НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

СОРОКАТИЙ МИКОЛА ІВАНОВИЧ

УДК 539.3

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ФУНКЦІЙ ВПЛИВУ В ЗАДАЧАХ ДИНАМІКИ ПРУЖНИХ СИСТЕМ ІЗ ЗМІННИМ РОЗПОДІЛОМ ПАРАМЕТРІВ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів-2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України і у Національному університеті “Львівська політехніка”

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Кушнір Роман Михайлович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, директор Інституту

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Григоренко Олександр Ярославович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділу обчислювальних методів;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Марчук Михайло Володимирович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідувач відділу механіки тонкостінних елементів конструкцій

Провідна установа: | Львівський національний університет ім. Івана Франка, кафедра механіки, Міністерство освіти і науки України, м. Львів

Захист відбудеться “_11____” _липня_____ 2005 року о “_15__” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

Автореферат розісланий “_10____” __червня______________ 2005р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук Р.М. Мартиняк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Постійно зростаючі вимоги до забезпечення надійного функціонування механізмів і конструкцій, що перебувають під дією різного типу навантажень, спричиняють потребу дослідження їх динамічної поведінки. Це вимагає розробки ефективних методів дослідження динамічних властивостей пружних систем, передусім аналітичних, і отримання на їх основі розрахункових формул для оцінки впливу різноманітних геометричних, жорсткісних і масових факторів, властивостей середовища та ін. на коливання та стійкість деформівних систем.

Важливість розробки нових підходів до вирішення цієї проблеми з ростом швидкостей, рівня навантажень і зумовлених ними напружень при підвищенні експлуатаційних вимог та урізноманітненні використовуваних конструкційних рішень і надалі зростатиме. Значний внесок у поглиблення постановки задач і здійснення досліджень у цьому напрямку зробили Андрейків О.Є., Болотін В.В., Василенко М.В., Горошко О.О., Горшков А.Г., Григолюк Е.І., Грінченко В.Т., Григоренко О.Я., Григоренко Я.М., Гузь О.М., Динник О.М., Ішлінський О.Ю., Коляно Ю.М., Конашенко С.І., Кубенко В.Д., Лазарян В.А., Образцов І.Ф., Пелех Б.Л., Підстригач Я.С., Тимошенко С.П., Улітко А.Ф., Чернуха Ю.А., Шульга М.О.

Побудова і числове дослідження моделей динамічних систем істотно ускладнюється, коли вони, крім неперервних, мають ще й зосереджені чинники (дискретні маси та осцилятори), а досліджувані характеристики залежать від різноманітних параметрів. Дослідженням у цьому напрямку протягом останнього часу присвячено низку робіт. Зокрема, вивчення складених стержнів здійснене у роботах Белова О.Ю., Дейнеки В.С., Сергієнка І.В., Сисоєва Ю.Г., Bert C.W., Zeng H.J.; пружні системи із приєднаними елементами вивчали – Гордієнко Б.А., Гордієнко Е.П., Сівак В.В., Сівак В.Ф., Троценко Ю.В., Шульга О.М., Jiang J.S., Wang D., Zhang W.H.; розвитку нових аналітичних та аналітико-числових методів стосуються також праці Алейнікова І.А., Власова Є.В., Зорія Л.М., Кіреєва В.А., Кравченко В.Ф., Марчука М.В. та інших.

Одним із ефективних методів дослідження вказаних систем є метод функцій впливу, який набув значного розвитку, зокрема, в роботах Вігака В.М., Зорія Л.М., Кушніра Р.М., Процюка Б.В., Стасюк М.Ф., Тація Р.М. і за допомогою якого отримано ряд нових результатів. Проте недостатньо вивченими залишаються малі коливання неоднорідних пружних систем, питання впливу зосереджених чинників на стійкість пружних стержнів та флатер пластин в потоці газу. Актуальним є отримання аналітичних розв’язків, які могли б слугувати еталоном точності при використанні наближених методів.

У дисертаційній роботі розв’язується актуальне наукове завдання – дослідження впливу зосереджених мас і осциляторів на малі коливання та стійкість пружних стержнів, флатер пластин в газовому потоці, а також малі коливання складених стержнів, неоднорідних куль і довгих циліндрів з використанням методу функцій впливу.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася в рамках держбюджетної теми “Питання алгебри, функціонального аналізу, математичної фізики, ланцюгові дроби та їх застосування” кафедри вищої математики Національного університету “Львівська політехніка” ( номер державної реєстрації 01870095011 ) та держбюджетної теми “Розробка аналітично-чисельних методів дослідження напруженого стану неоднорідних тіл з тепловими та залишковими деформаціями і дефектами структури” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (номер державної реєстрації 0103U000131).

Мета і задачі дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є розвиток методу функцій впливу для дослідження малих коливань та стійкості пружних стержнів та пластин з приєднаними елементами, а також розвиток лінійних пружних моделей для дослідження задач коливань неоднорідних куль і довгих циліндрів.

