НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
Інститут математики
Одінцова Оксана Олександрівна
УДК 512.54(048)
ГРУПИ З УМОВОЮ СЕПАРАТОРНОЇ НОРМАЛЬНОСТІ
ДЛЯ ДЕЯКИХ СИСТЕМ НЕЦИКЛІЧНИХ ПІДГРУП
01.01.06 – алгебра і теорія чисел
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
КИЇВ – 2005
Дисертацією є рукопис
Роботу виконано в Національному педагогічному університеті
імені М.П.Драгоманова
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Кузенний Микола Феодосійович,
Інститут математики НАН України,
провідний науковий співробітник відділу алгебри
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Курдаченко Леонід Андрійович,
Дніпропетровський національний університет,
завідувач кафедри алгебри і геометрії;
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Пилявська Ольга Степанівна,
Національний університет “Київо-Могилянська
академія”, доцент кафедри математики
Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса
Шевченка
Захист відбудеться “ _14_ ” _червня 2005 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01607, м. Київ, вул.. Терещенківська, 3
З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України
Автореферат розіслано “ 13 ” травня 2005 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради ______________ Романюк А. С.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Вивчення груп, у яких ті чи інші системи підгруп задовольняють заздалегідь задані умови, визначило напрямок досліджень, який займає важливе місце в сучасній теорії груп. Започатковано його було наприкінці ХІХ століття роботою Р. Дедекінда, у якій вивчались скінченні неабелеві групи з умовою нормальності для всіх підгруп. Неабелеві групи, всі підгрупи яких нормальні, називаються гамільтоновими групами, а об’єднання класів абелевих та гамільтонових груп утворює клас дедекіндових груп. Нескінченні гамільтонові групи були описані Р. Бером у 30-тих роках ХХ століття. Особлива роль у розвитку ідей та методів дослідження будови груп із заданими властивостями підгруп належить класичним роботам О.Ю. Шмідта та С.М. Чернікова.
Умова нормальності для тих чи інших підгруп широко використовується при дослідженнях груп. Наприклад, накладаючи умову нормальності не на всі підгрупи групи G, а на деяку вужчу систему підгруп досліджуваної групи G, можна одержати узагальнення класу дедекіндових груп. До цього напрямку досліджень можна віднести роботи С.М. Чернікова, Д.І. Устюжанінова, Ф.М. Лимана, Г.М. Ромаліса, М.Ф. Сєсєкіна, В.Т. Нагребецького, Д.І. Зайцева, М.С. Чернікова, О.О. Махньова, М.Ф. Кузенного, М.М. Семка, С. Франціозі, Ф. де Джіованні, Л.А. Курдаченка, М. Шахрярі, М. Шахабі та інших.
Один із методів формування системи підгруп , на яку накладається умова нормальності, полягає у тому, що у групі G виділяється така підгрупа S (сепаруюча підгрупа), для якої кожна підгрупа із групи G, яка не належить S, є нормальною в групі G. У загальному випадку групи такого роду називатимемо Н(\S)-групами. Задача опису Н(\S)-груп була поставлена С.М. Черніковим. Групи такого роду вивчались у роботах Д. Кеппіта, А.Ф. Баранніка, М.Ф. Кузенного, М.М. Семка, Т.Г. Чечиної, О.В. Сидорова та інших.
Зокрема, вперше ситуацію, коли підгрупа, породжена ненормальними власними підгрупами групи є власною, почав вивчати Д. Кеппіт. Означення сепаруючої підгрупи та сепаратора з’явилися пізніше – у роботі С.М. Чернікова. Результати, аналогічні до результатів Д. Кеппіта, іншими методами одержав А.Ф. Бараннік. У роботах Т.Г. Чечиної вивчалися р-групи з сепаруючими підгрупами відносно системи нециклічних підгруп, які породжувались ненормальними циклічними підгрупами та мали певні обмеження на комутанти. О.В. Сидоров вивчав властивості скінченних груп з сепаруючими множинами підгруп відносно класу локальних формацій. До цього напрямку досліджень груп належить і дана робота.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертації відповідає планам теоретико-групових досліджень, які здійснюються на кафедрі вищої математики Національного педагогічного університету імені М.П. Драгоманова та кафедрі математики Сумського державного педагогічного університету імені А.С. Макаренка “Дослідження складних алгебраїчних та топологічних структур”, “Дослідження груп та просторів абстрактної збіжності” (номери держреєстрації 0100V002973, 0102V002532).
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є вивчення властивостей та характеризація груп з сепаруючими підгрупами з обмеженням нормальності для наступних систем підгруп: циклічних підгруп, нерозкладних у прямий добуток власних підгруп (тобто Н(IndecС\S)-груп); нескінченних підгруп (тобто Н(I\S)-груп); нециклічних підгруп (тобто Н(\S)-груп); нескінченних нециклічних підгруп (тобто Н(І\S)-груп) .
