НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ПАНЧУК Анастасія Анатоліївна

УДК 517.9

СТІЙКІСТЬ ТА АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДІНКА
РОЗВ'ЯЗКІВ СИСТЕМИ НЕЛІНІЙНИХ РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник:

кандидат фізикo-математичних наук
МАЙСТРЕНКО Юрій Леонідович
Iнститут математики НАН України,
старший науковий співробітник

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор
ХУСАІНОВ Денис Яхьєвич
Київський Національний університет ім. Тараса Шевченка,
професор кафедри моделювання складних систем

кандидат фізико-математичних наук, доцент
БІГУН Ярослав Йосипович
Чернівецький національний університет ім. Юрія Федьковича,
доцент кафедри прикладної математики

Провідна установа:
Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна,
кафедра математичної фізики та обчислювальної математики

Захист вiдбудеться "22" лютого 2005 р. о годинi на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розіслано "21" січня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Нелінійні різницеві рівняння виникають як математичні моделі в різних галузях науки і технологій. За їх допомогою вдається виявити та детально дослідити багато нових, невідомих раніше, властивостей реальних явищ та процесів. Вони привертають увагу науковців завдяки поєднанню в них простоти формулювання задачі і складності поведінки їх розв'язків. Інтерес до нелінійних різницевих рівнянь зріс в останні десятиріччя, коли було відкрито явище детермінованого хаосу. В даний час значна увага приділяється вивченню нелінійних різницевих рівнянь, що визначаються системами глобально зв'язаних відображень, які, наприклад, виникають в багатьох прикладних задачах синхронізації нелінійних коливань.

Теорія синхронізації бере свій початок з класичних праць Б. ван дер Поля, О. О. Андронова, О. А. Вітта, присвячених системам з періодичною динамікою. Продовження цього напрямку в сучасній теорії синхронізації пов'язано з розглядом процесів утворення та стійкості когерентних структур (Г. Хакен, І. Пригожин). Починаючи з середини 80-х років значного розвитку набуло вивчення синхронізації хаотичних осциляторів (Х. Фуджісака, Т. Ямада, В. С. Афраймович, Л. Пекора, Дж. А. Йорке, Е. Отт, П. Ешвін, Ю. Л. Майстренко, О. В. Попович, П. Глендінінг) та їх застосування (О. С. Дмітрієв, Е. Мозекільде, М. Хаслер, А. Піковський, К. Візенфельд, Дж. Л. Хадсон).

В прикладних задачах часто зустрічаються системи однотипних взаємодіючих осциляторів, що характеризуються утворенням різноманітних просторово-часових структур. В якості математичних моделей таких систем використовуються зв'язані відображення. При цьому розглядаються різні типи таких моделей. Системи двох зв'язаних одновимірних відображень вивчались в працях С. В. Гонченка, Д. В. Тураєва, Дж. А. Йорке, Ю. Л. Майстренка, Т. Капітаняка, В. С. Афраймовича, Б. Фернандеса, а багатовимірні системи зв'язаних осциляторів, які демонструють широкий спектр регулярної та хаотичної динаміки, - в працях К. Канеко, Л. А. Бунімовича, Я. Г. Сіная, А. Піковського, В. М. Бєлих, Ю. Л. Майстренка, О. В. Поповича.

Розгляду систем глобально зв'язаних відображень приділяється особлива увага. В працях К. Канеко (1989, 1990) було введено та досліджено систему N зв'язаних квадратичних відображень відрізка виду f: xi -> 1 - axi2, i = 1, N. Динаміка систем такого вигляду виявляється надзвичайно різноманітною з точки зору виникнення упорядкованих просторово-часових структур. Зокрема, значний інтерес представляє явище так званої часткової синхронізації, коли координати фазового вектора x = (x1, x2, ј, xN) розпадаються на групи - так звані кластери, - всередині кожної з яких поведінка є асимптотично тотожною. Існування такого роду кластерних розв'язків дозволяє у випадку їх стійкості понизити розмірність системи і, таким чином, значно спростити дослідження моделі.

Незважаючи на велику кількість праць з теорії зв'язаних відображень, аналітичні результати вдається отримати лише в деяких окремих випадках (Ю. Л. Майстренко, О. В. Попович, М. Хаслер). Подальші дослідження в цьому напрямку є актуальними як з точки зору розвитку математичної теорії, так і для розв'язання конкретних прикладних задач. Зокрема, для частково синхронізованих розв'язків важливою є проблема співвідношення між стійкістю на інваріантному кластерному многовиді (тангенціальною стійкістю) та стійкістю в напрямках, ортогональних до многовиду (трансверсальною стійкістю).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є дослідження стійкості та асимптотичної поведінки розв'язків системи нелінійних різницевих рівнянь у формі N зв'язаних одновимірних відображень, а саме: вивчення виникнення та збереження стійких просторово-часових структур, побудованих на періодичних та хаотичних розв'язках системи, які є повністю або частково синхронізованими; знаходження необхідних та достатніх умов трансверсальної стійкості вказаних розв'язків, тобто стійкості по відношенню до збурень в напрямках, нормальних до деякого многовиду; знаходження областей в площині параметрів, для яких дані розв'язки є стійкими тангенціально та (або) трансверсально.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, є такі:

1) для системи N нелінійних різницевих рівнянь першого порядку досліджено стійкість та асимптотичну поведінку частково синхронізованих розв'язків, які належать інваріантним K-вимірним кластерним многовидам M(K).

