НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
ПРИМАК Андрій Вікторович
УДК 517.5
ФОРМОЗБЕРІГАЮЧЕ НАБЛИЖЕННЯ СПЛАЙНАМИ
З ФІКСОВАНИМИ ВУЗЛАМИ
01.01.01 – математичний аналіз
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ – 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.
Науковий керівник
доктор фізико-математичних наук, професор
ШЕВЧУК Ігор Олександрович,
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка,
завідувач кафедри математичного аналізу
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук,
старший науковий співробітник
КОНОВАЛОВ Віктор Миколайович,
Інститут математики НАН України,
провідний науковий співробітник
відділу теорії наближення;
кандидат фізико-математичних наук
ДЗЮБЕНКО Герман Анатолійович,
Міжнародний математичний центр НАН України,
старший науковий співробітник
відділу інформаційних технологій.
Провідна установа
Фізико-технічний інститут низьких температур
ім. Б.І. Вєркіна НАН України.
Захист відбудеться “17” січня 2006 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.
Автореферат розіслано “14” грудня 2005 р.
Учений секретар
спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. При наближенні дійснозначної функції визначеної, скажімо, на відрізку [a,b], іноді необхідно зберегти деякі її властивості, такі як знак, монотонність, опуклість та інші. Такі властивості називають формою функції. Вперше задачу формозберігаючого наближення розглядав Чебишев, побудувавши для кожного n?2 два монотонні многочлени , що найменше відхиляються від нуля на [-1,1]. Аналогічну задачу дляопуклих (2-монотонних) та v-монотонних, v>2, многочленів розв'язав Бернштейн. Лоренц помітив, що аналог теореми Вейєрштраса про наближення многочленами має місце і для v-монотонного наближення.
Інтенсивний розвиток конструктивної теорії формозберігаючого наближення почався в 60-і роки минулого сторіччя, одразу після завершення побудови Нікольським, Тіманом, Дзядиком, Фройдом та Брудним конструктивної теорії наближення функцій без обмежень, яка на цей час є класичною. Перші оцінки формозберігаючого наближення, переважно монотонного, були отримані в роботах Лоренца, Целлера, ДеВора, Ньюмена. Подальший вклад в розвиток теорії формозберігаючого наближення був внесений в роботах Бітсона, Ву, Гілевича, Дзюбенка, Ілієва, Коновалова, Копотуна, Левіатана, Мхаскара, Петрова, Раймона, Роульє, Ху, Шадріна, Швєдова, Шевчука, Цу, Ю та інших. Вони довели або істинність оцінок типу Джексона, Нікольського, Стечкіна у формозберізаючому наближенні, або хибність відповідних оцінок. У результаті цих досліджень теорія рівномірного монотонного та опуклого наближення сплайнами та многочленами набула майже такої ж завершеності, як і конструктивна теорія наближень без обмежень. Постало питання побудови теорії v-монотонного наближення для v?3. Але нещодавно Коновалов та Левіатан показали, що при v?4 відповідні оцінки, взагалі кажучи, хибні. Тому досить несподівано виявилось, що принциповим випадком у формозберігаючому наближенні є 3-монотонне наближення, якому присвячена більша частина дисертаційної роботи. Також виникла необхідність побудови контрприкладів для v-монотонного наближення, v?4, що доповнюють негативні результати Коновалова і Левіатана.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри математичного аналізу Київського національного університету імені Тараса Шевченка, зокрема, із держбюджетною темою ``Побудова дослідження математичних моделей взаємодії суцільних середовищ при наявності поверхонь розриву'' (НДР 01бф038-05, підрозділ ``Методи математичного аналізу у формозберігаючому наближенні''). Частина роботи виконана за французько-українським грантом ``Дніпро'' M/262-2003.
Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є:
· 3-монотонні сплайни найкращого за порядком наближення 3-монотонних функцій із класичних функціональних класів.
· Забезпечити якомога більшу гладкість таких сплайнів.
· Довести неможливість існування таких сплайнів у v-монотонному наближенні при v?4, встановивши хибність відповідних оцінок навіть зі сталими, що залежать від функції.
Об'єкт дослідження – формозберігаюче наближення сплайнами.
Предмет дослідження – конструкції 3-монотонних сплайнів; приклади v-монотонних, v?4, функцій що “погано” наближуються сплайнами та многочленами зі збереженням форми.
Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються класичні методи теорії наближень, розвинені у роботах Джексона, Зігмунда, Нікольського, Стечкіна, Тімана, Дзядика, Фройда, Брудного, методи формозберігаючого наближення, розвинені у роботах Бітсона, Ву, Гілевича, ДеВора, Дзюбенка, Коновалова, Копотуна, Левіатана, Лоренца, Ньюмена, Петрова, Ху, Швєдова, Шевчука, Целлера, Цу, Ю. При побудові контрприкладів використовується метод “горбу, що ковзає”.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі автором вперше одержано нові теоретичні результати. Основними серед них є наступні:
· Побудувано 3-монотонні сплайни найкращого за порядком наближення 3-монотонних функцій із класичних функціональних класів. Для цього доведено загальну теорему про зведення 3-монотонного рівномірного наближення 3-монотонної функції сплайнами довільного степеня з довільними фіксованими вузлами до локального опуклого наближення її похідної сплайнами на тому ж розбитті в L1 нормі, з інтерполяцією в вузлах. Як наслідок, отримано нові оцінки типу Джексона 3-монотонного наближення сплайнами з рівновіддаленими та чебишевськими вузлами. Раніше було відомо лише конструкцію квадратичного 3-монотонного сплайну з рівновіддаленими вузлами.
· Доведено, що довільний 3-монотонний сплайн з фіксованими вузлами степеня не менше 3, що наближує деяку 3-монотонну функцію, завжди можна модифікувати так, щоб отримати 3-монотонний сплайн з тими ж вузлами і того ж степеня, що є двічі неперервно-дифференційовною, і зберігає порядок наближення.
· Побудовано 3-монотонний сплайн мінімального дефекту четвертого степеня з рівновіддаленими вузлами, що забезпечує відповідну оцінку наближення.
· Доведено негативні результати для v-монотонного, v?4, наближення сплайнами та многочленами. Конструкції функцій, що ``погано'' наближуються зі збереженням форми є незалежними від кількості вузлів наближуючих сплайнів та степеня n многочленів. Раніше відомі приклади будувались для кожного n окремо.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Отримані конструкції 3-монотонних сплайнів можуть бути використаними для побудови наближуючих 3-монотонних многочленів. Зокрема, вони вже застосовані для оцінок наближення многочленами з третім модулем гладкості. Отримані негативні результати для v-монотонного наближення при v?4 зумовлюють можливість сконцентрувати подальші дослідження лише на випадках v?3.
Конструктивна побудова наближуючих сплайнів дозволяє розробити конкретні алгоритми для комп'ютерного моделювання.
Особистий внесок здобувача. Результати підрозділів 2.2, 2.4 та 3.2 отримано спільно з Д. Левіатаном. Внески обох авторів є рівнозначними. Всі інші результати дисертаційної роботи отримано автором особисто. Зокрема, в спільній з А. В. Бондаренком статті [1], автору належить теорема 3 (теорема 4.3 даної роботи), а А. В. Бондаренку– теореми 1 та 2.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на міжнародних конференціях:
· “Алгоритми для наближень”, м. Хаддерсфілд, Великобританія (15-20 липня 2001р.);
· “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці”, м. Київ (19-22 жовтня 2001р., 1–5 жовтня 2004р.);
· 11-а Саратівська зимова школа “Сучасні проблеми теорії функцій та їх застосування”, присвячена пам'яті Н.К. Барі та Д.Є. Меньшова, м. Саратів, Росія (28 січня - 4 лютого 2002р.);
· “Успіхи конструктивної теорії наближень'', м. Нешвіль, США (14-17 травня 2003р.);
· “Аналіз та його застосування'', м. Мерсін, Туреччина, (7-14 вересня 2004р.),
та наукових семінарах з теорії наближень та теорії функцій при факультеті теоретичної фізики та прикладної математики Кембріджського університету (березень 2001р.), механіко-математичному факультеті Харківського державного університету (листопад 2002р.), факультеті точних наук університету Тель Авіва (травень 2004р.), математичному факультеті Університету Манітоби, Канада (березень 2005р.), математичному факультеті Донецького національного університету (червень 2005р.), механіко-математичному факультеті Дніпропетровського національного університету (червень 2005р.), Інституту математики НАН України (червень 2005р.), механіко-математичному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка (неодноразово).
Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковано в 4 наукових статтях [1-4] в провідних міжнародних журналах та фахових виданнях, а також у 4-х тезах доповідей міжнародних конференцій [5-8].
Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота загальним обсягом 110 сторінок машинописного тексту складається зі вступу, чотирьох розділів основної частини, висновків і списку використаних джерел, який містить 63 найменування.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено предмет дослідження, перелічено методи, використані при проведенні досліджень, висвітлено наукову новизну отриманих результатів, їх теоретичне значення, подано інформацію про особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації та публікації, описано структуру та зміст роботи.
Перший розділ присвячено історії досліджень та огляду літератури з питань, пов'язаних з тематикою роботи.
У другому розділі розглядається 3-монотонне наближення сплайнами з фіксованими вузлами. Нагадаємо, при v?2, неперервна функція f:[a,b]->R називається v-монотонною на [a,b] (позначається), якщо вона має опуклу похідну порядку v-2 на (a,b). В підрозділі 2.2 доведено теорему про зведення 3-монотонного наближення функції до опуклого наближення її похідної.
Теорема 2.1. Нехай і f(x):=F’(x), Для довільного цілого k?2, розбиття , і сплайну степеня ?k-1 з вузлами xi, i=1,…,n-1 такого, що
s(xi)=f(xi), i=1,…,n-1,
існує сплайн степеня ?k з вузлами xi, i=1,…,n-1, для якого
, (1)
де c?25.
Цей результат зводить 3-монотонне рівномірне наближення 3-монотонної функції сплайнами довільного степеня з довільними фіксованими вузлами до локального опуклого наближення її похідної сплайнами на тому ж розбитті в L1 нормі, з інтерполяцією у вузлах. З урахуванням відомих результатів для опуклого наближення, Теорема 2.1 забезпечує всі позитивні результати в таблиці 1 (див. нижче), крім випадку (k,r)=(3,0). Для випадку (k,r)=(3,0) у підрозділі 2.3 встановлюється лема 2.6, що оцінює -наближення похідної 3-монотонної функції лінійною в термінах третього модуля неперервності самої функції. Нагадаємо означення модуля неперервності порядку k неперервної функції f на відрізку [a,b] від крокуt>0:
,
де–
скінченна різниця порядкуk.
Лема 2.6. Нехай z0<z1<z2<z3 – деякі дійсні числа, а F –
3-монотонна на [z0,z3] функція. Тоді для
виконується нерівність
де
а c – абсолютна стала.
Як наслідок цієї леми та теореми 2.1, отримуємо наступний результат.
Теорема 2.2. Для кожної 3-монотонної на [a,b] функції F і кожного розбиття , існує квадратичний 3-монотонний сплайн S з вузлами x0,…,xn, що задовольняє
де
і c – абсолютна стала.
Наслідок 2.2. Для рівновіддалених вузлів xj=a+j(b-a)/n має місце оцінка
Зокрема, якщо , то
Наступний наслідок був застосований Бондаренком для побудови 3-монотонного многочлену, що дає таку ж оцінку наближення. Нагадаємо означення модуля неперервності Діціана-Тотіка.
Наслідок 2.3. Для інтервалу [-1,1] та чебишевських вузлів xj=-cos(jп/n), j=0,…,n оцінка має вигляд
Зокрема, для
Умову інтерполяції в теоремі 2.1 можна зняти, якщо (1) замінити на та дозволити сталій c залежати від розбиття. А саме, в підрозділі 2.4 доведено нaступну теорему.
Теорема 2.3. Нехай , k?2. Тоді для кожного сплайну степеня ?k-1 з вузлами xi, i=1,…,n-1, існує сплайн степеня ?k-1 з такими ж вузлами, такий що
1)
2)?
де c(m) – стала, яка залежить від масштабу розбиття
.
Зауваження. З доведення випливає, що c(m)?4(2m+1). Оскільки для рівновіддалених вузлів m=1, а для чебишевських вузлів m?3, то в обох цих випадках c(m) є абсолютною сталою. Взагалі кажучи, неможливо замінити c(m) абсолютною сталою. Зокрема, нескладно довести, що для n=2, k=3 маємо c(m)?m/9.
Теорема 2.3 показує, що будь-який опуклий сплайн (що наближує деяку опуклу функцію) можна модифікувати так, щоб новий сплайн залишався опуклим, інтерполював функцію в вузлах, і нова похибка наближення відрізнялась від старої сталим множником, що залежить лише від вузлів розбиття.