Усі основні класи груп, розглядувані в дисертації, містять нескінченні прості групи з циклічними власними підгрупами. У зв’язку з цим дослідження ведуться при додаткових обмеженнях локальної ступінчастості, локальної майже розв’язності чи локальної розв’язності. В роботі використовуються загальні методи теорії груп.
Наукова новизна одержаних результатів. Всі основні результати дисертації є новими, строго обґрунтованими та вносять конкретний вклад у теорію груп. Найважливішими серед них слід вважати наступні:
– описано групи, у яких нормальними є циклічні підгрупи, що
нерозкладні у прямий добуток власних підгруп та не містяться в деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теорема 2.2.4);–
описано локально розв’язні групи, у яких нормальними є нескінченні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теорема 3.3.1 та наслідок 3.2.4);–
охарактеризовано неперіодичні локально майже розв’язні групи, у яких нормальними є нециклічні підгрупи, що не місяться в деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теорема 4.1.4, наслідок 3.2.3);
– описано властивості періодичних локально розв’язних та неперіодичних локально майже розв’язних груп, у яких нормальними є нескінченні нециклічні підгрупи, що не містяться в деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теореми 3.2.2 , 4.2.1, 4.2.2).
Встановлено деякі допоміжні результати, що мають самостійне значення:
охарактеризовано групи з сепаруючими підгрупами відносно систем нормальних примарних циклічних підгруп (терема 2.2.2);
дано повний опис нескінченних недедекіндових локально ступінчастих груп з нормальними нескінченними нециклічними підгрупами (теорема 3.1.1);
описано періодичні локально розв’язні групи з сепаруючими підгрупами відносно систем нормальних нециклічних підгруп (теореми 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3).
Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані при дослідженні як скінченних, так і нескінченних груп. Деякі розділи можуть бути основою для спецкурсів та спецсемінарів з теорії груп.
Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи одержано самостійно і опубліковано без співавторів.
Апробація результатів роботи. Основні результати дисертації доповідались на:–
VIІ та VIII Міжнародних конференціях імені академіка М. Кравчука (Київ, 1998, 2000);–
ІІ, ІІІ, IV Міжнародних алгебраїчних конференціях в Україні (Вінниця 1999, Суми 2001, Львів 2003);–
IV Міжнародній алгебраїчній конференції присвяченій 60-річчю Ю.І. Мерзлякова (Новосибірськ, 2000);–
Конференції “Алгебраїчні методи дискретної математики” (Луганськ, 2002);–
конференції молодих математиків, присвяченій 40-річчю кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка;–
науковому семінарі “ Групові структури та гіперкомплексний аналіз на них“ Інституту математики НАН України та Національного педагогічного університету імені М.П. Драгоманова;–
алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка;–
науково-звітних конференціях викладачів Національного педагогічного університету імені М.П.Драгоманова, Сумського державного педагогічного університету імені А.С. Макаренка.
Публікації. За темою дисертації опубліковано 13 робіт, серед них 4 у фахових виданнях, 2 з яких опубліковано після першого захисту дисертації.
Структура дисертації. Робота складається з переліку термінів та умовних скорочень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації – 120 сторінок, з них 114 сторінок основного тексту та 6 сторінок списку використаних джерел.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційного дослідження, визначено його мету і задачі, а також наукову новизну і практичне значення одержаних результатів.
Розділ 1 носить допоміжний характер. У ньому наведено стислий огляд робіт, близьких за тематикою.
У підрозділі 1.1 подано твердження, що стосуються груп, у яких всі підгрупи нормальні, або груп, близьких до них. Так, у твердженні 1.1.5 наведено характеризацію локально ступінчастих груп, у яких усі нескінченні підгрупи нормальні (у наших позначеннях Н(І)-групи). У твердженні 1.1.6 встановлено, що класи груп, у яких всі неперіодичні абелеві підгрупи нормальні, і груп, у яких усі нескінченні циклічні підгрупи нормальні, співпадають. Наведено опис груп цього класу. Опис локально ступінчастих груп, у яких усі нециклічні підгрупи є нормальними (у наших позначеннях Н()-групи) міститься у твердженні 1.1.7.
Підрозділ 1.2 стосується відомих результатів про групи з сепаруючими підгрупами. У твердженнях 1.2.1 – 1.2.2 подано властивості та опис груп з сепаруючими підгрупами відносно системи власних нормальних підгруп (тобто Н(S)-груп), які одержано в роботах Д. Кеппіта, А.Ф. Баранніка, М.Ф. Кузенного, М.М. Семка. Основні результати досліджень Т.Г. Чечиної стосовно певного підкласу періодичних груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нормальних нециклічних підгруп наведено у твердженнях 1.2.3 – 1.2.10.
Розділ 2 присвячений вивченню груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нормальних нерозкладних циклічних підгруп.
Для цього у підрозділі 2.1 подано необхідні означення та допоміжні результати.
