НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ФІЗИКИ

ПАСЬКО ВАЛЕРІЙ АРКАДІЙОВИЧ

УДК 535.2

ТОПОЛОГІЧНІ РЕАКЦІЇ ТА ПЕРЕТВОРЕННЯ СПЕКТРУ ОРБІТАЛЬНОГО КУТОВОГО МОМЕНТУ

В ОПТИЧНИХ ПУЧКАХ

01.04.05 – оптика, лазерна фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті фізики Національної академії наук України

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук

Васнєцов Михайло Вікторович,

Інститут фізики НАН України,

старший науковий співробітник.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Яценко Леонід Петрович,

Інститут фізики НАН України,

провідний науковий співробітник.

доктор фізико-математичних наук, професор

Слободянюк Олександр Валентинович,

Київський національний університет

імені Т. Шевченка, фізичний факультет,

професор кафедри експериментальної фізики.

Провідна організація: Одеський національний університет

імені І. І. Мечникова, м. Одеса.

Захист дисертації відбудеться 27 жовтня 2005 р. о 1430 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.159.01 при Інституті фізики НАН України за адресою: 03039, м. Київ, проспект Науки, 46.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту фізики НАН України за адресою: 03039, м. Київ, проспект Науки, 46.

Автореферат розісланий 23 вересня 2005 р.

Т. В. О. ученого секретаря

спеціалізованої вченої ради Борщ А. О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Тема дисертаційної роботи присвячена особливому виду світлових хвиль, які мають дислокації хвильового фронту або фазові сингулярності [1]. Цей термін пов’язаний з наявністю в таких оптичних полях особливих точок фази, в яких вона є невизначеною. Амплітуда поля в сингулярних точках завжди дорівнює нулю, утворюючи так звані “чорні” лінії або поверхні. Навколо такої лінії нульової амплітуди зазвичай відбувається циркуляція потоку світла, що створює оптичний вихор (ОВ). Дислокації можуть бути поздовжніми (гвинтові), поперечними (крайові) або змішаними, в залежності від орієнтації лінії дислокації відносно напрямку розповсюдження світла.

Нова галузь науки, яка об’єднує роботи по вивченню світлових хвиль з фазовими сингулярностями, називається сингулярною оптикою [2]. Основна маса досліджень у цій області виконана за останні 15 – 20 років, хоча перші теоретичні передбачення існування оптичних сингулярностей були зроблені ще на початку минулого століття. Зараз сингулярна оптика продовжує інтенсивно розвиватись завдяки зусиллям багатьох наукових груп з різних країн світу. Властивості пучків з оптичними вихорами та пов’язаний з ними орбітальний кутовий момент світла викликають інтерес як з точки зору фундаментальної науки, так і для практичних застосувань. Фундаментальні знання, отримані в сингулярній оптиці, суттєво розширюють загальні уявлення про світло, що до недавнього часу обмежувались тільки хвилями з гладким фронтом. Багато уваги зараз приділяється вивченню орбітального кутового моменту [3], наявність якого у “сингулярних” пучків стала відома приблизно 15 років тому (до того часу кутовий момент світла асоціювався лише з його спіновою частиною, що пов’язана з циркулярною поляризацією). Основні напрямки практичного застосування “сингулярних” світлових пучків – це створення оптичних інструментів для захоплення та маніпулювання мікрооб’єктами (оптичні пінцети, мікроманіпулятори і т. п.), а також розробка засобів оптичного кодування та передачі інформації.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась в рамках наукових тем Інституту фізики НАН України 1.4.1 В/66 № Держреєстрації 0101U000352 “Фізична оптика когерентних світлових полів, що створені за допомогою багатохвильових взаємодій в нелінійних середовищах і біооб’єктах” (2001-2003) та 1.4.1 В/107 № Держреєстрації 0104U003218 “Структура складних світлових полів та світлоіндуковані процеси в конденсованому стані” (2004-2006). У рамках даних тем проведені дослідження деяких властивостей оптичних полів з фазовими сингулярностями.

Мета дисертаційної роботи:

- виявлення особливостей утворення поперечних оптичних вихорів та протікання топологічних реакцій, а саме реакцій анігіляції та розгортання оптичних вихорів, у світловому пучку з крайовими дислокаціями хвильового фронту; визначення напрямку циркуляції світлового потоку в поперечному оптичному вихорі;

- аналіз структури світлового поля в сингулярних пучках з цілим та половинним топологічним зарядом оптичних вихорів, що створені за допомогою бінарних комп’ютерно-синтезованих голограм;

- визначення спектру орбітального кутового моменту для зсунутих паралельно своїй оптичній осі чи відхилених гаусових пучків і пучків Лагерра-Гаусса та залежності цього спектру від величини зсуву чи відхилення; підтвердження існування дискретного частотного спектру, пов’язаного зі спектром орбітального кутового моменту, у зсунутому чи відхиленому гаусовому пучку, що обертається.

Об’єктом дослідження є лазерні пучки, зокрема пучки з фазовими сингулярностями.

