НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

СКРИПНИК ІГОР ІГОРОВИЧ

УДК 517.9

ЛОКАЛЬНА ПОВЕДІНКА РОЗВ‘ЯЗКІВ

КВАЗІЛІНІЙНИХ ЕЛІПТИЧНИХ ТА ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Донецьк - 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України

Офіційні опоненти: | академік НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор Хруслов Євген Якович, Фізико-технічний інституту низьких температур ім. Б.І.Веркіна НАН України, директор математичного відділення;

доктор фіз.-мат. наук, професор Алхутов Юрій Олександрович, Володимирський державний педагогічний університет (Росія), професор кафедри математичного аналізу;

доктор фіз.-мат. наук, професор Борсук Михайло Володимирович, Вармінсько-Мазурський Університет в Ольштині (Польща), завідувач кафедрою математичного аналізу та диференціальних рівнянь.

Провідна установа: |

Інститут математики НАН України (м. Київ)

Захист відбудеться “28” грудня 2005 р. о 15.00 годині на засіданні Спеціалізованої вченої ради Д11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної ма-тематики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “_____” _____________2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради __________________ О.А.Ковалевський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним із напрямків якісної теорії диференціальних рівнянь є дослідження неперервності розв‘язків. Піонерські роботи Е.Де Джорджі та Ю.Мозера зробили великий поштовх в цьому напрямку. В працях О.А.Ладиженської, Н.Н.Уральцевої, Дж.Серріна, Н.С.Трудінгера, Р.Гаріпі, В.П.Цимера, Т.Кілпелайнен, Дж.Мали та інших повністю розглянуто питання про внутрішню гельдеровість та неперервність біля негладкої межі для розв‘язків загальних дивергентних квазілінійних еліптичних рівнянь та дивергентних параболічних рівнянь з лінійним зростанням коефіцієнтів.

Для параболічних рівнянь вигляду

, , (1)

, , (2)

, – область в , , питання про неперервність розв‘язків суттєво відрізняються від лінійного випадку. Повязано це з різною поведінкою еліптичної та параболічної частин рівнянь (1), (2). Лише в 1986 році Е.Ді Бенедетто довів для розвязків загальних рівнянь (1), (2) внутрішню гельдеровість. Пізніше А.В.Іванов, М.Порціо, В.Веспрі розглянули питання про внутрішню неперервність розв‘язків загальних параболічних дивергентних рівнянь з подвійною нелінійністю.

Питання про неперервність розв‘язків біля негладкої межі циліндричної області було розглянуто В.П.Димером. Для загальних рівнянь вигляду (2) ним було доведено достатню умову регулярності граничної точки.

В дисертаційній роботі розглянуто питання про неперервність розвязків для загальних рівнянь вигляду (1), а для рівнянь вигляду (2) доведено необхідну умову регулярності граничної точки, яка збігається з достатньою умовою, доведеною В.П.Цимером.

Іншим напрямком якісної теорії диференціальних рівнянь є питання про усунення особливостей розвязків. Так, Дж. Серрін та Д.Г.Аронсон розглянули питання про умови усунення особливостей розв’язків загальних квазілінійних дивергентних еліптичних рівнянь та параболічних рівнянь з лінійним зростанням коефіцієнтів. Після цього в роботах Х.Брезіс, Л.Верон, С.Камін, В.А.Кондратєва, Є.М.Ландіса, Л.А.Пелетьє, А.Гміра, Л.А.Кафареллі, Б.Гідас, Дж. Спрук, М.Ф.Бідо-Верон та інших, було розглянуто питання про умови усунення особливостей розвязків для модельних рівнянь типу (1), (2) з абсорбцією.

В дисертаційній роботі розглянуто загальні рівняння типу (1), (2) та загальні рівняння типу (1), (2) з абсорбцією і доведено точні умови усунення особливостей розвязків таких рівнянь.

