НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

СОКОЛЕНКО Ігор Володимирович

УДК 517.5

НАБЛИЖЕННЯ -ІНТЕГРАЛІВ ФУНКЦІЙ, ЗАДАНИХ НА ДІЙСНІЙ ОСІ

01.01.01 — математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

СТЕПАНЕЦЬ Олександр Іванович,

Інститут математики НАН України,

заступник директора з наукової роботи.

Офіційні опоненти:

доктор фізико--математичних наук, професор

Задерей Петро Васильович,

Київський національний університет технологій та дизайну,

завідувач кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук, професор

Рукасов Володимир Іванович,

Слов'янський державний педагогічний університет, ректор.

Провідна установа Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут" МОН України, кафедра математичного аналізу та теорії ймовірності.

Захист вiбудеться "31" травня 2005 р. о 15 годинi на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий "15" квітня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Природним апаратом наближення періодичних функцій є тригонометричні поліноми, зокрема, поліноми, які породжуються лінійними операторами — відомими лінійними процесами підсумовування рядів Фур'є. Найбільше уваги приділяють оператору Фур'є, який кожній періодичній функції ставить у відповідність послідовність її частинних сум.

Для наближення функцій, заданих на дійсній осі, природним апаратом наближення є цілі функції експоненціального типу. Основи сучасної теорії наближення цілими функціями закладено С.Н. Берштейном. Саме йому належить ідея побудови теорії наближення функцій, заданих на дійсній осі, яка б охоплювала і теорію наближення періодичних функцій. Ця ідея виявилась дуже корисною для обох теорій — протягом останніх десятиріч вони успішно розвиваються і взаємно доповнюють одна одну. Так, у 1983 році О.І. Степанцем були введені і вивчались апроксимативні властивості класів           2р-періо-дичних функцій, зокрема було знайдено асимптотичні формули відхилень сум Фур'є на цих класах і розв'язано задачу про одночасне наближення функцій і їх похідних. У 1988 році О.І.Степанець ввів класи функцій, заданих на дійсній осі, — неперіодичні аналоги класів , апроксимативні характеристики яких досліджувались в багатьох роботах, і зокрема було поставлено та розв'язано задачу про одночасне наближення неперервних функцій з класів і їх похідних операторами Фур'є в рівномірній метриці.

З 1996 року О.І. Степанцем і його послідовниками досліджуються апроксимативні властивості класів

2р-періодичних функцій, які є узагальненнями класів

Тому постала природна проблема отримання на класах

результатів, відомих на класах

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі теорії функцій Інституту математики НАН України згідно з науково-дослідною темою: "Структурні та апроксимаційні властивості функціональних множин", номер державної реєстрації 0198 U 001990.

Мета i задачі дослідження. Метою роботи є знаходження асимптотичних формул для точних верхніх меж відхилень операторів Фур'є на класах локально сумовних функцій, що задаються інтегралами, а також одержання асимптотичних законів спадання функціоналів, що характеризують задачу про одночасне наближення

інтегралів локально сумовних функцій за допомогою операторів Фур'є.

Об'єктом дослідження є класи

локально сумовних функцій, що задаються інтегралами.

Предметом дослідження є апроксимаційні характеристики операторів Фур'є на класах ,, а також функціонали, що характеризують задачу про одночасне наближення

інтегралів локально сумовних функцій за допомогою операторів Фур'є.

Задачі дослідження:

1. Знайти асимптотичні (при ) формули відхилень операторів Фур'є

             на класах неперервних функцій                    

в рівномірній метриці за умов:                                                    

тобто у випадках, коли ці класи охоплюють функції малої гладкості, гладкі функції, нескінченно диференційовні, в тому числі аналітичні і цілі функції.

2. Одержати оцінки відхилень операторів Фур'є на множинах інтегралів Пуассона функцій з простору                    

які виражаються через значення найкращих наближень таких функцій цілими функціями експоненціального типу в метриці простору       

Показати непокращуваність таких оцінок на важливих функціональних підмножинах.

3. Отримати асимптотичні закони спадання функціоналів, які характеризують задачу про одночасне наближення    

інтегралів функцій з класів         

i           

за допомогою операторів Фур'є в рівномірній метриці.

4. Знайти асимптотичні                    закони спадання функціоналів, які характеризують задачу про одночасне наближення        інтегралів періодичних функцій за допомогою сум Фур'є в рівномірній метриці, а також розглянути випадки, коли наближення лінійних комбінацій         інтегралів періодичних функцій за допомогою сум Фур'є мають порядок найкращого наближення.

При розв'язанні поставлених задач в дисертаційній роботі використовуються загальні методи математичного аналізу в поєднанні з методами, які були розроблені О.І. Степанцем.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають в наступному:

1. Знайдено асимптотичні формули відхилень операторів Фур'є на класах неперервних функцій                        в рівномірній метриці за умов: .

2. Одержано оцінки відхилень операторів Фур'є на множинах інтегралів Пуассона функцій з простору які виражаються через значення найкращих наближень таких функцій цілими функціями експоненціального типу в метриці простору і які в періодичному випадку відповідають класичній нерівності Лебега для сум Фур'є. Показано непокращуваність отриманих оцінок на деяких важливих функціональних підмножинах.

3. Отримано асимптотичні закони спадання функціоналів, які характеризують задачу про одночасне наближення інтегралів функцій з класів

i за допомогою операторів Фур'є в рівномірній метриці.

4. Знайдено асимптотичні закони спадання функціоналів, які характеризують задачу про одночасне наближення інтегралів періодичних функцій за допомогою сум Фур'є в рівномірній метриці, а також розглянуто випадки, коли наближення лінійних комбінацій інтегралів періодичних функцій за допомогою сум Фур'є мають порядок найкращого наближення.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи і методика їх отримання можуть бути використані при дослідженні множин періодичних функцій і функцій, заданих на дійсній осі.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослідження, а також постановка задач належать науковому керівникові — О.І. Степанцю. Результати підрозділів 2.1, 2.3, 3.1 та теорему 2.2.2 отримано спільно з науковим керівником. Внесок обох авторів у ці результати є рівноцінним. Всі інші результати отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:

— семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук, член-кореспондент НАН України О.І. Степанець);

— семінарі "теорія функцій" (механіко-математичний факультет Київського національного університету ім. Тараса Шевченка, керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук, професор І.О. Шевчук);

— міжнародній науковій конференції "Шості Боголюбовські читання", Чернівці, 26-30 серпня 2003 року.

Публікації. Основні результати, які висвітлені в дисертації, опубліковані в роботах [1-5].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 91 найменування. Повний обсяг роботи складає 114 сторінок машинописного тексту.

Основний зміст дисертації

У першому розділі дисертаційної роботи наведено огляд літератури за її темою. Зокрема, в підрозділі 1.1 показано, як означаються класи $\ \widehat L^{\bar\psi}\mathfrak N\ $ локально сумовних функцій, що задані на дійсній осі, розглянуто деякі властивості цих класів і показано зв'язок між ними і добре відомими класами періодичних функцій $\ L^{\bar\psi}\mathfrak N$, а також проведено огляд робіт, присвячених вивченню апроксимаційних характеристик класів $\ \widehat L^{\bar\psi}\mathfrak N.\ $

Скрізь далі будемо використовувати означення і позначення, які належать О.І.~Степанцю.

Нехай $\ \widehat{L}_p ,\ p\ge 1 ,\ $ — множина функцій $\ \varphi(\cdot),\ $ які задані на дійсній осі $\ \mathbb{R}\ $ і мають скінченну норму $\ \|\varphi\|_{\widehat{p}},\ $ де $$\|\varphi\|_{\widehat{p}}=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \sup\limits_{a\in \mathbb{R}} \bigg(\int\limits_a^{a+2\pi} |\varphi(t)|^p dt\bigg)^{1/p},\ & p\in [1,\infty),\\ \displaystyle\mathop{\rm ess\, sup}\limits_{t\in \mathbb {R}} |\varphi (t)|,\ & p=\infty, \end{matrix} \right.\eqno(1) $$ а $L_p$ — підмножина всіх $2\pi$-періодичних функцій з $\widehat{L}_p$.