Предметом дослідження є фазові сингулярності, що присутні в світлових пучках, та орбітальний кутовий момент світла.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

1. Вперше теоретично досліджені топологічні реакції, які відбуваються в модельній світловій хвилі з фазовими сингулярностями. Зокрема, показані основні етапи анігіляції та розгортання сингулярностей.

2. Встановлено зв’язок між розподілом фазової швидкості у “сингулярному” пучку та напрямком циркуляції світлового потоку в поперечному оптичному вихорі, що присутній у пучку. Показано, що циркуляція світла у вихорі спрямована в напрямку області більшої фазової швидкості.

3. Виконане аналітичне описання структури світлового поля в пучках з цілим та половинним топологічним зарядом оптичних вихорів, що створені за допомогою бінарних комп’ютерно-синтезованих голограм. Встановлено, що розподіл амплітуди в пучках з цілим топологічним зарядом вихра у дальній зоні дифракції описується спеціальною математичною функцією Куммера, а пучок з половинним зарядом можна представити як суперпозицію безвихрової компоненти та компоненти з осьовим вихором одиничного заряду.

4. Вперше обчислено спектри орбітального кутового моменту для зсунутих паралельно своїй оптичній осі чи відхилених пучків Лагерра-Гаусса. Встановлено, що ширина спектру зростає при збільшенні величини зсуву чи відхилення. Також знайдені відповідні спектри для випадку одночасного зсуву та відхилення пучка.

5. За допомогою комп’ютерного моделювання підтверджено існування дискретного частотного спектру, пов’язаного зі спектром орбітального кутового моменту, у зсунутому чи відхиленому гаусовому пучку, що обертається.

Практичне значення одержаних результатів.

Пучки з оптичними вихорами завдяки їх особливій структурі використовуються для маніпулювання мікрооб’єктами. На основі цих пучків створюються так звані оптичні пінцети, які вже мають застосування в біології, медицині та інших галузях. Результати дослідження структури та властивостей сингулярних оптичних полів можуть бути використані для подальшого вдосконалення таких оптичних маніпуляторів.

Така властивість сингулярних хвиль як орбітальний кутовий момент, який зберігається при вільному розповсюдженні хвилі, відкриває великі перспективи для розвитку методів оптичної передачі інформації. Результати дослідження орбітального кутового моменту зсунутих та відхилених пучків є важливим внеском у розвиток цієї галузі.

Достовірність наукових результатів забезпечена застосуванням потужних комп’ютерів з сучасним програмним забезпеченням, а також підтвердженням цих результатів висновками з теоретичних та експериментальних робіт інших наукових груп (зокрема, групи шотландських вчених з університету м. Глазго).

Особистий внесок автора полягає в:

1. Проведенні аналітичних розрахунків структури хвильового поля в зоні крайових дислокацій, Фур’є-перетворення пучків з ОВ цілого і половинного топологічного заряду та спектрів орбітального кутового моменту оптичних пучків.

2. Розробці комп’ютерних програм для розрахунку розподілів амплітуди і фази світла та спектрів орбітального моменту.

3. Участі в постановці задач для теоретичного дослідження.

4. Участі в обговоренні отриманих результатів та у написанні статей.

5. Доповідях результатів роботи на наукових семінарах та конференціях.

Апробація результатів роботи. Матеріали дисертації були представлені на міжнародних конференціях: Second International Conference on Singular Optics (Optical Vortices: Fundamentals and Applications), Alushta, Ukraine (2000); NATO Advanced Research Workshop “Singular Optics”, Kiev, Ukraine (2003); The Sixth International Conference on Correlation Optics, Chernivtsi, Ukraine (2003); The Fifth International Young Scientists Conference “Problems of Optics and High Technology Material Science SPO 2004”, Kiev, Ukraine (2004); International Conference “Optical Holography and its Applications”, Kiev, Ukraine (2004).

Публікації. Результати досліджень, що проводились в рамках дисертаційної роботи, опубліковано в 6 статтях [1*-6*], перелік яких дається в кінці автореферату.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку цитованої літератури. Вона викладена на 108 сторінках, список літератури включає в себе 70 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету дослідження, наукову новизну і практичне значення отриманих в роботі результатів.

Розділ 1 має оглядовий характер і присвячений висвітленню основних понять сингулярної оптики, таких як оптичний вихор, види дислокацій хвильового фронту, орбітальний кутовий момент світла та інші. Представлені головні результати попередніх досліджень у цій галузі сучасної оптики. Розглянуті основні властивості лазерних мод Лагерра-Гаусса, які є об’єктом дослідження у даній роботі. Окремий підрозділ присвячений обертальному ефекту Допплера, який має суттєве застосування в роботі. В останньому підрозділі викладені основні методи створення сингулярних пучків та приклади їх практичного застосування.

Розділ 2 присвячений теоретичному дослідженню топологічних реакцій, які відбуваються в монохроматичних світлових пучках, що містять крайові дислокації хвильового фронту.

