Національна Академія Наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур

ім. Б.І. Вєркіна

РИБАЛКО Антоніна Павлівна

УДК 517.9

УСЕРЕДНЕННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ФОРМ

НА МНОГОВИДАХ СКЛАДНОЇ МІКРОСТРУКТУРИ

01.01.03 – математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркiна НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України

Хруслов Євген Якович

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркiна НАН

України, м. Харків, заступник директора.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Чуєшов Ігор Дмитрович

Харківський національний університет імені В.Н.Каразіна, м. Харків,

завідувач кафедри математичної фізики;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Ковалевський Олександр Альбертович

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк,

провідний науковий співробітник.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ, відділ диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Захист відбудеться “19” грудня 2005 р. о 14-00 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б.І.Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім.. Б.І.Вєркіна НАН України, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розісланий “15” листопада 2005 р.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради Горькавий В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота належить до теорії усереднення диференціальних рівнянь в частинних похідних. Як самостійна область математичної фізики теорія усереднення виникла в 1970-х роках. Об'єктом досліджень теорії усереднення є математичні моделі фізичних процесів в сильно неоднорідних середовищах. Методи усереднення дозволяють побудувати усереднені моделі, що є адекватними апроксимаціями вихідних моделей і дають глобальні описи процесів у неоднорідних середовищах. Вперше до задач усереднення в областях складної структури звернулись в своїх роботах В.О. Марченко і Є.Я. Хруслов. Значний інтерес з боку вітчизняних та зарубіжних математиків Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко, О.А. Олійник, В.В. Жикова, О.С. Шамаєва, І.В. Скрипника, Е. Санчес-Паленсия, Е.Де Джоржи, С. Спаньоло, A. Бенсусана, Ж.-Л. Лионса, Дж. Папаниколау та інших сприяв інтенсивному розвитку теорії усереднення. Останнім часом коло задач, що можуть бути розв'язані методами теорії усереднення, значно поширилось.

Задачі усереднення на многовидах складної структури вперше були розглянуті у 1990-х роках Є.Я. Хрусловим, Л. Буте де Монвель, І.Д.Чуєшовим, Ж. Даль Масо, У.Моско. В роботі Л. Буте де Монвель і Є.Я. Хруслова “Homogenization of harmonic vector fields on Riemannian manifolds with complicated microstructure” була вивчена асимптотична поведінка гармонічних форм на ріманових многовидах спеціальної структури, що складаються з одного чи кількох екземплярів простору і великої кількості тонких трубок. Дисертаційна робота присвячена узагальненню і продовженню цього дослідження.

В дисертаційній роботі розглянуто гармонічні 1-форми на ріманових поверхнях необмежено зростаючого роду та на 4-вимірних псевдоріманових многовидах складної мікроструктури. Одержані усереднені рівняння, що дають асимптотичний опис гармонічних форм, суттєво відрізняються від вихідних. Вивчено асимптотичну поведінку розв’язку задачі Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури. Доведено, що в результаті усереднення в системі Максвела виникають заряди.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, які склали зміст дисертації, проведені у відповідності з тематичним планом Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І.Вєркіна з відомчої тематики за темою: “Асимптотичні методи дослідження розв'язків початково-крайових задач”, номер державної реєстрації 0196U002942.

Мета i задачі дослідження. Мета дослідження: усереднення гармонічних 1-форм на ріманових поверхнях зростаючого роду; усереднення гармонічних 1- і 2-форм на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури; вивчення асимптотичної поведінки розв’язків задач Коші для хвильового рівняння та однорідної системи рівнянь Максвела на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури.

Об’єктом дослідження є гармонічні диференціальні 1-форми на ріманових поверхнях; гармонічні 1- і 2-форми на псевдоріманових многовидах; задачі Коші для хвильового рівняння і однорідної системи рівнянь Максвела на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури.