2) для розв'язків, що належать кластерним многовидам M(K), знайдено зв'язок між стійкістю всередині многовиду та трансверсальною стійкістю;

3) для періодичних розв'язків, які додатково задовольняють умові циклічності, знайдено достатні умови трансверсальної стійкості та стійкості в цілому; в площині параметрів знайдено границі області трансверсальної стійкості;

4) для частково синхронізованих розв'язків загального вигляду, що належать інваріантним многовидам M(K), одержано необхідні умови трансверсальної стійкості.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані результати розвивають та узагальнюють дослідження з якісної теорії нелінійних різницевих рівнянь. Результати дисертації про співвідношення трансверсальної і тангенціальної стійкості траєкторій на кластерному многовиді можуть бути застосовані при вивченні біфуркацій втрати стійкості періодичних та хаотичних атракторів, а результати стосовно трансверсальної стійкості та стійкості в цілому можуть бути використані при розв'язанні конкретних прикладних задач, пов'язаних із формуванням когерентних просторово-часових структур.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що виносяться на захист, одержані автором самостійно. В роботах [1, 2, 4, 5], опублікованих у співавторстві з Майстренком Ю. Л. та Хаслером М., співавторам належить постановка задач та обговорення отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи неодноразово доповідались та обговорювались на семінарах у відділі звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України; Датському технічному університеті (м. Лінгбі, Данія); Федеральному політехнічному інституті (м. Лозанна, Швейцарія) та на міжнародних наукових школах і конференціях "EUROATTRACTOR 2001" (червень 2001 р., Варшава, Польща); "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems 2003" (травень 2003 р., Скуол, Швейцарія); "Шості Боголюбовські читання" (серпень 2003 р., Київ, Україна); "Відкриті еволюціонуючі системи" (грудень 2003 р., Київ, Україна).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 7 працях, з них 3 - у фахових періодичних наукових журналах, що входять до переліку 1 ВАК України від 9.06.1999 р., 2 - у збірниках наукових праць міжнародних наукових конференцій та 2 - у збірниках тез міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 77 найменувань. Повний обсяг роботи складає 120 сторінок машинопису.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, проаналізовано сучасний стан проблеми, стисло викладено основні результати.

У першому розділі дано огляд літератури за темою дисертації. Зокрема, в підрозділі 1.1 визначено основний об'єкт дослідження - систему N нелінійних різницевих рівнянь у формі глобально зв'язаних відображень, перераховано основні типи асимптотичної поведінки розв'язків цих систем, коротко описано основні властивості одновимірних різницевих рівнянь.

Підрозділ 1.2 присвячений висвітленню основних ідей теорії стійкості, започаткованої О. М. Ляпуновим. В даній роботі стійкість вивчається за допомогою першого методу Ляпунова.

В підрозділі 1.3 дано огляд робіт, присвячених вивченню явища синхронізації в системах різницевих рівнянь, а в підрозділі 1.4 - системам зв'язаних відображень.

У другому розділі роботи подано основні означення та доведено результати, які використовуються в наступному третьому розділі.

Нехай I = [a, b] М R та X = I ЧјЧ I. Система нелінійних різницевих рівнянь першого порядку вигляду

xi(k + 1) = f ( xi(k) ) +

N
е
j=1 

( f(xj(k)) - f(xi(k)) ),    i =

1, N 

,

(1)

де x(k) = (x1(k), x2(k), ј, xN(k)) О X - фазовий вектор, k О Z+ - змінна дискретного часу, f О C1(I, I) - деяке одновимірне відображення, О R - параметр зв'язку, називається системою глобально зв'язаних відображень.

В даній дисертаційній роботі вивчається асимптотична поведінка розв'язків системи (), для яких виконується умова часткової синхронізації. Дамо строге означення цього поняття в загальному випадку. Нехай F: X -> X, F О C1(X), - деяке неперервно диференційовне відображення, яке задає наступну систему різницевих рівнянь:

x(k + 1) = F(x(k)). |

(2)

Означення 1. Множина trF(x(0)) = {x(0), x(1), ј, x(k + 1), ј} = {x, F(x), ј, Fk(x), ј} називається траєкторією відображення F з початковою точкою \xv(0).

