НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МЕТАЛОФІЗИКИ ім. Г.В. КУРДЮМОВА

ПАСЬКО Олександр Юрійович

УДК 548.4:669.017.3

ДИНАМІКА КОГЕРЕНТНИХ МІЖФАЗНИХ ГРАНИЦЬ
ПРИ СТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕННЯХ
МАРТЕНСИТНОГО ТИПУ

Спеціальність 01.04.07 – фізика твердого тіла

Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор, член-кореспондент НАН України
Коваль Юрій Миколайович,
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України,
завідувач відділу фазових перетворень

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Іванов Михайло Олексійович,
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України,
завідувач відділу теорії неідеальних кристалів

доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України
Мільман Юлій Вікторович,
Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М. Францевича
НАН України, завідувач відділу фізики
метастабільних сплавів та високоміцних матеріалів

Провідна установа: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка

Захист відбудеться 27 грудня 2005 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .168.02 Інституту металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України за адресою: 03680, Київ-142, бульв. Академіка Вернадського, 36.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України за адресою: м. Київ, бульв. Академіка Вернадського, 36.

Автореферат розісланий ____ листопада 2005 р.

Учений секретар
спеціалізованої вченої ради Д 26.168.02
кандидат фізико-математичних наук Т.Л. Сизова

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Мартенситні перетворення (МП) займають особливе місце серед структурних перетворень у твердому стані. Подібно до інших фазових переходів першого роду, МП супроводжуються утворенням складної гетерофазної структури, яка істотно впливає на фізичні властивості матеріалів. Важлива роль такої системи фаз при МП пов’язана з упорядкованим, бездифузійним характером перебудови кристалічної структури, що здійснюється шляхом послідовних взаємно координованих переміщень атомів. Внаслідок цього фронт перетворення становлять добре визначені, когерентні або напівкогерентні міжфазні границі (МФГ), які мають високу рухливість і здатні рухатись оборотним чином. Інша особливість МП полягає в деформації форми перетвореної області кристала, тому границі, що її реалізують, є специфічними носіями пластичної деформації. В результаті МФГ при оберненому МП надають матеріалам цілком нові, незвичайні властивості, такі як пам’ять форми, надпружність та високе демпфування.

Глибоке розуміння закономірностей і ефективне практичне використання МП неможливі без розвитку відповідних теоретичних уявлень. Мікроскопічні теорії МП, що вивчають внутрішню структуру МФГ та атомні механізми перетворень, дозволяють пояснити своєрідну кінетику і з’ясувати природу МП, але виявляються надмірно детальними і складними в застосуванні до опису утворення та еволюції гетерофазних систем. Водночас існує альтернативний макроскопічний підхід, при якому МП розглядається як процес трансформації матеріального континууму, головною і визначальною компонентою якого є його деформація, а основним змістом теорії стає взаємодія МФГ із пружними та тепловими полями. Відповідний математичний апарат надає термодинаміка суцільного середовища і континуальна теорія кристалічних дефектів. Незважаючи на наявні в цьому напрямі серії ґрунтовних робіт, певні важливі проблеми залишаються невирішеними. Зокрема, не завершена розробка загальної теорії, що органічно включає властиві реальним фазовим перетворенням незворотні процеси. Недостатньо уваги приділяється також докладному і послідовному вивченню динамічних властивостей МФГ при високих швидкостях їх руху, наприклад, при екстремальних механічних або теплових навантаженнях матеріалів з пам’яттю форми.

Таким чином, дослідження динамічних властивостей когерентних МФГ при структурних перетвореннях мартенситного типу в рамках нерівноважної термодинаміки пружного середовища є актуальним як з наукової, так і з практичної точок зору.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалась відповідно до держбюджетних тем № “Фазові та структурні зміни, що визначають надпружність і пам’ять форми в сплавах”, № “Вплив концентраційних та структурних неоднорідностей на ефект пам’яті форми і надпружність у сплавах на основі міді, заліза, титану”, № U002844 “Дослідження механізмів структуроутворення, обумовленого фазовими перетвореннями в інтерметалічних сполуках і сплавах на основі перехідних металів”, № 102U000316 “Мартенситні перетворення і властивості, які вони обумовлюють, в матеріалах з особливими структурним і магнітним станами”, а також в рамках міжнародного проекту INTAS-93-1202 “Development and investigation of metallic systems and intermetallic compounds with advanced functional properties”.

Мета і завдання дослідження. Мета роботи полягає в побудові нерівноважно-термодинамічної моделі мартенситних перетворень, теоретичному дослідженні динаміки когерентних міжфазних границь у пружному та тепловому полях і з’ясуванні чинників, що впливають в континуальному наближенні на рухливість границь. Виходячи з цього були поставлені та вирішені наступні задачі:

· Отримати рівняння еволюції гетерофазної системи при МП безпосередньо із співвідношень балансу нерівноважної термодинаміки, використовуючи для опису непружної релаксації модель дисипативного середовища із затухаючою пам’яттю.

· Визначити сили динамічного опору, яких зазнає вільна когерентна МФГ при рівномірному поступальному русі та гармонійних коливаннях згину, і з’ясувати їх походження.

