МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

СЕМЕНИШИНА Ірина Віталіївна

УДК 517.949

НАПІВІНВАРІАНТНІ МНОГОВИДИ ТА ПЕРІОДИЧНІ

РОЗВ’ЯЗКИ ВИРОДЖЕНИХ РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ

У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Кам’янець-Подільському державному університеті, міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

ТЕПЛІНСЬКИЙ Юрій Володимирович, Кам’янець-

Подільський державний університет, завідувач кафедри

диференціальних рівнянь і геометрії.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук ГОРОДНІЙ Михайло

Федорович, Київський національний університет імені

Тараса Шевченка, професор кафедри

математичного аналізу,

кандидат фізико-математичних наук КЛЕВЧУК Іван

Іванович, Чернівецький національний університет імені

Юрія Федьковича, доцент кафедри математичного

моделювання.

Провідна установа - Одеський національний університет імені

І.І. Мечникова, кафедра диференціальних рівнянь.

Захист відбудеться “18 11 2005 року о 1400 на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 у Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Університетська, 28, аудиторія 8

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (58012, м. Чернівці, вул. Л. Українки, 23

Автореферат розісланий “16 10 2005 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бігун Я. Й.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Добре відомо, що систематичне вивчення різницевих рівнянь почалось у другій половині ХХ століття, що було зумовлено в першу чергу розвитком технічних наук. Ці рівняння виявились корисними при дослідженні дискретних динамічних систем, імпульсних систем та систем, що містять цифрові обчислювальні пристрої. Різницеві рівняння набули також широкого використання в чисельному розв’язуванні диференціальних рівнянь різних типів, що було зумовлено застосуванням методу скінченних різниць. У наш час широко відомі монографії Я.В. Бикова та В.Л. Линенка; А. Халаная та Д. Векслера; Д.І. Мартинюка; Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка та Д.І. Мартинюка; О.М. Шарковського, Ю.Л. Майстренка та О.Ю. Романенко, в яких розглянуто різноманітні питання теорії різницевих рівнянь. Багато результатів у цій галузі, що стосуються відшукання коливних розв’язків, побудови інваріантних многовидів, проблем звідності та стійкості розв’язків диференціально-різницевих та різницевих рівнянь, одержано в роботах Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, Д.І. Мартинюка, М.Й. Ронто, В.О. Плотнікова, Р.І. Петришина, С.І. Трофимчука, В.І. Ткаченка, Г.П. Пелюха, В.І. Фодчука, І.М. Черевка, І.І. Клевчука, А.М. Атейві, В.Я. Данилова та багатьох інших математиків. Більшість з одержаних результатів стосується різницевих рівнянь у скінченновимірних просторах. При цьому для дослідження періодичних розв’язків рівнянь різного виду зручним виявився відомий чисельно-аналітичний метод А.М. Самойленка. Історії розвитку та різноманітним застосуванням цього методу присвячено серію статей М.Й. Ронто, А.М. Самойленка та С.І. Трофимчука в Українському математичному журналі, перша з яких опублікована в 1998 році. Для вивчення інваріантних тороїдальних многовидів цих рівнянь надзвичайно плідним виявився метод функції Гріна задачі про інваріантні тори, створений А.М. Самойленком у 1970 році (тепер його називають методом функції Гріна-Самойленка). Не дивлячись на те, що на той час теорія інваріантних тороїдальних многовидів була в основному сформована в роботах М.М. Крилова, М.М. Боголюбова, Ю.О. Митропольського, О.Б. Ликової Я. Курцвейля, Дж. Хейла, I. Kупки, В. Кайнера, Ю. Moзера, С. Диліберто, Р. Сакера, цей метод дозволив одержати надзвичайно багато нових результатів, особливо в теорії нелінійних коливань.

Значно менша кількість опублікованих робіт присвячена дослідженню різницевих рівнянь у нескінченновимірних просторах. Частина одержаних у цих роботах результатів стосується побудови коливних розв’язків та дослідження інваріантних многовидів рівнянь вказаного типу у банахових просторах обмежених числових послідовностей. Основу цього напрямку досліджень було закладено в наукових розробках А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, Д.І. Мартинюка, Ю.В. Теплінського, Б.Х. Жанбусінової, А.А. Ельназарова, Г.В. Верьовкіної, Н.А. Марчук, В.Є. Лучика. Фундаментальні результати у теорії різницевих рівнянь в абстрактних банахових просторах одержано в роботах А.Я. Дороговцева, В.Ю. Слюсарчука, М.Ф. Городнього.

Варто відзначити також ряд робіт В.І. Ткаченка, С.І. Трофимчука, Ю.В. Томілова, А.М. Ронто, присвячених цій тематиці.

