НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ
Севостьянов Євген Олександрович
УДК 517. 5
ДО теорІЇ ЗБІЖНОСТІ просТОРОВИХ ВІДОБРАЖЕНЬ ЗІ
СКІНЧЕННИМ СКРИВЛЕННЯМ дОВЖИНИ
01.01.01 математичний аналіз
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико–математичних наук
Донецьк 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки
НАН України.
Науковий керівник: доктор фізико–математичних наук,
Рязанов Володимир Ілліч,
Інститут прикладної математики і механіки
НАН України, завідувач відділу теорії функцій.
Офіційні опоненти: доктор фізико–математичних наук, професор
Міклюков Володимир Михайлович,
Волгоградський державний університет,
професор кафедри математичного аналізу
і теорії функцій;
кандидат фізико–математичних наук,
Заставний Віктор Петрович ,
Донецький національний університет, доцент
кафедри математичного аналізу і теорії функцій.
Провідна установа: Інститут математики НАН України (м. Київ),
відділ комплексного аналізу і теорії потенціалу.
Захист відбудеться 22.02.2006 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург,74.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург,74.
Автореферат розісланий 27.12.2005 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради _________________ Чані О. С.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. В останнє десятиріччя у роботах провідних спеціалістів з теорії відображень інтенсивно вивчаються різні класи відображень зі скінченним скривленням. Серед них можна виділити роботи К. Астала, Е. Віламора, Ф. Герінга, Т. Іванця, П. Коскели, Дж. Манфреді, Г. Мартіна, О. Мартіо, У. Сребро, В. Рязанова, Е. Якубова та ін. Відображення зі скінченним скривленням довжини нещодавно були введені В.І. Рязановим та вивчались ним сумісно з О. Мартіо, У. Сребро та Е. Якубовим. Вони становлять значно більш широкий клас, ніж непостійні квазірегулярні відображення. Наприклад, довільний гомеоморфізм класу з є гомеоморфізмом зі скінченним скривленням довжини. У дисертації розглянуто топологічні аспекти зазначених відображень, тобто різні проблеми збіжності, нормальності та компактності сімей відображень.
До появлення класів відображень скінченного скривлення активно вивчалися квазіконформні відображення. Останні були введені у роботах Г. Греча та М. О. Лаврентьєва у двадцяті роки минулого сторіччя. Їх властивості вивчалися такими математиками, як Л. Альфорс, П.П. Бєлінський, Л. Берс, І.Н. Векуа, Ю.Вяйсяля, Ф. Герінг та ін. Пізніше Ю.Г. Решетняком були введені так звані відображення з обмеженим скривленням, або квазірегулярні відображення. В останні роки широке коло спеціалістів досліджує саме властивості відображень скінченного скривлення.
Хоча відображення скінченного скривлення довжини можуть, взагалі кажучи, не бути квазірегулярними, а тим більше, квазіконформними, вони мають чимало спільних з ними властивостей, що є корисними при доведені багатьох теорем. Наприклад, відображення зі скінченним скривленням довжини мають –властивість Лузіна, вони диференційовані майже всюди в області визначення, абсолютно безперервні на лініях і т. д. Зокрема, кожний гомеоморфізм скінченного скривлення довжини є так званим –гомеоморфізмом, що дає можливість досить широко використовувати модульну та ємнісну техніку. Концепція –гомеоморфізма була запропонована у 2001 році Оллі Мартіо та вивчалася також А. Ігнатьєвим , В. Рязановим, У. Сребро та Е. Якубовим.
У дисертації вивчається більш широкий клас кільцевих –гомеоморфізмів, дано точний опис цього класу. На цій основі отримано критерій того, що відображення є кільцевим гомеоморфізмом, для цього класу доведені теореми нормальності сімей. Отримано теорему про збіжність сильних кільцевих гомеоморфізмів.