Мета і задачі досліджень. Метою даної роботи є розгляд локальної поведінки розвязків загальних еліптичних та параболічних рівнянь.

Для досягнення поставленої мети в дисертації розвязано наступні задачі:

- критерій регулярності граничної точки для загальних рівнянь вигляду (1);

- необхідна умова регулярності граничної точки для загальних рівнянь вигляду (2), яка разом з достатньою умовою, доведеною В.П.Цимером, дає критерій регулярності граничної точки;

- точні умови усунення особливостей розвязків загальних дивергентних квазілінійних еліптичних рівнянь, які узагальнюють умови Дж.Серріна;

- точні умови усунення особливостей розвязків загальних дивергентних квазілінійних еліптичних рівнянь з абсорбцією;

- точні умови усунення особливостей розвязків загальних дивергентних квазілінійних параболічних рівнянь вигляду (1), (2);

- точні умови усунення особливостей розвязків загальних дивергентних квазілінійних параболічних рівнянь вигляду (1), (2) з абсорбцією;

- нерівність Харнака для розвязків загальних дивергентних квазілінійних еліптичних рівнянь з коефіцієнтами з класу Като;

- точні умови усунення особливостей розвязків загальних дивергентних квазілінійних еліптичних рівнянь з коефіцієнтами з класу Като.

Методи досліджень. В дисертаційній роботі розвинуто метод І.В.Скрипника оцінок розвяків типу “потенціалу” на випадок квазілінійних параболічних рівнянь.

Також в дисертаційній роботі розвинуто метод Т.Кілпелайнен і Дж.Мали на випадок дивергентних квазілінійних еліптичних рівнянь з коефіцієнтами з класу Като, та на випадок дивергентних квазілінійних параболічних рівнянь

Наукова новизна отриманих результатів. Усі результати, отримані в дисертаційній роботі є новими. Одна робота була написана у співавторстві з Ф.Ніколозі та І.В.Скрипником, тут здобувачу належить розробка способу отримання оцінок для розвязків типу “потенціалу” в еліптичному випадку без застосування теореми порівняння.

Апробація результатів дисертації. Результати отримані в дисертації докладались на міжнародних конференціях “Nonlinear Partial Differential Equations” (Київ 1999, 2001р., Алушта 2003, 2005р.), “International Conference dedicated to I.G.Petrovski” (Москва, 1999, 2000, 2004р.).

Крім того, результати дисертації неодноразово доповідались на семінарах відділу нелінійного аналізу ІПММ НАН України під керівництвом академіка НАН України, доктора фіз.-мат. наук, професора І.В.Скрипника, відділу рівнянь математичної фізики ІПММ НАН України під керівництвом доктора фіз.-мат. наук, професора Б.В.Базалія, доктора фіз.-мат. наук, професора А.Ф.Тедеєва, доктора фіз.-мат. наук, професора А.Є.Шишкова.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 21 наукову працю.

Обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, восьми розділів і висновків. Загальний обсяг дисертації складає 271 сторінку тексту і списку використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі сформульована мета досліджень, визначені актуальність, новизна, теоретичне значення роботи.

У першому розділі наведено огляд робіт з якісної теорії диференціальних рівнянь, повязаний з питанням неперервності та усуненням особливостей розвязків. Також наведено основні напрямки якісної теорії диференціальних рівнянь, які розглянуто в дисертаційній роботі.

У другому розділі розглянуто рівняння

, . (3)

Припускається, що коефіцієнти , , визначені при , , , задовольняють умові Каратеодорі та виконано нерівності

, (4)

, (5)

, (6)

де , , , невідємні функції, які належать деяким класам

.

Визначення. Говоримо, що точка , є регулярною граничною точкою, якщо для будь-якого розвязку рівняння (3) такого, що

, (7)

де , , в деякому околі , виконано

. (8)

Основними результатам другого розділу є

Теорема 1. Припустимо, що – розвязок рівняння (3), та виконано умови (4), (5), (6). Припустимо також, що виконана теорема порівняння. Для того, щоб точка була регулярною граничною точкою для рівняння (3), достатньо, щоб

, (9)

де , – еліптична - місткість множини .

