський радіус з електронною температурою, – електронна дрейфова швидкість, – компоненти хвилевого вектора відповідно вздовж градієнта швидкості течії та вздовж течії. Отримано, що у випадку, коли початкове збурення потенціалу визначається тільки однією Фур’є гармонікою, тобто коли (1) є також розв’язком на початкові дані нелінійного рівняння Хасегави-Міма. Цей розв’язок виявляється модальним тільки для малих відрізків часу. На скінченних відрізках часу рішення є суто немодальним з амплітудою і частотою, які змінюються з часом. Для достатньо великих відрізків часу це рішення перетворюється на рішення типу конвективної комірки з нульовою частотою. На рис.1 це рішення приведено для різних значень параметру зсуву та величини як функція обезразміренного часу .

Рис.1 Часова еволюція електростатичного потенціалу дрейфових хвиль для різних значень параметрів зсуву та довжини хвилі: (а) , ; б) , ; в) , ; г) , ), .

Досліджено часову і просторову еволюцію хвилевих пакетів, складених з немодальних рішень. Отримано, що внаслідок немодальності, зумовленої зсувною течією, пакети дрейфових хвиль зазнають тільки скінченні зміщення як вздовж, так і поперек течії, що вказує на блокування і нерозповсюдження пакетів дрейфових хвиль у напрямі градієнта швидкості зсувної течії. Групова швидкість хвилевих пакетів як вздовж неоднорідності течії, так і вздовж самої течії за скінченний час стає нульовою.

Значно більш складною виявляється розв’язок задачі на початкові дані для лінеаризованої системи рівнянь Хасегави–Вакатані для зсувної течії плазми при урахуванні зіткнень електронів та іонів. У підрозділі 1.4 досліджена часова еволюція дрейфово–резистивної нестійкості. Випадки рідких зіткнень та частих зіткнень розглянуто окремо відповідно у підрозділах 1.4.1 та 1.4.2. Визначено, що подавлення дрейфово-резистивної нестійкості зсувною течією відбувається, коли , де – інкремент резистивної дрейфової нестійкості у відсутності течії. При цих умовах електростатичний потенціал змінюється немодально при як . Таким чином, в умовах подавлення нестійкості дрейфові хвилі є немодальними і саме тому процес стабілізації дрейфоворезистивної нестійкості не може бути вірно досліджений на основі загально визнаного модального підходу. Часова еволюція амплітуди електростатичного потенціала дрейфової хвилі як функція обезразміреного часу для різних значень параметру зсуву та параметру (), де – питомий опір плазми вздовж магнітного поля, - компоненти хвилевого вектора вздовж зсувної течії та вздовж магнітного поля відповідно, – температура електронів, – густина плазми приведена на Рис.2.

Рис.2 Часова еволюція амплітуди дрей-фових хвиль в умовах розвитку та насичення дрейфоворезистивної нестій-кості зсувної течії плазми для у випадку рідких зіткнень для різних значень , : а) , ; б) ; в) , .

У випадку частих зіткнень електростатичний потенціал є немодальними навіть при малих інтервалах часу і для часу визначається степеневою залежністю у вигляді де .

У підрозділі 1.5 досліджено закони збереження енергії дрейфових хвиль у плазмі із зсувною течією. Показано, що швидкість зміни густини енергії, пов’язаної з дрейфовими хвилями у зсувній течії швидко зменшується з часом як . У підрозділі 1.6 досліджена часова еволюція вимушених дрейфових хвиль у напівобмеженій плазмі із зсувною течією вздовж границі. Визначено, що в напівобмеженій зсувній течії відбувається немодальна еволюція не тільки збурень, які виникли у самій течії, але і збурень, які безупинно виникають внаслідок синусоїдальних збурень границі і розповсюджуваних у зсувній течії. Амплітуда цих вимушених збурень також спадає з часом, але це спадання більш повільне, як , ніж зменшення амплітуди як у початкових збурень. Висновки до розділу 1 приведені у підрозділі 1.7.