Пучки з крайовими дислокаціями створювались як інтерференційне поле двох співвісних двовимірних (2D) гаусових пучків при умові деструктивної інтерференції. Двовимірні (циліндричні) хвилі відрізняються від звичайних трьохвимірних тим, що їх розподіли амплітуди та фази не залежать від однієї з поперечних координат. Хвильові фронти в 2D гаусовому пучку виглядають як циліндричні поверхні (рис.1). Припускалося, що пучки поляризовані вздовж осі Y та розповсюджуються у напрямку осі Z, з дифракційним розходженням по координаті x. Комплексна амплітуда 2D гаусового пучка визначається формулою

, (1)

де EG амплітудний параметр, w0 поперечний розмір пучка в перетяжці, k хвильове число, zR релеєвська довжина, zR = kw02/2, R(z) радіус кривини хвильового фронту в площині XZ, w – характерна ширина пучка на відстані z від перетяжки, w = w0(1+z2/zR2)1/2, Ф постійний набіг фази.

Розглядається суперпозиція двох пучків з різними амплітудними параметрами E1 > E2 , параметрами перетяжки w2 > w1 та зсувом між їхніми фазами. Сумарне поле в спільній площині перетяжки пучків (z = 0) визначається згідно наступному виразу:

(2)

У цій площині обидві хвилі мають плоский хвильовий фронт, а їх відповідні фази задовольняють умові Ф1 = Ф2 + . У точках, де амплітуди 2D гаусових пучків рівні, амплітуда сумарної хвилі дорівнює нулю. Таким чином, здійснюється деструктивна інтерференція хвиль, як показано на рис. 2а (тут і далі приймаємо k = 1, w1 = 10, w2 = 100). Точки нульової амплітуди утворюють дві прямі лінії, які перпендикулярні напрямку розповсюдження пучка. Положення ліній нульової амплітуди поля визначається як

(3)

Кожна з цих ліній є лінією крайової дислокації, навколо якої відбувається циркуляція світлового потоку (поперечний оптичний вихор). Вигляд ліній рівної фази навколо крайової дислокації в поздовжньому перерізі пучка показаний на рис. 2б. Переріз лінії дислокації позначений чорною точкою, а білим колом позначене фазове сідло, в якому розщеплюється одна з ізофазних ліній. Фізичний зміст сідлової точки полягає в умові стагнації потоку енергії: в цій точці вихровий потік точно компенсується поздовжнім потоком, тому саме у сідлі закінчується вихрова область.

Відношення амплітудних параметрів пучків E2/E1 було визначене як керуючий параметр . При зміні цього параметра відбувався рух топологічних об’єктів, якими є дислокації і сідла, та топологічні реакції між ними. Було досліджено реакції анігіляції крайових дислокацій та їх розгортання.

Якщо спочатку дислокації (вихори) знаходились на відстані x0 від осі пучка, то при зростанні вони, а також сідла, зближуються. Потім відбувається зіткнення сідел в точці x = 0, коли = zR2(2kzR1-1)/zR1(2kzR2-1) (рис. 3а), після якого сідла починають рухатись в перпендикулярних до початкового напрямках, віддаляючись від точки зіткнення (рис. 3б) (при цьому вихори продовжують зближуватись). Коли сідла досягають деякої критичної відстані між ними, вони починають рухатись у зворотному напрямку (назустріч одне одному). Цей рух завершується зіткненням та анігіляцією вихорів та сідел у точці x, z = 0 (рис. 3в). Таким чином, досліджені основні етапи колапсу крайових дислокацій [4] (ми розглядаємо ці процеси в поздовжньому перерізі XZ пучка, тому мова йде про точки, які є перерізами ліній дислокації та сідлових ліній).

При зменшенні дислокації віддаляються від центру пучка, при цьому сідлова точка рухається у напрямку до вихору та зіштовхується з ним при . В момент зіткнення утворюється точка “сідло-вихор”, яка являє собою вироджений топологічний об’єкт. При подальшому зменшенні параметра сідло опиняється по інший бік дислокації, таким чином циркуляція світлового потоку навколо дислокації міняє свій напрямок на протилежний (ОВ міняє свій “знак”). Цей процес супроводжується утворенням двох подібних об’єктів за межами площини z = 0, як видно з рис.4 (тут показана тільки одна з новоутворених дислокацій, яка знаходиться за площиною перетяжки, інша розміщена симетрично відносно цієї площини). Така топологічна реакція називається розгортанням крайової дислокації [5]. Знаки вихорів, які знаходяться за межами площини перетяжки (“додатні”), протилежні знаку вихору, що локалізований у цій площині (“від’ємний”). З цього моменту у правій півплощині площини XZ існує 6 топологічних об’єктів: 3 вихра і 3 сідла (стільки ж у лівій).

Було встановлено, що існує критичне значення 0, таке що при >0 в пучку існує лише одна лінія нульової амплітуди (крайова дислокація) у площині перетяжки, а при <0 є три дислокації, дві з яких знаходяться поза межами цієї площини.

