Національний університет "Львівська політехніка"

Сеник Тарас Дмитрович

УДК 004.942+621.371.334

Чисельне моделювання дифракційної взаємодії
електромагнітних хвиль з періодичними структурами

01.05.02 – математичне моделювання

та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Львів – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-механічному інституті ім. Г. В. Карпенка Національної академії наук України.

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Назарчук Зіновій Теодорович

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка Національної академії наук України, заступник директора інституту, м. Львів.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Стахів Петро Григорович

Національний університет “Львівська політехніка”, завідуючий кафедрою “Теоретична та загальна електротехніка”.

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Андрійчук Михайло Іванович

Інститут прикладних проблем математики і механіки Національної академії наук України, старший науковий співробітник відділу числових методів математичної фізики, м. Львів.

Провідна установа: Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури Держкомзв’язку та інформатизації України та НАН України, м. Львів.

Захист відбудеться 01 липня 2005 р. о 1600 годині на засіданні спеціалі-зованої вченої ради Д 35.052.05 у Національному університеті “Львівська політехніка” за адресою 79013, м. Львів, вул. С. Бандери, .

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” (79013, м. Львів, вул. Професорська, ).

Автореферат розіслано “ 31 ” травня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

д. т. н., професор Федасюк Д. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Періодичні структури широко використовують як базові елементи електронних приладів, смугових та резонаторних фільтрів, лінійних прискорювачів, молекулярних підсилювачів і генераторів, магіс-тральних ліній зв’язку, самофільтруючих хвилеводів, антен біжучої хвилі тощо. Вони також можуть слугувати зручними моделями при дослідженні електро-динамічних властивостей композиційних матеріалів та структурно неоднорідних середовищ. Ряд технічних характеристик сучасних і перспек-тивних радіолокаційних чи скануючих зондувальних систем у багатьох випад-ках може бути реалізовано тільки з використанням дифракційних решіток, які дозволяють збільшити швидкість сканування, забезпечити багатофункційність роботи, покращати характеристики випромінювання. У зв’язку з успіхами технології виробництва тонких плівок, твердотільних оптичних та акустичних ґраток, впровадженням нових матеріалів (нелінійних піро- та п’єзоелек-тричних, електрооптичних та ін.) в останній час значною мірою посилився інтерес до дослідження періодичних систем на основі складних розсіювачів. Тому кількість нових приладів (зокрема, міліметрового та субміліметрового діапазонів), які суттєвим чином використовують дифракційні властивості періодичних структур, збільшується і не має тенденції до насичення.

Підходи, що використовують довгохвильове (довжина хвилі є суттєво більшою за період d структури) чи квазіоптичне (<<d) наближення для моде-лю-вання взаємодії електромагнітних хвиль з періодичними структурами відомі давно і успішно використовуються при розробці приладів радіоелектро-ніки та антенної техніки. Однак, для оптимізації експлуатаційних характерис-тик приладів міліметрового діапазону принциповим є використання резонанс-ного випадку (довжина хвилі співмірна з періодом структури). Він вимагає побудови нових математичних моделей, які з гарантованою точністю дають розв’язки електродинамічних задач і є більш адекватними для опису суттєвих фізичних особливостей періодичних структур у цьому частотному проміжку. Тому однією з актуальних і практично важливих задач сучасної техніки міліметрового та субміліметрового діапазонів є розробка універсальних математичних моделей поведінки поля, розсіяного на дифракційній ґратці, що складається з криволінійних елементів (розсіювачів) довільної кривизни.

Багатопараметрова залежність електродинамічних характеристик періо-дич-них структур від конструктивних особливостей, значні часові та матеріальні затрати, необхідні для організації та проведення натурних експеримен-тів перетворюють числове моделювання на важливий та необхідний етап про-ек-тування періодичних структур та дослідження характеристик ряду компо-зит-них матеріалів. У зв’язку з цим, розроблення та створення методів, алго-рит-мів і програм, орієнтованих на числовий розрахунок взаємодії електро-магнітного випромінювання з періодичними структурами, що складаються з елементів довільної кривизни, є важливою та актуальною проблемою.