Нехай – деяка теоретико-групова властивість підгруп групи G. Тоді підгрупу Н групи G, що має властивість , називатимемо -підгрупою.
О з н а ч е н н я 2. 1. 1. Нехай , – деякі теоретико-групові властивості підгруп групи G. Групу G називатимемо Н(\S)-групою, якщо в ній нормальні всі підгрупи із системи підгруп групи G, що не містяться в деякій власній -підгрупі S групи G. При цьому -підгрупу S називатимемо Н(\)-сепаруючою підгрупою групи G. Перетин М всіх Н(\)-сепаруючих підгруп групи G називатимемо її Н(\)-сепаратором.
Система підгруп групи G, яка розглядається, складається, як правило, з усіх -підгруп групи G.
Будь-яка -підгрупа Р із Н(\S)-групи G така, що всі підгрупи системи , які не містяться в Р, є нормальними в G, називається Н(\)-сепаруючою підгрупою групи G. Зокрема, якщо – це властивість “бути власною підгрупою групи”, то Н(\S)-групи називатимемо Н(\S)-групами, або, іншими словами, групами з сепаруючими підгрупами відносно системи підгруп . Також групи, у яких всі підгрупи з системи нормальні в групі, називатимемо Н()-групами.
Серед використаних в дисертації властивостей – це властивість бути: довільною (в позначеннях опускається), нескінченною (І-), нескінченною циклічною (ІС-),примарною циклічною (РС-), нециклічною (-), нескінченною нециклічною (І-), нерозкладною циклічною (IndecC-) підгрупою групи. Замість Н(\)-сепаруючої підгрупи та Н(\)-сепаратора групи G, де це не викликає непорозумінь, використовуватимемо скорочене позначення – сепаруюча підгрупа та сепаратор.
У лемі 2.1.1 та наслідку 2.1.1 наведено загальні властивості класу Н(\S)-груп. Зокрема, встановлено, що у випадку, коли – це властивість “бути власною підгрупою групи”, то М-сепаратор Н(\S)-групи співпадає з підгрупою, породженою всіма ненормальними -підгрупами з системи . Будь-яка підгрупа Н(\S)-групи, що містить сепаруючу підгрупу S, сама є сепаруючою підгрупою. Також установлено, що фактор-група Н(\S)-групи за будь-якою сепаруючою підгрупою – це дедекіндова група, а за будь-якою власною підгрупою сепаруючої підгрупи (яка сама не є сепаруючою підгрупою) буде Н(S)-групою.
У підрозділі 2.2 охарактеризовано групи з сепаруючими підгрупами відносно системи нерозкладних нормальних циклічних підгруп (тобто Н(IпdecC\S)-групи).
Відомо, що клас груп, у яких нормальними є всі нерозкладні циклічні підгрупи, співпадає з класом дедекіндових груп. При переході до розгляду груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нерозкладних нормальних циклічних підгруп виявляється, що клас Н(IndecC\S)-груп значно ширший ніж клас Н(S)-груп (теорема 2.2.4). Тому природним є характеризація першого.
Зрозуміло, що клас Н(IndecC\S)-груп є перетином класу груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нормальних примарних циклічних підгруп (тобто в наших позначеннях Н(РС\S)-груп) та класу груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нормальних нескінченних циклічних підгруп (тобто Н(ІС\S)-груп). Отже, для встановлення властивостей класу Н(IпdecC\S)-груп, потрібно з’ясувати властивості класів H(PC\S)- та H(IC\S)-груп.
Т е о р е м а 2. 2. 1. Група G є Н(ІС\S)-групою тоді і тільки тоді, коли вона є групою одного з типів:
1)
G – дедекіндова група;
2) G – періодична недедекіндова група;
3) G = А<b>, де А – неперіодична квазіцентральна абелева підгрупа групи G, |b| {2, 4}, A <b> = <b2>, b-1ab = a -1 для довільного елемента а А;
4) G – неперіодична група, всі ненормальні нескінченні циклічні підгрупи якої породжують власну неодиничну нормальну підгрупу К, що містить будь-який елемент нескінченного порядку групи G.
Т е о р е м а 2. 2. 2. Група G містить таку власну підгрупу S, для якої в групі нормальні всі примарні циклічні підгрупи при умові, що вони не містяться в S, тоді і тільки тоді, коли G – група одного з типів:
1)
G – неодинична група з періодичною частиною Т(G), Т(G) – квазіцентральна підгрупа групи G і сепаруюча підгрупа S = 1;
2)
G – група з нормальною підгрупою D = BA, яка містить всі елементи скінченного порядку, де В – нормальна підгрупа в G, породжена деякою множиною ненормальних в G примарних циклічних підгруп, В < D, A – прямий добуток нормальних в G силовських рі-підгруп Рі, кожна з яких містить власну підгрупу Si
G, і в групі G нормальні всі підгрупи Рі, що не містяться в Si, де і
І, |І| > 0, pi
(G), [A, B] = 1, а сепаруюча підгрупа S має вигляд S = B
;
3)
G – група, в якій усі ненормальні примарні циклічні підгрупи породжують власну неодиничну нормальну підгрупу К, і К містить всі елементи скінченного порядку групи G, як сепаруючу підгрупу можна взяти S = K.