· Одержати рівняння малих коливань скінченної МФГ, на його основі провести моделювання поведінки границі під дією зовнішньої періодичної сили. Проаналізувати резонансні властивості МФГ.

· Оцінити вплив закріплення довільних ділянок МФГ на її середні динамічні характеристики.

· Розглянути термоелектричні явища, пов’язані з виділенням або поглинанням тепла при русі МФГ в металах.

· Розробити метод комп’ютерної обробки зображень гетерофазних структур на основі перетворення Фур’є, який дозволяє визначати характерні масштаби та міру самоподібності в розташуванні кристалів.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі вперше:

· В рамках нерівноважної термодинаміки отримано рівняння руху когерентних МФГ при МП в дисипативному середовищі із затухаючою пам’яттю. Враховано немалість власної деформації перетворення.

· Показано, що рухома МФГ зазнає гальмування, яке обумовлене динамічним збудженням пружних і теплових хвиль. Визначено залежність сили гальмування від швидкості руху границі та її орієнтації відносно інваріантної площини перетворення.

· Пружний і тепловий внески в динамічну сприйнятливість МФГ обчислено шляхом лінеаризації рівняння руху границі. Показано, що характер взаємодії МФГ з пружним полем визначається співвідношенням фазової швидкості хвилі зміщення границі та швидкостей поширення звукових хвиль в середовищі.

· Встановлено, що рівняння малих коливань МФГ має вигляд інтегрального рівняння типу згортки в просторі узагальнених функцій. Запропоновано і реалізовано схему його чисельного розв’язання для модельних скінченних границь. Результати розрахунків представлено у вигляді амплітудно-частотних характеристик МФГ, що демонструють їх резонансні властивості.

· Запропоновано метод наближеного обчислення дисипативних властивостей МФГ, закріпленої у випадковим чином розташованих точках. Введено відповідний ефективний розмір границі.

· Одержано рівняння руху МФГ у провідниках з урахуванням взаємодії теплового та електричного полів.

· Двовимірний Фур’є-аналіз застосовано для отримання кількісної інформації з оптичних зображень гетерофазних структур. Зокрема, визначено інтервали масштабної інваріантності в системі мартенситних кристалів, обчислено відповідні фрактальні розмірності.

Практичне значення одержаних результатів. Проведені дослідження розширюють фізичні уявлення про динамічну поведінку МФГ і сприяють глибшому розумінню процесів, які відбуваються при структурних перетвореннях. Результати роботи можуть бути використані при інтерпретації експериментальних даних по акустичній емісії та поширенню ультразвукових хвиль в матеріалах, що зазнають МП. Деякі застосування сплавів з пам’яттю форми (наприклад, в робототехніці) вимагають урахування їх динамічної поведінки. Висока демпфуюча здатність цього класу матеріалів широко використовується в індустрії, причому конструкції можуть відчувати великі механічні та теплові навантаження (наприклад, в авіакосмічній техніці), а мартенситні границі, відповідно, можуть рухатись досить швидко. Розвинений підхід може також служити основою для побудови загальної теорії МФГ при МП в неідеальних кристалах.

Особистий внесок здобувача. Дисертація є продуктом самостійної роботи автора. Особистий внесок здобувача полягає в аналізі літературних даних, постановці задач дослідження, виборі фізичних моделей, виводі та розв’язанні рівнянь динаміки когерентних МФГ у пружному і тепловому полях, розробці програмного забезпечення для моделювання коливань границь і вивченні фрактальних властивостей двовимірних об’єктів, аналізі одержаних результатів, формулюванні висновків дисертації, підготовці наукових публікацій. З робіт, виконаних у співавторстві, на захист винесено лише наукові результати, що отримані автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались і обговорювались на наукових конференціях: Республіканській конференції “Проблеми фізики металів” (28–30 березня 1989 р., Київ); I Всесоюзній школі-семінарі “Структурна та хімічна мікронеоднорідність в матеріалах” (16–19 жовтня 1990 р., Київ); Всесоюзній конференції з мартенситних перетворень у твердому тілі “Мартенсит-91” (7–11 жовтня 1991 р., Косів); Міжнародному семінарі “Mechanisms and Mechanics of Solid-Solid Phase Transformations” MECAMAT-95 (16–19 травня 1995 р., Ла Брес, Франція); III Черкаському семінарі країн співдружності “Актуальні питання дифузії, фазових і структурних перетворень у сплавах” (19–24 червня 1995 р., Сокирне); IV Європейському симпозіумі з мартенситних перетворень ESOMAT-97 (1–5 липня 1997 р., Енсхеде, Нідерланди); Міжнародній конференції з мартенситних перетворень ICOMAT-98 (7–11 грудня 1998 р., Сан Карлос де Барілоче, Аргентина).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 9 друкованих праць, з них 5 статей у фахових наукових журналах.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається із вступу, п’яти розділів та висновків. Матеріал викладений на 132 сторінках, містить 1 таблицю, 16 рисунків і список літературних джерел із 163 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету і завдання дослідження, показано наукову новизну та практичне значення одержаних результатів, відображено особистий внесок автора, наведено відомості про апробацію результатів дисертації.