Основні задачі дослідження, що обумовлені метою роботи:

- вибір в якості об’єктів дослідження моделей пружних стержнів і тонких пластин із приєднаними дискретними елементами, довгих циліндрів та пружних куль в припущеннях про їх ізотропність, малість переміщень, що дає змогу розглядати задачі при динамічних збуреннях, як лінійні (геометрично і фізично);

- розробка способів побудови характеристичних рівнянь узагальнених задач на власні значення, до яких зводиться дослідження динамічної поведінки вибраних об’єктів;

- вибір методів оцінки нижчих частот коливань та критичних значень навантажень за ейлерової та автоколивної втрати стійкості у випадку, коли визначення усього спектру частот є неможливим;

- розробка способів знаходження точних розв’язків відповідних задач на власні значення для оцінювання на їхній основі точності отриманих наближеними методами розв’язків;

- вибір таких способів запису характеристичних рівнянь, які би давали можливість здійснювати ефективний якісний їхній аналіз, без числових досліджень;

- визначення умов, яким повинні задовольняти геометричні й механічні параметри досліджуваної системи, щоб область стійкості знайдена без урахування малих неідеальностей, була би областю достовірної стійкості.

Об’єктом дослідження є пружні стержні і пластини, довгі циліндри та кулі із кусково-неперервними характеристиками.

Предметом дослідження є малі коливання та стійкість вказаних вище пружних систем.

Методи дослідження - метод функцій впливу, метод характеристичних рядів.

Наукова новизна одержаних результатів:

- вперше отримано точні розв’язки задачі про малі коливання для пружних стержнів із нелінійними механічними і геометричними параметрами, а саме, коли розподіли жорсткостей і мас є степеневими функціями. Побудовано й досліджено частотні рівняння коливань таких складених стержнів для довільних допустимих законів зміни жорсткості і маси. При цьому виявлено невідомі раніше осциляторні властивості власних частот;

- отримано нові якісні результати щодо умов відсутності втрати стійкості пластини з зосередженими і приєднаними масами у надзвуковому потоці та про відсутність впливу зміни орієнтації потоку на її динамічну поведінку. Виявлено не відомий раніше стабілізуючий вплив осцилятора на стійкість пластини;

- здійснено детальний числовий аналіз отриманих результатів відповідно до якого з’ясовано, що підбором геометричних та механічних характеристик систем панель–осцилятор і стержень-опора можна істотно впливати на стійкість систем і позбуватися дестабілізаційних впливів;

- показано, що істотного підвищення власних частот коливань пружного стержня можна добитися за рахунок збільшення жорсткості проміжкової опори і раціонального вибору точки її розміщення;

- виявлено, що довільна мала швидкість потоку приводить до автоколивної втрати стійкості пружної стержневої системи, жорсткості і довжини частин якої підібрано таким чином, що у незбуреному стані вона має кратні частоти.

Обґрунтованість і достовірність отриманих результатів забезпечується:

- строгістю та коректністю постановок задач;

- використанням апробованих рівнянь коливань пружних систем із змінним розподілом параметрів;

- отриманням розрахункових рівнянь різними способами – з використанням узагальнених функцій для опису зосереджених факторів з одного боку і спряженням розв’язків записаних для окремих частин - з іншого;

- узгодженням результатів у часткових випадках із вже відомими в наукових джерелах.

Практичне значення отриманих результатів. Застосований метод функцій впливу дає змогу ефективно досліджувати континуальні та дискретно-континуальні системи, записуючи характеристичні рівняння таких систем у вигляді явних функцій від їхніх параметрів. Розрахункові формули для визначення частот можуть використовуватися в інженерних розрахунках, зокрема, ступінчастих стержнів. Отримані на основі точних розв’язків значення частот за поздовжніх та поперечних коливань пружних стержнів можуть служити еталоном при здійсненні наближених обчислень та розробленні наближених методів. Числові дані та графіки дають уяву про реальний вплив параметрів зосереджених факторів і дають можливість покращувати механічні характеристики систем.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, які сформульовані у дисертації і опубліковані у наукових роботах [1-9], отримані автором самостійно. Роботи [1-3, 5-7] виконані з науковим керівником і проф., доктором фіз.-мат. наук Зорієм Л.М., яким належить постановка задач і участь в обговоренні отриманих результатів. Роботи [4, 8, 9] виконані самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на:

- Всесоюзному семінарі “Статистическая и динамическая прочность тонкостенных конструкций” під керівництвом І.Ф. Образцова, В.В. Васильєва, А.Г. Горшкова, м. Москва, грудень 1989 р.;

- XV Міжнародному симпозіумі “Коливання у фізичних системах”, м. Познань (Польща), 1992 р.;

- 2-му Міжнародному симпозіумі інженерів-механіків у Львові, 1995 р.;

- Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики”, м. Львів, 1998 р.;

- наукових конференціях професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук НУ “Львівська політехніка”, м. Львів, 2003р. і 2004 р.

