НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ

ТЕМПЕРАТУР ім. Б. І. ВЄРКІНА

На правах рукопису

СОКОЛОВ Святослав Сергійович

УДК 532.516; 538.935;

538.941

Енергетичний спектр та кінетичні властивості низьковимірних електронних систем над рідким гелієм

(01.04.09 – Фізика низьких температур)

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків – 2005 р.

Дисертація є рукопис.

Робота виконана в Фізико-техничному інституті низьких температур

ім. Б. І. Вєркіна НАН України, м. Харків

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник

Слюсаренко Юрій Вікторович

(Національниий Науковий центр “Харківський фізико-

технічний інститут”, начальник відділу);

доктор фізико-математичних наук, професор

Колесніченко Юрій Олексійович

(Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б. І. Вєркіна

НАН України, завідуючий відділом);

доктор фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник

Нємченко Костянтин Едуардович

(Харківський Національний університет ім. В. Н. Каразіна,

професор кафедри теплофізики і молекулярної фізики).

Провідна установа: Інститут фізики НАН України, відділ фізики магнітних явищ.

Захист відбудеться 26.04. 2005 р. о 15 годині на засіданні Спеціалізованої вченої ради Д 64.175.02 при Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України (61103, м. Харків, пр. Леніна, 47).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці ФТІНТ ім. Б. І. Вєркіна НАН Украіни, 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розіслано 25.03. 2005 р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук

Ковальов О. С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Електрони, локалізовані на поверхні рідкого гелію, утворюють квазідвовимірні (Q2D) і квазіодновимірні (Q1D) системи, вивчення властивостей яких в останні десятиліття стало, по суті справи, окремим напрямком у фізиці низьких температур [1,2]. Інтерес до проведення теоретичних і експериментальних досліджень в області поверхневих електронів (ПЕ) у гелії є обумовлений декількома обставинами. Ці системи вільні від домішок. Завдяки близькості діелектричної сталої гелію до одиниці () середня відстань електронів від поверхні рідини складає см, їхню взаємодію з гелієвою підкладкою в більшості випадків можна розглядати як мале збурювання. Енергетична щілина між основними і першим збудженими рівнями для руху в напрямку, перпендикулярному поверхні рідини, помітно перевищує характерні температури рідкого гелію. Це дозволяє розглядати систему ПЕ як дворівневу систему, що робить її кандидатом на роль кубіта у проблемі квантового комп'ютера. Концентрація електронів може змінюватися в широких границях, при цьому співвідношення між кінетичною енергією і потенційною енергією взаємодії зарядів змінюється настільки сильно, що в розглянутих системах виявляється можливим існування не тільки неупорядкованого (газового), але і кристалічного станів [2,3].

Специфіка дослідження кінетичних властивостей ПЕ над рідким гелієм обумовлена тим, що при температурах нижче 1 К для поверхневих електронів основними виявляються їхні взаємодії з капілярними хвилями на поверхні гелію (риплонами) і неоднорідностями дна плівки гелію. Крім того, у випадку плівки гелію істотним виявляється екранування кулонівської взаємодії електронів, що є незначним над масивною рідиною. Це дозволяє за допомогою поверхневих електронів досліджувати плазмові ефекти в низьковимірних заряджених системах в умовах як практично неекранованої, так і сильно екранованої кулонівської взаємодії [3]. При цьому, при вивченні Q1D систем ПЕ над скривленою поверхнею на їх кінетичних і плазмових властивостях визначальним образом позначається те, що рух не тільки перпендикулярно поверхні рідини, але і поперек провідного каналу виявляється квантованим. Особливості, що їх перелічено, істотно збагачують відомості щодо кінетичних явищ в системах ПЕ, але обчислювальні труднощі тривалий час не дозволяли виконати систематичні теоретичні дослідження цих явищ і провести докладне порівняння з експериментальними даними, що існують.

Наявність великої кількості невирішених цікавих проблем і ідей робить важливим й актуальним систематичне теоретичне дослідження кінетичних явищ у низьковимірних системах зарядів над рідким гелієм, що складає зміст даної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, напрямами, темами

Робота підготовлена і виконана у відділі квантових рідин і кристалів Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України.

Дослідження, що становлять основу даної дисертації, проведені згідно з такими темами:

· “Дослідження квантових об'ємних і поверхневих явищ у рідкому і твердому гелію”, № держ. реєстрації 0195U009877;

· “Кінетичні і релаксаційні процеси в квантових рідинах і кристалах при наднизьких температурах”, № держ. реєстрації 0196U002949;

· “Дослідження нових квантових систем у рідкому і твердому гелію при наднизьких температурах”, № держ. реєстрації 0100U004483;

· “Неоднорідні та низьковимірні системи в рідкому та твердому гелії”, № держ. реєстрації 0103U000331.