Т е о р е м а 2. 2. 4. Група G є Н(IпdecС\S)-групою тоді і тільки тоді, коли G є групою одного з типів:
1) G – неодинична дедекіндова група;
2) G – недедекіндова група, що є прямим добутком своїх силовських рі-підгруп Рі, і І, кожна з яких є Н(S)-групою;
3) G = AB, де А та В – холлівські підгрупи групи G, А – підгрупа типу 1 або 2, В не може бути ні групою типу 1, ні групою типу 2, [A, B] = 1.
Теорема 2.2.4 – основний результат розділу 2.
У розділі 3 досліджуються групи з нормальними нескінченними підгрупами деяких фіксованих систем. Клас Н(І\S)-груп (тобто груп, у яких нормальними є всі нескінченні нециклічні підгрупи, що не містяться в деякій власній підгрупі групи) містить всі групи, в яких нормальними є всі нескінченні нециклічні підгрупи, (тобто Н(І)-групи) та всі групи з сепаруючими підгрупами відносно системи нескінченних підгруп (тобто Н(І\S)-групи). Зокрема, підгрупи та фактор-групи Н(І\S)-груп є Н(І)- або Н(І\S)-групами. У зв’язку з цим виникають самостійні задачі опису Н(І)- та Н(І\S)-груп.
Характеризації локально ступінчастих Н(І)-груп присвячено підрозділ 3.1.
У підрозділі 3.2 встановлено ступінь розв’язності Н(І\S)-, Н(І\S)- та Н(\S)-груп (останні – це групи з сепаруючими підгрупами відносно системи нормальних нециклічних підгруп) при додаткових обмеженнях локальної розв’язності у періодичному випадку та локальної майже розв’язності у неперіодичному випадку.
Т е о р е м а 3. 2. 2. Нехай G – неперіодична локально майже розв’язна або періодична локально розв’язна Н(І\S)-група. Тоді G??? = 1, причому в неперіодичному випадку комутант G? є мінімальною нормальною в G елементарною абелевою підгрупою порядку р, де р – деяке просте число.
Н а с л і д о к 3. 2. 3. Нехай G – неперіодична локально майже розв’язна або періодична локально ступінчаста Н(\S)-група. Тоді |G?? | = p, р – деяке просте число, {0; 1}. Якщо |G??| = p, то підгрупа G?? групи G ізоморфна комутанту нормальної силовської р-підгрупи скінченної ненільпотентної групи.
Н а с л і д о к 3. 2. 4. Нехай G – неперіодична локально ступінчаста або періодична локально розв’язна Н(І\S)-група. Тоді G – розв’язна група. При цьому, якщо G – нескінченна група, то G??? = 1, а якщо G – неперіодична, то G? = 1.
Характеризації локально розв’язних груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нескінченних підгруп присвячено підрозділ 3.3.
Т е о р е м а 3. 3. 1. Група G є локально розв’язною Н(І\S)-групою тоді і тільки тоді, коли вона є групою одного з таких типів:
1)
G – скінченна неодинична розв’язна група, що породжується ненормальними власними циклічними підгрупами;
2)
G – Н(S)-група;
3)
G – розширення своєї квазіциклічної підгрупи R за допомогою скінчнної Н(S)-групи;
4)
G = R ? D, де R – прямий добуток l > 1квазіциклічних q-груп для деякого простого числа q, D = B P – скінченна нільпотентна Н(S)-група, Р – силовська р-підгрупа групи D для деякого простого числа р, р q, у якій нормальні всі підгрупи <g>, що не належать деякій максимальній підгрупі W підгрупи Р, а елемент g індукує на R р-адично незвідний автоморфізм, при цьому <g>
D, D/<g> – дедекіндова група, в якості сепаруючої підгрупи можна взяти S = R ? (B
W);
5)
G = P ? B, де |В| < , Р – черніковська силовська р-підгрупа групи G з повною частиною R, що розкладається в прямий добуток (р - 1) квазіциклічних р-підгруп, р – деяке просте число, р > 2, Р містить таку підгрупу С, що С R
G, |P : C| = p i довільний елемент g P\C індукує на R р-адично незвідний автоморфізм, R<g>
G, [P, B] < R, а G/(R<g>) – дедекіндова група, в якості се паруючої підгрупи можна взяти S = C ? B.
У розділі 4 подано характеризацію Н(\S)- та Н(І\S)-груп при додаткових умовах.