Нехай, далі, $\ \bar\psi=(\psi_1,\psi_2)\ $ — пара неперервних при $\ t\ge 0\ $ функцій $\ \psi_1(t)\ $ i $\ \psi_2(t)\ $ таких, що майже для всіх $\ t\in \mathbb{R}\ $ існує перетворення Фур'є $$\widehat{\psi}(t)=\widehat\psi_{1+}(t)+i\widehat\psi_{2-}(t), $$ де $$ \widehat h(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(x)e^{-ixt} dx~~~ \forall h\in L(\mathbb{R}), $$ $\psi_{1+},\psi_{2+}\ $ і $\ \psi_{1-},\psi_{2-}\ $ — парні і непарні продовження функцій $\ \psi_1,\ \psi_2,\ $ відповідно.

Тоді через $\ \widehat{L}^{\bar\psi}\ $ позначають множину всіх функцій $\ f\in\widehat L_1,\ $ які майже для всіх $\ x\ $ можна подати у вигляді $$f(x)=A_0+\int\limits_{-\infty}^\infty\varphi(x-t) \widehat \psi(t)dt= A_0+ \varphi \ast\widehat\psi(x),\eqno(2) $$ де $\ A_0\ $ — деяка константа, $\ \varphi\in\widehat L_1,\ $ а інтеграл означається як границя інтегралів по симетричних проміжках, що розширюються.

Якщо $\ f\in\widehat L^{\bar\psi}\ $ і $\ \varphi\in\mathfrak N,\ $ де $\ \mathfrak N\ $ — деяка підмножина з $\ \widehat L_1,\ $ то пишуть $\ f\in\widehat{L}^{\bar\psi}\mathfrak N.\ $} Підмножини неперервних функцій з $\ \widehat{L}^{\bar\psi\ }$ і $\ \widehat{L}^{\bar\psi}{\mathfrak N}\ $ позначають $\ \widehat{C}^{\bar\psi}\ $ і $\ \widehat{C}^{\bar\psi}\mathfrak N\ $ відповідно. Функцію $\ f(\cdot)\ $ в рівності (2) називають {\it $\ \bar{\psi}$-інтегралом} функції $\ \varphi(\cdot)\ $ і записують \mbox{$\ f(\cdot)={\cal J} ^{\bar\psi} (\varphi,\cdot).\ $} Іноді функцію $\ \varphi(\cdot)\ $ називають $\ \bar\psi$--похідною $\ f(\cdot)\ $ і записують \mbox{$ \varphi(\cdot)=f^{\bar\psi}(\cdot).$}

При означенні множин $\ \widehat{L}^{\bar\psi}\ $ функції $\ \psi_1(t)\ $ і $\ \psi_2(t)\ $ підпорядковані умові, щоб перетворення Фур'є $\ \widehat\psi(x)\ $ функції $\ \psi(t)=\psi_{1+}(t)+i\psi_{2-}(t)\ $ існувало майже для всіх $\ x.\ $ Вкажемо достатні умови для того, щоб перетворення Фур'є $\ \widehat\psi(x)\ $ було сумовним на дійсній осі.

Нехай $\ \mathfrak A\ $ — множина всіх неперервних при $\ t\ge 0\ $ функцій $\ h,\ $ які задовольняють умови:\ 1) $\ h(t)\ge 0,\ h(0)=0,\ \ h\ $ зростає на $\ [0,1];$\ 2) $\ h\ $ опукла вниз на $\ [1,\infty)\ $ і $\ \lim\limits _{t\longrightarrow\infty}h(t)=0;\ $\ 3) $\ h'(t):=h'(t+0)\ $ є функцією обмеженої варіації на $\ [0,\infty).\ $ Підмножину всіх функцій $ h $ з $ \mathfrak A, $ які задовольняють умову $ \int_1^{\infty} \frac{h(t)}{t} dt < \infty,$ позначають через $ \mathfrak A'.$

Якщо $\ \psi_1\in {\mathfrak A}\ $ i $\ \psi_2\in{\mathfrak A}',\ $ то перетворення Фур'є \mbox{$ \widehat\psi(t)=\widehat\psi_{1+}(t)+i\widehat\psi_{2-}(t) $} сумовне на дійсній осі .

Для даної пари $\bar\psi=(\psi_1,\psi_2)$ і функції $\varphi\in L_1$ з рядом Фур'є $$ S[\varphi]=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty (a_k\cos kx+ b_k \sin kx)=\sum\limits_{k=0}^\infty A_k(\varphi,x) $$ розглянемо ряд $$ \sum\limits_{k=0} ^\infty \left(\psi_1(k) A_k(\varphi,x) +\psi_2(k) \widetilde{A}_k (\varphi,x)\right), \widetilde{A}_k=a_k\sin kx-b_k \cos kx. \eqno(3) $$

Якщо ряд (3) для даної функції $\ \varphi(\cdot)\ $ і пари $\ \bar{\psi}$ є рядом Фур'є деякої функції $\ f\in L_1,\ $ то $\ f\ $ — називають {\it $\ \bar{\psi}$-інтегралом} функції $\ \varphi$ і записують $\ f(\cdot)={\cal J}^{\bar{\psi}} (\varphi,\cdot)$. Множину $\bar{\psi}$-інтегралів усіх функцій $\ \varphi\in L_1\ $ позначають $\ L^{\bar{\psi}}.\ $ Якщо \mbox{$\ \mathfrak N\ $ —} деяка підмножина з $\ L_1,\ $ то через $\ L^{\bar{\psi}} \mathfrak N\ $ позначають множину $\ \bar{\psi}$-інтегралів функцій $\ \varphi\in \mathfrak N.$

Зв'язок між множинами $\ \widehat L^{\bar\psi}\ $ і $\ L^{\bar\psi}\ $ встановлює наступне твердження, доведене О.І.~Степанцем.

Твердження 1.1.2. Нехай $\ \psi_1\in\mathfrak A,\ \psi_2\in \mathfrak A'.\ $ Тоді $ \widehat{L}^{\bar\psi} L_1^0=L^{\bar\psi}, $ де $ L_1^0 $ — підмножина функцій $ \varphi(\cdot) $ з $ L_1, $ які задовольняють умову $$ \int\limits_{-\pi}^\pi\varphi(t)dt=0. $$ Окрім того, якщо $\ \mathfrak N\ $ — деяка підмножина з $\ L_1^0,\ $ то $$ \widehat{L}^{\psi}\mathfrak N=L^{\bar\psi}\mathfrak{N},~~~ \widehat{C} ^{\psi} \mathfrak N=C^{\bar\psi}\mathfrak{N}.$$

Отже, будь-яке твердження, доведене для класів $\ \widehat{L}^\psi\mathfrak N,\ $ автоматично розповсюджується і на класи $\ L^{\bar\psi}\mathfrak N,\ \mathfrak N\in L_1^0,\ $ взагалі кажучи, якщо виконується умова $$ \int\limits_{-\infty}^\infty|\widehat\psi(t)|dt<\infty.\eqno(4) $$

У випадку, коли $\ \psi_1(t)=\psi(t)\cos \frac{\beta\pi}2\ $ і $\ \psi_2(t)=\psi(t)\sin \frac{\beta\pi}2, \ $ де \mbox{$ \beta\ $ —} довільне дійсне число, класи $\ \widehat L^{\bar\psi}\ $ є добре відомими класами $\ \widehat L^{\psi}_\beta,\ $ що були введені О.І.Степанцем і для яких фактично побудовано теорію наближень в такій же повноті, в якій вона існує в періодичному випадку для множин $\ L_\beta^\psi,\ $ які є підмножинами періодичних функцій із $\ \widehat L_\beta^\psi$.