Також були досліджені закономірності напрямку циркуляції світлового потоку в поперечному оптичному вихорі. Фізичною причиною утворення ОВ є різниця фазових швидкостей пучків, що інтерферують. Було встановлено, що напрямок циркуляції визначається розподілом фазової швидкості в утвореному пучку. Фазову швидкість 2D гаусового пучка в його перетяжці можна обчислити за допомогою формули (4):

. (4)

Відповідні розподіли фазової швидкості для пучків, що приймають участь в інтерференції, представлені на рис.5. На рисунку видно, що фазова швидкість у центрі пучка більша, ніж на периферії. У комбінованому пучку, що представлений на рис.2а, також швидкість в області між дислокаціями більша, ніж за її межами, і світло “закручується” всередину цієї області (напрямок зростання фази на рис.2б – проти годинникової стрілки). Крім того, був змодельований пучок, в якому навпаки швидкість у периферійній області більша, ніж в центральній. Він утворюється шляхом інтерференції двовимірних LG10 моди та гаусового пучка (рис.6а). У такому пучку циркуляція світлового потоку має напрямок по годинниковій стрілці (у цьому напрямку зростає фаза на рис. 6б), тобто знову світло “закручується” в напрямку тієї області, де фазова швидкість більша.

Таким чином, було зроблено висновок, що циркуляція світла в ОВ спрямована у напрямку області більшої фазової швидкості.

У розділі 3 проаналізована структура світлового поля в пучках з оптичними вихорами, що створені за допомогою бінарних комп’ютерно-синтезованих голограм. У комп’ютерно-синтезованій голограмі (КСГ) записується картина інтерференції вихрового пучка та плоскої хвилі, яка розраховується за допомогою комп’ютера. КСГ являє собою дифракційну гратку, при освітленні якої плоскою опорною хвилею у різних порядках дифракції утворюються “сингулярні” пучки. Особливість бінарних КСГ полягає у тому, що для них задається “прямокутна” функція пропускання, яка не враховує кривину смуг та варіацію контрасту:

(5)

де = mArctg(y/x)Kx+0, m - топологічний заряд записаного в КСГ оптичного вихра, K - просторова частота гратки, 0 - постійний фазовий зсув. На рис.7 зображені синтезовані бінарні гратки для випадків m = 1 (а) та m = 5 (б) з характерними “виделками” у центрі.

Під час дифракції гаусового пучка на бінарній гратці, в якій записана сингулярність заряду m = 1, у плюс/мінус першому дифракційному порядку на амплітудний розподіл падаючої хвилі буде накладатись азимутальна фазова залежність exp(ij):

(6)

Такий пучок має фазову сингулярність у точці r = 0, де фаза не визначена, а амплітуда дорівнює нулю. Він не може розповсюджуватись як самоподібний пучок, тому амплітудний розподіл буде змінювати свою форму на шляху від гратки до дальньої зони.

Для знаходження комплексної амплітуди поля у дальній зоні було застосоване перетворення Фур’є:

(7),

де y та h - азимутальна та радіальна координати у Фур’є-площині, M(n1, n2, x) - спеціальна математична функція, що зветься функцією Куммера [6].

Якщо гаусів пучок падає на гратку з сингулярністю заряду m, де m - довільне ціле число, то у першому дифракційному порядку одразу за площиною голограми маємо:

(8)

Фур’є-перетворення дає розподіл поля у дальній зоні:

(9),

де G(x) - гама-функція.

Таким чином, було зроблене аналітичне описання структури поля для пучків з оптичними вихорами цілого заряду, що утворюються за допомогою бінарних КСГ. Амплітудний розподіл таких пучків у дальній зоні описується функцією Куммера, тому для них ввели назву “пучки Куммера” або “кумерівські пучки”. На рис.8 показана різниця між кумерівським пучком (m = 1) та модою Лагерра-Гаусса LG01 у ближній та дальній зонах.

Голографічний метод також дає можливість отримувати світлові пучки з дробовими топологічними зарядами оптичних вихорів. Щоб створити ОВ з дробовим зарядом обчислюється інтерференційна картина, яка відповідає фазовій залежності з дробовим зарядом m. У роботі проаналізована структура поля в пучку з вихором заряду m = Ѕ.

Приклад КСГ, яка призначена для створення таких пучків, зображений на рис.9. Як ми бачимо, вздовж лінії j = 0 проходить розріз інтерференційних смуг, який відповідає за стрибок фази на p, що відбувається на цій лінії. При падінні гаусового пучка на цю гратку у плюс/мінус першому дифракційному порядку утворюються хвилі, що мають амплітудний розподіл

(10)

Такий пучок має фазову сингулярність у більш складній формі, ніж пучки Куммера. Для аналізу структури поля у дальній зоні також застосовувалось перетворення Фур’є. Після виконання ряду математичних операцій отримано наступний вираз для комплексної амплітуди пучка:

(11)

де h та y - полярні координати в Фур’є-площині, С(k)(q) та S(k)(q) - функції від координати q, , які визначаються рекурентними виразами ( С(0)(q), S(0)(q), С(1)(q) та S(1)(q) знайдені ):

(12)

(13)

Формула (11) містить у собі дві частини, кожна з яких відокремлена квадратними дужками. Перша з них відповідає за безвихрову компоненту, а інша помножена на eiy, тому вона утворює компоненту з анізотропним осьовим ОВ заряду 1. Суперпозиція цих двох компонент містить позаосьовий одиничний вихор. Рис.10 показує розподіли інтенсивності у поперечному перерізі окремо для безвихрової та вихрової компонент, а також для їхньої суперпозиції. Обчислений розподіл фази (рис.10г) чітко демонструє наявність у ньому вихра з зарядом m = 1.

