Київський Національний університет імені Тараса Шевченка

ШЕВЧЕНКО Георгій Михайлович

УДК 519.21

ВЛАСТИВОСТІ РОЗВ’ЯЗКІВ СТОХАСТИЧНИХ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ У ГІЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРІ

01.01.05 – теорія ймовірностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі теорії ймовірностей і математичної

статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук

МІШУРА Юлія Степанівна,

завідувач кафедри теорії ймовірностей

і математичної статистики

механіко-математичного факультету

Київського національного університету

імені Тараса Шевченка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

БУЛДИГІН Валерій Володимирович,

завідувач кафедри математичного аналізу

та теорії ймовірностей

Національного технічного університету України;

доктор фізико-математичних наук

МАХНО Сергій Якович,

завідувач відділу теорії ймовірностей

і математичної статистики

Донецького інституту прикладної математики

і механіки НАН України

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова

НАН України, м. Київ

Захист відбудеться “19” грудня 2005 р. о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка

(03022, м. Киів-22, пр-т Глушкова, 6, механіко-математичний факультет).

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного

університету імені Тараса Шевченка за адресою:

м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розіслано “16” листопада 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено задачам наближеного розв’язування стохастичних диференціальних рівнянь. Таким чином, робота є науковим дослідженням в галузі теорії випадкових процесів.

Концепція стохастичного диференціального рівняння (СДР) виникла при розгляді механічних систем, що перебувають під дією випадкових сил. Пізніше виявилося, що стохастичні диференціальні рівняння виникають при моделюванні багатьох різних фізичних, хімічних і біологічних явищ, що містять випадковість, а також при моделюванні процесів на фінансових ринках, потоків страхових виплат, тощо. Не менш важливу роль стохастичні диференціальні рівняння відіграють у математичній фізиці.

Вперше такі рівняння було розглянуто С. Н. Бернштейном, якому і належить цей термін. У сучасному вигляді стохастичні диференціальні рівняння було введено К. Іто (і незалежно І. І. Гіхманом). Подальшого розвитку теорія набула в роботах І. І. Гіхмана і А. В. Скорохода. У роботах М. Каца було доведено, що розв’язок стохастичного диференціального рівняння пов’язаний із задачею Коші для відповідного рівняння теплопровідності, що значно підвищило інтерес до дослідження стохастичних диференціальних рівнянь. Рівняння у гільбертовому просторі було введено і розглянуто вперше в роботах В. В. Баклана, Т. Л. Чантладзе, Ю. Л. Далецького.

Основним методом наближеного розв’язування стохастичних диференціальних рівнянь є метод дискретизації часу. Він полягає у тому, що відрізок, на якому розглядається рівняння, розбивається на менші відрізки, на кожному з яких коефіцієнти рівняння і сам розв’язок при його підстановці у коефіцієнти вважаються сталими. Ідея наближеного розв’язування СДР методом, аналогічним методу ламаних Ейлера вперше виникає в статті Г. МаруямаMaruyamaContinuous Markov processes and stochastic equationsRend. Circ. Mat. Palermo). — 1955. — Vol. . — P. –90. (тому апроксимації Ейлера для СДР називають інколи апроксимаціями Ейлера–Маруяма). Теорію апроксимації скінченних систем СДР з регулярними коефіцієнтами можна вважати закінченою. Найбільш повно її викладено у монографіях Г. Н. МільштейнаМильштейн Г. Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. — Изд-во Уральского ун-та, 1988. — 224с. , П. Е. Клодена і Е. ПлатенаKloedenPlaten E. Numerical solution of stochastic differential equations. (Applications of Mathematics, ). — Berlin: Springer-Verlag, 1992. — xxxvi, 632 та у підручниках Д. Ф. КузнєцоваКузнецов Д. Ф. Некоторые вопросы численного решения сто-хас-ти-чес-ких дифференциальных уравнений. — С.-П.: Изд-во Санкт-Петербургского технического ун-та, 1998. — 204с. , П. Е. Клодена, Е. Платена і Е. ШурцаKloedenPlatenSchurzNumerical solution of SDE through computer experiments. (Universitext). — Berlin: Springer-Verlag, 1994. — xiv, 292 . У монографії Е. ШурцаSchurz H. Numerical analysis of stochastic differential equations without tears. — Handbook of stochastic analysis and applications. (Stat. Textb. Monogr. 163). — New York, NY: Marcel Dekker, 2001. — P. –359. наведено майже повну на час виходу бібліографію за цією тематикою.