У розділі 2 проведено дослідження часової еволюції альфвенівських та дрейфово–альфвенівських хвиль у плазмі з холодними іонами на основі немодального підходу як рішення задачі на початкові дані без використання спектрального розкладу по часовій змінній. Випадки плазми низького тиску та помірного тиску розглянуто окремо. У розділі 2.2 отримані основні рівняння, які описують часову еволюцію дрейфових та альфвенівських хвиль в неоднорідній течії плазми з однорідним зсувом. Ці рівняння отримані на основі дрейфового наближення для рівнянь дворідинної магнітогідродинаміки. Виходячи з експериментальних даних передбачається, що характерна довжина радіального градієнту швидкості є значно меншою, ніж характерна довжина радіального градієнту утримуючого магнітного поля. Тому магнітне поле передбачається однорідним. У розділах 2.3 и 2.4 отримані рішення задачі на початкові дані для різних інтервалів часу і простежена еволюція дрейфових та альфвенівських хвиль у плазмі з холодними іонами . У розділі 2.3 досліджена часова еволюція “інерційної” альфвенівської хвилі у зсувній течії плазми низького тиску, для якої . Одержано, що у зсувній течії плазми низького тиску електростатичний і магнітний потенціали альфвенівської хвилі змінюються з часом по степеневим законам, а саме для часу як , , де – частота модальної інерційної альфвенівської хвилі, . З цих рішень витікає, що зсувна течія фундаментально змінює часову поведінку інерційної альфвенівської хвилі від стандартної модальної залежності до степеневої. Часова еволюція електростатичного потенціалу приведена на Рис.3 для різних значень параметру . Алгебраїчне затухання магнітного потенціалу виявляється більш швидким у часі, ніж у електростатичного. Ця властивість – різні залежності від часу різних збурень, є чисто немодальним елементом, внесеним зсувною течією. Однак незважаючи на різні закони зміни потенціалів у часі, швидкості зміни густини електростатичної та електромагнітної енергії інерційної альфвенівської хвилі зменшуються по одному і тому ж закону, як .

Рис.3. Часова еволюція альфвенівських хвиль у зсувній течії плазми низького тиску для різних значень параметру :а) ; б)

Часова еволюція “кінетичних” альфвенівських хвиль в однорідній (розділ 2.4.1) і неоднорідній (розділ 2.4.2) зсувній течії плазмі помірного тиску з холодними іонами досліджена в розділі 2.3.7. З ростом часу у такій зсувній течії виникає зростання частоти альфвенівської хвилі і степеневе спадання амплітуди. На кінцевій стадії хвиля, яка почала своє існування як кінетична альфвенівська хвиля з фазовою швидкістю близькою до альфвенівської швидкості, закінчує своє розповсюдження як хвиля з фазовою швидкістю близькою до теплової швидкості електронів і амплітудою, яка спадає у часі як . Оскільки хвилі, які розповсюджуються з тепловою швидкістю є сильно затухаючими внаслідок затухання Ландау, зсувна течія може бути ефективним механізмом затухання альфвенівських або дрейфово–альфвенівських хвиль у зсувній течії у режимі поліпшеного утримання плазми у токамаці. Досліджена еволюція пакета немодальних альфвенівських хвиль у зсувній течії плазми. Показано, що класична картина розповсюдження альфвенівських хвиль у плазмі з помірним тиском має місце тільки на початковій стадії розповсюдження пакета. Для більшого проміжку часу компонента групової швидкості стає нульовою, а потім змінює знак – відбувається блокування і відбиття пакета. Для гранично великих часів компоненти групової швидкості поперек магнітного поля перетворюються у нуль, а групова швидкість пакета вздовж магнітного поля стає рівною тепловій швидкості електронів.

