Міністерство освіти і науки України

Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова

Сиваш Світлана Борисівна

УДК 517.958

МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ З ЕКСТРЕМАЛЬНОЮ

ГРАНИЧНОЮ УМОВОЮ

01.01.02-диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Одеса - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Одеському національному морському університеті на кафедрі “Вища і прикладна математика”.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Тихоненко Микола Якович, завідувач кафедри математичного забезпечення комп’ютерних систем Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова. |

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Черський Юрій Йосипович, Одеська державна академія будівництва і архітектури, професор кафедри вищої математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Свяжина Наталія Миколаївна, Одеський державний економічний університет, доцент кафедри математичних методів аналізу економіки.

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, відділ диференціальних рівнянь і теорії коливань, м. Київ. |

Захист дисертації відбудеться “ 17 ? ?червня? 2005 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої ради K41.051.05 при Одеському національному університеті ім. І.І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянська, 2, аудиторія 73.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24.

Автореферат розісланий “05” травня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради |

Вітюк О.Н. |

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Широке коло прикладних задач науки і техніки приводить до пошуку розв’язків задач мінімізації квадратичних функціоналів. Зокрема, задачі мінімізації квадратичних функціоналів

(1)

з операторами згортки

(2)

часто зустрічаються в теорії механізмів, лінійних електричних та радіотехнічних ланцюгів, оптимальних фільтрів, систем регулювання. Некоректні задачі для лінійних рівнянь також приводяться до розв’язку задач мінімізації квадратичних функціоналів: функціоналів нев’язки () або регуляризуючих функціоналів Тихонова А.М.

, (3)

де – параметр регуляризації. Методами регуляризації було розв’язано широке коло задач математичної фізики, астрофізики, задач відновлення сигналів та інш. Часткові випадки екстремальної задачі (), (2) вивчались, починаючи з робіт Н. Вінера . Потім дослідження таких задач були продовжені у роботах А. Штайнера, М.Г. Крейна, А.Я. Нудельмана, Ю.Й. Черського, Ю.О. Григор’єва та інш. Перевизначені та недовизначені задачі математичної фізики, що мінімізують функціонали нев’язки (), вивчались у роботах С.Г. Крейна, С.Я. Львіна, Ю.Й. Черського. В їх роботах розглядались екстремальні задачі для рівняння Лапласа. В цих роботах не були розглянуті крайові задачі з екстремальною граничною умовою для інших рівнянь математичної фізики.

Як відомо, екстремальні задачі допускають розв’язки у явному вигляді лише в деяких часткових випадках. Тому побудова та обґрунтування методів наближеного розв’язання екстремальних задач являє собою проблему, яка має значний теоретичний та вагомий практичний інтерес.

Дисертаційна робота присвячена опису класу крайових задач для лінійних рівнянь математичної фізики з екстремальною граничною умовою, що зводяться до дослідження матричної задачі Рімана на дійсній осі, їх теоретичному дослідженню, а також розробці та обґрунтуванню методів їх наближеного розв’язання, що і обумовлює актуальність її теми.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано на кафедрі “Вища і прикладна математика” Одеського національного морського університету в рамках теми “Геометричні та аналітичні методи та їх застосування”, що входить до координаційного плану Міністерства освіти та науки України.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є:

- опис класу крайових задач для лінійних рівнянь математичної фізики з екстремальною граничною умовою, що зводяться до розв’язання матричної задачі Рімана на дійсній осі;

- дослідження розв’язності та побудова розв’язків таких крайових задач;

- побудова та теоретичне обґрунтування ефективних методів наближеного розв’язання крайових задач описаного класу.

При цьому при обґрунтуванні отриманих у дисертаційній роботі результатів використовувались сучасні ефективні методи деяких розділів рівнянь математичної фізики, екстремальних задач, функціонального аналізу, перетворення Фур’є, теорії крайових задач для аналітичних функцій, теорії функцій комплексної змінної та конструктивної теорії функцій, а також загальної теорії наближених методів.