Найбільш цікавим для нескінченновимірних рівнянь є випадок, коли у коефіцієнті зсуву присутній необмежений оператор, бо у перенесенні результатів на рівняння з регулярними коефіцієнтами немає складнощів. Якщо цей оператор — диференціальний, то рівняння стає частковим випадком стохастичного диференціального рівняння з частковими похідними, і таке питання є добре дослідженим. У загальному випадку апроксимаціям таких нескінченновимірних стохастичних диференціальних рівнянь і рівнянь Іто–Вольтерра присвячено невелику кількість робіт.

Що стосується упереджуючих СДР, то результатів щодо швидкості збіжності зовсім мало, це пов’язано в першу чергу з малою кількістю результатів про існування і єдиність розв’язку для таких рівнянь.

Таким чином, задачі, що розглядаються у дисертації, є актуальними з точки зору знаходження методів наближеного розв’язку нескінченновимірних стохастичних диференціальних рівнянь, та застосувань цих методів до моделювання випадкових процесів у фізиці, хімії, біології, фінансовій математиці, чисельного розв’язку рівнянь математичної фізики.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках держбюджетної дослідницької теми № 01БФ038-06 “Розвиток теорії випадкових полів та динамічних систем на алгебраїчних структурах”, що виконується на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського Національного університету імені Тараса Шевченка і входить до програми “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації 0101U002472).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розв’язання таких задач теорії випадкових процесів, як:*

дослідження властивостей розв’язків СДР у гільбертовому просторі;*

побудова апроксимацій за допомогою методу дискретизації часу для СДР у гільбертовому просторі і знаходження швидкості збіжності цих апроксимацій;*

побудова скінченновимірних апроксимацій рівнянь у нескінченновимірному просторі;*

побудова апроксимацій СДР з необмеженими коефіцієнтами розв’язками рівнянь з обмеженими коефіцієнтами;*

побудова приблизних і наближених розв’язків СДР з упередженням;*

отримання нових апроксимаційних формул для напівгруп і еволюційних сімей операторів.

Методика дослідження. Методами дослідження є стохастичний аналіз, а саме: методи стохастичного інтегрування, мартингальні методи і теорія випадкових процесів, та методи функціонального аналізу, а саме: теорія напівгруп, теорія операторів, тощо.

Наукова новизна одержаних результатів.*

Отримано результати про швидкість збіжності апроксимацій за схемами Ейлера і Мільштейна для напівлінійних рівнянь еволюційного типу з необмеженим оператором та рівнянь Іто–Вольтерра у гільбертовому просторі.*

Отримано результати про збіжність скінченновимірних апроксимацій роз-в’язків СДР у гільбертовому просторі.*

Отримано швидкість збіжності апроксимацій розв’язків СДР з необмеженим зсувом розв’язками рівнянь з обмеженими коефіцієнтами.*

Доведено існування приблизних розв’язків СДР з упередженням.*

Побудовано апроксимації квазілінійних СДР з упередженням і отримано результати про швидкість їх збіжності.*

Отримано нові апроксимаційні формули для напівгруп.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має як теоретичне, так і практичне значення. Теоретична цінність роботи полягає в розробці необхідного математичного апарату, а саме: наближених розв’язків СДР. Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що їх можна використати на практиці при дослідженні явищ, що моделюються за допомогою СДР: фізичних, біологічних, хімічних процесів, котировок акцій тощо.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи одержано здобувачем самостійно. У спільних статтях співавтору проф. Мішурі Ю. С. належать постановка задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах кафедри теорії ймовірностей і математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей Національного технічного університету України “КПІ”, інституту математики при університеті Гумбольдта (Берлін), відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Донецького інституту прикладної математики і механіки НАН України, відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України; на міжнародних конференціях: “Workshop on SDEs and SPDEs: Nume-rical methods and applications” (Едінбург, Велика Британія, 2003), “Functional methods in approximation theory, operator theory, stochastic analysis and statistics” (Київ, 2004), “Колмогоров и современная математика” (Москва, 2003), “Диференціальні рівняння та їх застосування” (Київ, 2005), “Modern problems and new trends in probability theory” (Чернівці, 2005).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 5 статей у фахових виданнях [1-5] та 4 тези доповідей на конференціях [6-9].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації становить 135 сторінок, список використаних джерел займає 16 сторінок і містить 120 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Перший розділ містить короткий історичний огляд літератури за тематикою дисертації та висвітлює сучасний стан вивчення проблем, схожих до тих, що розглядаються в дисертаційній роботі.