У підрозділі 2.5 підсумовано основні наслідки результатів другого розділу. Застосування теорем 2.1 і 2.3 до позитивних результатів Ху, Копотуна, Левіатана і Шевчука про опукле наближення сплайнами, теорема .2, та негативні результати Шведова та Манії дають наступну теорему.
Теорема 2.5 Нехай k?0 та r?0 цілі такі, що або r?3 або 3?k+r?4, (k,r)?(4,0). Тоді для кожної існують сплайни степеня ?k+r-1 такі, що S1 має n рівновіддалених вузлів, і задовольняє нерівність
, (2)
а S2 має чебишевські вузлами і задовольняє оцінку
. (3)
Якщо r?2 і k+r?5, тоді (2) та (3), взагалі кажучи, не виконуються.
Підсумуємо результати у табл. 1.
Зауваження. Зазначимо, що залишився один випадок. А саме, невідомо чи можна побудувати для довільної 3-монотонної функції F, кубічний сплайн з n рівновіддаленими вузлами такий, що
Для квадратичного сплайну оцінку в термінах третього модуля неперервності самої функції вдалось отримати завдяки лемі 2.6.
У третьому розділі доведено певні факти, що дозволяють отримати більш гладкі, ніж побудовано в другому розділі, 3-монотонні сплайни. 3-монотонна на [a,b] функція обов'язково має хоча б одну неперервну похідну на (a,b), і насправді про сплайни побудовані в теоремі 2.1 і теоремі 2.3 можна сказати лише те, що вони мають цю мінімальну гладкість, тобто є неперевно дифференційовними. У підрозділі 3.2 доведено наступну теорему.
Теорема 3.1. Припустимо є сплайном степеня ?k, k?3, з вузлами розбиття . Тоді існує сплайн S1 степеня ?k з тими ж вузлами такий, що
,
де c(k,m,u) залежить лише від k, m, u, де – масштаб розбиття.
Зауваження. Для рівновіддалених вузлів m=1 і u=1, а для чебишевських вузлів m?3 і . Отже, для цих розбиттів c(k,m,u)?c*(k).
З теореми 2.5 та останнього зауваження, отримуємо
Наслідок 3.1. При k+r=4, (k,r)?(4,0) нерівності (2) і (3) мають місце для тобто для слайнів мінімального дефекту.
Отже, теорема 3.1 показує, що довільний 3-монотонний сплайн з фіксованими вузлами степеня не менше 3, що наближує деяку 3-монотонну функцію, завжди можна модифікувати так, щоб отримати 3-монотонний сплайн з тими ж вузлами і того ж степеня, що є двічі неперервно-диференційовною, і зберігає порядок наближення.
У підрозділі 3.3 побудовано 3-монотонний сплайн мінімального четвертого степеня з рівновіддаленими вузлами, що забезпечує відповідну оцінку наближення.
Теорема 3.2 Для кожного 3-монотонного сплайну s степеня ?4 з n рівновіддаленими вузлами на [0,1] існує 3-монотонний сплайн мінімального дефекту степеня ?4 з тими ж вузлами, що задовольняє нерівність
,
де c – абсолютна стала.
З теореми 2.5 та теореми 3.2, отримуємо
Наслідок 3.2. При k+r=5, r?3 нерівність (2) має місце для , тобто для слайну мінімального дефекту.
Четвертий розділ присвячено негативним результатам для -монотонного наближення сплайнами на фіксованому розбитті та многочленами, при v?4.
А. В. Бондаренко в [1] довів, що при v?4 досить проста функція x+v-1 наближується v-монотонним многочленом на [-1,1] не швидше ніж n-2, хоча швидкість її наближення многочленами без обмежень n-v+1, тут n – степінь многочлену. Таким чином, для класу , знайдено приклад v-монотонної функції, що ”погано” наближується зі збереженям форми, причому функція не залежить від n. Перенесення цього результату на випадок r?v-1 має певні труднощі, які вдається побороти використанням методу “горбу, що ковзає”.
Позначимо через – простір многочленів степеня ?n, а через – простір сплайнів з n рівновіддаленими вузлами на [-1,1] степеня ?v-1. Основним результатом четвертого розділу є наступна теорема.
