НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ім. С.П. ТИМОШЕНКА

Сінчило Сергій Володимирович

УДК 539.3+534.2

ЗАКОНОМІРНОСТІ ПОШИРЕННЯ ПЛОСКИХ ГАРМОНІЧНИХ ХВИЛЬ

В КОМПОЗИТНИХ МАТЕРІАЛАХ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Рущицький Ярема Ярославович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

головний науковий співробітник відділу динаміки поліагрегатних систем.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Селезов Ігор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

завідувач відділу гідродинамічних процесів;

доктор фізико-математичних наук, професор

Маслов Борис Петрович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

головний науковий співробітник відділу механіки повзучості.

Провідна установа:

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

кафедра механіки суцільних середовищ, м. Київ

Захист відбудеться “ 22 “ лютого 2005 р. о 12-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки

ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Автореферат розісланий “20” січня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01

д.ф.-м.н. ________________ О.П.Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У роботі вивчаються гармонічні вільні хвилі, що поширюються в нелінійно пружних матеріалах з внутрішньою структурою (мікро- та нанокомпозитних матеріалах).

Матеріали складали і складають суттєву частину культури суспільства. Вважається, що у 21-му столітті наступні технологічні перспективи будуть відкриватися не через краще розу-міння і застосування конкретних відомих матеріалів, а через розуміння і оптимізацію комбіно-ваних матеріалів, а також через руйнування відмінностей між матеріалами і функціональ-ними приладами, що складаються з різних матеріалів. Мікро- і нанорівні у технології дають таку унікальну можливість створювати комбіновані матеріали з абсолютно новими властивостями. Ці матеріали вивчаються надзвичайно інтенсивно в найбільш розвинених країнах всіма доступними способами. Як результати, так і фінансування зростають експоненціально. Якщо фізики, хіміки та матеріалознавці вже досягли певних успіхів у вивченні нових матеріалів з дуже дрібною внутрішньою структурою, то механіки перебувають на початковій фазі досліджень. Тому такі дослідження є зверхактуальними, а аналіз хвиль в матеріалах мікро- та нанорівня є однією з проблем сучасної механіки.

Актуальність теми. Дослідження еволюції хвиль складає фрагмент загальної теорії хвиль. Нелінійна теорія хвиль, як частина такої теорії, являє собою область науки, що все ще розвивається. В загальній теорії дослідження енергії та спотворення самого профілю відноситься до короткої фази дослідження будь-якої конкрет-ної нелінійної хвилі і тому еволюція профілю плоскої гармонічної хвилі, спричинена нелінійністю се-редовища розповсюдження, вивчається фрагментарно (але не повно) в різних розділах фізики – оптиці, радіофізиці, гідродинаміці, акустиці. Ос-танні монографії з теорії нелінійних хвиль в матеріалах (Драмхеллер (Cambridge University Press, 1998), Рущицький, Цурпал (Інститут механіки НАН України, 1998), Єрофеев (Издательство Московського университета, 1999), Розе (Cambridge University Press, 1999)) свідчать про те, що цей напрямок активно розвивається.

Механіка композитних матеріалів почала свій розвиток як окремий науковий напрямок у другій половині двадцятого сторіччя. Суттєвий вклад у розвиток сучасних теорій композитних матеріалів внесли вчені Інституту механіки НАН України Гузь О.М., Григоренко Я.М., Шевченко Ю.М., Хорошун Л.П., Шульга М.О., Бабич І.Ю., Бабич Д.В., Камінський А. О., Коханенко Ю.В., Маслов Б.П. та інші. З появою нових матеріалів мікро- та нанорівня теорія композитних матеріалів отримує новий потужний імпульс.

