НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Орлов Ігор Володимирович

УДК 517.98

ШКАЛИ ПРОСТОРІВ ЯК АПАРАТ

ЛІНІЙНОГО І НЕЛІНІЙНОГО АНАЛІЗУ В

ЛОКАЛЬНО ОПУКЛИХ ПРОСТОРАХ

01.01.01 – математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті ім. В. І. Вернадського Міністерства освіти і науки України (м. Сімферополь).

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

СМОЛЯНОВ Олег Георгійович,

Московський державний університет

ім. М. В. Ломоносова,

професор кафедри теорії функцій і

функціонального аналізу;

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН Білорусі

РАДИНО Яків Валентинович,

Білоруський державний університет (м. Мінськ),

завідувач кафедри функціонального аналізу;

доктор фізико-математичних наук, професор

КОГУТ Петро Ілліч,

Дніпропетровський національний університет

залізничного транспорту,

завідувач кафедри прикладної математики

Провідна установа: Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут", МОН України, м. Київ.

Захист відбудеться "_14_" _червня_ 2005 р. о _15_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий "_06_" __травня_ 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Активне використання в сучасному аналізі і його застосуваннях шкал просторів і операторів у шкалах просторів зробило актуальними наступні питання, що відносяться як власне до теорії шкал просторів, так і (більшою мірою) до застосування теорії шкал для розвитку аналізу в локально опуклих просторах (ЛОП).

Перш за все, актуальна необхідність закласти фундамент загального функціонального аналізу в шкалах просторів: одержати аналоги основних принципів функціонального аналізу, побудувати теорію двоїстості шкал просторів і т.п. Сюди безпосередньо примикає і питання про переклад на мову шкал класичних теорем і понять функціонального аналізу, формулювання яких в явній або прихованій формі використовують шкали просторів: вкажемо тут теорему Банаха–Гротендіка і індуктивні топології в теорії двоїстості, теорему Птака і поняття досконалої повноти в теоремах про відкрите відображення і замкнутий графік, теореми про регулярність операторів в індуктивних і проективних границях, тощо.

Далі, як відомо, для вирішення ряду задач лінійного і нелінійного аналізу топології у функціональних і операторних просторах недостатні, що робить актуальним застосування в цих задачах апарату шкал просторів. Так, добре відомо, що топології в спряжених і операторних просторах над ЛОП, в небанаховому випадку, в принципі не можуть забезпечити неперервність відображень обчислення і композиції, що вимагає того або іншого нового підходу при побудові диференціального числення в ЛОП. Іншим важливим прикладом служить збіжність майже скрізь, яка також у принципі не може бути описана за допомогою віддільної лінійної топології в просторі вимірних функцій.

Дослідження деяких класичних екстремальних задач варіаційного числення також показує, що розклади функціональних просторів в шкали банахових просторів дозволяє застосувати аналоги класичних умов екстремуму в аналізі Фреше, що робить актуальним застосування апарату шкал просторів до екстремальних задач. Відзначимо, нарешті, що сучасна теорія узагальнених функцій приводить до індуктивно-проективних оснащень просторів основних і узагальнених функцій. При описі таких оснащень апарат шкал просторів також є природним і актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках бюджетних тем кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В. І. Вернадського "Операторні методи в лінійній гідродинаміці і суміжні питання теорії оператор-функцій" (1996–2000 рр., номер державної реєстрації 0198U005792); "Математичний аналіз і його застосування" (1997–2000, 2001–2005 рр., номер державної реєстрації 0101U005257); а також держбюджетних тем "Операторні методи, аналіз в шкалах просторів і їх застосування в механіці суцільних середовищ" (1997–1999 рр., номер державної реєстрації 0197000426), "Операторні блок-матриці і шкали і проблеми малих рухів суцільних середовищ" (2000–2002 рр., номер державної реєстрації 0100U001357); "Розвиток операторних методів у функціональних просторах і їх застосування в механіці суцільних середовищ" (2003–2005 рр., номер державної реєстрації 0103U003502), у яких автор брав участь як відповідальний виконавець.

Мета і задачі дослідження.

Перенесення ряду основних принципів функціонального аналізу на шкали локально опуклих просторів.

Детальний опис нормальних розкладів спряжених і операторних просторів над ЛОП в індуктивні шкали ЛОП.

Побудова основ загальної теорії двоїстості індуктивних і проективних шкал ЛОП. Опис індуктивно-проективних топологій в ЛОП. Застосування одержаних результатів і методів до нових задач лінійного аналізу в ЛОП.

Побудова теорії нормального диференціювання в ЛОП на основі нормальних розкладів операторних просторів. Здобуття нормальних форм теореми про середнє і формули Тейлора в ЛОП, побудова теорії екстремумів і компактних екстремумів в ЛОП. Застосування одержаних результатів до опису компактних екстремумів інтегральних функціоналів в ЛОП.

Об'єкт дослідження — локально опуклі простори і шкали локально опуклих просторів.

Предмет дослідження — шкали просторів як апарат лінійного і нелінійного аналізу в ЛОП.

Методи дослідження. У даній роботі застосовуються методи функціонального аналізу і топології. Зокрема, методи теорії операторів використовувалися при перенесенні принципів функціонального аналізу на шкали просторів і вивченні нормальних розкладів операторних просторів, методи теорії двоїстості використовувалися при вивченні нормальних розкладів спряжених просторів і побудові основ теорії двоїстості шкал просторів, при описі індуктивно-проективних топологій.