У дисертації для гомеоморфізмів скінченного скривлення довжини отримано узагальнений та посилений варіант теорем збіжності, що раніше були відомі лише для квазірегулярних відображень. Як наслідок теорем збіжності і нормальності, в останній главі доведені теореми компактності класів. Зокрема, доведено замкненість деякого підкласу функцій скінченного скривлення довжини.
Саме питання, пов’язані з нормальністю і компактністю сімей, як відомо, відіграють дуже важливу роль в теорії відображень. Що стосується доведених у дисертаційній роботі теорем збіжності, вони, в основному, стосуються дослідження зв’язків між локально рівномірною збіжністю та поведінкою так званих дилатацій. Як відомо, це питання також є одним з найважливіших. Зокрема, саме за допомогою теорем збіжності можна отримувати нові достатні умови замкненості та компактності.
Розглянуті також деякі інші проблеми, такі, як збіжність матричних дилатацій, різноманітні оцінки скривлення, зв’язок з –гомеоморфізмами та функціями скінченного середнього коливання та ін.
Як застосування розвинутої теорії, отримано серію теорем про існування розв’язків квазілінійного рівняння Бельтрамі.
Результати дисертаційної роботи та методи, що використані при їх доведені, можуть бути застосовані для широкого класу відображень і, зокрема, до відображень скінченного скривлення за Т. Іванцем.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках теми "Варіаційно–параметричні та секвенціальні методи в геометричній теорії функцій та нелінійному аналізі " (шифр теми – 1.1.4.2 , номер теми по плану інституту – 2).
Мета і задачі дослідження. Об’єктом дослідження дисертаційної роботи є відображення зі скінченним скривленням довжини в та близькі до них класи функцій – кільцеві – гомеоморфізми та –гомеоморфізми. Предмет дослідження – топологічні питання теорії відображень – збіжність, нормальність, компактність. Мета роботи – знайти нові умови, що забезпечують нормальність та замкненість сімей відображень скінченного скривлення довжини, а також дослідити поведінку дилатацій цих відображень при локально рівномірній збіжності.
Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями:
дано опис кільцевих –гомеоморфізмів;
отримано оцінки скривлення сферичної відстані при кільцевих –гомеоморфізмах;
знайдено достатні умови, за якими сім’я кільцевих – гомеоморфізмів є нормальною;
доведено, що локально рівномірною границею сильних кільцевих –гомеоморфізмів з локально сумованою функцією є сильний кільцевий –гомеоморфізм або постійна;
для відображень скінченного скривлення довжини отримано узагальнені та посилені варіанти теорем збіжності, відомих раніше лише для квазіконформних та квазірегулярних відображень;
отримано нові теореми замкнення та компактності щодо різних класів просторових –гомеоморфізмів.
отримано серію нових теорем про існування регулярних –гомеоморфних розв’язків щодо квазілінійного рівняння Бельтрамі з виродженням.
Особистий внесок дисертанта. Визначення загального плану напрямку досліджень дисертації і постановка задач належить науковому керівнику В.І. Рязанову. Формулювання та доведення всіх результатів дисертації проведено автором.
Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Отримані результати та методика, яка була використана, можуть бути застосовані для подальших досліджень в теорії просторових відображень.
Апробація результатів дисертації.
Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на Міжнародній конференції з аналізу та геометрії, присвяченій 75–річчю з дня народження академіка РАН Ю.Г. Решетняка, м. Новосибірськ, 2004 р.
Крім того, результати роботи доповідалися:–
на науковому семінарі відділу теорії функцій ІПММ НАН України, м. Донецьк, 2003–2005 р.р. – керівник семінару д.ф.–м.н. Рязанов В.І.;–
на науковому семінарі кафедри статистики Академії митної служби України, м. Дніпропетровськ, 2005 р. – керівник семінару д.ф.–м.н., проф. Вакарчук C.Б.;–
на науковому семінарі кафедри математичного аналізу і теорії функцій ДонНУ "Аналіз Фур’є та теорія наближення функцій," м. Донецьк, 2005 р. – керівник д.ф.–м.н., проф.. Тригуб Р.М.;–
на науковому семінарі відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу, Інститут математики НАН України, м. Київ, 2005 р. – керівник д.ф.–м.н. Ю.Б. Зелінський.