Кожний розв'язок системи () є траєкторією відображення F. Тому для вивчення поведінки розв'язків системи () досить вивчати поведінку траєкторій відображення F.

Розглянемо таке розбиття множини індексів = { 1, 2, ј, N } на підмножини { l}l = 1K, Иl = 1K l = , cardl = Nl , для якого вірно

1. l Зs = Ж,    l № s;

2. $l0 = [`1, K]     таке, що    l0 > 1.

Означення 2. Будемо казати, що для траєкторії trF(x) відображення F має місце часткова синхронізація, якщо

(a) " = [`1, K] елементи { xi| i О l } синхронізуються один з одним,

(b) |xi(k) - xj(k)| -> 0, k -> Ґ    " i, j О l;

(c) ні для яких xi та xj з індексами i, j, що належать різним підмножинам i О l, j О s, l № s, умова (a) не виконується.

Кожна з груп { xi }i О \Il, l = [`1, K], називається кластером, координати фазового вектора { xi| i О \Il} - його елементами, а відповідна величина Nl - кількість елементів в кластері - його розміром (l = [`1, K]).

Нехай додатково різницева система () інваріантна відносно будь-якої перестановки координат вектора \xv. Таку властивість, має система глобально зв'язаних відображень вигляду (). Тоді розбиття множини індексів \I можна вибрати в такому вигляді:

\I1

= { 1, 2, ј, N1 },

ј

\IK

= { N1 +ј+ NK-1 + 1, ј, N }.

Таким чином, траєкторія \T[F](\xv), для якої має місце часткова синхронізація, з часом наближається до певного K-вимірного многовиду \M = { \xv |    \xv = (x1, x2, ј, xN) } М \XN. Многовид \M є інваріантним відносно відображення F і називається кластерним многовидом системи ().

Розглянемо деяку точку \xv О \M. Тоді будь-який її образ Fk(\xv), k О \Zsp, також належить \M, і отже, \T(\xv) = = {Fk(\xv) }k = 0Ґ = { \xv(k) }k = 0Ґ М \M. Такі траєкторії будемо називати частково синхронізованими. Згідно з означенням 2 будемо мати

\xv(k) = (

y1(k), ј, y1(k)

N1 

, ј,

yK(k), ј, yK(k)

NK 

),    k О \Zsp. |

(3)

Розглянемо множину { \yv(k) = (y1(k), y2(k), ј, yK(k))}k = 0Ґ М \Y, \Y = = \Xone ЧјЧ\XoneK, і звуження \FM. Тоді існує K-вимірне відображення G: \Y \ra \Y таке, що

\yv(k + 1) = G(\yv(k)),    k О \Zsp. |

(4)

Система () називається кластерною системою, відображення G - кластерним відображенням, а траєкторії цього відображення, відповідно, кластерними траєкторіями.

В розділі 2.2 вивчається стійкість траєкторій відображення F. Означення 3. Множина Pn = { \xv1, \xv2, ј, \xvn } М \X така, що

\xvj + 1

= F(\xvj),    j = \ol1, n - 1,

\xv1

= F(\xvn),

називається циклом періоду n відображення F. Означення 4. Нехай Pn = { \xv1, \xv2, ј, \xvn } - цикл періоду n відображення F. Тоді власні значення { mi(\xv1) }i = 1N матриці Якобі DFn(\xv1) називаються мультиплікаторами циклу Pn(N).

Позначимо через T\xv(0)\X дотичний простір до \X в точці \xv(0) О \X, а через \vv(0) О T\xv(0)\X - дотичний вектор. Означення 5. Величини \la(\xv(0), \vv(0)), які визначаються за формулою

\la(\xv(0), \vv(0)) =

lim
k \ra Ґ 

\dfrac1k ln|| DFk(\xv(0))\vv(0) ||, |

(5)

називаються показниками Ляпунова траєкторії \T(\xv(0)), якщо границя () існує.

Кількість різних значень показника Ляпунова не перевищує розмірності простору N. Позначимо їх як {\lai(\xv(0)) }i = 1N. Для циклу Pn = { \xv1, \xv2, ј, \xvn } періоду n мультиплікатори та показники Ляпунова пов'язані таким співвідношенням

\lai(\xv1) = \dfrac1n ln|mi(\xv1)|,    i =

1, N 

.

(6)

Доведено таку достатню умову асимптотичної стійкості в термінах показників Ляпунова. Лема 2.2.3. Нехай усі показники Ляпунова { \lai(\xv) }i = 1N траєкторії \T[F](\xv) відображення F, яке відповідає системі (), є від'ємними. Тоді траєкторія \T[F](\xv) є асимптотично стійкою.