Мета і задачі дослідження

Кінцева мета проведених досліджень складалася в одержанні нових даних про явища, що відбуваються в системах поверхневих електронів над рідким гелієм. Для досягнення мети необхідно було вирішити такі проблеми:

одержати загальні вирази для енергій поверхневих станів електронів;

установити вид гамільтоніану взаємодії поверхневих електронів з неоднорідностями дна плівки гелію на твердій підкладці;

дослідити кінетичні властивості квазідвовимірної і квазіодновимірної електронних систем, створених з використанням властивостей поверхні гелію;

обчислити функції відгуку і вивчити колективні властивості низьковимірних багаторівневих заряджених систем;

установити закон дисперсії поверхневих коливань розчину ізотопів гелію з мікророзшаруванням і визначити рухливість поверхневих електронів, обумовлену взаємодією з цими коливаннями;

знайти параметри локалізації і дослідити транспортні властивості асиметричних поляронних станів у квазіодновимірних провідних каналах над рідким гелієм;

вирішити проблему поширення електромагнітних хвиль в експериментальній комірці, що містить шар поверхневих електронів, і з'ясувати залежність перемінного струму, що випливає з комірки, від провідності електронного шару.

Об'єкт дослідження - низьковимірні системи зарядів, що взаємодіють з надплинним гелієм.

Предмет дослідження - транспортні і плазмові явища в низьковимірних електронних системах над рідким гелієм.

Методи дослідження

У роботі застосовувались: варіаційний метод визначення енергії поверхневих електронних станів; метод рішення кінетичного рівняння для визначення рухливості електронів; метод функцій відгуку для визначення законів дисперсії плазмових мод квазідвовимірних і квазіодновимірних електронних систем; гідродинамічний метод обчислення частоти зв'язаних коливань поверхні розчину 3Не – 4Не; гідродинамічне наближення для визначення параметрів локалізації, енергії і рухливості асиметричного низьковимірного полярону на поверхні рідкого гелію; метод рішення рівнянь Максвелла для перемінного електромагнітного поля з відповідними граничними умовами з метою визначення внеску токових характеристик поверхневих електронів у хвильові процеси в експериментальній комірці.

Наукова новизна отриманих результатів

У ході виконання роботи була отримана низка нових наукових результатів, що мають принципово важливе й істотне значення для розуміння кінетичних і колективних явищ, що відбуваються в низьковимірних системах електронів, локалізованих над рідким гелієм. Серед пріоритетних наукових результатів слід зазначити такі:

-

-

-

-

-

-

-

Рівень обгрунтування. Достовірність і обгрунтованість одержаних результатів підтверджується такими обставинами:

- результати, отримані в ході виконання дисертаційної роботи, досягнуті з використанням методів, надійність і обґрунтованість яких багаторазово підтверджені в різних галузях квантової механіки, фізичної кінетики і гідродинаміки;

- обґрунтованість отриманих рішень задач, що склали зміст роботи, підтверджується виконанням, при відповідних значеннях параметрів, граничних переходів до результатів, які раніше були отримані з використанням інших наближень;

- теоретичні результати, що їх одержано, взаємодоповнюють теоретичні результати інших авторів і підтверджуються експериментальними даними.

Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що одержані нові результати істотно розширюють наявні уявлення про властивості низьковимірних заряджених систем і про поверхневі явища в рідкому гелії. Отримані в роботі відомості про кінетичні властивості поверхневих електронів і реалізацію режиму повного контролю можуть бути використані при подальшому дослідженні транспорту електронів у різних середовищах в умовах істотного впливу електрон-електронної взаємодії. Схема одержання гамільтоніану взаємодії електрона з неоднорідностями дна плівки гелію і границь між рідкими фазами розшарованого розчину ізотопів гелію може бути використана при розгляді розсіювання зарядів довільним середовищем з нерівними границями розподілу фаз. Результати дослідження транспорту електронів у квазіодновимірних провідних каналах над рідким гелієм дають нові знання про кінетичні властивості електронної системи в умовах, коли лише один ступінь вільності відповідає поступальному рухові, а рух у двох просторових напрямках є квантованим. Дослідження плазмових властивостей багаторівневих квазідвовимірних і квазіодновимірних систем електронів розширює наявні уявлення щодо характеру колективних збуджень у низьковимірних системах зарядів із концентрацією часток, що змінюється в широких границях, перекриваючи як невироджений режим, так і режим квантового виродження. Вивчення поляронних станів електрона на поверхні гелію дало нові знання про можливості самоузгодженого квантовомеханічного і гідродинамічного опису поляронних заряджених квазічасток з різним ступенем асиметрії руху електронів. Визначення залежності вимірювального струму, що витікає з комірки, яка містить поверхневі електрони, дозволяє проводити дослідження кінетичних властивостей низьковимірних заряджених систем при різній геометрії і при довільних співвідношеннях між характерними розмірами експериментальної комірки.