Результати попередніх розділів дають можливість уточнення та деякого узагальнення результатів робіт Т.Г. Чечиної, в яких досліджувався певний підклас класу періодичних локально скінченних Н(\S)-груп. Слід зауважити, що в згаданих роботах деякі з виділених типів Н(\S)-груп є групами, у яких всі нециклічні підгрупи нормальні (тобто є Н()-групами), що суперечить означенню, а деякі типи співпадають. Уточнення та узагальнення згаданих результатів робіт Т.Г. Чечиної здійснене у підрозділі 4.1.
Т е о р е м а 4. 1. 1.Група G є періодичою ненільпотентною локально ступінчастою Н(\S)-групою тоді і тільки тоді, коли G є групою одного з типів:
1) G – скінченна ненільпотентна розв’язна Н()-група, S = 1;
2) G = Р ? <b>, де P = <c>A – силовська 2-підгрупа групи G, <c> Z(G), P > G? = A – група кватерніонів, |A| = 8, <c> A = Ф(А), <b> містить таку силовську 3-підгрупу <x>, що [A, <x>] = A, сепаруюча підгрупа має вигляд S = P ? (<y> <x3>), де <у> – холлівське доповнення <x> у підгрупі <b>;
3) G = Р ? <b>, де P = <c> A – скінченна силовська р-підгрупа групи G для деякого простого числа р, <c> Z(G), A G, |A| > p, <b> містить таку силовську q-підгрупу <x> для деякого простого числа q, p q, що х індукує на А незвідний автоморфізм, а при |P| = p2 підгрупа <b> містить елемент, який індукує на А звідний, але нетотожний автоморфізм, сепаруюча підгрупа має вигляд S = P ? (<y> <xq>), де <у> – холлівське доповнення <x> у підгрупі <b>;
4) G = Р ? <b>, P = <c>A – скінченна силовська р-підгрупа групи G для деякого простого числа р, <c> Z(G), A G, <c> A = Ф(А) =A? = = (<c>), <b> містить таку силовську q-підгрупу <x> для деякого простого числа q, p q, що суміжній клас Ф(А)х індукує на фактор-групі А/Ф(А) незвідний автоморфізм, сепаруюча підгрупа має вигляд S = P ? (<y><xq>), де <у> – холлівське доповнення <x> у підгрупі <b>.
У роботах Т.Г. Чечиної р-групи з класу Н(\S)-груп, які містять ненормальні нециклічні підгрупи та породжуються ненормальними циклічними підгрупами, позначено як Хр-групи.
Враховуючи результати теорем 4.1.1 та 4.1.2, охарактеризовано періодичні локально ступінчасті Н(\S)-групи (теорема 4.1.3). Характеризація неперіодичних локально майже розв’язних груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нормальних нециклічних підгруп міститься в теоремі 4.1.4, яка і є основним результатом підрозділу 4.1.
Т е о р е м а 4. 1. 3. Група G є періодичною локально ступінчастою Н(\S)-групою тоді і тільки тоді, коли вона є групою одного з типів:
1)
G – неодинична періодична дедекіндова група;
2)
G – недедекіндова Н(S)-група;
3)
G – періодична розв’язна Н(
)-група;
4)
G – скінченна розв’язна ненільпотентна Н(
\S)-група, тобто група типів 2 – 4 теореми 4.1.1;
5)
G = Р <z> – нільпотентна група, де <z> – скінченна холлівська підгрупа групи G, Р – силовська р-підгрупа групи G, яка є групою одного з типів 1 – 13 теореми 4.1.2;
6)
G = Р <z>, де <z> – скінченна холлівська підгрупа групи G, а Р = (<a> ? <b>) ? <x>, де |a| = 2, |b| = 4, |x| = 2, [a, b] = a2
, 1 < - k k, [a, x] = b2, [b, x] = a1b2, a1 <a>, |a1| = 4;
7)
G = Р <z>, де <z> – скінченна холлівська підгрупа групи G, a Р = (<a> ? <b>) ? <x>, де |a| = p, |b| = p, |x| = p, [a, b] = ap
, 1 < - k < k, [a, x] = bfp, 0 < f < p, [b, x] О (<a>).
Т е о р е м а 4. 1. 4.Група G є неперіодичною локально майже розв’язною Н(\S)-групою тоді і тільки тоді, коли G є групою одного з типів:
1)
G – неперіодична розв’язна Н(
)-група, S = 1;
2)
G = А ? <x>, де А – силовська мінімальна нормальна р-підгрупа групи G для деякого простого числа р, |A| = p, > 1, елемент x має нескінченний порядок, Z(G) = <xs>, s > 1, (s, p) = 1, у фактор-групі <x>/<xs> існує така силовська q-підгрупа <<xs>x1>, що елемент х1 індукує незвідний автоморфізм на групі А, q – простий дільник s, сепаруючу підгрупу S можна подати у вигляді S = A ? <xq>;
3)
G = (A <b>) ? <x>, де А – локально циклічна р-група (для деякого простого числа р) або група кватерніонів, |b| = |[b, x]| = p, [b, x] A, x – елемент нескінченного порядку, [A, <x>] = 1, сепаруючу підгрупу S можна подати у вигляді S = A
<b>
<xp>;
4)
G = (<a> ? <b>) X, де |a| = p > 4,р – деяке просте число, > 1,|b| = p, [a, b] = ap
, Х – нескінченна циклічна група або група, що ізоморфна адитивній групі раціональних дробів зі знаменниками рn, n N, сепаруючу підгрупу S можна подати у вигляді S = <aр>
<b>
X.
