НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ОМЕЛЬЧЕНКО Ірина Василівна

СИНХРОНІЗАЦІЯ ТА СТІЙКІСТЬ РОЗВ'ЯЗКІВ

СИСТЕМ ЗВ'ЯЗАНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник

академік НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович,

директор Інституту математики НАН України.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ПАРАСЮК Ігор Остапович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

декан механіко-математичного факультету;

кандидат фізико-математичних наук

ФЕДОРЕНКО Володимир Васильович,

Інститут математики НАН України,

старший науковий співробітник.

Провідна установа

Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова,

кафедра диференціальних рівнянь.

Захист відбудеться "20" вересня_ 2005 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої

вченої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою:

01601 м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики

НАН України: 01601 м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розіслано "17" _серпня__ 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ПЕЛЮХ Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При математичному моделюванні процесів і явищ у різних галузях науки і техніки часто використовують системи зв'язаних осциляторів. В залежності від неперервної чи дискретної природи моделі вона має вигляд системи звичайних диференціальних або різницевих рівнянь відповідно. В останньому випадку систему зв'язаних осциляторів називають також системою зв'язаних відображень.

Одим з головних об'єктів дослідження системи зв'язаних осциляторів є прояви колективної поведінки її елементів, а саме: стани повної та часткової синхронізації, коли всі елементи системи або певна їх частина з часом ведуть себе однаково. Встановлення умов існуван\-ня цих станів

має важливе значення як з теоретичної, так і з практичної точки зору. Як приклад можна навести важливі практичні застосування в нейродинаміці та медицині, запропоновані П. Тассом, Р. Борисюком, Я. Казановичем, К. Вагнером, Р. Штупом.

Поняття синхронізації вперше було введено голандським вченим-природознавцем К. Гюйгенсом. Пізніше це явище спостерігалось та було описано Е. Аплтоном та Б. Ван дер Полем, а також А. Андроновим та А. Віттом. Формулювання математичного апарату теорії синхронізації починається з праць А. Данжуа про відображення кола, а подальший розвиток цієї теорії пов'язаний з іменами В.І. Арнольда та Й. Курамото. Новий поштовх цьому напрямку дало відкриття синхронізації між двома взаємодіючими хаотичними системами, яке описали в середині 80-х років минулого століття Х. Фуджісака та Т. Ямада, і незалежно від них-- М. Верічев. Останні значні результати з дослідження синхронізації в системах диференціальних та різницевих рівянь отримали Дж. Александер, Л. Гардіні, П. Ешвін, Дж. Йорке, Т. Керрол, Ю. Майстренко, Е. Отт, Л. Пекора, А.Піковський.

Дослідження часткової синхронізації мають коротшу історію. В основному вони cтимулювалися різними практичними застосуваннями у техніці, біології та медицині. Найбільш помітні результати у цій галузі отримали К. Канеко, Т. Капітаняк, Ю. Майстренко, Е. Мозекільде,

О. Попович, С. Попович, М. Хаслер.

Важливою характеристикою розв'язків систем диференціальних та різницевих рівнянь є їх стійкість. Дослідження останніх років показали, що стійкість синхронізованих та частково cинхронізованих станів у системах зв'язаних осциляторів значною мірою залежить

від структури зв'язків між елементами цієї системи. Такі результати були отримані Д. Воттсом, С. Строгатсом, Я. Стюартом, В.Бєлих та І. Бєлих.

Незважаючи на велику кількість робіт, присвячених проблемам існування та стійкості синхронізованих розв'язків у системах зв'язаних відображень, багато питань у цьому напрямку залишаються нез'ясованими: переважно увага приділялась вивченню систем з однорідною структурою локальних або глобальних зв'язків, тоді як системи з більш складними, неоднорідними матрицями зв'язків залишалися поза увагою. З іншого боку, останні системи мають особливі синхронізаційні властивості і в той же час вони є значно ближчими до реальних прикладних задач.

Ось чому їх математичне дослідження є актуальним та перспективним.

Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження у даній дисертаційній роботі є системи зв'язаних відображень з неоднорідною матрицею зв'язків між їх елементами. Предметом дослідження є повністю та частково синхронізовані розв'язки згаданих вище систем, сильна та слабка стійкість (нестійкість) таких розв'язків.

Мета роботи – дослідити вплив структури матриці зв'язків на умови існування повністю та частково синхронізованих розв'язків, а також на характер їх стійкості.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України.

Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну та виносяться на захист, є такими:

1. Запропоновано три типи структур зв'язків між елементами у багатовимірній системі зв'язаних відображень:

а) систему елементів, що взаємодіють через зв'язок з центральним елементом;

б) систему двох груп глобально зв'язаних елементів, що взаємодіють через зв'язок з центральним елементом;

в) систему двох груп глобально зв'язаних елементів з додатковою попарною взаємодією між елементами цих груп.

Доведено існування повністю та частково синхронізованих розв'язків у кожній з озглянутих систем.

2. Отримано необхідні умови сильної та слабкої стійкості (нестій-

кості) повністю синхронізованих розв'язків у випадку, коли динаміка індивідуального елемента у кожній системі задається одновимірним кусково-лінійним унімодальним відображенням.

3. Досліджено слабку стійкість повністю та частково синхронізованих розв'язків для випадку логістичного (тобто квадратичного) індивідуального відображення у кожній з систем. У просторі параметрів побудовано області стійкості для синхронізованих розв'язків.

4. Вивчено залежність границь областей стійкості синхронізованих розв'язків від розмірності досліджуваних систем.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи є теоретичними, можуть бути корисними для розв'язання конкретних прикладних задач нейродинаміки, зокрема, для виявлення умов синхронізації або десинхронізації між нейронами мозку. Отримані результати узагальнюють та доповнюють відповідні дослідження систем зв'язаних відображень. Вони можуть знайти застосування для біфуркаційного аналізу при дослідженні переходів від одних просторово-часових структур до інших у системах розглянутого типу. Крім того, результати другого та третього розділів можуть бути використані при дослідженні систем з центральним елементом у випадку, коли елементи системи неідентичні або коли у системі наявне збурення параметрів зв'язку.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану та напрямку досліджень, постановка задач належать науковому керівнику – А.М. Самойленку та співавторам наукових праць – Ю.Л. Майстренку та Е. Мозекільде. Всі результати дисертації, які виносяться на захист, отримано особисто автором.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи неодноразово доповідались і обговорювались на семінарах відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України, фізичного факультету Технічного університету Данії, Інституту нейроінформатики Університету м. Цюріх (Швейцарія), відділу статистичної фізики та теорії хаосу Потсдамського університету (Німеччина), Інституту прикладного аналізу та стохастики ім. Вейєрштрасса (Берлін, Німеччина), а також на міжнародних наукових конференціях ''Synchronization: Theory and Applications'' (травень 2002р., Велика Ялта, Україна); ''International School and Conference on Spatiotemporal Chaos'' (липень 2002р., Трієст, Італія); ''Nonlinear Dynamics of Electronic Systems 2003'' (травень 2003р., Скуол, Швейцарія); ''Шості Боголюбовські читання'' (серпень 2003р.,

Чернівці, Україна); ''Trends in Pattern Formation: From Amplitude Equations to Applications'' (вересень 2003р., Дрезден, Німеччина); X Міжнародній конференції ім. Кравчука (травень 2004р., Київ, Україна); ''Nonlinear Dynamics of Electronic Systems 2004'' (травень 2004р., Евора, Португалія); Київській Боголюбовській конференції ''Сучасні проблеми математики та теоретичної фізики'' (вересень 2004р., Київ, Україна); ''Synchronization and High-Dimensional Chaos in Coupled Systems'' (листопад 2004р., Берлін, Німеччина).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 8 працях, з них: 3 у фахових періодичних наукових журналах, що входять до переліку №1 ВАК України від 9.06.1999 р., 2 у збірниках праць міжнародних наукових конференцій та 3 у збірниках тез міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 123 найменування. Повний обсяг роботи складає 117 сторінок машинопису.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, сформульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати.