Особистий внесок автора. У наукових працях по темі дисертації особистий внесок автора є визначальним. Роботи [1] і [24] виконані їм самостійно. У роботах [5-9,10-20,22,23] авторові належить постановка задачі і визначення методу її рішення. У роботах [2,3,21] автор брав участь у формулюванні проблеми і виробленню алгоритму її рішення нарівні з іншими співавторами. У роботах [4,13] автор сформулював задачу, що склала теоретичну частину роботи. Всі аналітичні обчислення в перерахованих роботах виконано автором. Він же брав безпосередню участь в аналізі й інтерпретації отриманих результатів.

Випробування результатів роботи

Основні результати роботи доповідалися: на Республіканському семінарі з фізики і техніки низьких температур (Червоний Лиман, 1989 р.), на 17-й Національній конференції з фізики конденсованого стану (Кашамбу, Бразилія, 1994 р.), на Міжнародній конференції з фізики низьких температур LT-22 (Прага, Чеська республіка, 1996 р.), на Міжнародній конференції з електронних властивостей двовимірних заряджених систем EP2DS-12 (Токіо, Японія, 1997 р.), на 20-й Національній конференції з фізики конденсованого стану (Кашамбу, Бразилія, 1997 р.), на Міжнародній конференції з фізики низьких температур LT-23 (Хельсінкі, Фінляндія, 1999 р.), на 22-й Національної конференції з фізики конденсованого стану (Сан-Лоренсу, Бразилія, 1999 р.), на Міжнародному семінарі з квантових рідин і кристалів QFS-2001 (Констанц, Німеччина, 2001 р.), на Міжнародній конференції з електронних властивостей двовимірних заряджених систем EP2DS-14 (Прага, Чеська республіка, 2001 р.), на 25-й Національній конференції з фізики конденсованого стану (Кашамбу, Бразилія, 2002 р.), на Міжнародній конференції з фізики низьких температур НТ-33 (Екатеринбург, Росія, 2003 р.), на Міжнародній конференції з фізики рідини (Київ, Україна, 2003 р.), на Міжнародному семінарі з квантових рідин і кристалів QFS-2004 (Тренто, Італія, 2004 р.), на Національній конференції NANSYS-2004 “Наносистеми: електронна, атомна будівля і властивості” (Київ, Україна, 2004 р.).

Публікації. Основні результати, що увійшли в дисертацію, опубліковано в 24 статтях у провідних наукових журналах України і зарубіжних виданнях, а також у 14 матеріалах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, сьоми розділів, висновків, заключення та списку використаних джерел (188 найменувань). Зміст роботи викладено на 309 сторінках, у тому числі 54 малюнках та 4 таблицях.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить пояснення актуальності проблеми. У ньому приведені мета та задачі дослідження енергетичного спектра і кінетичних властивостей ПЕ, наукова новизна і практичне значення отриманих результатів. У Вступі є відзначений зв'язок роботи з науковими проблемами і темами.

У першому розділі описані дослідження енергетичного спектру поверхневих електронів. Приведено основні співвідношення і наближені результати, що їх було отримано до моменту початку виконання роботи. Ці результати засновані на аналітичному рішенні хвильового рівняння для ПЕ в зневазі тими або іншими внесками до потенційної енергії електрона. Більшість результатів було отримано в наближенні нескінченно високого потенційного бар'єра, що перешкоджає проникненню електрона у середину рідкого гелію. Найбільш складною є проблема одержання аналітичних виразів для енергетичного спектру і хвильових функцій у випадку ПЕ над плівкою гелію. Згідно роботі [4], хвильове рівняння для електрона при цьому має аналітичне рішення тільки для тонкої плівки на металевій підкладці, коли можна зневажити поляризаційною взаємодією електрона з гелієм. З метою одержання загальних аналітичних виразів для енергетичного спектра ПЕ в даній роботі застосовано варіаційний метод. Використано наступні вирази для спробних хвильових функцій ПЕ, що відповідають його рухові в напрямку z, нормальному до поверхні гелію:

; , (1)

де і - варіаційні параметри. Використання (1) приводить до виразів для

Рис. 1. Залежність і від товщини плівки гелію на поверхні металу

енергій основного () і першого збудженого () станів ПЕ. Параметри й у

загальному випадку визначаються чисельно з умови мінімізації енергій і . Це дозволяє визначити і як у випадку ПЕ над масивною рідиною (), так і плівкою гелію. Залеж-ність і від у випадку плівки гелію, що покриває метал, показана на рис. 1 (суцільні лінії). Для порівняння пунктирними лініями показані відповідні залежності, обчислені в [4] з використанням виразу

; . (2)

За допомогою аналогічної процедури обчислень визначено також енергії рівнів і енергетична щілина у випадку ПЕ над розчином ізотопів гелію, чия вільна поверхня містить тонку макроскопічну плівку, збагачену легким ізотопом 3Не.