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1–6], препринті [7] та тезах конференції [8].
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 113 сторінках і містить вступ, основну частину з трьох розділів, висновки, список літератури. Список використаної літератури складається з 147 джерел.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Дисертаційна робота складається із вступу і трьох розділів.
У першому розділі знайдено критерій, коли відображення є кільцевим -гомеоморфізмом без використання допустимих функцій. Також тут отримано ряд теорем щодо нормальності сімей так званих кільцевих –гомеоморфізмів. Зокрема, ці результати розповсюджуються і на відображення зі скінченним скривленням довжини. Ці теореми становлять базу для результатів третього розділу та мають самостійний науковий інтерес. Введемо означення і позначення.
Всюди за текстом – область в , .
Модулем сім’ї кривих в зветься величина
.
Нагадаємо, що борелівська функція зветься допустимою для сім’ї кривих в , пишемо , якщо
.
Нехай – вимірна за Лебегом функція. Гомеоморфізм зветься гомеоморфізмом, якщо
для довільної сім’ї кривих в області і для довільної функції .
гомеоморфізми були введені фінським професором Оллі Мартіо у 2001 році.
Нехай – довільні множини. Означимо через сім’ю кривих , що з’єднують та в області , тобто , та при . Припустимо , якщо .
Кільцевою областю, або кільцем називається двозв’язна область в . Нехай – кільце в . Припустимо, що – зв’язні компоненти множини . У цьому випадку будемо писати:
.
Ємністю кільця назвемо величину
.
Припустимо
,
Нехай і нехай вимірна за Лебегом функція, . Наступне означення узагальнює поняття гомеоморфізму за Мартіо та мотивоване кільцевим визначенням квазіконформності за Герінгом.
Гомеоморфізм зветься кільцевим гомеоморфізмом у точці , якщо співвідношення
виконано для довільного кільця , , та для довільної невід’ємної вимірної функції , такої, що
.
Гомеоморфізм зветься кільцевим гомеоморфізмом в області , якщо він є кільцевим гомеоморфізмом у кожній точці .
гомеоморфізми та кільцеві гомеоморфізми – це просторові відображення, що спотворюють модулі сімей кривих контролюючим чином. Контроль здійснює функція , від інтегральних властивостей якої залежать властивості самого відображення.
З наведених означень виходить, що кожен гомеоморфізм є одночасно і кільцевим гомеоморфізмом, але не навпаки. За результатами О. Мартіо, В. Рязанова, У. Сребро та Е. Якубова, кожен гомеоморфізм скінченного скривлення довжини є гомеоморфізмом (а, отже, і кільцевим гомеоморфізмом) з , де – так звана внутрішня дилатація відображення у точці . Зокрема, приклади гомеоморфізмів доставляють усі непостійні квазірегулярні відображення та гомеоморфізми класу з .
Теорема 1.1.1. Гомеоморфізм , , є кільцевим гомеоморфізмом у точці , тоді і тільки тоді, коли
,
де – площа сфери в , , – середнє значення функції на сфері .
Далі ми використовуємо сферичну (хордальну) відстань у :
,.
Теорема 1.2.1. Нехай , , кільцевий гомеоморфізм, такий, що . Тоді, для довільного і довільного , в шарі має місце співвідношення
.
Нагадаємо декілька означень стосовно нормальності сімей відображень між метричними просторами.
Нехай , – метричні простори, з метриками та , відповідно.
Сім’я безперервних відображень називається нормальною, якщо з довільної послідовності можна виділити підпослідовність , що збігається локально рівномірно в до деякої безперервної функції .
Тут ми говоримо, що послідовність збігається локально рівномірно в до безперервної функції , якщо
при на довільному компакті .