У першому розділі проведено огляд літератури, описано процес виникнення проблеми, етапи її розвитку, проаналізовано сучасний стан та актуальність, вказано місце проведених досліджень на сучасному етапі та їх зв'язок з прикладними застосуваннями.

У другому розділі дисертаційної роботи введено основний об'єкт дослідження – систему зв'язаних відображень

де дискретний час, базове одновимірне відображення, а матриця зв'язків між елементами системи.

Для кожного із запропонованих у дисертації типів зв'язків розглядаються два випадки:

1) індивідуальне відображення f(.) вибрано у вигляді кусково-лінійного відображення

(1)

2) індивідуальне відображення f(.) вибрано у вигляді квадратичного (логістичного) відображення

де (2)

Далі у тексті подано означення повної та часткової синхронізації для системи різницевих рівнянь загального вигляду

(3)

де

Означення 2.1.1. Розв'язок u системи (3) є синхронізованим, якщо

Очевидно, що у стані повної синхронізації поведінка розв'язку системи (3) з часом реалізується на діагоналі M-вимірного фазового простору

Нехай розбиття множини індексів = {1,...,M } на непорожні підмножини

для яких виконуються такі умови:

1) для всіх l m;

2) таке, що , де кількість елементів у множині

Означення 2.1.2. Розв'язок u системи (3) є частково синхронізованим, якщо

(а) для кожного фіксованого виконується рівність для всіх

і всіх tZ+;

(б) якщо j k, то для довільних l j, m k та t0 Z+ існує ціле t>t0 таке,

що

Кожна з груп називається кластером, а кількість елементів у кластері–

його розміром.

У дисертаційній роботі досліджуються два типи стійкості (нестійкості) синхронізованих розв'язків: сильна (або асимптотична) та слабка. Відповідні означення подано нижче.

Нехай – деяка множина, інваріантна відносно відображення F(.), тобто F().

Означення 2.1.3. Множину називають сильно (або асимптотично) стійкою, якщо для будь-якого її околу U() RM існує інший окіл V() RM такий що для всіх uV() виконується:

1) Fn(u) U() для всіх n N;

2) (Fn(u),) 0 при n , де через (,) позначено відстань між точкою та множиною в евклідовій метриці RM.

Позначимо через Pre()= {u RM | n N : Fn(u) множину прообразів .

Очевидно, що Pre() B().

Означення 2.1.4. Множина називається сильно (або асимптотично) нестійкою,

якщо B() = Pre(), тобто множина притягує лише свої прообрази.

Нехай (u, F) –гранична множина траєкторії відображення F(.) з початковою умовою u RM. Назвемо множину B()= {uRM| (u,F) областю притягування

множини .

Означення 2.1.5. Множина називається слабко стійкою (або стійкою за Мілнором), якщо її область притягування B() має додатну міру Лебега в RM}.

Множина називається слабко нестійкою (або нестійкою за Мілнором) у протилежному випадку, тобто якщо mes B()=0.

Стійкість (нестійкість) розв'язків системи (3) досліджується за допомогою першого методу Ляпунова. Для цього вводяться поняття показників Ляпунова.

Нехай J(u)– матриця Якобі системи (3), а деяка її траєкторія. Тоді, виходячи з цієї траєкторії, можна побудувати послідовність матриць

V(n) = JT(u0) JT(u1)... JT(un-1) J(un-1) ... J(u1) J(u0),

де через JT позначено матрицю, транспоновану до J.

Кожна матриця V(n) має розмір M M. Вона симетрична (ермітова) і додатно визначена. Тому вона завжди має M додатних власних значень. Занумеруємо ці власні значення у порядку незростання:

1(n) 2 (n) … M(n) .

Означення 2.1.6. Показниками Ляпунова траєкторії відображення F(u) називають такі границі, якщо вони існують:

Для M– вимірної системи існує не більше M показників Ляпунова.

Конкретним об'єктом дослідження у другому розділі обрано систему відображень, які взаємодіють через зв'язок з центральним елементом:

(4)

де (x1, ..., xN, z) RN+1, t Z+– дискретний час, 0– параметр зв'язку.