Предметом дослідження є асимптотична поведінка гармонічних 1-форм на ріманових поверхнях необмежено зростаючого роду; асимптотична поведінка гармонічних 1- і 2-форм на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури; усереднений опис розв’язків задачі Коші для хвильового рівняння і задачі Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на многовидах.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі використані методи теорії усереднення, методи теорії ріманових многовидів та зовнішнього числення, методи функціонального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше:–

вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм із заданими періодами на ріманових поверхнях необмежено зростаючого роду; одержано усереднені рівняння, що описують головний член асимптотик;–

вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на 4-вимірних псевдоріманових многовидах складної мікроструктури; одержано їх усереднений опис; отримано результат усереднення задачі Коші для хвильового рівняння на 4-вимірних многовидах складної мікроструктури;–

досліджено асимптотичну поведінку розв’язку задачі Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на 4-вимірних многовидах простору-часу спеціальної структури; доведено, що густина електричного заряду виникає в системі рівнянь Максвела як результат усереднення.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Одержані результати можуть бути використані при дослідженні задач усереднення на многовидах складної структури.

Особистий внесок здобувача. Результати, що представлені в дисертаційній роботі, одержано А.П. Рибалко самостійно ([1],[4]) та спільно з науковим керівником Є.Я. Хрусловим ([2],[3]). В [2],[3] Є.Я. Хруслову належить постановка задач, а також з ним обговорювались отримані результати. Доведення результатів проведено автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на семінарі відділу № 23 ФТІНТ НАН України (керівник Е.Я. Хруслов) та на міжнародних конференціях “Теорія функцій і математична фізика” (Харків, 2001 р.), “Обернені задачі і нелінійні рівняння” (Харків, 2002 р.), Х міжнародній конференції імені акад. М. Кравчука (Київ, 2004 р.), International conference “First Karazin Scientific Readings” (Kharkiv, 2004).

Публікації. Основні результати опубліковано у 4 статтях [1]-[4] у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, та в тезах доповідей чотирьох міжнародних конференцій [5]-[8].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 53 найменування, та трьох додатків. Повний обсяг роботи складає 156 стор., з них список використаних джерел займає 5 стор., додатки – 8 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, визначено мету і задачі дослідження, наведено основні результати роботи.

У вступному розділі наведено визначення і приклади ріманових многовидів складної мікроструктури, а також деякі теореми асимптотичного аналізу, що суттєво використовуються в роботі.

У першому розділі розглянуто компактні ріманові поверхні , що складаються з деякої базової ріманової поверхні Г та великої кількості тонких ручок. Метрика на залежить від малого параметру . Припускається, що при кількість ручок, а значить, і род поверхні, необмежено збільшується, а товщина ручок прямує до нуля. Вивчається асимптотична поведінка гармонічних 1-форм із заданими періодами на ріманових поверхнях при .

Постановка задачі. Нехай Г – компактна ріманова поверхня роду нуль без границі, g(x) – метричний тензор на . Нехай для кожного задана сім’я кіл (“дірок”) . Позначимо

.

Припускаємо, що

для кожного множину {i=1…N} розбито на двохелементні підмножини (i,j) – пов’язані пари дірок;

для кожної пов’язаної пари дірок задано двовимірний многовид (“ручка”), що дифеоморфний трубі x[0,1] (– одиничне коло). Границя T складається з двох компонент;

для кожного T задано дифеоморфізм;

Дослідження асимптотичної поведінки електромагнітної 2-форми (42)-(43) на приводить до наступної усередненої задачі Коші на RxR3:

де функції просторових змінних pk(x) визначаються заданими періодами 2-форми , dx – елемент об’єму.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджено задачі усереднення диференціальних 1- і 2-форм на многовидах складної мікроструктури. Одержано наступні результати:

1. Вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм із заданими періодами на ріманових поверхнях, коли род поверхні зростає. Одержано усереднені рівняння, що описують головний член асимптотик. Побудовано моделі, де асимптотичний опис знайдено в явному вигляді. Зроблено узагальнення результату на випадок більш складної структури вихідної ріманової поверхні.

2. Вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на 4-вимірних псевдоріманових многовидах, коли структура многовиду ускладнюється. Одержано усереднений опис таких форм. Як наслідок, отримано результат усереднення задачі Коші для хвильового рівняння на многовидах складної мікроструктури. Наведено приклад, де усереднену модель знайдено в явному вигляді.