В розділі 2.5 досліджена часова еволюція невласних вимушених збурень альфвенівських хвиль у зсувній течії напівобмеженої плазмі при наявності гармонічного збурення, прикладеного на межі плазми в . Випадки плазми низького та помірного тиску розглянуто відповідно у розділах 2.5.1 и 2.5.2. Отримано співвідношення, які визначають часову еволюцію для довільного проміжку часу електростатичного і магнітного потенціалів вимушених хвиль. Показано, що зсувна течія приводить до немодальної еволюції не тільки рішення для альфвенівських хвиль, які одержані для плазми без меж, але і вимушені хвилі, що збуджуються збуреннями на межі і модифікованими як зсувною течією, так і альфвенівськими хвилями, що розповсюджуються у зсувній течії.

У розділі 3 досліджена зсувна течія плазми з гарячими іонами, для якої температури іонів на електронів порівняні. В такій плазмі можливий розвиток гідродинамічної дрейфово–альфвенівської нестійкості та резистивної дрейфово–альфвенівської нестійкості. У розділі 3.1 досліджена еволюція гідродинамічної дрейфово–альфвенівської нестійкості зсувної течії плазми, а в розділі 3.2 – резистивної дрейфово–альфвенівської нестійкості зсувної течії плазми, у випадку, коли градієнт швидкості зсувної течії значно менший від частоти альфвенівської хвилі, тобто . Показано, що у цьому випадку немодальні ефекти визначають часову еволюцію вищевказаних дрейфово–альфвенівських несталостей вже на часових масштабах менших від . Показано, що хоч для цього проміжку часу нестійкості стають немодальними з інкрементом, що росте з часом, їх насичення будуть визначатися нелінійними ефектами, такими як посилена зсувною течією нелінійна декореляція. Немодальність у цьому випадку не приводить до придушення вищевказаних несталостей. У протилежність цьому у течії з сильним зсувом, коли , яку розглянуто у розділі 3.3, лінійні немодальні ефекти приводять до придушення початкових збурень за час менший ніж обернені інкременти вищевказаних нестійкостей, запобігаючи їх розвитку. Отримано, що у цьому випадку початкові збурення виявляються стійкими відносно розвитку в однорідній зсувній течії дрейфово–альфвенівських несталостей.

Дослідженню часової еволюції нестійкості Релєя – Тейлора та умов її придушення у зсувній течії плазми присвячений розділ 4 дисертації. В розділі 4.2 отримані основні нелінійні рівняння, які описують часову еволюцію як лінійних збурень, збуджених внаслідок розвитку нестійкості Релєя – Тейлора у зсувній течії плазми, так і збурень, які виникають внаслідок нелінійності. Дослідженню лінійної немодальної еволюції нестійкості Релєя – Тейлора присвячений розділ 4.3. Дослідження спільного ефекту немодальності та нелінійності на часову еволюцію нестійкості Релєя – Тейлора у зсувній течії плазми проведено у розділі 4.4. Показано, що придушення як лінійних, так і нелінійно збуджених збурень відбувається, коли вони стають немодальними. У розділі 4.5 досліджено еволюцію нестійкості Релєя – Тейлора у напівобмеженій зсувній течії плазми, що займає область , при наявності гармонічного збурення, прикладеного до межі плазми у .

В результаті проведених досліджень одержані такі результати:

1. Вперше отримано точний розв’язок задачі на початкові дані для лінеаризованого рівняння Хасегава–Міма для довільних проміжків часу. Для малих проміжків часу розв’язок описує модальну дрейфову хвилю. З ростом часу розв’язок стає немодальним з частотою і амплітудою, які змінюються з часом. При достатньо великих значеннях часу частота хвилі стає нульовою – дрейфова хвиля трансформується у конвективну комірку. Досліджена динаміка хвилевих пакетів немодальних дрейфових хвиль. Знайдено, що пакети дрейфових хвиль у зсувній течії зазнають тільки скінченні зміщення як вздовж, так і поперек течії, що вказує на блокування і нерозповсюдження пакетів дрейфових хвиль у напрямку градієнта швидкості зсувної течії.