Актуальність цієї дисертаційної роботи полягає у подальшому розвитку теорії періодичних розв’язків та напівінваріантних многовидів для вироджених нелінійних різницевих рівнянь з дискретним аргументом у банахових просторах. Більшість одержаних тут результатів є новими і для різницевих рівнянь у скінченновимірних просторах.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках державної бюджетної наукової теми “Аналітичні та якісні методи дослідження крайових задач для диференціальних і різницевих рівнянь” (категорія – фундаментальні науки), яка розроблялась на кафедрі диференціальних рівнянь і геометрії Кам’янець-Подільського державного університету. Номер державної реєстрації 0101U002155.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є подальший розвиток теорії нелінійних різницевих рівнянь у банахових просторах. Задачі дослідження: навести достатні умови продовжуваності “вліво” розв’язків вироджених рівнянь першого та m-го порядків вказаного виду, побудувати обмежений гладкий напівінваріантний многовид виродженого нелінійного різницевого рівняння в банаховому просторі обмежених числових послідовностей, розробити методику наближеної побудови періодичних розв’язків нелінійних різницевих рівнянь першого та другого порядку в абстрактному банаховому просторі.

Методи дослідження. У роботі застосовано: метод Ньютона-Канторовича розв’язування операторних рівнянь; розроблені А.М. Самойленком чисельно-аналітичний метод відшукання періодичних розв’язків та метод функції Гріна задачі про інваріантні тори лінійних розширень динамічних систем на торах; метод укорочення К.П. Персидського.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержано наступні основні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист:

1) знайдено достатні умови продовжуваності “вліво” розв’язків нелінійних вироджених рівнянь першого та m-го порядків в абстрактному банаховому просторі. У випадку, коли розв’язки вказаних рівнянь не можна продовжити “вліво” потрібним чином, побудовано відповідні збурені рівняння, що надають таку можливість;

2) одержано достатні умови, при яких вироджена нелінійна система різницевих рівнянь визначає обмежений напівінваріантний многовид у банаховому просторі обмежених числових послідовностей m. Знайдено достатні умови гладкості цього многовиду;

3) досліджено питання існування періодичних розв’язків нелінійних різницевих рівнянь першого та другого порядку в банаховому просторі і запропоновано нову методику наближеної побудови цих розв’язків;

4) для різницевих рівнянь другого порядку в просторі m задачу побудови збурених рівнянь, що мають періодичні розв’язки (періодичну задачу керування), редуковано на скінченновимірний випадок, тобто періодичні

розв’язки побудованих збурених рівнянь одержуються з послідовності

періодичних розв’язків відповідних збурених укорочених різницевих

рівнянь за допомогою покоординатного граничного переходу в процесі

прямування до нескінченності розмірності цих укорочених рівнянь;

5) наведено приклади лінійних різницевих рівнянь першого та другого порядків у просторі m, для яких існують такі початкові значення, що періодичні розв’язки побудованих на їх основі збурених рівнянь одержуються з послідовності періодичних розв’язків відповідних збурених укорочених рівнянь за допомогою граничного переходу у сенсі норми простору m .

Теоретичне і практичне значення одержаних результатів. У першу чергу дисертація є теоретичним дослідженням. Одержані в ній результати складають основу для подальшого розвитку теорії вироджених нелінійних різницевих рівнянь у банахових просторах. Крім того, результати другого, четвертого і п’ятого розділів стосуються наближеної побудови або певних збурених рівнянь, або їх періодичних розв’язків, що є важливим для прикладної математики, фізики і техніки. Наприклад, процес наближеної побудови потрібного збурення для виродженого різницевого рівняння, побудований у другому розділі роботи, можна легко реалізувати на ЕОМ.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на ІІ Міжнародній науковій конференції “Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры” (15 – 19 вересня 1999 р.,

м. Актобе Республіки Казахстан), на VIII Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (11 – 14 травня 2000 р., м. Київ), на Міжнародній науковій конференції “ Нові підходи до розв’язування диференціальних

рівнянь” (1 – 5 жовтня 2001 р., м. Дрогобич), на Х Міжнародному симпозіумі “ Методы дискретних особенностей в задачах математической физики” (29 травня – 5 червня 2001 р., м. Херсон), на Міжнародній науковій конференції “Теорія еволюційних рівнянь ( П’яті Боголюбовські читання)” (22 – 24 травня 2002 р., м. Кам’янець-Подільський), на Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (9 – 12 вересня 2003 р., м. Івано-Франківськ); на Х Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (13 – 15 травня 2004 р., м. Київ), на Міжнародній науковій конференції “Интегральные уравнения и их применения” (29 червня – 4 липня 2005 р., м. Одеса), неодноразово на семінарі з диференціальних рівнянь фізико-математичного факультету Кам’янець-Подільського державного університету (керівник семінару профecop Ю.В. Теплінський); на об’єднаному науковому семінарі кафедри диференціальних рівнянь та кафедри оптимального керування і економічної кібернетики Одеського національного університету імені І.І. Мечникова (11 лютого 2005 р., керівники семінару професори В.М. Євтухов та В.О. Плотніков); на науковому семінарі факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (22 березня 2005 р., керівник семінару професор Р.І. Петришин); на семінарі з диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса

Шевченка (28 квітня 2005 р., керівник семінару член-кореспондент НАН України М.О. Перестюк).