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася на розширеному семінарі відділу термомеханіки і семінарі “Математичні проблеми механіки руйнування та контактних явищ” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України; на семінарі кафедри вищої математики Інституту прикладної математики та фундаментальних наук Національного університету “Львівська політехніка”; на семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка; на семінарі відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Публікації. Результати дисертації викладено в 9 наукових роботах. Роботи [1-4] опубліковані у наукових журналах з Переліку фахових видань ВАК України. Роботи [5-9] – матеріали і тези доповідей наукових конференцій.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, які містять 20 рисунків і 2 таблиці, висновків та списку використаних джерел із 109 найменувань. Загальний обсяг дисертації – 121 сторінка.

Дисертант висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові, докторові фіз.-мат. наук Кушніру Роману Михайловичу за постійну увагу до роботи та її підтримку, а також докторові фіз.-мат. наук Зорію Лонгіну Михайловичу за тривалу співпрацю, без якої ця робота не відбулася б.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми досліджень, сформульовано мету і задачі досліджень, висвітлено наукову новизну, відзначено достовірність і значення отриманих результатів; вказано на зв’язок дисертації із науковими темами установ, в яких працює автор, подано перелік семінарів і конференцій, на яких апробовано результати дисертації, зазначено дані про публікації за темою дисертації і визначено особистий внесок здобувача у публікаціях, які підготовлені за участю співавторів.

У першому розділі проведено огляд наукових джерел, близьких за тематикою до досліджень, проведених в дисертаційній роботі, зроблено огляд методів досліджень пружних систем, які, крім неперервних, мають ще й зосереджені фактори у вигляді дискретних пружно підкріплених мас і осциляторів та вказано на місце даної дисертаційної роботи серед уже проведених досліджень з даної проблематики.

У другому розділі описано метод дослідження, способи побудови характеристичних рівнянь досліджуваних систем та зроблено порівняння цих способів.

Задачу про коливання та стійкість пружної системи, що залежить від деяких параметрів, доцільно досліджувати, виходячи з характеристичного рівняння, побудованого у вигляді ряду за характеристичним показником або за параметром навантаження р. Вперше такий підхід для систем з неперервним сталим розподілом параметрів був запропонований С.А. Бернштейном і К.К. Керопяном як метод спектральної функції. При цьому досліджувалися задачі про вільні коливання та ейлерову втрату стійкості пружних стержнів і стержневих систем.

Для деяких систем із змінними параметрами характеристичні рівняння у вигляді рядів за характеристичним показником будувалися Ш.Е. Мікеладзе. Загальний метод побудови і дослідження характеристичних рівнянь у вигляді рядів для багатопараметричних задач коливань та стійкості розроблений Л.М. Зорієм та його учнями.

Розділивши змінні в однорідній крайовій задачі для лінійного диференціального рівняння з частинними похідними, до якого звелася задача дослідження збурених форм руху, прийдемо до узагальненої задачі на власні значення стосовно характеристичного показника та параметрів навантаження. При цьому, залежно від постановки задачі, розрізняють характеристичні ряди двох видів

, (1)

, (2)

де р, а, b –параметри, що характеризують прикладені навантаження; розподіли мас та жорсткостей, пропорційні до швидкостей; сили тертя, відповідно. Ряд виду (2) отримано у припущенні відсутності малого тертя, тобто ідеалізації розглядуваної системи.

Двосторонні оцінки для ейлеревого значення навантаження, квадратів нижчих частот, параметра навантаження, що відповідає автоколивній втраті стійкості, знайдено із відомих співвідношень  Бернштейна – Керопяна та Зорія.

На прикладі пружної консольної балки змінного перерізу, що моделюється розміщеними у точках зосередженими масами , які підкріплені пружинками з демпферами із заданими коефіцієнтами жорсткості та тертя і відповідно, проілюстровано методику проведення таких досліджень. Для отримання частотного рівняння побудовано рівняння руху системи поблизу прямолінійної форми рівноваги у переміщеннях

(3)

де – одиничні податності, які визначаються як прогини yi(x) балки в точці х=хі за дії прикладеної в точці х=хj одиничної сили, і подаються у вигляді

. (4)

Тут – функція Коші відповідного диференціального рівняння (крапкою позначено диференціювання за параметром .).

Рівняння (3) і співвідношення (4) дають можливість записати характеристичне рівняння

, (5)

де

, (6)

– характеристичний показник.

Із рівняння (5) знаходять комплексні частоти коливань системи із скінченою кількістю ступенів вільності.

Більш загальний підхід до побудови характеристичних рівнянь базується на використанні функції впливу відповідного диференціального рівняння.

Розглянуто задачу про малі коливання консольної балки, яка на відміну від попередньої крім дискретних має ще й розподілену масу:

,

де ; ; y – поперечне переміщення; ; штрихом позначено диференціювання за змінною x.