Методи теорії міри і інтеграла застосовувалися при описі шкали збіжності майже скрізь і отриманні узагальненої формули Лагранжа для класичних похідних і похідних по мірі. Методи теорії топологічних просторів і теорії рівномірних просторів застосовувалися при дослідженні рівномірної збіжності відображень в шкали просторів. Методи нескінченновимірного диференціального числення застосовувалися при побудові нормального диференціального числення в ЛОП. Методи теорії квадратичних форм застосовувалися при побудові теорії квадратичних форм, теорії екстремумів і компактних екстремумів в ЛОП. Методи варіаційного числення застосовувалися при дослідженні екстремальних задач для інтегральних функціоналів в ЛОП.

Лейтмотивом роботи на всьому її протязі було застосування методів теорії шкал ЛОП (в першу чергу, індуктивних).

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше теорема Хана–Банаха, теореми про гомоморфізм, відкрите відображення і замкнений графік перенесено на функціонали і оператори, що діють в індуктивних шкалах ЛОП.

2. Вперше побудовані і вивчені нормальні розклади спряжених і операторних просторів над ЛОП в індуктивні шкали ЛОП. Як застосування, одержано опис додатно означених і K–додатно означених квадратичних форм в ЛОП.

3. Вперше побудовані основи теорії двоїстості індуктивних і проективних шкал ЛОП на базі поняття проективного оснащення шкали ЛОП. Доведені узагальнені теореми Банаха про слабку рефлексивність, Банаха–Гротендіка і Маккі–Аренса.

4. Вперше побудований розклад простору вимірних функцій в шкалу збіжності майже скрізь і вивчені її властивості. Введений простір з проективною шкалою мір, для якого також побудована шкала збіжності майже скрізь.

5. Вперше одержані умови неперервності рівномірної границі послідовності неперервних відображень в індуктивну шкалу рівномірних просторів. Доведені теореми про неперервність по параметру рядів вимірних функцій і рядів лінійних операторів.

6. Вперше доведена узагальнена формула Лагранжа для відображень в ЛОП і шкали ЛОП з незліченною "винятковою множиною", одержана відповідна формула Тейлора. Одержані аналоги формули Лагранжа для різних типів шкал ЛОП, для похідних по мірі.

7. На базі нормальних розкладів операторних просторів одержала подальший розвиток теорія диференціювання в ЛОП. Доведена нормальна форма теореми про середнє, теореми Юнга і Шварца, теорема про почленне диференціювання, формула Тейлора в ЛОП. Доведені теореми про диференціювання по параметру рядів вимірних функцій і рядів лінійних операторів.

8. Вперше побудована теорія екстремумів нормально диференційовних і компактно-нормально диференційовних функціоналів в ЛОП у випадках однієї і декількох змінних.

9. Вперше доведена повторна K–диференційовність функціонала Ейлера–Лагранжа в просторі Соболєва. Знайдені достатні умови K–екстремуму функціонала Ейлера–Лагранжа у випадках однієї і декількох змінних.

10. Доведені нові теореми про перестановку індуктивної і проективної границь. Як застосування, описані деякі простори з індуктивно-проективною топологією, одержано узагальнення теореми Крейна–Шмульяна.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має в основному теоретичне значення. Результати дисертації доповнюють і розвивають теорію шкал просторів і операторів у шкалах просторів, лінійний і нелінійний аналіз в ЛОП.

Результати досліджень можуть бути використані при розв'язанні різних типів рівнянь в шкалах просторів, при роботі з лінійними і нелінійними операторами в індуктивних і проективних границях, в задачах сучасної теорії узагальнених функцій і її застосувань, в задачах теорії міри і теорії ймовірностей, що використовують збіжність майже скрізь, в задачах математичного аналізу в ЛОП.