Дана ди-сертаційна робота присвячена вивченню еволюції профіля при розповсюд-же-н-ні початково гармонічної хвилі в нелінійно пружних матеріалах з внутрішньою структурою на основі трьох механічних моделей: - моделей ефективних мо-дулів для пружних і п’єзопружних матеріалів (структурних моделей першого порядку); - моделі пружної суміші (структурної моделі другого поряд-ку). Аналогічні дослідження еволюції в рамках інших моделей та для інших типів хвиль проводяться в різних провідних світових наукових центрах, що теж свідчить про актуальність теми дисертації.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень, які ввійшли в дисертаційну роботу, пов’язані з такими плановими науковими дослідженнями відділу динаміки поліагрегатних систем Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України: “Динаміка пружних тіл і систем сучасної техніки, що взаємодіють з середовищем, при періодичних і ударних навантаженнях” (1.3.339, 2001-2003), “Аналіз динамічних процесів, пов’язаних з особливостями моделей матеріалів, хвилеводів та космічних апаратів” (1.3.1.343, 2004-2007).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є аналіз певних закономірностей розповсюдження плоских біжучих гармонічних хвиль в пружних середовищах. Дане дослідження хвиль є продовженням систематичного вивчення хвиль в композитних матеріалах у відділі динаміки поліагрегатних систем Інституту механіки НАН України. Воно базується на результатах монографії Рущицького Я.Я., Цурпал С.І. і продовжує дослідження, проведені в дисертаціях співробітників відділу Цурпал С.І., Савельєвої К.В., Хотенко І.М.

Задачі наукового дослідження. Для досягнення поставленої мети вияви-лося необхідним:

- в рамках мікроструктурних моделей отримати представлення енергетичних характеристик хвиль і проаналізувати ці характеристики у випадку квадратичної нелінійності для прийнятих основних моделей;

- побудувати та прокоментувати графічні залежності енергетичних характеристик та профілю від змінних параметрів хвилі;

- вивчити аналітично і чисельно еволюцію профіля початково гармонічної плоскої поляризованої хвилі при її розповсюдженні через нелінійно (квадратично і кубічно) пружний та п’єзопружний матеріали, для чого необхідно проаналізувати наближені розв’язки та реалізувати їх чисельно для певного класу композитних матеріалів;

- на основі аналізу графіків описати картину спотворення профілю хвилі та виявити характерні особливості впливу внутрішньої структури матеріалу та параметрів початкового профілю на цю картину.

Об’єкт наукового дослідження являє собою пружні композитні матеріали з квадратичною та кубічною нелінійностями.

Предметом наукового дослідження є енергетичні характеристики та спотворення початково плоскої гармонічної хвилі в композитному матеріалі.

Методи дослідження. Для досягнення поставленої мети застосовувався метод послідовних наближень. Чисельний аналіз було проведено за допомогою інтерактивного пакету „Mathematica 4.1”.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:

- В рамках структурних моделей першого та другого порядків проведено моделювання спотворення профілю плоскої гармонічної хвилі у випадку двох типів нелінійної поведінки матеріалу.

- Проаналізовано розмежованість між етапами спотворення, спричиненого квадратичною та кубічною нелінійностями матеріалу – перша проявляється на більш низьких частотах.

- Розвинено метод аналізу енергетичних характеристик хвиль, поширено його на нові матеріали. При розгляді енергетичних характеристик враховано як нелінійний, так і структурний фактори.

- Вперше досліджено і виявлено схеми еволюції профіля хвилі при окремо квадратичній та при окремо кубічній нелінійностях матеріалу. Описані основні етапи спотворення початкового профілю (схема для квадратичної нелінійності складається з чотирьох етапів, для кубічної нелінійності з трьох етапів) при врахуванні квадратичної та кубічної нелінійностей матеріалу.

- Вперше проведено докладний числовий аналіз залежності профілю хвилі від параметрів початкового профілю (амплітуди і частоти) і внутрішньої структури матеріалу для матеріалів мікро- та нанорівня внутрішньої структури.

- Пояснено відсутність експериментальних спостережень спотворення, спричиненого кубічною нелінійністю, та вказано на можливість таких спостережень.

Достовірність результатів, які наведені в дисертації, забезпечується:

- використанням коректної постановки задач механіки розповсюдження хвиль для матеріалів, що деформуються квадратично та кубічно нелінійно;

- застосуванням обґрунтованих математичних методів для розв’язання поставлених задач числових алгоритмів для комп’ютерного аналізу;

- якісною узгодженістю отриманих результатів з міркуваннями фізичного характеру, а також збігом результатів, які отримані без врахування нелінійності, з відомими розв’язками задач цього класу.

Практичне значення отриманих результатів полягає у тому, що проведене в дисертаційній роботі дослідження доповнює теорію хвильових процесів в матеріалах новими результатами, використання яких дозволяє аналізувати спотворення профілю - на якій відстані від початку поширення хвилі відбудеться спотворення, яка форма профілю буде спостерігатися та за який час. Дані результати дають можливість використовувати їх в подальшому вивченні мікро- та нанокомпозитів, а також передбачити постановку і частково результати нових експериментів.