Введене означення дуже стисло пов’язано з наступним. Сім’я безперервних відображень зветься одностайно неперервною у точці , якщо для довільного існує , таке, що для всіх і для всіх . Кажуть, що сім’я безперервних відображень одностайно неперервна в , якщо вона одностайно неперервна у кожній точці .
Усі теореми нормальності, які ми доводимо у першій главі, отримані за основою наступного твердження, котре є однією з версій відомої теореми Арцела–Асколі.
Лема 1.3.5. Якщо – сепарабільний, а – компактний метричний простори, то сім’я відображень є нормальною тоді і тільки тоді, коли ця сім’я одностайно неперервна в .
Нехай – вимірна функція. Позначимо через сім’ю усіх кільцевих гомеоморфізмів , з .
Нехай далі означає середнє значення функції на сфері , а означає евклідову відстань від точки до межі області .
Теорема 1.3.1. утворює нормальну сім’ю відображень, якщо співвідношення
справедливо у кожній точці .
Наслідок 1.3.7. утворює нормальну сім’ю відображень, якщо співвідношення
справедливо у кожній точці .
Наслідок 1.3.8. утворює нормальну сім’ю відображень, якщо співвідношення
при справедливо у кожній точці .
Говорять, що локально інтегрована функція має скінченне середнє коливання у точці , скорочено , якщо
,
де
.
Говорять, що локально інтегрована функція має скінченне середнє коливання в області , скорочено , якщо ця функція має скінченне середнє коливання у кожній точці .
Функції скінченного середнього коливання були введені А. Ігнатьєвим та В. Рязановим у 2002 році. Вони є природним узагальненням функцій обмеженого середнього коливання за Джоном–Ніренбергом (1961 р.). Добре відомі достатні умови, за якими функція має скінченне середнє коливання у точці. Наприклад, , якщо
справедливо у кожній точці .
Теорема 1.3.2. утворює нормальну сім’ю відображень, якщо в області .
Наслідок 1.3.9. утворює нормальну сім’ю відображень, якщо для кожного справедливо співвідношення:
.
Наслідок 1.3.10. утворює нормальну сім’ю відображень, якщо кожна точка є точкою Лебега функції , тобто
.
Дослідження другого розділу присвячені отриманню теорем збіжності щодо кільцевихгомеоморфізмів, а також відображень скінченного скривлення довжини. Слід відмітити, що теореми збіжності, в основному, розуміються в тім сенсі, що досліджується поведінка будь–яких дилатацій при локально рівномірній збіжності відображень. Частина отриманих результатів є узагальненням теорем збіжності Берса–Боярського, Штребеля, Мартіо–Гутлянського–Рязанова–Вуорінена для квазіконформних і квазірегулярних відображень.
Сформулюємо основні результати цього розділу.
Гомеоморфізм зветься сильним кільцевим гомеоморфізмом у точці , якщо співвідношення
для довільних континуумів , в та довільної .
Теорема 2.1.1. Нехай – послідовність сильних кільцевих гомеоморфізмів з , яка збігається локально рівномірно до деякого відображення . Тоді або сильний кільцевий гомеоморфізм, або в .
Навіть у випадку конформних відображень останній випадок можливий:
.
Для відображення , що має в часткові похідні майже всюди (м.в.), нехай означає матрицю Якобі відображення у точці , якобіан у точці , тобто . Всюди далі
–
матрична норма . Нехай, крім того,
Нагадаємо, що зовнішня дилатація відображення у точці є величина
,
якщо , , якщо і в інших випадках. Аналогічно, внутрішня дилатація є величина
,
якщо , , якщо і в інших випадках.
Максимальна дилатація визначається як
Нагадаємо, що відображення між вимірними просторами та має – властивість Лузіна, якщо як тільки . Аналогічно, має – властивість, якщо як тільки .
Нехай , . Припустимо
,
.