При дослідженні енергетичного спектра ПЕ в Q1D провідному каналі на поверхні гелію використано теоретичну модель [5] Q1D систем ПЕ над скривленою поверхнею гелію, що експериментально реалізована [6-8]. У цьому випадку потенційна енергія електрона при його русі поперек каналу задається виразом , де для електронів над масивною рідиною ( і - заряд і маса електрона, - притискуюче електричне поле, - радіус кривизни рідини). У випадку Q1D провідного каналу над плівкою гелію частота потенціалу визначається відповідним розташуванням електродів у вимірювальній комірці [8]. В даній дисертаційній роботі досліджено вплив магнітного поля, нормального поверхні гелію, на енергетичний спектр електронів у Q1D провідному каналі і показано, що в цьому випадку енергетичний спектр має вигляд

, ; , (3)

де - циклотронна частота. Спектр має ту ж саму структуру, що й у нульовому магнітному полі (), зберігаючи залежність від одновимірного хвильового числа , що відповідає вільному поступальному рухові уздовж осі провідного каналу. Хвильові функції для руху уздовж осі є стандартними функціями Ерміта для осциляторного руху.

В другому розділі вивчаються кінетичні властивості Q2D системи ПЕ над нескривленою поверхнею гелію. Обчислення рухливості електронів, що мають імпульс у площині границі розподілу пар – рідкий гелій, при наявності ведучого електричного поля , спрямованого в тій же площині, проведено з використанням кінетичного рівняння:

, (4)

яке містить у своїй правій частині інтеграли зіткнень електронів з атомами газу в паровій фазі, риплонами і дефектами (неоднорідностями) дна плівки гелію. Потенціали взаємодії, що визначають імовірність акта розсіювання, для перших двох інтегралів зіткнень були встановлені до початку виконання даної роботи [3,9]. Визначення гамільтоніану взаємодії тим же методом, що в [9] за допомогою підсумовування індивідуальних взаємодій електрона з індукованими дипольними моментами часток середовища, утрачає сенс при розгляді взаємодії ПЕ з твердою підкладкою, що має діелектричну сталу . Для таких підкладок індивідуальні взаємодії сильно екрануються, чим можна зневажити у випадку взаємодії електрона й атомів гелію, розташованого над підкладкою. В даній роботі застосовано новий підхід до визначення , заснований на рішенні рівняння Пуассона для потенціалу електростатичного поля, яке створює в точці простору електрон, розташований у точці з координатами . Підхід є справедливим для підкладки з довільним значенням і дає можливість обчислити додаток до потенціалу поля, що виникає завдяки малим відхиленням міжфазних границь пар – рідина () і рідина – підкладка від рівноважних позицій ( і ). При цьому виникає додаткова сила зображення, що діє на електрон,

.

Визначаючи , знаходимо:

, (5)

де , - модифіковані функції Бесселя. З (5) видно, що тільки у випадку (це виконується, наприклад, якщо речовиною підкладки є отверділий інертний газ або водень) у виразі (5) можна зневажити другим доданком, і тоді цей вираз збігається з , що виходить при підсумовуванні індивідуальних взаємодій ПЕ з атомами твердої підкладки.

З аналізу законів збереження енергії й імпульсу випливає, що зіткнення електрона з атомами пару, довгохвильовими риплонами і неоднорідностями дна плівки близькі до пружного. Це дозволяє при рішенні рівняння (4) використовувати наближення часу релаксації. Функцію розподілу шукають як . Оскільки доступний інтервал концентрацій ПЕ над масивною рідиною є обмежений через проблему електрогідродинамічної нестійкості зарядженої поверхні гелію ( см-2), а відповідні температури Фермі є багато меншими за характерні температури проведення експерименту ( порядку або менше 1 К), розгляд проводиться для невиродженої системи зарядів. У цьому випадку рівноважна частина функції розподілу близька до больцмановської функції, а , де - обернений час релаксації, що представляє собою суму внесків від різних механізмів розсіювання. Остаточний вираз для рухливості має вигляд

; . (6)

Обчислення частот зіткнень і є досить стандартні. При обчисленні частоти , що обумовлена розсіюванням електрона на неоднорідностях дна плівки, використовується гамільтоніан (5). Імовірність процесу розсіювання пропорційна . При обчисленнях використано модель гаусових кореляцій [10], у якій , де параметри і відіграють роль характерних вертикального і горизонтального розмірів поверхневих дефектів.