Особистий внесок дисертанта. Всі подані до захисту результати були отримані дисертантом особисто. В опублікованих у співавторстві наукових роботах внесок дисертанта такий: - у роботі [1] приймав участь у постановці задачі, способах її аналізу і проводив комп’ютерне моделювання розповсюдження енергії плоских нелінійно пружних хвиль для реальних композитних матеріалів; - у роботі [2] приймав участь у постановці задачі, способах її аналізу та проводив числовий аналіз і будував графіки еволюції профіля пружної гармонічної хвилі, приймав участь у коментуванні результатів; - у роботі [3] приймав участь у постановці задачі, способах її аналізу і виконував числове моделювання кубічно нелінійних хвиль в п’єзопружному матеріалі, приймав участь у коментуванні результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на семіна-рах відділу динаміки поліагрегатних систем Інституту механіки НАН України (2002-2004); науковому семінарі за напрямком “Теорія коливань і стійкість руху механічних систем” при Інституті механіки НАН України (2004); науковому семінарі з механіки механіко-математич-ного факультету Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (2005). Важ-ливі результати з дисертації доповідалися на міжнародній конференції “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation” (2001, 2003, Київ); SIAM-EMS "Applied Mathematics in our Changing World" (2001, Берлін); 5-му Всесвітньому конгресі з обчислювальної механіки WCCM (2002, Відень); Міжнародній конференції “Математичні проблеми механіки неодно-рідних структур” (2003, Львів); 11-й Всеукраїнській науковій конференції ”Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (2004, Львів).

Публікації. За результатами дисертації опубліковано 10 наукових праць, з них 3 наукові статті [1, 2, 3] у виданнях за фахом, затверджених ВАК України.

Структура й обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел з 102 найменувань. Робота включає 146 сторінок основного тексту, 24 рисунки, 5 таблиць, усього 159 сторінок.

Автор висловлює щиру вдячність доктору фізико-математичних наук, професору Рущицькому Я.Я. за постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і постановку задачі досліджень, відзначено наукову новизну отриманих результатів і їхнє практичне значення, а також наведено відомості про апробацію роботи і публікації автора за темою дисертації.

У першому розділі перш за все виконано огляд досліджень, присвячених пружним хвилям у матеріалах з мікроструктурою. Цей огляд складає зміст першого підрозділу. Однак розділ складається з п’ятьох підрозділів і наступні підрозділи теж частково стосуються огляду попередніх досліджень. Другий підрозділ включає відомості про структурні моделі першого і другого порядку та відповідні цим моделям хвильові рівняння. Третій підрозділ присвячено основним енергетичним характеристикам хвиль. У четвертому підрозділі даються необхідні відомості про класичні лінійні хвилі в пружних матеріалах. П’ятий підрозділ містить дані про постановку задачі і моделювання поширення плоских хвиль в нелінійних середовищах.

У другому розділі розглянуто ряд нелінійних задач, в яких досліджуються енергетичні характеристики (енергія, потік енергії, швидкість поширення енергії) плоских пружних хвиль для прийнятих мікроструктурних моделей.

Досліджуються енергетичні характеристики для пружного матеріалу, що описується мікроструктурною моделлю першого порядку. Слід зауважити, що у всій роботі матеріали вважаються пружними чи п’єзопружними, хвилі плоскими гармонічними і такими, що описуються початковим косинусоїдальним профілем

. (1)

Спочатку описується постановка задачі і далі розглядається поздовжна гармонічна хвиля. Тоді відповідне нелінійне хвильове рівняння руху має вигляд

, (2)

де ; - пружні константи Ляме, - пружні константи Мернагана, нелінійність враховується другою і третьою степенями похідної в нелінійному представленні питомої внутрішньої енергії .

Звичайно розв’язок будується за допомогою методу послідовних наближень і у другому наближенні має вигляд

, , . (3)

Знайдено представлення енергетичних характеристик для даного випадку. Зокрема, швидкість поширення енергії хвилі описується такою формулою

. (4)

Далі проведено числовий аналіз енергії хвиль і описано конкретні матеріали, для яких проводився числовий аналіз, побудовано та прокоментовано комп’ютерні графіки зміни характеристик енергії. Характерний тривимірний графік залежності енергії нелінійної хвилі ЕNL від часу t та просторової координати x показано на Рис.1 ( для композитного матеріалу „гранули - мідь, матриця - молібден” – матеріалу 42 зі згадуваної у вступі монографії Рущицького, Цурпал). Всюди в роботі використовується система СІ.