Система (4) складається з групи N ідентичних невзаємодіючих елементів xi та центрального елементу z, який взаємодіє з кожним з елементів xi. Подібні системи є модельними для ансамблів взаємодіючих нейронів головного мозку.

У дисертації доведено, що у системі (4) існують повністю та частково синхронізовані розв'язки, а області стійкості цих розв'язків у просторі параметрів не залежать від розмірності системи.

Нехай AD DN+1 – синхронізуюча множина, тобто множина, на якій реалізується динаміка

системи (4) у стані повної синхронізації. Якщо одновимірне відображення f(.) у цій системі має форму кусково-лінійного відображення (1), то стійкість (нестійкість) синхронізуючої множини AD

можна дослідити за допомогою методів теорії нідінгів. Результати цього дослідження представлено у наступних теоремах, де для скорочення формулювань введено такі позначення

де k=k(l,p) – ціла частина виразу

Теорема 2.5.1. Нехай індивідуальне одновимірне відображення f(.) у системі (4)

має форму кусково-лінійного відображення (1), де 2<p<–1 і | p| < l < p/(p+1). Тоді:

1) якщо lk-1 | p| < 3k, то синхронізуюча множина AD є сильно стійкою при всіх
( 2,);

2) якщо lk-1 | p| > 3k, то синхронізуюча множина AD не може бути сильно стійкою при жодному значенні параметра ;

3) синхронізуюча множина AD є сильно нестійкою при всіх

Теорема 2.5.2. Нехай індивідуальне одновимірне відображення f(.) у системі (4) має форму кусково-лінійного відображення (1), де p < 1 і 0 < l < | p|. Тоді:

1) якщо | p| < 3 , то синхронізуюча множина AD є сильно стійкою при всіх ;

2) якщо | p| > 3 , то синхронізуюча множина AD не може бути сильно стійкою при жодному значенні параметра ;

3) якщо lk-1 | p| > 1, то синхронізуюча множина AD є сильно нестійкою при всіх

;

4) якщо lk-1 | p| 1, то синхронізуюча множина AD є сильно нестійкою при всіх

Припустимо тепер, що при фіксованих значеннях параметрів l та p кусково-лінійне відображення (1) характеризується хаотичною поведінкою на інтервалі [0,1]. Тоді за теоремою Ласоти та Йорка для цього відображення існує єдина ймовірнісна інваріантна міра = l,p, яка визначає розподіл траєкторій відображення на множині значень аргумента. Нехай

m = m(l,p)= l,p ({ x [1 + 1/p, 1]}), тобто , де (x) – функція щільності ймовірнісної інваріантної міри l,p. Позначимо

Теорема 2.5.3. Нехай індивідуальне одновимірне відображення f(.) у системі (4) має форму кусково-лінійного відображення (1), де p< 1 і 0<l < p/(p+1). Тоді:

1) якщо l1-m | p |m < 3, то синхронізуюча множина AD є слабко стійкою при всіх

та слабко нестійкою при всіх

2) якщо l1-m | p |m > 3, то синхронізуюча множина AD є слабко нестійкою для всіх значень параметра зв'язку .

Якщо одновимірне відображення f(.) у системі (4) має форму квадратичного (логістичного) відображення (2), то аналітично вдається дослідити лише слабку стійкість синхронізуючої множини у цій системі. В цьому випадку у стані повної синхронізації один з показників Ляпунова (позначимо його ||) характеризує поведінку траєкторій системи на одновимірному інваріантному многовиді DN+1, а решта N показників характеризують стійкість траєкторій системи у

трансверсальних до одновимірного многовиду напрямках. У роботі показано, що показник || чисельно співпадає з показником Ляпунова одновимірного логістичного відображення (2).