Для досить великих концентрацій зарядів міжелектронні зіткнення можуть уплинути на вид функції розподілу електронів. Для обліку такого впливу слід додати інтеграл міжелектронних зіткнень у праву частину рівняння (4). Якщо частота міжелектронних зіткнень помітно перевищує частоти зіткнень з розсіювачами (т. зв. наближення повного контролю [11]), то функція розподілу близька до і залежить від дрейфової швидкості електронної системи уздовж напрямку ведучого поля. Величина обчислюється з рівняння балансу імпульсу. Як результат, для рухливості отримано такий вираз:

; . (7)

На рис. 2 результати розрахунку рухливості ПЕ за допомогою виразів (6) і (7)

Рис. 2. Рухливість поверхневих електронів як функція температури. Суцільна лінія – наближення вільних електронів, пунктирна лінія - наближення повного контролю. Експериментальні дані взято з роботи [12].

показані разом з експериментальними даними [12]. Як видно з рисунка, режим повного контролю реалізується в системі ПЕ при концентраціях електронів см-2, що відповідають притискуючому електричному полю В/см. При менших притискуючих полях експериментальні дані добре описуються з використанням наближення вільних електронів (вираз (6)). Таким чином, можна вважати доведеним, що режим повного контролю реалізується в експериментальних умовах у системі ПЕ над рідким гелієм.

Рис. 3 представляє результат обчислення рухливості ПЕ над плівкою гелію, що покриває гладку підкладку (скло). При порівнянні теоретичної залежності й експериментальних даних [13]

Рис. 3. Рухливість електронів над плівкою гелію на поверхні скла. Суцільна лінія – внесок від усіх механізмів розсіювання, пунктирна лінія – від розсіювання на дефектах дна плівки, штрих-пунктирна – на атомах пару й риплонах. Експериментальні дані – з роботи [13].

знайдені такі значення параметрів моделі неоднорідностей дна плівки: см і см у наближенні вільних електронів ( см і см у наближенні повного контролю).

При теоретичному дослідженні рухливості електронів, локалізованих над поверхнею твердого водню, виявилося, що використання виразу (5) не може пояснити рухливість, що є пропорційною температурі і яка спостерігалась експериментально в [14]. Результати [14] можна пояснити, якщо припустити, що має структуру, аналогічну структурі, що має гамільтоніан електрон-риплонної взаємодії з довгохвильовими риплонами [9], з відповідною заміною діелектричної сталої гелію на діелектричну сталу водню. Це означає, що електрон над твердим воднем підбудовується до неоднорідностей поверхні, що мають характерний подовжній розмір порядку або більше дебройлевської довжини хвилі електрона ( см при К) подібно тому, як електрон над вільною поверхнею гелію підбудовується до її довгохвильових зсувів . Хвильова функція електрона при цьому близька до . Згода теоретичної кривої і експериментальних даних [14] для К досягається для см і см.

У третьому розділі роботи приведено результати теоретичного вивчення рухливості ПЕ в квазіодновимірних каналах, створених над гелієм завдяки скривленню форми його поверхні, а також завдяки спеціально підібраній конфігурації електричних полів. Оскільки енергія Фермі при лінійних щільностях зарядів см-1 дуже мала в порівнянні з температурою К, розгляд було проведено для невиродженої системи електронів. Для обчислення рухливості електрона можна використовувати метод рішення кінетичного рівняння, що для частки, яка має енергію і функцію розподілу , записується як

(8)

і аналогічно рівнянню (4) для двовимірного руху ПЕ. Однак тепер кінетичне рівняння залежить від одновимірного хвильового числа , а ведуче електричне поле є спрямованим уздовж каналу (вісь ). Матричні елементи гамільтоніанів розсіювання, що входять в інтеграли зіткнень у правій частині (8), пропорційні , де см – масштаб локалізації хвильової функції електрона для руху поперек каналу (вісь ). Така залежність означає, що основний внесок у процес розсіювання дають , що відповідає см-1 (розглядається випадок нульового магнітного поля при цьому в (3) слід покласти ). З огляду на цей факт і аналізуючи закон збереження енергії при електрон-риплонних зіткненнях, дійдемо висновку, що в електрон--риплонному розсіюванні беруть участь довгохвильові риплони. Це дозволяє використовувати той же гамільтоніан розсіювання [9], що був використаний у Розділі 2 і вважати зіткнення електронів з риплонами (а також з атомами гелієвого пару і неоднорідностями дня плівки гелію) практично пружними. Тому рішення (8) шукається в наближенні часу релаксації. У випадку вільних електронів, коли , рішення (8) має вид

, . (9)

Якщо визначити , а , де - повне число часток, то знаходимо такий вираз для рухливості

, (10)

. Частоти , і є громіздкими функціями аргументу.