Таким чином було встановлено, що пучок, який містить у собі оптичний вихор з половинним топологічним зарядом, у дальній дифракційній зоні перетворюється на пучок з анізотропним позаосьовим ОВ заряду m = 1, який можна представити у вигляді суперпозиції безвихрового пучка та пучка з осьовим ОВ (також анізотропним).

Розділ 4 присвячений дослідженню орбітального кутового моменту (ОКМ) паралельно зсунутих, а також відхилених світлових пучків. Об’єктами теоретичного дослідження були монохроматичні гаусові пучки та моди Лагерра-Гаусса.

Як відомо, гаусів пучок не має власного орбітального кутового моменту, тобто моменту відносно його оптичної осі. Це випливає з симетрії пучка та відсутності у ньому сингулярностей. Також відомо те, що паралельний зсув симетричного пучка не змінює його повний ОКМ [7]. Однак, операція паралельного зсуву може змінити стан орбітального моменту окремо взятого фотона у пучку. У цьому сенсі, початковий стан ОКМ індивідуального фотона при зміщенні (чи відхиленні) пучка перетворюється на суперпозицію різних станів ОКМ. Інакше кажучи, зсунутий пучок є суперпозицією пучків-компонент, кожний з яких несе у собі чітко визначений орбітальний кутовий момент m на фотон, де m - ціле число. Кожна така компонента має гелікоїдальний хвильовий фронт, що описується фазовою залежністю у вигляді exp(imj).

Розглядається гаусів пучок з амплітудним параметром E0 та поперечним розміром у перетяжці w0 , що зсунутий паралельно початковій оптичній осі (Z) на відстань (рис.11). Якщо для незміщеного пучка розподіл амплітуди поля у площині перетяжки (z = 0) має вигляд ~E0exp[(x2+y2)/w02], то для зсунутого визначається як

(14),

де x0, y0 - координати центру пучка. Після переходу до полярних координат r, j такий трансформований пучок можна представити через нескінчений ряд азимутальних гармонік, які мають фазову залежність exp(imj) (з визначеним орбітальним кутовим моментом):

(15)

де Im - модифікована функція Бесселя цілого порядку m [6].

Цей ряд представляє собою суперпозицію осьових пучків Бесселя-Гаусса (BG) [8], кожен з яких (крім m = 0) несе у собі оптичний вихор з топологічним зарядом m (m також називають орбітальним числом). Результат суперпозиції пучків Бесселя-Гаусса показаний на рис.12. Поодинока BG компонента нульового порядку виглядає як безвихровий осьовий пучок (рис.12а), у той час як суперпозиція BG пучка нульового порядку та пучків плюс/мінус першого порядку утворює позаосьову світлову пляму (рис.12б). Результат суперпозиції одинадцяти компонент, від m = -5 до m = 5 (рис.12в), з високою точністю апроксимує зсунутий гаусів пучок (рис.12г). Кожна BG компонента являє собою азимутальну гармоніку з орбітальним кутовим моментом m на фотон.

Рис.13 показує обчислені спектри потужностей компонент ОКМ (частини від повної потужності, що несе кожна BG компонента) для випадків величини зміщення d = w0 (а) та d = 2w0 (б).

Для d = 0 спектр містить тільки одну компоненту при m = 0, потужність якої дорівнює повній потужності пучка. При ненульовому зміщенні пучка з’являються інші спектральні компоненти, кожна з яких відповідає чистому стану ОКМ з орбітальним числом m. При збільшенні d ширина спектра зростає, як видно з рис.13б. Симетричність спектра відносно m = 0 означає, що повний орбітальний кутовий момент пучка дорівнює нулю (компоненти з додатнім ОКМ компенсуються компонентами з від’ємним ОКМ).

Спектр орбітального кутового моменту може бути виявлений завдяки обертальному ефекту Допплера (ОЕД) [9]. Цей ефект полягає у тому, що світловий пучок, який має кутовий момент m на фотон, при обертанні з кутовою швидкістю W набуває частотного зсуву = mW. Якщо пучок складається з кількох (чи нескінченої кількості) компонент, які представляють собою чисті стани ОКМ з різними значеннями m, то при обертанні пучка кожна компонента зазнає свого зсуву частоти, таким чином утворюється частотний спектр.