Роль частинних сум рядів Фур'є періодичних функцій для функцій $\ f\in\widehat L^{\bar\psi}\ $ відіграють оператори Фур'є. Наведемо їх означення. Нехай $\ {\cal E_\sigma}\ $ — клас цілих функцій експоненціального типу, що не перевищує $\ \sigma\ (\sigma>0)$. Оператором Фур'є порядку $\ (\sigma,c),\ $ $\sigma>c>0,$ називають довільний оператор $\ A_{\sigma,c}:\ {\mathfrak N} \rightarrow{\cal{E}}_\sigma,\ {\mathfrak N}\subset \widehat L_1,\ $ який кожній періодичній функції $\ f\in \widehat L_1\ $ ставить у відповідність тригонометричний поліном $\ t_n(\cdot)\ $ степеня не вище $\ (\sigma),\ $ у якого коефіцієнти з номерами, що не перевищують $\ c,\ $ — коефіцієнти Фур'є функції $\ f(\cdot),\ $ де $$ (\sigma)=\left\{\begin{matrix} [\sigma], \ & \sigma>[\sigma], \cr \sigma -1, \ & \sigma=[\sigma],\end{matrix}\right. $$ $ [\sigma]\ $ — ціла частина числа $\ \sigma.\ $ З означення випливає, що для довільної $ 2\pi$--періодичної функції $\ f\in L_1\ $ $$A_{\sigma, (\sigma)}(f)=S_{(\sigma)}(f),$$ де $\ S_n(f)\ $ — $\ n$-та частинна сума ряду Фур'є функції $\ f(\cdot).$

Як наближаючі агрегати для $\ f\in\widehat L^{\bar\psi}\ $ будемо розглядати функції $\ F_{\sigma,c}(f;\cdot),\ $ що мають вигляд $$F_{\sigma,c}(f,x) =A_0+f^{\bar\psi}\ast\widehat{\psi\lambda}_{\sigma,c}(x), \eqno(5)$$ де $\ \widehat{\psi\lambda}_{\sigma,c}\ $ — перетворення Фур'є функції $\ \psi(t)\lambda_{\sigma,c}(t),\ $ при \mbox{$\ c=\sigma-\tau>0$} ($\tau$ — деяке додатне число), і \vskip -2mm $$ \lambda_{\sigma,c}(t)=\left\{\begin{matrix} 1,\ & 0\le |t|\le c,\\ 1-\displaystyle\frac{|t|-c}{\sigma-c}\frac{\psi(\sigma {\rm sign(t)})} {\psi(t)},\ & c< |t| < \sigma,\\ 0,\ & \sigma\le|t|,\end{matrix} \right. $$\vskip -2mm $$\psi(t)=\psi_{1+}(t)+i\psi_{2-}(t).$$

Оператори $\ F_{\sigma,c}(f,x),\ f\in\widehat L^{\bar\psi},\ $ при досить загальних припущеннях є операторами Фур'є порядку $\ (\sigma, c).\ $ Наприклад, за умови, що \vskip -2mm $$\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{ |f^{\bar\psi}(t)|^2} {(1+|t|)^2} dt<\infty,$$ функції $F_{\sigma, c}(f,\cdot)$ належить множині $\cal E_\sigma$ і, більше того, $F_{\sigma,c}(f,\cdot)\in W_\sigma^2$, де \vskip -2mm $$W_\sigma^2=\left\{h\in{\cal E_\sigma}:\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{|h(t)| ^2} {(1+|t|)^2}dt<\infty\right\}.$$

У другому підрозділі першого розділу розглядається величина $\ \rho_{\sigma,c}(f;\cdot)\ $ відхилення операторів Фур'є $\ F_{\sigma,c}(f;\cdot)\ $ від функцій $\ f\ $ з класів $\ \widehat L^{\bar\psi} \mathfrak N,\ $ $$\rho_{\sigma,c}(f;x)=f(x)-F_{\sigma,c}(f;x),\eqno(6)$$ і наведено огляд результатів по дослідженню величини (6), які безпосередньо відносяться до таких класичних напрямків теорії наближень, як розв'язання задачі Колмогорова--Нікольського і встановлення нерівностей типу Лебега.

Дослідження дисертаційної роботи в цьому напрямку є продовженням досліджень, проведених А.М.~Колмогоровим, В.Т.~Пінкевичем, С.М.~Нікольським, В.К.~Дзядиком, М.П.~Корнійчуком, С.Б.~Стєчкіним, О.І.~Степанцем, С.О.~Теляковським, В.І.~Рукасовим та іншими математиками.

У третьому підрозділі першого розділу формулюються задачі про одночасне наближення $\ \bar\psi$-інтегралів періодичних і локально сумовних функцій, та наведено огляд джерел, в яких досліджувались дані задачі.

Нехай$\bar{\psi}=\{\bar{\psi}^{(1)},\bar{\psi}^{(2)},\ldots,\bar{\psi}^{(m)}\}, $ де $ \bar{\psi}^{(i)}=(\psi^{(i)}_1,\psi_2^{(i)}),$ \mbox{$ i=\overline{1,m}, $ —} пари функцій такі, що $\ {\psi}_1^{(i)}\in \mathfrak{A},\ {\psi}_2^{(i)}\in \mathfrak{A}'.\ $ Нехай, далі, \mbox{$\ c=(c_1,c_2,\ldots,c_m)\ $} — довільний вектор з дійсними координатами, а \mbox{$\ \mathfrak N\ $ —} клас $\ S_{\infty}\ $ або клас $\ H_\omega,\ $ де $$ S_{\infty}:= \{\varphi:\{\rm ess\,sup}|\varphi(t)|\le 1\},\eqno(7)$$ $$ H_{\omega}:=\{ \varphi \in C: |\varphi(t)-\varphi (t')| \le \omega (|t-t'|)\ \ \ \forall t,t'\},\eqno(8)$$ $\ \omega =\omega (t)\ $ — фіксований модуль неперервності.

В ролі характеристик одночасного наближення $\ m\ $\ $\ \bar\psi$-інтегралів $\ {\cal J}^{\bar{\psi}^{(i)}}(\varphi;\cdot),\ i=\overline{1,m},\ $ функцій $\ \varphi\in \mathfrak N\ $ розглядаються величини $$ \Sigma_{\sigma,m} (\varphi,x, \bar{\psi},c)=\sum\limits_{i=1}^m \frac{c_i}{|\psi^{(i)}(\sigma)|}\left({\cal J}^{\bar {\psi} ^{(i)}}\varphi(x) - F_{\sigma} ({\cal J}^{\bar{\psi}^{(i)}}\varphi,x) \right) ,\eqno(9) $$ де $ F_{\sigma}(\cdot,\cdot)=F_{\sigma,\tau}(\cdot,\cdot), $ $ \tau=\sigma-1$ (див. (5)), і \mbox{${\psi}^{(i)}(t)={\psi_1^{(i)}(t)+i\psi_2^{(i)}(t)}.$}

Задача полягає у встановленні асимптотичних рівностей при $\sigma\rightarrow\infty$ для величин $$ \Sigma_{\sigma,m}(\mathfrak N,\bar{\psi},c)= \Sigma_{\sigma,m}(\mathfrak N,x,\bar{\psi},c)=\sup\limits_{\varphi\in \mathfrak N}\left|\Sigma_{\sigma,m}( \varphi, x, \bar{\psi},c)\right|. \eqno(10)$$

При $\psi_1(t)=\psi(t)\cos \frac{\beta\pi}2$ і $\psi_2(t)=\psi(t)\sin \frac{\beta\pi}2,$ де $\psi \in \mathfrak A'$ і \mbox{$\beta$ —} фіксоване дійсне число, дану задачу розв'язано в роботах О.І.~Степанця і В.В.~Дрозда.

Зазначимо, що задача про одночасне наближення $\ \bar\psi$-інтегралів локально сумовних функцій узагальнює задачу про дослідження величини $${\cal E}_{\sigma}( \widehat C^{\bar{\psi}}{\mathfrak N})=\sup\limits_{f\in \widehat C^{\bar{\psi}}{\mathfrak N}} |f(x)-F_{\sigma}(f,x)|, $$ оскільки має місце рівність $ {\cal E}_{\sigma}( \widehat C^{\bar{\psi}}{\mathfrak N})= |{\psi}({\sigma})| \Sigma_{{\sigma},1}(\mathfrak N,\bar{\psi},1). $