Наукова новизна роботи. В роботі:

- досліджено крайові задачі для рівнянь Лапласа та Гельмгольца в півплощині з екстремальною умовою на границі;

- досліджено крайові задачі для бігармонічного рівняння в смузі та в півплощині з екстремальною умовою на границі;

- розв’язано початково-крайову задачу для рівняння теплопровідності з екстремальною умовою на границі;

- описано клас крайових задач для лінійних рівнянь математичної фізики з екстремальною умовою на границі, що зводяться до розв’язання матричної задачі (вимірності 3) Рімана на дійсній осі;

- обґрунтовано проекційні методи наближеного розв’язання нормального та виняткового випадків матричної задачі Рімана на дійсній осі з непозитивною системою часткових індексів;

- запропоновано та обґрунтовано метод наближеного розв’язання крайових задач для лінійних рівнянь математичної фізики з екстремальною умовою на границі, які зводяться до розв’язання матричної задачі Рімана на дійсній осі.

Практичне значення наукових результатів. Отримані в дисертаційній роботі результати носять в основному теоретичний характер. Вони та методика їх одержання можуть бути використані при дослідженні інших крайових задач для лінійних рівнянь математичної фізики з екстремальною граничною умовою, екстремальних задач з операторами згортки, при розробці та обґрунтуванні методів наближеного розв’язання вказаних крайових задач для рівнянь математичної фізики та екстремальних задач з операторами згортки, що зводяться до розв’язання граничних задач теорії аналітичних функцій на дійсній осі. Крім цього, вони можуть бути використані при розв’язанні конкретних прикладних задач математичної фізики, теорії пружності та термопружності, теплопровідності, астрофізики, лінійних електричних та радіотехнічних ланцюгів, побудови оптимальних фільтрів та інш..

Особистий вклад здобувача. Всі результати дисертаційної роботи, що виносяться на захист, отримано особисто автором дисертації.

Апробація роботи. Результати, які представлено у дисертаційній роботі, по мірі їх отримання доповідались та обговорювались на наступних наукових конференціях та семінарах: Всеукраїнській конференції "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування" (1996р. – Чернівці), V Міжнародній конференції ім. ак. Кравчука (1998р. – Київ), VII, VIII, IX Міжнародних симпозіумах "Метод дискретних особливостей в задачах математичної фізики" (1997р. – Феодосія, 1999р. – Херсон, 2000р. – Орел), Міжнародній конференції "Сучасні проблеми математики" (1998р. – Чернівці), Міжнародній конференції з математичного моделювання (1998р. – Херсон), Міжнародній конференції "Теорія обчислень" (1999р. – Київ), Міжнародній конференції "Диференціальні та інтегральні рівняння" (2000р. – Одеса), на щорічних звітних наукових конференціях професорсько-викладацького складу Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова (1994-1998р.р.), загальноміських (м. Одеса) наукових семінарах "Рівняння типу згортки" (науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор Ю.Й. Черський), "Загальна теорія наближених методів "(науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор М.Я. Тихоненко).

Публікації. За результатами, одержаними в дисертаційній роботі, опубліковано 9 наукових праць.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, розбитих на 11 підрозділів, висновків, списку використаних джерел, який містить 74 найменування, та становить 147 сторінок електронного набору.

Основний зміст роботи.

У першому розділі дано огляд літератури за темою дисертаційної роботи, а також за суміжними питаннями. Крім цього, наведено приклади крайових задач, що раніше не розглядались, для лінійних рівнянь математичної фізики з екстремальною умовою на границі, які зводяться до розв’язання матричної задачі Рімана (вимірності 3) на дійсній осі.

У другому розділі дисертаційної роботи розглянуто крайові задачі з екстремальною умовою для рівнянь Лапласа та Гельмгольца у півплощині, бігармонічного рівняння у смузі і півплощині та рівняння теплопровідності. Зокрема

Задача 1. Знайти у верхній півплощині функцію u(x, y), яка задовольняє рівнянню

(4)

та умовам

, (5)

(6)

де g(x), – відомі функції, а , , , – відомі сталі, що задовольняють умовам , , , .

Дослідження крайової задачі (4) - (6) зводиться до розв’язання задачі Рімана

, , (7)

де E = diag; 1; 1}, ,

, ,

, (8)

де , – перетворення Фур’є функцій g(x), h(x); (), j=1,2,3, – невідомі функції, що аналітично продовжуються у верхню (нижню ) півплощину. При цьому розв’язки крайової задачі (4) – (6) виражаються через розв’язки задачі Рімана (7) наступним чином

, , , (9)

, . (10)

Також показано, що побудова розв’язків задачі знаходження у верхній півплощині функції u(x, y), яка задовольняє рівнянню (4) та умовам

, , (11)

(12)

зводиться до дослідження відповідної задачі Рімана на R.

