Актуальність теми
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ І.І.МЕЧНИКОВА
ШАРАЙ Наталія Вікторівна
УДК 517.925
АСИМПТОТИЧНЕ ПОВОДЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ НАПІВ’ЯВНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ СИСТЕМ
01.01.02 – диференціальні рівняння
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Одеса 2005
Дисертацією є рукопис
Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського національного університету імені І.І.Мечникова
Науковий керівник – кандидат фізико-математичних наук, доцент Самкова Галина Євгенівна, Одеський національний університет імені І.І.Мечникова, доцент кафедри диференціальних рівнянь
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор Розов Микола Христович,Московський державний університет ім.М.Ломоносова (м.Москва), декан факультету глобальних процесів;
доктор фізико-математичних наук, професор Петришин Роман Іванович, перший проректор Чернівецького національного університету ім.Ю.Федьковича(м.Чернівці).
Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра інтегральних і диференціальних рівнянь.
Захист відбудеться 28.10.2005 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 у Одеському національному університеті імені І.І.Мечникова за адресою: 65026, м.Одеса, вул.Дворянська, 2, аудіторія 73.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Одеського національного університету імені І.І.Мечникова за адресою: 65026, м.Одеса, вул.Преображенська, 24.
Автореферат розісланий 23.09.2005 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Вітюк О.Н.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Одним з приоритетних напрямків в теорії диференціальних рівнянь є вивчення поведінки розв’язків систем диференціальних рівнянь навколо особливої точки. Перші дослідження у цьому напрямку було виконано у другій половині XIX сторіччя у роботах Р.Фукса, Ш.Бріо, Ж.Буке, А.Пуанкаре, О.М.Ляпунова, Р.Пенлеве, Г.Фіне, Е.Пікара, Ж.Горна, І.Бендіксона та інших. При цьому охоплювались диференціальні рівняння в дійсній та комплексній областях. У подальшому найбільш інтенсивного розвитку отримали дослідження рівнянь і систем диференциальних рівнянь в дійсній області. Розроблені в роботах М.Фроммера, Ф.Хартмана, А.Уінтнера, T.Важевського, М.М.Боголюбова, Ю.О.Мітропольского, А.М.Самойленка, М.І.Шкіля, В.М.Зубова, В.Ф.Мячіна, В.А.Чечика, Н.Левінсона, К.Каратеодорі, І.М.Рапопорта, І.Т.Кігурадзе, О.В.Костіна, О.Ф.Андрєєва, А.Д.Брюно та багатьох інших ефективні методи дослідження асимптотичних властивостей розв’язків систем в дійсній області стали передумовою для вивчення систем диференціальних рівнянь більш загального вигляду
A+BY=f(x,Y),
де A і B матриці виміру mxn, f:JxG?Rm, JR,GRn, Aл+B сталий або змінний сингулярний жмуток матриць. Тут обернемо увагу на роботи А.М.Самойленка, М.І.Шкіля, І.І.Старуна, В.П.Яковця, В.О.Ерьоменка, А.А.Давиденка, П.Ф.Самусенка, А.Г.Руткаса, Ю.Є.Боярінцева, В.Ф.Чистякова, С.Кемпбелла, Д.В.Пашуткіна, Р.Мерц, M.Хенке та інших. Поряд із системами такого типу розглядались також рівняння і системи рівнянь більш загального вигляду, а саме, не розв’язані відносно старшої похідної. В цьому напрямку є достатня кількість досліджень, серед яких особливо відзначимо роботи Г.Фіне, Б.М.Бабкіна, Р.Конті, Л.Д.Даутова, Л.М.Муратова, О.В.Костіна, О.Н.Вітюка, З.Ковальського, В.П.Рудакова, О.Аширова, M.Ландо, С.Кемпбелла, Р.Mерц, Р.Г.Грабовської, Й.Дібліка, О.Є.Зернова та багатьох інших. В комплексній області подібного типу задачі досліджено значно менше. В роботах Ж.Мальмквіста, В.Tржитинського, М.Хукухари, Е.І.Грудо, M.Івано, М.П.Єругіна, В.Вазова, в основному, розглядались сингулярні задачі Коші вигляду
б(t)y'=f(t,y),y(t)?0 при t?0, де f:JxG?Rm, JC,GCn і б(t) може бути степеневою, степенево-логарифмічною, поліноміальною, експоненціальною функцією або діагональною матрицею, ненульові елементи якої мають особливості спеціального типу.
Для систем диференціальних рівнянь, що не розв’язані відносно старшої похідної в комплексній області відзначимо роботи Г.Є.Самкової, О.А.Тінгаєва, Н.В.Крапиви та інших.
Але в ціх роботах розглядаються системи спеціального виду.