Теорема 4.3. Для будь-яких і послідовності , що прямує до , існує функція така, що
У підрозділі 4.3 показано, що на відміну від 2-монотонності (тобто опуклості), для 3-монотонності неможливо побудувати інтерполяційні сплайни. А саме, має місце наступне твердження.
Твердження 4.1. Нехай z1<z2<z3<z4<0<z5<z6<z7<z8. Якщо така, що
f(zj)=(zj)+2, j=1,…,8,
то
f(z)=z+2, z є [z2,z7].
Отже, досить просту 3-монотонну функцію x+2 не можна інтерполювати 3-монотонним сплайном, якщо вузли розбиття не містять 0, і їх принаймні по 4 з обох боків від нуля.
ВИСНОВКИ
В роботі проведено дослідження формозберігаючого наближення сплайнами. Отримано наступні результати:
1. Побудовано 3-монотонні сплайни найкращого за порядком наближення 3-монотонних функцій із класичних функціональних класів. Доведено загальну теорему про зведення 3-монотонного рівномірного наближення 3-монотонної функції сплайном довільного степеня з довільними фіксованими вузлами до локального опуклого наближення її похідної сплайнами на тому ж розбитті в L1 нормі, з інтерполяцією в вузлах. Як наслідок, отримано нові оцінки типу Джексона для 3-монотонного наближення сплайнами з рівновіддаленими та чебишевськими вузлами.
2. Розроблено конструкції згладжування 3-монотонних сплайнів. Доведено, що довільний 3-монотонний сплайн степеня не менше3, що наближує деяку 3-монотонну функцію, завжди можна модифікувати так, щоб отримати 3-монотонний двічі неперервно-диференційовний сплайн з тими ж вузлами і того ж степеня, який зберігає порядок наближення. Знайдено сплайни мінімального дефекту 3-го та 4-го степеня.
3. Доведено негативні результати для v-монотонного наближення сплайнами на фіксованому розбитті та многочленами, при v?4. Конструкції функцій, що “погано” наближуються зі збереженням форми є незалежними від кількості вузлів наближуючих сплайнів та степеня многочленів. Також встановлено неможливість побудови інтерполяційних 3-монотонних сплайнів.
Отримані результати прояснили ситуацію в v-монотонномунаближенні (v?3) сплайнами з фіксованими вузлами. Для принципового випадку v=3 отримано здебільшого позитивні результати, схожі за характером на ті, що були отримані в монотонності та в 2-монотонності (опуклості). Проте, певні властивості наближуючих сплайнів (наприклад, інтерполяція в вузлах) втрачаються. Отримані результати можуть бути застосовані у формозберігаючому наближенні, зокрема для побудови 3-монотонних наближуючих многочленів.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ
ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Бондаренко А. В., Примак А. В. Отрицательные результаты в формосохраняющем приближении высших порядков // Математические заметки. – 2004.– Т. 76, № 6.– C. 812–823.
2. Leviatan D., Prymak A. V., On -monotone approximation by piecewise polynomials // J. Approx. Theory. – 2005.–Vol. 133.– P.147–172.
3. Prymak A. V. Three-convex approximation by quadratic splines with arbitrary fixed knots // East J. Approx.– 2002.– Vol. 8, N 2.– P.185–196.
4. Примак А. В. Згладжування зі збереженням форми -опуклих сплайнів -го степеня // Укр. мат. журн.– 2005.– Т. 57, № 2.– C. 277–283.
5. Prymak A.\ V. On -convex Approximation by Splines with Fixed Knots // International Conference “Advances in Constructive Approximation”.– Nashville, Tennessee, USA.–2003.—P. 41–42.
6. Примак А. В. О тривыпуклом приближении сплайнами с фиксированными узлами // 11-я Саратовская зимняя школа “Современные проблемы теории функций и их приложения”, посвященная памяти Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова.– Саратов, Россия.– 2002.– C. 164.
7. Prymak A. V. Three-convex approximation by quadratic splines with arbitrary fixed knots // FM2001 Conference “Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics”.– Kyiv, Ukraine.– 2001.– P. 64.
8. Prymak A. V. On shape preserving approximation by free knot splines // The Fourth International Symposium on Algorithms for Approximation.– Huddersfield, UK.– 2001.– P. 86–87.
АНОТАЦІЇ
Примак А. В. Формозберігаюче наближення сплайнами з фіксованими вузлами. Рукопис
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2005.
В дисертації проведено дослідження формозберігаючого наближення сплайнами. Доведено загальну теорему про зведення 3-монотонного рівномірного наближення 3-монотонної функції сплайном довільного степеня з довільними фіксованими вузлами до локального опуклого наближення її похідної сплайнами на тому ж розбитті в L1 нормі, з інтерполяцією в вузлах. Як наслідок, отримано нові оцінки типу Джексона для 3-монотонного наближення сплайнами з рівновіддаленими та чебишевськими вузлами. Розроблено конструкції згладжування 3-монотонних сплайнів, знайдено сплайни мінімального дефекту 3-го та 4-го степеня.
Доведено негативні результати для v-монотонного наближення сплайнами на фіксованому розбитті та многочленами, при v?4. Конструкції функцій, що “погано” наближуються зі збереженням форми є незалежними від кількості вузлів наближуючих сплайнів та степеня многочленів.
Ключові слова: 3-монотонне наближення сплайнами, порядок наближення, формозберігаюче наближення, нерівності типу Джексона
Примак А. В. Формосохраняющее приближение сплайнами с фиксированными узлами. Рукопись
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.
В диссертации проведено исследование формосохраняющего приближения сплайнами. Доказано общую теорему о сведении 3-монотонного равномерного приближения 3-монотонной функции сплайном произвольной степени с фиксированными узлами к локальному выпуклому приближению сплайнами на том же разбиении в L1 норме, с интерполяцией в узлах. Как следствие, получены новые оценки типа Джексона для 3-монотонного приближения сплайнами с равноотстоящими и чебышевскими узлами. Разработаны конструкции сглаживания 3-монотонных сплайнов, найдены сплайны минимального дефекта 3-го та 4-го степеней.
Доказаны негативные результаты для v-монотонного приближения сплайнамы на фиксорованном разбиении и многочленами, при v?4 Конструкции функций, которые “плохо”' приближаются с сохранением формы есть независимыми от количества узлов приближающих сплайнов и степеня многочленов.
Ключевые слова: -монотонное приближение сплайнами, порядок приближения, формосохраняющее приближение, неравенства типа Джексона
Prymak A. V. Shape preserving approximation by splines with
fixed knots. Manuscript
Thesis for Candidate of Science (Ph.D.) degree in Physics and Mathematics specialization 01.01.01 – mathematical analysis. Institute of mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2005.
Investigation of shape preserving approximation by splines is presented in the thesis. The so-called v-monotonicity is considered as shape constrain (a function is v-monotone, v>2, if and only if its (v-2)-nd derivative is convex).
3-monotone splines of best approximation order are constructed for 3-monotone functions from classical approximation spaces. General theorem about reducing of 3-monotone uniform approximation of 3-monotone function by splines to those of local convex approximation of its derivative in L1 norm, with interpolation at the knots. The constants in the result involve a dependence on knot spacing, but for the important cases of Chebyshev and the equidistant knots, the constants are absolute. As the corollaries, new Jackson type estimates are obtained for 3-monotone approximation by splines with the equidistant and Chebyshev knots.
Constructions for smoothing of such splines are developed, the splines of minimal defect of 3-rd degree with arbitrary prescribed knots and of 4-th degree with the equidistant knots are found. It is also shown that any 3-monotone spline of degree ?3 can be modified to preserve the order of approximation and have two continuous derivatives.
Negative results for v-monotone approximation by splines with fixed knots and polynomials, for v?4. The constructions of “bad” functions for shape preserving approximation are independent of number of the knots of approximating spline and of degree of approximating polynomial. This is done by application of “sliding hump” method to appropriate truncated powers, which appear to have slower degree of approximation while preserving v-monotonicity. The negative results of this type are needed to show invalidity of Jackson type estimates for shape-preserving approximation which contain constants, possibly depending on approximating function; such estimates are known to be valid for certain cases of monotonicity and convexity preserving approximation.
Key words: -monotone approximation by splines, degree of
approximation, shape preserving approximation, Jackson type
inequalities
Підписано до друку 02.12.05. Формат 60X84/16. Папір офс. Офс.
друк. Фіз. друк. арк. 0,85. Ум. друк. арк. 0,99. Тираж 100 прим.
Зам. 184
_________________________________________________________
Інститут математики НАН України,
01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3