Безперервне відображення , , зветься відображенням зі скінченним метричним скривленням, скорочено , якщо воно має – властивість Лузіна і для м.в.
.
Нехай – відкритий інтервал числової прямої, – локально спрямована крива. Тоді існує єдина неспадна функція довжини з умовою , , така що значення дорівнює довжині підкривої кривої , якщо і , якщо , . Нехай – безперервне відображення, де . Припустимо, що крива теж локально спрямована. Тоді існує єдина неспадна функція така, що
.
Будемо говорити, що відображення має властивість, якщо виконані наступні умови:
для м.в. кривих крива локально спрямована і функція має властивість;
для м.в. кривих кожне підняття кривої локально спрямоване і функція має властивість.
Ми кажемо, що деяка властивість виповнюється щодо майже всіх (м.в.) кривих області , якщо вона має місце для всіх кривих цієї області, крім, мабуть, деякої сім’ї кривих, модуль якої дорівнює нулю.
Ми кажемо, що крива є підняттям кривої при відображенні , якщо .
Відображення , , зветься відображенням зі скінченним скривленням довжини, скорочено , якщо і має властивість.
Клас відображень скінченного скривлення довжини нещодавно був введений В. Рязановим та вивчався ним сумісно з О. Мартіо, У. Сребро та Е. Якубовим. Згідно з їх результатами, довільний гомеоморфізм класу з має скінченне скривлення довжини. Довільне непостійне квазірегулярне відображення також належить класу . Відображення скінченного скривлення довжини є диференційованими майже всюди в області визначення, вони належить класу , мають – властивість та багато інших властивостей.
Щодо відображень скінченного скривлення довжини, отримані наступні теореми збіжності.
Теорема 2.2.1. Нехай – послідовність гомеоморфізмів скінченного скривлення довжини, що збігається локально рівномірно до гомеоморфізму скінченного скривлення довжини . Якщо
,
тоді
.
Припустимо
.
Теорема 2.2.2. Нехай – послідовність гомеоморфізмів скінченного скривлення довжини, що збігається локально рівномірно до гомеоморфізму скінченного скривлення довжини . Нехай – довільна випукла не спадна функція і нехай
де .
Тоді для довільної вимірної множини з виконано співвідношення:
.
У цій теоремі показник ступеня , що входить до величини є точним – при показниках, менших , теорема не є вірною.
У другому розділі доведені так звані теореми матричної збіжності.
Нехай – відображення скінченного метричного скривлення. Матричною дилатацією зветься наступна величина:
,
якщо регулярна точка відображення і у протилежному випадку. Має місце такий результат.
Теорема 2.3.1. Нехай – послідовність гомеоморфізмів скінченного скривлення довжини, що збігається локально рівномірно до – гомеоморфізму . Нехай та – матричні дилатації відображень та , відповідно. Припустимо, що і що
м.в.
для деякої послідовності ортогональних матриць . Тоді
м.в.
для деякої ортогональної матриці .
Дилатаційним тензором відображення у точці називається величина
.
Наслідок 2.3.1. Нехай – послідовність гомеоморфізмів скінченного скривлення довжини, що збігається локально рівномірно до гомеоморфізму скінченного скривлення довжини . Нехай та – дилатаційні тензори відображень та , відповідно. Припустимо, що і що
м.в.
Тоді
м.в.
Третій розділ ґрунтується на двох попередніх. За допомогою результатів, що доведені у розділах 1 та 2, ми отримаємо теореми компактності класів скінченного скривлення довжини.
Відображення , , зветься абсолютно неперервним на лініях, пишемо , якщо у довільному –мірному паралелепіпеді з ребрами, паралельними осям координат і такому, що усі координатні функції абсолютно неперервні на майже всіх прямих, паралельних осям координат.
Нехай та – області в , , і нехай , – вимірні за Лебегом функції. Позначимо через клас усіх гомеоморфізмів , таких, що
м.в.,
м.в.