В другому розділі розглядаються апроксимації за допомогою дискретизації часу для стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі. У всьому розділі позначає сепарабельний гільбертів простір, і — відповідно простори лінійних операторів і операторів Гільберта–Шмідта на ,  — ймовірнісний простір,  — потік -алгебр,  — -уз-годже-ний циліндричний вінерівський процес в . Отримано результати про швидкість збіжності апроксимацій для рівнянь типу Іто–Вольтерра

(1)

та для напівлінійних рівнянь еволюційного типу

(2)

з (можливо) необмеженим оператором .

У підрозділі 2.1 розглядаються апроксимації за схемою Ейлера для цих рівнянь. У пункті 2.1.1 розглядається особливо прозорий випадок рівняння (2) у якому . За стандартних припущень доведено, що швидкість збіжності така сама, як і у скінченновимірному випадку.

В пункті .1.3 розглядається рівняння Іто–Вольтерра (1). Про коефіцієнти рівняння (2) припускається наступне:

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

(3e)

де . Для рівняння (1) визначаються апроксимації Ейлера

які неперервно інтерполюються за допомогою рівняння

Доведено наступний факт щодо збіжності апроксимацій.

Твердження 2.3 Якщо виконано умови (3) та для

то маємо оцінку

За додаткових припущень доведено рівномірну збіжність і отримано аналогічну оцінку для супремума квадрату відстані.

У пунктах 2.1.2 і 2.1.4 вивчаються апроксимації Ейлера для рівняння (2), у якому породжує сильно неперервну сім’ю операторів , . Вони визначаються як

і неперервно інтерполюються

За припущень

Оператор є генератором сильно неперервної еволюційної сім’ї операторів .

не залежить від .

та

(5)

знайдено швидкість збіжності апроксимацій.

Теорема 2.3 Нехай коефіцієнти рівняння (2) задовольняють умови E-1)–E-4) та (5). Якщо то має місце збіжність апроксимацій

За додаткових припущень

(6)

доведено рівномірну збіжність.

Теорема 2.4 За припущень попередньої теореми та умов (6) має місце оцінка

Підрозділ 2.2 присвячено апроксимаціям рівнянь (1) та (2) за схемою Мільштейна, причому для рівняння (2) припускається незалежність оператору від часу, тобто розглядається рівняння вигляду

(7)

У пункті 2.2.1 розглядається схема Мільштейна для рівняння Іто–Вольтер-ра (1). Апроксимації за цією схемою мають вигляд

(8)

Як завжди, робиться їх неперервна інтерполяція. Припущення на коефіцієнти рівняння наступні.

Процес має стохастичний диференціал

, є квадратично інтегрованими процесами у і відповідно,

Виконано умови E-3), E-4)

За цих припущень доведено, що апроксимації Мільштейна збігаються з такою ж швидкістю, як для звичайних скінченновимірних СДР.

Теорема 2.5 Якщо коефіцієнти рівняння (1) задовольняють викладені вище умови, а також то апроксимації (8) збігаються до розв’язку рівняння (1), причому

У пункті 2.2.2 розглянуто апроксимації за схемою Мільштейна

(9)

для напівлінійних еволюційних рівнянь (7). Про коефіцієнти рівняння припускається, що

Оператор породжує сильно неперервну напівгрупу операторів на .

Виконано умови (E-4).

.

,

.

Доведено, що і для таких рівнянь швидкість збіжності апроксимацій за схемою Мільштейна така сама, як і у скінченновимірному випадку.

Теорема 2.6 За умов M-1)–M-4) апроксимації (9) збігаються до розв’язку рівняння (7), причому

У підрозділі 2.3 розглядаються апроксимації, які не пов’язані з дискретизацією часу.