Публікації. За темою дисертації є 16 публікацій: 8 – наукові статті [1 – 8], 8 – тези доповідей на наукових конференціях [9 – 16]. З них 5 робіт [1 – 5] опубліковано в центральних фахових журналах.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати одержано дисертанткою самостійно. У статтях [1 – 4, 8], написаних у співавторстві, співавторам належить загальна постановка задач і обговорення одержаних результатів, дисертантці – доведення теорем, лем та інших тверджень.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, п’яти розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 126 найменувань. Обсяг роботи складає 146 сторінок.

Основний зміст роботи

У вступі обговорюється актуальність теми, формулюються мета і задачі дослідження та наводиться анотація одержаних результатів. Основний текст дисертації розбито на п’ять розділів. Для зручності в авторефераті збережено нумерацію тверджень та формул з тексту дисертації.

У першому розділі проаналізовано наукові публікації за тематикою дисертаційної роботи.

Другий розділ присвячений відшуканню достатніх умов продовжуваності “вліво” розв’язків нелінійних вироджених рівнянь першого та m-го порядків в абстрактному банаховому просторі. Тут наведено чотири теореми, доведення яких опубліковано в статтях [5, 4, 8].

Розглянуто рівняння

, (2.1)

де відображення визначене на множині і набирає значень із , W – банахів простір з нормою , а відображення визначене на множині і набуває значень з

множини , . Під розвязком рівняння (2.1) розумітимемо таку дискретну функцію, визначену на множині , значення якої належать W, і .

Сформулюємо задачу: знайти розвязок рівняння (2.1) такий, що , де k – фіксоване натуральне число.

Якщо при відображення бієктивне, то існує єдиний такий розв’язок. У протилежному випадку рівняння (2.1) назвемо k – виродженим або просто виродженим.

Наступні умови назвемо умовами (А):

1) при всіх та
;

2) множина не порожня;

3) на множині функції диференційовні за Фреше, причому

де L і — додатні сталі, як завгодно мала.

Введемо формальні позначення:

, ,

де — додатна стала, а точка належить множині .

Тут і надалі похідну розумітимемо лише в сенсі Фреше.

Врахувавши, що розв’язок рівняння (2.1) задовольняє умову тоді і тільки тоді, коли х0 є розв’язком рівняння , і використавши модифікований метод Ньютона-Канторовича, доведено наступне твердження.

Теорема 2.1. Нехай виконуються умови (А) і справджуються нерівності , Тоді замкнена куля і містить єдиний розв’язок рівняння. Послідовність, що визначена рекурентним співвідношенням збігається до і

, де .

Наведено ілюстративний приклад, який доводить несперечливість умов теореми 2.1. Складність застосування цієї теореми полягає в перевірці оборотності оператора у деякій точці . У наслідку 2.1 ми наводимо достатні умови розвязуваності сформульованої вище задачі , при яких цей оператор є тотожним. Для прикладу розглянуто випадок, коли відображення є лінійним обмеженим оператором, визначеним на .

Якщо розвязок xn(x0) рівняння (2.1) при n=k не дорівнює d, наведено умови, при яких, піддавши рівняння (2.1) певному збуренню, одержимо рівняння, розязок якого zn(x0) при n=k дорівнює d. При цьому використано ідею чисельно-аналітичного методу А.М. Самойленка. А саме, справджується наступне твердження.

Теорема 2.2. Нехай n,2,3,…k-1} i

, (L)
де додатна стала К задовольняє нерівність 2kK<1. Тоді х0W існує таке керування (х0)W, що розвязок zn(x0) збуреного рівняння

, (2.8)задовольняє умову zk(x0)=d.

Одержано достатні умови, при яких вказане керування єдине, а також умови, при яких достатньо виконання нерівності (L) не на всьому просторі W, а лише на множині D. Оскільки точне рівняння (2.8) на практиці виписати неможливо, то вказано процес побудови такого збуреного рівняння виду (2.8), розв’язок zk(x0) якого відрізняється від d за нормою не більше як завгодно малого наперед заданого числа. Цей процес може бути реалізований на ЕОМ. Наведено приклад побудови потрібного збуреного рівняння в просторі R3 .