Якщо покласти в рівностях (9) і (10) $\sigma=n, \ n\in N,\ $ і взяти $\varphi\in {\mathfrak N},$ $\ {\mathfrak N}=S_{\infty}^0$ або ${\mathfrak N}= H_{\omega}^{0},$ де $$ S_{\infty}^0:= \left\{\varphi\in {L_\infty}:\ ||\varphi|| _{\infty} \le 1,\ \varphi\ \bot\ 1\right\},\eqno(11) $$ $$H_{\omega}^{0}:=\left\{ \varphi \in C[0;2\pi]: |\varphi (t)-\varphi (t')| \le \omega (|t-t'|), \forall t,t',\ \varphi \ \bot \ 1\right\} ,\eqno(12) $$ $C[0;2\pi]\ $ — простір неперервних на всій осі $\ 2\pi $-періодичних функцій, $\ \omega =\omega (t)\ $ — фіксований модуль неперервності, то величинами, що характеризують одночасне наближення $\ m\ $ $\ \bar\psi$-інтегралів $\ {\cal J}^{\bar{\psi}^{(i)}}(\varphi;\cdot),\ i=\overline{1,m},\ $ періодичних функцій $\ \varphi\in \mathfrak N\ $ сумами Фур'є $\ S_{n-1}(\cdot,\cdot)\ $ є величини $\Sigma_{n,m}(\varphi,x,\bar{\psi},c)$ $$ \Sigma_{n,m}(\varphi,x,\bar{\psi},c)=\sum\limits_{i=1}^m \frac{c_i}{|{\psi} ^{(i)} (n)|}\left({\cal J}^{\bar{\psi}^{(i)}}\varphi(x) - S_{n-1}({\cal J}^{\bar {\psi}^{(i)}} \varphi ,x) \right), \eqno(13) $$і тоді задача про одночасне наближення $\ \bar\psi$-інтегралів періодичних функцій з класів $\ S_{\infty}^0\ $ або $\ H^0_\omega\ $ сумами Фур'є полягає у встановленні асимптотичних рівностей при $\ n\rightarrow\infty\ $ для величин $\ \Sigma_{n,m}(\mathfrak N,\bar{\psi},c)\ $ $$ \Sigma_{n,m} (\mathfrak N,\bar{\psi},c)= \Sigma_{n,m}(\mathfrak N,x,\bar {\psi},c)=\sup\limits_{\varphi\in \mathfrak N} \left|\Sigma_{n,m} (\varphi,x, \bar{\psi} ,c)\right|. \eqno(14)$$

Дослідженням даної задачі займалися О.І.~Степанець, Н.Н.~Задерей, В.А.~Сорич, Н.М.~Сорич, В.В.~Дрозд, В.І.~Рукасов, С.О.~Чайченко.

Другий розділ дисертаційної роботи присвячено знаходженню асимптотичних формул відхилень операторів Фур'є на класах $\ \bar\psi$-інтегралів локально сумовних функцій.

Матеріал даного розділу викладено по мірі збільшення гладкості наближуваних функцій. Спочатку розглядається наближення функцій з множин $\ \widehat C^{\bar\psi}\mathfrak N,\ $ коли \mbox{$\ \psi_1\in\mathfrak A_0,\ $} $\ \psi_2\in\mathfrak A_0',\ $ потім — коли $\ \psi_1,\psi_2\in F_0$ і, нарешті, випадок наближення інтегралів Пуассона функцій, заданих на дійсній осі.

Зокрема, у першому і другому підрозділах знайдено асимптотичні формули відхилень операторів Фур'є на класах неперервних функцій $\ \widehat C^{\bar\psi}_\infty \ $ i $\ \widehat C^{\bar\psi} H_\omega\ $ в рівномірній метриці, відповідно, за умов, що \mbox{$\ \psi_1\in\mathfrak A_0,\ $} $\ \psi_2\in\mathfrak A_0'\ $ і $\ \psi_1,\psi_2\in F_0.\ $

Нехай $${\cal E}_\sigma(\widehat C^{\bar\psi} \mathfrak N)={\cal E}_{\sigma, c}(\widehat C^{\bar\psi} \mathfrak N,x)=\sup \{|\rho_{\sigma, c}(f;x)|:\ f\in \widehat C^{\bar\psi} \mathfrak N \},\eqno(14)$$ де $\rho_{\sigma, c}(\cdot;\cdot)$ визначається рівністю (6). За $\mathfrak N$ будемо брати одиничну кулю $S_{\infty},$ яка означена співвідношенням (11), і тоді покладаємо $\widehat C^{\bar\psi}S_\infty=\widehat C_\infty^{\bar\psi}$, а також класи $ H_\omega,$ що визначені співвідношенням (12).

Нехай, далі, $$ \mathfrak A_0:=\left\{h\in \mathfrak A:\ 0< \frac{t}{\eta(t)-t}\le K<\infty\ \ \ \forall t\ge 1\right\}, $$\vskip -2mm $$ \mathfrak A_0':=\mathfrak A_0\bigcap\mathfrak A', $$\vskip -3mm де $$\eta(t)=\eta(h,t)=h^{-1}\left(\frac{1}{2} h(t)\right),\eqno(15)$$\vskip -2mm тоді для величин $\ {\cal E}_\sigma ( \widehat C^{\bar\psi} \mathfrak N )$\ виконується наступне твердження.

Теорема 2.1.1. Нехай $\ \psi_1\in \mathfrak A_0,\ $ $\ \psi_2 \in \mathfrak A_0'\ $ і $\ c=\sigma-\tau>0,\ $ де \mbox{$\ \tau\ $ —} деяке додатне число. Тоді величини

$$ {\cal E}_\sigma ( \widehat C^{\bar\psi} \mathfrak N )=\sup\{|\rho_{\sigma,c} (f,x)|:\ \ f\in \widehat C^{\bar\psi}\mathfrak N\}, $$ де $\mathfrak N=S_\infty\cup H_{\omega},$ не залежать від значення $x,$ і при $\sigma\rightarrow\infty$ виконуються асимптотичні рівності \vskip -2mm$$ {\cal E}_\sigma ( \widehat C^{\bar\psi}_{\infty} )=\frac{2}{\pi}\int\limits_\sigma^\infty \frac{\psi_2(t)}{t}dt+\frac {4}{\pi^2} |\psi(\sigma)|\ln\sigma+O(1)|\psi(\sigma)|, $$ $${\cal E}_\sigma \left( \widehat C^{\bar\psi} {H_\omega} \right)=\theta_{\omega}\bigg( \frac{1}{\pi} \int\limits_0^1 \omega\bigg(\frac{2t} {\sigma}\bigg) \int\limits_1^\infty \psi_2 (\sigma\upsilon)\sin\upsilon td\upsilon dt+ $$ $$ +\frac{2}{\pi^2} |\psi(\sigma)|\ln \sigma\int\limits_0^ {\pi/2}\omega\left (\frac{2t} {\sigma}\right)\sin tdt\bigg)+O(1) |\psi(\sigma)|\omega \left (\frac{1} {\sigma}\right),$$ де $\ \psi(t)=\psi_1(t)+i\;\psi_2(t),\ $ $\ \theta_\omega\in \left[\frac{2}{3},1\right],\ $ причому $\theta_\omega=1,$ якщо $\omega(t)$ — опуклий модуль неперервності, $O(1)$ — величини, рівномірно обмежені по $\sigma.$

Теорему 2.1.1 отримано спільно з О.І.~Степанцем. У випадку $\psi_1(t)=\psi(t)\cos\frac{\beta\pi}{2}$ i $\psi_2(t)=\psi(t)\sin\frac{\beta\pi}{2}$, а також у періодичному випадку дану теорему доведено раніше О.І.~Степанцем.

Функції, що належать до множин $\mathfrak A_0,$ як встановлено О.І.~Степанцем, не можуть спадати до нуля швидше ніж довільна степенева функція. Точніше, якщо $g\in \mathfrak A_0$, то існує таке $r>0$, що при всіх $t\geq1$ буде виконуватись співвідношення $g(t)\geq Kt^{-r}.$ Наступне твердження відноситься до випадку, коли $\psi_1, \psi_2\in F_0.$ Множина $F_0$ визначається рівністю $$F_0:= \left\{h\in \mathfrak A: \eta'(t)=\eta'(h,t)= \frac{h'(t)}{2h'(\eta(t))}\le K ,~~~\forall t\ge 1\right\} ,$$ де $\ \eta(t)\ $ визначається рівністю (15), $~t\ge 1,~~K$ — деяка додатна константа. До цієї множини належать як функції, які спадають з степеневою швидкістю, так і функції, що мають показникову швидкість спадання.

Викладені в підрозділі 2.2 твердження стосуються двох випадків. Перший випадок охоплює ті пари $\bar\psi=(\psi_1,\psi_2)$, для яких можна вказати додатні константи $K_1$ і $K_2$ такі, що $$ 0<K_1\le \frac{\eta(\psi_1,t)-t}{\eta(\psi_2,t)-t}\le K_2<\infty\ \ \ \forall t\ge 1. \eqno(17) $$

До другого випадку відносяться пари $\bar\psi=(\psi_1,\psi_2)$, для яких при $t\rightarrow\infty$ $$ \psi_2(t)|\ln({\eta(\psi_2,t)-t})|\leq O(1)\psi_1(t) \eqno(18)$$

Або $$ \psi_1(t)|\ln({\eta(\psi_1,t)-t})|\leq O(1)\psi_2(t). \eqno(19) $$

Зазначимо, що умова (17) і одна з умов (18) або (19) не виключають одна одну і можуть виконуватись одночасно.