У підрозділі 4.2 подано характеризації періодичних локально розв’язних та неперіодичних локально майже розв’язних Н(І\S)-груп.
Т е о р е м а 4. 2. 1. Класи періодичних Н(І\S)- та Н(І\S)-груп співпадають. Нескінченні локально розв’язні групи цього класу вичерпуються групами типів:
1)
G – нескінченна періодична Н(S)-група;
2)
G – розширення своєї квазіциклічної підгрупи R за допомогою скінченної Н(S)-групи;
3)
G = R ? D, де R – прямий добуток l > 1 квазіциклічних q-груп для деякого простого числа q, D = B P – скінченна нільпотентна Н(S)-група, де Р – силовська р-підгрупа групи D для деякого простого числа р, p q, у якої нормальні всі підгрупи <g>, що не містяться в деякій максимальній підгрупі L підгрупи Р, а елемент g індукує на R р-адично незвідний автоморфізм, <g>
D, D/<g> – дедекіндова група, сепаруюча підгрупа S має вигляд S = R ? (B
L);
4)
G = P ? B, де |В| < , Р – черніковська силовська р-підгрупа групи G для деякого простого числа р > 2 з повною частиною R, яка розкладається в прямий добуток р - 1 квазіциклічних р-підгруп, група Р має таку підгрупу С, що R міститься в С
, |P : C| = p та довільний елемент g P\C індукує на R р-адично незвідний автоморфізм, R<g>
G, [P, B] < R, G/ R<g> – дедекіндова група, сепаруюча підгрупа S має вигляд S = C ? B.
Т е о р е м а 4. 2. 2.Класи неперіодичних локально майже розв’язних Н(І\S)- та Н(\S)-груп співпадають. Група G належить до цього класу тоді і тільки тоді, коли вона є групою типів:
1)
G – неперіодична абелева група, сепаруюча підгрупа S = 1;
2)
G = А Х, де А – група кватерніонів, Х – нескінченна циклічна група або група, що ізоморфна адитивній групі раціональних чисел зі знаменниками, що є натуральними степенями числа 2, сепаруюча підгрупа S = 1;
3)
G = <a> ? <x>, |a| = p > 2, елемент x має нескінченний порядок, [<a>, <x>] міститься в w(<a>), сепаруюча підгрупа S = 1;
4)
G = А ? <x>, де А – силовська мінімальна нормальна p-підгрупа групи G для деякого простого числа р, |А| = p, > 1, елемент x має нескінченний порядок, Z(G) = <xs>, s > 1, (s, p) = 1, у фактор-групі <x>/<xs> існує така силовська q-підгрупа <<xs>x1>, що елемент х1 індукує незвідний автоморфізм на групі А, q – простий дільник s , а сепаруюча підгрупа S має вигляд S = A ? <xq>;
5)
G = (A <b>) ? <x>, де А – локально циклічна р-група (для деякого простого числа р) або група кватерніонів, |b| = |[b, x]| = p, [b, x] A, елемент x має нескінченний порядок, [A, <x>] = 1, а сепаруюча підгрупа S має вигляд S = A
<b>
<xp>;
6)
G = (<a> ? <b>) X, де |a| = p > 4, > 1, |b| = p, [a, b] = ap
, Х – нескінченна циклічна група або група, ізоморфна адитивній групі раціональних дробів зі знаменниками, що є натуральними степенями простого числа р, а сепаруюча підгрупа S має вигляд S = <aр>
<b>
X.
ВИСНОВКИ
Метою дисертації є характеризація груп з умовою сепараторної нормальності для систем підгруп , які складаються з усіх: нескінченних, нециклічних, нескінченних нециклічних підгруп групи. Сепараторна нормальність у групі підгруп з системи означає нормальність не всіх підгруп з , а лише тих, що не містяться в деякій власній підгрупі S групи.
Встановлено, що групи з умовою сепараторної нормальності для систем указаного вигляду, на які накладаються обмеження локальної розв’язності чи локальної майже розв’язності, є розв’язними, ступінь їх розв’язності не перевищує числа 3.
Охарактеризовано нескінченні періодичні локально розв’язні та неперіодичні локально майже розв’язні групи, у яких нормальними є нескінченні нециклічні підгрупи при умові їх неналежності деякій власній підгрупі досліджуваної групи ( тобто Н(І\S)-групи).