У наближенні повного контролю маємо

, . (11)

Значення дрейфової швидкості визначається з рівняння балансу імпульсу. Підсумкове вираження для рухливості має вигляд .

Якісне поводження рухливостей і в залежності від температури й притискуючого електричного поля однакове, але значення в кілька разів менше, ніж значення . Рухливість представлена на рис. 4.

Слабкість електрон-риплонної взаємодії приводить до того, що вже при порівняно малих значеннях ведучого електричного поля виникає ефект розігріву електронної системи. У результаті ефективна електронна температура . Значення визначається з рівняння балансу енергії , де дисипативна функція зумовлена процесами випромінювання електроном двох короткохвильових збуджень у протилежних напрямках [15]. Обчисливши рухливість як функцію і визначаючи за допомогою рівняння балансу енергії, можна визначити залежність . Така залежність для двох значень показана на рис. 5. Видно, що при В/см рухливість починає швидко зростати в порівнянні зі своїм рівноважним значенням у границі ; .

Рис. 4. Рухливість електронів у наближенні повного контролю як функція температури (а) і притискуючого електричного поля (б). Криві 1 – 4 проведені для В/см (а), криві 1 – 3 – для К (б).

Рис. 5. Рухливість електронів, обчислена у наближенні вільних електронів (суцільні лінії) та наближенні повного контроля (пунктирні лінії) для і 3000 В/см

У випадку Q1D руху ПЕ над плівкою гелію визначальну роль у рівнянні (8) можуть грати їхні зіткнення з неоднорідностями дна плівки, описувані . Обчислення рухливості з урахуванням цього доданку приводить до висновку, що для товщини плівки см і для рухливість, обумовлена електрон-риплонним розсіюванням, виявляється пропорційною , на відміну від рухливості над масивною рідиною, де вона в цій границі пропорційна . У той же час рухливість, обумовлена взаємодією з неоднорідностями дна плівки, виявляється пропорційною , здобуваючи значення на півтора-два порядку менше відповідних значень рухливості завдяки електрон-риплонному розсіюванню. Таке сильне розходження температурних залежностей рухливостей, зв'язаних з різними механізмами розсіювання ПЕ, може виявитися сприятливим при спробах експерименнтального виявлення впливу розсіювання на неоднорідностях дна плівки для ПЕ в Q1D каналі.

Той факт, що енергетичний спектр ПЕ (3) у Q1D каналі при наявності магнітного поля має ту ж структуру, що й у нульовому магнітному полі () дозволяє обчислювати рухливість у ненульовому магнітному полі методами, застосованими за умов відсутності магнітного поля. Розходження полягає в тому, що від магнітного поля залежать і ефективна маса електрона, і матричні елементи операторів розсіяння ПЕ, що сильно ускладнює чисельні розрахунки. Залежності Q1D рухливості ПЕ від магнітного поля і температури, отримані в наближенні повного контролю, приведені на рис. 6.

Рис. 6. Рухливість як функція температури для кількох значень магнітного поля (пунктирні та штрихпунктирні лініі є внески від розсіювання риплонами та атомами пару) та магнітного поля для кількох значень притискуючого електричного поля (пунктирна лінія є внеском від розсіювання риплонами).

У четвертому розділі роботи теоретично вивчаються плазмові коливання в багаторівневих системах зарядів, прикладами яких є Q2D і Q1D системи поверхневих електронів над гелієм. При досить низьких температурах, коли щільність гелієвого пару стає мізерно малої, а взаємодією з риплонами можна зневажити, системи електронів над гелієм перетворюються в однозарядові системи, що практично не взаємодіють з розсіювачами. Метою розділу є послідовний розгляд як подовжніх, так і поперечних плазмових коливань у Q2D і Q1D електронних системах і встановлення закону дисперсії мод з використанням формалізму діелектричних функцій, що залежать від хвильового числа і частоти [16,17]. Дисперсійне рівняння має вигляд

, (12)

с діелектричною функцією . Рівняння (12) залежить від двовимірного або одновимірного хвильового чисел, а матричні елементи кулонівської парної взаємодії обчислюються як

(13)

у Q2D (індекси нумерують дискретні рівні для руху в напрямку, нормальному поверхні гелію) і як

(14)

у Q1D, коли дискретна система рівнів відповідає рухові електронів поперек провідного каналу.

Рівняння (12) в умовах або (заселеністю збуджених рівнів можна зневажити) розщеплюється на два рівняння

; . (15)

Перше з них відповідає подовжнім плазмовим коливанням у площині границі розподілу рідина – пар (уздовж осі провідного каналу), друге – поперечним, що супроводжуються переходами електронів між основним і першим збудженим рівнями.