Основні результати цього підрозділу містяться в наступних твердженнях.

Теорема 2.2.1. Нехай $\ \psi_1, \psi_2 \in F_0,\ $ $\ c=\sigma-\tau>0,\ $ де $\tau$ — деяке додатне число, і виконується умова (17). Тоді при $\sigma\rightarrow\infty$ виконуються асимптотичні рівності $${\cal E}_\sigma ( \widehat C^{\bar\psi}_\infty )=\frac{4}{\pi^2} |\psi(\sigma)\ln(\eta(\sigma)-\sigma)|+O(1)\bar \psi(\sigma), $$\vskip -2mm $${\cal E}_\sigma \left( \widehat C^{\bar\psi} {H_\omega} \right)=\frac{2}{\pi^2} e_\sigma(\omega) |\psi(\sigma)\ln (\eta(\sigma)-\sigma)|+O(1)\bar\psi(\sigma) \omega \left(\frac{1} {\sigma}\right), $$\vskip -2mm\noindent де $\ \psi(t)=\psi_1(t)+i\psi_2(t), \ \eta(\sigma)=\eta (\psi_1,\sigma)( $або $\eta(\psi_2,\sigma)),\ $ $e_\sigma(\omega)$ визна\-ча\-ється рівністю (16), \mbox{$O(1)$ — величини, рівномірно обмежені по $\sigma$.}

Теорема 2.2.2. Нехай $\ \psi_1, \psi_2 \in F_0\ $ і при $t\rightarrow\infty$ виконується умова (18). Тоді при $\sigma\rightarrow\infty$ виконуються асимптотичні рівності $$ {\cal E}_\sigma ( \widehat C^{\bar\psi}_\infty )=\frac{4}{\pi^2}\psi_1 (\sigma)|\ln(\eta(\psi_1,\sigma)-\sigma)|+O(1)\psi_1(\sigma), \eqno(20) $$\vskip-3mm $$ {\cal E}_\sigma \left( \widehat C^{\bar\psi} {H_\omega} \right)\!= \!\frac{2}{\pi^2} e_\sigma(\omega) \psi_1(\sigma)|\ln(\eta(\psi_1,\sigma)-\sigma)|\!+\! O(1)\psi_1(\sigma)\omega\!\left(\frac{1}{\sigma}\right)\!, \eqno(21)$$

де $e_\sigma(\omega)$ визначається рівністю (16), $O(1)$ — величини, рівномірно обмежені по $\sigma$.

Якщо замість умови (18) виконується умова (19), то в правих частинах рівностей (20) і (21) потрібно $\psi_1$ замінити на $\psi_2.$

Теорему 2.2.2 отримано спільно з О.І.~Степанцем. У випадку $\psi_1(t)=\psi(t)\cos\frac{\beta\pi}{2}$ i $\psi_2(t)=\psi(t)\sin\frac{\beta\pi}{2}$, а також у періодичному випадку дані теореми довів раніше О.І.~Степанець. Зазначимо, що у відповідних твердженнях для періодичного випадку замість величин \mbox{$|\ln(\eta(\sigma)-\sigma)|$} стоїть величина $\ln^+(\eta(\sigma)-\sigma),$ де \mbox{$\ln^+t=\max \{0, \ln t\}.$} Тому теореми 2.2.1 і 2.2.2 дають розв'язок задачі Колмогорова--Нікольського і в тому випадку, коли $ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}(\eta(t)-t)=0, $ як це відбувається, наприклад, коли $\psi_1(t)=e^{-t^r}$ при $r>1$.

У третьому підрозділі другого розділу розглядаються набли\-ження операторами Фур'є на множинах інтегралів Пуассона функцій з простору $\ \widehat L_p,\ p\geq1\ $, що виражаються через значення найкращих наближень таких функцій цілими функціями експоненціального типу в метриці простору $\ \widehat L_p$. Результати даного підрозділу отримано спільно з О.І.~Степанцем.

Нехай $\psi_1(t)=\psi(t)\cos \frac{\beta\pi}2$ і $\psi_2(t)=\psi(t)\sin \frac{\beta\pi}2,$ де $\psi \in \mathfrak A'$ і \mbox{$\beta$ —} фіксоване число. В такому випадку класи $\widehat L^{\bar\psi} \mathfrak N$ позначають $\widehat L_\beta^\psi.$

Нехай, далі, $c=\sigma-1,$ тоді замість $F_{\sigma, c} (\cdot;\cdot)$ (див. співвідношення (5)) будемо писати $F_\sigma(f;\cdot).$

У підрозділі вивчається величина $$\rho_\sigma(f;x)=f(x)-F_\sigma(f;x) $$

у випадку, коли функція $\psi(\upsilon)$, що задає множину $\widehat L_\beta^\psi,$ має вигляд $$ \psi(\upsilon)=\left\{\begin{matrix} \psi_1(\upsilon),\ & \upsilon\in[0,1), \ \ e^{-\alpha\upsilon},\ & \upsilon \geq1,\end{matrix} \right.\eqno(22) $$ де $\alpha$ — довільне число, $\alpha>0$, $\psi_1(\upsilon)$ — деяка абсолютно неперервна функція, що має похідну $\psi'(\upsilon)$ обмеженої варіації на $[0,1]$ і така, що $\psi_1(0)\sin \frac{\beta\pi}2=0$ і $\psi_1(1)=e^{-\alpha}$.

Множину $\widehat L_\beta^\psi$, що визначається функцією $\psi(\upsilon)$, означеною рівністю (22), далі будемо позначати символом $\widehat L_\beta^\alpha$.

Зазначимо, що множину $2\pi$-періодичних функцій $f\in\widehat L_\beta^\alpha\mathfrak N$, де $\mathfrak N$ — деяка підмножина $2\pi$-періодичних функцій з $ L_1$, називають множиною інтегралів Пуассона функцій $\varphi\in\mathfrak N$ і позначають $L_\beta^q\mathfrak N,\ $ $q=e^{-\alpha}$.

Основний результат підрозділу 2.3 міститься в наступному твердженні.

Теорема 2.3.1. Для довільної функції $f\in\widehat L_\beta^\alpha\widehat L_p$, $\alpha>0\ ,$ \mbox{$ \beta \in\mathbb{R},\ $} при довільному $\ p\in[1,\infty]$ виконується асимптотична нерівність $$ \|\rho_{\sigma} (f;x) \|_{\widehat p}\leq \frac{4e^{-\alpha\sigma}} {\pi^2} \left(I(\alpha)+O(1)\frac {\alpha+1} {\alpha\sigma}\right) E_{\sigma-1}(f_\beta^\alpha) _{\widehat p},\eqno(23) $$\vskip -2mm\noindent де \vskip -4mm $$ I(\alpha)=\int\limits_0^\infty\sqrt{(\frac{1-\cos t}{t^2}+\frac{\alpha}{t^2+\alpha^2})^2+(\frac{t-\sin t}{t^2}-\frac{t} {t^2+ \alpha^2}) ^2} dt,\eqno(24)$$ $$E_{\sigma}(\varphi)_{\widehat p}=\inf\limits_{u\in W_{\sigma}^2} \|\varphi(t)-u(t)\|_{\widehat p}, $$ а $O(1)$ — величина, рівномірно обмежена по параметрах $\alpha,\beta, p, \sigma$ і $f$. Для величини $I(\alpha)$ мають місце такі оцінки: $$ \max\left\{\pi;\ln \frac{\alpha^2+1}{\alpha}-0,65903 \right\}<I(\alpha) <3,72695+\ln \frac{\alpha^2+1}{\alpha}. $$} \vskip-2mm

Нерівність (23) природно називати нерівністю Лебега для операторів Фур'є, оскільки в періодичному випадку вона відповідає класичній нерівності Лебега для сум Фур'є.

В періодичному випадку величини $\ \|\rho_{\sigma}(f;x)\|_{\widehat p}\ $ досліджувались в роботах С.М.~Нікольського, С.Б.~Стєчкіна, О.І.~Степанця, А.С.~Сердюка.