Спочатку побудовано характеристичне рівняння для випадку, коли зосереджені чинники відсутні (). Воно має вигляд

,

де K(х,) – функція Коші для рівняння .

Показано, що для отримання характеристичне рівняння для консолі із зосередженими масами, у цьому рівнянні слід замінити функцію K(х,) на функцію , яка враховує зосереджені чинники:

(7)

Тут Ф(х,)= K(х,)(х- )- функція впливу; (х-) – функція Хевісайда.

Отже, шукане характеристичне рівняння для консолі, що має змінну згинну жорсткість і масу та містить у точках хі зосереджені маси mі , має такий вигляд:

. (8)

Отримане характеристичне рівняння (8) є універсальним у тому сенсі, що воно записане для довільної кількості приєднаних елементів і довільної жорсткості стержня.

Якщо зосереджені маси підкріплені пружинками із жорсткістю ki і тертям i, то параметр i, що входить у співвідношення (7), визначається за формулою (6).

Під’єднання до стержня осциляторів, параметри жорсткості, маси і в’язкого тертя яких дорівнюють Мі, сі, bі відповідно, приводить до такого виразу для параметра i:

,

а у випадку, коли в точках хі, зосереджено маси і осцилятори – до виразу

. (9)

Показано, що рівняння (8) збігається із рівнянням (5), якщо розподілену масу спрямувати до нуля.

Характеристичні рівняння (5) і (8) побудовано за різних припущень. Якщо у першому випадку розподілена маса вважається набагато меншою порівняно із зосередженими, то у другому цього обмеження нема.

Рівняння, що мають вигляд (5), використано при дослідженні систем із скінченою кількістю ступенів вільності для знаходження частот коливань та їх форм у випадках, коли розподілена маса істотно менша за зосереджені.

Універсальні характеристичні рівняння (8) застосовано нижче при розв’язуванні методом характеристичних рядів задач про коливання та стійкість (знаходження нижчих частот та сил) континуальних та дискретно-континуальних систем.

У третьому розділі описані вище способи побудови характеристичних рівнянь використовуються для досліджень коливань і стійкості пружних стержнів із континуально-дискретними параметрами, а також складених стержнів, функції розподілів жорсткостей і мас яких є степеневими функціями.

Розглянуто задачу про стійкість і малі коливання завантаженої пружної консольної балки з пружними опорами, зосередженими в точках хі масами mі, і приєднаними в цих точках осциляторами з демпферами (рис.1).

У припущенні, що змінна жорсткість – інтегровна функція, а зосереджені параметри відсутні отримано характеристичне рівняння :

.

За наявності дискретних чинників функція Коші замінюється на функцію, що визначається формулою (7)

. (10)

Параметри , які входять до , визначаються співвідношеннями (9).

Як приклад використання рівняння (10) розглянуто завантажений консервативною силою G консольний стержень сталої жорсткості, із розташованою в точці х1 пружною опорою, що має жорсткість k1 . У цьому випадку характеристичне рівняння (10) можна звести до зручного для проведення обчислень вигляду:

(11)

Безрозмірні параметри, що входять в рівняння (11), є такими:

l - довжина стержня; функції F0, F2, F4 подаються рядами

,

Зауважимо, що із характеристичного рівняння (11) в чаcткових випадках отримано рівняння відомі в літературі. Деякі результати числового дослідження рівняння (11) містяться на рис. 2, 3.

Як видно із рис. , основна частота істотно залежить від розміщення проміжкової пружної опори. Для малих значень жорсткості (<40) найбільше її значення досягається, коли опора міститься у крайньому верхньому положенні (=1). При великій жорсткості опори (>40) найбільша частота досягається, коли <1. Зокрема при це значення дорівнює 0,75 (рис. ) і основна частота набагато перевищує відповідне значення для консолі без проміжкової опори. Цей висновок підтверджується експериментальними результатами, отриманими Марчуком М.В. Наведені в таблиці 1 найпростіші двосторонні оцінки основної частоти коливань незавантаженого стержня із шарнірно закріпленою проміжковою опорою з використанням лише перших трьох коефіцієнтів характеристичного ряду свідчать про їхню високу точність.

Відомо, що динамічна стійкість неконсервативних систем істотно залежить від властивостей її спектру, зокрема автоколивна втрата стійкості може наступати після того, як якісь дві частоти стають кратними. Для підтвердження цього розглянуто приклад (рис. ) системи із двома ступенями вільності, у якій параметри підбираються таким чином, щоб частоти стали кратними. Після цього вважається що ця система поміщена у потік газу і вона досліджується на стійкість.

Довжина стержня АВ дорівнює l, а його жорсткість на згин f1(х); стержня СD – L і f2(х) відповідно. У додатньому напряму осі х систему обтікає потік газу із швидкістю u. В точці D поміщено зосереджену масу т. Розподіленими масами стержнів знехтувано.