Результати досліджень екстремумів інтегральних функціоналів можуть бути використані для розрахунку екстремумів у відповідних задачах механіки і фізики.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що містяться в дисертації, належать автору. Всі опубліковані роботи за темою дисертації не мають співавторів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації докладалися на ХХ Всесоюзній зимовій математичній школі (Вороніж, 1986); XI Всесоюзній школі по теорії операторів у функціональних просторах (Челябінськ, 1986); XII Всесоюзній школі по теорії операторів у функціональних просторах (Тамбов, 1987); XXII Всесоюзній зимовій математичній школі (Вороніж, 1988); XIV Всесоюзній школі по теорії операторів у функціональних просторах (Новгород, 1989); Mark Krein International Conference (Odessa, 1997); семінарі під керівництвом проф. І. О. Шевчука кафедри математичного аналізу Київського національного університету ім. Т. Г. Шевченко (Київ, 2001); International Conference "Differential Equations and Related Topics", dedicated to the Centerary Anniversary of Ivan G.(Moscow, 2001) (Міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю з дня народження І. Г. Петровського (ХХ сесія сумісних засідань ММТ і семінару ім. І. Г. Петровського) (Москва, 22–27 травня 2001 р.)); International Akhiezer Centenary Conference: Theory of Functions and Mathematical Physics (Kharkiv, 2001) (Міжнародній конференції "Теорія функцій і математична фізика", присвяченій 100-річчю Н. І. Ахиєзера (Харків, 2001)); International Conference on Functional Analysis (Kyiv, 2001) (Міжнародній конференції по функціональному аналізу в рамках Українського математичного конгресу UMC-2001 (Київ, 2001)); Воронежській зимовій математичній школі-2002 (Вороніж, 2002); International Conference on Functional Analysis and its Applications (Lviv, 2002) (Міжнародній конференції "Функціональний аналіз і його застосування", присвяченій 110-річчю Стефана Банаха (Львів, 2002)); семінарі під керівництвом чл.-кор. НАН України Є. Я. Хруслова в Фізико-технічному інституті низьких температур НАН України (Харків, 2002); 1-й лiтній школі з топологiчної алгебри i функцiонального аналiзу (Львiв-Козева, 22–31 липня 2003); International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations" (NDPE-2003) (Alushta, Ukraine, September 15–21, 2003); International Conference "Differential Equations and Related Topics", dedicated to Ivan G. Petrovskii (Moscow, 2004) (Міжнародній конференції, присвяченій 103-річчю з дня народження І. Г. Петровського (ХХI сесія сумісних засідань ММТ і семінару ім. І. Г. Петровського) (Москва, 16–22 травня 2004)); семінарі під керівництвом професора О. Г. Смолянова у Московському державному університеті ім. М. В. Ломоносова (Москва, 2004); Київському семінарі з функціонального аналізу Інститута математики НАН України (Київ, 2005); семінарі під керівництвом професора П. І. Когута у Дніпропетровському національному університеті залізничного транспорту (Дніпропетровськ, 2005); семінарі з теорії функцій Інституту математики НАН України під керівництвом чл.-кор. О. І. Степанця (Київ, 2005); I, II, IV–XV Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах: КРОМШ-1, КРОМШ-2, КРОМШ-4, КРОМШ-5, КРОМШ-6, КРОМШ-7, КРОМШ-8, КРОМШ-9, КРОМШ-10, КРОМШ-11, КРОМШ-12, КРОМШ-2002, КРОМШ-2003, КРОМШ-2004 (Севастополь, Ласпі, 1990, 1991, 1993–2004); семінарах кафедри математичного аналізу ТНУ (СДУ); XVI–XIX, XXI–XXXIII наукових конференціях професорсько-викладацького складу Таврійського національного університету (раніше СДУ) (Сімферополь, 1988–1991, 1993–2005).

Публікації. Основні результати дисертацiї опублiкованi у працях [1–50], серед яких 21 стаття опублiкована в журналах iз перелiку, затвердженого ВАК України, 2 статті — в працях міжнародних конференцій, 14 статей — в інших виданнях, 13 тез доповідей на міжнародних конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація загальним обсягом 333 сторінки складається з введення, дванадцяти розділів і висновків. У ній наведений список використаних джерел із 319 найменувань на 27 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

В дисертації викладено результати теоретичних досліджень по формуванню апарату функціонального аналізу в шкалах ЛОП та його застосуванню до задач лінійного і нелінійного аналізу в ЛОП.

У першому розділі дисертації міститься огляд літератури за темою. Тут приведено огляд робіт з функціонального аналізу в ЛОП і його застосуванням, починаючи від класичних робіт Дж. фон Неймана, Л. Шварца, Ж. Д'єдонне, А. Гротендіка, Н. Бурбакі до сучасних робіт українських математиків Т. О. Банаха, М. Л. Горбачука, М. З. Згуровського, П. І. Когута, В. К. Маслюченко, В. С. Мельника та інших. Відмічене велике значення теорії шкал просторів і теорії оснащених просторів, що виникли в роботах С. Г. Крейна, Ю. І. Петуніна, Ю. М. Березанського та інших авторів і що одержали багатоманітні застосування.

Описані конкретні напрямки лінійного і нелінійного аналізу в ЛОП, від теорії спряжених і операторних просторів над ЛОП, до диференціального числення і теорії екстремумів. Відзначимо тут роботи Л. Р. Волєвича і С. Г. Гіндікіна, О. Г. Смолянова, М. Ф. Сухініна, І. В. Скрипника, В. С. Мельника. Показано, що, незважаючи на тривалий час і великий обсяг досліджень, багато задач лінійного і нелінійного аналізу в ЛОП вимагають для адекватного дослідження застосування апарату шкал просторів.

У розділі 2 на лінійні індуктивні шкали ЛОП перенесені теорема Хана–Банаха, теорема Банаха про гомоморфізм і теореми про відкрите відображення і замкнений графік.

У п. .1 геометрична форма теореми Хана–Банаха перенесена на лінійні індуктивні шкали ТВП з ін'єктивними вкладеннями. Сформулюємо основний результат.

Під індуктивною шкалою ЛОП розуміється система ЛОП, де I індуктивно упорядковано, t() — топології просторів , забезпечених системою лінійних неперервних вкладень, що задовольняють умовам погодженності при i. Шкала лінійна, якщо I лінійно упорядковано. Під функціональною шкалою на розуміється система лінійних неперервних функціоналів, що задовольняють умовам погодженності при.

Аналогічно означається індуктивна шкала топологічних векторних просторів (ТВП). Шкала називається строгою, якщо вкладення в шкалі строгі (ізоморфні). Шкалою підмножин у називається така система підмножин, що при. Зокрема, ми розглядаємо шкали афінних підпросторів, шкали векторних підпросторів, шкали замкнених гіперплощин, шкали відкритих опуклих підмножин у .

Теорема 2.1.2. Нехай – лінійна індуктивна шкала ТВП з ін'єктивними вкладеннями. Тоді:

1) Якщо – шкала афінних підпросторів в , – шкала опуклих відкритих підмножин в , , то знайдеться така шкала замкнутих гіперплощин в , що і.