3. Досліджено задачу Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на 4-вимірних многовидах простору-часу. Одержано усереднену модель, що описує асимптотичну поведінку розв’язку цієї задачі, коли структура многовиду ускладнюється. Доведено, що густина електричного заряду виникає в системі рівнянь Максвела як результат усереднення. В термінах диференціальних форм цей результат дає асимптотичний опис гармонічних 2-форм із заданими періодами на псевдоріманових многовидах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. A.P.Pal-Val (A.P. Rybalko). Asymptotic behaviour of harmonic 1-forms on Riemannian surfaces. //Мат.физика, анализ, геометрия. – 1999. – т.6, N 3/4. – С.323-352.

2. E.Ya.Khruslov, A.P.Pal-Val (A.P. Rybalko). Homogenization of harmonic 1-forms on Riemannian surfaces of increasing genus. //Доповіді НАН України. – 2000. – N 2. – С.39-43.

3. Е.Я.Хруслов, А.П.Паль-Валь (А.П. Рыбалко). Усреднение уравнений Максвелла на многообразиях сложной микроструктуры. //Мат.физика, анализ, геометрия. – 2000. – т.7, N 1. – С.91-114.

4. А.П.Рыбалко. Усреднение гармонических 1-форм на псевдоримановых многообразиях сложной микроструктуры. // Мат.физика, анализ, геометрия. – 2004. – т.11, N 2. – С.249-257.

5. А.П.Рыбалко. Усреднение однородной системы уравнений Максвелла на римановых многообразиях сложной микроструктуры.// Тезисы докладов международной конференции "Теория функций и математическая физика", посвященной 100-летию Н.И.Ахиезера, Харьков, 13-17 августа. – 2001. – С.85-86.

6. A.P.Rybalko. Asymptotic behaviour of harmonic 1-forms on riemannian surfaces of increasing genus. // Тезисы докладов международной конференции "Обратные задачи и нелинейные уравнения", Харьков, 12-16 августа. – 2002. – С. 78.

7. А.П.Рыбалко. Усреднение уравнений волнового типа на многообразиях сложной микроструктуры. // Материалы X международной конференции им. академика М.Кравчука, Киев, 13-15 мая. – 2004. – С.216.

8. A.P. Rybalko Homogenization of harmonic forms on pseudo-Riemannian manifolds of complicated microstructure. // First Karazin Scientific Readings. Mathematical symposium. Book of abstracts. Kharkiv, June 14-16. – 2004. – P.38-39.

АНОТАЦІЯ

Рибалко А.П. Усереднення диференціальних форм на многовидах складної мікроструктури. – Рукопис. – Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 – математична фізика. – Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2005.

В дисертаційній роботі вивчено задачі усереднення диференціальних форм на многовидах складної мікроструктури.

Досліджено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на ріманових поверхнях, коли їх род зростає. Одержано усереднену модель, що суттєво відрізняється від вихідної.

Вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на 4-вимірних псевдоріманових многовидах, що мають складну мікроструктуру. Одержано рівняння, що описують головний член асимптотик. Знайдено усереднену задачу Коші для хвильового рівняння.

Досліджено асимптотичну поведінку розв’язків задачі Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на 4-вимірних многовидах спеціальної структури. Доведено, що густина електричного заряду з’являється в системі рівнянь Максвела в результаті усереднення.

Ключові слова: диференціальні форми, многовиди, граничні задачі, асимптотична поведінка, усереднені моделі.

АННОТАЦИЯ

Рыбалко А.П. Усреднение дифференциальных форм на многообразиях сложной микроструктуры. – Рукопись. – Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 – математическая физика. – Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2005.

В диссертационной работе изучены задачи усреднения дифференциальных форм на многообразиях сложной микроструктуры. Структура таких многообразий зависит от малого параметра и усложняется при . Метрика многообразий также зависит от . Полученные в результате усреднения, уравнения на базовых многообразиях существенно отличаются от исходных.