Нехай будь яке число, що задовольняє нерівність , – число з інтервалу (0, 1), яке визначається під час доказу достатньої умови регулярності, залежить лише від , , , , , .

Розглянемо циліндр

,

позначимо

,

,

, .

Для натурального числа , позначимо

, (10)

і розглянемо циліндр

, (11)

якщо , то . Усередині циліндру розглянемо циліндри вигляду

, (12)

де ,

, (13)

– найменше натуральне число, що задовольняє нерівності , – достатньо мале число, яке залежить лише від .

В кожній парі циліндрів

,

,

розглянемо допоміжні розвязки типу “потенціалу”

, (14)

, , (15)

, , (16)

, , . (17)

В області розглянемо функцію , як розвязок рівняння (14), що задовольняє наступним умовам

, , (18)

, (19)

,

, . (20)

Спочатку доводиться

Лема 1. Припустимо, що виконана нерівність

, (21)

тоді

, (22)

, (23)

з деякою сталою , яка залежить лише від .

Наступним кроком при доведенні достатньої умови регулярності граничної точки є

Лема 2. Існують число і натуральне число , які не залежать від , такі, що виконано

або

,

де

,

.

Тепер, використовуючи теорему порівняння, з леми 2 доводиться

Лема 3. Припустимо, що виконана нерівність (21). Тоді якщо

, (24)

то

(25)

або якщо

, (26)

то

(27)

з деяким та натуральним числом , яке не залежить від , , .

Лема 3 є основою для доведення теореми 1. Використовуючи лему 3, доводиться

Лема 4. Припустимо, що виконана нерівність (21). Тоді якщо виконано (24), то

, (28)

для всіх .

Або, якщо виконано (26), то

, (29)

для всіх .

Лема 4 тепер забезпечує неперервність розвязку в . Дійсно, якщо не виконано (21), то

. (30)

Далі, якщо (21) виконано, але не виконані обидва припущення (24), (26), то

. (31)

Нарешті, якщо (21) виконано та виконана хоч би одна нерівність (24) або (26), то будується послідовність , , така, що , , для якої

або

, (32)

або

. (33)

Визначив для усякого

, ,

,

з (30)—(33) ми здобудемо

, (34)

де визначено в (10), стала залежить лише від , , , , , .

Таким чином, теорема 1 є наслідком нерівності (34).

Теорема 2. Припустимо, що – розвязок рівняння (3), . Припустимо також, що виконані умови (4)—(6) та . Для того, щоб точка була регулярною граничною точкою для рівняння (3), необхідно щоб було виконано (9).

При доведенні необхідної умови регулярності граничної точки використовуються наступні міркування.

Нехай , , ,

, , ,

Вибір послідовності буде зараз зазначений. Покладемо і припустимо, що та ми вибрали. Позначимо та зафіксуємо додатне число .

Маємо дві можливості:

1) існує число , що задовольняє умови

, , (35)

де

, (36)

досить мале число;

2) не існує числа , що задовольняє умові (35).

В першому випадку вибираємо , в другому випадку вибираємо , та в обох випадках вибираємо .

Лема 5. Припустимо, що виконано усі умови теореми 2, тоді з деякою сталою , яка залежить лише від , для всіх виконано

. (37)

Підсумовуя (37) по одержимо

. (38)

Легко побачити, що

. (39)

Нехай , в деякому околі точки , ,

, (40)

, для , , .

Розглянемо розвязок рівняння (3) такий, що

, , (41)

, . (42)

Тоді

. (43)

Припустивши, що

, (44)

ми обираємо з (38), (39), (43)

, (45)

вибираючи спочатку досить малим так, щоб

, (46)

а потім по заданому , вибираємо

. (47)

Тепер з (45)—(47) отримаємо .