2) Якщо шкала – дійсна, – шкала векторних підпросторів в , то, в умовах п.1, знайдеться така функціональна шкала, що

За допомогою цієї теореми класичні факти про функціональну віддільність і продовження функціоналів перенесені на лінійні шкали просторів. Відзначимо наступне твердження. Далі – лінійна шкала.

Наслідок 2.1.11. Якщо – слабко повні ЛОП, і при, то всякий функціонал можна продовжити до.

Одержано ослаблений варіант теореми Хана–Банаха для нелінійних шкал.

У п. .2 теореми про гомоморфізм, відкрите відображення і замкнений графік перенесені на оператори в індуктивних шкалах ЛОП. Під лінійним неперервним оператором (чи погодженою сім’єю операторів) з в розуміється система лінійних неперервних операторів, що задовольняють умовам погодженості з вкладеннями в шкалах: при. На оператори в шкалах просторів перенесені класичні поняття майже відкритого оператора, відкритого оператора, топологічного гомоморфізма, майже неперервного оператора, оператора з замкненим графіком. Для оператора введено поняття адаптованого оператора , де

Це дозволяє перенести на даний випадок теорему Птака. Далі і — шкали з ін'єктивними вкладеннями, ДП — досконало повні, БП — бочечні простори.

Теорема 2.2.9. Якщо майже відкритий, — строга шкала ДП, — лінійна шкала, то ? — топологічний гомоморфізм на .

Теорема 2.2.10. Якщо, ,— строга шкала ДП, — лінійна шкала БП, то ? — топологічний гомоморфізм на .

Аналогічним чином приходимо до теорем про відкрите відображення і замкнений графік.

Теорема 2.2.16. Якщо майже відкритий, — строга шкала ДП, — лінійна шкала, графік ? замкнений, то ? майже відкритий.

Теорема 2.2.17. Якщо,— строга лінійна шкала ДП, ? майже неперервний, і графік ? замкнений, то ? неперервний.

Далі в розділі 2 розглянуті застосування до операторів в індуктивних границях шкал ЛОП.

Розділ 3 присвячено нормальним розкладам просторів, спряжених до ЛОП, в індуктивні шкали банахових просторів. Вивчається також другий нормальний спряжений простір. Як застосування одержані, на базі результатів розділу 2, нові теореми про гомоморфізм, відкрите відображення і замкнений графік.

У п. .1 введено нормальний розклад топологічного спряженого E* до ЛОП Е з визначальною системою пів норм як індуктивна шкала банахових просторів

Показано, що — мінімальний розклад E*, при якому двоїстість неперервна по сукупності змінних. Точніше кажучи, всякий інший розклад простору в індуктивну шкалу ЛОП забезпечує неперервність двоїстості, пов’язане з неперервним вкладенням.

У п. .2 виділено обширний клас гладких ЛОП, для яких шкали— строгі. Розглянуто застосування до - топологій у спряжених просторах.

У п. .3 поняття нормального розкладу перенесене на спряжений до стандартної індуктивної шкали ЛОП . Дана характеристика індуктивної границі розкладання у випадку лінійної строгої шкали .

У п. .4 введений другий нормальний спряжений до ЛОП E і показано, що він зводиться до одного ЛОП, що ізометрично ізоморфно містить E. При цьому справедливо вкладення. Введено поняття нормальної рефлексивності, розглянуто приклад нерівності. Для гладкого E простір також гладкий. Дана мінімаксимальна характеристика нормальної рефлексивності і квазірефлексивності ЛОП: віддільний ЛОП E нормально рефлексивний тоді і тільки тоді, коли розділяє точки E, але ніяка шкала власних замкнених підпросторів в не розділяє точки E.

У п. .5 розглянуто застосування загальних теорем п. .2 до нормальних розкладів просторів, спряжених до просторів Фреше. Далі E — простір Фреше, F — гладке ЛОП.

Наслідок 3.5.3. Якщо визначальна система півнорм в F лінійна, , то A — топологічний гомоморфізм.

Наслідок 3.5.6. Якщо E — гладкий, визначальна система півнорм в F лінійна, майже відкритий, , замкнений, то A — відкритий оператор.

Наслідок 3.5.8. Якщо E — гладкий, майже неперервний, графік B замкнений, то B неперервний.

В розділі 4 досліджено нормальні розклади операторних просторів над ЛОП в індуктивні шкали ЛОП. На випадок нормальних розкладів перенесений ряд канонічних ізоморфізмов. Як застосування, загальна теорема про замкнений графік п. .2 застосована до нормальних розкладів. Другим застосуванням є теорія додатно означених квадратичних форм у ЛОП, і, зокрема, у добутку ядерних ЛОП.

У п. .1 введені нормальні індекси операторів як багатозначні відображення

Показано, що всякий нормальний індекс є зростаючим відображенням з T у грати променів у S. Встановлений ряд властивостей нормальних індексів.

У п. .2 введені нормальні розклади операторних просторів. Для кожного нормального індексу nN(E;F) вводиться простір

з визначальною системою півнорм, а потім нормальний розклад простору лінійних операторів как індуктивна шкала ЛОП

Показано, що нормальні розклади — мінімальні, що гарантують неперервність обчислення і композиції по сукупності змінних, тобто всякий інший розклад простору в індуктивну шкалу ЛОП, що забезпечує неперервність обчислення і композиції, пов’язане з неперервним вкладенням.