Зафіксуємо K < N та набір {Ni }i = 1K, еi = 1K Ni = N, і введемо поняття тангенціальної та трансверсальної стійкості для траєкторій на кластерному многовиді \M. Нехай {\lai(\xv) }i = 1N - показники Ляпунова кластерної траєкторії \T[F](\xv) М \M. Серед них можна виділити K показників, які співпадають з показниками Ляпунова K-вимірної кластерної траєкторії і відповідають за стійкість безпосередньо всередині многовиду \M. Інші N - K показників відповідають за стійкість вздовж напрямків, що є ортогональними до \M. Доведено наступну теорему про вигляд цих показників. Теорема 2.2.1. Нехай \T[F](\xv) М \M. Тоді існує ортогональна система N - K векторів { \vvi = (vi1, vi2, ј, viN) }i = 1N - K М T\xv\X, для яких виконується наступне:

1. Для будь-якого вектора \vv О б\vv1, \vv2, ј, \vvN - K с, де б\vv1, \vv2, ј, \vvN - K с - лінійна оболонка векторів { \vvi }i = 1N - K, знайдеться 1 Ј i0 Ј N - K таке, що \la(\xv(0), \vv) = \la(\xv(0), \vvi0).

2. Серед показників Ляпунова { \la(\xv, \vvi) }i = 1N - K, які відповідають цим векторам, знайдеться не більше, ніж K1 різних значень, де K1 = \card { Ni | Ni > 1}, їх позначимо { \la^, i(\xv) }i = 1K1. При цьому кратність кожного \la^, i(\xv) дорівнює (Ni - 1), i = [`(1, K1)].

Значення { \la^, i(\xv) }i = 1K1 називаються трансверсальними показниками Ляпунова.

Решта K показників Ляпунова частково синхронізованої траєкторії \T[F](\xv) М \M, які відповідають за стійкість всередині \M, позначаються { \la||, i(\xv) }i = 1K і називаються тангенціальними показниками Ляпунова.

Оскільки для періодичної траєкторії Pn її мультиплікатори пов'язані з показниками Ляпунова співвідношенням (), то можна аналогічним чином визначити трансверсальні і тангенціальні мультиплікатори, які позначаються, відповідно, як { m^, i }i = 1K1 та { m||, i }i = 1K.

В третьому розділі висвітлено основні результати дисертаційної роботи. В ньому вивчається тангенціальна та трансверсальна стійкість періодичних і хаотичних розв'язків системи глобально зв'язаних відображень (), а також, співвідношення між цими двома типами стійкості.

В підрозділі 3.1 вивчено деякі загальні властивості системи глобально зв'язаних відображень та описано механізм утворення частково синхронізованих розв'язків. Нехай \X = \RspN. Розглянемо систему нелінійних різницевих рівнянь першого порядку у вигляді глобально зв'язаних відображень вигляду (). Перепишемо її таким чином: x_i^k + 1 = (1 - )f(x_i(k)) + ((k)),    i = ,    k = 0, 1, ...() = _j=1^N f(x_j),    ^N, де x(k)=(x1(k), x2(k), ј, xN(k)) О \RspN - фазовий вектор, \eps О \Rsp - параметр зв'язку, f О C1(\Rsp, \Rsp) - одновимірне базисне відображення.

Системі () відповідає однопараметрична сім'я відображень { F\eps| F\eps: \RspN \ra \RspN}\eps О \Rsp. При цьому для довільного фіксованого \eps О \Rsp відображення F\eps є неперевно диференційовним відносно всіх своїх N змінних. Для дослідження асимптотичної поведінки та стійкості кластерних траєкторій відображення F\eps будемо розглядати відповідне K-вимірне кластерне відображення G\eps, яке в даному випадку має вигляд

yi(k + 1) = (1 - \eps)f(yi(k)) + \eps \hG(\yv(k)),    i =

1, K 

,

(7)

де \yv(k) = (y1(k), y2(k), ј, yK(k)) О \RspK. Функціонал \hG(\yv): \RspN \ra \Rsp є зваженим середнім одновимірної функції f вигляду

\hG(\yv) =

K
е
j=1 

pj f(yj),    \yv О \RspK,

де pi = [(Ni)/N] - відносний розмір i-го кластера, еi=1K pi = 1, а \pv = = \rowpK О [0, 1]K є вектором вагових коефіцієнтів. Якщо усі вагові коефіцієнти рівні pi = [1/K], то кластерне відображення G\eps називається симетричним.

Розглянемо систему () при \eps = 0. В цьому випадку вона представляє собою N незв'язаних одновимірних відображень f. Припустимо, що відображення f має цикл Pn(1) = {x1*, x2*, ј, xn* } періоду n, причому мультиплікатор цього циклу |m(1)| < 1, і отже, цикл є асимптотично стійким. Зафіксуємо K < min{n + 1, N} та {Ni }i = 1K, еi = 1K Ni = N, і розглянемо N-вимірний вектор \xv такий, що

= (

x1*, ј, x1*

N1

, ј,

xK*, ј, xK*

NK

).