Описано локально розв’язні групи, у яких нормальними є нескінченні підгрупи, що не містяться в деякій власній підгрупі S досліджуваної групи (тобто Н(І\S)-групи).
Описано всі періодичні локально ступінчасті та неперіодичні локально майже розв’язні групи, у яких нормальними є всі нециклічні підгрупи, що не містяться в деякій підгрупі S групи (тобто Н(\S)-групи). Опис одного підкласу локально-скінченних Н(\S)-груп здійснено іншими авторами. Цей опис у дисертації уточнено та узагальнено при заміні локальної скінченності на локальну ступінчастість.
Встановлено, що періодичні Н(І\S)- та Н(І\S)-групи складають один і той самий клас груп. Неперіодичні локально майже розвязні Н(І\S)- та Н(\S)-групи також складають один і той самий клас груп.
Охарактеризовано клас груп, у яких нормальними є нерозкладні циклічні підгрупи, що не містяться в деякій власній підгрупі S досліджуваної групи (Н(IndecС\S)-групи). Для цього введено до розгляду та досліджено Н(ІС)- та Н(PС\S)-групи, тобто групи, у яких всі нескінченні циклічні підгрупи є нормальними у групі, і відповідно групи, у яких усі примарні циклічні підгрупи є нормальними в групі, коли вони не містяться в деякій власній підгрупі групи.
Список опублікованих праць за темою дисертації
1.
Одінцова О.О. Про одне узагальнення дедекіндових груп // Матеріали VII Міжнар. наук. конф. імені акад. М. Кравчука (Київ, 14 – 16 трав. 1998).– Київ, Віпол.– 1998.– С.371.
2.
Одінцова О.О. Властивості груп, в яких нормальні підгрупи визначаються системами сепаруючих підгруп. – Київ, 1998.– 42с.– Деп. в ДНТБ України, №120 -Ук99.
3.
Одінцова О.О. Про ступінь розв’язності одного класу груп з сепаруючими підгрупами // Матеріали ІІ Міжнар. алг. конф. в Україні (Київ–Вінниця, 9 – 16 трав. 1999).– Вінниця: Вінницький держ. пед. ун-т, 1999.– С.97 – 98.
4.
Одінцова О.О. Групи з сепаруючими підгрупами відносно системи нециклічних підгруп //Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук. – 2000.– Вип. №3.– С.57 – 63.
5.
Одінцова О.О. Про будову одного класу груп з сепаруючими підгрупами // Матеріали VIIІ Міжнар. наук. конф. імені акад. М. Кравчука (Київ, 11 – 14 трав. 2000).– К.: Віпол, 2000. – С.337.
6.
Одинцова О.А. О группах, имеющих сепарирующие подгруппы относительно системы бесконечных подгрупп // Труды IV Междунар. конф. (Новосибирск, 7 – 11августа 2000).– Новосибирск: СО РАН, 2000.–С.133 – 134.
7.
Одінцова О.О. Про один клас сепараторно дедекінових груп // Укр. мат. журн.– 2001.– 53, №2.– С.269 – 273.
8.
Одінцова О.О. Групи з сепаруючими підгрупами відносно системи нескінченних нециклічних підгруп //Матеріали ІІІ Міжнар. алг. конф. в Україні (Суми, 2 – 8 липня 2001).– Суми: Сум. держ. пед. ун-т, 2001.– С.217.
9.
Одінцова О.О. Про один клас груп з сепаруючими підгрупами // Матеріали матем. конф. (Київ, 17 – 22 червня 2002).– Київ: Ін-т математики НАН України, 2002. – С.113 – 114.
10.
Одінцова О.О. Про еквівалентність класів груп з сепаруючими підгрупами// Матеріали конф. “Алгебраїчні методи дискретної математики” (Луганськ, 23 – 27 вересня 2002).– Луганськ: “Alma Mater”, 2002.– С.39 – 40.
11.
Oksana Odintsova Some properties of groups with separating subgroups // Матеріали IV міжнар. конф. в Україні (Львів, 4 – 9 серпня 2003) .– Львів: Львів. нац. ун-т, 2003.– С.162 – 163.
12.
Одинцова О.А. О свойствах коммутанта групп с сепарирующими подгруппами относительно системы бесконечных нециклических подгрупп //Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук. – 2004.– Вип. №2.– С.66 – 72.
13.
Одінцова О.О. Про будову неперіодичних груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нескінченних нециклічних підгруп // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук. – 2004.– Вип. №3.– С.40 – 48.
АНОТАЦІЇ
Одінцова О.О. Групи з умовою сепараторної нормальності для деяких систем нециклічних підгруп. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Інститут математики НАН України, Київ, 2005.