Теорема 3.2.1. Якщо та , то і формує замкнутий підпростір простору усіх гомеоморфізмів , наділеного топологією локально рівномірної збіжності.
Нехай , – функції класу . Позначимо через клас усіх гомеоморфізмів , з умовами , , де і таких, що
м.в.,
м.в.
На основі Теореми 3.2.1, за допомогою отриманих вище достатніх умов нормальності та теорем збіжності, маємо такі теореми компактності.
Нехай далі означає середнє значення функції на сфері.
Теорема 3.2.2. утворює компактну сім’ю відображень, якщо співвідношення
справедливо у кожній точці .
Теорема 3.2.5. утворює компактну сім’ю відображень, якщо функція має в кожній точці логарифмічні особливості порядку не вище, ніж .
Теорема 3.2.3. утворює компактну сім’ю відображень, якщо в області .
Теорема 3.2.4. утворює компактну сім’ю відображень, якщо для кожного справедливо співвідношення:
.
Наслідок 3.2.6. утворює компактну сім’ю відображень, якщо кожна точка
є точкою Лебега функції , тобто
.
Нехай – відкритий одиничний круг і нехай – область у комплексній плоскості . Рівняння вигляду
зветься рівнянням Бельтрамі. Тут , , , – вимірна функція, що зветься комплексною характеристикою. Відомо, що довільний зберігаючий орієнтацію гомеоморфізм задовольняє рівнянню Бельтрамі з .
Рівняння вигляду
,
де , зветься квазілінійним рівнянням Бельтрамі.
Відомим математиком Б.В. Боярським доведені теореми існування розв’язку цього рівняння при .
Говорять, що функція задовольняє умові Каратеодорі, якщо вимірна по при кожному фіксованому та неперервна по при м.в. .
Теорема 3.3.1. Нехай функція задовольняє умові Каратеодорі і нехай
.
Якщо
,
де і
,
то рівняння має регулярний гомеоморфний розв’язок.
Тут розв’язок зветься регулярним, якщо м.в.
Наслідок 3.3.1. Нехай функція задовольняє умові Каратеодорі і нехай
,
де
.
Тоді рівняння має регулярний гомеоморфний розв’язок.
Теорема 3.3.2. Нехай функція задовольняє умові Каратеодорі і нехай
.
Тоді рівняння
має регулярний гомеоморфний розв’язок.
Наслідок 3.3.2. Нехай функція задовольняє умові Каратеодорі і нехай
,
де
.
Тоді рівняння
має регулярний гомеоморфний розв’язок.
ВИСНОВКИ
У процесі дослідження одержано такі основні результати:
знайдено ефективний критерій того, що відображення є кільцевим –гомеоморфізмом;
знайдено оцінки скривлення сферичної відстані при кільцевих –гомеоморфізмах;
знайдено достатні умови, за якими сім’я кільцевих – гомеоморфізмів є нормальною;
доведено, що локально рівномірною границею сильних кільцевих –гомеоморфізмів з локально сумованою функцією є сильний кільцевий –гомеоморфізм або постійна;
для відображень скінченного скривлення довжини отримано узагальнені та посилені варіанти теорем збіжності, відомих раніше лише для квазіконформних та квазірегулярних відображень;
отримано теореми замкнення та компактності для класів відображень зі скінченним скривленням довжини;
отримано серію теорем про існування регулярних –гомеоморфних розв’язків щодо квазілінійного рівняння Бельтрамі з виродженням.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Рязанов В.И. и Севостьянов Е.А. О нормальных семействах пространственных отображений // Доклады НАН Украины. – 2004. – 3.– С. 19–24.
2. Ryazanov V.I. and Sevost’yanov E.A. On normal families of – homeomorphisms // Труды ИПММ НАН Украины. – 2004. – Т.9. – С. 161–176.
3. Cевостьянов Е.А. О сходимости пространственных гомеоморфизмов класса Соболева // Труды ИПММ НАН Украины. – 2004. – Т.9. – С. 175–180.