У п. 4.3 на нормальні розклади перенесені канонічні ізоморфізми операторних просторів над банаховими просторами:

(тут – поле скалярів; — ЛОП). Введено бінормальний розклад простору білінійних неперервних операторів і одержано нормальний аналог канонічного ізоморфізму просторів лінійних і білінійних операторів:

У п. 4.4 розглянуто окремі випадки нормальних розкладів. Введено важливе надалі поняття гладкого ЛОП:

Показано, що у випадку гладких ЛОП E, E, E, шкали і — строгі. Досліджено зв'язок нормальних розкладів і щільних вкладень ЛОП. У теоремі 4.4.9 показано, що неперервне вкладення ЛОП щільне тоді і тільки тоді, коли вкладення неперервне і ін'єктивне. Теорема 4.4.11 встановлює, що при неперервному щільному вкладенні, нормально рефлексивному E і лінійному T вкладення також щільне. Нарешті, розглянуто ряд прикладів нормальних розкладів.

У п. 4.5 загальна теорема про замкнений графік розділу 2 застосована до нормальних розкладів, що зводить до нових теорем про замкнений графік в ЛОП.

Наслідок 4.5.4. Якщо F — гладкий, E — повний гладкий ЛОП з лінійною визначальною системою півнорм, E — банахов, майже неперервний і має замкнений графік, то B неперервний.

Наслідок 4.5.5. Якщо F — гладкий, E — повний гладкий ЛОП з лінійною визначальною системою півнорм, майже неперервний і має замкнений графік, то B неперервний.

У п. 4.6 розглянуто застосування до характеристики додатно означених квадратичних форм у ЛОП. Показано, що у E тоді і тільки тоді, коли для будь-якої півнорми вірно при деякому.

Нарешті, в п. 4.7 знайдено умови додатної означеності в випадку добутку ізоморфних ядерних ЛОП: якщо комутує з B, і, то.

Розділ 5 містить елементи загальної теорії двоїстості шкал просторів. Розглянуті двоїстість індуктивної і проективної шкал ЛОП, двох індуктивних шкал ЛОП, одержані узагальнення теорем Банаха, Банана–Гротендіка і Маккі–Аренса в кожному з випадків.

У п. 5.1 вивчаються двоїстості індуктивних і проективних шкал і. Під двоїстістю індуктивної шкали з системою лінійних вкладень і проективної шкали з системою лінійних вкладень векторних просторів розуміється система двоїстостей, що погоджена з вкладеннями в шкалах:

при,. Аналогічно вводиться проективно-індуктивна двоїстість. За аналогією з випадком ЛОП введено і досліджено поняття відокремної двоїстості.

У п. 5.2 вводиться базисне поняття проективного оснащення шкали просторів, під яким розуміється завдання для кожного простору шкали (відповідно,) проективної системи топологій (відповідно,), таких, що неперервні вкладення при фіксованому t (відповідно, s) узгоджені з типом шкали. Розглянуті оснащення, підпорядковані двоїстості.

У п. 5.3 введено проективний індекс лінійного неперервного функціонала, заданого на проективно оснащеній шкалі ЛОП, як багатозначне відображення, що зв'язує індекс простору шкали з індексами топологій оснащення, щодо яких функціонал неперервний на цьому просторі:

Групування функціоналів по їх проективним індексам приводить до спряженої індуктивної шкали. Аналогічно вводиться проективний індекс функціонала у випадку шкали і спряжена шкала. При цьому шкали і утворюють природні двоїстості.

У п. 5.4 аналогічним чином введена двоїстість двох індуктивних шкал векторних просторів. Показано, що для проективно оснащеної шкали ЛОП пари і утворюють двоїстості щодо природного спарювання.

У п. 5.5 теореми Банаха і БананаГротендіка узагальнюються на випадок двоїстості шкал просторів. Приведемо основні результати.

Теорема 5.5.1. Якщо замкнена двоїстість віддільна по , то має місце векторний ізоморфізм:

Теорема 5.5.4. Якщо — лінійна шкала ЛОП із щільними вкладеннями, причому шкали — строгі, то має місце векторний ізоморфізм

При цьому вже у випадку одного ЛОП F ми приходимо до посилення класичної теореми Банаха–Гротендіка: . Аналогічні узагальнення вірні і для двоїстості.

Нарешті, в п. .6 на випадок двоїстості шкал просторів перенесена теорема Маккі–Аренса. Приведемо основні результати.

Теорема 5.6.2. Якщо замкнена двоїстість віддільна по , і, то r() оснащення узгоджено з двоїстістю. Назад, якщо, в умовах теореми 5.5.4, r() узгоджено з двоїстістю, то .

Теорема 5.6.3. Якщо — замкнута двоїстість, віддільна по , і, то оснащення r() узгоджено з двоїстістю. Назад, якщо задовольняє умовам теореми 5.5.8, і r() узгоджено з двоїстістю, то .

У розділі дається опис збіжності майже скрізь як збіжності в деякій індуктивній шкалі ЛОП. Досліджено властивості побудованої шкали; зокрема, показано, що її топологічна індуктивна границя є простір збіжності по мірі. Як застосування, побудована шкала збіжності майже скрізь у просторі з проективною шкалою мір, що пов'язаний із задачами оцінки параметра в математичній статистиці.

У п. .1 встановлено нетопологічний характер збіжності майже скрізь.