В дисертації досліджуються групи з нормальними нескінченними нециклічними підгрупами, а також групи, у яких нормальними є всі: нескінченні, нециклічні, нескінченні нециклічні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі досліджуваної групи. Повністю описано вказані групи при додаткових обмеженнях локальної майже розв’язності у неперіодичному випадку та локальної розв’язності у періодичному випадку.
Усі результати є новими, вони мають теоретичний характер, можуть бути використані в подальших теоретико-групових дослідженнях.
Найважливішими серед них слід вважати наступні:
– описано групи, у яких нормальними є циклічні підгрупи, що нерозкладні у прямий добуток власних підгруп та не містяться в деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теорема 2.2.4);–
описано локально розв’язні групи, у яких нормальними є нескінченні підгрупи, що не належать деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теорема 3.3.1 та наслідок 3.2.4);–
охарактеризовано неперіодичні локально майже розв’язні групи, у яких нормальними є нециклічні підгрупи, що не місяться в деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теорема 4.1.4, наслідок 3.2.3);
– описано властивості періодичних локально розв’язних та неперіодичних локально майже розв’язних груп, у яких нормальними є нескінченні нециклічні підгрупи, що не містяться в деякій власній підгрупі досліджуваної групи (теореми 3.2.2 , 4.2.1, 4.2.2).
Ключові слова: нормальна підгрупа, сепаруюча підгрупа, сепаратор, локально майже розв’язна група, локально розв’язна група, локально ступінчаста група.
Одинцова О.А. Группы с условием сепараторной нормальности для некоторых систем нециклических подгрупп.– Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел.– Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.
Диссертация посвящена исследованию обобщений дедекиндовых групп. Оно осуществляется с помощью сепарирующей подгруппы. Другими словами, исследуются группы с нормальными нециклическими подгруппами, а также группы, в которых нормальными являются все: нециклические, бесконечные, бесконечные нециклические подгруппы, которые не принадлежат некоторой собственной подгруппе исследуемой группы (сепарирующей подгруппе). Пересечение всех сепарирующих подгрупп группы называется её сепаратором.
В работе показано, что классы периодических групп с сепарирующими подгруппами относительно системы нормальных бесконечных нециклических подгрупп и групп с сепарирующими подгруппами относительно системы нормальных бесконечных подгрупп совпадают. Охарактеризованы бесконечные локально разрешимые группы этого класса. В диссертационной работе также установлено, что классы непериодических локально почти разрешимых групп с сепарирующими подгруппами относительно системы нормальных бесконечных нециклических подгрупп и групп с сепарирующими подгруппами относительно системы нормальных нециклических подгрупп совпадают. Охарактеризованы группы этого класса. Установлено, что они имеют ступень разрешимости, не превышающую числа 3.
Кроме этого, в диссертации охарактеризованы: локально ступенчатые группы, в которых нормальными являются все бесконечные нециклические подгруппы и группы с сепарирующими подгруппами относительно системы нормальных примарных циклических подгрупп, а также группы с сепарирующими подгруппами относительно системы нормальных циклических подгрупп, неразложимых в прямое произведение собственных подгрупп.
Все результаты являются новыми. Они могут быть использованы при исследовании как конечных, так и бесконечных групп.
Самыми важными из них являются следующие:
описаны группы, у которых нормальнымивляются циклические подгруппы, неразложимые в прямое произведение собственных подгрупп, и не принадлежащие некоторой собственной подгруппе исследуемой группы (теорема 2.2.4);–
описаны локально разрешимые группы, у которых нормальными являются бесконечные подгруппы, не принадлежащие некоторой собственной подгруппе исследуемой группы (теорема 3.3.1 и следствие 3.2.4);–
охарактеризованы непериодические локально почти разрешимые группы, у которых нормальными являются нециклические подгруппы, не содержащиеся в некоторой собственной подгруппе исследуемой группы (теорема 4.1.4, следствие 3.2.3);
– описаны свойства периодических локально разрешимых и непериодических локально почти разрешимых групп, у которых нормальными являються бесконечные нециклические подгруппы, не содержащиеся в некоторой собственной подгруппе исследуемой группы (теоремы 3.2.2, 4.2.1, 4.2.2).
Ключевые слова: нормальная подгруппа, сепарирующая подгруппа, сепаратор, локально почти разрешимая группа, локально разрешимая группа, локально-ступенчатая группа.
Odintsova O.A. The groups with separеtly normal property for some systems of the non-cyclic subgroups. – Manuscript.
Thesis for a candidate’s degree by speciality 01.01.06 – algebra and number theory, Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2005.
There are investigated groups with normal infinite non-cyclic subgroups and groups in which non-cyclic, infinite or infinite non-cyclic subgroups are normal when they don’t belong to some proper subgroup of the investigating group.
It’s full described these groups with locally soluble property in periodic case and locally almost soluble property in non-periodic case.
All results are new. They may be used in the next investigations in theories of as finite or as infinite groups and also while teaching special courses in universities.
Key words: separating subgroup, separator, locally soluble group, locally graded group.