Вирази (13) і (14) залежать від двовимірного й одновимірного фур'є-образів потенційної енергії парної взаємодії електронів, що мають, відповідно, координати й у (13) і й у (14). Для того, щоб знайти цю енергію , необхідно вирішити рівняння Пуассона для потенціалу електричного поля , створюваного в точці простору електроном, розташованим у точці . При цьому слід використовувати відповідні граничні умови. Дана процедура дозволяє установити вид у випадку електронів, розташованих як над об'ємним рідким гелієм, так і над плівкою гелію при довільному значенні діелектричної постійної речовини підкладки під плівкою. Це дозволяє розглянути випадки як слабкого (), так і сильного () екранування кулонівської взаємодії.

У Q2D випадку для ПЕ над плівкою гелію

, (16)

що для масивної рідини дає

. (17)

Остання рівність у (17), можлива завдяки , означає слабість ефектів екранування кулонівської взаємодії для електронів над об'ємним гелієм.

Для обчислення необхідно провести обернене фур'є-перетворення в рівняннях (16) і (17), покласти , що відповідає розташуванню зарядів в одній площині, а потім провести одновимірне перетворення Фур'є. У найбільш цікавому випадку сильного екранування кулоновської взаємодії над плівкою гелію, що покриває метал ( ), маємо

. (18)

Функції відгуку в (12) для невиродженої системи електронів обчислюються точно. Для довгохвильової границі вони можуть бути записані єдиним образом як для невиродженої, так і виродженої систем, реалізація яких можлива для ПЕ над плівкою гелію.

Роблячи обчислення з використанням хвильових функцій перших двох дискретних рівнів у (13) і (14) (у Q2D використовуємо вираження (1)) і підставляючи результат обчислень у (15), одержуємо наступні закони дисперсії подовжніх і поперечних плазмових коливань для довгохвильової границі малих хвильових чисел.

Q2D. Закон дисперсії подовжньої гілки коливань має вигляд для неекранованої кулонівської взаємодії і для екранованої взаємодії; . Швидкість звуку складає см/с для товщини плівки гелію см і = 1011 см-2. Дані вирази були також раніше отримані іншими авторами з використанням різних наближень. Закон дисперсії поперечної моди, обчислений з використанням другого з рівнянь (15), відрізняється від частоти електронних переходів між рівнями 1 і 2. Відмінність визначається частотою деполярізаційного зрушення , де - параметр локалізації хвильової функції електрона в напрямку у випадку нульового притискуючого електричного поля; , - чисельний множник порядку 10-1. Якщо 10-6 см, см-2, Гц для плівки гелію на поверхні металу.

Q1D. Для , коли можна зневажити другим доданком у (18),

; (19)

- лінійна концентрація електронів, . Для плівки гелію товщиною , що покриває метал, для маємо , де швидкість звуку при і , якщо . В обох граничних випадках см/с ( см-1).

Закон дисперсії поперечної моди має вигляд:

; ; (20)

Гц ( см-1), якщо електрони розташовані над масивною рідиною. Для електронів над плівкою гелію як і раніше частота поперечної моди описується виразом (20), але частота деполярізаційного зсуву стає рівною якщо і при . По оцінках Гц ( Гц), якщо см-1 і В/см.

Закон дисперсії плазмових коливань Q1D системи зарядів у даній роботі визначався також з використанням квазікристалічного наближення [18], у якому вважається, що електрони утворюють лінійний ланцюжок, у якому розташовані на середній відстані друг від друга, взаємодіють за законом Кулона і випробують малі зсуви і щодо рівноважних положень. У цьому випадку в потенційній енергії ланцюжка з'являється внесок

. (21)

Закон дисперсії плазмових мод знаходиться за допомогою рівнянь руху для електрона, який займає позицію . При цьому закони дисперсії для збігаються з (19) і (20) з тією відмінністю, що аргумент логарифма в (19) тепер залежить від , а частоту деполярізаційного зсуву в (20) слід покласти рівною нулеві. Зручність квазікристалічного наближення полягає в тому, що з його допомогою можна одержати закон дисперсії плазмових коливань у присутності магнітного поля, спрямованого уздовж осі . Закони дисперсії двох гілок спектру плазмових коливань при цьому мають вигляд:

. (22)

У п'ятому розділі дисертації розглядаються властивости поверхневих електронів, що розташовані над поверхнею розшарованого розчину 3Не в 4Не. Як відомо, розшарування розчинів 3Не – 4Не починається поблизу вільної поверхні завдяки наявності поверхневих домішкових андріївських рівнів для квазічасток 3Не. При цьому за певних умов на поверхні можливе утворення тонкої, але макроскопічної плівки, збагаченої легким ізотопом (мікророзшарування) [19]. Розшарування розчинів спостерігалося й у рідкій плівці (див. рис. 7). Воно можливе й у вузьких капілярах. При наявності ПЕ над розчином з мікророзшаруванням їхні кінетичні властивості залежать від взаємодії з поверхневими модами розчину. Це викликає необхідність обчислення закону дисперсії поверхневих коливань з обліком в’язкісного загасання. Для цього використовано систему лінеарізо-ваних рівнянь Навьє-Стокса

Рис. 7. Структура розшарованої плівки рідкого розчину ізотопів гелію.