Далі розглянуто рівняння m- го порядку

(2.12)

де , функція fn відображує у W , m — натуральне число, що більше за одиницю.

Сформульовано задачу: знайти що визначає на розв’язок xn=xn(X0) рівняння (2.12), такий, що xі(X0)=xі при всіх i{0,1,…,m-1} i xk+m(X0)=d, де k та d – задані елементи з та W відповідно.

Введемо позначення:

де ,

а — кількість сполучень з елементів по .

Якщо хоча б одне з відображень не є оборотним, то рівняння (2.12) назвемо k-виродженим або просто виродженим.

Показано, що для існування хоча б одного шуканого розв’язку необхідно і досить, щоб рівняння

мало хоча б один розв’язок .

Доведено також (леми 2.3 – 2.5), що якщо для всіх та n{0,1,2,…k} відображення диференційовні на , причому

і ,

де L* та P – додатні сталі, які не залежать від , то відображення теж диференційовне на і його похідна є ліпшицевою на цій множині з коефіцієнтом , де =2m -1+Р.

При виконанні цих умов доведено наступне твердження.

Теорема 2.3. Нехай існує точка , в якій хоч одна з частинних похідних (0 p m-1) є оборотною, і

, .

Тоді, якщо , то в кулі з W, де t0 – менший корінь рівняння ht2-t+1=0, міститься єдина точка така, що є розв’язком рівняння ()=0.

Для знаходження точки записано послідовність, для якої вона є границею.

Припустимо тепер, що . У цьому разі знайдено умови, при яких, піддавши рівняння (2.12) певному збуренню, одержимо рівняння, розв’язок якого xn() дорівнює d при n=m+1.

Якщо k=0, то збурене рівняння легко записується:

,

де .

Але вже при k=1 задача якісно ускладнюється, про що свідчить наступне твердження.

Теорема 2.4. Нехай

, (2.21)

де додатна стала K задовольняє нерівність K < m+1.

Тоді існує єдине збурення ()W, при якому розв’язок zn() рівняння

,

задовольняє умову zm+1() = d.

Показано, що виконання нерівності (2.21) можна вимагати не на всьому просторі , а лише на деякій його підмножині.

У третьому розділі вивчаються питання існування та гладкості напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи різницевих рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей. Тут сформульовано дві теореми, доведення яких опубліковано в роботі [3].

Спочатку розглянуто систему різницевих рівнянь

n Z, (3.1)

де , m, W – довільний лінійний нормований простір, m — простір обмежених послідовностей дійсних чисел з нормою , функції та визначені на W і набирають значень з просторів W та m відповідно, – нескінченна матриця з дійснозначними елементами, – множина цілих чисел.

Домовимось норму матриці та норми в просторах , m позначати одним символом і розрізняти ці норми за контекстом. Будемо вважати, що

,

де , , – додатні сталі, що не залежать від .

Означення 3.1. Обмеженим інваріантним многовидом системи рівнянь (3.1) назвемо множину точок m: , якщо функція визначена , обмежена за нормою і задовольняє рівність

, , (3.2)

де – розв’язок першого рівняння системи (3.1), такий, що .

Означення 3.2. Вказану у попередньому означенні множину точок назвемо обмеженим напівінваріантним многовидом систем рівнянь (3.1), якщо рівність (3.2) справджується .

Сформулюємо два наступних твердження:

а) матриця оборотна, причому обернена до неї матриця

обмежена за нормою;

б) відображення оборотне.

Якщо хоч одне з цих тверджень не виконується, то систему рівнянь (3.1) називатимемо виродженою. Умови, при яких вироджена система рівнянь (3.1) має обмежений інваріантний або напівінваріантний многовид, сформульовано у наступній лемі.

Лема 3.1. Справджуються твердження:

1о) якщо умова б) виконується, а умова а) – ні, причому

то система рівнянь (3.1) має обмежений інваріантний многовид;

2о) якщо умова а) виконується, а умова б) – ні, причому

то система рівнянь (3.1) має обмежений напівінваріантний многовид.

Тут і - додатні сталі, що не залежать від .

Далі розглянуто систему рівнянь

(3.6) де функція та матриця визначені на множині причому на цій множині , , де , і — додатні сталі. Вважатимемо також, що матриця оборотна, і обернена до неї матриця рівномірно відносно обмежена за нормою додатною сталою .

Розглянуто ситуацію, при якій цій системі відповідає вироджена лінеаризована система

, (3.10)

для якої відображення не є оборотним.

Означення 3.3. Обмеженим напівінваріантним многовидом системи рівнянь (3.6) назвемо множину точок , що задовольняє умови означення 3.1, якщо в ньому рівність (3.2) замінити наступною:

,

де є розв'язком рівняння причому .