Багато задач науки і техніки зводяться до задач дослідження поводження розв’язків систем диференціальних рівнянь у комплексній області, які потребують не тільки подальшого поширення отриманних для дійсних систем результатів, але і розробки нових методів дослідження. У зв’язку з цим, тема дисертації є актуальною як з теоретичної, так і з практичної точок зору.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiйну роботу присвячено дослідженню у комплексній областi асимптотичного поводження розв’язків систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку, не розв’язаних щодо похiдних, а також диференцiальних систем, лiнеарiзована частина яких мiстить сингулярний жмуток матриць. Дисертація виконано в рамках теми “Дослідження асимптотичного поводження розв’язкiв диференцiальних рiвнянь якiсними та аналiтичними методами”, яка виконується на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського національного університету ім.І.І.Мечникова (Номер державної реєстрації 0101U008290).
Мета i задачi дослiдження. Дослідити поводження розв’язкiв початкових задач для деяких систем диференцiальних рiвнянь виду
де вектор-функція (в.-ф.) F :JxGxG1?Cm аналітична в області , причому DC, 0є?D; G,G1Cn, 0є?G, 0є?G1. Встановити умови зведення неявних задач (1.1)-(1.2) до деяких напiв’явних задач виду
де матриці A,B:D?Cmxn (m?n) визначені в області DC, 0єD такі, що rangA(0)=k,0<k=min(m,n), а Aл+B- жмуток матриць зi сталими або змiнними елементами. Одержати асимптотичнi оцiнки розв’язків задач (1.1)-(1.2) і (2.1)-(2.2) у однозв’язних областях з особливою точкою на межi.
Методи дослiдження. У дисертацiї використовуються iдеї методу аналiтичного розширення областi для функцiй багатьох комплексних змiнних, теорiя регулярних та сингулярних жмутків матриць, метод аналiтичного продовження розв’язкiв, топологiчний принцип Важевського, метод кривих та поверхонь без контакту, а також деякі результати теорії звичайних диференціальних рівнянь.
Наукова новизна одержаних результатiв. Основнi результати роботи є новими і суттєво доповнюють відомі результати теорії сингулярних систем звичайних диференцiальних рiвнянь. Головними з них є наступні:
1) розвинуто метод дослідження сингулярних систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку, не розв’язаних щодо похiдних, у комплекснiй області;
2) одержано умови зведення неявних систем диференцiальних рiвнянь першого порядку до деяких напiв’явних систем, лiнеарiзована частина яких мiстить регулярний або сингулярний жмуток матриць зi сталими або змiнними елементами ;
3) отримано умови, що гарантують сталiсть рангу матриць з однiєю та багатьма комплексними змiнними;
4) отримано умови розв’язності відносно похідних задачі (2.1)-(2.2) в залежності від співвідношень між виміром жмутка та рангів складаючих його матриць;
5) для задачі (2.1)-(2.2) у випадках, коли , m>n або m<n, k<min(m,n), k<randA(z)= min(m,n), отримано:
- достатні умови iснування аналітичних розв’язкiв;
- асимптотичнi оцiнки розв’язків у деяких областях з iзольованою особливою точкою на межі;
- умови про кiлькiсть таких розв’язкiв у випадках, коли матрицi лiнеарiзованої частини та в.-ф. f мають рiзнi iзольованi особливостi.
Практичне значення результатiв. Робота носить теоретичний характер і дозволяє встановити умови розв’язності відносно похідних або частини похідних систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, не розв’язаних щодо похідних. Також дозволяє дослідити властивості розв’язків напів’явних систем диференціальних рівнянь першого порядку, лінеарізована частина яких містить регулярний або сингулярний жмуток матриць. Теоретичнi результати роботи можуть бути використанi для деяких задач науки і техніки, наприклад, у задачах, пов’язаних з моделюванням роботи комплексної альтернативної системи теплопостачання та в iнших задачах.
Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У спільних роботах [1,3,5-10,12-18] науковому керівнику належить постановка задач, передбачення та аналіз отриманних здобувачем результатів.
Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертаційної роботи доповiдалися на Першiй мiжнароднiй конференцiї iменi академiка М.Кравчука (Київ, 1992р.); на Мiжнароднiй конференцiї ”Нелiнійнi крайовi задачi математичної фiзики та їх застосування” (Тернопiль, 1994р.); на Всеукраїнській конференцiї ”Розробка та застосування математичних методiв в науково-технiчних дослiдженнях” (Львiв, 1995р.); на Першій міжнародній науково-практичній конференції “Математика і психологія в педагогічній системі “Технічний університет” (Одеса, 1996р.); на Мiжнароднiй конференцii “Асимптотичнi та якiснi методи в теорiї нелiнiйних коливань” (Київ, 1997р.); на Четвертiй Кримськiй Математичнiй школi ”Метод функцiй Ляпунова та його застосування” (Алушта, 1998р.); на Мiжнароднiй конференцiiї “Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння” (Одеса, 2000р.); на Українському математичному конгресi, присвяченому 200-рiччю з дня народження М.В.Остроградського, секцiя “Диференцiальнi рiвняння i нелiнійнi коливання“ (Київ-Чернiвцi, 2001р.); на Мiжнароднiй конференцiї “Шості Боголюбовські читання” (Чернiвцi, 2003р.); на Мiжнароднiй конференцiї ім.В.Я.Скоробогатько (Дрогобич, 2004р.); на семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь в Київському національному університеті імені Тараса Шевченко (керівник чл-кор.НАН України Перестюк М.О.), на семiнарах кафедри диференцiальних рiвнянь в Одеському нацiональному унiверситетi iм.I.I.Мечникова (керiвник проф.Євтухов В.М.).