У п. .2 показано, що у випадку локально компактного простору S з скінченною мірою м простір можна розкласти в індуктивну шкалу збіжності майже скрізь:

збіжність в якій рівносильна секвенціальній збіжності м –майже скрізь. При цьому кожний простір шкали означається заданням, з точністю до еквівалентності, зростаючою послідовностю, що заповнює м-майже все S. У входять ті функції з M(S, м), звуження яких на K неперервні; sup-норми цих звужень означають топології ?. Встановлена важлива властивість шкали — у–індуктивність: будь-яка послідовність просторів шкали мажоруватиметься деяким простором.

Основним результатом п. .3 є теорема 6.3.1, яка стверджуює, що в випадку локально компактного S з скінченною мірою м простір збіжності по мірі M(S,м) є топологічною (не локально опуклою) індуктивною границею шкали збіжності майже скрізь. Як застосування, одержана теорема апроксимації: при будь-якому виборі околів нуля вірно:

У п. .4 вказаний спосіб розкладання простору M(S, м) у ще одну шкалу збіжності м–майже скрізь, у випадку, коли м — міра Лебега на S?,. Встановлено неперервне вкладення:

У п. .5 введене поняття простору з проективною шкалою мір:, і відповідного простору P(и)–вимірних функцій. За аналогією з п. .2, побудовано розклад M(S,P(и)) у шкалу збіжності P(и)–майже скрізь. Досліджено властивості шкали.

В розділі досліджується питання про неперервність рівномірної границі послідовності неперервних відображень в індуктивну шкалу просторів. При цьому загальна постановка питання приводить до шкал рівномірних просторів.

У п. .1 вводиться поняття індуктивної шкали рівномірних просторів (U–шкали). Під U–шкалою розуміється система рівномірних просторів , індуктивно упорядковані відносно рівномірно неперервних вкладень , що задовольняють умовам погодженності при Розглянуті найважливіші класи U–шкал, неперервні, рівномірно неперервні відображення і послідовності відображень в U–шкалу.

У п. .2 побудовано приклад ряду неперервних відображень відрізка в U–шкалу, який рівномірно збігається, що має розривну суму. Тим самим показана недостатність класичних уов неперервності рівномірної границі для відображень у U–шкали. Введене поняття H–неперервної сім'ї відображень в U–шкалу в даній точці x, для якої всі функції даної сім’ї в деякому околі x є відображенням в один і той же простір шкали, неперервними в x. Показано , що H–неперервність і рівномірна збіжність гарантують неперервність рівномірної границі.

У п. .3 виділені три типи U–шкал, для відображень компакта в які справедлива класична теорема про рівномірну збіжність і неперервність: K–шкали, тобто шкали бананових просторів з компактними вкладеннями, строгі шкали і у–індуктивні шкали. Основним результатом є

Теорема 7.3.7. Якщо X — компакт, — строга або ?–індуктивна U–шкала з ін'єктивними вкладеннями, f, відображення f неперервні на X і f?f, то f також неперервне на X.

У п. .4 розглянуті застосування: теореми про неперервність по параметру ряду вимірних функцій з параметром і ряду лінійних неперервних операторів з параметром. Знайдено умови неперервності по л для м–майже всіх xS суми ряду , де –вимірні по x? S при л? Л, (S, ) — локально компактний простір з скінченною борелівською мірою , Л — компактний відрізок у ?.

Теорема 7.4.2. Якщо:

а) існує така зростаюча послідовність компактів, яка заповнює –майже все S, що для кожного m ряд рівномірно збігається на;

b) для кожного n=1,2,… і для кожного л при ? л для –майже всіх x?S,

то для кожного л?Л ?ри –майже всіх x?S:

Знайдено умови неперервності по л суми ряду , де при, E — гладкий ЛОП, ? — компактний відрізок у ?.

Теорема 7.4.4. Якщо:

а) знайдеться такий нормальний індекс n?N(E;F), що

для всіх ??Л, t?T, s? n(t);

b) для кожного k=1,2,… і л?Л ?найдеться такий нормальний індекс , що A(л,) A(л,) при ? л у (E;F), то знайдеться такий нормальний індекс n?N(E;F), що для всіх л?Л:

Нарешті, в п. .5 вивчається слабка рівномірна збіжність відображень в індуктивні шкали ЛОП.

В розділі вивчається формула Лагранжа для відображень відрізка в ЛОП і індуктивні шкали ЛОП, її узагальнення, відповідні види формули Тейлора. Результати служать базою для теорії нормального диференціювання в ЛОП.

У п. .1 розглянута узагальнена формула Лагранжа, що істотно підсилює класичний результат в ЛОП за урахуванням незліченності „виняткової” множини e[a;b], на якій відсутня оцінка похідної. Далі E — ЛОП, B замкнена і опукла множина в E.

Теорема 8.1.2. Якщо неперервне на [a;b], диференційовне на [a;b]\e, F(e) — скалярної міри нуль в E, F'(t)?(t)B, де (t)0 і сумовна на [a;b]\e, то

Відзначимо серед наслідків узагальнену теорему про середнє.

Теорема 8.1.4. Якщо F неперервне на [a;b], диференційовне на, F(e) — скалярної міри нуль в E, то

У п. .2 одержані різні форми узагальненої формули Тейлора. Приведемо форму Лагранжа і інтегральну оцінки залишкового члена. Далі.