Теорема 2.6.1. Нехай індивідуальне одновимірне відображення f(.) у системі (4) має форму квадратичного (логістичного) відображення (2), і || значення показника Ляпунова для відображення (2). Тоді:

1) якщо ||<0, то повністю синхронізований стан у системі (4) слабко стійкий при всіх

2) якщо || >0, то повністю синхронізований стан у системі (4) слабко стійкий при всіх

Третій розділ дисертаційної роботи присвячено дослідженню системи відображень з центральним елементом та взаємодією між периферійними елементами, а саме:

(5)

де та дві однакові групи, кожна з N глобально зв'язаних елементів, tZ+. Центральний елемент z взаємодіє з кожним з 2N периферійних елементів. Сила взаємодії між елементами системи визначається параметром 0.

Підрозділ 3.1 містить обгрунтування структури системи та доведення існування можливих синхронізованих розв'язків. Зокрема, доведено існування таких розв'язків у системі (5):

· повна синхронізація C:

· двокластерний стан C2:

· трикластерний стан C3: xy, xz, yz.

Доведено також інваріантність відповідних підпросторів фазового простору меншої розмірності, на яких реалізується динаміка системи в кожному із вказаних станів. Показано, що параметричні області стійкості таких синхронізованих розв'язків залежать від розмірності системи (5).

У підрозділі 3.2 отримано необхідні умови сильної та слабкої стійкості (нестійкості) повністю синхронізованих розв'язків системи (5) для випадку кусково-лінійного індивідуального відображення. Зауважимо, що синхронізуючою множиною системи (5) є множина AD D2N+1.

Теорема 3.2.1. Нехай індивідуальне одновимірне відображення f(.) у системі (5) має форму кусково-лінійного відображення (1), де –2<p<–1 і |p| < l < p/(p+1). Тоді

1) якщо lk-1 |p| < (N+3)k/(N+1)k, то синхронізуюча множина AD є сильно стійкою при

2) якщо lk-1 |p| > (N+3)k/(N+1)k, то синхронізуюча множина AD не може бути сильно стійкою при жодному значенні параметра ;

3) синхронізуюча множина AD є сильно нестійкою при

Теорема 3.2.2. Нехай індивідуальне одновимірне відображення f(.) у системі (5) має форму кусково-лінійного відображення (1), де p < –1 і l < |p|. Тоді:

1) якщо |p| < (N+3)/(N+1), то синхронізуюча множина AD є сильно стійкою при

;

2) якщо |p| > (N+3)/(N+1), то синхронізуюча множина AD не може бути сильно стійкою при жодному значенні параметра ;

3) якщо lk-1|p| > 1, то синхронізуюча множина AD є сильно нестійкою при

4) якщо lk-1|p| 1, то синхронізуюча множина AD сильно нестійка при

Теорема 3.2.3. Нехай індивідуальне одновимірне відображення f(.) у системі (5) має форму кусково-лінійного відображення (1),

де p<–1 і 0<l <p/(p+1), m =m(l,p)= l,p ({ x[1 + 1/p, 1]}). Тоді:

1) якщо l1-m |p|m < (N+3)/(N+1), то синхронізуюча множина AD є слабко стійкою при

та слабко нестійкою при

2) якщо l1-m |p|m > (N+3)/(N+1), то синхронізуюча множина AD є слабко нестійкою для всіх значень параметра зв'язку .

Головна відмінність між результатами, отриманими для систем (4) та (5) у випадку кусково-лінійного індивідуального відображення (1), полягає в наступному. Межі областей стійкості та нестійкості повністю синхронізованого стану у випадку системи (4) залежать лише від значень параметрів l та p, а у випадку системи (5) ці межі залежать, крім того, і від розмірності системи. Наслідком цього факту є такий результат.

Нехай параметри l та p одновимірного відображення (1) фіксовані, тоді існує критичне значення розмірності системи (5):

для

для

Якщо N < Ncr, то існує непорожня параметрична область сильної стійкості стану повної синхронізації. Якщо ж N > Ncr, то стан повної синхронізації у системі (5) не може бути сильно стійким при жодних значеннях параметра зв'язку .

Якщо мова йде про області слабкої стійкості, то аналогічно отримуємо критичне значення:

для

Тоді у випадку існує непорожня параметрична область слабкої стійкості стану повної синхронізації. Якщо ж , то стан повної синхронізації у системі (5) слабко нестійкий для довільного значення параметра зв'язку .