У пункті 2.3.1 досліджуються скінченновимірні апроксимації. Для цього вибирається ортонормований базис в , визначаються скінченновимірні підпростори і відповідні ортогональні проектори . Для рівняння (2) скінченновимірні апроксимації задаються як розв’язки рівнянь

(10)

Спочатку розглядається загальна ситуація, тобто послідовність рівнянь

коефіцієнти яких задовольняють умови

(11)

зі сталою, що не залежить від , крім того, нехай існує така неспадна функція , що і

(12)

(13)

Також припускається збіжність коефіцієнтів

(14)

За цих припущень доведено загальну граничну теорему.

Теорема 2.7 За припущень (11)-(14) справедлива рівномірна на відрізку збіжність

З цієї теореми отримано наслідок про збіжність скінченновимірних апроксимацій для рівняння (1), про коефіцієнти якого припускається, що вони задовольняють умови (11).

Наслідок 2.1 При виконанні умов (11) для коефіцієнтів рівняння (1) скінченновимірні апроксимації , що задані формулою (10), збігаються до розв’язку рівняння (1) в середньому квадратичному, тобто рівномірно на відрізку виконано

Пункт 2.3.2 присвячено питанню апроксимації розв’язків рівняння (2) роз-в’язками рівнянь з обмеженими коефіцієнтами. Більш детально, у пункті 2.3.2 розглядаються рівняння

(15)

у яких . Доведено, що розв’язки цих рівнянь збігаються до розв’язку рівняння (2).

Теорема 2.8 Якщо коефіцієнти рівняння (2) задовольняють умови M-1)–M-2), то апроксимації збігаються до розв’язку цього рівняння, причому

У підрозділі 2.4 розглядається лінійне СДР вигляду

(16)

Відомо, що у одновимірному випадку розв’язок цього рівняння можна виписати точно. Ідеї цього підрозділу дозволяють наблизити розв’язок у тому випадку, коли його точний розв’язок невідомий.

У пункті 2.4.1 сформульовано і доведено загальні граничні теореми для рівнянь з незалежними від часу операторами , , тобто для рівнянь вигляду

(27)

Для існування і єдиності розв’язку припускається, що породжує напівгрупу і виконано умову

(28)

Розглядається послідовність рівнянь

(29)

у яких лінійні замкнені оператори також є генераторами напівгруп , а коефіцієнти задовольняють умови

(30)

(31)

(32)

За цих умов доведено середньоквадратичну збіжність.

Теорема 2.9 Якщо виконано умови , , та , то маємо збіжність рівномірно на відрізку .

Для доведення рівномірної збіжності за ймовірністю припускається

(33)

Теорема 2.10 Якщо виконано умови , і та то маємо рівномірну збіжність за ймовірністю, тобто

У пункті 2.4.2 досліджуються скінченновимірні апроксимації для рівняння . Для цього вибирається ортонормований базис в , покладається і , де  — ортогональний проектор на . Скінченновимірні апроксимації визначаються як розв’язки рівняння

(34)

При цьому припускається, що , , і для всіх достатньо великих множина скрізь щільна в , .

Теорема 2.11 Якщо виконано вказані вище умови, то скінченновимірні апроксимації, задані рівнянням , збігаються в середньому квадратичному до розв’язку рівняння рівномірно за

Більше того, має місце рівномірна збіжність за ймовірністю

У пункті 2.4.3 виводяться загальні граничні теореми для неоднорідного рівняння . Розглядається послідовність рівнянь

(35)

Щодо операторів припускається, що вони рівномірно задовольняють звичайні умови Като–Танабе, інші припущення наступні

Теорема 2.12 Якщо виконано вказані вище умови і то розв’язки рівнянь збігаються до розв’язку рівняння у середньому квадратичному, , рівномірно на відрізку .