Для рівняння Гельмгольца

(13)

розглянуто крайові задачі з умовами (5), (6) та з умовами (11), (12) і показано, що побудова їх розв’язків зводиться до побудови розв’язків відповідних задач Рімана на дійсній осі.

Задача 2. Знайти в області , функцію u(x, y), яка задовольняє рівнянню

, (14)

та умовам

, , , , (15)

, , (16)

. (17)

Крайова задача (14) – (17) також зводиться до розв’язання відповідної матричної задачі Рімана.

Розглянуто також крайову задачу для рівняння (14) в області , і показано, що вона також зводиться до розв’язання відповідної задачі Рімана на дійсній осі.

Задача 3. Знайти функцію u(x, t), яка задовольняє рівнянню

, (18)

при -<t<, 0<x< та умовам

u(0, t) = q(t) ,?t<0 , (19)

(20)

де g(t), h(t), q(t) – відомі функції.

Розв’язання початково-крайової задачі (18) – () зводиться до розв’язання задачі Рімана

(t) B(t) F+(t) – E F-(t) = b(t) ,?tR , (21)

де

, E = diag; 1; 1}, , (22)

а матриця B(t) та вектормають відповідну структуру.

При цьому розв’язки початково-крайової задачі (18) – (20) виражаються через розв’язки задачі Рімана (21) за формулою

, , , (23)

де

, , , (24)

. (25)

Описано також клас крайових задач з екстремальною граничною умовою, які зводяться до розв’язання матричної задачі Рімана третього порядку на дійсній осі. Цей клас задач повинен задовольняти умовам:

а) область задається у площині XoY і всі частини її границі повинні складатись з прямих y = const. ;

б) рівняння повинно бути лінійним з коефіцієнтами, які не залежать від змінної x, а також може бути неоднорідним та будь-якого типу (в тому числі змішаного).

в) крайові умови в області, границя якої задається на прямих , s = , , можуть мати вигляд

,

де– відомі сталі, а числа r, P, Q залежать від порядку рівняння; – відомі функції. Крім цього, на одній із прямих задається неповна крайова умова

(або, (26)

де fs(x) – відома функція. Зауважимо, що крайові умови можуть бути як однорідними, так і не однорідними.

г) екстремальна умова задається на підставі неповної крайової умови ().

Третій розділ присвячено дослідженню крайових задач, сформульованих у другому розділі.

Теорема 1. Крайова задача (4) – (6) є нетеровою тоді й тільки тоді, коли виконується одна з умов

, (27)

. (28)

Теорема 2. Нехай виконується умова () або умова () і функції g(t),?h(t)L2[0;-2]. Тоді однорідна (g(x)=h(x)0) крайова задача (4) – (6) має лише тривіальний розв’язок, а неоднорідна крайова задача (4) – (6) розв’язна і має єдиний розв’язок, який визначається за формулами (9), (10), якщо перетворення Фур’є G+(x), H+(x) відповідно функцій g(x), h(x) задовольняють умовам розв’язності задачі Рімана (7).

Якщо умови (), () не виконуються, то у цьому випадку det B(x), де B(x) – коефіцієнт задачі Рімана (7), в точках x1= - k, x2= k має нулі другого порядку. У цьому випадку щодо розв’язності крайової задачі (4) – (6) має місце твердження, аналогічне теоремі 2.

Проведено також повне дослідження крайової задачі (13), (5), (6) для рівняння Гельмгольца у півплощині.

Теорема 3. Крайова задача (13), (5), (6) є нетеровою тоді й тільки тоді, коли виконується одна із умов .

Проведено також повне дослідження крайової задачі (14) – (17) для бігармонічного рівняння у смузі.

Оскільки визначена формулою () матриця B(t) являється аналітично продовжуваною в область D+, то це дало змогу побудувати точні розв’язки початково-крайової задачі (18) – (20). Показано, що початково-крайова задача (18) – (20) не являється нетеровою.

Теорема 4. Нехай функції. Тоді початково-крайова задача (18) – (20) безумовно розв’язна та має у просторі L2[0;-2] єдиний розв’язок, який будується за формулами (23) – (25).