У підрозділі 3.3 знайдено необхідні умови слабкої стійкості повністю та частково синхронізованих розв'язків системи (5) для випадку гладкого квадратичного індивідуального відображення.

Теорема 3.3.1. Нехай індивідуальне одновимірне відображення f(.) у системі (5) має форму квадратичного (логістичного) відображення (2), і ||– значення показника Ляпунова для відображення (2). Тоді:

1) якщо || < 0, то повністю синхронізований стан у системі (5) слабко стійкий при всіх

2) якщо || > 0, то повністю синхронізований стан у системі (5) слабко стійкий, якщо

У четвертому розділі дисертаційної роботи досліджено систему двох однакових взаємодіючих груп глобально зв'язаних відображень:

(6)

де (x1,...,xN, y1,...,yN) R2N, та дві згадані вище групи змінних, , – параметри зв'язку. Система (6) має складнішу структуру, ніж системи з розділів 2 та 3. Крім того, сила зв'язку між елементами у ній залежить від двох різних параметрів, що означає існування двох різних типів зв'язку між одновимірними відображеннями.

У підрозділі 4.1 досліджено структуру системи (6), доведено інваріантність деяких підпросторів її фазового простору та існування таких синхронізованих розв'язків:

· повна синхронізація C:

·

двокластерний стан :

У випадку N=2n:

· двокластерний стан :

· двокластерний стан :

Показано, що стійкість повністю синхронізованих розв'язків не залежить від розмірності системи, тоді як області стійкості частково синхронізованих розв'язків цієї властивості не мають.

У підрозділі 4.2 знайдено необхідні умови сильної та слабкої стійкості повністю синхронізованих розв'язків системи (6) для випадку кусково-лінійного індивідуального відображення.

Теорема 4.2.1. Нехай індивідуальне одновимірне відображення f(.) у системі (6) має форму кусково-лінійного відображення (1), де 2<p<1 і |p| < l < p/(p+1). Тоді:

1) якщо lk-1 |p| < 3k, то синхронізуюча множина AD D2N є сильно стійкою при

2) якщо lk-1 |p| > 3k, то синхронізуюча множина AD не може бути сильно стійкою при жодному значенні параметрів , ;

3) синхронізуюча множина AD є сильно нестійкою при

Теорема 4.2.2. Нехай індивідуальне одновимірне відображення f(.) у системі (6) має форму кусково-лінійного відображення (1), де p < –1 і l < |p|. Тоді:

1) якщо |p| < 3, то синхронізуюча множина AD D2N є сильно стійкою при

2) якщо |p| > 3, то синхронізуюча множина AD не може бути сильно стійкою при жодному значенні параметрів , ;

3) синхронізуюча множина AD є сильно нестійкою при

Теорема 4.2.3. Нехай індивідуальне одновимірне відображення f(.) у системі (6) має форму кусково-лінійного відображення (1), де p<–1 і 0 < l < p/(p+1), m =m(l,p)= l,p ({ x[1 + 1/p, 1]}).

Тоді:

1) якщо l1-m |p|m < 3, то синхронізуюча множина AD є слабко стійкою при та слабко нестійкою при

2) якщо l1-m |p|m > 3, то синхронізуюча множина AD є слабко нестійкою для всіх значень параметрів зв'язку , .

Підрозділ 4.3 присвячено отриманню необхідних умов слабкої стійкості повністю та частково синхронізованих розв'язків системи (6) з логістичним індивідуальним відображенням. Дослідження проведено за допомогою методу показників Ляпунова.

У підрозділі 4.4 проаналізовано найпростіший нетривіальний випадок системи (6), коли вона містить чотири елементи, задані квадратичним (логістичним) відображенням. Для цього випадку у просторі параметрів знайдено області стійкості повністю синхронізованих та всіх можливих частково синхронізованих розв'язків, детально досліджено динаміку системи у кожному із синхронізованих станів, наведено результати числових експериментів та діаграми стійкості

синхронізованих станів у просторі параметрів.