Публiкацii. Основнi результати дисертацiї опублiковано у 18 роботах, з яких 2 статті у наукових журналах, 5 статтей у збiрниках наукових праць та 11 у тезах наукових конференцiй. Серед публікацій – 5 робіт у наукових фахових виданнях з переліку ВАК України.
Структура та обсяг дисертацii. Дисертацiя складається зі вступу, п’яти роздiлiв, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел, що мiстить 116 найменувань. Повний обсяг роботи становить 130 сторiнок.
ОСНОВНИЙ ЗМICТ РОБОТИ
У вступі розкрито сутність і стан наукових проблем, що розглядаються в дисертації, їх актуальність, наведена мета роботи та наукова новизна отриманних результатів.
У розділі 1 зроблено огляд досліджень, які пов’язані з тематикою дисертації, вводяться необхідні позначення, наведено деякі допоміжні відомості, сформульовано постановку задачі. Одержані деякі допоміжні твердження, що використовуються в наступних розділах. Вводяться основні поняття та типи областей, розглянуто питання про аналітичне розширення цих областей. Для кожної з областей встановлюються функції, які є аналітичним продовженнями деяких аналітичних функцій на відповідне аналітичне розширення. Доводяться твердження про ранг матриць у випадках однієї та багатьох комплексних змінних.
Лема 1.3.Нехай матриця A:D?Cmxn аналітична в однозв’язній області DC, ,0єD та rangA(0)=k, 0<k?min(m,n). Тоді в існує або область D10 (з точкою z=0 на межі), або область D1 (з внутрішньою точкою z=0), така, що ранг матриці A(z) залишається сталим відповідно при zєD10 або при zєD1 та дорівнює k1, де k ? k1 ? min(m,n)
Лема 1.4. Нехай матриця G:U?Cmxn аналітична в області UCl, 0єU і rangG(0)=k, де 0<k? min(m,n). Тоді існує така область U?U, що rangG(y) залишається сталим, причому, якщо 0єU?, то rangG(y)=k для yєU?; якщо 0є?U?, то k<rangG(y)?min(m.n).
Розділ 2 дисертації присвячено зведенню системи (1.1) до системи, яка розв’язана або частково розв’язана відносно похідних. Ці дослідження спираються на результати роботи [Р.Г.Грабовська, Й.Діблик.Асимптотика систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных.Деп. в ВИНИТИ, №1786.-78 ДЕП.],в якій така ж проблема вивчається на дійсній осі, а саме система (1.1) за допомогою перетворень зводиться до дослідження системи в околі особливої точки, яка вже розв’язана відносно похідних.Згодом ця ідея в роботах Г.Є.Самкової була поширена на деякі класи систем (1.1) в комплексній області. Однак виникла необхідність перенести цю методику на більш загальні випадки, які виникають, навіть, у практичних задачах. В дисертаційної роботі задача (1.1)-(1.2) досліджується для різних типів областей. В залежності від вигляду області (радіальної,колообразної,кругової області, циліндричної області, області Гартокса, області, основою якої є n-мірна коаксіальна концентрична множина, області з точкою на межі, яка має бути локально-зв’язною та не має граничну властивість) система (1.1) зводиться до системи, розв’язаної або відносно вектора W', або відносно частини його компонент.
Зокрема, задача (1.1)-(1.2) зводиться до задачі (2.1)-(2.2). В подальшому, розглядається задача (2.1)-(2.2).
В розділі 3 задача (2.1)-(2.2) розглядається у випадку, коли m>n і rangA(0)=n при деяких припущеннях відносно властивостей матриці B(z) та в.-ф. f(z,Y).
Нехай rangA(z)=n при zєD1 (лема 1.3). Не обмежуючи загальності, будемо вважати, що матриці A(z), B(z) та в.-ф. f(z,Y) подані у вигляді:
, , , (3)
де A1,B1:G?Cmxn, detA1 (z)?0 приzєD1, f1 :DxG2?Cn,G2Cn .
Тепер система (2.1) приймає вигляд
Система (4.1)-(4.2) вивчалась при таких припущеннях:
а) матриця A1-1(z)B1(z) аналітична в області D10=D1\{0} і в точці z=0 має усувну особливість;
б) матриця A1-1(z)B1(z) має в точці z=0 полюс q-того порядку, qєN, q=2..
В обох випадках припускаємо, що в.-ф. f1(z,Y) аналітична в області D10xG20, G20=G2\{0}, причому точка (0,0) для неї є ізольованою особливою точкою.
У випадку а) доведена
Теорема 3.1. Нехай система (2.1) задовольняє наступні умови:
1) однозначна матриця A:D?Cmxn, m>n аналітична в області D;
2) існує область D1D, 0єD1 така, що rangA(z)=n при zєD1;
3) матриці А(z), B(z) та в.-ф. f(z,Y) подані у вигляді (3), причому матриця A1-1(z)B1(z) аналітична в області D10 і для неї точка z=0 є усувною особливою точкою, а в.-ф.