Частотне рівняння (5) у цьому випадку має вигляд

Причому коефіцієнт впливу, 11 визначається за формулою

,

- безрозмірний параметр швидкості потоку. Умовою кратності частот при є співвідношення: . Доведено, що за виконання цієї умови під впливом потоку система втрачає свою стійкість шляхом автоколивань при як завгодно малому .

Визначити увесь спектр частот пружної системи вдається тільки у випадках, коли відповідне рівняння коливань є рівнянням із сталими коефіцієнтами, або може звестися до такого. Для пружних стержнів із нелінійними механічними і геометричними параметрами, а саме, коли закони зміни жорсткостей і мас є степеневими функціями, встановлено умови, за яких розв’язки відповідних крайових задач можна записати у замкненому вигляді. Це дає можливість точного запису характеристичних рівнянь, а отже й визначення усього спектру частот.

При вивченні поздовжніх коливань пружного стержня вихідними є рівняння технічної теорії, які після відокремлення змінних мають такий вигляд:

Якщо функції розподілу жорсткості і маси є степеневими

(12)

де А, В, m, n - сталі, то при n-m =-2 це рівняння є рівнянням Ейлера.

Для стержня, кінці якого затиснені в точках х=a і х=b, частоти коливань

знаходяться з такого співвідношення:

,

а форми – із такого:

Звідси випливають такі висновки: хвильові числа є більшими за , де m- показник степеня функції зміни жорсткості; форми коливань істотно залежать від ; якщо для двох стержнів із законами зміни жорсткостей і виконується співвідношення то їхні частотні спектри однакові.

Для складеного стержня, розподіли жорсткостей і мас частин якого є fi(x) i gi(x) (i=1,2) (рис. 5) у випадку затиснення обох кінців отримано таке частотне рівняння для поздовжніх коливань:

. (13)

У випадку подібного консольного стержня (лівий кінець затиснений, а правий вільний) рівняння дещо змінюється:

. (14)

Числове дослідження рівняння (13) у випадку, коли приєднані маси відсутні, відображає рис.6. Встановлено осциляторні властивості частот коливань неоднорідного стержня.

При дослідженні поперечних коливань пружних стержнів вихідним є таке звичайне диференціальне рівняння . Виявлено, що коли функції розподілу жорсткостей і маси мають вигляд (12), то при m – n =4, це рівняння є рівнянням Ейлера. Зокрема при m=3, n=-1 його функція впливу визначається за формулою:

, (15)

де – дійсна, – уявна частини коренів відповідного характеристичного рівняння.

Використавши функцію (15), отримаємо частотні рівняння:

, (16)

, (17)

. (18)

Рівняння (16)-(18) відповідають таким умовам закріплення кінців стержня: затиснення–затиснення, затиснення–шарнір, шарнір–шарнір. Вони дають можливість знаходити весь частотний спектр. Один із прикладів їхнього застосування при зображено на рис.7.

Побудовано універсальні частотні рівняння для поперечних коливань складених стержнів. Наприклад, для стержня, обидва кінці якого затиснені, воно має вигляд визначника четвертого порядку

. (19)

Функція обчислюється у точці (с,а), – у точці (с,b).

Для подібного консольного стержня частотне рівняння є таким:

. (20)

Залежно від того, в якому вигляді вдалося побудувати функцію впливу, воно є або трансцендентним, або записане через спеціальні функції, або у вигляді рядів і має нескінчену кількість коренів. Як і раніше, замінивши у рівняннях (19), (20) функцію K(х,) на Qn(х,), отримують частотні рівняння для стержнів із зосередженими чинниками. Здійснено числове дослідження для складеного стержня, одна частина якого має змінну жорсткість і масу, а друга – постійні.

У четвертому розділі досліджено коливання та стійкість пружних панелей з приєднаними елементами в потоці газу (рис.9), довгих циліндрів та пружних куль.

Відомо, що додаткові маси і осцилятори можуть істотно змінювати динамічну поведінку коливної системи, впливаючи на частоти коливань і критичні навантаження. При цьому в загальному випадку не можна дати відповідь про кількісний та якісний вплив їхніх параметрів на зміну динамічної поведінки. У кожному конкретному випадку треба проводити аналітичне, а якщо це неможливо, то числове дослідження. Ефективність таких досліджень є тим вищою, чим вдаліше побудовано характеристичне рівняння, наскільки просто входять параметри досліджуваної системи у це рівняння, яка міра його загальності і які часткові випадки можливо із цього рівняння отримувати.

Розглянуто плоску пружну пластину із змінними законами розподілів геометричних і механічних характеристик за умов пружного закріплення країв і (параметри пружного закріплення і – невід’ємні). В напрямку осі пластина обтікається надзвуковим газовим потоком із швидкістю . Розміри пластини поперек потоку вважаються достатньо великими в порівнянні з шириною (циліндричний згин). Із протилежної сторони в точках зосереджено маси і під’єднано осцилятори . Для опису деформування пластини використано співвідношення, що базуються на моделі Кірхгофа – Лява. В умовах застосування поршневої теорії рівняння малих коливань мають такий вигляд:

,

Переміщення маси Мі задовольняє рівнянню:

.