Побудовано послідовнсть функцій , кожна з яких визначає обмежений напівінваріантний многовид системи рівнянь , причому — функція, що визначає вказаний многовид системи (3.10).

Позначимо через та , де — як завгодно мале додатне число, множини та відповідно, через та — множини, елементами яких є функції, неперервно-диференційовні відносно на та відносно на відповідно, і через та

— підмножини з та , елементи яких мають ліпшіцеві похідні відносно та відповідно. Під символом розумітимемо не лише матрицю, а й відображення (матричну функцію) у множину нескінченних обмежених за нормою матриць з дійсними елементами. Напівінваріантний многовид системи рівнянь (3.6) вважатимемо гладким, якщо породжуючa його функція неперервно-диференційовна на .

Тепер сформулюємо основний результат цього розділу.

Теорема 3.2. Нехай матрична функція рівномірно неперервна на і виконуються наступні умови:

1) причому справджуються оцінки:

де — додатні сталі, що не залежать від ;

2) справджуються нерівності:

Тоді система рівнянь (3.6) має обмежений напівінваріантний многовид, породжуюча функція якого задовольняє на W умову Ліпшіца з коефіцієнтом , а функції належать множині .

Якщо при цьому з коефіцієнтом G, який не залежить від , то цей многовид є гладким, причому .

У четвертому розділі розглянуто рівняння

xn+1= xn+fn(xn), nZ, (4.1)

де f: (n,x)?fn(x) – N-періодична відносно n функція, визначена в області ZD,

fn(x)W xD, nZ, W – довільний банаховий простір. Комбінуючи чисельно-аналітичний метод А.М. Самойленка і модифікований метод Ньютона-Канторовича, у цьому розділі побудовано процес наближеного знаходження N-періодичного розвязку рівняння (4.1), який можна застосовувати як для не вироджених, так і для вироджених рівнянь. Тут сформульовано дві теореми, доведення яких опубліковано в роботі [1].

Числову множину {0,1,2,…,N-1} позначимо через ZN, а середнє , де aнW нZN, – через . Задамо послідовність функцій на ZN рекурентним співвідношенням

(4.2)

Наступні умови назвемо умовами (В):

1) виконуються нерівності

де М та – додатні сталі;

2) множина не порожня.

Якщо виконуються умови (В) і , то існує єдине керування uW таке, що рівняння

xn+1= xn+fn(xn)–u, nZ,

має N-періодичний розв’язок . При цьому та справджуються оцінки

де x(s)(n,x0) визначається рекурентним співвідношенням (4.2),

Визначимо на відображення і наведемо необхідні і достатні умови існування розв’язку рівняння (х)=0 в деякій замкненій кулі .

Теорема 4.1. Якщо виконуються умови (В) і , то рівняння (х)=0 має розв’язок тоді і тільки тоді, коли існує така збіжна до х* послідовність xpS, що p(хp)0 при p.

Для зручності через позначатимемо різницю . Наступне твердження та наслідок з нього становлять основний результат цього розділу.

Теорема 4.2. Нехай справджуються умови (В) та наступні вимоги:

1)

,

де L0=const>0, PN<2;

2)

де Е – тотожний оператор;

3)

, t* – менший корінь рівняння .

Тоді в кулі В* існує єдина точка х*, яка визначає N – періодичний розв’язок рівняння (4.1). При цьому

,

де , функції визначено співвідношенням (4.2),  – послідовність, що побудована за методом Ньютона-Канторовича.

Введемо позначення :

Наслідок 4.2. Нехай справджуються умови 1 і 2 теореми 4.2; при деякому s=s0 замкнена куля , де – менший корінь рівняння , а стала визначається рівністю

Тоді

, (4.20)

причому справджується оцінка

де – послідовність, побудована за методом Ньютона-Канторовича, границя якої при k є розв’язком рівняння ,

Як приклад, для лінійного рівняння xn+1=xn+A(n)xn, nZ, де N-періодична відносно nZ нескінченна матриця, розглянуто задачу про редукцію проблеми відшукання періодичних розв’язків на випадок рівнянь у скінченновимірних просторах зростаючої розмірності.

У п’ятому розділі здійснено наближену побудову періодичного розв’язку рівняння другого порядку. Ідея проведених міркувань така сама, як і в попередньому розділі, але техніка її реалізації значно ускладнюється. Тут доведено три основні теореми. Ці результати опубліковано в статтях [2, 6, 7].

Розглянуто рівняння

(5.1)
де , , WW — декартовий добуток, W — банахів простір, функція fn(x,y) N-періодична відносно n на множині Z. Визначимо оператор L, що діє на послідовність точок наступним чином:

Наступні умови назвемо умовами (V):

а) функція fn(x,y) визначена в області =ZDD, причому в цій області

де M,R,K1,K2 – додатні сталі, що не залежать від nZ та ;

б) множина не порожня, і

Покладемо L2fn(x,y)=gn(x,y) і задамо послідовність рекурентними співвідношеннями

(5.7)

При умовах (V) справджується твердження:

функція є N-періодичним розв’язком рівняння

µW,

в якому причому

при m.