Рис. 1.

Цей рисунок відповідає початковому етапу поширення хвилі, коли спотворення гармонічного профілю є ще незначним. На наступному рисунку показано двовимірний графік залежності швидкості поширення енергії нелінійної хвилі ЕNL від просторової координати х (для того ж матеріалу, що на Рис.1, однак для етапу поширення хвилі, коли спотворення гармонічного профілю є вже значним).

Рис. 2.

Також порівнювалися лінійний та нелінійний випадки в припущенні, що внаслідок слабкої нелінійності відмінності теж повинні бути незначні. Зокрема, формула для швидкості поширення енергії для трьох наближень є такою

, .

Отже, при врахуванні нелінійностей швидкість поширення енергії хвилі вже не є сталою і рівною фазовій швидкості, вона стає змінною з певною періодичністю і відображає форму спотвореного початково гармонічного профілю хвилі. Це показано на рисунку 3, де по осі абсцис показана пройдена хвилею відстань , по осі ординат час поширення , по осі аплікат швидкість .

Рис. 3.

Головний висновок полягає у тому, що зміни енергетичних характеристик є похідними від зміни початкового профілю і тому розуміння цих змін слід шукати в аналізі спотворення профілю.

Досліджено енергетичні характеристики в рамках мікроструктурної теорії другого порядку. Розглянуто задачу про розповсюдження біжучих плоских поздовжних хвиль в квадратично нелінійній пружній суміші. Такі хвилі описуються зв’язаною системою двох хвильових рівнянь

. (5)

Енергія і швидкість її поширення хвилею в нелінійній пружній суміші вивчається за схемою, застосованою у попередньому підрозділі. Особливістю суміші є розпад початкової хвилі на чотири – по дві моди у двох компонентах матеріалу. Наведено всі характерні енергетичні характеристики для мод та фаз, вони є взагалі кажучи різними для різних мод і різних фаз. Проаналізовано і прокоментовано отримані аналітично результати. Приведено міркування стосовно можливості розгляду загальної енергії суміші.

Третій розділ присвячено аналізу спотворення початкового профілю хвилі при розповсюдженні в нелінійно пружних матеріалах. Тут враховуються як квадратична, так і кубічна нелінійності, однак основна увага приділена квадратичній.

В першому підрозділі обговорюється можливість одночасного спостереження генерації другої та третьої гармонік при тривалому поширенні гармонічної хвилі, що може бути суттєвим при експериментальних дослідженнях матеріалів.

Предметом аналізу є розв’язок, який враховує обидва типи нелінійності і який відповідає двом наближенням при розв’язуванні нелінійного хвильового рівняння щодо поздовжної хвилі

, (6)

(7)

, .

Теоретичне обґрунтування одночасного спостереження цих гармонік проведено, виходячи з умов коректної постановки задачі, коли амплітуда спотвореної хвилі не перевищує півтори початкової амплітуди

, , . (8)

Далі проводилося числове моделювання на класі композитних матеріалів, описаних в монографії Рущицького, Цурпал. В дисертації докладно описані результати щодо матеріалу „гранули – мідь, матриця – молібден” модифікації 11. У переважній більшості випадків друга гармоніка розвивається і стабілізується раніше, ніж починає розвиватися третя. Лише у деяких випадках можна спостерігати початок процесу накладання спотворень, спричинених квадратичною та кубічною нелінійностями. Це спостереження коментується в кінці дисертації теж.

В другому підрозділі аналізується окремо квадратична нелінійність і відповідне нелінійне хвильове рівняння

. (9)

Чисельно досліджується еволюція початкового профіля для різних реальних матеріалів. Вперше отримано схему спотворення початкового профіля, яка була умовно розділена на чотири етапи. Проведено аналіз швидкості та форми спотворення профіля в залежності від початкової амплітуди або частоти. На Рис.4 показано характерну залежність амплітуди поздовжної хвилі u від пройденого хвилею шляху x для матеріалу 11 при початковій амплітуді м і частоті 100КHz.

Рис.4.