Побудовано також розв’язки початково-крайової задачі (18) – (20) при інших значеннях параметрів

З наведеного випливає, що дослідження розглянутих у дисертаційній роботі крайових задач з екстремальною граничною умовою проводиться на основі дослідження відповідних задач Рімана на дійсній осі. В дисертаційній роботі розроблено метод, за допомогою якого дослідження задачі Рімана з розривним коефіцієнтом (наприклад, елементи матриці (8) мають розриви першого роду на нескінченності) зводиться до дослідження задачі Рімана з неперервним коефіцієнтом. Розроблено також метод виділення особливостей коефіцієнтів задач Рімана у їх виняткових випадках. Крім цього, в дисертаційній роботі розроблено метод визначення часткових індексів матриць-функцій наведеного типу. Це дало змогу з повною вичерпаністю побудувати теорію розв’язності відповідних матричних задач Рімана на дійсній осі і на основі цього побудувати теорію розв’язності розглянутих у дисертаційній роботі крайових задач з екстремальною граничною умовою, а також побудувати їх розв’язки у квадратурах.

У четвертому розділі обґрунтовано методи Гальоркіна та колокацій наближеного ?розв’язання нормального та виняткового випадків матричної задачі Рімана на дійсній осі, коли вона має систему непозитивних часткових індексів. Доведена здійснюємість цих методів та збіжність наближених розв’язків задачі Рімана до її точних розв’язків, а також встановлені оцінки похибки її наближених розв’язків у залежності від конструктивних властивостей її коефіцієнтів. На цій основі запропоновано метод наближеного розв’язання розглянутого класу крайових задач з екстремальною граничною умовою. Ефективність запропонованого методу була перевірена чисельним експериментом на прикладі крайової задачі (4) – (6). Результати чисельного експерименту добре узгоджуються з теоретичними висновками.

Висновки

В дисертаційній роботі:

1. Досліджено крайові задачі для рівняння Лапласа та Гельмгольца у півплощині з екстремальною умовою на границі, а також крайові задачі для бігармонічного рівняння у смузі та у півплощині з екстремальною умовою на границі.

2. Розв’язано початково-крайову задачу для рівняння теплопровідності з екстремальною умовою на границі.

3. Описано клас крайових задач для лінійних рівнянь математичної фізики з екстремальною умовою на границі, які зводяться до розв’язання матричної задачі (вимірності 3) Рімана на дійсній осі.

4. Обґрунтовано проекційні методи (метод Гальоркіна та метод колокацій) наближеного розв’язання нормального та виняткового випадків матричної задачі Рімана на дійсній осі з непозитивною системою часткових індексів.

5. Запропоновано та обґрунтовано метод наближеного розв’язання описаного класу крайових задач для лінійних рівнянь математичної фізики.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Рухлина С.Б. Исследование одного класса ?экстремальных задач для уравнений с частными ?производными // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т.38, №1. - С. 102-110.

2. Рухлина С.Б. Об экстремальных задачах для бигармонического уравнения в полосе // Cб. "Крайові задачі для диференціальних рівнянь". - Київ: Ін-т матем. НАН України. - 1998. - Вип.2. - С. 240-249.

3. Рухлина С.Б. Приближенное решение смешанных экстремальных задач для эллиптических уравнений в полуплоскости // Сб. "Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и их приложения". - Киев: Ин-т матем. НАН Украины. - 1997. - С. 170-173.

4. Рухліна С.Б. До наближеного розв’язання матричної задачі Рімана на дійсній осі у винятковому випадку // Сб. "Теорія обчислень". - Київ: Ін-т кібернетики НАН України. - 1999. - С. 308-311.

5. Рухлина С.Б. К приближенному решению матричной задачи Римана на вещественной оси в случае неположительной системы её частных индексов // Сб. "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения". - Киев: Ин-т матем. НАН Украины. - 1998. - С. 180-182.

6. Рухлина С.Б. К приближенному решению экстремальной задачи для уравнения теплопроводности // Сб. "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения". - Киев: Ин-т матем. НАН Украины. - 1999. - С. 210-213.

7. Рухлина С.Б. К приближенному решению экстремальной задачи для уравнения Лапласа в полуплоскости // Тезисы докл. Междун. конф. "Диференціальні та інтегральні рівняння". - Одесса: АстроПринт. - 2000. - С. 244-245.

8. Рухлина С.Б. О нётеровости экстремальной задачи для уравнения теплопроводности // Матеріали Міжнар. конф. "Сучасні проблеми математики". - Частина 2. - Чернівці-Київ: Ін-т матем. НАН України. - 1998. - С. 269-272.

9. Рухлина С.Б. Приближенное решение экстремальной задачи теплопроводности // Труды IX Междун. симпоз. "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". - Орел: ОГУ. - 2000. - С. 382-385.