Перший розділ присвячено огляду основних теоретичних уявлень і експериментальних даних щодо МП та динаміки МФГ. Подана класифікація структурних фазових переходів в твердих тілах, описані основні риси МП, викладені континуальні моделі когерентних МФГ в рамках концепції параметра порядку і механіки (термодинаміки) суцільного середовища [1–3].

В другому розділі отримані рівняння руху МФГ, що самоузгоджено описують еволюцію гетерофазної системи в пружному і тепловому полях при МП з урахуванням дисипативних процесів. Як відомо, фазові переходи мартенситного типу відбуваються шляхом бездифузійної кооперативної перебудови кристалічної структури, причому відносні зміщення атомів не перевищують міжатомних відстаней. Відповідна зміна форми області матеріалу, що зазнає МП при русі плоскої когерентної границі між нескінченно протяжними фазами, що знаходяться в рівновазі, характеризується власною структурною (спонтанною) дисторсією перетворення.

В роботі використана нерухома лагранжева система координат (просторових координат x і часу t), пов’язана з кристалом у вихідному (до початку МП) стані. Розвиток гетерофазної структури представлено в континуальному наближенні тензорним полем спонтанної дисторсії ij(x,t), яка постійна в межах кожної фази і зазнає стрибка [ij], рівного відносній власній дисторсії відповідного варіанту МП, на поверхні розділу фаз . Для характеристики розривів фізичних полів на МФГ застосовані спеціальні позначення: [u] – стрибок функції u(x,t) при переході через поверхню в напрямі одиничної нормалі до неї n, {u} – напівсума значень u та u функції по різні сторони границі. Швидкість руху МФГ V визначено як швидкість переміщення поверхні уздовж вектора n.

Нерівноважно-термодинамічна модель МП включає чотири групи співвідношень, які записуються окремо для фаз і МФГ:

· Кінематичні рівняння неперервності (умови збереження суцільності середовища в процесі МП).

· Динамічні співвідношення балансу імпульсу, енергії та ентропії (закони збереження і умови невід’ємності продукування ентропії).

· Визначальні матеріальні рівняння (конкретні характеристики фаз та границь).

· Визначальні рівняння незворотних процесів (прийнято лінійні залежності між термодинамічними силами і потоками).

Рівняння неперервності виражають, зокрема, допущення про когерентне сполучення контактуючих фаз на поверхні їх розділу. Для опису релаксаційних явищ використана теорія в’язкопружного середовища із затухаючою пам’яттю, що оперує функціоналами історії параметрів локального стану термодинамічної системи. За такі параметри вибрано поля пружною дисторсії wij(x,t) і температури T(x,t). Урахування історії пружного поля приводить до інтегрального представлення густини внутрішньої енергії та лінійного співвідношення для поля напружень

, (1)

де ij – температурні коефіцієнти напружень, T0 – температура рівноваги фаз; тензор залежних від часу модулів пружності ijkl(t) містить -функцію при t . Передбачається сумування по тензорних індексах, що двічі повторюються, символ позначає інтегральну операцію згортки функцій по співпадаючих аргументах.

В результаті певних перетворень і зроблених припущень в роботі одержано наступну систему рівнянь еволюції гетерофазної структури при МП:

, (2)

(3)

всередині фаз та

, (4)

, (5)

(6)

на МФГ при [T]  . Тут – густина речовини, C – теплоємність, ij – тензор теплопровідності, (x,t) – дисипативна функція, – тензор миттєвих модулів пружності, F0(x,t) і S0(x,t) – густина вільної енергії та ентропії недеформованих фаз, F і S – густина поверхневої енергії та ентропії МФГ, g – подвоєна середня локальна кривизна границі, – кінетичний параметр МП.

Диференціальні рівняння (2), (3), доповнені граничними умовами на рухомих по відомому закону МФГ (4), (5) і рівняннями неперервності, визначають поля пружної дисторсії та температури, що діють в кристалі. У свою чергу співвідношення балансу термодинамічних сил (6), зв’язуючи визначальні змінні на поверхні розділу фаз, грає роль рівняння руху МФГ. Таким чином, замкнута система рівнянь (2) – (6) самоузгоджено описує динаміку когерентних границь при МП. Загальна схема вирішення задачі полягає в знаходженні пружного і температурного полів для довільного закону руху МФГ, підстановці відповідних виразів у рівняння руху границь та розв’язанні отриманого рівняння.

Істотного спрощення можна досягти, нехтуючи відмінністю фізичних характеристик фаз, термопружними членами і тепловими ефектами дисипативних процесів. У цьому випадку МФГ розглядаються як рухомі в необмеженому однорідному середовищі джерела пружних та теплових збурень.

Закон руху МФГ

(7)

задається відповідним чином нормованою неперервною функцією (x,t), пов’язаною з локальними геометричними характеристиками границі:

, (8)

. (9)

Рівняння руху МФГ

, (10)

є нелінійним інтегральним рівнянням типу згортки, що визначає закон руху границі під дією термодинамічного стимулу

. (11)

Тут и Te – зовнішні поля напружень і температури, Gij(x,t) – тензорна функція Гріна динамічного рівняння теорії пружності, G(x,t) – функція Гріна рівняння теплопровідності. Тензор густини пружних джерел

, (12)

який виражається через тензори густини дислокацій перетворення та густини їх потоку [2, 3], і густина теплових джерел

(13)

мають на МФГ сингулярні особливості. Тут eijk – символ Леві-Чивіти; наближення (13) допустиме, зокрема, якщо [S] C.