Теорема 8.2.7. Якщо F?C[a;b], F диференційовна на [a;b]\e; e?N(F), k=, то

Теорема 8.2.12. Якщо F, k=, скалярно абсолютно неперервні на [a;b], , k=, то для будь-якого l?E*:

де.

Класичні оцінки виникають при me=0.

У п. .4 розглянуті формула Лагранжа і формула Тейлора із слабкішою, функціонально віддільною оцінкою, що допускають застосування в не локально опуклих ТВП і індуктивних шкалах ТВП.

? оболонка A у ТВП E є множина, якщо A=A, то A — віддільна множина. Аналогом теореми 8.1.2 служить

Теорема 8.4.2. Якщо A — віддільно в ТВП E, F:[a;b]E неперервне на [a;b] і диференційоване на [a;b]\e, F(e) — скалярної міри нуль в E, F'(t)?(t)А, де 0 і сумовна на [a;b]\e, то

Теорема про середнє приймає вид

Теорема 8.4.5. Якщо F:[a;b]E неперервне на [a;b], диференційовне на [a;b]\e,F(e) — скалярної міри нуль в E, то

Аналогом теореми 8.2.7 служить

Теорема 8.4.7. В умовах теореми 8.2.7 для F:[a;b] E і e[a;b], вірно:

У п. .5 вводиться поняття H–диференційовного відображення в індуктивну шкалу ЛОП. Диференційовне відображення ?: ??D={E} однорідно диференційовне (H - диференційовне) на D, якщо

при ?t 0 і всіх t ? D, для деякого s ? S. Формула Лагранжа із замкненою опуклою оцінкою і пов'язані з нею результати переносяться на H - диференційовні відображення відрізка в нелінійні, взагалі кажучи, індуктивні шкали ЛОП.

У п. .7 узагальнена формула Лагранжа для широкого класу мір переноситься на похідні по мірі. Далі — скінченна неперервна борелівська міра на [a;b], m?м.

Теорема 8.7.2. Якщо F:[a;b] E неперервне на [a;b], –диференційовне на [a;b]\e, F(e) — скалярної міри нуль в E, F'(t)?(t)В, де 0 і сумовна на [a;b]\e, то

Відповідна оцінка в теоремі про середнє 8.7.4 приймає вид: F(b)-F(a)? м([a;b]\e)([a;b]\e). Розглянуто приклад, який демонструє доцільність відповідного вибору міри в теоремі про середнє.

У завершальному п. .8 для дійсних функцій формула Лагранжа переноситься на випадок довільної виняткової множини e (теорема .8.2): з оцінки '(t)= (t) при t? [a;b]\e, 0, слідує

В розділі визначаються відображення в ЛОП, що нормально диференціюються, і вивчаються їх елементарні властивості.

У п. .1 ми спираємося на відоме означення Хайерса–Ленга символу "o": (h)=o(h), якщо

де — визначальні системи півнорм в E і F, відповідно. Новизна пропонованого підходу полягає в використанні методу нормальних індексів і, далі, нормальних розкладів операторних просторів.

У п. .2 означаються нормальні похідні і вивчаються найпростіші властивості похідних і нормальних індексів. Відображення :E F (нормально) диференційовне в точці x, якщо, де A(E;F), (h)=o(h); ми вважаємо f '(x)= A, n(x)=n, м(x)= м. Відзначимо деякі властивості n-индексів:

У п. .3 розглянута „нормальна форма” теореми про середнє для нормально диференційовних відображень і деякі її застосування. Приведемо основний результат.

Теорема 9.3.4. Якщо f:E?[a;b] F неперервне на [а;b], диференційовне на [a;b]\e, де f(e) — скалярної міри нуль в F, ?n, то для всіх s?S і t?n(s):

Починаючи з класу C, наш підхід істотно відрізняється від методу Хайера–Ленга. Згідно означенню, f?C(U), якщо f' :U неперервне. Узгодженість із теоремою .3.4 дозволяє перенести в ЛОП теорему про почленне диференціювання, достатню умову диференційованості, теорему про строгу диференційовність.

У п. .4 розглянута нормальна диференційовність відносно слабких топологій в банахових просторах. Зокрема, диференційовність f:EF означає, що для деякого розкладу E=E?E (h=h+h), де, вірно

1) при ;

2) у будь-якому конусі.

У п. .5 поняття і властивості, що розглянуті раніше, переносяться на відображення з ЛОП в індуктивні шкали ЛОП. Це дозволяє далі перейти до диференційовних відображень у шкали просторів.

У п. .6 поняття нормальної диференційовності переноситься на відображення в індуктивні шкали ЛОП. Згідно означенню, ?:E диференційовне в точці x?E, якщо ? диференційовне як відображення (локально) у деякий простір шкали . Це дозволяє зберегти властивості нормальних похідних, які розглянуті в п. .2.

У п. .7 введене раніше поняття H - диференційовності переноситься на відображення з ЛОП в індуктивні шкали ЛОП.

Розділ присвячений основним властивостям нормальних похідних.

У п. .1 вводиться друга нормальна похідна відображення f: E F як похідна відображення f:E. Канонічний ізоморфізм дозволяє вважати, що. По узагальненій теоремі Юнга 10.1.6, f''(x) — симетричний білінійний оператор, звідки витікає теорема Шварца про змішані похідні.

Теорема 10.1.7. Якщо f: EEF двічі нормально диференційовна в точці x, то для будь-яких , (i,j=1,2):

У п. .2 вводяться по індукції нормальні похідні вищих порядків. З теореми Юнга слідує симетричність оператора f (x).