Для доведення рівномірної збіжності за ймовірністю накладається додаткова умова існування еквівалентної норми , для якої

(36)

Теорема 2.13 Якщо виконано умови попередньої теореми і , то

У пункті 2.4.4 розглядаються скінченновимірні апроксимації

(37)

для неоднорідних рівнянь. Припускається наступне:

Теорема 2.14 Якщо оператори рівномірно задовольняють умовиКато–Танабе і виконуються вищевказані умови, то розв’язки рівнянь збігаються в середньому квадратичному і рівномірно за ймовірністю до розв’язку рівняння :

У пункті 2.4.5 наведено міркування про те, як наблизити розв’язок нескінченновимірного лінійного СДР. Також наведено доповнення до результату Х. Куніти про точну формулу для розв’язку лінійної системи СДР.

Третій розділ присвячено упереджуючим стохастичним диференціальним рівнянням. В ньому простір є простором гауссівського білого шуму .

У підрозділі 3.1 досліджується питання існування приблизних розв’язків упереджуючого СДР

(38)

з інтегралом Скорохода, яке еквівалентне до рівняння з білим шумом

(39)

Зауважимо, що у цьому розділі задля дотримання традицій позначено не вінерівський процес, а похідну від нього (тобто білий шум), а вінерівський процес (броунівський рух) позначено .

Припускається, что (взагалі кажучи, випадкові і упереджуючі) коефіцієнти цього рівняння задовольняють умови лінійного росту

(40)

Символом позначено простір Кондратьєва випадкових величин, а символом простір соболєвських випадкових величин (при від’ємних значеннях індексів це простори узагальнених випадкових величин). За умов обмеженості коефіцієнту дифузії отримано наступні результати про існування приблизних розв’язків в просторах узагальнених випадкових величин.

Теорема 3.1 Припустимо, що виконано умову , коефіцієнт обмежений, . Тоді для будь-якого і рівняння має -розв’язок в просторі , тобто існує процес насправді, у такий, що для всіх

Теорема 3.2 Припустимо, що виконується , коефіцієнт обмежений, . Тоді для будь-якого і рівняння має -розв’язок у просторі .

За відсутності умови обмеженості коефіцієнту доведено існування приблизного розв’язку у більш широкому просторі.

Теорема 3.3 Припустимо, що коефіцієнти задовольняють умови . Тоді для будь-яких і рівняння має -розв’язок в просторі .

Також доведено допоміжну лему, яка має самостійний інтерес.

Лема 3.2 Для всіх і таких мультиіндексів , що , маємо

Підрозділ 3.2 присвячено наближеному розв’язанню упереджуючих квазілінійних СДР

(41)

У пункті 3.2.1 розглядаються апроксимації, отримані методом варіації сталих. Вони визначаються рівністю

(42)

де

а  — оператор зсуву . На коефіцієнти рівняння накладаються наступні умови.

(43)

(44)

(45)

(46)

Далі доведено, що швидкість збіжності така сама, як і у неупереджуючому випадку.

Теорема 3.4 Нехай виконано умови . Тоді апроксимації , що визначені рівністю , збігаються до розв’язку рівняння у середньому квадратичному, причому порядок збіжності дорівнює :

У пункті 3.2.2 розглядаються апроксимації, що отримані методом “split”. Вони мають вигляд

(47)

Доведено аналогічне до твердження.

Теорема 3.5 Нехай виконано умови . Тоді апроксимації , визначені , збігаються до розв’язку рівняння , причому

Четвертий розділ присвячено апроксимаційним формулам для напівгруп та еволюційних сімей. У підрозділі 4.1 розглядаються апроксимаційні формули для напівгруп. У пункті 4.1.1 отримано допоміжні результати. У пункті 4.1.2 дається визначення повільної послідовності.

Означення 4.1 Послідовність , таку, що , назвемо -повільною, якщо .

Із використанням цього означення отримано наступні результати.

Теорема 4.2 Нехай  — -повільна послідовність,  — генератор стискуючої -напівгрупи,  — його апроксимації Іосіда. Тоді

(48)

Наслідок 4.1 Справедлива апроксимаційна формула для стискуючої -на-пів-гру-пи з генератором :

де  — “повільні” апроксимації Іосіда генератора , причому збіж-ність рівномірна на кожному відрізку .

Доведено також “повільний” аналог мультиплікативної формули Чернова.

У пункті 4.1.3 отримано нові варіанти формул Уіддера–Поста і Троттера.