Далі в дисертаційній роботі доводиться, що

. (48)

Таким чином з (44), (48) ми отримаємо твердження теореми 2, що доводить необхідну умову регулярності граничної точки .

Умова (8) збігається з умовою регулярності граничної точки для рівняння з - лапласіаном. Більш того, умова (8) у випадку циліндричної області збігається з умовою

, (49)

де . – параболічна -місткість множини , яка визначається наступним чином

,

.

У третьому розділі розглянуто рівняння (3), .

Основними результатами третього розділу є

Теорема 3. Припустимо, що – розвязок рівняння (3), , та виконано умови (4)—(6). Припустимо також, що виконана теорема порівняння. Для того, щоб точка була регулярною граничною точкою, достатньо, щоб була виконана умова (9).

Теорема 4. Припустимо, що – розвязок рівняння (3), . Припустимо також, що виконано умови (4)—(6) та . Для того, щоб точка була регулярною граничною точкою, необхідно, щоб була виконана умова (9).

Теореми 3, 4 доводяться методами, аналогічними викладеним у розділі 2.

У четвертому розділі розглянуто рівняння (3). Припускається, що коефіцієнти , , визначені при , , , задовольняють умові Каратеодорі та виконані нерівності

, , (50)

, , (51)

, (52)

де , , , , – невідємні функції, які належать деяким класам .

Основним результатом четвертого розділу є

Теорема 5. Припустимо, що – розвязок рівняння (3), то виконано умови (50)—(52). Для того, щоб точка була регулярною граничною точкою, необхідно, щоб була виконана умова

. (53)

Умова (53), разом з результатом В.П.Цимера, дає критерій Вінера регулярності граничної точки, який збігається з критерієм Вінера регулярності граничної точки для рівняння Лапласа.

В пятому розділі розглянуто рівняння

, , (54)

, . (55)

Припускається, що коефіцієнти , , визначені при , , , задовольняють умові Каратеодорі, та виконано нерівності

, (56)

, (57)

, (58)

, (59)

де , , , , – невідємні функції, які належать деяким класам , .

Визначення. Говоримо, що розвязок рівняння (54) має усувну особливість в точці , якщо може бути довизначиним в точці так, щоб отримана функція була розвязком рівняння (54) у всій області та .

Аналогічним чином ми визначаємо розвязок рівняння (55), який має усувливу особливість.

Визначимо , .

Дж.Серрін довів, що для того, щоб особливість в точці для розвязку рівняння (54) була усувною, достатньо, щоб

, , (60)

, , (61)

з деякими додатними сталими , які залежать лише від .

В пятому розділі посилюється твердження Дж.Серріна і доведена

Теорема 6. Припустимо, що – розвязок рівняння (54) та виконано умови (56)—(58). Припустимо також, що

, , (62)

, . (63)

Тоді особливість в точці для розвязку рівняння (55) усувається.

Теорема 6 є висновком результату Дж.Серріна та наступної

Лема 6. Нехай виконано усі умови теореми 6. Тоді з деякими сталими , які залежать лише від , вірні нерівності

, , (64)

, , (65)

для всіх .

Тепер, прямуючи до границі при , в силу умов (62), (63) ми отримаємо для оцінки (60), (61), звідки прямує усувність особливості в точці .

Нерівності (64), (65) є розвитком результатів І.В.Скрипника на випадок рівнянь вигляду (54), для яких не виконана теорема порівняння.

Для еліптичних рівнянь з абсорбцією вигляду (55) в пятому розділі доводиться

Теорема 7. Припустимо, що – розвязок рівняння (55) і виконано умови (56)—(59). Припустимо також, що

, . (66)

Тоді особливість в точці усувається.

Відзначимо, що навіть для лінійних дивергентних еліптичних рівнянь з обмеженими вимірними коефіцієнтами результат теореми 7 є новим.