У даному випадку при обертанні паралельно зсунутого гаусового пучка навколо осі Z його BG компоненти будуть мати частоти m = 0mW. Таким чином, монохроматичне світло перетворюється на поліхроматичне. Відповідний частотний спектр зображений на рис.14. Для підтвердження відповідності цього спектру обертанню пучка було проведене комп’ютерне моделювання. Кожній BG компоненті у формулі (15) приписувався частотний зсув mW (за допомогою підстановки q q 0 + Wt, t - час). Потім на основі одержаної формули розраховувалась залежність інтенсивності світла в пучку від часу. На екрані монітора спостерігалося рівномірне обертання світлової плями, яка імітувала поперечний переріз зсунутого гаусового пучка.

Був розглянутий також випадок паралельно зсунутої на відстань моди Лагерра-Гаусса LG0l з довільним значенням азимутального індексу l. Розподіл комплексної амплітуди у площині перетяжки (z = 0) визначається виразом:

, (16)

де x0, y0 - координати центру пучка. По аналогії з попереднім випадком зсунутий LG0l пучок можна представити у вигляді суперпозиції азимутальних гармонік:

(17)

де (18)

Отриманий спектр ОКМ є симетричним відносно m = l. Це пов’язане з тим, що повний ОКМ, котрий може бути обчислений як сума вкладів всіх компонент, залишається незмінним при паралельному зсуві пучка. Як приклад, на рис.15 показані спектри потужностей компонент ОКМ для зсунутої моди LG01 (при величинах зсуву d = 0.8w0 та d = w0).

Безперервне обертання зсунутого LG пучка навколо осі Z призводить до частотного зсуву, який дорівнює (m – l)W для m-зарядної компоненти (це видно з формули (17), якщо замінити q на Wt). З цього факту можна зробити висновок, що тільки різниця між кутовим моментом фотона на виході та на вході оптичного елемента, що обертається, може створювати частотний зсув. Більш того, частотний спектр ОЕД є симетричним відносно частоти з нульовим доплерівським зсувом (незміщеної частоти), незалежно від l (рис.16).

Аналогічне дослідження було проведене для відхилених пучків. Розглядався гаусів пучок, що розповсюджується під деяким кутом g до координатної осі Z, як показано на рис.17. Діапазон кутів відхилення обмежувався умовою , де k та kz - поперечна і поздовжня компоненти хвильового вектора. Дотримуючись цього обмеження, можна представити відхилений гаусів пучок через невідхилений, який пройшов крізь фазовий клин з функцією пропускання , де a - параметр відхилення, a = kr = ksing, та - азимутальний кут напрямку відхилення. По аналогії з паралельно зсунутим пучком відхилений пучок розкладається на азимутальні гармоніки, що являють собою моди Бесселя-Гаусса:

(19)

Відмінність полягає у тому, що в формулу (19) входять не модифіковані функції Бесселя, а звичайні (також кожна компонента має фазовий зсув m/2).

Отже, відхилений пучок також є суперпозицією компонент з чітко визначеним орбітальним кутовим моментом (m на фотон для компоненти m-го порядку). На рис.18 зображений спектр потужностей компонент ОКМ для випадку відхилення пучка на кут g = 2.5 10-4 (порожній прямокутник демонструє спектр потужностей невідхиленого пучка). Якісно цей спектр подібний до спектру паралельно зсунутого пучка. Аналогічно попередньому випадку, при обертанні відхиленого гаусового пучка навколо осі Z з кутовою швидкістю W кожна з його компонент зазнає зсуву частоти mW. Розраховані частотні спектри також якісно подібні до спектрів паралельно зсунутого пучка. У роботі також були розглянуті відхилені пучки Лагерра-Гаусса та отримані відповідні формули (подібні до формул (17)-(18)).

Нарешті, було проведене дослідження орбітального моменту для одночасно зсунутого та відхиленого пучка, що є найбільш реальною ситуацією (рис.19). Розклад на азимутальні гармоніки моди Лагерра-Гаусса LG0l при одночасному відхиленні та зсуві має вигляд:

(20)

Комплексна амплітуда спектральної компоненти Cml(r) дорівнює

(21)

(22)

де d - величина зсуву, a - параметр кутового відхилення, q та h - азимутальні кути напрямку зсуву та відхилення. Результуючий спектр ОКМ вже не є симетричним, за виключенням деяких особливих комбінацій q та h (рис.20). Очевидно, що навіть гаусів пучок у цьому випадку буде мати ненульовий повний ОКМ відносно координатної осі.

Отже, у випадку одночасно зсунутого та відхиленого пучка його повний ОКМ не зберігається. Частина кутового моменту пучка передається оптичному елементу, за допомогою якого відбуваються зсув та відхилення.