2. Отримано розв’язок задачі на початкові дані для лінеарізованої системи рівнянь Хасегави–Вакатані для випадку рідких зіткнень частинок у зсувній течії плазми. Показано, що при малих значеннях часу і при малій величини градієнта швидкості у такій течії можливий розвиток резистивної дрейфової нестійкості. При виконанні умови ця нестійкість придушується внаслідок розвитку немодальних ефектів.

3. Отримано розв’язок задачі на початкові дані для лінеарізованої системи рівнянь Хасегави–Вакатані для випадку частих зіткнень частинок у зсувній течії плазми. Показано, що розв’язок є немодальним вже при малих значеннях часу. Резистивна дрейфова нестійкість у цьому випадку відсутня.

4. В напівобмеженій зсувній течії плазми відбувається немодальна часова еволюція не тільки збурень, які виникли у певний початковий момент в об’ємі зсувної течії, але і збурень, безперервно виникаючих внаслідок синусоїдальних збурень межі течії і розповсюджуваних у зсувній течії плазми. Амплітуда цих змушених збурень також спадає з часом, однак це спадання більш повільне, ніж у збурень, визначених початковими умовами.

5. У зсувній течії плазми низького тиску електростатичний і магнітний потенціали альфвенівської хвилі змінюються у часі за різними степеневими законами, але швидкості зміни густини електростатичної і електромагнітної енергій спадають по одному і тому ж закону.

6. З ростом часу у зсувній течії плазми помірного тиску відбувається зростання частоти альфвенівської хвилі. На кінцевій стадії хвиля, яка почала своє існування як кінетична альфвенівська хвиля з фазовою швидкістю, близькою до альфвенівської швидкості, закінчує своє розповсюдження як хвиля з фазовою та груповою швидкостями вздовж магнітного поля близькою до теплової швидкості електронів.

7. Показано, що зсувна течія плазми приводить до немодальної структури не тільки власні альфвенівські хвилі, але і змушені коливання, які виникають внаслідок синусоїдальних збурень межі течії і розповсюджуються у зсувній течії плазми.

8. У зсувній течії плазми з гарячими іонами немодальні ефекти визначають часову еволюцію гідродинамічної та резистивної дрейфово–альфвенівської нестійкостей вже на часових масштабах, менших від оберненого інкременту. Однак довгострокова еволюція і насичення цих нестійкостей визначаються нелінійними ефектами, такими як ефект посиленої декореляції. Тільки у течіях з сильним зсувом, коли градієнт швидкості є більшим за частоту альфвенівської хвилі, лінійні немодальні ефекти приводять до придушення обох вищевказаних нестійкостей.

9. Визначені умови придушення нестійкості Релєя–Тейлора у зсувній течії плазми. Показано, що придушення як лінійних, так і слабконелінійних нестійких хвиль для цієї нестійкості є немодальним процесом.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ.

1. Mikhailenko V.S., Mikhailenko V.V., Stepanov K.N.// Temporal evolution of linear drift waves in a collisional plasma with shear flow // Physics of Plasmas, 2000, vol.7, p.94–100.

2. Mikhailenko V.S., Mikhailenko V.V., Weiland J.// Rayleigh–Taylor instability in plasmas with shear flow // Physics of Plasmas, 2002, vol. 9, p.2891–2895.

3. Mikhailenko V.S., Mikhailenko V.V., M.F.Heyn, and S.M. Mahajan// Temporal evolution of drift Alfven waves and instabilities in an inhomogeneous plasma with homogeneous shear flow // Physical Review, 2002, vol.E66, 066409-1–066409-12.

4. Mikhailenko V.V., Azarenkov N.A., Mikhailenko V.S. //Temporal evolution of waves and instabilities in plasma with shear flow // Problems of Atomic Science and Technology,–2002, №5, p.47–51.

5. Азаренков Н.А., Михайленко В.В., Михайленко В.С.// Временная эволюция вынужденных возмущений дрейфовых волн и неустойчивости Релея–Тейлора в плазме, содержащей сдвиговое течение // Bicник Харківського університету, серія фізична "Ядра, частники, поля", 2002, № 559, вип. 2 /18/ c. 40–46.