В дисертаційній роботі розвинуто новий метод вивчення локальної поведінки розвязків в околі особливостей.

Спочатку доводиться

Лема 7. Припустимо, що виконано усі умови теореми 7. Тоді

(67)

з деякою сталою , яка залежить лише від .

Визначимо при функцію , , де – функція, яка визначена рівностями

для , для ,

для ,

– визначене далі число з інтервалу (0, 1), – число, яке знаходиться з рівності

. (68)

Нехай

. (69)

В шостому розділі розглянуто рівняння (3) в та

, (73)

.

Припускається, що функції , задовольняють умови (4)—(6), а також

, (74)

де , – невідємні функції, які належать деякому .

Визначимо

,

,

– деяке достатньо мале число таке, що .

В шостому розділі доводиться

Теорема 8. Припустимо, що виконано умови (4)—(6) і – розвязок рівняння (3) в , . Припустимо також, що

, . (75)

Тоді особливість в точці усувається.

Визначимо

,

де , для , для , , ,

,

, ,

.

При доведенні теореми 8, встановлюється

Лема 9. Припустимо, що виконано усі умови теореми 8. Тоді

(76)

з деякими додатними сталими , які залежать лише від .

Користуючись умовою (75), ми можемо спрямувати в (76). Тоді з (76) дістанемо

. (77)

Застосовуючи метод Мозера та нерівність (77), отримаємо

, . (78)

Далі показується, що з нерівності (78) прямує обмеженість розвязку в . Подальше усування особистості в точці доводиться стандартними міркуваннями.

Теорема 9. Припустимо, що – розвязок рівняння (73) і виконано умови (4)—(6) і (74). Припустимо також, що

, . (79)

Тоді особливість в точці усувається.

Спочатку доводиться

(81)

В сьомому розділі розглянуто рівняння (3) та (73) в .

Припускається, що коефіцієнти рівнянь задовольняють (50)—(52), а також (74).

Визначимо

,

,

– деяке достатньо мале число таке, що .

Основними результатами сьомого розділу є

Теорема 10. Припустимо, що – розвязок рівняння (3) та виконано умови (50)—(52). Припустимо також, що

. (85)

Тоді особливість в точці усувається.

Теорема 11. Припустимо, що – розвязок рівняння (64) та виконано умови (50)—(52), (74). Припустимо також, що

, . (86)

Тоді особливість в точці усувається.

Результати сьомого розділу доводяться методами, аналогічними методам розділу шість.

В восьмому розділі розглянуто рівняння (54), (55). Припускаються виконаними умови (56)—(59). Для функцій , , , , припускається також, що

, (87)

. (88)

Умови (87), (88) узагальнюють відомі умови Като.

Відзначимо, що умови (87), (88) не дають можливості застосувати метод Е.Де Джорджі або Ю.Мозера при оцінюванні зверху або знизу розвязку рівняння (54).

В восьмому розділі доведено нерівність Харнака для невідємних розвязків рівняння (54).

Теорема 12. Припустимо, що – невідємний розвязок рівняння (54), виконано умови (56)—(58) і (87), (88) для усякого , такого, що . Тоді

(89)

з деякою додатною сталою , яка залежить лише від ,

. (90)

Визначимо послідовність , , , , .

Покладемо та для усіх визначимо

, (91)

де – додатні сталі, які визначаються підчас доведення і залежать лише від , , , .

Покладемо .

Лема 12. Припустимо, що виконано усі умови теореми 12. Тоді для усіх з деякою додатною сталою , яка залежить лише від , виконано

, (92)

де ,

.

Підсумовуя нерівність (92) по , з (92) дістанемо

. (93)

Тепер, вибираючи згідно умов (87), (88) так, щоб

, (94)

і з умови

, (95)

з (93)—(95), маємо

. (96)

Аналогічним чином отримаємо оцінку знизу для , і тепер, користуючись лемою Йона-Ніренберга, дістанемо теорему 12.