У підрозділі 4.5 показано, що у системі (6) існують також частково синхронізовані стани більших розмірностей, зокрема N–кластерний стан. Як приклад проаналізовано систему (6) з 20 елементів. Знайдено параметричні області стійкості для її синхронізованих розв'язків, проведено порівняння з результатами для системи чотирьох відображень.

ВИСНОВКИ

У дисертації отримано умови сильної та слабкої стійкості (нестійкості) повністю та частково синхронізованих розв'язків систем зв'язаних відображень з неоднорідними матрицями зв'язків. Основні результати дисертаційної роботи:

1. Доведено існування повністю та частково синхронізованих розв'язків для певних класів систем зв'язаних відображень з неоднорідними матрицями зв'язків.

2.

Для систем з індивідуальним кусково-лінійним одновимірним відображенням отримано необхідні умови сильної та слабкої стійкості (нестійкості) повністю синхронізованих розв'язків. Знайдено точні аналітичні вирази для меж областей сильної та слабкої стійкості у просторі параметрів.

3. Отримано необхідні умови слабкої стійкості повністю та частково синхронізованих розв'язків для систем з індивідуальним квадратичним відображенням. Побудовано області стійкості у просторі параметрів та проаналізовано поведінку систем у підпросторах фазового простору, що відповідають частково синхронізованим розв'язкам.

4. Визначено залежність меж областей стійкості синхронізованих розв'язків від розмірності системи зв'язаних відображень. У випадках наявності цієї залежності одержано аналітичні вирази для критичних значень розмірності.

CПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ

ДИСЕРТАЦІЇ

1. Matskiv (Omelchenko) I.V. Stability of synchronized and clustered states in coupled piecewise linear maps// Нелінійні коливання. – 2004. – Т. 7, N 2. – С. 217–228.

2. Matskiv (Omelchenko) I., Maistrenko Yu., Mosekilde E. Synchronization between interacting ensembles of globally coupled chaotic maps// Physica D. – 2004. – Vol. 199. – P. 45–60.

3. Омельченко І.В. Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану// Нелінійні коливання. – 2005. – Т. 8, N 1. – С.46–60.

4. Matskiv (Omelchenko) I., Maistrenko Yu. Synchronization and clustering among two interacting ensembles of globally coupled chaotic oscillators// Proceedings of Int. Conference "Nonlinear Dynamics and Electronic Systems (NDES) 2003". – Scuol (Switzerland). – 2003.– P. 165–168.

5.

Matskiv (Omelchenko) I., Maistrenko Yu. Coupled piecewise linear maps: from coherence to clustering// Proceedings of Int. Conference "Nonlinear Dynamics and Electronic Systems (NDES) 2004". – Evora (Portugal). – 2004. – P. 246–249.

6. Мацьків (Омельченко) І.В. Синхронізація взаємодіючих ансамблів хаотичних осциляторів// Тези конференції "Шості Боголюбовські читання". – Київ. – 2003. – С. 149.

7. Мацьків (Омельченко) І.В. Стійкість синхронізованих станів у системі взаємодіючих груп глобально зв'язаних кусково-лінійних відображень// Тези Х Міжнародної конференції ім. М. Кравчука. – Київ. – 2004. – С. 450.

8. Matskiv (Omelchenko) I.V. Ensembles of coupled maps with a major element: full and partial synchronization// Тези Боголюбовської конференції "Сучасні проблеми математики та теоретичної фізики". – Київ. – 2004. – С. 18–19.

АНОТАЦІЇ

Омельченко І.В. Синхронізація та стійкість розв'язків систем зв'язаних відображень.

Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико–математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

В дисертації досліджено сильну та слабку стійкість (нестійкість) повністю та частково синхронізованих розв'язків систем зв'язаних відображень з неоднорідними матрицями зв'язків. Запропоновано та обгрунтовано три типи матриць зв'язків. Для кожного з них досліджено випадки кусково-лінійного та квадратичного базових відображень. Доведено існування повністю та частково синхронізованих розв'язків для розглянутих систем зв'язаних відображень. Отримано необхідні умови сильної та слабкої стійкості (нестійкості) повністю та частково синхронізованих розв'язків. Визначено залежність меж областей стійкості синхронізованих розв'язків від розмірності системи зв'язаних відображень. У випадках наявності цієї залежності одержано аналітичні вирази для критичних значень розмірності.