Рис.4 разом з показаними далі Рис. 5 і 6 відтворюють вперше спостережену схему еволюції профілю хвилі. Схема може бути умовно розділена на чотири етапи. Етап 1. Профіль у вигляді синусоїди нахиляється вниз (западає) під постійним кутом – максимальні позитивні значення зменшуються і відповідно максимальні негативні значення збільшуються на ту ж величину. Етап 2. Вершина опускається вниз і утворює плато посередині; далі вона опускається нижче, плато пропадає і профіль з одногорбого стає двогорбим; частота повторення профілю рівна частоті початкового коливання. Етап 3. Зберігаючи початкову частоту, профіль з двогорбого перетворюється в двохпіковий із западиною, що росте вниз до торкання осі абсцис. Етап 4. Профіль стає подібним на гармонічний з частотою другої гармоніки, але з неоднаковим розмахом амплітуди: вгору велика - вниз приблизно в півтора рази менше - вгору злегка більше попередньої верхньої - вниз зразково удвічі більше попередньої нижньої. Далі амплітуди зрівнюються. Побудовано та проаналізовано точне перетворення хвилі з частотою у хвилю з частотою .

Рис.5.

Щоб спостерегти всі чотири стадії, слід задати початкові великі (фінітні) деформації або високу початкову частоту. Виявлено, що ступінь впливу початкової амплітуди на прогрес еволюції по суті менший, ніж вплив початкової частоти. Розглянуто згадуваний раніше клас з 18 металічних композитних матеріалів і виявлено подібність еволюції для всіх матеріалів.

При аналізі спотворення профіля, спричиненого квадратичною нелінійністю, слід звертати увагу на тип нелінійності і розрізняти матеріали з жорсткою нелінійністю і матеріали з м’якою нелінійністю (відмінність буде спостерігатися у зміні напрямку спотворення, як це показано на Рис.6 для матеріалу „пірекс” з жорсткою характеристикою, позначення відповідають Рис.4.).

Рис.6.

Третій підрозділ містить результати числового аналізу задачі про еволюцію хвилі для іншого класу композитних матеріалів: волокнистих мікро - та нанокомпозитів з вуглецевими наповнювачами - при розповсюдженні хвилі в напрямку вздовж волокон. Ця задача в рамках першої моделі описується таким нелінійним хвильовим рівнянням

, (10)

Для чотирьох видів композитних матеріалів розглянемо 20 модифікацій кожного, які відрізняються об’ємним вмістом наповнювача; вирахувано повні комплекти фізичних сталих і проведено числовий аналіз еволюції початкового профілю в залежності від характеру внутрішньої структури матеріалу та початкових параметрів хвилі. Введений новий параметр, що являє собою пройдену хвилею відстань, при якій еволюція є умовно однаковою при всіх інших фіксованих параметрах. Він суттєво залежить від внутрішньої структури матеріалу і дозволяє порівнювати еволюцію для матеріалів всього класу. Характерні комп’ютерні графіки для першого мікрокомпозитного матеріалу показані на Рис.7 , що демонструє два перші етапи еволюції.

Рис.7.

В четвертому розділі розглядається спотворення кубічно нелінійних пружних та п’єзопружних хвиль.

В першому підрозділі описана постановка задачі, коли одночасно враховуються квадратична і кубічна нелінійності. Рух пружної поздовжньої хвилі описується таким нелінійним рівнянням

. (11)

Далі числовий аналіз проводиться лише з врахуванням кубічної нелінійності, коли розв’язок є наступним

(12)

Для того ж класу металічних матеріалів, що і в попередньому розділі, було проведене комп’ютерне моделювання (в роботі даються графіки для матеріалів 11, 41, 42, 62). Тут теж була вперше спостережена і описана графічно схема еволюції, яка може бути умовно розділена на 3 етапи. Етап 1. Поступове опускання вниз (чи прилягання до початкової вертикальної осі симетрії) лівої частини і незмінності правої части на піку косинусоїди. Відбувається це опускання у верхній області піку і як наслідок вона займає 5-10% загальної висоти піку (максимальної амплітуди). Етап 2. Подальше опускання правої частини при незмінній лівій до рівня лівої. Поступово утворюється плато з двома невеликими піками. Етап 3. Великий зростаючий підйом лівого піку і слабке западання правого піку до рівня плато. Подальший розвиток еволюції простежувався до величини, рівної 1/2 початкової амплітуди. Розвивається тільки лівий пік, праве плато залишається незмінним. На Рис.8 показані всі етапи для матеріалу 42 і початкових значень МГц, мікронів.