В цьому ж розділі доведено непокращуваність нерівності (23) на важливих функціональних множинах.

У третьому розділі дисертаційної роботи досліджуються величини, які характеризують задачу про одночасне наближення $\ \bar\psi$-інтегралів функцій з класів $\ S_\infty\ $ i $\ H_\omega\ $ за допомогою операторів Фур'є в рівномірній метриці, а також задачу про одночасне наближення $\ \bar\psi$-інтегралів періодичних функцій за допомогою сум Фур'є в рівномірній метриці.

Матеріал даного розділу викладено по мірі збільшення гладкості наближуваних функцій. Спочатку розглядається задача про од\-но\-часне наближення за умов \mbox{$\ \psi_1^{(i)}\in\mathfrak A_0,\ $} $\ \psi_2^{(i)}\in\mathfrak A_0'\ $, а потім — за умов \mbox{$\ \psi_1^{(i)},\ \psi_2^{(i)}\in F_0$.} Аналогічна структура викладу і періодичного випадку.

Основні результати підрозділів 3.1 і 3.2 по дослідженню величин $\Sigma_{\sigma,m}(S_{\infty},\bar{\psi},c)$ i $\Sigma_{\sigma,m}(H_{\omega} ,\bar{\psi},c),$ означених рівністю (10), містяться в наступних твердженнях.

Теорема 3.1.1. Нехай $\ \bar{\psi}=\{\bar{\psi}^{(1)} ,\bar{\psi}^{(2)},\ldots, \bar{\psi}^{(m)}\}\ $ — множина пар \mbox{$\ \bar{\psi} ^{(i)}=(\psi_1^{(i)} ,\psi_2^{(i)})\ $} таких, що $\ \psi_1^{(i)}\in\mathfrak A_0,\ \psi_2^{(i)}\in \mathfrak A_0',\ $ і \mbox{$\ c=(c_1,c_2,\ldots,c_m)\ $ —} довільний набір з $\ m\ $ дійсних чисел. Тоді величини $$ \Sigma_{\sigma,m}(\mathfrak N,\bar{\psi},c)=\sup \limits_{\varphi\in \mathfrak N}\left|\sum\limits_{i=1}^m\frac{c_i} {|{\psi}^{(i)} (\sigma)|}\left[ {\cal J}^{\bar{\psi}^{(i)}}\varphi(x)-F_{\sigma}\left({\cal J}^{\bar {\psi} ^{(i)}}\varphi, x \right)\right]\right|, $$ де $\mathfrak N=S_{\infty}\cup H_\omega$, не залежать від значення $x$, i при $\ \sigma\to\infty\ $ виконуються асимптотичні рівності $$ \Sigma_{\sigma,m}(S_{\infty},\bar{\psi},c)= \frac{2}{\pi} \bigg |\sum\limits_ {i=1}^m \frac{c_i }{|{\psi}^{(i)}(\sigma)|}\int\limits_\sigma^\infty \frac{\psi_2^{(i)} (t)} {t} dt \bigg|+\frac{4}{\pi^2} R_m\ln\sigma+O(1), $$ $$ \Sigma_{\sigma,m}(H_{\omega},\bar{\psi},c){=}\theta_{\omega}\! \bigg(\! \frac {1}{\pi}\!\int\limits_0^1 \!\omega\left(\frac{2t}{\sigma}\right) \!\bigg|\! \sum\limits_{i=1} ^m\frac{c_i}{|{\psi}^{(i)}(\sigma)|}\!\int\limits_1^\infty\!\psi_2^ {(i)} (\sigma \upsilon) \sin \upsilon td\upsilon\bigg|dt{+}$$ $$+\frac{2}{\pi^2}R_m \ln\sigma\int\limits_0^ {\pi/2}\omega\left(\frac{2t} {\sigma}\right)\sin tdt\bigg)+O(1) \omega\left(\frac{1}{\sigma}\right),$$ де $$ R_m=R_m(\bar{\psi},c)= \sqrt{A_m^2+ B_m^2},\ \ \ A_m=A_m(\bar{\psi},c)= \sum\limits_{i=1}^m c_i\cos\gamma_ \sigma^{(i)},$$\vskip -5mm $$\eqno(27)$$ \vskip -10mm $$ B_m=B_m(\bar{\psi},c)= \sum\limits_{i=1}^m c_i\sin\gamma_\sigma^{(i)},\ \ \ \ \ \ \ \gamma_\sigma^{(i)}=\arctg \frac{\psi_2^{(i)}(\sigma)}{\psi_1^{(i)}(\sigma)}, $$ ${\psi}^{(i)}(t)={\psi}^{(i)}_ 1(t)+i{\psi}^{(i)}_2(t),$ $\ \theta_\omega\in \left[\frac{2} {3};1\right],\ $ причому $\ \theta_\omega=1,\ $ якщо \mbox{$ \omega(t) $ —} опуклий модуль неперервності, $\ O(1)\ $ — величини, рівномірно обмежені по $\ \sigma$.}

Теорему 3.1.1 отримано спільно з О.І.~Степанцем.

Теорема 3.2.1. Нехай $\bar{\psi}=\{\bar{\psi}^{(i)}\}$ \mbox{$ (\bar{\psi}^{(i)}=(\psi_1^{(i)},\psi_2^{(i)}),$ $ i=\overline{1,m} )$ —} послідовність пар таких, що $\psi_1^{(i)},\ \psi_2^{(i)}\in F_0,\ i=\overline{1,m}$, \mbox{$c=(c_1,c_2,\ldots,c_m)$ —} $m$-вимірний дійсний вектор і виконуються умови $$ 0<K_1^{(i)}\le \frac{\eta(\psi_1^{(i)},t)-t}{\eta(\psi_2^{(i)},t)-t}\le K_2^{(i)}<\infty,\ \forall t\ge 1,~~~i=\overline{1,m}. $$

Тоді при $\sigma\to\infty$ виконуються асимптотичні рівності $$ \Sigma_ {\sigma,m}(S_{\infty},\bar{\psi},c)=\frac{4}{\pi^2}\bigg(\sum\limits_{k=1}^{m_1-1} R_k \ln\frac{\alpha_\sigma^{(k+1)}}{\alpha_\sigma^{(k)}}-R_{m_1}\ln \alpha_ \sigma^{m_1}+ $$ $$ +Q_{m_1+1}\ln \alpha_\sigma^{(m_1+1)} +\sum\limits _{k= m_1+1} ^{m-1} Q_{k+1} \ln\frac{\alpha_\sigma^{(k+1)}} {\alpha_\sigma^{(k)}} \bigg) +O(1),\eqno(28) $$ $$ \Sigma_{\sigma,m}(H_\omega,\bar{\psi},c) =\frac{2} {\pi^2} e_\sigma(\omega)\bigg( \sum\limits_{k=1}^{m_1-1} R_k \ln\frac{\alpha_ \sigma^{(k+1)}}{\alpha_\sigma^{(k)}}-R_{m_1}\ln \alpha_\sigma^{m_1}+ $$ $$ +Q_{m_1+1}\ln \alpha_\sigma^{(m_1+1)}+\sum\limits_{k=m_1+1}^{m-1} Q_{k+1} \ln\frac{\alpha_\sigma^{(k+1)}}{\alpha_\sigma^{(k)}}\bigg)+O(1)\;\omega\left(\frac{1}{\sigma}\right),\eqno(29)$$ де $$ Q_k=Q_k(\bar{\psi},c)=\sqrt{(A_k-A_{m_1})^2+ (B_k-B_{m_1})^2}, $$ величини $\ R_k,\ A_k\ $ і $\ B_k\ $ такі ж, як і в теоремі 3.1.1, $ e_\sigma(\omega)$ визначається рівністю (16), $\alpha_\sigma ^{(k)} =(\eta(\psi^{(k)}_1,\sigma)-\sigma)^{-1}~($~або \mbox{$(\eta (\psi ^{(k)} _2,\sigma)-\sigma)^{-1}), $}\mbox{$k=\overline{1,m},$} в рівностях (28) і (29) величини $\alpha_\sigma^{(k)}$ впорядковані за зростанням, причому вважається що, при \mbox{$k=\overline{1,m_1}$} $\alpha_{\sigma}^{(k)}< 1$ , а при \mbox{$k= \overline {m_1+1,m} $ —}$\ \alpha_{\sigma}^{(k)}\ge 1, $ \mbox{$O(1)$ —} величини, рівномірно обмежені по $\sigma$.}

Відмітимо, що твердження теорем 3.1.1 i 3.2.1 в дещо інших термінах у випадках, коли \mbox{$\psi_1^{(i)}(t)=\psi^{(i)}(t)\cos\frac{\beta_i\pi}{2}\ $} i \mbox{$\psi_2^{(i)}(t)=\psi^{(i)}(t)\sin\frac{\beta_i\pi}{2},\ $} було встановлено раніше О.І.~Степанцем і В.В.~Дроздом.