Визначимо, наприклад, що як наслідок нерівності Харнака ми отримаємо неперервність розвязків дивергентних квазілінійних еліптичних рівнянь з коефіцієнтами з класу Като.

Крім того, в восьмому розділі доводяться такі результати.

Теорема 13. Припустимо, що – розвязок рівняння (54) в , і виконано умови (56)—(59), (87), (88). Припустимо також, що

, , . (97)

Тоді особливість в точці усувається.

Теорема 14. Припустимо, що – розвязок рівняння (55) в і виконано умови (56)—(59), (87), (88). Припустимо також, що

, , (98)

або

, , . (99)

Тоді особливість в точці усувається.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розглянуто питання про локальну поведінку розвязків дивергентних квазілінійних параболічних рівнянь біля негладкої межі та локальну поведінку розвязків дивергентних квазілінійних еліптичних та параболічних рівнянь біля особливостей. Доведено нові інтегральні то поточкові оцінки для розвязків загальних дивергентних квазілінійних еліптичних та параболічних рівнянь.

Для квазілінійних параболічних рівнянь типу дифузії та фільтрації доведено критерій Вінера регулярності граничної точки циліндричної області, якій співпадає з критерієм регулярності граничної точки для відповідних еліптичних рівнянь. Ці результати є новими навіть для модельних квазілінійних параболічних рівнянь.

Для загальних квазілінійних дивергентних еліптичних рівнянь та рівнянь з абсорбцією доведено точні умови усування особливостей. Ці результати є новими навіть для лінійних дивергентних еліптичних рівнянь з обмеженими вимірними коефіцієнтами.

Для загальних квазілінійних дивергентних параболічних рівнянь типу дифузії та фільтрації, а також для рівнянь з абсорбцією, доведено точні умови усування особливостей. Ці результати є новими навіть для лінійних дивергентних параболічних рівнянь з обмеженими вимірними коефіцієнтами.

Для загальних квазілінійних дивергентних еліптичних рівнянь з коефіцієнтами з класу Като отримано нерівність Харнака. Крім того, для такого типу рівнянь та рівнянь з абсорбцією, отримано точні умови усування особливостей.

Ці результати є новими навіть для лінійних дивергентних еліптичних рівнянь з коефіцієнтами з класу Като.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Скрыпник И.И. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических задач с неоднородными граничными условиями // Диф. уравнения. – 1995. – Т.31, №3. – С.542-546.

2. Скрыпник И.И. О поточечных оценках решений модельных квазилинейных параболических уравнений // Нелинейн. граничн. задачи. – 1995. – Вып.6. – С.119-126.

3. Скрыпник И.И. Регулярность решений вырождающихся квазилинейных параболических уравнений (весовой случай) // Укр. мат. журн. – 1996. – Т.48, №7. – С.9722-988.

4. Скрыпник И.И. Неотрицательные решения вырождающихся квазилинейных параболических уравнений с измеримыми коэффициентами // Доклады РАН. – 1998. – Т.362, №2. – С.165-167.

5. Skrypnik I.I. On Holder continuity of solutions of degenerate parabolic equations with measure // Nonlinear Boundary Value Problems. – 1998. – Issue 8. – P.238-242.

6. Скрыпник И.И. Регулярность граничной точки для уравнения пористой среды // Труды ИПММ НАН Украины. – 1999. – Т.4. – С.171-178.

7. Скрыпник И.И. Неравенство Харнака для нелинейных вырождающихся параболических уравнений с измеримыми коэффициентами // Доклады РАН. – 1998. – Т.362, №2. – С.165-167.

8. Скрыпник И.И. О начальных значениях для решений нелинейных вырождающихся параболических уравнений с измеримыми коэффициентами // Доповіді НАН України. – 1998. – №3. – С.43-45.

9. Скрыпник И.И. Регулярность граничной точки для вырождающихся параболических уравнений с измеримыми коэффициентами. // Укр. мат. журн. – 2000. – Т.52, №11. – С.1550-1565.