Співвідношення (10) є умовою рівності нулю в кожній точці МФГ суми термодинамічних сил, зокрема обумовлених взаємодією границі з власними полями напружень і температури. В роботі одержано також рівняння еволюції гетерофазної системи в ізотропному середовищі, виражене безпосередньо через розподіли густини ентропії S та лінійної частини структурної деформації МП eij ij  ji)2.

В третьому розділі розглянуто рівномірний поступальний рух МФГ. Швидкості поширення поздовжніх cL() і поперечних cT() звукових хвиль є комплексними функціями частоти , уявні частини яких описують затухання пружних коливань (внутрішнє тертя) середовища. Згідно з рівнянням (10) плоска нескінченно протяжна границя, що вільно рухається в ізотропному континуумі з постійною швидкістю V, зазнає суми сил динамічного гальмування різної природи.

Сила хвильового (радіаційного) гальмування

(14)

що включає внесок від інтегрування особливостей функції Гріна Gij(x,t), викликана витратами енергії на збудження (випромінювання) рухомою МФГ пружних хвиль. Тут cc(0), ; квадратні дужки при eij випущені.

Сила релаксаційного (непружного) гальмування

(15)

де інтеграл береться в головному значенні, не дорівнює нулю за наявності частотної дисперсії модулів пружності, уявні частини яких є непарними функціями . Вона обумовлена дисипацією енергії пружного поля МФГ в релаксуючому середовищі. Інтеграл (15) зазвичай розходиться в області високих частот, тому слід, як і при обчисленні сили релаксаційного гальмування дислокацій [4], ввести ефективну ширину МФГ a, обмеживши інтегрування скінченними границями Va.

Сила теплового гальмування

(16)

спричинена локальною зміною температури в області МФГ внаслідок виділення або поглинання прихованої теплоти фазового переходу. Вираз (16) є максимально досяжним для теплового гальмування, при меншому значенні рушійної сили стаціонарний режим руху плоскої МФГ неможливий.

Сила локального кінетичного гальмування

, (17)

що відображає нерівноважний характер фазового переходу, обумовлена дисипативними процесами, супроводжуючими МП і локалізованими в довкіллі МФГ.

Формула (14) залишається справедливою також для довільного нестаціонарного режиму руху плоскої МФГ як цілого, якщо під V розуміється миттєва швидкість границі. Реальна МФГ завжди скінченна, але будь-яку її ділянку можна вважати необмеженою протягом часових інтервалів, значно менших характерного часу поширення звукових хвиль на відстань порядку розмірів границі.

Припустимо, що дисипативні процеси, які вносять вклад в поглинання пружних коливань середовища, незалежні та мають нерезонансний характер. Тоді коефіцієнти затухання звукових хвиль можна представити у вигляді суми доданків

, (18)

де – відповідні часи релаксації. При достатньо малому в інтервалі частот від 0 до Va затуханні сила релаксаційного гальмування МФГ (15) допускає лінеаризацію шляхом розкладання в ряд за степенями (18) і подальшого інтегрування.

Нерухома когерентна МФГ не викликає пружних спотворень контактуючих фаз, якщо структурній дисторсії МП властива інваріантна площина, що збігається з площиною границі. Нехай МФГ зберігає паралельність інваріантній площині перетворення в процесі стаціонарного руху. Тоді сили гальмування, що породжуються збуджуваним границею пружним полем, виражаються рівностями

, (19)

. (20)

Тут зведена швидкість VVc, а параметри

(21)

визначають характерну густину пружної енергії при МП з дилатаційною L та зсувною T компонентами власної дисторсії.

Сила радіаційного гальмування пропорційна швидкості руху МФГ в області малих значень Vc і необмежено зростає з наближенням швидкості границі до швидкості поширення поперечних (або поздовжніх) звукових хвиль. Сила релаксаційного гальмування суттєво залежить від характеру власною дисторсії МП та орієнтації МФГ відносно інваріантної (або близькою до неї) площини перетворення. Для всіх релаксаційних процесів макроскопічної природи виконується нерівність ca, тому вже при порівняно низьких швидкостях МФГ Vc величина Va може набувати значення, близького до одиниці й вище, що спричиняє помітну нелінійність функції frl(V). Якщо площина МФГ паралельна інваріантній площині МП, то згідно з (20) сила релаксаційного гальмування когерентної границі пропорційна V5 при Va і продовжує рости за законом V4 в інтервалі aVc, залишаючись значно менше супутньої сили радіаційного гальмування (19).

Особлива залежність сили гальмування від швидкості МФГ пояснюється тим, що стрибок напружень на границі вказаної орієнтації відсутній в стані спокою і виникає лише з початком її руху. При порушенні цієї умови в розкладі frl за степенями V з’являються члени нижчого порядку, що приводить до складного характеру орієнтаційно-швидкісної залежності релаксаційного гальмування МФГ. Головна складова сили релаксаційного гальмування, домінуюча при достатньо повільному русі МФГ, пропорційна швидкості границі V (а також часу релаксації ) при малих Va і практично постійна в інтервалі aVc. На відміну від релаксаційного гальмування дислокацій [4] сила гальмування когерентних МФГ є монотонною функцією V.