В підрозділі 3.3 досліджується задача про одночасне наближення $\bar\psi$-інтегралів періодичних функцій з класів $S_\infty^0$ i $H_\omega^0.$ Для величин $ \Sigma_{n,m}(\mathfrak N,\bar{\psi},c), \mathfrak N=S_\infty^0$ або $\mathfrak N=H_\omega^0,$ які означені співвідношенням (14), доведено теореми, які є аналогами тверджень, доведених в підрозділах 3.1 і 3.2. З них, зокрема, випливають такі наслідки.

Наслідок 3.3.1. Нехай $\bar{\psi}=\{\bar{\psi}^{(i)}\} _{i=1} ^m$,\ \mbox{$\ \bar{\psi}^{(i)}=(\psi_1^{(i)}, \psi_2^{(i)}),$} $\ \pm\psi_1^{(i)}\in \mathfrak A_0,\ $ $\pm\psi_2^{(i)}\in \mathfrak A_c,\ $ $i=\overline{1,m},$ де $${\mathfrak A_C}:=\{ h\in {\mathfrak A}\ : 0<C_1\le \frac{t}{\eta(h,t)-t}\le C_2<\infty,~~~\forall t\ge1\}.$$

Тоді справедливі наступні рівності: $$ \Sigma_{n,m}(S_{\infty}^0, \bar{\psi} ,c) =\frac{4}{\pi^2}R_m\ln n+O(1), $$ $$ \Sigma_{n,m}(H_\omega^0 ,\bar{\psi},c) =\frac{2\theta_\omega}{\pi^2}R_m \ln n \int\limits_0^{\pi/2}\omega\left (\frac{2t}{n} \right) \sin tdt +O(1)\omega\left(\frac{1}{n}\right), $$ де $$ R_m=R_m(\bar{\psi},c) =\sqrt{A_m^2+B_m^2},A_m=A_m(\bar{\psi},c)= \sum\limits_{i=1}^m c_i\cos \gamma _n^{(i)}, $$ $$B_m=B_m(\bar{\psi},c)= \sum\limits_{i=1}^m c_i\sin\gamma_n^{(i)}, \gamma_n^{(i)}=\arctg \frac{\psi_2^{(i)}(n)} {\psi_1^{(i)}(n)},$$ $\theta_\omega\in \left[\frac{2}{3};1\right],$ причому $\theta_\omega=1,$ якщо $\omega(t)$ — опуклий модуль неперервності, $\ O(1)\ $ — величини, рівномірно обмежені по $\ n$. }

Наслідок 3.3.2. Нехай $ \ \bar{\psi}=\{\bar{\psi}^{(1)}, \bar{\psi}^{(2)}\}$ задовольняє умови \mbox{наслідку 3.3.1} і умову $$ \frac{\psi_2 ^{(1)}(n)}{\psi_1^{(1)}(n)}= \frac{\psi_2^{(2)}(n)}{\psi_1^{(2)}(n)},\ \ \ n=1,2,\ldots. $$ Тоді, якщо $\varphi\in S_{\infty}^0,$ то $$ \frac{c_1} {|{\psi}^{(1)}(n)|}\left[{\cal J}^{\bar{\psi}^{(1)}}\varphi- S_{n-1}({\cal J}^{\bar {\psi}^{(1)}}\varphi,x)\right]- $$ $$ -\frac{c_1}{|{\psi}^{(2)}(n)|}\left[{\cal J}^{\bar {\psi}^{(2)}}\varphi- S_{n-1}({\cal J}^{\bar{\psi}^{(2)}}\varphi,x)\right]= O(1), \eqno(30) $$ якщо ж $\varphi\in H_{\omega}^0,$ то $$ \frac{c_1} {|{\psi }^{(1)}(n)|}\left[{\cal J}^{\bar{\psi}^{(1)}}\varphi- S_{n-1}({\cal J}^{\bar{\psi} ^{(1)}} \varphi,x)\right]- $$ $$ -\frac{c_1}{|{\psi}^{(2)}(n)|}\left[{\cal J}^{\bar{\psi ^{(2)}}\varphi- S_{n-1}({\cal J}^{\bar{\psi}^{(2)}}\varphi,x)\right]= O(1)\omega \left(\frac{1}{n}\right) ,\eqno(31) $$ де $O(1)$ — величини, рівномірно обмежені по $n,\ \varphi,\ x.$}

Співставляючи рівності (30) і (31) з наслідком 3.3.1, робимо висновок про те, що суми Фур'є наближають лінійну комбінацію в (30) і (31) краще, ніж саму функцію ${\cal J}^{\bar{\psi}}\varphi(x)$. Вперше цей факт було помічено О.І.Степанцем.

Висновки

1. Знайдено асимптотичні формули відхилень операторів Фур'є на класах неперервних функцій $\widehatC^{\bar\psi}_\infty$ i $\widehatC^{\bar\psi} H_\omega$ в рівномірній метриці за умов: $\psi_1\in\mathfrakA_0,\psi_2\in\mathfrak A_0'\ $ і $\ \psi_1,\psi_2\in F_0,\ $ тобто у випадках, коли ці класи охоплюють функції малої гладкості, гладкі функції, нескінченно диференційовні, в тому числі аналітичні і цілі функції.

2. Одержано оцінки відхилень операторів Фур'є на множинах інтегралів Пуассона функцій з простору $\widehat L_p,\ p\geq1$, що виражаються через зна-чення найкращих наближень таких функцій цілими функціями експоненціального типу в метриці простору $\widehat L_p,$ і які в періодичному випадку відпо-відають класичній нерівності Лебега для сум Фур'є. Показано непокращуваність отриманих оцінок на деяких важливих функціональних підмножинах.

3. Отримано асимптотичні закони спадання функціоналів, які характеризують задачу про одночасне наближення інтегралів функцій з класів $S_\infty$ i $H_\omega$ за допомогою операторів Фур'є в рівномірній метриці.

4. Знайдено асимптотичні закони спадання функціоналів, які характеризують задачу про одночасне наближення періодичних функцій за допомогою сум Фур'є в рівномірній метриці, а також розглянуто випадки, коли наближення лінійних комбінацій $\ \bar\psi$-інтегралів періодичних функцій за допомогою сум Фур'є мають порядок найкращого наближення.

Список опублікованих праць за темою дисертації:

1. Соколенко І.В. Одночасне наближення інтегралів періодичних функцій сумами Фур'є // Екстремальні задачі теорії функцій та суміжні питання : Праці Ін-ту математики НАН України. — Київ: Ін-т математики НАН України, 2003. — Т. 46. — С. 249-264.

2. Соколенко І.В. Наближення операторами Фур'є інтегралів неперервних функцій, заданих на дійсній осі//Укр. мат. журн. — 2004. — 56, № 5. — С. 663-676.

3. Степанець О.І., Соколенко І.В. Наближення операторами Фур'є інтегралів функцій, заданих на дійсній осі // Укр. мат. журн. — 2004. — 56, №7. — С. 960-965.

4. Степанець О.І., Соколенко І.В. Наближення інтегралів Пуассона функцій, заданих на дійсній осі // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Праці Ін-ту математики НАН України. — Київ: Ін-т математики НАН України, 2004. — . 1, № 1. — С. 361-375.

5. Соколенко І.В. Одночасне наближення інтегралів неперервних функцій, заданих на дійсній осі, операторами Фур'є // Тези доповідей Міжнародної наукової конференції "Шості Боголюбовські читання". — Київ: Ін-т математики НАН України, 2003. — C. 211.

Анотації

Соколенко І.В. Наближення інтегралів функцій, заданих на дійсній осі. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. — Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

Дисертацію присвячено вивченню апроксимативних властивостей операторів Фур'є на класах локально сумовних функцій, що задаються інтегралами, а також дослідженню задачі про одночасне наближення кількох локально сумовних функцій, що задаються інтегралами.