10. Скрыпник И.И. О точном условии устранимости особенностей на многообразиях решений нелинейных эллиптических уравнений // Доклады РАН. – 2003. – Т.389, №5. – С.597-599.

11. Скрыпник И.И. Об устранимости особенностей решений нелинейных эллиптических уравнений на многообразиях // Мат. сб. – 2003. – Т.194, №9. – С.91-112.

12. Nicolosi F., Skrypnik I.V., Skrypnik I.I. Precise point-wise growth conditions for removable isolated singularities // Comm. Partial Differential Equations – 2003. – V.28, №3-4. – P.677-696.

13. Скрыпник И.И. Необходимое условие регулярности граничной точки для вырождающихся параболических уравнений с измеримыми коэффициентами // Труды ИПММ НАН Украины. 2003. Т.8. – С.147-167.

14. Скрыпник И.И. Локальное поведение решений квазилинейных эллиптических уравнений с абсорбцией // Труды ИПММ НАНУ, 2004, №9. – С. 183.

15. Скрыпник И.И. Регулярность граничной точки для сингулярных параболических уравнений с измеримыми коэффициентами // Укр. мат. журн. – 2004. – Т.5б, №4. – С.506-516.

16. Скрыпник И.И. Необходимое условие регулярности граничной точки для вырождающихся параболических уравнений с измеримыми коэффициентами // Укр. мат. журн. – 2004. – Т.56, №6.– С.818-836.

17. Скрыпник И.И. Необходимое условие регулярности граничной точки для уравнения пористой среды // Нелинейн. граничн. задачи. – 2004. – Вып. 14. – С.165-181.

18. Скрыпник И.И. О критерии Винера для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Доклады РАН.– 2004. – Т.398, №4. – С.458-461.

19. Скрыпник И.И. О необходимости условия Винера для нелинейных сингулярных параболических уравнений // Укр. матем. вестник. – 2004. – Т.1, №3. – С.373-401.

20. Скрыпник И.И. Локальное поведение решений квазилинейных параболических уравнений с абсорбцией // Доклады РАН. – 2005. – Т.403, №6. – С.183.

21. Скрыпник И.И. Неравенство Харнака для нелинейного эллиптического уравнения с коэффициентами из Като класса // Украинский математический вестник. – 2005. – Т.2, №2. – С.219-235.

АНОТАЦІЇ

Скрипник І.І. Локальна поведінка розвязків квазілінійних еліптичних та параболічних рівнянь. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут прикладної математики та механіки НАН України, Донецьк, 2005.

Дисертація присвячена проблемам локальної поведінки розвязків квазілінійних дивергентних параболічних рівнянь біля негладкої межі та проблемам локальної поведінки розвязків квазілінійних еліптичних та параболічних рівнянь біля особливостей.

Для дивергентних квазілінійних параболічних рівнянь типу дифузії та фільтрації отримано критерій Вінера регулярності граничної точки циліндричної області, якій є новим навіть для модельних квазілінійних параболічних рівнянь. Цей критерій співпадає з відомим критерієм Вінера для еліптичних рівнянь.

Для розвязків загальних дивергентних еліптичних, параболічних рівнянь та рівнянь з абсорбцією отримано нові точні поточкові оцінки біля особливостей. Отримано точні умови усунення особливостей, які є.новими навіть для лінійних рівнянь з обмеженими вимірними коефіцієнтами.

Для розвязків загальних квазілінійних дивергентних еліптичних рівнянь з коефіцієнтами з класу Като отримано нерівність Харнаку. Отримано також нові точні умови усунення особливостей для розвязку таких рівнянь з абсорбцією.

Ключові слова: квазілінійні еліптичні та параболічні рівняння, критерій Вінера, усувні особливості, класи Като, нерівність Харнаку.

Скрыпник И.И. Локальное поведение решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений. Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 дифференциальные уравнения. Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2005.