В роботі проведено порівняння теоретичних оцінок швидкості руху МФГ, контрольованої хвильовим гальмуванням, з відомими експериментальними даними щодо швидкості росту кристалів мартенситу в сплавах FeNi та CuZn.

В четвертому розділі розглянуто гармонійні коливання згину МФГ. Лінеаризоване рівняння руху МФГ отримано за допомогою розкладання співвідношення (10) в ряд за степенями зміщення границі A(R,t) відносно базової площини, на якій визначений двовимірний радіус-вектор R, проаналізовано умови застосовності лінійного наближення.

Рівняння малих вимушених коливань нескінченної МФГ має вигляд

, (22)

де – частота коливань, A(R) – амплітуда зміщень границі, f(R) – амплітуда зовнішніх сил. У Фур’є-представленні згортці функцій відповідає добуток їх образів, тому

, (23)

де K – двовимірний хвильовий вектор на площині рівноваги. Функція B1(K,) має зміст узагальненої сприйнятливості (рухливості) МФГ, що визначає її зміщення як відгук на мале зовнішнє збурення, і є основною величиною, що характеризує в лінійному наближенні динамічні властивості границі.

Згідно з рівнянням (10) обернена динамічна сприйнятливість B(K,) містить доданки різного походження, які були отримані в явному вигляді для ізотропного континууму. Пружний внесок в обернену сприйнятливість

(24)

обумовлений реакцією середовища на його динамічну деформацію при русі МФГ. Тут безрозмірний параметр cTcL пов’язаний з коефіцієнтом Пуасона, n – нормаль до площини границі, p – одиничний вектор в напрямі вектора K. Тепловий внесок в обернену сприйнятливість

, (25)

де C – температуропровідність, визначається взаємодією рухомої МФГ як джерела тепла з власним температурним полем. Для збереження правильної залежності уявної частини B(K,) від частоти значення коренів у формулах (24), (25) при  необхідно брати в нижній комплексній півплощині. Локальний внесок в обернену сприйнятливість

(26)

пов’язаний з існуванням поверхневої енергії МФГ та дисипативних процесів фазового перетворення.

Вираз (24) спрощується, якщо власна дисторсія МП має зсувний характер. Нехай площина МФГ XY співпадає з інваріантною площиною перетворення, а вектор зсуву лежить в площині XZ, тоді

(27)

Обернена сприйнятливість двійникової (доменної) границі [5] не містить теплової складової (25) і може описуватись формулою (27) в окремому випадку паралельності вектора спонтанного зсуву інваріантній площині перетворення (L).

Характер індукованого МФГ пружного поля та його вплив на рухливість границі залежать від співвідношення фазових швидкостей хвилі зміщення МФГ і власних пружних коливань середовища. При Kc пружне поле МФГ локалізоване в її довкіллі, функція Bel(K,) дійсна і визначає динамічну жорсткість границі, що має польове походження. При Kc коливання МФГ супроводжуються збудженням об’ємних пружних хвиль, функція Bel(K,) описує радіаційне гальмування границі і приймає чисто уявні значення. З наближенням швидкості хвилі зміщення до однієї із звукових швидкостей обернена сприйнятливість МФГ необмежено зростає, і при досягненні резонансної умови Kc границя виявляється нечутливою до зовнішньої дії. З іншого боку, множина нулів функції Bel(K,) дає закон дисперсії вільних коливань згину МФГ [6].

Залежності пружної динамічної сприйнятливості МФГ від зведеного хвильового числа kcTK зображено на рис. 1. Параметрами функції, оберненої до (27), є кут LT) між вектором спонтанного зсуву та інваріантною площиною МП і кут KyKx) між хвильовим вектором та проекцією вектора зсуву на площину границі. При T сприйнятливість нескінченної МФГ не залежить від напряму K і з точністю до множника збігається із сприйнятливістю поверхні, що обмежує пружний півпростір. Для всіх значень параметрів модуль функції відгуку має один розрив при k0(,,) і принаймні один нуль (при k та/або k залежно від ). Винятком є випадок Kx , коли нуль k зникає. Звертає на себе також увагу невеликий максимум трохи вище k, особливо при  і .

В реальних умовах МФГ завжди обмежені, окремі їх ділянки можуть бути ефективно закріплені дефектами кристалічної будови. Розглянемо поверхню розділу фаз, що займає в стані рівноваги область на площині XY, обмежену замкнутою кривою . Співвідношення (23) може бути використане, якщо область існування границі розповсюдити на всю площину, але при цьому точки границі, що лежать поза кривою , вважати нерухомими. Проводячи над (23) зворотне перетворення Фур’є, отримуємо рівняння малих коливань скінченої МФГ

(28)

з крайовою умовою A(R) . Оскільки Bel(K,) необмежено зростає при K , величина B(R,) належить до категорії узагальнених функцій.

Згідно з (27) пружна компонента може бути представлена у вигляді

(29)

де відстані виражені в одиницях rel() cT. Аналогічно (25) дає теплову компоненту

(30)

з характерним масштабом довжини . Тут для стислості використані сферичні функції Беселя третього роду . Таким чином, рівняння (28) є по суті інтегрально-диференціальним.