;

; . (23)

Тут і - швидкість рідини у верхній фазі 1, що вважається нормальною, і нормальна швидкість у нижній фазі 2, - нормальна густина цієї фази; надплинна швидкість , - гідродинамічний потенціал; ; - надплинна густина, . Систему рівнянь (23) слід доповнити відповідними граничними умовами, у яких необхідно врахувати сили Ван дер Ваальса, що діють як між рідкими фазами і твердою підкладкою, так і між фазами 1 і 2 [20,21]. У результаті рішення системи (23) одержуємо дисперсійне рівняння, що описує зв'язані коливання міжфазних границь, розташованих при і при :

, (24)

Рис. 8. Дійсні (суцільні лініі) і уявні (пунктирні лінії) частини капілярної (1) та звукової (2) гілок спектру поверхневих коливань для К і см. Крапкові лінії є закон дисперсії у наближенні ідеальних рідин

- функції хвильового числа і частоти. Приклад чисельного рішення (24) для розчину з мікророзшаруванням () показаний на рис. 8. Видно, що в відмінність від ідеальних рідин (пунктирні лінії), урахування в'язкості рідких фаз приводить до того, що тільки одна гілка спектра має мале загасання. Закон дисперсії цієї гілки є аналогічним капілярним хвилям в однорідній рідині. Однак частота залежить від ефективного коефіцієнта поверхневого натягу , що представляє собою суму коефіцієнтів поверхневого натягу об'ємної фази 1 і границі розшарування масивних фаз 1 і 2.

Проводячи обчислення потенційної енергії ПЕ, який розташований над розчином з мікророзшаруванням, аналогічно тому, як це було зроблено в Розділі 2, використовуємо вираз (5), у якому беремо рівним діелектричній сталій верхньої рідини, а - діелектричній сталій нижньої рідини. При цьому беремо до уваги, що . Взаємодія електрона з коливаннями вільної поверхні, що є пропорційною , аналогічна електрон-риплонному розсіянню в однорідній рідині. З огляду на той факт, що зсуви і для розглянутої гілки коливань збігаються [20], знаходимо гамільтоніан електрон-риплонної взаємодії у випадку розчину з мікророзшаруванням

;

; (25)

. Оскільки вираз (25) є убутною функцією , частота зіткнень з риплонами пропорційна , а рухливість, як це видно з (6), пропорційна оберненій частоті зіткнень, дійдемо висновку, що рухливість ПЕ над розчином з мікророзшаруванням є зростаючою функцією . При рухливість прагне до рухливості над об'ємним нормальним 3Не. Цей випадок, однак, слід розглядати окремо, тому що закон дисперсії риплонів у 3Не повинний залежати від коефіцієнту його поверхневого натягу, а не від . У даній роботі розглянуте загасання капілярних хвиль на поверхні об'ємного 3Не. Закон дисперсії риплонів показаний на рис. 9. Як видно, риплони з хвильовими числами см-1 сильно загасають у нормальному 3Не. Проте було проведене обчислення рухливості ПЕ над 3Не в припущенні, що риплони загасають слабко, як у випадку 4Не. Результати розрахунку показані на рис. 10. Видно, що експериментальні дані [22] добре погоджуються з обчисленою теоретичною залежністю. Таким чином, незважаючи на сильне загасання вільних риплонів, їхній вплив на рухливість ПЕ над 3Не виявляється таким же, як у риплонів, що загасають слабко.

У Розділі 5 також досліджено загасання зв'язаних коливань міжфазних границь розшарованої плівки (рис. 7). Рішення рівняння (24) у цьому випадку приводить до закону дисперсії, що має “вікна” хвильових чисел, коли повинне спостерігатися слабке загасання

Рис. 9. Закон дисперсії риплонів у нормальному 3Не: дійсна (суцільна лінія) і уявна (пунктирна лінія) частини.

Рис. 10. Рухливість електронів над нормальним 3Не для В/см. Трикутники – експериментальні точки з роботи [22].

капілярної гілки спектра, що можливо, якщо або . При малих маємо сильне загасання через ; при великих глибина проникнення в’язкої хвилі більше довжини хвилі, і знову маємо сильне загасання. Крім цього в Розділі 5 у наближенні ідеальних рідин розглянуті колективні коливання розшарованого розчину 3Не – 4Не в циліндричному капілярі радіуса . Легкий ізотоп концентрується поблизу осі циліндра, і його рідка фаза має радіус . Досліджено