Введемо позначення :

, =, , L= , = ,

,

t0 – менший корінь рівняння ht2-t+1=0. Під нормою || (x,y) || елемента (x,y) розумітимемо max{ || x ||, || y ||}, де || ||, || y || – норми в області .

Теорема 5.1. Нехай виконуються умови (V) та наступні вимоги:

1) функція диференційовна в області , причому

,

де і — додатні сталі і ;

2) існують точка і послідовність індексів такі, що приsZ+

;

3) сталі L і такі, що причому замкнена куля t* — менший корінь рівняння h*t2-t+1=0.

Тоді в замкненій кулі B(x0,kt0) B*(x0,k*t*) існує єдина точка х*, породжуюча N-періодичний розв’язок рівняння (5.1). При цьому справджується нерівність

де функції визначені співвідношеннями (5.7), а – послідовність, визначена рекурентним співвідношенням

Введемо позначення:

Доведено, що , (ps) та (ps) прямують до нуля при s. Сформульовано твердження, яке дозволяє наблизити функцію функцією з довільною наперед заданою точністю, де точка для всіх визначається рекурентним співвідношенням

.

Теорема 5.2. В умовах теореми 5.1 справджується співвідношення

(5.19)
причому при ps i m, більших від двох, мають місце нерівності

Якщо W є простором m, то

mmm

при кожному . У цьому разі одержується рівняння

, , (F)

що є частковим випадком рівняння (5.1). Розглянемо укорочене рівняння

(5.23)
що відповідає рівнянню (F), де , = =.

Як показано вище, в умовах (V) для рівняння (F) існує єдине керування m таке, що відповідне збурене рівняння

,
має єдиний N_періодичний розв’язок , який при n=0 набуває значення . Цей розв’язок збігається з функцією , побудованою за вищевказаною схемою, а керування m. Останнє твердження справджується і для рівняння (5.23), тобто при кожному існує єдине керування таке, що рівняння , має єдиний N _періодичний розв’язок , який при n=0 набирає значення

. При цьому функція будується аналогічно до функції , а

.

Скажемо, що функція fn(x,y) задовольняє підсилені умови Коші_Ліпшіца в області , якщо для всіх nZ справджується нерівність

,

де (m)0 і (m)0 при m. Тут , причому m перших координат точок х і х та m перших координат точок у і у співпадають.

Теорема 5.3. Нехай для рівняння (F) виконуються умови (V) і функція fn(x,y) задовольняє підсилені умови Коші_Ліпшіца в області . Тоді справджується співвідношення

(5.26)
в якому внутрішня границя розуміється в сенсі норми, а зовнішня – в покоординатному сенсі.

На завершення, як приклад, в просторі m розглянуто рівняння де і – необоротні при всіх nZ N_періодичні матриці, рівномірно відносно n обмежені за нормою. Наведено достатні умови, при яких обидва граничні переходи у співвідношенні (5.26) для цього рівняння здійснюються в сенсі норми.

Висновки

1. Одержано достатні умови продовжуваності “вліво” розв’язків нелінійних вироджених рівнянь першого та m-го порядків в абстрактному банаховому просторі. У випадку, коли розв’язки вказаних рівнянь не можна продовжити “вліво” потрібним чином, побудовано відповідні збурені рівняння, які надають таку можливість.

2. Одержано достатні умови, при яких вироджена нелінійна система різницевих рівнянь визначає обмежений напівінваріантний многовид у банаховому просторі обмежених числових послідовностей, породжуюча функція якого диференційовна в сенсі Фреше.

3. Досліджено питання існування періодичних розв’язків нелінійних різницевих рівнянь першого та другого порядку в банаховому просторі і запропоновано нову методику наближеної побудови цих розв’язків.

4. Для нелінійних різницевих рівнянь другого порядку в просторі m періодичну задачу керування редуковано на скінченновимірний випадок.

Публікації за темою дисертації

1. Теплинский Ю.В., Семенишина И.В. О периодических решениях разностных уравнений в бесконечномерных пространствах // Нелінійні

коливання. – 2000. – 3, № 3. – С. 414 — 430.

2. Teplinsky Yu. V., Semenishina I.V. On finding periodic solutions of second order difference equations in a banach space // Nonlinear oscillations. – 2001. – 4, №3. – P. 405 — 421.

3. Самойленко А.М., Теплінський Ю.В., Семенишина І.В. Про існування гладкого обмеженого напівінваріантного многовиду виродженої нелінійної системи рівнянь у просторі m // Нелінійні коливання. – 2003. –6, №3. – С. 378 — 400.