Найбільш адекватні на даний час математичні моделі дифракційної взаємодії електромаг-нітного поля з ґратками, що містять канонічні елементи (стрічка, частина кругового циліндра) на періоді, ґрунтуються на числово-аналітичних методах “півобертання” сингулярного оператора задачі. Однак вони є недостатньо ефективними у випадку довільної кривизни розсіювачів. Тому постала необхідність створення більш ефективних моделей та обчислю-вальних алгоритмів, які не накладають суттєвих обмежень на геометрію елементів ґратки і кут падіння електромагнітної хвилі. Представлені у даній роботі дослідження направлені на вирішення цієї проблеми.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності до пріоритетних напрямків роз-вит-ку науки і техніки в рамках таких державних замовлень на науково-техніч-ну продукцію Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка Націо-наль-ної академії наук України: "Розробка основ теорії електромаг-нітно-го та акустико-емісійного неруйнівного контролю матеріалів з використанням нових підходів до розв’язку задач математичної фізики" (№ ДР 0297U001697), "Розробка ін-фор-маційних технологій електромагнітної діагностики багатоша-ро-вих струк-тур" (№ ДК 6.02.02.021), "Дослідження взаємодії електромагніт-них та ультра-зву-кових хвиль із макродефектами шаруватого матеріалу для створення нових методик та засобів багатопараметрового неруйнівного контролю" (№ ДР U013067), "Розробка теорії та експериментальних засо-бів моделю-вання електромагнітного поля дефектів матеріалу і створення автоматизованої апа-ра-тури для його виявлення" (№ ДР 0100U004864), де автору належать роз-роб-ка та реалізація алгоритмів розрахунку періодичної функції Ґріна і побудова двовимірних моделей дифракції хвиль на металевих ґратках.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є створення двовимірної математичної моделі резонансної дифракційної взаємодії електромагнітного поля з періодичною структурою, що складається з системи гладких екранів (розсіювачів) довільної кривизни, розташованих у кусково-однорідному середовищі, за умови довільного падіння зондуючої E- або H-поляризованої плоскої хвилі.

Досягнення цієї мети передбачає вирішення таких основних задач:

1. Розробити високоефективний алгоритм обчислення періодичної функції Гріна дифракційної задачі у широкому діапазоні зміни її параметрів.

2. Побудувати числову модель дифракції плоскої Е- або Н-поляризованої електромагнітної хвилі на багатоелементній дифракційній ґратці, розташо-ваній у вільному просторі, розв’язавши відповідну задачу методом сингулярних інтегральних рівнянь.

3. Розширити межі застосовності створеної моделі на випадок розміщення дифракційної ґратки у діелектричному півпросторі з неплоскою періодичною межею.

4. Апробувати створену модель та розроблене програмне забезпечення при дослідженні впливу геометрії елементів ґратки та кута падіння зондуючої хвилі на їх дифракційні характеристики в резонансному діапазоні частот.

Об'єктом дослідження є модель дифракційної багатоелементної ґратки.

Предметом дослідження є визначення можливостей, характеристик та меж застосовності моделі при розрахунку дифрагованого поля з урахуванням взаємодії між елементами періодичної структури.

Методи дослідження. Для створення високоефективного алгоритму обчислення функції Ґріна застосовано модифікацію контура інтегрального зображення функції Ганкеля та побудовано інтерполяційний поліном Лагранжа від кількох змінних. Для розрахунку дифрагованого електромагнітного поля плоскої Е- або Н-поляризованої хвилі, що взаємодіє з дифракційною багатоелементною ґраткою, використано прямий чисельний метод розв’язання сингулярних інтегральних чи інтегро-диференціальних рівнянь, який без попередньої аналітичної регуляризації дає змогу отримати скінченну добре обумовлену систему лінійних алгебричних рівнянь.

Наукова новизна роботи визначається наступним:

1. Запропоновано новий високоефективний метод обчислення періодичної функції Ґріна на основі модифікації контура інтегрального зображення функції Ганкеля та використання інтерполяційного полінома Лагранжа від кількох змінних.