Знайдено асимптотичні формули відхилень операторів Фур'є на класах неперервних функцій $\ \widehat C^{\bar\psi}_\infty$ i $\ \widehat C^{\bar\psi} H_\omega\ $ в рівномірній метриці. Одержано оцінки відхилень операторів Фур'є на множинах інтегралів Пуассона функцій з простору $\ \widehat L_p,\ p\geq1.\ $

Отримано асимптотичні закони спадання функціоналів, які характеризують задачу про одночасне наближення $\ \bar\psi$-інтегралів функцій з класів $\ S_\infty\ $ i $\ H_\omega\ $ за допомогою операторів Фур'є в рівномірній метриці.

Ключові слова: інтеграл, класи $\widehat L^{\bar\psi}\mathfrak N,$ оператор Фур'є, одночасне наближення.

Соколенко И.В. Приближение интегралов функций, заданных на действительной оси. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 — математический анализ. — Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

Диссертация посвящена изучению аппроксимационных свойств операторов Фурье на классах локально суммируемых функций, которые задаются интегралами, а также изучению задачи об одновременном приближении нескольких локально суммируемых функций, которые задаются интегралами.

Получены асимптотические формулы отклонений операторов Фурье на классах неперерывных функций $\ \widehat C^{\bar\psi}_\infty\ $ и $\ \widehat C^{\bar\psi}H_\omega\ $ в равномерной метрике. Получены также оценки отклонений операторов Фурье на множествах интегралов Пуассона функций из пространства $\ \widehat L_p,\ p\geq1.\ $ В работе также получены асимптотические законы убывания функционалов, которые характеризуют задачу об одновременном приближении $\ \bar\psi$-интегралов функций из классов $\ S_\infty\ $ и $\ H_\omega\ $ операторами Фурье в равномерной метрике.

Установлены следующие утверждения.

Теорема 2.1.1. Пусть $\ \psi_1\in \mathfrak A_0,\ $ $\ \psi_2 \in \mathfrak A_0'\ $ и $\ c=\sigma-\tau>0,\ $ где \mbox{$\ \tau\ $ —} некоторое положительное число. Тогда величины $${\cal E}_\sigma ( \widehat C^{\bar\psi} \mathfrak N )=\sup\{|\rho_{\sigma,c} (f,x)|:\ \ f\in \widehat C^{\bar\psi}\mathfrak N\},$$ где $\mathfrak N=S_\infty\cup H_{\omega},$ не зависят от значения $x,$ и при $\sigma\rightarrow\infty$ виполняются асимптотические равенства \vskip -2mm$$ {\cal E}_\sigma ( \widehat C^{\bar\psi}_{\infty} )=\frac{2} {\pi}\int\limits _\sigma^\infty \frac{\psi_2(t)}{t}dt+\frac{4}{\pi^2} |\psi(\sigma)|\ln\sigma+ O(1)| \psi(\sigma)|, $$\vskip -2mm $$ {\cal E}_\sigma \left( \widehat C^{\bar\psi} {H_\omega} \right)=\theta_{\omega}\bigg( \frac{1}{\pi}\int\limits_0^1 \omega\bigg (\frac {2t}{\sigma}\bigg) \int\limits_1^\infty \psi_2(\sigma\upsilon)\sin\upsilon td\upsilon dt+ $$\vskip -4mm $$ +\frac{2}{\pi^2} |\psi(\sigma)|\ln\sigma\int\limits_0^ {\pi/2}\omega\left(\frac{2t}{\sigma}\right)\sin tdt\bigg)+O(1) |\psi(\sigma)| \omega \left(\frac{1}{\sigma}\right), $$ где $\ \psi(t)=\psi_1(t)+i\;\psi_2(t),\ $ $\ \theta_ \omega\in \left[\frac{2}{3};1\right],\ $ причем $\theta_\omega=1,$ если $\omega(t)$~— выпуклый модуль непрерывности, $O(1)$ — величины, равномерно ограниченные по $\sigma.$ }

Теорема 3.1.1. Пусть $\ \bar{\psi}=\{\bar{\psi} ^{(1)}, \bar{\psi}^{(2)}, \ldots,\bar{\psi}^{(m)}\}\ $ — множество пар \mbox{$\ \bar{\psi}^{(i)} =(\psi_1^{(i)},\psi_2^{(i)})\ $} таких, что $\ \psi_1^{(i)}\in\mathfrak A_0,\ \psi_2^{(i)}\in \mathfrak A_0',\ $ и \mbox{$\ c=(c_1,c_2,\ldots,c_m)\ $ —} произвольный набор из $\ m\ $ действительных чисел. Тогда величины $$ \Sigma_{\sigma,m}(\mathfrak N,\bar{\psi},c)=\sup\limits_{\varphi\in \mathfrak N}\left|\sum\limits_{i=1}^m\frac{c_i}{|{\psi}^{(i)}(\sigma)|}\left( {\cal J}^{\bar{\psi}^ {(i)}} \varphi(x)-F_{\sigma}\bigg({\cal J}^{\bar{\psi}^{(i)}}\varphi, x \bigg)\right) \right|, $$ где $\mathfrak N=S_{\infty}\cup H_\omega$, не зависят от значения $x$, и при $\ \sigma\to\infty\ $ выполняются асимптотические равенства $$ \Sigma_{\sigma,m}(S_{\infty},\bar{\psi},c)=\frac{2}{\pi}\bigg|\sum\limits_{i=1}^m \frac{c_i }{|{\psi}^{(i)}(\sigma)|}\int\limits_\sigma^\infty \frac{\psi_2^{(i)}(t)}{t} dt \bigg|+\frac{4}{\pi^2} R_m\ln\sigma+O(1), $$ $$ \Sigma_{\sigma,m}(H_ {\omega}, \bar{\psi},c){=}\theta_{\omega}\! \bigg(\!\frac{1}{\pi}\!\int\limits_0^1 \!\omega\left (\frac{2t}{\sigma}\right) \!\bigg|\!\sum\limits_{i=1}^m \frac{c_i}{|{\psi}^{(i)} (\sigma) | } \!\int\limits_1^\infty\!\psi_2^{(i)}(\sigma \upsilon) \sin \upsilon td\upsilon\bigg|dt{+} $$ $$+\frac{2}{\pi^2}R_m \ln\sigma\int\limits_0^{\pi/2}\omega\left(\frac{2t}{\sigma} \right)\sin tdt\bigg)+O(1)\omega\left(\frac{1}{\sigma}\right),$$ \vskip -3mm \noindent где \vskip -3mm$$ R_m=R_m(\bar{\psi},c)=\sqrt{A_m^2+B_m^2},\ \ \ A_m=A_m(\bar {\psi},c)= \sum\limits_{i=1}^m c_i\cos\gamma_\sigma^{(i)},$$\vskip -3mm $$ B_m=B_m(\bar{\psi},c)= \sum\limits_{i=1}^m c_i\sin\gamma_\sigma^{(i)},\ \ \ \ \ \ \ \gamma_\sigma^{(i)}=\arctg \frac{\psi_2^{(i)}(\sigma)}{\psi_1^{(i)}(\sigma)},$\vskip -1mm \noindent ${\psi}^{(i)}(t)={\psi}^{(i)}_1(t)+i{\psi}^{(i)}_2(t),$ $\ \theta_\omega \in \left[\frac{2}{3},1\right],\ $ причем $\ \theta_\omega=1,\ $ если \mbox{$ \omega(t) $ —} выпуклый модуль непрерывности, $\ O(1)\ $ — величины, равномерно ограниченные по $\ \sigma$.}

Ключевые слова: интеграл, классы $\widehat L^{\bar\psi}\mathfrak N,$ оператор Фурье, одновременное приближение.

Sokolenko I.V. Approximation integrals of functions given on the real line — Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01 — mathematical analysis.— Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

The thesis contains the researches of approximation attributes of the Fourier operators on the classes of functions, which locally summable on the real line and determined by integrals, and the researches of simultaneous approximation of some functions of this classes.

We find asymptotic formulas of deviations of the Fourier operators on the classes $\ \widehat C^{\bar\psi}_\infty\ $ and $\ \widehat C^{\bar\psi}H_\omega\ $ of continuous functions in a uniform metric. We also find estimates of deviations of the Fourier operators on the sets of Poisson integrals of functions of