Висновки:

Отримані в дисертаційній роботі результати пояснюють деякі особливості природи світлових хвиль з оптичними вихорами та додають нові знання про орбітальний кутовий момент параксіальних оптичних пучків, зокрема про дискретність спектру ОКМ-компонент у зміщених або відхилених від референтної осі пучках. Найбільш важливими результатами та висновками дисертації є:

1. За допомогою деструктивної інтерференції циліндричних гаусових хвиль змодельований пучок з двома лінійними крайовими дислокаціями хвильового фронту. При зміні відношення амплітуд гаусових пучків у їх інтерференційному полі відбуваються топологічні реакції: анігіляція крайових дислокацій та розгортання дислокації. При збільшенні цього відношення до одиниці лінії дислокації зближуються, поки не зіштовхнуться у центрі пучка та анігілюють. При цьому рух фазових сідел відбувається в кілька етапів: зближення, злиття сідел, рух у перпендикулярних до початкового напрямках, знову зближення, анігіляція. Зменшення відношення амплітуд до деякого критичного значення призводить до зіткнення лінії дислокації з фазовим сідлом. Це зіткнення супроводжується розпадом кожної з сингулярних ліній на три нові дислокації. Показано, що циркуляція світла у поперечному оптичному вихорі спрямована в напрямку області більшої фазової швидкості.

2. Проведений аналіз структури світлового поля хвиль, що містять осьовий оптичний вихор з цілим чи половинним топологічним зарядом, створених за допомогою бінарних комп’ютерно-синтезованих голограм. Розподіл амплітуди пучка з цілим зарядом вихра у дальній зоні дифракції описується спеціальною математичною функцією Куммера, тому ці пучки назвали “кумерівськими”. Пучок з половинним зарядом вихра у дальній зоні перетворюється на пучок з одиничним позаосьовим вихором, який можна представити у вигляді суперпозиції безвихрової компоненти та компоненти з осьовим вихором одиничного заряду.

3. Паралельно зсунутий чи відхилений пучок може бути представлений як суперпозиція компонент, кожна з яких несе чітко визначений орбітальний кутовий момент m на фотон. Аналітично знайдені спектри потужностей компонент орбітального кутового моменту для зсунутих паралельно своїй оптичній осі чи відхилених пучків Лагерра-Гаусса. Ці спектри є симетричними відносно компоненти, яка відповідає орбітальному моменту невідхиленого пучка, що підтверджує збереження повного орбітального кутового моменту пучка при його відхиленні чи зсуві. Ширина спектру зростає при збільшенні величини зсуву чи відхилення. Для випадку одночасного зсуву та відхилення пучка відповідний спектр має несиметричний вигляд і повний орбітальний кутовий момент світла не зберігається, а частково передається оптичному елементу. При обертанні зсунутого чи відхиленого пучка навколо початкової оптичної осі з кутовою швидкістю кожна компонента з орбітальним моментом m на фотон зазнає обертального доплерівського частотного зсуву. Для моди Лагерра-Гаусса він дорівнює (m – l)W, де l - азимутальний індекс моди. З цього факту був зроблений висновок, що частотний зсув створює різниця між кутовим моментом фотона на виході та на вході оптичного елемента, що обертається. Обчислені відповідні дискретні частотні спектри для паралельно зсунутих чи відхилених пучків. Кожний частотний спектр є симетричним відносно незміщеної частоти, незалежно від l.

Основні результати роботи опубліковано в статтях:

1*. Pas’ko V. A., Soskin M. S., Vasnetsov M. V. Transversal optical vortex. // Opt. Comm. - 2001. - Vol.198, - P. 49-56.

2*. Soskin M. S., Vasnetsov M. V., Pas’ko V. A. Transversal optical vortices in a light wave: structure and topological reactions. // SPIE Proc. - 2001. - Vol.4403, - P. 36-42.

3*. Marienko I. G., Pas’ko V. A., Slyusar V. V., Soskin M. S., Vasnetsov M. V. Investigation of an optical vortex beam with a leaky planar waveguide. // Opt. Comm. - 2002 - Vol.213, -P. 1-11.

4*. Basistiy I. V., Pas’ko V. A., Slyusar V. V., Soskin M. S. and Vasnetsov M. V. Synthesis and analysis of optical vortices with fractional topological charges // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2004. - Vol.6, - S166-S169.

5*. Pas’ko V. A., Basistiy I. V., Vasnetsov M. V., Soskin M. S. Analysis of optical vortex beams with integer and fractional topological charge // SPIE Proc. - 2004. - Vol.5477, - P. 83-88.

6*. Vasnetsov M. V., Pas’ko V. A., Soskin M. S. Analysis of orbital angular momentum of a misaligned optical beam // New J. of Phys. - 2005. - Vol.7. - 46.

Література, що цитувалась:

1. Nye J.F. and Berry M.V. Dislocations in Wave Trains // Proc. Roy. Soc. Lond. – 1974. – A. 336. – p.165-190.

2. Soskin M.S., Vasnetsov M.V. Singular optics // Progress in Optics – Vol. 42, ed. Wolf E. (Amsterdam: Elsevier) – p. 217-276.

3. Allen L., Beijersbergen M.W., Spreeuw R.J., Woerdman J.P. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes // Phys. Rev. – 1992 – A. 45 – p. 8185-8189.

4. Nye J.F., Hajnal J.V., Hannay J.H., Phase saddles and dislocations in two-dimensional waves such as the tides // Proc. Roy. Soc. Lond. – 1988 – A. 417 – 7-20.