Використання функції впливу дає таке характеристичне рівняння цієї задачі:

, (21)

де визначається співвідношенням

;

функція Qn(х,) знаходиться із формули (7).

Характеристичне рівняння (21) містить одну функцію K(х,) і її частинні похідні за змінною х та параметром .. Воно дає можливість ефективно проводити якісні та числові дослідження. Зазначимо, що в такого роду задачах ліву частину характеристичного рівняння отримують, як правило, у вигляді визначника восьмого порядку.

За умови, що параметри пластини є постійними, а її краї шарнірно закріплені, така задача розглядалася Болотіним В.В. і Симоновим Б.П.

У випадку, коли до пластини приєднано один осцилятор, рівняння (21) має вигляд

, (22)

де

.

Із нього у роботі отримано часткові випадки для пластини із затисненими краями, затисненим переднім і шарнірно закріпленим заднім, шарнірно закріпленим переднім та защемленим заднім та шарнірно закріпленими краями. Для прикладу використання рівняння (22) розглянуто пластину постійної товщини при r(x)=0. У цьому випадку його можна записати як у замкненому вигляді, так і у вигляді ряду за характеристичним показником . Функція F, що входить до рівняння (22), має такий вигляд:

. (23)

Тут – параметр швидкості потоку.

Оскільки параметр швидкості потоку входить в характеристичне рівняння (22) у парних степенях, то зміна напряму потоку на протилежний не змінить динамічну поведінку системи. Іншими словами, пластини з зосередженою масою і осцилятором, що обтікаються потоком в протилежних напрямках, ведуть себе динамічно однаково. Цей висновок узгоджується із отриманим із числового дослідження для пластини без зосереджених чинників, один край якої затиснений, а інший – шарнірно закріплений.

Як частковий випадок розглянуто пластину, у якої передній край шарнірно закріплений, а задній затиснений, причому розподілена маса панелі суттєво менша від зосередженої.

Виявлено, що така пластина із приєднаним осцилятором і зосередженою в цій же точці пружно підкріпленою масою завжди стійка в надзвуковому потоці газу. Точка розташування мас може бути довільною на проміжку . Цей загальний висновок зберігається і для інших випадків закріплення країв.

Числовий аналіз здійснено для випадку шарнірного закріплення країв. Записане в безрозмірних координатах характеристичне рівняння має вигляд

. (24)

Тут – параметр власної частоти осцилятора, – відношення приєднаної маси до розподіленої, – параметр закріплення.

Нехтуючи степенями параметра зовнішнього тертя , вищими за першу, а також добутком параметрів зовнішнього та внутрішнього тертя, це характеристичне рівняння записано у вигляді ряду за безрозмірним характеристичним показником

. (25)

Коефіцієнти цього ряду є явними функціями параметрів

де

Для визначення нижчих частот використовувалися двобічні оцінки Бернштейна, а критичні значення швидкості потоку знаходилися як найменші корені послідовності визначників Гурвіца Dk..

В результаті проведеного числового аналізу встановлено, що втрата стійкості пластини із дискретною масою при зумовлена злиттям першої та другої частот коливання. Квазікритичне значення швидкості потоку із ростом параметра необмежено зростає. При цьому при різних розміщеннях осцилятора залежність критичної швидкості від дискретної маси може бути монотонною або немонотонною. Якщо жорсткість приєднання осцилятора є достатньо великою в порівнянні із згинною жорсткістю пластини, то критичні значення флатера є близькими до для пластини із дискретною масою. При малій жорсткості приєднання взаємодія системи пластина – осцилятор стає слабкою і втрата стійкості обумовлюється злиттям другої та третьої частот. Показано, що підбором параметрів пластина – осцилятор можна добиватися істотних стабілізуючих впливів.

Рис.8 відображає деякі результати числового аналізу рівняння (24) при . Як видно, критичні значення флатера можуть мати сильно виражений мінімум (), слабо виражений мінімум () або не мати його (). Але у всіх цих випадках функція має істотний максимум при При критичні значення наближаються до відповідних значень панелі із зосередженою масою.

Побудовано область достовірної стійкості для пластини, розподілена маса якої є істотно меншою в порівнянні із двома зосередженими масами при шарнірному закріпленні її країв. Отримано якісні висновки про відсутність втрати стійкості прямокутної в плані пластини із зосередженою на прямолінійному відрізку масою у випадку, коли її два краї паралельні до потоку шарнірно оперті, два інші – пружно закріплені, а маса якої є істотно меншою від маси приєднаних елементів. Показано незалежність динамічної поведінки такої пластини від зміни напрямку обтікання на протилежний.