Тоді цей вектор породжує цикл Pn(N) = Pn(N)(0) періоду n відображення F0, який повністю лежить на многовиді \M. Причому мультиплікатори цього циклу усі рівні між собою і співпадають з мультиплікатором m(1) одновимірного циклу Pn(1). А отже, N-вимірний частково синхронізований цикл Pn(N)(0) також є асимптотично стійким. Змінюючи значення K та { Ni }i = 1K, отримаємо асимптотично стійкі частково синхронізовані цикли з різними розмірами кластерів та різною їх кількістю. Крім того, завдяки гладкості відображення F\eps по параметру \eps можна побудувати продовження циклу Pn(N)(0) для малих за модулем значень \eps № 0, що і показує наступна лема. Лема 3.1.3. Нехай Pn(1) = { x1, x2, ј, xn } - деякий цикл відображення f такий, що його мультиплікатор |m(1)| < 1. Тоді для будь-яких K Ј min{ n + 1, N } та набору { Ni }i = 1K, еi = 1K Ni = N, існують \eps- = \eps-(K, { Ni }) < 0 та \eps+ = \eps+(K, { Ni }) > 0 такі, що для всіх \eps О (\eps-, \eps+) відображення F\eps має цикл Pn(N)(\eps) М \M, усі мультиплікатори якого { mi(N) }i = 1N лежать всередині одиничного кола, а отже, цей цикл є асимптотично стійким.

Для частково синхронізованих періодичних траєкторій Pn(N) відображення F\eps вдається знайти явний вигляд трансверсальних мультиплікаторів, які залежать лише від базисного відображення f та параметра зв'язку \eps. Лема 3.1.4. Нехай Pn(K) = \rowc\yvn М \RspK, \yvj = = (y1j, y2j, ј, yKj), - деякий цикл кластерного відображення G\eps, а Pn(N) = \rowc\xvn М \M - відповідний йому цикл відображення F\eps, де координати векторів \xvi задаються згідно з формулою (). Тоді трансверсальні мультиплікатори { m^, i(N) }i = 1K1 циклу Pn(N) мають вигляд

m^, i(N)=(1 - \eps)n

n
Х
j=1 

fў(yij),    i =

1, K1 

.

Наступна теорема встановлює, що в системах глобально зв'язаних відображень вигляду () для періодичних траєкторій існує зв'язок між тангенціальною та трансверсальною стійкістю траєкторій. Теорема 3.1.1. Зафіксуємо K натуральних чисел { Ni, Ni > 1 }i = 1K таких, що еi = 1K Ni = N. Нехай Pn = { \xv1, \xv2, ј, \xvn } М \M - деякий частково синхронізований цикл відображення F\eps. Тоді його трансверсальні мультиплікатори { m^, i }i = 1K та тангенціальні мультиплікатори { m||, i }i = 1K пов'язані таким співвідношенням:

K
Х
i=1 

m^, i = (1 - \eps)n

K
Х
i=1 

m||, i. |

(8)

В підрозділі 3.2 увага приділяється симетричним кластерним траєкторіям, таким, які мають однакову кількість елементів в усіх кластерах. Розглядаються кластерні цикли, які додатково задовольняють умову циклічності, такі цикли PmK(K) = { \yv1, ј, \yvmK }, m і 1, для яких виконуються співвідношення

yj

= (yj, ym + j, ј, ym(K - 1) + j),    j =

1, m 

,

(9)

ysm + j

= pK(y(s - 1)m + j),    s =

1, K - 1 

,    j =

1, m 

.

(10)

Достатні і необхідні умови того, що для відображення G\eps, \eps > 0, існує цикл PmK(K), який задовольняє умову циклічності, дають такі теореми. Теорема 3.2.1. Нехай m і 1. Розглянемо одновимірне відображення

g:  \Rsp ' x(k) ® (1 - \eps) f(x(k)) + \eps h(k) О \Rsp,    k О \mathbbZ+,

(11)

де f О C1(\Rsp, \Rsp), h: \Zsp \ra \Rsp - m-періодична функція дискретного аргументу:

h(k + m) = h(k),    k і 0.

Нехай PmK(1) = { y1, y2, ј, ymK } - цикл відображення g такий, що

1

K

K
е
j = 1 

f(y(j - 1)m + i) = h(i - 1),    i =

1, m 

.

Тоді симетричне кластерне K-вимірне відображення G\eps з ваговими коефіцієнтами pi = [1/K], i = \ol1, K, має цикл PmK(K) періоду mK, який задовольняє умову циклічності ().