Рис.8.

Як і в попередньому розділі, розглянуті матеріали з м’якою і жорсткою нелінійностями і спостережене те ж явище зеркального відображення щодо осі абсцис. На Рис. 9 показані графіки, що відповідають матеріалу „пірекс”.

Рис.9.

В другому підрозділі розглядається п’єзопружний матеріал і відповідна йому модель першого порядку. Розглядається нелінійна задача, в якій початково збуджується поперечно горизонтальне коливання і далі вивчається хвиля, породжена таким механічним коливанням. Тут необхідно розв’язувати кубічно нелінійне хвильове рівняння, яке не може включати квадратичну нелінійність

. (13)

Вказана особливість відображає суттєву відмінність задач про поширення поздовжних і поперечних хвиль – перші еволюціонують внаслідок одночасного впливу обох нелінійностей, тоді як другі зазнають впливу лише кубічної. Зокрема, з цього випливає, що експериментально доцільніше вивчати спочатку поперечну хвилю і фіксувати чистий вплив кубічної нелінійності.

Ця задача далі узагальнена на випадок, коли початково збуджуються два поперечні коливання (вертикальне та горизонтальне) і далі вивчається п’єзопружна і чисто пружна хвилі. Тоді потрібно розв’язувати систему взаємозв’язаних нелінійних хвильових рівнянь

, (14)

.

У числовому моделюванні використовувалися 4 типи матеріалів – чисто кубічно нелінійний (0% наповнення), додатково з дуже слабкими (5% наповнення), слабкими (10% наповнення), помірно слабкими (20% наповнення) п’єзопружними властивостями композит „матриця – алюміній, гранули - арсенід галію”. Необхідні значення фізичних констант були вираховані за відомими формулами.

Рис.10.

Ліві графіки відповідають першому типу, праві – четвертому. Відмінність помітна і вона свідчить про помітний вплив п’єзопружних властивостей на еволюцію у цілому – вона сповільнюється при збільшенні вмісту об’ємного гранул п’єзомате-ріалу в композиті. Деякі параметри хвиль не так помітно змінюються, зокрема фазові швидкості будуть відрізнятися слабко – Км/с.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

В даній дисертаційній роботі в рамках мікроструктурної теорії хвиль проведено дослідження впливу нелінійності пружних матеріалів на процеси поширення гармонічних хвиль.

Основні результати роботи є такими:

А. В рамках нелінійної теорії хвиль дано постановки задач, що моделюють процеси еволюції гармонічних плоских хвиль при їх поширенні через пружно чи п’єзопружно нелінійний матеріал. В рамках трьох мікроструктурних моделей проаналізовано чисельно зазначену еволюцію і, зокрема, вплив початкових значень амплітуди та частоти хвилі і параметрів внутрішньої структури матеріалу на перебіг процесу еволюції.

Б. Опрацьована схема визначення енергетичних характеристик (енергії, потоку енергії, швидкості поширення енергії) в рамках мікроструктурних моделей 1-го та 2-го порядків. Побудовані і прокоментовані комп’ютерні графіки зміни вказаних характеристик з поширенням хвилі.

В. Вперше спостережено і графічно зображено схеми еволюції початкового гармонічного профіля хвилі, спричиненої як квадратичною, так і кубічною нелінійностями деформування. Проведене числове моделювання на трьох класах композитних матеріалів підтверджує загальний характер спостережених схем.

Аналіз отриманих в роботі результатів дозволив зробити такі висновки:

1. Різниця між швидкостями поширення енергії при лінійному та нелінійному випадках є досить малою. Як наслідок, швидкість поширення енергії в нелінійній постановці має порядок фазової швидкості. Також було виявлено, що при спостереженні швидкості розповсюдження енергії слід враховувати її істотну залежність від точки і часу спостереження.

2. При вивченні енергії в рамках нелінійно пружної моделі 2-го порядку слід враховувати, що: - енергія як першої, так і другої моди мають коливний характер; - коливання відбуваються у певному вузькому діапазоні значень енергії; - амплітуда другої моди у другій компоненті зростає за експоненційним законом, але вагомого внеску в загальну енергію не вносить.