Впервые к задачам усреднения дифференциальных форм на многообразиях обратились Е.Я. Хруслов и Л.Буте де Монвель (1998). Были рассмотрены 1- и -формы на -мерных римановых многообразиях с ручками. Изучено асимптотическое поведение гармонических форм на при , когда число ручек неограниченно растет, а диаметры уменьшаются. Настоящая диссертация посвящена обобщению и продолжению этого исследования.

Во вводной главе диссертации приведены примеры многообразий сложной микроструктуры, рассматриваемых в работе. Также изложена абстрактная схема Е.Я. Хруслова – Л. Буте де Монвель изучения асимптотического поведения решений вариационных задач в гильбертовых пространствах, существенно использующаяся в диссертационной работе.

В первой главе диссертации рассмотрены компактные римановы поверхности , состоящие из некоторой базовой поверхности и большого числа присоединенных тонких ручек. Метрика и структура многообразия зависит от малого параметра . При общее число ручек, а значит, и род поверхности, неограниченно растет, в то время как радиусы ручек стремятся к нулю.

Базис одномерных гомологий на состоит из А-циклов, охватывающих ручки, и В-циклов, идущих вдоль них. Изучается асимптотическое поведение гармонических 1-форм с заданными А- и В-периодами на при . Получены усредненные уравнения на базовой поверхности , которые, в отличие от исходных, являются неоднородными и, вообще говоря, нелокальными.

В некоторых частных случаях коэффициенты усредненных уравнений найдены в явном виде.

Полученные результаты обобщены на случай, когда базовая поверхность состоит из нескольких экземляров поверхности .

Во второй главе рассмотрены 4-мерные псевдоримановы многообразия вида . Многообразия состоят из двух экземпляров евклидового пространства с большим числом дырок, попарно соединенных посредством тонких трубок. Зависимость от параметра такова, что при число трубок растет, а их толщина уменьшается. Исследуется асимптотическое поведение решения задачи Коши для гармонической 1-формы при . Получены усредненные уравнения на , описывающие главный член асимптотик.

Приведен пример построения усредненной модели в явном виде. Как приложение, получен результат усреднения задачи Коши для волнового уравнения.

В третьей главе рассмотрена задача Коши для однородной системы уравнений Максвелла на 4-мерных многообразиях пространства-времени специального вида. состоят из экземпляров пространства с большим числом дырок, соединенных тонкими трубками. Зависимость от параметра такова, что при число трубок растет, а их толщина уменьшается. Потоки электрического поля через трубки предполагаются заданными.

Это исследование мотивировано концепцией Дж. Уиллера, согласно которой электромагнитные поля существуют во Вселенной свободными от зарядов и токов. При этом моделью Вселенной служат многообразия с ручками, а потоки поля через ручки интерпретируются как заряды.

Изучено асимптотическое поведение электромагнитного поля без зарядов и токов на при . Показано, что в результате усреднения в уравнениях Максвелла возникает заряд.

В терминах дифференциальных форм этот результат дает асимптотическое описание гармонических 2-форм с заданными периодами на многообразии при .

Ключевые слова: дифференциальные формы, многообразия, краевые задачи, асимптотическое поведение, усредненные модели.

ABSTRACT

Rybalko A.P. Homogenization of differential forms on manifolds of complicated microstructure. – Manuscript. – The thesis for the scientific degree of candidate in physics and mathematics by speciality 01.01.03 – mathematical physics. – B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2005.

The thesis deals with differential 1- and 2-forms on manifolds of complicated microstructure.

The asymptotic behaviour of harmonic 1-forms on Riemannian surfaces of increasing genus is studied. The homogenized model describing the main term of the asymptotics is obtained.

The homogenized description of harmonic 1-forms on 4-dimensional pseudo-Riemannian manifolds of complicated microstructure is obtained. The asymptotic behaviour of the solution of the initial problem for wave equation is studied.

The solution the initial problem for Maxwell equations on the special space-time manifolds is investigated. It is proved that the density of electric charge appears in Maxwell equations as the result of homogenization.

Key words: differential forms, manifolds, boundary-value problems, asymptotic behaviour, homogenized models.