4. Теплінський Ю.В., Семенишина І.В. Про задачу Коші для вироджених різницевих рівнянь m-го порядку в банаховому просторі //Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 8. – С. 1127 — 1137.

5. Семенишина І.В. Про задачу Коші для вироджених різницевих рівнянь у банаховому просторі // Доп. НАН України. – 2003. — №7. – С. 27 — 33.

6. Семенишина І.В. Про періодичні розв’язки різницевих рівнянь другого порядку в банаховому просторі // Збірник наукових праць Кам’янець-Подільського державного педагогічного університету. Серія фізико-математична. – 2000. – Випуск 5.– С. 106 — 111.

7. Семенишина І.В. Про періодичні розв’язки різницевих рівнянь другого порядку в просторі обмежених числових послідовностей // Збірник наукових праць Кам’янець-Подільського державного педагогічного університету. Серія фізико-математична.– 2002. – Випуск 6.–С. 123—128.

8. Теплінський Ю.В., Семенишина І.В. Про задачу Коші для вироджених різницевих рівнянь у банаховому просторі // Крайові задачі для диференціальних рівнянь. Збірник наукових праць. – Чернівці: Прут. – 2001. – Вип. 7. – С. 322 — 333.

9. Теплинский Ю.В., Семенишина И.В. Краевые задачи для разностных и дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах // Международная научная конференция “Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры”. Тезисы. – Актобе. – 1999. – С. 62.

10. Семенишина И.В. О периодических решениях разностных уравнений в банаховых пространствах // VІІІ Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. – Київ. – 2000. – С. 357.

11. Семенишина І.В. Про відшукання періодичних розв’язків різницевих рівнянь другого порядку в банаховому просторі // Труды Х международного симпозиума “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики”. – Херсон. – 2001. – С. 313 — 317.

12. Теплінський Ю.В., Семенишина І.В. Про відшукання періодичних розв’язків різницевих рівнянь у банаховому просторі // Міжнародна наукова конференція “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь”. Тези доповідей. – Київ. – 2001. – С. 142.

13. Семенишина І.В. Про задачу Коші для вироджених різницевих рівнянь у банаховому просторі // Міжнародна наукова конференція “Теорія еволюційних рівнянь (П’яті Боголюбовські читання)”. Тези. – Кам’янець-Подільський. – 2002. – С. 154.

14. Теплінський Ю.В., Семенишина І.В. Напівінваріантні многовиди вироджених нелінійних різницевих рівнянь у просторі m // ІІІ

Всеукраїнська наукова конференція “Нелінійні проблеми аналізу”. Тези.

– Івано-Франківськ. – 2003. – С. 102.

15. Теплінський Ю.В., Семенишина І.В. Напівінваріантні многовиди та періодичні розв’язки вироджених різницевих рівнянь у банахових

просторах // Х Міжнародна наукова конференція імені академікa M. Кравчука. Матеріали конференції. – Київ. – 2004. – С. 525.

16. Семенишина І.В. Напівінваріантні многовиди вироджених різницевих рівнянь у банахових просторах // Международная конференция “Интегральные уравнения и их применения”. Тезисы. – Одесса. – 2005. – С. 137.

Анотації

Семенишина І. В. НАПІВІНВАРІАНТНІ МНОГОВИДИ ТА ПЕРІОДИЧНІ РОЗВ’ЯЗКИ ВИРОДЖЕНИХ РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ. – Рукопис. – Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, 2005.

Дисертацію присвячено дослідженню вироджених нелінійних різницевих рівнянь у банахових просторах. Основними задачами дослідження є побудова обмеженого напівінваріантного многовиду та наближене відшукання періодичних розв’язків рівнянь вказаного типу. В роботі знайдено достатні умови продовжуваності “вліво” розв’язків нелінійних вироджених рівнянь першого та m-го порядків в абстрактному банаховому просторі. У випадку, коли розв’язки вказаних рівнянь не можна продовжити “вліво” потрібним чином, побудовано відповідні збурені рівняння, які надають таку можливість. Одержано достатні умови, при яких вироджена нелінійна система різницевих рівнянь визначає обмежений напівінваріантний многовид у банаховому просторі обмежених числових послідовностей m, і знайдено достатні умови гладкості цього многовиду. Досліджено питання існування періодичних розв’язків нелінійних різницевих рівнянь першого та другого порядку в абстрактному банаховому просторі і запропоновано нову методику наближеної побудови цих розв’язків. Для нелінійних різницевих рівнянь другого порядку в просторі m періодичну задачу керування редуковано на скінченновимірний випадок, тобто періодичні розв’язки побудованих на їх основі збурених рівнянь спеціального виду одержуються з послідовності періодичних розв’язків відповідних збурених укорочених різницевих рівнянь (рівнянь у скінченновимірних просторах) за допомогою покоординатного граничного переходу в процесі необмеженого зростання розмірності цих просторів. Наведено приклади лінійних різницевих рівнянь першого та другого порядків у просторі m, для яких існують такі початкові значення, що періодичні розв’язки побудованих на їх основі збурених рівнянь одержуються з послідовності періодичних розв’язків відповідних збурених укорочених рівнянь за допомогою граничного переходу у сенсі норми простору m .