3. Початковий профіль плоскої хвилі при її розповсюдженні в квадратично нелінійному пружному середовищі кардинально спотворюється і це спотворення можна умовно розділити на 4 стадії. Щоб спостерегти всі чотири стадії, слід задати початкові великі (фінітні) деформації або високу початкову частоту. Виявлено, що ступінь впливу початкової амплітуди на прогрес еволюції по суті менший, ніж вплив початкової частоти. При дослідженні спотворення профіля, спричиненого квадратичною нелінійністю, слід звертати увагу не лише на порядок нелінійності, але й на тип нелінійності (м’яка чи жорстка).

4. Початковий профіль плоскої хвилі при її розповсюдженні в кубічно нелінійному пружному середовищі кардинально спотворюється і це спотворення можна умовно розділити на 3 стадії. Тут спостерігається істотно більший вплив початкової амплітуди у порівнянні з впливом частоти, на еволюцію хвилі; для детектування впливу третьої гармоніки необхідно працювати з великими початковими амплітудами і високими частотами; еволюція початкового профілю внаслідок впливу кубічної нелінійності відбувається в діапазонах високих частот і початкових амплітуд, відповідних діапазонів, що практично тільки граничать з відповідними діапазонами еволюції внаслідок квадратичної нелінійності.

5. Більшість традиційних матеріалів не допускають можливості одночасного спостереження впливу квадратичної і кубічної нелінійностей на еволюцію поздовжної гармонічної хвилі. Тобто не можна отримати допустиму відстань, на якій можна побачити вплив одразу обох гармонік на спотворення профілю. На відміну від цього, вплив кубічної нелінійності на еволюцію поперечної гармонічної хвилі легко аналізується.

6. При дослідженні мікро – та нанокомпозитів з вуглецевими наповнювачами виявилося, що основні хвильові явища суттєво залежать від рівня внутрішньої структури (наприклад, зменшення фазової швидкості в матеріалах нанорівня є швидшим). Однак характер явищ зберігається (наприклад, перетворення гармонічного імпульсу в його другу гармоніку – для мікро-матеріалів на відстанях макрорівня і для наноматеріалів на відстанях нанорівня).

7. Збільшення вмісту п’єзопружних гранул в композитний матеріал призводить до слабкого збільшення значень фазової швидкості і відповідно до прискорення процесу еволюції. Засвідчено вплив на еволюцію всього комплексу фізичних сталих.

Проведені у роботі дослідження теоретично підтверджують необхідність врахування нелінійності деформування і наявності внутрішньої структури при вивченні хвиль в композитних матеріалах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Каттани К., Рущицкий Я.Я., Синчило С.В. О распространении энергии плоских нелинейно упругих волн // Прикл. механіка. – 2003. – 39, № 5. – C. 93-97.

2. Каттани К., Рущицкий Я.Я., Синчило С.В. Сравнительный анализ эволюции профиля упругой гармонической волны, вызваной генерацией второй и третьей гармоник // Прикл. механіка. – 2004. – 40, № 2. – C. 82-89.

3. Рущицкий Я.Я., Синчило С.В., Хотенко И.Н. Кубически нелинейные волны в пьезоупругом материале // Прикл. механіка. – 2004. – 40, №5. – С. 92-103.

4. Сінчило С.В. Енергія хвиль в пружних матеріалах // Міжнар. конф. „Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation.” – Київ. – 2001. – C. 358.

5. Sinchilo S.V. Energy of Plane Harmonic Waves in Composite Materials (Ana-lytical and Computer Analysis) // 1st SIAM – EMS Conference – Berlin, Germany. – 2001. – P. 357.

6. Sinchilo S.V. Energy waves in elastic materials // 5th World Congress on Computational Mechanics Book of Abstracts – Vienna, Austria. – 2002. – 1, – P. 288.

7. Сінчило С.В. Енергія хвиль в пружних матеріалах // Міжнар. конф. „Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation.” – Київ. – 2003. – C. 356.

8. Сінчило С.В. Про можливість одночасного спостереження генерації другої та третьої гармонік повздовжньою гармонічною хвилею // 6 Міжнародна наукова конференція “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” – Львів. – 2003. – C. 382-384.

9. Сінчило С.В., Рущицький Я.Я., Хотенко І.М. Кубічно нелінійні хвилі в п’єзопружних матеріалах // ХІ всеукр. наук. конф. “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” – Львів. – 2004. – C. 52.

10. Rushchitsky J.J., Cattani C., Sinchilo S.V. Cubic Nonlinearity in Elastic Materials: Theoretical Prediction and Computer Modelling of New Wave Effects // Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems. – 2004. – 10, № 3-4. – P. 331-352.