Наслідок 4.2 (``повільна'' формула Уіддера--Поста) Якщо  — генератор стискуючої напівгрупи , — його апроксимації Іосіда, а послідовність така, що , то рівномірно на кожному скінченному відрізку

(49)

“Повільний” варіант формули Троттера виглядає як

У підрозділі 4.2 розглядаються наближення нестаціонарної задачи Коші і з них виводяться апроксимаційні формули для еволюційних сімей.

У підрозділі 4.3 розглядається наближення збуреної напівгрупи. Дається визначення надповільної послідовності.

Означення 4.2 Послідовність таку, що назвемо -надповільною, якщо

Доводиться апроксимаційна формула для збуреної напівгрупи.

Теорема 4.7 Нехай генерує стискуючу напівгрупу, , а послідовність , є -надповільна. Тоді

рівномірно на будь-якому скінченному відрізку.

ВИСНОВКИ

У дисертації розроблено методи апроксимації стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі. Зокрема, побудовано апроксимації за схемами Ейлера і Мільштейна для стохастичних напівлінійних рівнянь еволюційного типу з необмеженим оператором та рівнянь Іто–Вольтерра у гільбертовому просторі та отримано швидкість збіжності для таких апроксимацій; побудовано скінченновимірні апроксимації розв’язків СДР у гільбертовому просторі і доведено їх збіжність; побудовано апроксимації розв’язків СДР із необмеженим оператором у зсуві розв’язками рівнянь з обмеженими коефіцієнтами і отримано швидкість їх збіжності.

У роботі отримано нові результати, що стосуються упереджуючих СДР: доведено існування приблизних розв’язків СДР у формі Скорохода з упередженням; побудовано апроксимації квазілінійних СДР з упередженням і отримано результати про швидкість їх збіжності

Із застосуванням методу дискретизації часу у звичайних диференціальних рівняннях отримано нові апроксимаційні формули для напівгруп операторів, що доповнюють класичні результати.

10pt

References

[1] Мішура Ю. С., Шевченко Г. М. Ейлерові наближення розв’язків абстрактних рівнянь та їх застосування в теорії напівгрупУкр. Мат. Журнал. "— 2004. "— . ,  . "— . –410.

[2] Мішура Ю. С., Шевченко Г. М. Лінійні рівняння i стохастичні експоненти в гільбертовому просторіТеор. Імовір. Мат. Стат. "— 2004. "—  . "— . –132.

[3] Шевченко Г. М. Швидкість збіжності дискретних апроксимацій розв’яз-ків стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторіТеор. Імовір. Мат. Стат. "— 2003. "—  . "— . –183.

[4] Шевченко Г. М. Наближенне інтегрування стохастичних диференціальних рівняньДоповіді НАН України. Серія Математика. "— 2005. "—  . — С. –46.

[5] Шевченко Г. М. Про Ейлеровi апроксимацiї квазiлiнiйних стохастичних диференцiальних рiвнянь з упередженнямТеор. Імовір. Мат. Стат. "— 2005. "—  . "— . –159.

[6] Мішура Ю. С., Шевченко Г. М. Розв’язування лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторіПрикл. Статист. Актуарна та Фін. Матем. "— 2003. "— 1–2. "— . .

[7] Мішура Ю. С., Шевченко Г. М. Приблизні розв’язки стохастичних диференціальних рівнянь з упередженнямТези міжнародної конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування”, 6–9 червня, Київ." — K.: ВПЦ “Київський університет”, 2005. "— . .

[8] Shevchenko Rate of convergence for approximations of solutions of ordinary and differential equations in Hilbert and Banach spacesТезисы международной конференции “Колмогоров и современная математика”, Москва, 16–21 июня, 2003. "— М.: Изд-во МГУ, 2003. "— . .

[9] Shevchenko Approximate solutions to anticipative differential equations with Skorohod integralAbstracts of International conference “Functional methods in approximation theory, operator theory, stochastic analysis and statistics II”, Kiev, October 1–5, 2004. "— K.: ВПЦ “Київський університет”, 2004. "— . .

