НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ім. Б. І. ВЄРКІНА

На правах рукопису

СОКОЛОВА Олена Святославівна

УДК 534.212-213; 538.911; 538.971

Нелінійні структури та хвилі в пружних системах з обмеженою геометрією

(01.04.02 - теоретична фізика)

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Ковальов Олександр Семенович, Фізико-технічний інститут низьких температур, провідний науковий співробітник, відділ теоретичної фізики.

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук, професор

Кац Олександр Володимирович, Інститут радіофізики та електроніки ім. О. Я. Усикова НАН України, провiдний науковий співробітник, відділ теоретичної фізики.

- доктор фізико-математичних наук, професор

Нацик Василь Дмитрович, Фізико-технічний інститут низьких температур, головний науковий співробітник, відділ фізики реальних кристалів.

Провідна установа:

Харківський Національний Університет ім. В.Н. Каразіна (кафедра теоретичної фізики), Міністерство освіти і науки України.

Захист відбудеться “24” cічня 2006 року о 15-00 годин на засіданні Спеціалізованої вченої ради Д 64.175.02 при Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: пр. Леніна, 47, 61103, м. Харків.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (пр. Леніна, 47, 61103, м. Харків).

Автореферат розісланий “15” грудня 2005 року

В. о. вченого секретара

Спеціалізованої вченої ради Д 64.175.02

доктор фізико-математичних наук,

член-кор. НАН України, професор

ХАРЧЕНКО М.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останнім часом дослідження нелінійних властивостей фізичних систем різної природи сформувалося в новий напрямок фізики (теоретичної, математичної та експериментальної), і можна говорити про виникнення нової, “нелінійної фізики”. Досягнутий у цій галузі прогрес значною мірою обумовлений формулюванням нових підходів до проблеми і, зокрема, теоретичним вивченням нового типу збуджень - солітонів, що представляють собою стійкі локалізовані в просторі збурювання нелінійного середовища. У пружних середовищах нелінійні ефекти (наприклад, нелінійні поверхневі хвилі) інтенсивно досліджувалися експериментально починаючи з 50-их років (Красильніков В.А., Зарембо А.М., 1965р.), але, як правило, мова йшла про нестаціонарні нелінійні хвилі. Пізніше стало ясно, що існування локалізованих нелінійних стаціонарних хвиль пов'язано з конкуренцією двох явищ - нелінійності системи і дисперсією лінійних хвиль. Звичайно дисперсія пружних хвиль мала і не враховується в рамках теорії пружності. Але вона може бути істотно збільшена при урахуванні просторової обмеженості системи (пружні пластини і стрижні, поверхні з плівковим покриттям і т. і.). У таких умовах формування нелінійних хвиль стаціонарного профілю і солітонів є ефектом, що експериментально спостерігається. Такі стаціонарні збудження спостерігалися в тонких пластинах (Самсонов А.М., 2001р.) і в тонких плівках на поверхні іншої речовини (Наянов В.І., 1986р. та Ломоносов А.М., Гесс П., 1999р.). З іншого боку, нелінійність взаємодії плівкового покриття або поверхневого шару з підкладкою приводить до можливості існування локалізованих збуджень іншого типу – статичних топологічних солітонів або поверхневих дислокацій, що утворюють на поверхні так звані періодичні несумірні поверхневі структури (НПС) (Хартен У., Лахі А.М., Тоенніес Дж.П., Волл Ч., 1985р.) На жаль, більшість отриманих раніше теоретичних результатів для нелінійних пружних хвиль і солітонів відносилися до простих одновимірних моделей атомних ланцюжків (Конторова Т.А., Френкель Я.І., 1938р., Фермі Е. 1942р.). Для опису останніх експериментів з виявлення солітонів і несумірних структур у реальних багатовимірних системах з обмеженою геометрією такий теоретичний підхід вимагає істотної модифікації. Проблема нелінійних хвиль у двовимірних системах (наприклад, у пластині або біля поверхні півпростору) набагато складніша (Майєр А.П., 1995р., Ковальов О.С., Майєр А.П., Екль К., Можен Ж.А., 2002р.).

Великий експериментальний матеріал, присвячений нелінійним поверхневим хвилям, хвилям у пластинах і багатошарових системах, накопичений до теперішнього часу, обумовлює необхідність розвитку адекватної теорії нелінійних структур і хвиль у системах з обмеженою геометрією. Важливою задачею теорії є формулювання адекватних моделей, отримання відповідних їм нелінійних рівнянь, їхнє рішення, аналіз рішень і порівняння результатів з наявними експериментальними даними. Зокрема, для дослідження нелінійної динаміки пружних хвиль у тонкій пластині принципово важливим є питання про взаємодію зміщень різної поляризації і хвиль різного характеру. Істотними факторами при вивченні збуджень у тонких плівках, що контактують з півпростором іншого матеріалу, є нелінійність плівки, нелінійність взаємодії з підкладкою, а також різниця між параметрами речовини в об`ємі і на поверхні. Ці проблеми значною мірою досліджені в даній роботі. Таким чином, тема дисертації є безумовно актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках тематичного плану ФТІНТ ім. Б. І Вєркіна НАН України за відомчою тематикою: “Динамічні і стохастичні властивості нелінійних і квантових збуджень в конденсованих середовищах зниженої вимірності”, номер державної реєстрації 0104U003034, “Динаміка та структура нелінійних збуджень в конденсованих середовищах зниженої вимірності”, номер державної реєстрації 0100U006269.