6. Азаренков Н.А., Михайленко В.В.// Временная эволюция несобственных альфвеновских волн в полуограниченном сдвиговом течении плазмы //Bicник Харківського університету серія фізична "Ядра, частинки, поля"// 2003, № 601, вип. 2 /22/ с. 41–50.

7. Mikhailenko V.S., Mikhailenko V.V., Stepanov K.N.// Initial value problem solution for Hasegava-Wakatani equations for plasma with radial electric field shear// "IAEA technical Committee Meeting on First Principle Based Transport Theory." June 21 – 23, 1999, Kloster Seeon, Germany Abstracts IPP 5/87. Max – Planck–Institut fur Plasma Physic.

8. Mikhailenko V.S., Mikhailenko V.V., Weiland J.// Rayleigh-Taylor instability in plasmas with shear flow // Bulletin of the American Physical Society, 2001, vol.46, p.42.

9. Azarenkov N.A., Mikhailenko V.V., Mikhailenko V.S.// The temporal evolution of the forced low frequency perturbations of a plasma with shear flow.//10th International Conference and School on Plasma Physics and Controlled Fusion. Alushta (Crimea), Ukraine, September 13–18, 2004. Book of Abstracts, p.81.

Михайленко В.В. Немодальна теорія сталості зсувних течій плазми.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.08 фізика плазми – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2005.

Дисертація присвячена теоретичному аналізу зсувних течій плазми стосовно розвитку та еволюції в ній низькочастотних нестійкостей дрейфового типу. Дослідження виконані на основі так званого немодального підходу, який дає можливість урахувати деформації хвиль зсувною течією. Сутність цього підходу полягає у переході до системи відліку, що рухається з течією, і дослідженні часової еволюції окремих просторових мод Фур’є збурень. На цій основі досліджена часова еволюція дрейфових хвиль і резистивної дрейфової нестійкості у зсувній течії неоднорідної плазми, альфвенівських хвиль у однорідній та неоднорідній течії плазми низького та помірного тиску з холодними іонами, дрейфово–альфвенівских нестійкостей у зсувній течії неоднорідної плазми з гарячими іонами. Досліджена лінійна та слабконелінійна еволюція нестійкості Релея–Тейлора зсувної течії плазми. Показано, що модальна структура у розглянутих хвиль та нестійкостей має місце тільки протягом обмеженого часу їх еволюції. При збільшенні часу саме немодальні ефекти, зумовлені зсувною течією, визначають розвиток цих хвиль та несталостей. Досліджена еволюція хвиль і несталостей, виникаючих як від початкових збурень необмеженої зсувної течії, так і від неперервно діючих на межі напівобмеженої зсувної течії. Визначено умови, при яких розвиток вищевказаних нестійкостей припиняється зсувною течією. Досліджена еволюція пакетів дрейфових та альфвенівських хвиль у зсувній течії плазми. Показано, що у зсувній течії пакети цих хвиль або захоплюються течією, або відбиваються від неї. Це явище дає можливе пояснення формування транспортних бар’єрів у режимі поліпшеного утримання плазми.

Ключові слова: зсувна течія, конвективна система відліку, немодальність, дрейфова хвиля, дрейфово–резистивна нестійкість, альфвенівська хвиля, дрейфовоальфвенівська нестійкість, нестійкість РелеяТейлора.

Михайленко В.В. Немодальная теория устойчивости сдвиговых течений плазмы.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико–математических наук по специальности 01.04.08 – физика плазмы – Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2005.