Ключові слова: системи зв'язаних відображень, синхронізація, сильна стійкість, слабка стійкість за Мілнором.

Омельченко И.В. Синхронизация и устойчивость решений систем связанных отображений. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

В диссертации исследована сильная и слабая устойчивость (неустойчивость) полностью и частично синхронизированных решений систем связанных отображений с неоднородными матрицами связей. Предложено и обосновано три типа матриц связей. Для каждого из них исследованы случаи кусочно-линейного и квадратичного базовых отображений. Доказано существование полностью и частично синхронизированных решений для рассматриваемых систем связанных отображений. Получены необходимые условия сильной и слабой устойчивости (неустойчивости) полностью и частично синхронизированных решений. Определена зависимость границ областей устойчивости синхронизированных решений от размерности систем связанных отображений. В случае наличия такой зависимости получены аналитические выражения для критических значений размерности.

Ключевые слова: системы связанных отображений, синхронизация, сильная устойчивость, слабая устойчивость по Милнору.

Omelchenko I.V. Synchronization and stability of solutions of coupled map systems.– Manuscript.

Thesis for candidate degree by speciality 01.01.02 – differential equations.– Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

The thesis is devoted to the investigation of strong and weak stability of the fully and partially synchronized solutions of coupled map systems with nonhomogeneous connection matrices. The structure of couplings in considered systems describes an applied problems in neuronal dynamics. As a base element in each system one-dimensional unimodal piecewise linear map and smooth logistic map are considered. Necessary conditions for weak and strong stability of the synchronized states are found, as well as analytic expressions for the borders of stability regions in the parameter space. Dependence of the stability regions on the number of maps in the systems is investigated. Examples and results of numerical experiments are shown to prove analytical results, stability diagrams for some examples are presented.

In the introduction the importance of the topic is justified and the main results are briefly described. In the first chapter the history of the problem is presented and the current stage of the investigations in the field is analyzed. The connection of the considered problems with the applications in different fields is emphasized.

In the second chapter the conditions of strong and weak stability (instability) for full and partial synchronization are investigated in the system of coupled maps that include the presence of a major element, i.e. an element that interacts with all the other elements of the system. In the case of individual

piecewise liner map analytic conditions for strong and weak stability (instability) are obtained. In the case of individual logistic map weak stability of fully and partially synchronized states is investigated. The independence of stability regions on the number of maps in the system is proved.

In the third chapter a system which consists of two globally coupled populations of one-dimensional maps that interact via a major element is considered. The presence of this element can induce synchronization in both of the globally coupled populations even though they operate in different states. Different types of stability for fully and partially synchronized states are analyzed. Borders of stability parameter regions for different synchronized states are found analytically.

In the fourth chapter a model composed of two identical ensembles of globally coupled maps with additional pairwise couplings between the maps of each ensemble is analysed. The interaction between the maps is considered to be ruled by two different coupling parameters. As in the previous two cases, conditions for strong and weak stability of fully and partially synchronized stated are obtained. The phenomena of the so-called ''ruled'' dynamics, when the elements of the system which are not coupled directly form separate clusters, is revealed.

The coupling structure of the considered systems has the form of three types of groups of interacting neurons in the human brain. Therefore the investigation of the stability of different synchronized states in such systems is a problem of a big importance for a modern biology and medicine.

The main results of the thesis were published in 8 scientific publications and reported at a number of scientific seminars, international scientific conferences and symposiums.

Key words: coupled map systems, synchronization, strong stability, weak stability by Milnor.

Підписано до друку 2.08.05. Формат 60 84/16. Папір офс.

Офс. друк. Фіз. друк. арк 1,38. Ум. друк. арк 1,28. Тираж 100 прим.

Зам. 118. Безкоштовно.-----

Інститут математики НАН України,

01601, Київ–4, МСП, вул. Терещенківська, 3.