Основна мета і завдання дослідження.

Метою дисертаційної роботи є теоретичне дослідження нелінійних пружних хвиль і структур у багатомірних системах з обмеженою геометрією й одержання точних і наближених аналітичних результатів, що допускають порівняння з експериментальними даними.

Для досягнення поставленої мети в роботі вирішені наступні завдання:

- дослідження динаміки нелінійних пружних хвиль зсуву у тонких пластинах; вивід відповідних нелінійних рівнянь для зсувних зміщень, що враховують взаємодію зі зміщеннями інших поляризацій і утримують за рахунок цього додаткові нелінійні дисперсійні члени, що виникають через взаємодію з хвилями Релея-Лемба; віднаходження і вивчення солітонних рішень цих рівнянь, зокрема так званих екзотичних солітонів;

- дослідження динаміки нелінійних пружних поверхневих хвиль за наявності тонкої нелінійної плівки (або моношару), що контактує з підкладкою іншої речовини; формулювання спрощених моделей для цієї задачі й одержання одномірних нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь для нелінійних релеївських хвиль; вивчення можливості існування релеївських солітонів стаціонарного профілю і дослідження відповідних рішень для них;

- дослідження пружних несумірних поверхневих структур (НПС), що виникають при контакті тонкої пружної плівки (моношару) з підкладкою іншої пружної речовини при урахуванні їх істотно нелінійної взаємодії і обмеженої піддатливості підкладки; формулювання простих моделей, що узагальнюють моделі Френкеля-Конторової і Паєрлса, і виведення системи ефективних одномірних нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь, що описують статичні НПС при довільному співвідношенні жорсткостей півпростору і плівкового покриття; якісне вивчення і віднаходження нових класів точних і наближених рішень для НПС у всьому інтервалі значень цих жорсткостей і значень параметра несумірності (різниці міжатомних відстаней у підкладці і плівці); дослідження виду НПС, тобто залежності періоду цих структур від зазначених параметрів.

Об'єктом дослідження є нелінійні пружні тривимірні системи з обмеженою геометрією: тонкі пластини і тонкі плівки або моношари, що контактують із тривимірною підкладкою іншої речовини.

Предметом дослідження є нелінійні пружні хвилі і солітони зсувного і релеївського типів у пластині і на поверхні пружного півпростору, покритого сумірним моношаром, а також нелінійні пружні статичні НПС, що виникають при покритті півпростору несумірним моношаром. Особлива увага приділена дослідженню структури і властивостей виникаючих збуджень.

Методи дослідження. При рішенні розглянутих у дисертації задач використовувався наступний апарат теоретичної і математичної фізики: методи рішення крайових задач, асимптотичні методи, методи сучасної теорії солітонів і нелінійних хвиль, інтегральні перетворення Фур'є і Гільберта, чисельні методи віднаходження і дослідження солітонних рішень.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Досліджено нелінійну взаємодію хвиль зсуву і хвиль Релея-Лемба в тонких пружних пластинах, яка призводить до виникнення нелінійної дисперсії пружних хвиль. Виведені нові еволюційні рівняння з незвичайними нелінійними дисперсійними доданками, які узагальнюють відповідні рівняння в теорії солітонів й адекватно описують поширення солітонів у пластинах.

2. Установлено можливість розповсюдження слабко загасаючих (через випромінювання хвиль Релея-Лемба) солітонних збуджень стаціонарного профілю і знайдено наближені рішення для таких солітонів. Показано, що в залежності від просторових розмірів пластини, швидкості солітона і пружних властивостей нелінійного середовища солітонні рішення можуть приймати вигляд солітонів модифікованого рівняння Бусінеска (МРБ) або т. зв. екзотичних солітонів (піконів і компактонів), і вперше отримані наближені рішення для таких незвичайних солітонів у пластинах.

3. Досліджено нелінійну динаміку поверхневих хвиль у лінійному півпросторі, що покритий нелінійним матеріалом, з урахуванням дискретності такого покриття. Вперше послідовно виведено новий клас одномірних нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь динаміки такої системи, які подібні отриманим раніше у роботі Ковальова О.С., Майєра А.П., Екля К., Можена Ж.А. (2002 р.) для лінійного півпростору з плівковим нелінійним покриттям. У запропонованій моделі вивчено релеївські солітони стаціонарного профілю і показано, що їхня незвичайна форма якісно збігається з формою поверхневих солітонів, що спостерігалися в експерименті.

4. Вперше досліджено НПС в пружному півпросторі, що покритий моношаром іншої речовини, в граничному випадку, коли жорсткість підкладки істотно менше жорсткості моношару. У граничному випадку абсолютно жорсткого моношару (модель Паєрлса) знайдено нові класи точних розвязків рівняння Паєрлса для НПС. Показано, що утворення НПС супроводжується нульовою середньою деформацією півпростору. Досліджено НПС у всьому інтервалі співвідношень параметрів підкладки і поверхневого шару.

Практична цінність отриманих у дисертації результатів полягає у формулюванні нових моделей, виведенні нових рівнянь і дослідженні нових класів їхніх розв’язків для нелінійних хвиль, солітонів і НПС у пружних пластинах і у поверхні з плівковим покриттям, що адекватно описують ці об'єкти і допускають порівняння з результатами нових експериментів з нелінійної солітонної динаміки у пружних системах зі складною геометрією.

Всі отримані в дисертації теорфізичні дані можуть бути використані як для пояснення існуючих експериментальних фактів, так і для передбачення нових фізичних явищ, доступних для експериментального виявлення.

Отримані теоретичні результати розширюють знання в області теорії багатомірних солітонів і можуть бути використані при дослідженні подібних нелінійних хвиль в інших галузях фізики.

Особистий внесок здобувача

Усі наукові статті дисертанта, що містять основні результати роботи, виконані в співавторстві. Результати, викладені в дисертації, представляються до захисту вперше. Автор дисертації на рівних підставах з іншими співавторами брав участь у постановці задач, а також у обговоренні й інтерпретації отриманих результатів. Виведення рівнянь динаміки нелінійних хвиль у пружній пластині було проведено у співавторстві з науковим керівником. Виведення інших рівнянь виконано автором дисертації особисто. Чисельний розрахунок релеївських солітонів у півпросторі з нелінійним покриттям було проведено у співавторстві з Майєром А.П. Усі аналітичні розрахунки й аналіз солітонних рішень виконано автором дисертації особисто. Таким чином, у цілому внесок автора у виконання комплексу робіт, що наводиться у дисертації, є визначальним.

Апробація роботи

Матеріали, що складають зміст дисертації, доповідались на наступних міжнародних конференціях: Seminar and workshop on Nonlinear lattice structure and dynamics, Focusweek 1: “Nonlinear deformation waves” (Dresden, Germany, September 4-28, 2001), Euromech colloquim 436 “Nonlineаr waves in microstructured solids” (Tallin, Estonia, May 29 - June 1, 2002). “Advanced Problems in Mechanics”, Petersburg (Repino), Russia, June 22 - Jule 2, 2003, 6-я международная конференция “Физические явления в твёрдых телах” (Харьков, 28-29 октября 2003), “ФТТ-2003. Актуальные проблемы физики твёрдого тела” (Минск, 4-6 ноября 2003), “КМВ ФНТ 2004” (Харків, 25-27 травня 2004), “ХVII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды” (Казань, 4-10 июля 2004).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 4 статтях у спеціалізованих наукових журналах, що задовольняють вимогам ВАК, 1 стаття в періодичному виданні і 6 у збірниках тез доповідей і збірниках праць наукових конференцій. Окремий список публікацій за темою дисертації наведено наприкінці автореферату.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків і списку використаних літературних джерел з 73 найменувань. Повний обсяг роботи складає 135 сторінок. У роботі наведено 24 рисунка, з яких 11 на окремих листах, та одна таблиця.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтована актуальність теми дисертації, визначена мета роботи і методи її досягнення, перераховані задачі роботи й обговорено ступінь їхнього дослідження на момент початку роботи над дисертацією. Представлено також основні результати дисертації й описана їхня наукова новизна і практична значимість.

У першому розділі наведено огляд наукової літератури за тематикою дисертації, обговорене місце поставлених у ній задач у загальному колі питань нелінійної динаміки пружних багатовимірних середовищ.

У другому розділі проведено дослідження нелінійної динаміки пружних майже зсувних плескатих хвиль у тонкій пластині при урахуванні нелінійної взаємодії зсувних зміщень з малоамплітудними сагітальними компонентами зміщень. У підрозділі 2.1 сформульована модель для нелінійних хвиль зсуву (ХЗ) (див. рис. ). У випадку кристала кубічної симетрії і швидкостей хвиль стаціонарного профілю, близьких до швидкості лінійних ХЗ ; для майже зсувної хвилі (), що розповсюджується уздовж ; з нелінійними доданками в енергії та у рівняннях, що містять тільки , пов'язаними із взаємодією зсувної і малоамплітудних сагітальних компонент зміщень, рівняння руху і граничні умови мають вигляд:

, (1)

(2)

, (3)

,

, (4)

, (5)

, , (6)

де - комбінації лінійних і нелінійних пружних модулів, - мiжатомна вiдстань, - сагітальні зміщення, нижнім індексом позначені похідні за відповідними координатами. З (2), (3), (5), (6) сагітальні компоненти виражаються через зсув . Після інтегрування (1) по товщині пластини з використанням умови (4), було виведено замкнуте рівняння для :

, (7)

де , , , , , - нові комбінації пружних модулів. Перші три доданки в (7) відповідають одновимірному модифікованому рівнянню Бусінеска (МРБ) з добре відомим солітонним рішенням. Другий доданок описує т. зв. власну дисперсію середовища, що є малою, та пов'язана з його дискретністю. Останній нелокальний доданок пов'язаний із тривимірністю середовища, взаємодією ХЗ із хвилею Релея-Лемба (ХРЛ) та їхньою дисперсією. Він малий через свій нелінійний характер, але перевищує власну дисперсію середовища в міру параметра , та є більш важливим для реальних пластин, призводячи до зміни стандартної форми солітонного рішення. Профілі Фур’є-трансформанти квадрата зсувної деформації і ядра інтегрального оператора наведені на рис. . Полюс функції при значенні хвильового числа призводить до загасання солітона, що пов'язане з випромінюванням ХРЛ. Це загасання слабке при умовах , де характерний поздовжній розмір солітона. Втрати енергії солітоном на відстанях порядку його розміру малі в міру цих параметрів: . Цей випадок важливий з погляду експериментів, у яких солітон поширюється в системі з розмірами порядку його власних (Самсонов А.М., 2001р.). Тоді рівняння (7) можна спростити:

. (8)

У підрозділі 2.2 розглядаються рішення виведених в 2.1 рівнянь (7), (8) для лінійних і нелінійних просторово періодичних, нелокалізованих пружних хвиль. У лінійній границі рівняння й граничні умови для зсувних і сагітальних зміщень розділяються й описують незалежні об'ємні ХЗ і локалізовані у поверхні пластини ХРЛ, що мають велику дисперсію в області (рис. а). Перетинання ліній законів дисперсії ХЗ і ХРЛ визначає загасання солітонів.

Для нелінійних періодичних хвиль виду система рівнянь (1)-(6) розв’язувалася в т. зв. резонансному наближенні, і модернізований закон дисперсії нелінійних хвиль представлений на рис. б. У цьому випадку лінії дисперсійних співвідношень для горизонтальної ХЗ і основної симетричної моди ХРЛ розділені, і виродження при знімається (розщеплення ліній порядка ). Відповідно до критерію Лайтхілла показано, що при реальних значеннях параметрів матеріалу пластини нелінійна ХЗ модуляційно стійка в широких інтервалах значень і втрачає стійкість лише у вузькому інтервалі значень хвильового числа поблизу , де дисперсія лінійних хвиль додатна. Розвиток цієї нестійкості може привести до утворення т. зв. солітонів обгинаючої.

У підрозділі 2.3 вивчаються можливі солітонні рішення отриманих в 2.1 рівнянь. Рівняння (8) має точні солітонні рішення для зсувної деформації, але в громіздкому й неявному виді. У граничних випадках, ввівши позначення , , їх можна виписати в явному виді: 1) , розвязок має стандартний вигляд солітона МРБ:

; (9)

2) , розв’язок трансформується в т. зв. екзотичний солітон типу компактона:

(10)

3), розв’язок трансформується в екзотичний солітон типу пікона:

(11)

де - комбінація всіх пружних модулів і може мати різні знаки для різних матеріалів. Профілі екзотичних солітонних рішень представлені на рис. 4.

У найцікавішому інтервалі швидкостей солітона ( і ), де він приймає екзотичну форму, розмір солітона стає порівняний з товщиною пластини. У цьому інтервалі рівняння (8) може бути модифіковано в таке, що застосовне й при . Компактонне рішення цього модифікованого рівняння має той самий вигляд. Умови існування піконів визначається конкретними значеннями пружних модулів і знаками параметрів. У лужно-галоїдних з'єднаннях для існування піконів необхідна наявність аномальної власної дисперсії () і, вочевидь, вони не можуть спостерігатися в таких кристалах.

Залежність ширини солітона від параметра у всьому інтервалі його значень представлена на рис. .

У третьому розділі досліджується нелінійна динаміка поверхневих хвиль у лінійному півпросторі, що покритий моношаром (або декількома шарами) нелінійного матеріалу (рівноважна міжатомна відстань у підкладці й у моношарі збігаються).

У підрозділі 3.1 формулюється модель для нелінійних поверхневих акустичних хвиль релеївського типу, що розповсюджуються уздовж осі й не залежать від координати , з відмінними від нуля тільки сагітальними зміщеннями (див. рис. ), і виводяться відповідні динамічні рівняння. У виразі для енергії взаємодії атомів поверхневої плівки між собою й з атомами підкладки враховуються тільки перші нелінійні члени, що залежать від відстані між атомами. При цьому в континуальному наближенні динамічні рівняння для зміщень атомів моношару й для зміщень в об'ємі підкладки виглядають так:

(12)

, (13)

, (14)

де - пружні модулі, - зміщення атомів моношару, - зміщення поверхневих атомів підкладки, - зміщення в об'ємі підкладки, - густина матеріалу підкладки, - масса атомів моношару. Рівняння (12-14) доповнюються граничними умовами на поверхні підкладки: компоненти тензора напруг

, (15)

дорівнюють силам з боку моношару (праві частини рівнянь (14), (15)). Система рівнянь (12-15) визначає рішення проблеми.

У підрозділі 3.2 система рівнянь (12-15) для нелінійних релеївських хвиль стаціонарного профілю зводиться до одного нелінійного одновимірного інтегро-диференціального рівняння. Для стаціонарних хвиль із (14) випливає нелокальний зв'язок різних компонентів деформації на поверхні, що дає можливість виразити їх всі й, отже, компоненти тензора напруг (15) тільки через поздовжні деформації на поверхні. Після підстановки отриманих співвідношень для в праві частини (12,13) останнього були знайдені нелокальні залежності зміщень на поверхні через деформації моношару: , . Нарешті, після підстановки цих співвідношень в (12), (13) випливає замкнута система двох інтегро-диференціальних рівнянь для й . Подальше спрощення пов'язано із припущенням про слабкий вплив моношару на підкладку. Швидкість нелінійних хвиль близька до релеївської . За допомогою теорії збурювань по параметру контрольованим образом було отримано наступне рівняння для поздовжніх зміщень у моношарі:

, (16)

де , - складні комбінації пружних модулів і характерних швидкостей, – перетворення Гільберта. Виникнення нелокального оператора Гільберта пов'язано із двовимірністю досліджуваної проблеми. У випадку багатошарового (дискретного) покриття півпростору коефіцієнти в рівнянні (16) пропорційні числу шарів .

Рівняння (16) має структуру, подібну тієї, що була отримана в роботі Ковальова О.С., Майєра А.П., Екля К., Можена Ж.А. (2002р.) для лінійного півпростору, що покритий тонкою ізотропною плівкою нелінійного матеріалу, але в цьому випадку рівняння виведене точно без неконтрольованих припущень. Структура рівняння така ж, як в роботі Ковальова О.С., Майєра А.П., Екля К., Можена Ж.А. (2002р.), але походження лінійної дисперсії інше - вона не пов'язана із власною дисперсією середовища, а також визначається моношаровим покриттям.

У підрозділі 3.3 рівняння (16) узагальнюється на випадок нелінійних релеївських хвиль із нестаціонарним, але повільно мінливим з часом профілем. При цьому зручно ввести фазу, що рухається з релеївською швидкістю й “повільний” час , що характеризує швидкість зміни профілю хвилі. Було отримане наближене (у міру ) узагальнення зв'язку компонент деформації на поверхні півпростору, що випливає з нестаціонарного рівняння (14), і з його допомогою – нестаціонарне узагальнення рівняння (16):

. (17)

Рівняння (17) істотно відрізняється від стандартних рівнянь нелінійної фізики: рівняння Кортевега-де-Фриза й Бенджаміна-Оно виходять із нього заміною при, відповідно, і , і виникаюча нелінійність істотно слабкіша в міру додаткової малої просторової похідної. Звичайно солітонні збудження існують внаслідок конкуренції дисперсії лінійних хвиль й нелінійності. У випадку рівнянь (16), (17) лінійний дисперсійний і нелінійний доданки входять у комбінації й не можуть компенсувати один одного. Тому можливі солітони лише з , що виходить за рамки довгохвильового наближення. Однак, ситуація може змінитися в окремому випадку, коли величина параметра аномально мала. У цьому випадку дисперсія лінійних хвиль визначається третім доданком у рівнянні (16), і воно здобуває вид:

, (18)

де й . У цьому рівнянні нелінійний і дисперсійний доданок уже можуть компенсувати один одного, і виникає можливість існування релеївських солітонів стаціонарного профілю з амплітудою, обернено пропорційною області локалізації, як у стандартних солітонах. Але з виду рівняння (18) відразу ж випливає незвичайний вид цих солітонів: повна деформація в релеївському солітоні повинна бути нульовою, отже профіль солітона повинен бути знакозмінним. Цій вимозі відповідає отримане нами чисельне рішення рівняння (18) (див. рис. ). Отримується рішення для періодичної хвилі, що представляє далеко відокремлені один від одного солітони. Таке рішення якісно збігається із профілем деяких солітонів, що спостерігаються експериментально при лазерному збудженні нелінійних поверхневих хвиль (Ломоносов А.М., Гесс П., 1999 р.).

У четвертому розділі розглядається НПС, яка виникає на поверхні пружного півпростору, що покритий моношаром або тонкою плівкою іншої речовини, коли рівноважна відстань атомів в об'ємі й на поверхні не збігаються. НПС можна представити як періодичну систему поверхневих дислокацій. У дисертації розглянуто випадок поверхні пружного півпростору, що покритий моношаром іншої речовини, з відмінною жорсткістю й рівноважною міжатомною відстанню. При цьому співвідношення жорсткостей моношару й підкладки вважається довільним. У підрозділах 4.1-4.2 формулюється модель досліджуваних НПС. Задача розглядається в рамках скалярної моделі, що допускає зміщення лише в одному напрямку (), уздовж якого й виникає НПС. Як звичайно (Франк В.К., Ван дер Мерве Дж.Х., 1949р., Гордон М.Б., Віллайн, 1979р., Люксютов І.Ф., 1982р., Талапов А.Л., 1982р., Ервін С.К. Баскі А.А., Вітман Л.Дж., Рудд Р.Е., 1999р.), взаємодія однакових атомів між собою враховується в гармонійному наближенні, у той час як взаємодія атомів моношару з атомами підкладки вважається істотно нелінійною (рис. ). При цьому енергія системи в довгохвильовій границі виглядає так:

, (19)

де , - коефіцієнти жорсткості моношару й підкладки, характеризує нелінійну взаємодію моношару з підкладкою, -міжатомна відстань в об'ємі, - рівноважна міжатомна відстань між атомами моношару у відсутності підкладки, - параметр несумірності (ПН).

З вираження (19) випливає отримана в дисертації замкнута система одномірних нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь для зміщень у моношарі й на поверхні півпростору :

, (20)

, (21)

яка в граничних випадках зводиться до рівнянь моделей Френкеля-Конторової (РФК) і Паєрлса (РП).

У підрозділі 4.3 розглядається випадок “м'якого” моношару на поверхні “жорсткого” півпростору, що допускає перехід у границі абсолютно жорсткої підкладки до звичайно використовуваної моделі Френкеля-Конторової. При виконанні умови (), що відповідає вимозі , система (20), (21) зводиться до рівняння:

. (22)

У випадку абсолютно жорсткої підкладки (, ) задача про НПС зводиться до РФК, рішення якого для НПС добре відомо (Кулік І.О., Янсон І.К, 1970р.): , де . Період такої НПС дорівнює ; вона виникає з нескінченним періодом при критичному значенні ПН ( (Ковальов О.С., Герасимчук І.В., 2002р.)).

У випадку жорсткої, але податливої підкладки наближений розв’язок (22) може бути представлений у вигляді . Щільнiсть повної енергії системи при значеннях ПН більше й менше критичного представлена на рис. 9а. Мінімум нижньої кривої відповідає значенню , що визначає період НПС . Чисельні залежності для абсолютно жорсткого й податливого півпростору наведені на рис. б. Піддатливість підкладки приводить до збільшення періоду НПС. Для наведених на малюнку значень параметрів знайдене чисельно критичне значення ПН .

Якщо (абсолютно тверда підкладка) результат переходить у відомий раніше (Ковальов О.С., Герасимчук І.В., 2002р.). Результат справедливий поза вузькою областю значень ПН поблизу критичного, де не застосовна теорія збурювань. Поза нею виправлення до енергії малі, і знаходиться модифікація НПС, пов'язана з піддатливістю підкладки.

У підрозділі 4.4 вивчений випадок “жорсткого” моношару на поверхні “м'якого” півпростору. За умови ( ), що відповідає вимозі , система (20), (21) зводиться до рівняння:

. (23)

У випадку абсолютно жорсткого моношару (, ) рівняння (29) переходить в РП, що виникає в моделі Паєрлса для дислокації у двовимірній пружній системі. Добре відомі точні рішення РП для відокремленої дислокації й пари дислокацій різного знака (Набарро Ф.Р.Н., 1947р., Косевич А.М., 1988р.). У дисертації знайдені два нових класи точних періодичних рішень РП, що мають наступний вид:

, , ; (24)

, , . (25)

Розв’язок (24) описує НПС, тобто періодичний ланцюжок -кінків з відстанню між ними (безрозмірною) і є узагальненням рішення Паєрлса для дислокації у двовимірному кристалі. Розв’язок (24) параметризується значенням (або періодом ), що визначається ПН. Рішення (25) описує періодичну систему дислокацій різного знака з відстанню між ними й узагальнює рішення Набарро для пари дислокацій. Це рішення, очевидно, нестійке у випадку НПС і в дисертації не обговорюється.

У випадку виникнення НПС, описуваної рішенням (24), повна енергія системи, що припадає на один період НПС, дорівнює:

, (26)

де та єдине припустиме значення параметра = , а отже, і залежність визначаються з вимоги обмеженості енергії системи, тобто нульової середньої деформації підкладки. Якісна відмінність розглянутого граничного випадку від випадку абсолютно жорсткої підкладки складається у відсутності ненульового критичного значення ПН: НПС із нескінченним періодом і з нульовою енергією виникає при .

У випадку слабко податливого моношару розв’язок рівняння (23) може бути представлений у вигляді: , де - рішення відповідного РП (24). У розглянутому випадку податливого моношару знову з'являється критичне значення ПН, але у вузькій області значень ПН поблизу критичного розгляд задачі в рамках теорії збурювань неможливий. Поза цим інтервалом виправлення до енергії малі, і можна знайти модифікацію НПС, пов'язану з піддатливістю покриття.

Відповідна щільність енергії, що отримана в дисертації в явному виді, представлена на рис. а. При значенні мінімум залежності в точці визначає період виникаючої структури . Для параметрів, наведених на рисунку, критичне значення ПН близьке до .

Рис. 10. Залежність щільності енергії НПС від параметра для значень параметрів , , , (а). Період НПС як функція міжатомної відстані в моношарі (ПН) у випадку абсолютно жорсткого і податливого моношару для значень параметрів , , (б).

У загальних висновках викладені основні наукові результати дисертації.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримані такі основні результати:

1. Виведено нелінійні еволюційні рівняння для пружних хвиль зсуву, що поширюються в тонкій пластині, з урахуванням нелінійної взаємодії з хвилями Релея-Лемба. Показано, що ця взаємодія приводить до нелінійної дисперсії пружних хвиль.

2. Знайдено однопараметричні рішення отриманих рівнянь для солітонів стаціонарного профілю, що у граничних випадках приймають вид “екзотичних” солітонів. Зазначено на можливість існування зсувних солітонів обгинаючих в ангармонічній пластині.

3. Виведено одновимірні нелінійні інтегро-диференціальні рівняння, що описують нелінійні хвилі Релея і релеївські солітони у поверхні лінійного пружного півпростору з тонким плівковим покриттям ангармонічної речовини.

4. Проведено аналіз можливих солітонних розвязків отриманих рівнянь. Показано, що повна деформація, пов'язана з релеївскими солітонами, дорівнює нулю, а форма цих солітонів носить незвичайний характер і близька до спостерігаємої експериментально.

5. Виведено нелінійні одновимірні інтегро-диференціальні статичні рівняння, що описують несумірні структури на поверхні пружного (податливого) півпростору з моношаровим покриттям при довільному співвідношенні жорсткостей підкладки і поверхневого шару.

6. Знайдено новий клас точних рішень для несумірних структур на поверхні “м'якого” півпростору з “жорстким” покриттям. Приблизно досліджені несумірні структури при довільному співвідношенні жорсткостей покриваючого моношару й підкладки і знайдені залежності періоду несумірних структур від параметра несумірності.

Вірогідність результатів дисертації забезпечується тим, що вони отримані з використанням детально розроблених і апробованих методів теоретичної і математичної фізики, специфічних методів “нелінійної фізики”, і якісно узгоджені з даними експериментів.

Отримані результати є досить загальними і наочно демонструють фізичні особливості, зв'язані з обмеженістю геометрії розглянутих систем і зі складною структурою поверхні. Більшість результатів оперує з фізичними величинами, доступними для безпосереднього експериментального дослідження.

Основні результати дисертації опубліковані в таких роботах:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Kovalev A.S., Mayer A.P., Eckl C., Maugin G.A., Syrkin E.S., and Sokolova E.S. Acoustic surface solitons // Abstr. of Seminar of Euromech colloquium 436 “Nonlinear waves in microstructured solids”. - Tallinn (Estonia). - 2002. - P. 8.

8. Kovalev A.S., Mayer A.P., Maugin G.A., and Sokolova E.S. Rayleigh solitons on the surface coated with nonlinear monolayer. // Abstr. of XXXI Summer School Conference “Advanced Problems in Mechanics”. - Petersburg, Repino (Russia). - 2003. - P. 59 – 60.

9. Ковалёв А.С., Соколова Е.С. Несоизмеримые структуры на поверхности упругого полупространства. // Тез. 6-й международной конференции “Физические явления в твёрдых телах”. - 2003. - Харьков (Украина). - С. 80.

10. Kovalev A.S. and Sokolova E.S. Nonlinear Rayleigh waves in halfspace covered with atomic monolayer. // Тез. международной конференции “ФТТ-2003 Актуальные проблемы физики твёрдого тела” - 2003. - Минск (Белоруссия). - С. 91.

11. Ковалёв А.С., Соколова Е.С. Несоизмеримые структуры на поверхности упругого двумерного полупространства. // Тези конференції “КМВ ФНТ 2004”. - 2004. - Харків. - С. 42.

АНОТАЦІЯ

Соколова О.С. Нелінійні пружні хвилі і структури в системах з обмеженою геометрією. – Pукопис. Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика. – Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2005.

У дисертаційній роботі розглянуті нелінійні структури, хвилі і солітони різного типу в тонких пружних пластинах і в поверхні пружного півпростору, покритого тонкою плівкою нелінійної речовини. Сформульовано прості моделі для опису нелінійних явищ у таких багатомірних пружних середовищах з обмеженою просторовою геометрією і послідовно виведено відповідні нелінійні нелокальні статичні й еволюційні рівняння. У випадку пластини нелокальні рівняння приблизно зведені до локальних, але з урахуванням нелінійних дисперсійних доданків. Для пружного півпростору з тонким нелінійним моношаровим покриттям послідовно виведено нові типи нелінійних рівнянь, що узагальнюють відомі в “нелінійній фізиці” рівняння Бусінеска, Бенджаміна-Оно, Френкеля-Конторової і Паєрлса. В усіх випадках приблизно аналітично або чисельно знайдені рішення, що описують нелінійні хвилi зсуву та релеївські хвилі солітонного типу і нелінійні поверхневі несумірні структури. Унаслідок багатомірності проблем знайдені солітони мають незвичайний вигляд: у пластині в граничних випадках солітони приймають “екзотичний” вид компактонів і піконів, а в півпросторі з нелінійним покриттям поверхневі солітони мають немонотонний профіль з нульовою повною деформацією. Урахування кінцевої піддатливості півпростору з моношаровим покриттям призводить до істотної зміни несумірних поверхневих структур – вони супроводжуються нульовою середньою деформацією підкладки. У випадку великої жорсткості покриваючого шару знайдено нові класи рішень рівняння Паєрлса, що узагальнюють відомі раніше. Усі теоретично досліджені в дисертації нелінійні збудження спостерігаються в експериментах і допускають якісне порівняння з експериментальними даними.

Ключові слова: пружна пластина, пружний півпростір, плівкове покриття, несумірні поверхневі структури, нелінійні пружні хвилі, поверхневі хвилі, зсувні та релеєвські солітони.

АННОТАЦИЯ

Соколова Е.С. Нелинейные упругие волны и структуры в системах с ограниченной геометрией. – Рукопись. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 – теоретическая физика. – Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2005.

В диссертационной работе рассмотрены нелинейные структуры, волны и солитоны различного типа в тонких упругих пластинах и у поверхности упругого полупространства, покрытого тонкой пленкой нелинейного вещества. Сформулированы простые модели для описания нелинейных явлений в таких многомерных упругих средах с ограниченной пространственной геометрией и последовательно выведены соответствующие нелинейные нелокальные статические и эволюционные уравнения.

В случае пластины нелокальные уравнения приближенно сведены к локальным. Выведенные нелинейные уравнения динамики для сдвиговых смещений содержат дополнительные нелинейные дисперсионные члены, возникающие из-за взаимодействия со смещениями в сагиттальной плоскости.

Для упругого полупространства с тонким нелинейным монослойным покрытием последовательно выведены новые типы нелинейных уравнений, обобщающие известные в “нелинейной физике” уравнения Буссинеска, Бенджамина-Оно, Френкеля-Конторовой и Пайерлса: получено одномерное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение динамики поверхностных волн; в рамках простой скалярной модели выведена система эффективных одномерных нелинейных интегро-дифференциальных уравнений для статических несоизмеримых поверхностных структур, описывающая в предельных случаях известные модели Френкеля-Конторовой и Пайерлса.

Во всех случаях приближенно аналитически или численно найдены решения, описывающие нелинейные сдвиговые и рэлеевские волны солитонного типа и нелинейные поверхностные несоизмеримые структуры. Вследствие многомерности проблем найденные солитоны имеют необычный вид: в пластине в предельных случаях солитоны принимают “экзотический” вид компактонов и пиконов, а в полупространстве с нелинейным покрытием поверхностные солитоны имеют немонотонный профиль с нулевой полной деформацией. Учет конечной податливости полупространства с монослойным покрытием приводит к существенному изменению несоизмеримых поверхностных структур – они сопровождаются нулевой средней деформацией подложки. В случае большой жесткости покрывающего слоя найдены новые классы решений уравнения Пайерлса, обобщающие известные ранее. Во всём интервале значений соотношения жёсткости полупространства и покрывающего монослоя и разности их межатомных расстояний найден вид несоизмеримых поверхностных структур, то есть зависимость периода этих структур от указанных параметров.

Все теоретически исследованные в диссертации нелинейные возбуждения наблюдаются в экспериментах и допускают качественное сравнение с экспериментальными данными.

Ключевые слова: упругая пластина, упругое полупространство, пленочное покрытие, несоизмеримые поверхностные структуры, нелинейные упругие волны, поверхностные волны, сдвиговые и рэлеевские солитоны.

Abstract

Sokolova E.S. Nonlinear structures and waves in elastic systems with the

restricted geometry. - The manuscript. Thesis for scientific degree of candidate of science in physics and mathematics by speciality 01.04.02 - theoretical physics. B.I.Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NAS of Ukraine, Kharkov, 2005.

In thesis nonlinear structures, waves and solitons of various type in thin elastic plates and at surface of elastic half-space as well as the nonlinear substance covered with a thin film are considered. Simple models for the description of the nonlinear phenomena in such multivariate elastic environments with the restricted spatial geometry are formulated and the corresponding nonlinear non-local equations are consistently derived. In the case of a plate non-local equations are approximately reduced to local equations, which contain nonlinear dispersive terms. For elastic half-space covered by a thin nonlinear monolayer the new types of the nonlinear equations , generalizing well known in “nonlinear physics” Bussinesk’s, Benjamine-Ono’s, Frenkel-Kontorova’s and Payerls’s equations are consistently derived. In all cases the solutions describing nonlinear shear and Rayleigh’s waves of soliton type and nonlinear incommensurate structures are found approximately analytically or numerically. Due to multidimensionality of the problems obtained solitons have a unusual form: in a plate in limiting cases solitons transform into "exotic" forms of compactons and pikons, and in in half-space with a nonlinear covering film solitons have a nonmonotonic structure with zero full deformation. The account of a final compressibility of half-space with a