Диссертация посвящена теоретическому анализу устойчивости сдвиговых течений плазмы относительно развития и эволюции в ней низкочастотных неустойчивостей дрейфового типа. Исследования выполнены на основе так называемого немодального подхода, который дает возможность учесть деформации волн сдвиговым течением. Этот подход основывается на переходе к системе отсчета, которая движется с течением, и исследования временной эволюции отдельных пространственных мод Фурье возмущений. На этой основе исследована временная эволюция дрейфовых волн и резистивной дрейфовой неустойчивости в сдвиговом течении неоднородной плазмы, альфвеновских волн в однородном и неоднородном течении плазмы низкого и умеренного давления с холодными ионами, дрейфово–альфвеновских неустойчивостей в сдвиговом течении неоднородной плазмы с горячими ионами. Исследована линейная и слабонелинейная эволюция неустойчивости Рэлея–Тейлора сдвиговым течением плазмы. Показано, что модальная структура у рассмотренных волн и неустойчивостей сохраняется только в течение ограниченного времени их эволюции. С ростом времени именно немодальне эффекты, обусловленные сдвиговым течением, определяют развитие этих волн и неустойчивостей. Исследованы законы сохранения энергии для этих неустойчивостей. Исследована эволюция волн и неустойчивостей, возникающих как от начальных возмущений неограниченного сдвигового течения, так и от непрерывно действующих на границе полуограниченного сдвигового течения. Получены условия, при которых развития вышеуказанных неустойчивостей подавляется сдвиговым течением. Исследована эволюция пакетов дрейфовых и альфвеновских волн в сдвиговом течении плазмы. Показано, что в сдвиговом течении пакеты этих волн либо захватываются течением, либо отражаются от него. Это явление дает возможное объяснение формирования транспортных барьеров в режиме улучшенного удержания плазмы.

Ключевые слова: сдвиговое течение, конвективная система отсчета, немодальность, дрейфовая волна, дрейфово-резистивная неустойчивость, альфвеновская волна, дрейфово–альфвеновская неустойчивость, неустойчивость Рэлея–Тейлора.

Mikhailenko V.V. Nonmodal theory stability of plasma shear flow.–Manuscript.

Thesis for the scientific degree of Candidate of Science in Physics and Mathematics by the speciality 01.04.08.-Plasma physics. – V.N. Karazin Kharkiv National University. Kharkiv, Ukraine. – 2005.

The dissertation is devoted to the theoretical analysis of the temporal evolution of the low frequency instabilities of drift–wave–type in plasma shear flow. These studies are performed on the base of the so-called nonmodal approach, which accounts for the effect of the shearing background on the waves and instabilities considered. That approach grounds on the transforming the independent spatial variables from the laboratory frame to a frame convected with shear flow, studying the temporal evolution of the spatial Fourier modes of perturbations as a initial value problems without the use of spectral expansion in time. On that ground the temporal evolution of drift waves and resistive drift instability of the inhomogeneous plasma shear flow, Alfven waves in shear flow of the homogeneous and inhomogeneous plasma of low and finite pressure with cold ions, drift–Alfven instabilities in shear flow of plasma with hot ions, are considered. The linear and weakly nonlinear evolution of Rayleigh–Taylor instability of the inhomogeneous plasma shear flow in inhomogeneous magnetic field is considered. It was shown that the conventional modal structure of the waves and instabilities considered holds only for a limited time in the initial stage of its evolution. For larger times, nonmodal effects due to the velocity shear define the development of these waves and instabilities. The conditions under which the development of the abovementioned instabilities is suppressed are determined. The temporal evolution of the waves and instabilities was considered, first as an initial value problem with initial perturbation data, and, second, as a problem of the temporal evolution of the continuous perturbation, applied to the boundary of the semi-infinite plasma shear flow, under the action of the flow shear and the waves and instabilities of the plasma shear flow. The energy conservation relations for the abovementioned waves and instabilities are also analyzed.

The evolution of the packets of drift and Alfven waves in plasma shear flow are analyzed. It was shown that these nonmodal wave packets are trapped or reflected by shear flow. That phenomenon gives the explanation of the transport barrier formation by shear flow at the regime of the improved plasma confinement.

Key words: shear flow, convective set of reference, nonmodality, drift wave, resistive drift instability, Alfven wave, drift–Alfven instability, Rayleigh–Taylor instability.