АНОТАЦІЯ

Шевченко Г. М. Властивості розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-мате-матичних наук за спеціальністю 01.01.05 — теорія ймовірностей і математична статистика. — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційну роботу присвячено задачам наближеного розв’язування стохастичних диференціальних рівнянь, а також питанням апроксимації напівгруп операторів. Для стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі розглядаються апроксимації за схемами Ейлера та Мільштейна для цих, скінченновимірні апроксимації, апроксимації розв’язками рівнянь з регулярними коефіцієнтами. Особливу увагу приділено лінійним рівнянням. Для упереджуючих стохастичних диференціальних рівнянь з інтегралом Скорохода отримано результати про існування приблизних розв’язків у певних просторах та про збіжність апроксимацій з дискретним часом для квазілінійних рівнянь. Виведено нові апроксимаційні формули для напівгруп та еволюційних сімей, що є аналогами відомих формул Чернова, Троттера, Уіддера–Поста.

Ключові слова: апроксимація за допомогою дискретизації часу, сто-ха-стич-не диференціальне рівняння, рівняння Іто–Вольтерра, стохастичне диференціальне рівняння еволюційного типу, стохастичне диференціальне рівняння з упередженням, інтеграл Скорохода, простір білого шуму, напівгрупа операторів, еволюційна сім’я операторів, апроксимаційна формула.

АННОТАЦИЯ

Шевченко Г. М. Свойства решений стохастических дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-мате-ма-ти-че-ских наук по специальности 01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика. — Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Диссертационная работа посвящена задачам приближенного решения стохастических дифференциальных уравнений, а также вопросам аппроксимации полугрупп операторов. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, разбитых на подразделы и пункты, выводов и списка использованной литературы.

Во введении обоснована актуальность работы, определены предмет, цель и задачи исследования; указаны методы, научная новизна, теоретическое и практическое значение исследования, описаны личный вклад соискателя, апробация полученных результатов, структура диссертации.

В первом разделе приведен короткий исторический обзор литературы то теме диссертации и описано современное состояние изучения проблем, близких к рассматриваемым в диссертационной работе.

Во втором разделе рассматриваются стохастические дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Строятся аппроксимации по схемам Эйлера и Мильштейна для этих уравнений, конечномерные аппроксимации, аппроксимации решениями уравнений с регулярными коэффициентами. Для аппроксимаций с дискретным временем показано, что скорость сходимости такая же, как и в конечномерном случае. Особенное внимание уделено линейным уравнениям.

Третий раздел посвящен упреждающим стохастическим дифференциальным уравнениям. Получены результаты о существовании приблизительных решений стохастических дифференциальных уравнений с интегралом Скорохода и о сходимости аппроксимаций с дискретным временем для квазилинейных уравнений.

В четвертом разделе с помощью дискретизации времени в обычных дифференциальных уравнениях выведены новые аппроксимационные формулы для полугрупп и эволюционных семейств, являющиеся аналогами известных формул Чернова, Троттера, Уиддера–Поста.

Ключевые слова: аппроксимация с помощью дискретизации времени, стохастическое дифференциальное уравнение, уравнение Ито–Воль-терра, стохастическое дифференциальное уравнение эволюционного типа, стохастическое дифференциальное уравнение с упреждением, интеграл Скорохода, пространство белого шума, полугруппа операторов, эволюционное семейство операторов, аппроксимационная формула.

ABSTRACT

Shevchenko G.Properties of solutions of stochastic differential equations in Hilbert spaces — Manuscript.

PhD Thesis in the speciality 01.01.05 — probability theory and mathematical statistics. — Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2005.

The thesis work is devoted to problems of numerical solution of stochastic differential equations, and to approximation of semigroups of operators. For stochasdifferential equations in Hilbert spaces numerical solutions are constructed by the means of Euler’s and Mil’stein’s schemes, finite-dimensional projections, and regularization of coefficients. Convergence results are proved, and the rate of convergence is established. The particular emphasis is put on linear equations. For anticipating stochastic differential equations with Skorohod integral the results on existence of approximate solutions in certain spaces are obtained. The convergence of discrete-time approximations for the solutions of quasilinear equations is proved. New approximation formulae for semigroups and evolution families of operators are obtained via discretization of time in ordinary differential equations.

Keywords: approximation by time discretization, stochadifferential equation, Itф–Volterra equation, stochadifferential equation of evolution type, stocha-stic differential equation with anticipation, Skorohod integral, white noise space, semigroup of operators, evolution family of operators, approximation formula.