A1-1(z)f1(z,Y) аналітична в D10xG20 і точка (0,0) її ізольована особлива точка; матриці A2(z),B2(z) і в.-ф. f2(z,Y) такі, що вздовж розв’язків системи (4.1) при zєD3, де D3D1 і 0єD3, виконується умова сумісності (4.2).
Тоді система (2.1) має в області D3 єдиний аналітичний розв’язок Y=Y(z), який задовольняє умову Y(0)=0, але інших розв’язків, крім аналітичного, немає.
У випадку б) подамо A1-1(z)B1(z) у вигляді:
A1-1(z)B1(z)=z-qP(z), P(z)=(pjk (z))ni,k=1, (5) де матриця P(z) аналітична в області D1. Система (4.1)-(4.2) може бути переписана у вигляді
де F(z,Y)= A1-1(z)f1(z,Y).
Нехай на множині A={(t,н):tє(0,t1],нє[н1,н2],н1<н2} визначені невід’ємні функції p(t,н) та g(t,н).
Означення. Скажемо, що функція p(t,н) має властивість відносно функції g(t,н) на множині A, якщо для кожного нє[н1,н2] функція p(t,н) є функцією більш високого порядку мализни порівняно з g(t,н) при t?+0.
Нехай в.-ф. ц(z)=col(ц1 (z),…,цn(z)), ц: E>Cn, аналітична в області EC,0є?E і така, що при (t,н)єA компоненти ц(z(t,н)),де z(t,н)=teiн, мають вигляд цj(z(t,н))=ш(z(t,н))eiзj(t,н) (j=1,n), причому шj (t,н)>0, (шj(t,н))ґt >0, (ш(t,н))ґн >0, шj (+0,н)=0.
Означення. Скажемо, що система (6.1) має властивість A1 відносно ?(z(t,н)), якщо виконуються наступні умови:
1)tq(шj(t,н))ґt=o(|pjj(z(t,н))|шj(t,н)) (j=1,n) при t?+0 рівномірно відносно нє[н1,н2];
2) функції tq(шj(t,н))ґн(j=1,n) мають властивість відносно |pkj(z(t,н))|шk(t,н) при j?k (k=1,n);
3а)|pkj(z(t,н))|шk(t,н)=o(|pjj(z(t,н))|шj(t,н)) (j,k=1,n,j?k) при t?+0 рівномірно відносно нє[н1,н2];
3б)функції |pkj(z(t,н))|шk(t,н) при j?k (j,k=1,n) мають властивість відносно|pjj(z(t,н))|шj(t,н).
Нехай при фіксованому нє[н1,н2] F(z(t,н),Y(z(t,н)))=F1н(t,Y1(t),Y2(t))+iF2н(t,Y1(t),Y2(t)), де Y(z(t,н))=Y1(t)+iY2(t), а при фіксованому t>+0 F(z(t,н),Y(z(t,н))=F1t(н,Y1(н),Y2(н))+ +iF2t(н,Y1(н),Y2(н)), де Y(z(t,н))=Y1(н)+iY2(t).
Розглянемо множину Щ(t,Y,ф)={(t,Y):Y1j2(t)+Y2j2(t)<фj2|цj(z(t,н))|2,фj}>0,j=1,…,n, tє(0,t1)}
Означення. Скажемо, що система (6.1) має властивість P1 відносно в.-ф. F(z,Y), Fj=F1j+iF2j,j=1,…,n, якщо виконуються наступні умови:
1) для кожного фіксованого Y(z(t,н)) з множини ?(t,Y,ф) tqFkjн(t,Y1(t),Y2(t))= =o(|pjj(z(t,н))|·|цj(t,н)|) (j=1,…,n, k=1,2) при t?+0 рівномірно відносно нє[н1,н2];
2) для кожного фіксованого Y(z(t,н)) з множини ?(н,Y,ф) функції tqFkjt(н,Y1(н),Y2(н))мають властивість відносно (|pjj(z(t,н))|·|цj(t,н)| (j=1,…,n, k=1,2).
Для кожного jє{1,2,3}, kє{+,-} введемо на комплексній площині такі множини точок Ц1.jk(t1): Ц1.1+(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))>0,sin((q-1)н-бkkt(н))>0,k=1,…,n, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
Ц1.1-(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))>0,sin((q-1)н-бkkt(н))<0,k=1,…,n, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
Ц1.2+(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))<0,sin((q-1)н-бkkt(н))>0,k=1,…,n, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
Ц1.2-(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))<0,sin((q-1)н-бkkt(н))<0,k=1,…,n, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
Ц1.3+(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))<0,k=1,…,l,cos((q-1)н-бkkн(t))>0,k=l+1,…,n,
sin((q-1)н-бkkt(н)>0,k=1,…,n, 1?l<n, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
Ц1.3-(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))<0,k=1,…,l,cos((q-1)н-бkkн(t))>0,k=l+1,…,n,
sin((q-1)н-бkkt(н)<0,k=1,…,n, 1?l<n, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
де tє(0,t1],нє[н1,н2] і через бjkн(t) і бjkt(н) позначено функції, для яких: де pjkн(t)=pjk(z(t,н))=Re pjk(t)+iIm pjk(t) при фіксованому нє[н1,н2] ;
,
де pjkн(н)=pjk(z(t,н))=Re pjk(н)+iIm pjk(н) при фіксованому при фіксованому tє(0,t1].