І навпаки, нехай симетричне відображення G\eps: \RspK \ra \RspK має цикл PmK(K) періоду mK, для якого виконуються співвідношення (). Тоді для відображення g: \Rsp \ra \Rsp вигляду () з функцією h(k) вигляду

h(i) \srdef=

1

K

K
е
j = 1 

f(y(j - 1)m + i + 1),    i =

0, m - 1 

,

множина PmK(1) = { y1, y2, ј, ymK } є циклом періоду mK. З теореми 3.2.1, як наслідок, випливає наступна теорема для важливого випадку m = 1. Теорема 3.2.2. Нехай одновимірне відображення

g: \Rsp ' x ® (1-+ \eps h О \Rsp,    h О \mathbbR,

(12)

має цикл PK(1) = { y1, y2, ј, yK} періоду K такий, що

1

K

K
е
j=1 

yj = h.

Тоді симетричне кластерне K-вимірне відображення G\eps з ваговими коефіцієнтами pi = [1/K], i = \ol1, K, має цикл PK(K) періоду K, який задовольняє умову циклічності () при m = 1.

І навпаки, нехай симетричне кластерне K-вимірне відображення G\eps: \RspK \ra \RspK має цикл PK(K) періоду K, для якого виконуються співвідношення () при m = 1. Тоді для відображення g: \Rsp \ra \Rsp вигляду () з параметром

h \srdef=

1

K

K
е
j=1 

yj.

множина PK(1) = { y1, y2, ј, yK } є циклом періоду K.

Теорема 3.2.2 дозволяє знайти область трансверсальної стійкості симетричного циклу PK(K) у випадку конкретного базисного відображення. Розглянемо систему глобально зв'язаних відображень () з базисною функцією f(x) = ax(1 - x), a О [0, 4]. Покладемо [g\tilde](z) = bz(1 - z), b > 1, і розглянемо скалярне різницеве рівняння, породжене відображенням [g\tilde]:

z(k + 1) =

~

g 

(z(k)),    z(k) О \Rsp,    k О \Zsp.

Має місце теорема.Теорема 3.2.3. Нехай (b-, b+) - деякий інтервал значень параметра b такий, що для будь-якого b О (b-, b+) відображення [g\tilde] має стійкий цикл PK(1) періоду K. В площині параметрів (a, \eps) розглянемо область W, обмежену кривими

{ a = a-(\eps), a = a+(\eps), a = 4, \eps = 0 },

де a_-() 1 + ,
a_+() 1 + . Тоді

1. для довільних (a, \eps) О W симетричне кластерне відображення G\eps має цикл PK(K) = { \yv1, \yv2, ј, \yvK } періоду K, який задовольняє умову циклічності ();

2. якщо PK(N) = { \xv1, \xv2, ј, \xvK} - відповідний породжений цикл періоду K початкового N-вимірного відображення F\eps, де координати векторів \xvi задаються згідно з формулою (), то всі його трансверсальні мультиплікатори задовольняють нерівність | m^, i | < 1, i = [`1, K].

В підрозділі 3.4 третього розділу розглядається питання про співвідношення між тангенціальною та трансверсальною стійкістю траєкторій системи (). Доведено теорему про вигляд мультиплікаторів циклу, що задовольняє умову циклічності. Теорема 3.3.1. Нехай PmK(K) = { \yv1, \yv2, ј, \yvmK } - деякий цикл симетричного кластерного відображення G\eps, який задовольняє умову циклічності (). Нехай PmK(N) = { \xv1, \xv2 ј, \xvmK } - відповідний породжений цикл початкового N-вимірного відображення F\eps, де координати векторів \xvi задаються по формулі (). Тоді всі трансверсальні мультиплікатори { m^,i }i = 1K циклу PmK(N) рівні між собою і мають вигляд:

m^,i = (1-\eps)mK

mK
Х
j=1 

fў(yj) \df m^,    i =

1, K 

.

Завдяки теоремі 3.3.1 для періодичних траєкторій вдається знайти достатні умови трансверсальної стійкості. Теорема 3.3.2. Нехай параметр зв'язку \eps О (0, 2) і PmK(K) - стійкий цикл симетричного кластерного відображення G\eps вигляду (), який задовольняє умову циклічності, такий, що його мультиплікатори |mi(K)| < 1, i = \ol1, K. Нехай PmK(N) = { \xv1, \xv2 ј, \xvmK } - відповідний породжений цикл початкового N-вимірного відображення F\eps вигляду (), де координати векторів \xvi задаються згідно зі співвідношеннями (). Тоді тангенціальні і трансверсальні мультиплікатори циклу PmK(N) знаходяться всередині одиничного кола:

|m||, i| < 1,    |m^, i| < 1,    i =

1, K 

,

і таким чином, PmK(N) є асимптотично стійким циклом відображення F\eps.