В диссертации изучается локальное поведение решений квазилинейных дивергентных параболических уравнений вблизи негладкой границы, а также локальное поведение решений дивергентных квазилинейных эллиптических и параболических уравнений вблизи сингулярностей.

Для дивергентных параболических уравнений типа диффузии и пористой среды доказывается критерий Винера регулярности граничной точки цилиндрической области, который совпадает с соответствующим критерием регулярности граничной точки для эллиптических уравнений. Отметим, что данный результат является новым даже для модельных параболических уравнений.

Хорошо известно, что сложности, появляющиеся при изучении квазилинейных параболических уравнений, связаны с различным поведением эллиптической и параболической частей уравнения. В связи с этим оказывается невозможным применение метода Мозера.

При доказательстве достаточного условия регулярности граничной точки в работе развивается метод Е.Де Джорджи; при этом возникают цилиндры, высота которых зависит от осцилляции решения и от отношения емкости шара к емкости дополнения области.

При доказательстве необходимого условия регулярности граничной точки, развивается метод Т.Килпелайнен и Дж.Малы, предложенный ими при изучении необходимого условия регулярности граничной точки для квазилинейных эллиптических уравнений.

Кроме того, в диссертационной работе, развивается метод И.В.Скрыпника получения поточечных оценок решений типа “потенциала” квазилинейных эллиптических уравнений.

Так, для квазилинейных эллиптических уравнений с абсорбцией получено точное условие устранимости изолированной особенности. Этот результат является новым даже для линейных эллиптических уравнений с измеримыми ограниченными коэффициентами.

Для общих квазилинейных параболических уравнений типа диффузии или пористой среды, а также для таких уравнений с абсорбцией получены новые точные интегральные и поточечные оценки вблизи изолированной особенности. Получены также точные условия устранимости изолированных особенностей для таких уравнений, известные ранее лишь в модельном случае.

Кроме того, в диссертационной работе рассмотрены общие дивергентные квазилинейные эллиптические уравнения с коэффициентами из класса Като. Трудности при изучении такого сорта уравнений связаны с невозможностью применения метода Ю.Мозера или Е.Де Джорджи при получении локальных оценок сверху или снизу для решений таких уравнений. В работе доказано неравенство Харнака, известное ранее лишь в частном случае. И, наконец, получены новые точные условия устранимости изолированных особенностей для решений таких уравнений.

Ключевые слова: квазилинейные эллиптические и параболические уравнения, критерий Винера, устранимые особенности, классы Като, неравенство Харнака.

Skrypnik I.I. Local behaviour of solutions of quasilinear elliptic and parabolic equations. Manuscript.

Thesis for a Doctor’s degree (physical and mathematical sciences) by the speciality 01.01.02 – Differential Equations. – Institute of Applied Mathematics and Mechanics NAS of Ukraine, Donetsk, 2005.

The thesis is devoted to the problems of local behaviour of solutions of quasilinear parabolic equations in divergence form near the nonsmooth cylindrical boundary and problems of local behaviour of solutions of quasilinear elliptic and parabolic equations near the singularities.

For quasilinear parabolic equations of diffusion and porous medium types, the Wiener criterion is proved. This result is new also for model quasilinear parabolic equations and coincides with the well-known Wiener criterion for elliptic equations.

For solutions of general quasilinear elliptic and parabolic equations in divergence form and for equations with on absorbing term the new integral and point-wise estimates near the singularities are proved. Exact conditions of removability of singularities for solutions of such equations are also proved. These results are new even for linear equations with bounded measurable coefficients.

For solutions of general quasilinear elliptic equations in divergence form with coefficients from the Kato class the Harnack-type inequality is proved. Exact conditions of removability of singularities for such a type of equations and equations with absorting term are also obtained.

Keywords: quasilinear elliptic and parabolic equations, Wiener criterion, removable singularities, Kato classes, Harnack-type inequality.