Нехай G1.jk(с)={z:0<|z|?с,ArgzєЦ1.jk(с)}, jє{1,2,3}, kє{+,-}.
Означення. Скажемо, що система (6.1) належить класу K1j,jє{1,2,3}, якщо матриця P(z)=P(teiн) така, що (t,н)є Ц1.jk(t1), kє{+,-}.
Теорема 3.2.r.(r=1,2,3) Нехай система (2.1) задовольняє умовам:
1) однозначна матриця A:D?Cmxn, m>n аналітична в області D;
2) існує область D1D, 0єD1 така, що rangA(z)=n при zєD1;
3) матриці A(z),B(z) та в.-ф. f(z,Y) мають вигляд (3), причому матриця A1-1(z)B1(z) аналітична в області D10 і в точці z=0 має полюс q-го порядку (q=2) та має вигляд (5), а в.-ф. f1(z,Y) аналітична в D10 xG20 і точка (0,0) є ізольованою особливою точкою цієї функції;
4) система (6) задовольняє умови:
а) система (6.1) має властивість A1 відносно ?(z(t,н)) при tє(0,t1], нє[н1,н2];
б) система (6.1) належить класу K1r;
в)система (6.1) має властивість P1 відносно в.-ф. F(z,Y),Fj=F1j+iF2j,,j=1,…,n, при tє(0,t1], нє[н1,н2];
г)B2(z) і f2(z,Y) такі, що вздовж розв’язків системи (6.1) виконується умова сумісності (6.2) в області D5D1, D5nG1.rk(с)?,kє{+,-},0єD5 .
Тоді: при r=1 знайдеться таке ?є(0,t1] для якого кожний розв’язок задачі Коші для системи (2.1) Y(z)=col(Y1(z),…,Yn(z))(Yj(z)=Y1j(z)+iY2j(z), j=1,…,n) з початковими даними (z0,Y0),де z0 є G1.1k(с), kє{+,-} Y0 є{Y:|Ykj(z0)|<дj|цj(z0)|,дj>0,j=1,…,n, k=1,2}, є аналітичним в області G1.1k(с) ?D5 і
|Yj(z)|2<дj2|цj(z)|2,j=1,…,n; (7)
при r=2,3 знайдется таке ?є(0,t1], що задача Коші для системи (2.1) з початковими даними(z0,Y0),де z0 є G1.rk(с), kє{+,-} Y0 є{Y:|Ykj(z0)|<дj|цj(z0)|,дj>0,j=1,…,n, k=1,2}, при
zєG1.1k(с) ?D5, kє{+,-} має хоча б один аналітичний розв’язок, який задовольняє (7).
У розділі 4 задача (2.1)-(2.2) досліджується у випадку, коли m<n і rangA(0)=min(m,n), а деяка частина компонент невідомої в.-ф. Y(z) належить класу аналітичних в заданій області функцій, які мають у точці z=0 ізольовану особливу точку. Система (2.1) вивчається при деяких припущенях відносно властивостей матриці B(z) та в.-ф. f(z,Y).
Нехай rangA(z)=m при zєD1 (лема 1.3). Не обмежуючи загальності, будемо вважати, що матриці A(z), B(z) та в.-ф. f(z,Y) мають вигляд
A(z)=(A1(z) A2(z)), B(z)=(B1(z) B2(z)), (8) де A1,B1:D?Cmxm,detA1(z)?0 при zєD1,Y1:D1?Cm,:Dx G21xG22?Cm , G21xG22Cn
В цьому випадку система (2.1) має вигляд
A1(z)Y1'=B1(z)Y1+(B2(z)Y2-A2(z)Y2')+(z,Y1,Y2). (9)
Через позначимо клас аналітичних в області D10 в.-ф. виміру q, для яких точка z=0 є усувна особливлива точка. Через позначимо клас аналітичних в області D10
в.-ф. виміру q, які в точці z=0 мають полюс k-того порядку, kєN.
Розглянуто випадки, коли:
а) матриці A1-1(z)Bj(z),j=1,2 аналітичні в області D10 і в точці z=0 мають усувну особливість ;
б) матриці A1-1(z)Bj(z) мають в точці z=0 полюси qj- тих порядків відповідно, qj=2, qj єN, j=1,2.
В обох випадках припускаємо, що в.-ф. (z,Y1,Y2) аналітична в області D10xG210xG220, G2i0=G2i\{0},i=1,2, причому точка для неї є ізольованою особливою точкою.