Рівняння руху МФГ (28) розв’язано чисельно шляхом його наближеного представлення системою лінійних алгебраїчних рівнянь. На рис. 2 приведені деякі результати розрахунку частотної залежності амплітуди вимушених коливань, усередненої по площі границі. Обчислення були виконані з урахуванням лише пружної складової B(R,), для квадратної (зі стороною L) МФГ, що моделюється набором 7575 вузлів, і прикладеної сили, не залежної від координат. Відгук границі на періодичну дію має помітний максимум на частотах близько cTL. Із зменшенням відмінності швидкостей звукових хвиль різних поляризацій та збільшенням кута між вектором спонтанного зсуву й інваріантною площиною МП резонансні властивості МФГ посилюються, що проявляється в зростаючій нерівномірності кривих. Проте резонансний пік не стає нескінченно високим та вузьким за відсутності дисипативних процесів.

Запропоновано також метод наближеного обчислення дисипативних властивостей МФГ, закріпленої у випадковим чином розташованих точках, за допомогою модифікації динамічної сприйнятливості вільної границі функцією поверхневої густини центрів пінінга та їх ефективного радіусу.

В п’ятому розділі розглянуто термоелектричні явища при МП в металах, а також метод комп’ютерної обробки зображень гетерофазних структур для визначення міри самоподібності в розташуванні кристалів.

Одержано рівняння руху МФГ у провідниках з урахуванням взаємодії теплового та електричного полів, досліджено рівномірний поступальний рух плоскої границі. Показано, що виділення або поглинання тепла на рухомій МФГ приводить до термоелектричного розділення зарядів у довкіллі границі і появи різниці потенціалів, залежної від температурного поля.

Для визначення кореляційних характеристик функції розподілу нової фази в матриці використано метод перетворення Фур’є. За вихідні дані брались експериментальні оптичні зображення мартенситних мікроструктур в сплавах Fe-Mn-Si (рис. 3) та Cu-Al-Ni, а також проста двовимірна модель фазового перетворення. Залежність Фур’є-образу структурної функції від радіального хвильового числа має степеневий (лінійний в логарифмічних координатах) вигляд, якщо гетерофазна система демонструє масштабно-інваріантну поведінку (самоподібність). Визначено два головні інтервали масштабної інваріантності в системі мартенситних кристалів. Перший пов’язаний з характерним розміром самоакомодаційних груп кристалів або аустенітних областей між ними, другий обумовлений середньою товщиною кристалів або відстанню між ними всередині окремих груп.

ВИСНОВКИ

В дисертації проведено теоретичне дослідження динамічних властивостей когерентних міжфазних границь при структурних перетвореннях мартенситного типу в рамках нерівноважної континуальної термодинаміки і встановлено наступне:

1. Еволюція гетерофазної системи при структурних перетвореннях мартенситного типу адекватно описується рівняннями руху міжфазних границь, отриманими в рамках нерівноважної термодинаміки пружного суцільного середовища, при цьому враховуються дисипативні процеси як усередині фаз, так і на поверхні їх розділу.

2. Рух когерентної міжфазної границі в процесі мартенситного перетворення супроводжується збудженням у кристалі пружного і теплового полів, взаємодія яких з границею, що їх породила, відбувається таким чином, що остання зазнає динамічного гальмування. Сила гальмування визначається параметрами мартенситного перетворення, пружними та тепловими характеристиками середовища і залежить від швидкості руху міжфазної границі та її орієнтації відносно інваріантної площини перетворення.

3. Гармонійні коливання згину когерентної міжфазної границі підкоряються лінеаризованому рівнянню руху, яке містить пружний і тепловий внески в її динамічну сприйнятливість. Залежно від співвідношення фазової швидкості хвилі зміщення міжфазної границі та швидкостей поширення звукових хвиль в середовищі рівняння описує динамічну жорсткість або хвильове гальмування границі.

4. Рівняння малих коливань міжфазної границі представлено у вигляді інтегрального рівняння типу згортки в просторі узагальнених функцій. В результаті його чисельного розв’язання одержано амплітудно-частотні характеристики модельної скінченної границі, які виявляють виражений основний максимум.

5. Дисипативні властивості міжфазної границі, закріпленої у випадковим чином розташованих точках, можуть бути приблизно визначені за допомогою модифікації динамічної сприйнятливості вільної границі функцією поверхневої густини центрів пінінга та їх ефективного радіусу.

6. Виділення або поглинання тепла при русі міжфазних границь у провідних матеріалах приводить до термоелектричного розділення зарядів у довкіллі границі та появи різниці потенціалів, залежної від температурного поля.

7. Застосування двовимірного перетворення Фур’є для аналізу оптичних зображень дає можливість визначати характерні масштаби гетерофазних структур. Наявність інтервалів масштабної інваріантності на залежності спектру потужності від хвильового вектора підтверджує риси самоподібності в розташуванні кристалів при деяких мартенситних перетвореннях. Обчислено відповідні фрактальні розмірності.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Falk F., Seibel R. Domain walls and transverse shock waves in shape-memory alloys // Int. J. Eng. Sci. – 1987. – V. 25, № 7. – P. 785–796.