Для однорідних суцільних та порожнистих куль та безмежно довгих циліндрів з радіусом R при вісесиметричних коливаннях у припущенні, що напруження, деформації і переміщення залежать тільки від радіальної змінної , отримано рівняння малих радіальних коливань. У випадку багатошарової суцільної кулі, параметри Ляме якої є східчасто сталими функціями, застосовано часткову дискретизацію:

, (26)

де – дельта-функція Дірака.

Частотне рівняння одержано для довільного скінченого n у співвідношеннях (26).

Якщо п = 1, частота визначена формулою

. (27)

Тут; ;,; – параметр Ляме; – питома маса, коефіцієнти Пуасона (K0 та K1 – модулі об'ємного стискання внутрішнього та зовнішнього шарів).

Вважаючи модуль зовнішнього шару K1 досить великим із (27) одержано:

(28)

Встановлено, що частота вільних коливань істотно залежить від параметрів і .

Подібно досліджено складніші випадки () із застосуванням двосторонніх оцінок.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розв’язанню наукового завдання – розвитку методу функцій впливу для дослідження ефектів зумовлених розташуванням дискретних мас і осциляторів на малі коливання та стійкість пружних стержнів та пластин, а також розвитку лінійних пружних моделей для дослідження задач коливань неоднорідних куль і довгих циліндрів.

У роботі отримано такі основні результати:

- вперше з використанням методу функцій впливу отримано точні розв’язки задач про малі коливання стержнів, розподіли жорсткостей і маси яких є степеневими функціями та побудовано й досліджено частотні рівняння коливань складених стержнів для довільних допустимих законів зміни жорсткості і маси. При цьому виявлено не відомі раніше осциляторні властивості власних частот;

- запропоновано методику отримання характеристичних рівнянь систем із зосередженими чинниками, яка полягає у побудові характеристичних рівнянь без урахування цих чинників на першому етапі і наступній заміні функції впливу на загальнішу, яка враховує ці чинники, - на другому;

- встановлено, що параметри зосереджених підкріплених мас і осциляторів істотно впливають на стійкість і малі коливання завантаженого пружного стержня. Числове дослідження часткового випадку (за постійного розподілу параметрів) узгоджується з відомими експериментальними результатами;

- для пластини із змінним розподілом параметрів, що містить зосереджені маси і осцилятори в газовому потоці, отримано в умовах циліндричного згину універсальне характеристичне рівняння при пружному закріплені двох її країв. Числово досліджено частковий випадок за постійних механічних параметрах і одному осциляторі;

- досліджено вплив потоку газу на стержневу систему, яка в незбуреному стані має кратні частоти, в результаті чого підтверджено можливість флатерної втрати стійкості за рахунок взаємодії перших двох частот.

- встановлено істотну залежність частот коливань багатошарових пружних куль та довгих циліндрів від коефіцієнта Пуасона.

Системне використання методу функцій впливу, і як наслідок цього, компактність і загальність отриманих характеристичних рівнянь, використання однієї функції для їхньої побудови, явна залежність цієї функції від параметрів коливної системи дали можливість ефективно провести дослідження та виявити нові механічні ефекти і явища:

- збільшення критичного навантаження та значна зміна основної частоти коливань підкріпленого пружного стержня у порівнянні із стержнем без пружної опори завдяки збільшення жорсткості проміжкової опори і її раціонального розміщення;

- істотний стабілізуючий вплив осцилятора на пружну пластину у надзвуковому потоці газу (збільшення майже у 3 рази значення критичної швидкості флатера);

- відсутність впливу зміни орієнтації потоку на її динамічну поведінку;

- осциляторні властивості частот складеного стержня, розподіли жорсткості і мас якого є степеневими функціями;

Результати розрахунку частот і критичних навантажень прямолінійних стержнів змінного поперечного перерізу, отримані в роботі, увійшли до Методичних рекомендацій МР 213-87 (ВНДІНМАШ), м. Москва.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Зорий Л.М., Сорокатый Н.И. О стабилизирующем влиянии геометрических и жесткосных параметров на флаттер панелей с сосредоточеными массами в сверхзвуковом потоке // Изв.РАН. МТТ. – 1992. –№1. – С.144-152.

2. Кушнір Р., Сорокатий М. Вплив параметрів пружних опор на стійкість і малі коливання завантаженого пружного стрижня // Машинознавство. – 2004. – №1. – С.20-23.

3. Зорій Л.М., Кушнір Р.М., Сорокатий М.І. До оцінки точності розв’язків частотних рівнянь у задачах динаміки пружних систем з кусково-змінними характеристиками // Мат. методи та фіз.- мех. поля. – 2004. – 43, №3. – С. 157-162.

4. Сорокатий М.І. Малі поздовжні коливання пружних стрижнів, розподіли жорсткості і маси яких є степеневими функціями // Машинознавство. – 2005. – №1. – С. 28-33.

5. Зорий Л.М., Сорокатый Н.И. Влияние сосредоточенных масс и осциляторов на панельный флаттер // XV международный симпозиум “Колебания в физических системах”: Тез. докл. – Познань, 1992. – С.170

6. Зорій Л., Сорокатий М., Метод функцій впливу в неконсервативних задачах пружної стійкості // 2-й міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові. Тези доповідей. – Львів, 1995. – С. 40.