5. Nye J.F., Unfolding of higher-order wave dislocations // JOSA – 1998 – A.15 – 1132-1138.

6. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям: Пер. с англ. – М.: Наука, 1979 – c. 321-353.

7. Berry M. Paraxial beams of spinning light // Proc. SPIE – 1998 – Vol. 3487 – p. 6-11.

8. Gori F., Guattari G., Padovani C. Bessel-Gauss beams // Opt. Commun. – 1987 – Vol. 64. – p. 491-495.

9. Courtial J., Robertson D.A., Dholakia K., Allen L., Padgett M.J. Rotational frequency shift of a light beam // Phys. Rev. Letters – 1998 – 81 – p. 4828-4830.

АНОТАЦІЯ

Пасько В. А. Топологічні реакції та перетворення спектру орбітального кутового моменту в оптичних пучках. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.05 – оптика, лазерна фізика. - Інститут фізики Національної академії наук України, Київ, 2005.

Перша частина дисертаційної роботи присвячена теоретичному дослідженню топологічних реакцій, що відбуваються у світловій хвилі з лінійними крайовими дислокаціями хвильового фронту (поперечними оптичними вихорами). Оптичне поле з крайовими дислокаціями моделювалось за допомогою деструктивної інтерференції двох циліндричних гаусових пучків. Були досліджені основні етапи анігіляції поперечних оптичних вихорів та розгортання крайової дислокації.

У другій частині роботи проведено аналіз структури світлового поля хвиль з оптичними вихорами, що створені за допомогою бінарних комп’ютерно-синтезованих голограм. Зокрема, досліджувались світлові пучки з цілими та половинним топологічними зарядами оптичних вихорів. Знайдені розподіли амплітуди в дальній дифракційній зоні для вищезгаданих пучків. Показано, що пучок з половинним топологічним зарядом у дальній зоні є суперпозицією безвихрової компоненти та компоненти з осьовим вихором одиничного заряду.

Третя частина присвячена дослідженню орбітального кутового моменту паралельно зсунутих та відхилених оптичних пучків. Аналіз проводився для гаусового пучка та мод Лагерра-Гаусса. Для кожного випадку були знайдені спектри орбітального кутового моменту та показана залежність цих спектрів від величини відхилення чи зсуву. Також у роботі показане існування дискретного частотного спектру, пов’язаного зі спектром орбітального кутового моменту, в зсунутому чи відхиленому пучку, що обертається.

Ключові слова: оптичний вихор, крайова дислокація, топологічний заряд, моди Лагерра-Гаусса, орбітальний кутовий момент світла.

SUMMARY

Pas’ko V. A. Topological reactions and transformation of the orbital angular momentum spectrum in optical beams. - Manuscript. Thesis for candidate’s degree in Physics and Mathematics speciality 01.04.05 - optics, laser physics. - Institute of Physics of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2005.

The first part of the thesis is devoted to theoretical investigation of topological reactions which take place in an optical wave with linear edge dislocations of the wave front (transversal optical vortices). The optical field with edge dislocations was simulated by means of destructive interference of two cylindrical Gaussian beams. The main stages of annihilation of the transversal optical vortices and unfolding of the edge dislocation were investigated.

In the second part of the thesis an analysis of optical field structure for waves with optical vortices produced by the binary computer-generated holograms was carried out. In particular, optical vortex beams with integer and Ѕ fractional topological charges were investigated. For such beams the amplitude distributions in the far field were found. It was shown, that the optical vortex beam with Ѕ fractional topological charge can be represented in the far field as a superposition of a vortex-free component and axial single-charged optical vortex.

The third part is devoted to investigation of the orbital angular momentum of laterally displaced and angularly deflected optical beams. An analysis was accomplished for Gaussian beam and Laguerre-Gaussian modes. The orbital angular momentum spectra were found for each case and dependence of these spectra on the displacement or the deflection angle was shown. For rotated laterally displaced or angularly deflected beam the existence of discrete frequency spectrum, which is related to the orbital angular momentum spectrum was demonstrated.

Keywords: optical vortex, edge dislocation, topological charge, Laguerre-Gaussian modes, orbital angular momentum of light.

АННОТАЦИЯ

Пасько В. А. Топологические реакции и преобразование спектра орбитального углового момента в оптических пучках. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.05 – оптика, лазерная физика. - Институт физики Национальной академии наук Украины, Киев, 2005.

Первая часть диссертационной работы посвящена теоретическому исследованию топологических реакций, происходящих в световой волне, содержащей линейные краевые дислокации волнового фронта (поперечные оптические вихри). Оптическое поле, содержащее краевые дислокации, моделировалось с помощью деструктивной интерференции двух цилиндрических гауссовых пучков. В точках, где амплитуды пучков равны и фазы отличаются на , амплитуда суммарного поля равна нулю. Эти точки образуют линии нулевой амплитуды, которые служат осями поперечных вихрей. При изменении отношения амплитуд гауссовых пучков вихри и фазовые седла двигаются в поперечном сечении суммарного пучка и вступают в