Для будь-якого циклу Pn(N) позначимо добуток усіх його тангенціальних мультиплікаторів через

\si \df

K
Х
i=1 

m||, i(N).

Теорема 3.3.3. Нехай параметр зв'язку \eps О (0, 2) і PmK(K) - деякий цикл симетричного кластерного відображення G\eps, який задовольняє умову циклічності, такий, що виконується нерівність

|\si| < 1.

Нехай PmK(N) = { \xv1, \xv2 ј, \xvmK } - відповідний породжений цикл початкового N-вимірного відображення F\eps, де координати векторів \xvi задаються згідно з формулою (). Тоді трансверсальні мультиплікатори циклу PmK(N) знаходяться всередині одиничного кола:

|m^, i| < 1,    i =

1, K 

,

і таким чином, PmK(N) є трансверсально стійким циклом відображення F\eps. Теорема 3.3.4. Нехай PmK(K) - стійкий цикл симетричного кластерного відображення G\eps, який задовольняє умову циклічності. Нехай PmK(N) = { \xv1, \xv2 ј, \xvmK } - відповідний породжений цикл початкового N-вимірного відображення F\eps, де координати векторів \xvi задаються згідно з формулою (). Тоді, якщо параметр зв'язку \eps задовольняє нерівності

1 -

1

K

Ц

||

< \eps < 1 +

1

K

Ц

||

,

то трансверсальні мультиплікатори циклу PmK(N) знаходяться всередині одиничного кола:

|m^, i| < 1,    i =

1, K 

.

і таким чином, PmK(N) є трансверсально стійким циклом відображення F\eps.

В параграфі 3.3.2 розглядаються траєкторії системи () загального вигляду. Для них аналогом співвідношення () є формула зв'язку між тангенціальними та трансверсальними показниками Ляпунова. Доведено наступну теорему. Теорема 3.3.5. Зафіксуємо K натуральних чисел { Ni, Ni > 1 }i = 1K таких, що еi = 1K Ni = N. Нехай \T[F\eps](\xv) = { F\epsk(\xv) }k О \Zsp М \M - деяка частково синхронізована траєкторія відображення F\eps. Тоді її тангенціальні та трансверсальні показники Ляпунова пов'язані співвідношенням:

K
е
i=1 

\la^, i(\xv) = ln|1 - \eps| +

K
е
i=1 

\la||, i(\xv).

На жаль, підрахувати в явному вигляді показники Ляпунова траєкторії загального вигляду, як правило, не вдається. В даному випадку знайдено необхідні умови трансверсальної стійкості .
Теорема 3.3.6. Зафіксуємо K натуральних чисел { Ni, Ni > 1 }i = 1K таких, що еi = 1K Ni = N. Нехай \T[F\eps](\xv) = { F\epsk(\xv) }k О \Zsp - деяка частково синхронізована траєкторія відображення F\eps, що належить кластерному многовиду \M. Тоді, якщо для траєкторії \T[F\eps](\xv) всі її трансверсальні показники Ляпунова від'ємні:

\la^, i(\xv) < 0,    i =

1, K 

(і таким чином, вона є трансверсально стійкою), то виконується нерівність

K
е
i = 1 

\la||, i(\xv) + ln|1 - \eps| < 0.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджено розв'язки системи N нелінійних різницевих рівнянь першого порядку у формі глобально зв'язаних відображень, які належать інваріантним многовидам часткової синхронізації. Для таких розв'язків вивчено їх стійкість на інваріантному многовиді та стійкість в напрямках, нормальних до многовиду, і зв'язок між ними. Отримано такі основні наукові результати:

1. для системи нелінійних різницевих рівнянь у вигляді N глобально зв'язаних відображень досліджено стійкість її розв'язків на кластерних многовидах;

2. для періодичних розв'язків вказаної системи знайдено вигляд трансверсальних мультиплікаторів, які відповідають за стійкість в напрямках, ортогональних до інваріантного многовиду; знайдено залежність трансверсальних мультиплікаторів від тангенціальних мультиплікаторів, що відповідають за стійкість всередині кластерного многовиду.

3. Для періодичних розв'язків розглядуваної системи, які лежать на симетричних кластерних многовидах і додатково задовольняють умову циклічності, в площині параметрів системи знайдено границі області трансверсальної стійкості; встановлено, що якщо періодичний розв'язок задовольняє умову циклічності, то всі його трансверсальні мультиплікатори рівні між собою; як наслідок, отримано достатні умови стійкості в цілому та трансверсальної стійкості;

4. для частково синхронізованих розв'язків загального вигляду одержано необхідні умови трансверсальної стійкості.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Panchuk A., Maistrenko Y. Stability of periodic clusters in globally coupled maps // Нелінійні коливання. - 2002. - 5, ќ3. - P. .