У випадку а), коли в.-ф. Y2(z) належить класу , доведена
Теорема 4.1. Нехай система (2.1) задовольняє наступні умови:
1) однозначна матриця A:D?Cmxn, m<n аналітична в області D;
2) існує область D1D, 0єD1 така, що rangA(z)=m при zєD1;
3) матриці A(z),B(z) та в.-ф. f(z,Y) мають вигляд (8), причому матриці A1-1(z)Bj(z),j=1,2 аналітичні в області D10 і в точці z=0 мають усувну особливу точку, а в.-ф. (z,Y1,Y2) аналітична в D10xG210xG220 і точка (0,0,0) її ізольована особлива точка.Тоді система (2.1) для кожного Y2(z) з класу має в області D1 єдиний аналітичний розв’язок Y(z)=col(Y1(z),Y2(z)), який задовольняє умові Y(0)=0, а інших розв’язків, крім аналітичного, не має.
У випадку а) подамо Y2(z) у вигляді:
Y2(z)=z-k, , (10)
де аналітична в області D1. В цьому випадку система (9) має вигляд
Розглянуто випадки, коли аналітична в області D1xG21xG22 в.-ф. (z,Y1,z-k2):
1) не залежить від Y2(z), тобто (z,Y1,Y2)?Ц(z,Y1);
2) в околі точки має розвинення вигляду (z,Y1,Y2)=cijqziY1jY2q, де cijk?0, cijq=0 при q>l=2,lєN, i,jєN {0}.
У випадку 1) система (11) приймає вигляд
(12)
де P(z)= A1-1(z)B1(z);Q(z)= A1-1(z)B2(z);R(z)= A1-1(z)A2(z); (z,Y1)= A1-1(z)Ц(z,Y1).
У випадку 2) систему (11) запишемо у вигляді
(13)
де,, а в.-ф. аналітична в області D1xG21xG22.
Звернемо увагу на те, що система (12) є частинний випадок системи (13), який отримуємо з (13) при l=1, F(z,Y1, )=zk(z,Y1).
Нехай в.-ф. , аналітичні в EC,0є?E і такі, що при (t,н)єA компоненти (z(t,н)) і (z(t,н)) (q=0,1), де z(t,н)=teiн мають вигляд ;, причому
або .
Означення. Скажемо, що система (13) має властивість S1 відносно в.-ф. (z(t,н)), (z(t,н)) (q=0,1), якщо виконуються наступні умови:
1a) при t?+0 рівномірно відносно нє[н1,н2];
1б) функціі мають властивість відносно ;
2а) при t?+0 рівномірно відносно нє[н1,н2];
2б)функції при мають властивість відносно ;
3а) при t?+0 рівномірно відносно нє[н1,н2];
3б)функції і мають властивість відносно функцій .
Нехай при фіксированому нє[н1,н2] F(z(t,н),Y1 (z(t,н)), (z(t,н))=F1н(t,Y11(t),Y22 (t), де Y1(z(t,н))=Y11(t)+iY12(t), ( z(t,н))= ;
при фіксованому tє(0,t1) F(z(t,н),Y1 (z(t,н)), (z(t,н))=F1н(н,Y11(н),Y22 (н), + де Y1(z(t,н))=Y11(н)+iY12(н),
Введемо також множину
Щ(t,Y1 ,ф)={(t,Y):Y11j2(t)+Y12j2(t)<фj2|j(z(t,н))|2,фj}>0,j=1,…,m, tє(0,t1)}
Означення. Скажемо, що функція p(t,н) має властивість Q1(t0) відносно функціі g(t,н) на множинні A, якщо для кожного нє[н1,н2] існують такі сталі c1,c2>0, що c1|g(t,н)|? |p(t,н)|? c2|g(t,н)|? при tє(0,t1].
Позначимо через множину функцій , які при t?+0 є функціями одного порядку мализни порівняно з рівномірно відносно нє[н1,н2].
Означення. Скажемо, що система (13) має властивість M1 відносно в.-ф. F(z,Y1, ), Fj=F1j+iF2j,j=1,…,m для кожного довільного фіксованого з множини , якщо виконуються наступні умови:
1) для кожного фіксованого Y1 (z(t,н)) з множини ?(t,Y1 ,ф) при t?+0
рівномірно відносно нє[н1,н2] для кожного довільного фіксованого з множини ;
2)для кожного фіксованого Y1(z(t,н)) з множини ?(н,Y1,ф) функції мають властивість Q відносно для кожного довільного фіксованого з множини .
Для кожного введемо на комплексній множині наступні множини точок E1.jk(t1):
E1.1+(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))>0,sin((q-1)н-бkkt(н))>0,k=1,…,m, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
E1.1-(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))>0,sin((q-1)н-бkkt(н))<0,k=1,…,m, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
Ц1.2+(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))<0,sin((q-1)н-бkkt(н))>0,k=1,…,m, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
Ц1.2-(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))<0,sin((q-1)н-бkkt(н))<0,k=1,…,m, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
E1.3+(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))<0,k=1,…,l,cos((q-1)н-бkkн(t))>0,k=l+1,…,m,
sin((q-1)н-бkkt(н)>0,k=1,…,m, 1?l<m, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
E1.3-(t1)={(t,н):cos((q-1)н-бkkн(t))<0,k=1,…,l,cos((q-1)н-бkkн(t))>0,k=l+1,…,m,
sin((q-1)н-бkkt(н)<0,k=1,…,m, 1?l<m, tє(0,t1), нє[н1,н2] },
Нехай 1.jk(с)={z:0<|z|?с,ArgzєE1.jk(с)}, jє{1,2,3}, kє{+,-}.