Ключові слова. Різницеві рівняння, банаховий простір, інваріантний многовид, диференційованість за Фреше, функція Гріна-Самойленка, періодична задача керування.

Semenyshyna Semiinvariant manifolds and periodic solutions of degenerate difference equations in Banach spaces. — Manuscript.

The thesis is presented for a scientific degree of the candidate of physics and mathematics in speciality 01.01.02 — Differential Equations. Chernivtsi National University named after Yuri’kovych, 2005.

The thesis is devoted to study of degenerate nonlinear difference equations in Banach spaces. The main tasks of the research are both construction of a bounded semiinvariant manifold and finding approximate periodic solutions for such equations. For solutions of nonlinear degenerate equations of first and mth order in an abstract Banach space, sufficient conditions of extendibility “to the left” were established in the work. In the case when solutions of such equations cannot be extended “to the left” in necessary way, corresponding perturbed equations which enable that extending are constructed. Sufficient conditions for a degenerate system of difference equations to determine a bounded semiinvariant manifold in the Banach space of bounded number sequences m are found, as well as sufficient conditions of smoothness of that manifold. For periodic solutions of nonlinear difference equations of first and second order in an abstract Banach space, the question of existence is researched; a method of approximate construction of those solutions is proposed. For nonlinear difference equations of second order in the space m, the periodic problem of control is reduced to the finite-dimensional case, i.e. the periodic solutions of accordingly constructed perturbed equations of a special type are being obtained from a sequence of periodic solutions of corresponding perturbed reduced difference equations (in finite-dimensional spaces) through the coordinate-wise limit transition (the dimension of those spaces grows up to infinity). The examples of linear difference equations of first and second order in m, for which there exist such initial values that the periodic solutions of accordingly constructed perturbed equations are being obtained from a sequence of periodic solutions of corresponding perturbed reduced equations through the limit transition with respect to the norm in m, are presented.

Key words: difference equations, Banach space, invariant manifold, differentibility in Freche sense, Green-Samoilenko function, periodic problem of control.

Семенишина И. В. ПОЛУИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. – Рукопись. – Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, 2005.

Диссертация посвящена исследованию вырожденных нелинейных разностных уравнений в банаховых пространствах. Основными задачами исследования являются построение ограниченного полуинвариантного

многообразия и приближённое отыскание периодических решений уравнений указанного типа. В работе найдены достаточные условия продолжимости “влево” решений нелинейных вырожденных уравнений первого и m-го порядков в абстрактном банаховом пространстве. В случае, когда решения этих уравнений нельзя продолжить “влево” нужным образом, построены соответствующие возмущённые уравнения, которые предоставляют такую возможность. Получены достаточные условия, при которых вырожденная нелинейная система разностных уравнений определяет ограниченное полуинвариантное многообразие в банаховом пространстве ограниченных числовых последовательностей m, и указаны достаточные условия гладкости этого многообразия. Исследован вопрос существования периодических решений нелинейных разностных уравнений первого и второго порядков в абстрактном банаховом пространстве, предложена новая методика приближённого построения этих решений. Для нелинейных разностных уравнений второго порядка в пространстве m периодическую задачу управления редуцировано на конечномерный случай, то-есть периодические решения построенных на их основе возмущённых уравнений специального вида находятся как покоординатный предел последовательности периодических решений соответствующих возмущённых укороченных разностных уравнений (уравнений в конечномерных пространствах) в процессе неограниченного роста размерности этих пространств. Приведены примеры линейных разностных уравнений первого и второго порядков в пространстве m, для которых существуют такие начальные значения, что перпериодические решения построенных на их основе возмущённых уравнений получаются из последовательности периодических решений соответствующих возмущённых укороченных уравнений с помощью предельного перехода в смысле нормы пространства m .

В работе использованы метод Ньютона-Канторовича решения операторных уравнений; численно-аналитический метод построения периодических решений и метод функции Грина задачи об инвариантных торах линейных расширений динамических систем на торах, разработанные А.М. Самойленко; метод укорочения К.П. Персидского.

Ключевые слова. Разностные уравнения, банахово пространство, инвариантное многообразие, дифференцируемость по Фреше, функция Грина-Самойленко, периодическая задача управления.