2. Maistrenko Y., Panchuk A. Clustering zones in the turbulent phase of a system of globally coupled chaotic maps // Chaos. - 2003. - 13. - P. .

3. Панчук А. А. Часткова синхронізація в системах глобально зв'язаних відображень // Нелінійні коливання. - 2004. - 7, ќ2. - С. .

4. Panchuk A., Maistrenko Y. Asymptotical behaviour of mean field coupled maps // Праці конференції EUROATTRACTOR 2001, Варшава, Польща, 19-28 червня, 2001. - P. .

5. Panchuk A., Maistrenko Y., Hasler M. Clustering in the turbulent phase // Праці конференції "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems", Скуол, Швейцарія, 18-23 травня, 2003. - P. .

6. Панчук А. А. Часткова синхронізація глобально зв'язаних відображень // Тези конференції "Шості Боголюбовські читання", Київ, Україна, 26-30 серпня, 2003 - С. .

7. Панчук А. А. Часткова синхронізація в системі глобально зв'язаних відображень // Тези конференції "Відкриті еволюціонуючі системи", Київ, Україна, 1-30 грудня, 2003. - С. 

АНОТАЦІЇ

Панчук А.А. Стійкість та асимптотична поведінка розв'язків системи нелінійних різницевих рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

Дисертація присвячена вивченню властивостей системи нелінійних різницевих рівнянь у формі глобально зв'язаних відображень з точки зору виникнення в ній стійких частково синхронізованих розв'язків, які належать інваріантним K-вимірним кластерним многовидам M(K). Для симетричних періодичних частково синхронізованих розв'язків, які задовольняють умову циклічності, отримано достатні умови трансверсальної стійкості та стійкості в цілому. Для частково синхронізованих розв'язків загального виду одержано необхідні умови трансверсальної стійкості.

Ключові слова: нелінійні різницеві рівняння, системи зв'язаних відображень, стійкість за Ляпуновим, повна та часткова синхронізація.

Панчук А.А. Устойчивость и асимптотическое поведение решений системы нелинейных разностных уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2004.

Диссертация посвящена изучению свойств системы глобально связанных отображений с точки зрения возникновения в ней устойчивых частично синхронизированных решений, которые принадлежат инвариантным K-мерным кластерным многообразиям M(K).

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, проводится анализ нынешнего состояния проблемы, коротко излагаются основные результаты. В первом разделе диссертации приводится обзор литературы по данной тематике.

Во втором разделе работы исследуются некоторые свойства частично синхронизированных решений системы нелинейных разностных уравнений, которые лежат на кластерных многообразиях M(K). Для таких решений вводятся понятия тангенциальной и трансверсальной устойчивости, доказаны теоремы о трансверсальных и тангенциальных показателях Ляпунова.

В третьем разделе диссертации рассматривается система нелинейных разностных уравнений в виде глобально связанных отображений. Для частично синхронизированных решений в явном виде найдены трансверсальные показатели Ляпунова. Как следствие, для периодических частично синхронизированных решений получена формула связи между трансверсальными и тангенциальными мультипликаторами. Для симметричных периодических частично синхронизированных решений периода K, которые удовлетворяют условию цикличности, в плоскости параметров системы найдены границы области трансвесальной устойчивости. Для периодических частично синхронизированных решений периода mK, которые удовлетворяют условию цикличности, найдены достаточные условия устойчивости в целом и трансверсальной устойчивости. Для частично синхронизированных решений общего вида получена формула связи между трансверсальными и тангенциальными показателями Ляпунова, а также найдены необходимые условия трансверсальной устойчивости.

Ключевые слова: нелинейные разностные уравнения, системы связанных отображений, устойчивость по Ляпунову, полная и частичная синхронизация.

Panchuk A.A. Stability and asymptotic behaviour of solutions of a non-linear difference equations system. - Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.02 - differential equations. - Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2004.

The thesis is devoted to studying properties of a non-linear difference equation system in a form of globally coupled maps, when it has stable partially synchronized solutions belonging to invariant clustered manifolds. For symmetric periodic partially synchronized solutions which satisfy a cyclicity condition, sufficient conditions for transverse stability were found. For partially synchronized solutions of general form, necessary conditions for transverse stability were obtained.

Key words: non-linear difference equations, coupled map systems, Lyapunov stability, total and partial synchronization.

Підп. до друку 19.01.2005. Формат 60Ч90/16. Папір офс. Офс. друк.
Фіз. друк. арк. 1,38. Ум. вид. арк. 1,28.
Тираж 100 пр. Зам. 25. Безкоштовно.

Інститут математики НАН України,
01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

File translated from TEX by , version 3.63.
On 03 Mar 2005, 12:19.