У п. .3 розглянута формула Тейлора для нормально диференційованих відображень в ЛОП. Приведемо основні оцінки в формі Лагранжа і інтегральній. Далі T — множина індексів півнорм в E, S — множина індексів півнорм в F.

Наслідок 10.3.2. Якщо f: раз нормально диференційовне в околі x?E, при y? [x;x+h], то при всіх s?S, (t)?n(s) вірно:

Наслідок 10.3.4. Якщо f:) раз диференційовне в околі x?E, причому обмежена, і E — рефлексивний ЛОП, то

де справа в рівності — інтеграл Гельфанда–Петтіса.

У п. .4 розглянута теорема про почленне диференціювання відображень скалярного аргументу в лінійні індуктивні шкали ЛОП. Крім класичних умов, тут вводиться вимога H ? диференційовності на [a;b], що полягає в одночасній збіжності до нуля всіх залишкових членів в одному і тому ж просторі, індекс якого залежить від вибору точки x?[a; b]. Встановлено, що якщо послідовність, де — лінійна шкала повних ЛОП, крім класичних умов, H - диференційовна на [a;b], то почленне диференціювання можливо. У разі строгої або -індуктивной шкали зберігаються класичні умови почленного диференціювання.

У випадку нелінійних шкал ЛОП вводиться сильніша вимога EH? диференційованості {f} на [a;b], що посилює H-диференційовність вимогою незалежності індекса простору шкали від вибору точки x?[a; b]. Розглянуті два застосування: теореми про почленне диференціювання рядів вимірних функцій з параметром і рядів лінійних неперервних операторів з параметром.

Нехай (S,м) — локально компактний простір з скінченною борелівською регулярною мірою м, функції f(,x) м ? вимірні по x?S при ?, де — компактний відрізок у ? (n=1,2,…..).

Теорема 10.4.14. Якщо існує така послідовність компактів {K}, що заповнюює ? ? майже все S, і ?, що ряд рівномірно збігається на кожному K; функції f(x, ) диференційовні по ? для ? ? майже всіх x?S і неперервні по для ? ? майже всіх x?S; ряд рівномірно збігається на кожному K; то, для деякої зростаючої послідовності ком пактів , що заповнює ? ? майже все S, ряд рівномірно збігається на кожному ; для кожного ? рівність

і почленна неперервність ряду праворуч виконані для ? - майже всіх x?S.

Нехай, далі, E — гладкий ЛОП, F ? ЛОП, ? компактний відрізок в ?, оператори A при ?, k=1,2,…..

Теорема 10.4.15. Якщо існує такий нормальний індекс n?N(E;F) і ?, що ряд збігається в (E;F); відображення неперервно диференційовні по ; ряд рівномірно збігається в (E;F); то знайдеться такий нормальний індекс n?N(E;F), що ряд рівномірно по ? збігається в (E;F), для всіх ? виконана рівність

і почленна неперервність ряду справа в (E;F) .

У п. .6 будується теорія локальних екстремумів в ЛОП. Основним результатом є

Теорема 10.6.4. Якщо функціонал f : E? двічі нормально диференційовний в точці x?E, f'(x)=0 і f ''(x)? 0, має срогий локальний мінімум в цій точці.

У випадку добутку повних ядерних ЛОП одержана достатня умова мінімуму в термінах частинних похідних.

Теорема 10.6.6. Якщо функціонал f:EE? двічі неперервно нормально диференційовний в точці (x,x), E?E? повні ядерні ЛОП, , і:

1) і комутує з ;

2);

то f має строгий локальний мінімум в точці ( x,x).

Розглянуто застосування до інтегральних функціоналів.

Розділ присвячений K ? диференційовності, K ? екстремумам і застосуванням до функціоналу Ейлера?Лагранжа в ЛОП. Основною метою конструкцій цього розділу є перевірка повторної компактної диференційованості і одержання простих достатніх умов компактного екстремуму для основного варіаційного функціоналу. Нагадуємо, що (у випадку собольовських просторів) функціонал Ейлера-Лагранжа не має, як правило, другої сильної похідної, а також не має локальних екстремумів.

У п. .1 вводяться K?диференційовні відображення f:EF як відображення, всі звуження яких на x+E, де E — лінійні оболонки абсолютно опуклих компактів C?E, диференційовні щодо відповідних норм . Розглянуті найпростіші властивості K ? похідних першого і (для функціоналів) другого порядку.

У п. .2 вводяться K ? додатно означені квадратичні форми в ЛОП. Згідно означенню, квадратична форма K ? додатно означена: ?0 (mod K), якщо 0 і для будь-якого абсолютно опуклого компакта C у E звуження ? невироджена квадратична форма відносно . Одержано критерій K ? додатной означеності. На даний випадок переноситься умова додатної означеності в добутку ядерних ЛОП.

У п. .3 будується теорія K ? екстремумів у ЛОП, також означених через звуження f|. Одержані необхідні і достатні умови K ? екстремума в термінах K ? похідних. Приведено приклад K ? екстремума, який не є локальним екстремумом. На випадок K ? екстремума переноситься достатня умова екстремуму f(x,y) в термінах других частинних похідних.

Теорема 11.3.7. Якщо E?E ? повні ядерні ЛОП, f:E?, , причому:

1) і комутує з;

2);

то f має K - мінімум в