Означення. Скажемо, що система (6.1) належить класу T1j,jє{1,2,3}, якщо матриця P(z)=P(teiн) така, що (t,н)є E1.jk(t1), kє{+,-}.
Теорема 4.2.r(r=1,2,3). Нехай система (2.1) задовольняє наступні умови:
1) однозначна матриця A:D?Cmxn, m<n аналітична в області D;
2) існує область D1D, 0єD1 така, що rangA(z)=m при zєD1;
3) матриці A(z),B(z) та в.-ф. f(z,Y) мають вигляд (8), причому матриці A1-1(z)Bj(z),j=1,2 аналітичні в області D10 і в точці z=0 мають усувну особливу точку, а в.-ф. (z,Y1,Y2) аналітична в D10xG210xG220., а точка (0,0,0) є ізольованою особливою точкою цієї в.-ф. і її розвинення в степеневий ряд в околі точки (0,0,0) має скінчену кількість членів за степенями Y2;
4) в.-ф. Y2(z)єі має вигляд (10);
5) система (13) така, що для кожного довільного фіксованого маємо:
а) система (13) має властивість S1 відносно в.-ф. , q=0,1 при tє(0,t1), нє[н1,н2];
б) система (13) належить класу T1r;
в)система (13) має властивість M1 відносно в.-ф. F(z,Y1, ), Fj=F1j+iF2j,j=1,…,m при tє(0,t1), нє[н1,н2] для кожного довільного фіксованого .
Тоді при r=1 знайдеться таке сє(0,t1],що при zє1.1k(с), kє{+.-} задача Коші для системи (2.1) з початковими даними (z0,Y10,Y20), де z0 є 1.1k(с),kє{+,-}, а
Y10 є{Y1:|Y1kj(z0)|<дj|j(z0)|,дj>0,j=1,…,m, k=1,2}, (Y1=Y11+iY12), , є аналітичним в області G1.1k(с) ?D5 і для кожного ,яке задовольняє співвідношенню
(14)
при zє1.1k(с), kє{+.-} має множину аналітичних розв’язків Y(z)=col(Y11(z),…,Y1m(z),21(z),…, 2(n-m)(z)), перші m компонент якої такі, що: |Yj(z)|2<дj2|j(z)|2,j=1,…,m; (15)
при r=2,3 знайдется таке сє(0,t1],що при zє1.rk(с), kє{+.-} задача Коші для системи (2.1) з початковими даними (z0,Y10,Y20), а саме z0 єkє{+,-}, а
Y10 є{Y1:|Y1kj(z0)|<дj|j(z0)|,дj>0,j=1,…,m, k=1,2}, (Y1=Y11+iY12), і
для кожного , яке задовольняє співвідношенню (14), має хоча б один аналітичний розв’язок Y(z)=col(Y11(z),…,Y1m(z),21(z),…, 2(n-m)(z)), перші m компонент якого задовольняють (15).
У розділі 5 досліджується задача (2.1)-(2.2) у випадках, коли при zєD1 rangA(z)=r, 0<r<min(m,n) або і при zєD10 rangA(z)=r1,0<r<r1= min(m,n).
Результати цього розділу узагальнюють результати розділів 3 і 4. При виконанні умов сумісності знайдена множина розв’язків, яка залежить від довільних аналітичних функцій з класів, які аналогічні класам, що введені в розділі 4.
ВИСНОВКИ
В дисертаційній роботі в комплексній області розглядаються:
- задача (1.1)-(1.2) для системи диференціальних рівнянь, не розв’язаних щодо похідних;
- задача (2.1)-(2.2) для напів’явної системи з сингулярним жмутком матриць.
Отримано умови, які гарантують сталість рангу комплексної матриці із змінними елементами. Відповідно умовам вивчається задача (2.1)-(2.2) або в околі, або в виколотому околі початкової точки.
Розповсюджується метод дослідження задач (1.1)-(1.2), який дозволяє або розв’язати систему, або виділити вітку відносно похідної.
Задача (2.1)-(2.2) досліджена у випадках коли:
-m>n и rangA(z)=n при zєD1;
-m<n и rangA(z)=m при zєD1;
- rangA(z)=r,0<r<min(m,n) при zєD1 або rangA(z)=r1,0<r<r1= min(m,n) при zєD1.
Доведено теореми про існування аналітичних розв’язків задачі (2.1)-(2.2) в області з особливою точкою на межі і знайдені їх оцінки.