4. Севостьянов Е.А. К теории сходимости пространственных гомеоморфизмов класса Соболева // Доклады НАН Украины. – 2005. – 10. – С. 40–41.
5. Севостьянов Е.А. О теоремах сходимости отображений с конечным искажением длины // Труды ИПММ НАН Украины. – 2005. – Т.10. – С. 173–183.
6. Севостьянов Е.А. О замкнутости и компактности семейств пространственных отображений // Труды ИПММ НАН Украины.– 2005. – Т.11.– С. 173183.
7. Ryazanov V., Sevost’yanov E. To the theory of normal families of space mappings, 2003, 13 pp., Reports of Dept. Math. Univ. Helsinki, 2003.367.
8. Рязанов В. и Севостьянов Е. Нормальные семейства пространственных отображений // Международная конференция по анализу и геометрии, посвященная 75–летию академика РАН Ю.Г. Решетняка, Новосибирск, Россия, Тезисы. – 2004. – С. 224–225.
АНОТАЦІЇ
Севостьянов Є.О. До теорії збіжності просторових відображень зі скінченним скривленням довжини.–Рукопис.
Дисертація присвячена топологічним аспектам теорії просторових відображень, які активно вивчаються в останні роки багатьма провідними спеціалістами з теорії функцій. Основними об’єктами дисертації є відображення зі скінченним скривленням довжини та так звані кільцеві гомеоморфізми. При вивченні зазначених класів відображень широко застосовувалася модульна техніка та теорія функцій скінченного середнього коливання. Доведено низку нових теорем збіжності, нормальності та компактності.
Ключові слова: відображення зі скінченним скривленням довжини, гомеоморфізми, скінченне середнє коливання, модульна техніка, нормальність, замкненість, компактність.
Севостьянов Е.А. К теории сходимости пространственных отображений с конечным искажением длины. – Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико–математических наук по специальности 01.01.01–математический анализ.– Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2005 г.
Диссертация посвящена топологическим аспектам теории пространственных отображений с конечным искажением, которые активно изучаются в последние годы многими ведущими специалистами по теории функций. Основными объектами диссертации являются отображения с конечным искажением длины и так называемые кольцевые гомеоморфизмы. При изучении указанных классов отображений широко применяется модульная техника и теория функций конечного среднего колебания. Доказан ряд новых теорем нормальности, замкнутости и компактности.
К основным результатам диссертации можно отнести следующие:
найден эффективный критерий, когда отображение является кольцевым –гомеоморфизмом;
найдены оценки искажения сферического расстояния при кольцевых –гомеоморфизмах;
найдены достаточные условия, при которых семейство кольцевых – гомеоморфизмов нормально;
доказано, что локально равномерным пределом кольцевых –гомеоморфизмов с локально суммируемой функцией является сильный кольцевой –гомеоморфизм или постоянная;
для отображений конечного искажения длины обобщены и усилены варианты теорем сходимости, известных раньше только для квазиконформных и квазирегулярных отображений;
получены теоремы замыкания и компактности для классов отображений конечного искажения длины;
получена серия теорем о существовании регулярных –гомеоморфных решений квазилинейных уравнений Бельтрами с вырождением.
Ключевые слова: отображения с конечным искажением длины, гомеоморфизмы, конечное среднее колебание, модульная техника, нормальность, замкнутость, компактность.
Sevost'yanov E.A. To the theory of convergence of space mappings with finite length distortion.– Manuscript.
The dissertation is devoted to topological aspects of the theory of space mappings with finite distortion which are actively studied during the last years by many leading experts in the function theory. The main objects of the dissertation are mappings with finite length distortion and the so–called ring homeomorphisms. Under the study of the given mapping classes it is used the modulus techniques and the theory of functions with finite mean oscillation. It is proved a series of new theorems on convergence, normality and compactness.
Key words: mappings with finite distortion, homeomorhpisms, finite mean oscillation, modulus technique, normality, insularity, compactness.