АНОТАЦІЯ

Сінчило С.В. Закономірності поширення плоских гармонічних хвиль в композитних матеріалах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2005.

Дисертаційна робота присвячена розв’язанню нових задач механіки композитних матеріалів, що пов’язані з дослідженням специфіки поширення енергії та спотворення початкового профіля гармонічних плоских хвиль в пружних і п’єзопружних матеріалах з урахуванням квадратичної і кубічної нелінійностей деформування. Розглянуто три мікроструктурні моделі (модель першого порядку для пружного та п’єзопружнього середовищ, модель другого порядку для пружного середовища), числове моделювання проводилося стосовно мікро- та нанокомпозитних матеріалів з полімерними і металевими матрицями та вуглецевими і металевими наповнювачами. Описана зміна енергетичних характеристик хвиль при їх поширенні в матеріалах з нелінійними параметрами деформування. Вперше спостережені і показані графічно схеми еволюції гармонічних плоских хвиль, що відповідають квадратичній та кубічній нелінійностями деформування. Схеми дуже різняться між собою і складаються умовно з чотирьох етапів (квадратична) та трьох етапів (кубічна). Проведений числовий аналіз впливу початкових параметрів хвилі (амплітуди, частоти, довжини хвилі) на процес еволюції початкового профілю.

Ключові слова: пружні і п’єзопружні хвилі, композитні матеріали, енергетичні параметри хвиль, квадратична і кубічна нелінійності деформування, друга і третя гармоніки, спотворення профілю.

АННОТАЦИЯ

Синчило С.В. Закономерности распространения плоских гармоничес-ких волн а композитных материалах. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математичес-ких наук по специальности 01.02.04 - механика деформированного твердого тела. - Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины, Киев, 2005.

Дисcертационная работа посвящена решению новых задач механики композитных материалов, которые связаны с исследованием специфики распространения энергии и искажения начального профиля гармонических плоских волн в упругих и пьезоупругих материалах с учетом квадратичной и кубической нелинейностей деформирования. Рассмотрены три микроструктурные модели (модель первого порядка для упругой и пьезоупругой сред, модель второго порядка для упругой среды), числовое моделирование проводилось относительно микро- и нанокомпозитных материалов с полимерными и металлическими матрицами и углеродными и металлическими наполнителями. Описано изменение энергетических характеристик волн при их распространении в материалах с нелинейными параметрами деформирования. Впервые наблюдены и показаны графически схемы эволюции гармонических плоских волн, которые соответствуют квадратичной и кубической нелинейностям деформирования. Схемы очень разнятся между собой и состоят из условно из четырех этапов (квадратичная) и трех этапов (кубическая). Проведен числовой анализ влияния начальных параметров волны (амплитуды, частоты, длины волны) на процесс эволюции начального профиля.

Ключeвые слова: упругие и пьезоупругие волны, композитные материалы, энергетические параметры волн, квадратическая и кубическая нелинейности деформирования, вторая и третья гармоники, искажение профиля.

SUMMARY

Sinchilo S.V. Regularities of propagation of plane harmonic waves in com-posite materials.- Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree of physical and mathematical science on speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solid. - S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Science of Ukraine, Kiev, 2005.

The thesis is devoted to solving the new problems of mechanics of composite materials associated with studying the specifity of propagation of energy and distortion of initial profile of harmonic plane waves in elastic and piezoelastic materials with allowance for quadratic and cubic non-linearities of deformation. Three microstructural models (the first order model for elastic and piezoelastic media, the second order model for an elastic medium) are considered; the numerical modeling is carried out for micro- and nanocomposites materials with polymeric and metallic matrixes and carbon and metallic fillers. The change of characteristics of wave energy during its propagation through materials with nonlinear parameters of deformation is described. The schemes of evolution of harmonic plane waves corresponding to quadratic and cubic nonlinearities of deformation are observed and shown graphically for the first time. These schemes differ to one another and consist conditionally of four (quadratic) and three (cubic) stages. A numerical analysis of influence of the wave initial parameters (amplitude, frequency, wave length) on the process of initial profile evolution is carried out.

Key words: elastic and piezoelastic waves, composite materials, parameters of wave energy, quadratic and cubic nonlinearities of deformation, second and third harmonics, distortion of profile.