Множина таких розв’язків або містить один елемент, або хоча б один елемент, або може бути подана як сім’я розв’язків, які залежать від аналітичних функцій з класів (,) або (,). Додатковим обмеженням при m>n і при r<min(m,n) за кількістю елементів множини розв’язків є умова сумісності.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАННИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Самкова Г.Е., Шарай Н.В. Об исследовании некоторой полуявной системы дифференциальных уравнений в случае переменного пучка матриц // Нелінійні коливання.- 2002.-т.5, № 2.-С.224-236.
2. Шарай Н.В. Об асимптотике решений некоторых полуявных систем дифференциальных уравнений //Нелінійні коливання.-2005-т.8, №1.-С.132-144.
3. Самкова Г.Е., Шарай Н.В. Об исследовании сингулярных задач Коши, не разрешенных относительно производных // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. – Київ:Інститут математики НАН України,1994.-С.170-171.
4. Шарай Н.В. Асимптотика розв’язків деяких напів’явних систем диференціальних рівнянь // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. – Київ:Інститут математики НАН України,1995.-С.278-280.
5.Самкова Г.Е., Шарай Н.В. О существовании аналитических решений некоторых сингулярных полуявных дифференциальных систем // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. – Київ:Інститут математики НАН України,1996.-С. 230-231.
6.Самкова Г.Е., Шарай Н.В. Асимптотика решений некоторых полуявных систем дифференциальных уравнений // Математика и психология в педагогической системе “Технический университет”.- Одеса: Одес.гос.политехн.ун-т,1996.-С. 96-97.
7.Самкова Г.Е., Шарай Н.В. Об аналитических решениях полуявных систем дифференциальных уравнений в случае переменного пучка матриц //Прикладная математика и математическое моделирование.- Феодосія: ХДУ,1997.-С. 175-177.
8.Самкова Г.Е., Шарай Н.В.О разрешимости относительно производной некоторой полуявной сингулярной дифференциальной системы //Научно-техническая конференция “Памяти академика М.Ф.Кравчука”: Тез. доп.- Київ: КДУ ім.Т.Шевченка,1992.- С. 6.
9.Самкова Г.Е. , Шарай Н.В. О существовании аналитических решений некоторых сингулярных систем //Весенняя воронежская математическая школа “Понтрягинские чтения-5”: Тез. докл.- Воронеж: Институт математики воронежского гос.ун-та,1994.-С. 152.
10.Самкова Г.Е. , Шарай Н.В. О существовании и поведении аналитических решений полуявной системы дифференциальных уравнений в случае переменного пучка матриц //Весенняя воронежская математическая школа “Понтрягинские чтения-6”: Тез. докл.- Воронеж: Институт математики воронежского гос.ун-та,1995.-С. 62.
11.Шарай Н.В.Аналітичні розв’язки напів’явної системи диференціальних рівнянь у випадку сингулярного змінного жмутка матриць //”Розробка та застосування методів в наукових дослідженнях”: Тез.доп.-Львів: ІППММ ім.Я.С.Підстригача ,1995-С. 62.
12.Самкова Г.Е., Шарай Н.В. Разрешимость полуявных дифференциальных систем в случае переменного пучка матриц // ”Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань.” Треті Боголюбовські читання: Тез. доп.- Київ: Інститут математики НАН України ,1997.-С. 184.
13.Самкова Г.Є.,Шарай Н.В. Про дослідження розв’язків сингулярних напів’явних систем диференціальних рівнянь //Четвертая Крымская Международная конференция “Метод функций Ляпунова и его приложения”: Тез. докл.-Симферополь:СГУ,1998.-С.58.
14. Самкова Г.Е., Шарай Н.В. Об исследовании задач Коши, не разрешенных относительно производной //Міжнародна конференція ”Диференціальні та інтегральні рівняння”: Тез. доп.- Одеса: ОДУ ім.І.І.Мечникова,2000.-С. 248.
15. Самкова Г.Е., Шарай Н.В. Об исследовании некоторой полуявной системы дифференциальных уравнений в случае переменного пучка матриц //Український Математичний Конгрес.Міжнародна конференція ”Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”: Тез.доп.-Київ: Інститут математики НАН України,2001.- С.143-144.
16. Самкова Г.Е.,Шарай Н.В.Асимптотика решений полуявных дифференциальных систем в случае переменного пучка матриц //Міжнародна конференція ”Теорія еволюційних рівнянь”.П’яті Боголюбовські читання: Тез. доп.- Кам’янець-Подільский: Інститут математики НАН України,2002.- С.148.
17. Самкова Г.Е.,Шарай Н.В. О существовании аналитических решений полуявной системы дифференциальных уравнений в случае переменного пучка матриц //Міжнародна наукова конференція “Шості Боголюбовські читання”:Тез.доп.-Київ: Інститут математики НАН України,2003.-С. 181.
18. Шарай Н.В., Самкова Г.Е. Розв’язність деяких напів’явних систем диференціальних рівнянь у випадку сингулярного жмутка матриць //Міжнародна математична конфернція ім.В.Я.Скоробогатька:Тез.доп.-Львів:ІППММ ім.Я.С.Підстригача,2004.-С. 227.