2. Косилов А.Т., Перевозников А.М., Рощупкин А.М. Динамическая теория когерентных межфазных границ в кристаллах // Поверхность. – 1983. – № 10. – С. 36–45.

3. Косилов А.Т., Перевозников А.М., Рощупкин А.М. Динамика дислокаций и когерентных межфазных границ в кристаллах. – Воронеж: ВПИ, 1984. – 93 с.

4. Косевич А.М., Нацик В.Д. Торможение дислокации в среде, обладающей дисперсией упругих модулей // ФТТ. – 1966. – Т. 8, № 4. – С. 1250–1259.

5. Нечаев В.Н., Рощупкин А.М. О новом типе упругих волн в кристалле с двойниковой границей // ФТТ. – 1989. – Т. 31, № 8. – С. 77–82.

6. Нечаев В.Н., Рощупкин А.М. Об изгибных колебаниях межфазных границ в кристаллах // ФТТ. – 1991. – Т. 33, № 3. – С. 719–724.

7. Maki T., Tsuzaki K. Transformation behavior of е-martensite in Fe-Mn-Si shape memory alloys // Proc. Int. Conf. ICOMAT-92 (20-24 July, 1992, Monterey, USA). – P. 1151-1162.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ
ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Пасько А.Ю., Коваль Ю.Н. Динамика межфазных границ при мартенситных превращениях // Металлофизика. – 1989. – Т. 11, № 3. – С. 38–45.

2. Пасько А.Ю., Коваль Ю.Н. Релаксационное торможение когерентных межфазных границ // Физ. тверд. тела. – 1989. – Т. 31, № 12. – С. 22–27.

3. Пасько А.Ю., Коваль Ю.Н. Влияние дефектов на диссипативные явления при колебаниях межфазных границ // Доклады I Всесоюзной школы-семинара “Структурная и химическая микронеоднородность в материалах” (16–19 октября 1990 г., Киев). – К.: ИПМ АН УССР, 1991. – С. 25–31.

4. Пасько А.Ю., Коваль Ю.Н. Динамические свойства межфазных границ мартенситного типа // Доклады Всесоюзной конференции по мартенситным превращениям в твердом теле “Мартенсит-91” (7–11 октября 1991 г., Косов). – К.: ИМФ АН Украины, 1992. – С. 34–37.

5. Pasko A.Yu., Koval Yu.N. Continuum approach to the martensitic interphase boundaries dynamics // Abstracts of the International Seminar “Mechanisms and Mechanics of Solid-Solid Phase Transformations” MECAMAT-95 (16–19 May 1995, La Bresse, France). – Poster 3.

6. Пасько А.Ю., Коваль Ю.Н. Термодинамическое описание когерентных межфазных границ при мартенситных превращениях // Тезисы докладов III Черкасского семинара стран содружества “Актуальные вопросы диффузии, фазовых и структурных превращений в сплавах” (19–24 июня 1995 г., Сокирне). – C. 127.

7. Pasko A.Yu., Likhachev A.A., Koval Yu.N., Kolomytsev V.I. 2D Fourier analysis and its application to study of scaling properties and fractal dimensions of е-martensite distribution in г-matrix of Fe-Mn-Si alloy // J. de Physique IV. – 1997. – V. 7, Coll. 5. – P. 435–440.

8. Koval Yu.N., Pasko A.Yu. Electric fields associated with moving phase boundaries during martensitic transformation // Mater. Sci. Eng. A. – 1999. – V. 273–275. – P. 296–299.

9. Likhachev A.A., Pons J., Cesari E., Pasko A.Yu., Kolomytsev V.I. Observation and analysis of scaling behavior in surface martensite-austenite relief during the reverse martensitic transformation in Cu-Al-Ni single crystal by using 2D Fourier processing method // Scripta Mater. – 2000. – V. 43, № 8. – P. 765–769.

АНОТАЦІЇ

Пасько О.Ю. Динаміка когерентних міжфазних границь при структурних перетвореннях мартенситного типу. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.07 – фізика твердого тіла. Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України, Київ, 2005.

В рамках нерівноважної термодинаміки пружного континууму отримано рівняння руху когерентних міжфазних границь (МФГ) при структурних перетвореннях мартенситного типу. Для опису релаксаційних процесів використано модель дисипативного середовища із затухаючою пам’яттю. Розглянуто рівномірний поступальний рух та гармонійні коливання згину плоскої границі. Показано, що рухома МФГ зазнає гальмування, яке обумовлене динамічним збудженням пружних і теплових хвиль. Визначено залежність сили гальмування від швидкості границі та її орієнтації відносно інваріантної площини перетворення. Пружний і тепловий внески в динамічну сприйнятливість МФГ обчислено шляхом лінеаризації рівняння руху границі. Показано, що характер взаємодії МФГ з пружним полем визначається співвідношенням фазової швидкості хвилі зміщення границі та швидкостей поширення звукових хвиль в середовищі.