7. Зорій Л. Сорокатий М. Радіальні коливання пружних куль і довгих циліндрів // Міжнародна наукова конференція „Сучасні проблеми механіки і математики”. – Львів, 1998. – С. 95.

8. Сорокатий М. Про стійкість панелі з одним осцилятором в надзвуковому потоці // Наукова конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук. НУ “Львівська політехніка”. – 2003. – С. 47.

9. Сорокатий М. Коливання стрижня, жорсткість і маса якого є степеневими функціями // Наукова конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук. НУ “Львівська політехніка”. – 2004. – С. 24.

АНОТАЦІЯ

Сорокатий М.І. Застосування методу функцій впливу в задачах динаміки пружних систем із змінним розподілом параметрів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2005.

Дисертація присвячена розвиткові лінійних пружних моделей для дослідження задач коливань стержнів та пластин з пружними опорами і осциляторами під впливом параметричних навантажень, а також неоднорідних куль та довгих циліндрів.

З використанням функцій впливу (фундаментальних розв’язків) отримано загальні характеристичні рівняння досліджуваних систем для довільних допустимих законів розподілів масових, геометричних і механічних характеристик.

Якісний і числовий аналіз отриманих рівнянь дав змогу виявити деякі нові механічні ефекти та явища щодо впливу параметрів на власні частоти та критичні швидкості (зокрема, стабілізуючі та дестабілізуючі впливи осциляторів).

Ключові слова: дискретно-континуальні пружні системи, функція впливу, флатер, стійкість, малі коливання

АННОТАЦИЯ

Сорокатый Н.И. Применение метода функций влияния в задачах динамики упругих систем с переменным распредением параметров. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С.Подстригача НАН Украины, Львов, 2005.

Диссертация посвящена развитию метода функций влияния для исследования малых колебаний и устойчивости стержней и панелей с присоединёнными элементами, которые находятся под влиянием нагрузок, потоков газа, различных типов краевых условий, а также развитию линейных упругих моделей для исследования задач колебаний неоднородных шаров и длинных цилиндров. Структурно она состоит из введения, четырех разделов, выводов и списка литературных источников.

Во введении обосновывается актуальность и новизна исследований по теме диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, указано теоретическое и практическое значение результатов, полученных в роботе.

Первый раздел посвящён обзору научных работ по теме диссертации и показано современное состояние исследований линейных упругих моделей систем с дискретно–континуальными параметрами.

Во втором разделе приведены два подхода к изучению малых колебаний и устойчивости механических систем, которые, кроме непрерывных параметров (распределённая масса, жесткость, трение), имеют и сосредоточенные, в виде упруго подкрепленных дискретных масс и осциляторов. Первый подход базируется на использовании уравнений движения в перемещениях и его основным достоинством является простота применения. Второй подход, более общий, с использованием функции влияния, позволяет строить универсальные характеристические уравнения для упругих механических систем с произвольным допустимым распределением геометрических и механических характеристик. При одинаковых предположениях оба подхода приводят к тем же результатам.

В третьем разделе, описанные выше подходы построения характеристических уравнений используются для исследования колебаний и устойчивости упругих стержней с континуально–дискретными параметрами, а также неоднородных стержней, распределения жесткостей и масс которых выражаются через степенные функции. Установлено, что параметры промежуточной опоры консольно загруженного стержня существенно влияют на основную частоту колебаний и значение эйлеровой критической нагрузки. Показано, что при значении безразмерного параметра присоединения шарнирно-закрепленной промежуточной опоры, равного 0,75 основная частота достигает максимума. Этот вывод подтверждается экспериментальными данными, полученными Марчуком М.В. На примере стержневой системы с двумя степенями свободы в потоке газа подтверждено общее предположение о возможности автоколебательной потери устойчивости путем слияния ее частот. Для упругих стержней, жесткости и массы которых изменяются за степенными законами таким образом, что соответствующие уравнения колебаний являются уравнениями Эйлера, получены характеристические уравнения в замкнутом виде для различных краевых условий. Численным исследованием выявлены осциляторные свойства собственных частот неоднородного стержня.

Четвертый раздел посвящен флаттеру панелей с осциляторами в сверхзвуковом потоке газа, а также радиальным колебаниям длинных цилиндров и упругих шаров. Получены качественные выводы о неограниченном возрастании критической скорости флаттера при условии, что распределенная масса панели становится пренебрежимо малой по сравнению с сосредоточенной и о независимости динамического поведения панели при изменении направления потока на противоположный. Для осесимметричных колебаний длинного цилиндра в предположении, что напряжения, деформации и перемещения зависят только от радиальной переменной, получены уравнения малых колебаний. Установлена существенная зависимость частот колебаний неоднородного шара и длинного цилиндра от коэффициента Пуассона.

Ключевые слова: