Національний університет “Львівська політехніка”

С А В Е Н К О

Петро Олександрович

УДК 519.95:621.396

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ, ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНІ

Й ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ В НЕЛІНІЙНІЙ ТЕОРІЇ СИНТЕЗУ

ВИПРОМІНЮЮЧИХ СИСТЕМ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Львів – 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України

Науковий консультант – доктор фізико-математичних наук, професор

Войтович Микола Миколайович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів,

завідувач відділу числових методів математичної фізики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Назарчук Зіновій Теодорович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка

НАН України, м. Львів,

заст. директора з наукової роботи;

доктор технічних наук, професор

Верлань Анатолій Федорович,

Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова

НАН України, м. Київ,

зав. відділу моделювання динамічних систем;

доктор технічних наук, професор

Матвійчук Ярослав Миколайович,

Національний університет “Львівська політехніка”,

професор кафедри теоретичної радіотехніки та радіовимірювання.

Провідна установа: Харківський національний університет

радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України.

Захист відбудеться 5 травня 2005 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .052.05 при Національному університеті “Львівська політехніка” (79013, Львів-13, вул. С. Бандери, 12).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” (79013, Львів-13, вул. Професорська, 1)

Автореферат розіслано 29 березня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Федасюк Д.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Характерною особливістю сучасних досліджень у фізиці, хімії, біології, економіці та інших галузях науки є широке застосування обчислю-вального експерименту як методологiї наукових досліджень. Обчислювальний експеримент значно прискорює процес дослiджень, дозволяє глибше пiзнати природу процесiв при змiнi в широкому дiапазонi їх фiзичних параметрiв i, таким чином, зменшує число високовартiсних фiзичних експериментiв. Це зумовило інтенсивні дослідження зі створення математичних моделей, розробку й розвиток загальних і спрямованих на розв’язування певних класів задач чисельних методів i алгоритмів, розробку системного й прикладного математичного забезпечення, як основних складових обчислювального експерименту.

Математичні моделі, запис яких здійснюється у вигляді алґебраїчних, диферен-ціальних, інтеґральних рівнянь та інших математичних співвідношень, повинні ві-дображати основні фізичні закони, за яких відбувається фізичне явище або процес, описувати їх залежність від зміни в широких областях основних параметрів. Поява в останні десятиріччя потужних комп’ютерів дозволяє вводити у математичні моде-лі існуючі нелінійні залежності реальних фізичних процесів від зміни зовнішніх та внутрішніх факторів і параметрів у вигляді різних типів нелінійних рівнянь. Тому проблема побудови й дослідження нелінійних математичних моделей є надзвичай-но актуальною для різних галузей машинобудування, економіки, екології, тощо.

Паралельно з розвитком математичного моделювання розвиваються чисельні методи та алгоритми розв’язування поставлених задач. Тільки застосування методів обчислювальної математики дає змогу досліджувати складні нелінійні математичні моделі, які охоплюють всі суттєві властивості фізичного явища чи процесу.

Значну роль обчислювальний експеримент відіграє на етапі оптимального про-ектування приладів та конструкцій. У цьому випадку математичні моделі й чисельні методи дозволяють не тільки аналізувати поведінку конструкції залежно від зміни фiзичних параметрiв, але й формулювати й розв’язувати обернені задачі на знаход-ження оптимальних рішень. При цьому потребами практики породжуються нові класи некоректних у класичному розумінні (за Адамаром) багатокритеріальних і багатоекстремальних задач, при розв’язуванні яких важливу роль відіграють варіа-ційні методи та методи оптимізації.

Дана робота присвячена побудові та дослідженню математичних моделей різ-них типів випромінюючих систем, розробці та обґрунтуванню чисельних та чисель-но-аналiтичних методів розв’язування нелінійних обернених суттєво некоректних задач, що виникають у теорії синтезу таких систем. Це зумовлено розширенням i ускладненням кола задач, які поставлені перед сучасними радіотехнікою та радіо-електронікою, акустикою та гідроакустикою, що висуває все більш жорсткі вимоги до теорії i техніки антен та до їх випромінюючих систем. Антени за період свого роз-витку перетворились із простих приймально-передавальних пристроїв у складні динамічні системи зі сталими або змінними характеристиками, керування якими, як правило, здійснюється на основі ЕОМ. У загальному випадку синтез випроміню-ючої системи полягає у визначенні її геометрії й такого розподілу джерел електро-магнітних коливань, щоб характеристики напрямленості системи задовольняли поставлені вимоги згідно з прийнятими критеріями оптимізації.

Побудові й дослідженню математичних моделей різних типів випромінюючих систем, розвитку теорії і методів розв’язування задач синтезу у літературі присвяче-но велику кількість робіт. Найбільш повний їх аналіз наведено в монографіях Б.М. Мінковича й В.П. Яковлєва; Л.Д. Бахраха, С.Д. Кременецького; Є.Г. Зелкіна й В.Г. Соколова; В.І. Дмитрієва, Н.І. Березіної; А.Ф. Чапліна; Я.С. Шифріна; Д.І. Воскресенського, Л.І. Пономарьова, В.С. Філіпова; Д.І. Воскресенського, А.Ю. Гриньова, Е.Н. Вороніна; Б.З. Каценеленбаума; Є.Г. Зелкіна й В.П. Кравченка та оглядових працях Д.І. Воскресенського, В.М. Максимова; Б.Є. Кінбера, В.І. Классена; А.С. Ільїнського; Я.С. Шифріна; C.A. Balanis; G.M. Rebeiz; F.K. Schwering та ін. Аналіз літератури свідчить, що найбільш розвинутими є методи розв’язування задач синтезу антен за заданою повною (комплексною) діаграмою напрямленості (ДН), які в літературі одержали назву класичних. Характерною особливістю робіт із синтезу в останні десятиріччя є їх практична спрямованість, урахування жорстких вимог до параметрів ДН (форми головної пелюстки, рівня бокових пелюсток, крутизни спадів головної пелюстки, коефіцієнта напрямленої дії та ін.), до практичної реалізації розрахованого розподілу джерел збудження та до забезпечення електромагнітної сумісності і т. д.

Потребами практики породжені нові класи задач синтезу, зокрема, задачі з неповними вхідними даними, які є нелінійними. До перших робіт, у яких поставлені нелінійні задачі синтезу за заданою амплітудною діаграмою напрямленості (ДН), слід віднести роботи Ю.І. Чоні, А.В. Чечкіна, А.Г. Рамма, Л.Д. Бахраха, С.Д. Кре-менецького, В.В. Семенова. Чисельним методам розв’язування цього класу задач для різних типів антен присвячені роботи В.І. Дмитрієва, Н.І. Березіної, А.В. Чеч-кіна, М.М. Войтовича, М.І. Андрійчука, В.А. Калошина, J.R. Mautt, R.F.R.J. Marhefka, E.I. Pelton, A.E. Cetin, R. Ansari, R. Mittra, G.T. Poulten та інших авторів. В основу цих методів покладається побудова відповідних ітераційних процесів, які дають змогу отримати один із розв’язків задачі.

Значна увага в літературі приділяється задачам конструктивного синтезу (роботи А.Ф. Чапліна, О.Н. Терьошина, Б.З. Каценеленбаума, А.Н. Сівова, А.Д. Шатрова, Є.І. Коршунової, М.М. Войтовича, Ф.Ф. Дубровки, P.I.B. Clarricoats, P.K. Saha та ін.), у яких за заданими вимогами до розподілу електромагнітного поля в просторі синтезуються конструктивні параметри антени, зокрема, такі як поверхневий імпеданс, поверхня антени і функція прозорості частини цієї поверхні та ін. Необхідність врахування різного роду детермінованих і випадкових похибок зумо-вила розвиток статистичної теорії аналізу і синтезу антен (роботи Я.С. Шифріна, Л.Г. Корнієнка, Ф.Л. Айзіна, А.Г. Сєніна, А.М. Расіна та ін.). Однією з основних тенденцій розвитку сучасної радіоелектроніки надвисоких частот (НВЧ) є мікромі-ніатюризація радіоелектронної апаратури, яка зумовила розвиток теорії мікросмуж-кових антен. У літературі (зокрема, в роботах М.М. Горобця, А.Ю. Гриньова, А.С. Ільїнського, Є.І. Нефйодова, Б.А. Панченка, С.Л. Просвірніна, Д.Г. Селезньова, D.M. Pozar, A.J. Parfitt, D.W. Griffin, P.H. Cole) велика увага приділяється чисельним методам розв’язування прямих задач (задач аналізу) мікросмужкових антен, водночас як задачам синтезу присвячені лише поодинокі роботи.

Істотний вплив на розвиток методів розв’язування обернених задач зробили праці В.К. Іванова, А.М. Тихонова, М.І. Лаврентьєва. Запропоновані ними методи розв’язування некоректних задач розвиваються стосовно задач синтезу різного роду випромінюючих систем у роботах В.І. Дмитрієва, А.В. Чечкіна, Л.Д. Бахраха, С.Д. Кременецького, Д.М. Сазонова, В.І. Поповкіна та інших авторів.

Аналіз розвитку методів розв’язування нелінійних задач синтезу різних типів випромінюючих систем свідчить про відсутність повноти досліджень у цій галузі. У більшості робіт, присвячених розв’язуванню цих класів задач, лише відзначаються питання неєдиності розв’язків, водночас відсутні дослідження з визначення кіль-кості існуючих розв’язків та їх якісних характеристик. Неповнота інформації у початкових даних задач синтезу відносить їх до класу суттєво некоректних неліній-них задач. Зокрема, застосування варіаційних підходів до багатокритеріальних за-дач синтезу приводить до необхідності знаходження екстремальних точок неопук-лих функціоналів, які є ще недостатньо вивченими. Крім того, нелінійні задачі син-тезу дзеркальних, гібридних дзеркальних антен, конформних антен та антенних решіток вимагають урахування векторного характеру електромагнітних полів, що породжує нелінійні задачі великої розмірності. Дослідження властивостей розв’яз-ків таких задач вимагає застосування теорії і методів нелінійного аналізу, які на сьогодні є ще достатньо складними для прикладних застосувань. Незважаючи на високий рівень розвитку чисельних методів та обчислювальної техніки, їх пряме застосування до недостатньо вивчених нелінійних задач не завжди приводить до позитивних результатів.

Таким чином, актуальність обраної для дисертації теми зумовлена необхідністю:

§ Побудови математичних моделей аналізу й синтезу різних типів випромінюючих систем, які ґрунтуються на рівняннях Максвелла, хвильових рівняннях й сформульованих на їх основі крайових задачах математичної фізики та включають в себе конструкторсько-технологічні параметри системи.

§ Розробки, розвитку та обґрунтування таких чисельно-аналiтичних i чисельних методів розв’язування нелінійних задач синтезу різних типів випромінюючих сис-тем, у яких відсутність вимог до фазової діаграми напрямленості використовувалась би для найкращого забезпечення поставлених вимог до заданих амплітудної ДН або ДН за потужністю та до реалiзовностi джерел збудження випромінюваних полів. З іншого боку, ці методи повинні надавати можливості отримувати оцінки кількості існуючих розв’язків та їх основних властивостей i будувати відносно прості чисель-ні алгоритми для знаходження розв’язків на ЕОМ.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота за вказаною тематикою проводилась згідно з плановими дослідженнями Інституту прикладних проблем механіки й математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (ІППММ НАН України) та його Обчислювального центру. Автор був одним із спів-керівників та виконавців таких тем: “Розвиток чисельних методів розв’язування одного класу нелінійних iнтеґральних рівнянь та обернених задач математичної фізики” (програма Державного фонду фундаментальних дослiджень на 1994-1996 рр., державний реєстраційний номер проекту 11.3/114, наказ ДКНТ № 52 від 1.03.1994); “Розробка інженерних методів, проведення розрахунків багатопроменевих антен з контурними діаграмами напрямленості” (виконувалась у 1994-1995 рр. згідно з угодою № 8 від 19.07.94 між ІППММ НАН України та КБ “Південне” в рамках ДКР “Либiдь” згідно з постановою Національного космічного агентства України № 1-193 від 25.03.1993); “Розробити наближені методи розв'язування нелінійних інтеґральних рівнянь типу Гаммерштейна з розділеними модулем та аргументом невідомої комплексної функції, а також певних класів нелінійних та двопараметричних задач на власні значення” (термін виконання: 2002-2005 рр., державний реєстраційний номер 0102U000449); “Розробка чисельно-аналітичних методів дослідження нелінійних суттєво некоректних задач синтезу антенних систем із застосуванням енергетичного критерію” (термін виконання: 2002-2004 рр., державний реєстраційний номер 0102U001614).

Частина роботи проводилась в рамках госпдоговірної тематики, яка виконува-лась в Обчислювальному центрі ІППММ НАН України під керівництвом автора з Московським НДІ космічного приладобудування, з Московським НДІ радіозв’язку, з Челябінським НДІ “Радіо”, зокрема, при виконанні таких тем: “Розробка чисель-них методів, алгоритмів і комплексів програм для розв’язування задач синтезу ви-промінюючих систем заданої геометрії” – угода між Московським НДІ радіозв’язку та ОЦ ІППММ НАН України № 114/36 від 1.05.86, термін виконання – 1986-1990 рр.; “Розробка принципів побудови багатопроменевих активних фазованих антен-них решіток (АФАР) для засобів супутникового зв’язку”, підстава – Постанова Пре-зидії ВПК Кабінету міністрів СРСР від 24 квітня 1991 р. та розпорядженням Пре-зидії АН України № 00627 від 1 липня 1991 р., термін виконання – 1991-1992 рр.

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у розробці та обґрунтуванні математичних моделей синтезу різних типів антен та їх випромінюючих систем за неповними вхідними даними, дослідженні існування та загальної структури розв’язків і їх якісних характеристик методами нелінійного аналізу, побудові та обґрунтуванню чисельно-аналітичних і чисельних методів для оптимізації харак-теристик та параметрів випромінюючих систем.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв’язати такі задачі:

· Сформулювати та обґрунтувати математичні моделі синтезу різних типів випро-мінюючих систем за неповними вхідними даними у вигляді варіаційно поставлених обернених задач. Дослідити питання існування розв’язків цих задач для різних типів випромінюючих систем, характеристики напрямленості яких описуються за допомогою ізометричних або цілком неперервних операторів.

· Розвинути методологію дослідження залежності кількості та якісних характерис-тик розв’язків нелінійних рівнянь синтезу від зміни величин фiзичних параметрiв випромінюючої системи та властивостей заданої амплітудної ДН або ДН за потуж-ністю, яка ґрунтується на методах нелінійного аналізу. Запропонувати методи визначення розв’язків, які дають змогу оптимізувати характеристики та параметри випромінюючої системи.

· Побудувати та обґрунтувати на основі методів нелінійного аналізу чисельно-аналiтичні й чисельні методи та алгоритми розв’язування нелінійних суттєво некоректних задач синтезу різних випромінюючих систем, використовуючи при цьому відсутність вимог до фазової діаграми напрямленості, як додатковий ступінь свободи для покращення якості синтезу в розумінні прийнятих критеріїв.

· Сформулювати й запропонувати методи розв’язування нових практично важли-вих нелінійних задач синтезу випромінюючих систем з використанням різних за точністю математичних моделей.

·

Об’єктом дослідження є електромагнітні поля, які випромінюються різними типами антен; проблема створення випромінюваних електромагнітних полів із заданими характеристиками напрямленості.

Предметом дослідження є математичні моделі аналізу й синтезу різних типів антен з плоским випромінюючим розкривом, антенних решіток, гібридних антен; кількісні та якісні властивості розв’язків нелінійних задач синтезу за неповними вхідними даними, побудова ефективних чисельно-аналітичних та чисельних мето-дів знаходження оптимальних розв’язків.

Методи дослідження. Для створення математичних моделей різних типів випромінюючих систем і побудови чисельно-аналітичних та чисельних методів знаходження кількісних і якісних характеристик існуючих розв’язків використо-вувалися методи математичного та комп’ютерного моделювання, методи матема-тичної фізики, електродинаміки та акустики, варіаційні методи, методи нелінійного аналізу та теорії галуження розв’язків, методи обчислювальної математики.

Наукова новизна роботи полягає в наступному:

У дисертації розроблено новий науковий напрямок математичного моделю-вання й чисельної оптимізації різних типів випромінюючих систем за неповними вхідними даними, в основу якого покладено: варіаційні постановки нелінійних задач синтезу, дослідження існування та загальної структури розв’язків і їх якісних властивостей методами нелінійного аналізу, знаходження та дослідження кількісних властивостей існуючих розв’язків чисельними методами.

У процесі розробки вказаного напрямку отримано такі наукові результати:

1. Сформульовано математичні моделі синтезу різних типів антен з неперервним випромінюючим розкривом, антенних решіток та гібридних антен у вигляді коректно поставлених варіаційних задач за заданими вимогами до амплітудної діаграми напрямленостi (ДН) та до ДН за потужністю і накладеними обмеженнями на функції сторонніх джерел збудження полів. Вперше доведено теореми існування розв’язків, які є справедливими для задач синтезу антен, діаграми напрямленостi яких описуються цілком неперервними або ізометричними операторами.

2. Вперше запропоновано й обґрунтовано методи розв’язання питання неєдиності розв’язків нелінійних задач синтезу випромінюючих систем за заданою амплітуд-ною ДН та ДН за потужністю: для лінійних антен та антенних решіток, антен з плоским випромінюючим розкривом (у різних варіаційних постановках задач синтезу) на основі теорії галуження розв’язків побудовані методи визначення залежності кількості та основних властивостей розв’язків від величини фiзичних параметрiв випромінюючої системи та властивостей заданої амплітудної ДН.

3. Дістали подальший розвиток та обґрунтування чисельні й чисельно-аналiтичнi методи розв’язування нелінійних операторних рівнянь, які є рівняннями Ейлера досліджуваних неопуклих функціоналів. Доведено теореми про релаксаційні та мінімізуючі властивості побудованих ітераційних процесів, які справедливі для задач синтезу різних типів антен та антенних решіток, діаграми напрямленості яких описуються лінійними цілком неперервними або ізометричними операторами.

4. Вперше запропоновано варіаційний підхід до розв’язання нелінійної спек-тральної задачі для випадку самоспряжених операторів, які діють у дійсних гіль-бертових просторах. Побудовано й обґрунтовано ітераційний процес для знаход-ження розв’язків цієї задачі, показана його застосовність до знаходження точок галуження розв’язків нелінійних iнтеґральних рівнянь, що виникають у задачах синтезу випромінюючих систем.

5. Побудовано й обґрунтовано нові ефективні чисельні методи формування нулів (глибоких провалів) у діаграмах напрямленостi лінійних і плоских та малоелементних конформних адаптивних антенних решіток (АР). Для лінійних і плоских еквідистантних антенних решіток побудовано ефективні за часом чисельні алгоритми знаходження розв’язків задачі, отримано оцінки необхідної кількості ітерацій для формування провалу заданої глибини та величини середньоквадратичного відхилен-ня синтезованої ДН від вхідної.

6. Запропоновано новий ефективний підхід до синтезу контурних ДН без критич-них зон, які формуються багатопроменевими гібридними лінзовими або дзеркальними антенами. В основу підходу покладено ідею синтезу квазiпрямокутних або квазiтрикутних (у поперечному перетині) парціальних променів.

7. На основі різних за точністю математичних моделей i розроблених методів вперше поставлено i розв’язано такі нелінійні задачі синтезу: амплiтудно-фазовий (усереднений і частотно-залежний) синтез лінійних антенних решіток у заданому дiапазонi частот за заданою амплітудною ДН; синтез мікросмужкових антенних решіток за заданою амплітудною ДН та ДН за потужністю з урахуванням (у першому наближенні) взаємного впливу випромінювачів; фазовий синтез антенних решіток з урахуванням векторного характеру діаграми напрямленості та взаємного впливу випромінювачів, синтез гібридних дзеркальної та лінзової антен.

Практичне значення одержаних результатів.

· Розроблено та обґрунтовано ефективний математичний апарат (математичні моделі, чисельно-аналітичні й чисельні методи та алгоритми) для синтезу випромі-нюючих систем, у якому свобода вибору фазової ДН використовується як додаткова можливість для покращення якості синтезу. Запропоновані методи та алгоритми можна успішно застосовувати на етапі оптимального проектування лінійних антен та антенних решіток, антен з плоским випромінюючим розкривом, плоских та кон-формних антенних решіток, адаптивних антенних решіток, гібридних дзеркальних та лінзових антен при заданих вимогах до амплітудної ДН або до ДН за потужністю та певних обмеженнях на розподіл джерел збудження електромагнітних полів.

· Для симетричних заданих амплітудних ДН знайдено нові типи відгалужених розв’язків (що існують при невеликих розмірах розкриву), які підвищують ефек-тивність синтезу в межах 20 - 40 % порівняно з раніше відомими первинними (синфазними) розв’язками. З іншої сторони, відгалужені розв’язки при збереженні тієї ж ефективності, що відповідає первинним розв’язкам, дають змогу зменшити лінійний розмір антени в межах від 10 до 20 відсотків. Наявність різних за структурою, але однакових (або близьких) за ефективністю розв’язків надає для практики можливості вибору того з них, який має простішу фізичну реалізацію.

· Побудована на основі методів нелінійного аналізу загальна структура роз-в’язків багатоекстремальних варіаційних задач синтезу дозволяє локалізувати розв’язки і тим самим значно спрощує їх знаходження чисельними методами.

· Запропоновані методи до синтезу контурних ДН постійної або змінної форми без критичних зон дають змогу досліджувати й проектувати ефективні сателітні гібридні дзеркальні та лінзові антени для радіотехнічних систем багатофункціо-нального призначення.

· Математична аналогія між задачами синтезу електродинамічних i акустичних антен та задач синтезу радіосигналів, синтезу оптичних та квазіоптичних систем дозволяє застосовувати розроблені методи та чисельні алгоритми в назва-них вище розділах акустики, радіофізики та радіотехніки.

· Розроблене на підставі запропонованих математичних моделей та чисельних методів й алгоритмів програмне забезпечення успішно використовується при дос-лідженні та оптимальному проектуванні різних типів випромінюючих систем, зок-рема: у ВАТ “Холдингова компанія “Укрспецтехніка” (м. Київ), у Науково-дослід-ному інституті вимірювальної техніки (м. Челябінськ), у Московському НДІ радіо-зв’язку, в Інституті радіотехніки і електроніки Російської Академії наук (м. Москва), що підтверджено актами про використання результатів наукових досліджень.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались на міжнародних, всесоюзних і всеукраїнських симпозіумах, конференціях та семі-нарах, зокрема, на: Міжнародній конференції по мікрохвильовому зв’язку (Буда-пешт, 1982); VI-му міжнародному симпозіумі “Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики” (Харків, 1993); Міжнародному симпозіумі “Обернені задачі в інженерії і механіці” (Японія, 2001); “Міжнародній конференції з оберне-них задач в інженерії” (Бразилія, 2002); Міжнародній конференції “Алгебра та ана-ліз” (Казань, 1994); Республіканській науково-технічній конференції “Інтеґральні рівняння в прикладному моделюванні” (Київ, 1986); Всеукраїнській науковій конференції “Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь” (Київ, 1994); Міжнародних наукових конференціях “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998; 2003); I, II, IV-ій Всеукраїнських наукових конференціях “Застосу-вання обчислювальної техніки і математичних методів в наукових дослідженнях” (Львів, 1994, 1995, 1997); VIII-му Всесоюзному симпозіумі з дифракції і поширення хвиль (Львів, 1981); Міжнародному симпозіумі з теорії електромагнетизму (Санкт-Петербург, 1995); Міжнародній мікрохвильовій конференції (Польща, 1994), I-й Всесоюзній науково-технічній конференції “Прилади і методи прикладної електродинаміки. Системи супутникового зв’язку і апаратурні комплекси” (Москва, 1988); I, III, IV-й Міжнародних конференціях з теорії і техніки антен (Київ, 1997, Севастополь, 1999, Севастополь, 2003); Чорноморському регіональному симпозіумі з прикладного електромагнетизму (Греція, 1996); III, IV, VI-му міжнародних семі-нарах “Прямі та обернені задачі в теорії електромагнітних і акустичних хвиль” (Львів-2000, Тбілісі-2001, Львів-2003).

Матеріали дисертаційної роботи доповідалися на загальноінститутському семі-нарі ІППММ НАН України, на семінарі факультету прикладної математики та інформатики Львівського державного університету, на семінарі кафедри чисельних методів математичної фізики факультету кібернетики Київського університету ім. Тараса Шевченка. В цілому дисертаційна робота доповідалася на семінарі відділу числових методів математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки i математики ім. Я.С. Пiдстригача НАН України, на семінарі кафедри основ радіо-техніки Харківського національного університету радіоелектроніки, на семінарі відділу теоретичної радіофізики Радіоастрономічного інституту НАН України.

Особистий внесок здобувача. Усі теоретичні й практичні результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи й виносяться на захист, одержані автором самостійно та опубліковані у двох моноґрафіях [1, 2], 12 одноосібних наукових працях та в 25 працях, опублікованих у співавторстві. У монографії [1] автором написані 8 розділів (2 - 7, 9, 10), параграфи 1, 34; крім того, автор брав участь у написанні параграфів 2, 3. У спільних працях [3, 5 - 9, 11, 20, 25, 27, 28, 33 – 35, 38] авторові належать постановки та методи розв’язання задач, вивід основних рівнянь та співвідношень, аналіз результатів та формулювання висновків. Співавтори брали участь у проведенні числових експериментів та в аналізі резуль-татів. У спільних роботах [13, 15 - 17, 21, 26, 31, 36, 37] з аспірантами (Анохін В.Є., Паснак (Клакович) Л.М.) автору належать постановки задач, ідеї методів, участь в аналізі основних результатів та формулюванні висновків.

Публікації. Результати дисертації опубліковано у двох монографіях та в 45 статтях у наукових журналах і збірниках наукових праць та більш ніж у 40 матеріалах і тезах симпозіумів і конференцій. З них 34 статті опубліковано у наукових фахових виданнях ВАК України, серед них 12 одноосібних.

Структура та об’єм роботи. Дисертація складається із вступу, восьми розділів і висновків, викладених на 299 сторінках та ілюстрованих 62 рисунками (47 окремих сторінок) i 7 таблицями (6 окремих сторінок); списку використаних джерел (350 найменувань, 33 с.) та додатку (5 с.). Загальний обсяг роботи – 390 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету й задачі досліджень, висвітлено наукову новизну та практичну значимість отриманих результатів. Наведено відомості про апробацію роботи та публікації.

У першому розділі на підставі аналізу літературних джерел окреслено основні етапи розвитку математичного моделювання випромінюючих систем, визначено нерозв’язані проблеми синтезу випромінюючих систем за неповними вхідними даними.

У другому розділі подано основні принципи та фундаментальні положення, які використовуються при побудові математичних моделей різних типів випроміню-ючих систем, в основу яких покладено рівняння Максвелла. Розглянуто випадки, коли випромінююча система розміщена в деякій обмеженій області необмеженого однорідного ізотропного середовища. Висвітлено особливості побудови математич-них моделей дискретних випромінюючих систем. Наведено основні співвідношення загальних розв’язків задач аналізу, які пов’язують асимптотику випромінюваного електромагнітного поля на безмежності з розподілом струмів (полів) у випроміню-ючій системі, і є основою для формулювання математичних моделей оптимального синтезу різних типів випромінюючих систем у вигляді обернених задач. Визначено основні напрямки наукових досліджень та основні методи, які застосовуються при розв’язуванні поставлених проблем.

Третій розділ присвячено побудові математичних моделей синтезу випромі-нюючих систем у вигляді варіаційно поставлених нелінійних обернених задач при застосуванні різних за точністю математичних моделей аналізу. В основу поста-новок задач покладено використання відсутності вимог до фазової ДН, як додаткової можливості для покращення якості апроксимації заданої амплітудної ДН. У загальному випадку, абстрагуючись від конкретного типу випромінюючої системи, зв’язок між функцією розподілу струмів у випромінюючій системі, та породжува-ною ним діаграмою напрямленості , записано за допомогою лінійного оператора : , що діє з деякого гільбертового простору , якому належать функції розподілу струмів (полів), у простір комплекснозначних неперервних функцій , якому належить клас реалізовних ДН. Вигляд і властивості оператора визнача-ються типом і геометрією випромінюючої системи.

У найпростішому випадку задача синтезу антени за заданою амплітудною ДН може бути сформульована як задача знаходження розв’язків нелінійного операторного рівняння . У поставленій таким чином задачі, як правило, порушуються всі умови коректності за Адамаром. На підставі цього у роботі розглядаються варіаційні постановки задач синтезу, які крім вимог до основних характеристик ДН містять вимоги до амплітудно-фазового (амплітудного чи фазового) розподілів джерел збудження в антені. Покладається, що оператор є або ізометричним (зберігає скалярний добуток і породжувану ним норму ), або – цілком неперервним. Перша властивість характерна для операторів, що описують ДН лінійних і плоских антен та еквідистантних антенних решіток. У цьому випадку задача синтезу полягає у знаходженні такого , який мінімізує функціонал

. (1)

Оскільки є ізометричним оператором, то функціонал містить вимоги не тільки до близькості заданої і синтезованої ДН, але й накладає обмеження на вели-чину енергії, яка випромінюється за межі головної пелюстки ДН, та на норму . Причому мінімізація еквівалентна максимізації функціонала

. (2)

На підставі властивості ізометричності функціонал зводиться до еквівалентного йому функціонала

, (3)

в якому область визначення функцій звужена до компактної області або .

Дослідження розв’язків поставлених задач, їх кількості і властивостей та чисельне знаходження розв’язків у подальшому ґрунтуються на дослідженні й чисельному розв’язуванні відповідних рівнянь Ейлера для цих функціоналів. Зокрема, рівняння Ейлера функціонала у просторі має такий вигляд:

, (4)

а рівняння відносно синтезованої ДН приймає форму

. (5)

Існування точок мінімуму функціонала і відповідно розв’язків рівнянь (4), (5) випливає з доведених теореми 3.1 та наслідку 3.1.

Теорема 3.1. Нехай є лінійним неперервним оператором із у відносно рівномірної метрики простору , а задана амплітудна ДН – дійсна додатна (невід’ємна) неперервна на області функція.

Тоді в просторі існує хоч би одна точка абсолютного мінімуму функціонала (3) і з будь-якої мінімізуючої послідовності можна виділити підпослідовність, яка слабко збігається до однієї з точок абсолютного мінімуму.

Тут – простір неперервних в області функцій, оснащений відповідно скалярним добутком.

Наслідок 3.1. Оскільки функціонал диференційовний на за Гато і є зростаючим та згідно з теоремою 3.1 має хоч би одну точку абсолютного мінімуму, то з необхідної умови мінімуму функціонала випливає, що рівняння (4) у просторі і рівняння (5) у просторі мають принаймні по одному розв'язку.

Встановлено взаємно однозначну відповідність між розв’язками рівнянь (4) та (5). При цьому за розв’язками рівняння (5) оптимальний розподіл струмів у випро-мінюючій системі визначається за формулою .

У випадку цілком неперервних операторів (ця властивість оператора характерна для різних типів антен і решіток, якщо їх ДН розглядаються в області видимих кутів) для синтезу різних типів випромінюючих систем застосовується згладжуючий функціонал

, (6)

де – параметр регуляризації. У функціонали (1), (6) можна ввести відповідним чином вагові функції для регулювання степені наближення модулів заданої і синтезованої ДН у різних кутових напрямках. Існування точок мінімуму функціонала , визначеного згідно з (6), стверджує

Теорема 3.2. Нехай лінійний оператор діє з комплексного гiльбертового простору у комплексний простір неперервних функцій і є цілком неперервним відносно рівномірної метрики простору , а задана ДН дійсна додатна (невід'ємна) й неперервна на функція.

Тоді в існує хоч би одна точка абсолютного мінімуму функціонала і з будь-якої мінімізуючої послідовності можна виділити підпослідовність, яка слабко збігається до однієї з точок абсолютного мінімуму.

Рівняння Ейлера функціонала у просторі набуває вигляду

, (7)

а відповідне йому рівняння відносно синтезованої ДН приймає форму

. (8)

Із теореми 3.2 випливає

Наслідок 3.2. Оскільки функціонал є диференційовним на за Гато та зростаючим і згідно з теоремою 3.2 має хоч би одну точку безумовного мінімуму, то з необхідної умови мінімуму функціонала випливає, що рівняння (7) у просторі і рівняння (8) у просторі мають принаймні по одному розв'язку.

У випадку, коли ДН випромінюючої системи має дві складові , , тобто

, (9)

то за критерії оптимізації використовуються такі функціонали:

, (10)

. (11)

Якщо за критерій оптимізації використовується функціонал (10), то задача знаходження його точок мінімуму зводиться до знаходження розв’язків рівняння

(12)

у просторі . Рівняння відносно векторної ДН у просторі має вигляд

. (13)

Рівняння Ейлера функціонала у просторі набуває такої форми:

, (14)

а відповідне йому рівняння відносно синтезованої ДН має вигляд

. (15)

Доведено відповідні теореми існування точок абсолютного мінімуму функціо-налів (10), (11). Як наслідок з цих теорем випливає існування принаймні одного розв’язку рівнянь (12), (13), стосовно функціонала (10), та рівнянь (14), (15), стосов -но функціонала (11).

У прикладних застосуваннях важливе значення мають змішані задачі синтезу, у яких з метою спрощення практичної реалізації одержаних розв’язків задаються вимоги до амплітудної або фазової ДН та до амплітудного або фазового розподілів струмів (полів) у випромінюючій системі, а шуканими є решта характеристик ДН i розподілу струму на антені. Зокрема, в задачах фазового синтезу вважаються заданими амплітудна ДН та амплітуда струму , а шуканими є фазова ДН або , тобто задача фазового синтезу полягає в знаходженні функцій або , які мiнiмiзують функціонал (3) або максимізують функціонал типу (2).

Складніший клас нелінійних задач синтезу становлять задачі з невідомою геометрією випромінюючої системи. У цьому випадку оператор нелінійно залежить від функції випромінюючої поверхні : . В основу постановок таких задач синтезу покладаються функціонали типу (1), (6) з додатковими обмеженнями на функцію :

, (16)

де – функціонал, який визначає вимоги до геометрії випромінюючої системи.

При синтезі дискретних випромінюючих систем – антенних решіток застосо-вуються різні за точністю математичні моделі. У першій з них (спрощеній моделі) покладається, що для ДН решітки є справедливою теорема перемноження ДН, тобто синтезується решітка із точкових випромінювачів. Друга модель, яка дозволяє вра-ховувати взаємний вплив випромінювачів, ґрунтується на розв’язуванні відповідної граничної задачі високочастотної електродинаміки для багатозв’язних областей і зводиться до розв’язування відповідної системи граничних інтеґральних рівнянь. У цьому випадку поверхневі струми на випромінювачах пов’язані з джерелами їх збудження системою лінійних інтеґральних рівнянь першого або другого роду, де під розуміємо лінійний матричний інтеґральний оператор. Якщо існує обмежений оператор , то , а ДН решітки набуває вигляду

(або ), (17)

де під розуміємо оператор відповідної регуляризованої системи у випадку, коли є системою інтеґральних рівнянь першого роду. Задача амплітудно-фазового синтезу решітки при врахуванні взаємного впливу її елементів та

співвідношення полягає у мінімізації функціоналів типу (10), (11).

Задача синтезу за заданою ДН за потужністю сформульована, як задача мінімі-зації функціонала

(18)

на просторі . Тут перший доданок характеризує середньоквадратичне відхилення заданої і синтезованої ДН за потужністю, а другий накладає обмеження на норму струмів, що протікають у випромінюючій системі. Існування хоч би однієї точки мінімуму функціонала у просторі стверджує

Теорема 3.5. Нехай лінійний оператор діє з простору у і є цілком неперервним відносно рівномірної метрики простору , задана не-від’ємна неперервна на функція, причому .

Тоді у просторі існує хоч би одна точка абсолютного мінімуму функ-ціонала і з будь-якої мінімізуючої послідовності можна виділити підпослідовність, яка збігається слабко до однієї з точок абсолютного мінімуму.

Рівняння Ейлера функціонала у просторі має вигляд

(19)

і є нелінійним операторним рівнянням типу Гаммерштейна. Рівняння відносно синтезованої ДН у просторі приймає форму

. (20)

Показано, що функціонал має властивість, тобто точка мінімуму функціонала є внутрішньою точкою деякої опуклої слабко замкненої множини з простору . На підставі цього та теореми 3.5 випливає, що рівняння (19) у просторі й рівняння (20) у просторі мають принаймні по одному розв’язку.

Таким чином, у цьому розділі сформульовано варіаційні постановки нелінійних обернених задач за заданою амплітудною ДН або ДН за потужністю, які сумісно з відповідними моделями аналізу випромінюючих систем становлять собою матема-тичні моделі синтезу різних типів випромінюючих систем. Одержано на загальному (операторному) рівні основні рівняння синтезу, існування розв’язків яких випливає з доведених теорем. Розгорнуту форму рівнянь синтезу у відповідних функціональних просторах одержуємо, визначаючи вигляд і властивості операторів та для конкретної випромінюючої системи, зокрема.

Четвертий розділ присвячено розв’язанню проблеми неєдиності розв’язків нелінійних задач синтезу випромінюючих систем за неповними вхідними даними. Тут на прикладі задачі синтезу лінійної антени у різних варіаційних постановках (1), (6), (18) досліджується загальна структура розв’язків, їх кількість та властивості залежно від величини фізичних параметрів випромінювача та властивостей заданої амплітудної ДН або ДН за потужністю. У цьому випадку оператор визнача-ється формулою

, (21)

де – узагальнена кутова координата, – кут, у якому задана амплітудна ДН , – характерний параметр задачі, – хвильове число у вакуумі. У постановці (1) функція продовжується аналітично на всю дійсну вісь , а . При цьому оператор в рівності (21) є ізометричним. У постановці (4) синтезована ДН розглядається лише в області видимих кутів або на деякому відрізку цієї області. У цих випадках основні рівняння синтезу (5), (8) набувають вигляду

, (22)

, (23)

відповідно, де .

Показано, що рівняння (22), (23) мають такі важливі властивості:

1о. Якщо , – розв’язки рівнянь (22), (23), відповідно, то комплексно-спряжені функції , – також розв'язки цих рівнянь.

2о. Якщо , – розв’язки рівнянь (22), (23), відповідно, то , – також розв'язки рівнянь (22), (23), де – довільна дійсна константа.

3о. Для парних функцій нелінійні оператори , , які входять у праві частини рівнянь (22), (23), відповідно, переводять парні фазові ДН у парні, а непарні – в непарні, тобто оператори , є інваріантними відносно типу парності функцій .

Встановлено, що число екстремумів досліджуваних функціоналів і відповідно число розв’язків рівнянь Ейлера (22), (23) тісно пов’язані з властивостями заданої ДН та величиною фізичного параметра . Характерною властивістю цих рівнянь є галуження їх розв’язків. Показано та обґрунтовано, що в прийнятих вище припущеннях кожне з рівнянь (22), (23) має по два розв’язки у просторах дійсних неперервних функцій, які названі первинними. Такі розв’язки , для рівняння (22) записані у замкненому вигляді, причому переходить через нуль у деякій точці . Первинні розв’язки , рівняння (23) знайдено у вигляді рядів за сфероїдними функціями. Тут і нижче для позначення розв’язків рівняння (23) використано символ “”.

Показано, що первинні (дійсні) розв’язки рівнянь (22), (23) можуть бути ефек-тивними (у розумінні мінімуму функціоналів та ) лише за порівняно невеликих значень параметра . З ростом від первинних відгалужуються комплексні розв’язки, які є ефективнішими від первинних. Точками можливого галуження первинних розв’язків першого типу , є такі значення параметра , при яких лінійні однорідні інтеґральні рівняння

, (24)

, (25)

одержані на підставі рівнянь (22), (23), мають відмінні від тотожного нуля й від , розв’язки, відповідно. Таким чином, задача про знаходження точок галуження зводиться до задачі на власні значення з нелінійним спектральним параметром. Власні функції рівнянь (24), (25) використовуються при побудові відгалужених роз-в’язків. Показано, що для первинних розв’язків першого типу існують точки галу-ження двох типів. У точках галуження першого типу ( ) кратність одиничного власного значення дорівнює двом, що відповідає двовимірному випад-ку галуження. Для знаходження відгалужених розв’язків побудовані відповідні сис-теми найпростіших інтеґральних рівнянь типу Ляпунова-Шмідта. На основі методу діаграми Ньютона встановлено, що у точках типу , ( ) від первинних розв’язків , ( ) відгалужуються по два комплексно-спряжені між собою розв’язки, які, зокрема, для рівняння (22) у першому наближенні при мають вигляд

, (26)

де – малий параметр, – функції, які знаходяться із системи найпростіших інтеґральних рівнянь типу Ляпунова-Шмідта, , , – визначаючі коефіцієнти рівняння розгалуження, – власна функція рівняння (24). Аналогічні