Рівняння малих коливань МФГ представлено у вигляді інтегрального рівняння типу згортки в просторі узагальнених функцій. В результаті його чисельного розв’язання отримано амплітудно-частотні характеристики модельної скінченної границі, які виявляють виражений основний максимум. Запропоновано метод наближеного обчислення дисипативних властивостей МФГ, закріпленої у випадковим чином розташованих точках. Одержано рівняння руху МФГ у провідниках з урахуванням взаємодії теплового та електричного полів. Двовимірний Фур’є-аналіз застосовано для отримання кількісної інформації з оптичних зображень гетерофазних структур. Визначено інтервали масштабної інваріантності в системі мартенситних кристалів, обчислено відповідні фрактальні розмірності.

Ключові слова: мартенситні перетворення, міжфазні границі, нерівноважна термодинаміка, хвильове гальмування, коливання згину, фрактальна розмірність.

Пасько А.Ю. Динамика когерентных межфазных границ при структурных превращениях мартенситного типа. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.07 – физика твердого тела. Институт металлофизики им. Г.В. Курдюмова НАН Украины, Киев, 2005.

Проведено теоретическое изучение динамических аспектов структурных превращений мартенситного типа в рамках механики и термодинамики упругих сплошных сред. Упорядоченный характер перестройки кристаллической структуры и высокая подвижность когерентных межфазных границ (МФГ) при мартенситных превращениях обусловили возможность рассмотрения таких границ как самостоятельных объектов, которые являются движущимися источниками упругого и теплового полей в кристалле, одновременно испытывая со стороны этих полей действие сил торможения.

В отличие от известного подхода, основанного на формализме Лагранжа, в диссертации замкнутая система уравнений эволюции гетерофазной структуры, самосогласованно описывающая динамику МФГ, получена непосредственно из соотношений баланса неравновесной термодинамики. С использованием модели вязкоупругой среды с затухающей памятью это позволило последовательно учесть протекающие как на границах, так и в объеме фаз диссипативные процессы.

Рассмотрены равномерное поступательное движение и гармонические изгибные колебания плоской когерентной МФГ. Показано, что движущаяся МФГ испытывает торможение, обусловленное динамическим возбуждением упругих и тепловых волн. Определена зависимость силы торможения от скорости границы и ее ориентации относительно инвариантной плоскости превращения. Упругий и тепловой вклады в динамическую восприимчивость МФГ, определяющую смещение границы как отклик на малое внешнее воздействие, вычислены путем линеаризации уравнения движения границы. Показано, что характер взаимодействия МФГ с упругим полем определяется соотношением фазовой скорости волны смещения границы и скоростей распространения звуковых волн в среде.

Уравнение малых колебаний МФГ представлено в виде интегрального уравнения типа свертки в пространстве обобщенных функций. В результате его численного решения получены амплитудно-частотные характеристики модельной конечной границы, которая представляет собой нелокальную колебательную систему с затуханием и обнаруживает выраженный основной максимум. Предложен метод приближенного вычисления диссипативных свойств МФГ, закрепленной в случайным образом расположенных точках, введен соответствующий эффективный размер границы.

Получены уравнения движения МФГ в проводниках с учетом взаимодействия теплового и электрического полей, рассмотрено равномерное поступательное движение плоской границы. Выделение или поглощение тепла при движении МФГ приводит к термоэлектрическому разделению зарядов в окрестности границы и появлению разности потенциалов, зависящей от температурного поля.

Двумерный Фурье-анализ применен для извлечения количественной информации из оптических изображений гетерофазных структур. Наличие интервалов масштабной инвариантности на зависимости спектра мощности от волнового вектора подтверждает черты самоподобия в расположении кристаллов при некоторых мартенситных превращениях. Вычислены соответствующие фрактальные размерности.

Ключевые слова: мартенситные превращения, межфазные границы, неравновесная термодинамика, волновое торможение, изгибные колебания, фрактальная размерность.

Pasko A. Dynamics of coherent phase boundaries under structural transformation of martensitic type. Manuscript.

Thesis for the Candidate degree (Doctor of Philosophy) in physics and mathematics on speciality 01.04.07 – solid state physics. G.V. Kurdjumov Institute for Metal Physics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

Equations of coherent phase boundaries (PB) motion during structural transformations of martensitic type are obtained in the framework of the non-equilibrium thermodynamics of elastic continuum. For description of relaxation processes a model of dissipative medium with fading memory is used. A uniform translational motion and harmonic flexural oscillations of a plain boundary are considered. The moving PB is shown to experience a drag caused by dynamic excitation of elastic and thermal waves. The dependence of the drag force on the PB velocity and its orientation with respect to the transformation invariant plane is determined. Elastic and thermal contributions to the PB dynamic susceptibility are calculated by means of linearization of the boundary equation of motion. The mode of PB interaction with elastic field is determined by a relation between the phase velocity of boundary displacement wave and the velocities of sound waves propagation in the medium.

The equation of PB small oscillations is represented as an integral equation of convolution type in the space of generalized functions. As a result of its numerical solving, amplitude-frequency characteristics of a model finite boundary are obtained which reveal a distinct main maximum. A method for approximate computation of dissipative properties of a PB fixed at randomly located points is proposed. The equation of PB motion in conductors taking into account interaction of thermal and electric fields is derived. A two-dimensional Fourier analysis is employed to get quantitative information from optical images of heterophase structures. Scaling-invariant intervals in a system of martensite crystals are determined, the corresponding fractal dimensions