2. Розроблено і апробовано новий числовий метод строгого розв’язання задачі дифракції плоскої Е- або Н-поляризованої електромагнітної хвилі на багатоелементній дифракційній ґратці, розташованій у кусково-однорідному середовищі при довільних геометрії елементів на періоді та куті падіння хвилі.

3. Уперше запропоновано спосіб моделювати межу розділу двох середовищ як елемент ґратки, що дозволило суттєво розширити застосовність моделі для дослідження розсіювальних властивостей хвилястих поверхонь.

Практичне значення одержаних результатів.

1. Розроблено пакет програм на мові програмування Visual FORTRAN для числових розрахунків функції Ґріна періодичних структур при широкому діапазоні зміни її параметрів.

2. Розроблено пакет програм на мові програмування Visual FORTRAN для моделювання у широкому (включаючи резонансний) частотному діапазоні дифракційних характеристик ґратки при її опроміненні електромагнітною хвилею без суттєвих обмежень на геометрію розташування елементів та межу розділу діелектричних середовищ.

3. Дано рекомендації для вибору структури каскадної ґратки для отримання заданих характеристик відбивання та розсіяння при певних кутах падіння зондуючої хвилі.

Особистий внесок здобувача. В опублікованих із співавторами наукових роботах автору належить:

[1, 6, 7, 8] – побудова тривимірного інтерполяційного полінома, створення та тестування програмного забезпечення, проведення числових розрахунків;

[2, 3, 9] – розробка ідеї модифікації контура інтегрування для обчислення функції Гріна, програмне забезпечення, проведення числових розрахунків;

[11 – 14] – реалізація ідеї моделювання границі півпростору елементом дифракційної ґратки, отримання аналітичного розв’язку задачі, розробка програмного забезпечення, проведення числових досліджень дифракційних характеристик каскадних ґраток та аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідалися та обговорювалися на таких наукових форумах: Journes Internationales De Nice Sur Les Antenes. Nice, France, 8–10 Novembre 1994; International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED’95, Lviv, September 19–21, 1995; VIth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET’1996, Lviv, Ukraine, September 10–13; VIIth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET’98, Kharkov, Ukraine, June 2–5, 1998; III International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED’98, Tbilisi, November 2–5, 1998; IV International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED’99, Lviv, September 20–23, 1999; VIIIth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET’2000, Kharkov, Ukraine, September 12–15, 2000; 2000 International Symposium On Antennas And Propagation (ISAP 2000), ACROS Fukuoka, Japan August 21–25, 2000; 2002 IEEE AP-S Symposium and USNC/URSI Meeting "New Frontiers in Antennas & Propagation for a Wireless World." June 16–21, 2002, San-Antonio, Texas,USA.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 14 наукових пра-цях, із них 5 статей у фахових спеціалізованих науково-технічних журна-лах і 9 робіт у збірниках наукових матеріалів та тез міжнародних конференцій.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, п’яти основних розділів, висновків та списку використаних джерел. Її загальний обсяг складає 169 сторінок. З них: основна частина – 135 сторінок, 23 рисунки на 26 сторінках, 122 найменування у списку використаних джерел на 14 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету та задачі досліджень, викладено наукову новизну отриманих результатів та їх практичне значення, подано відомості про апробацію та публікації по темі дисертації.

У першому розділі на основі огляду літературних джерел дано аналіз сучасного стану проблеми математичного моделювання дифракційної взаємодії електромагнітного поля з періодичними структурами. Виділено фундаментальні результати теорії, відзначено її досягнення та існуючі на даний час проблеми.

Розглянуто основні групи методів, що використовують при розв’язанні граничних задач для одного або системи еліптичних рівнянь в необмеженій чи обмеженій областях. Значну увагу в розділі приділено підходу, що добре зарекомендував себе при моделюванні резонансної поведінки періодичних структур – побудові функції Ґріна та подальшому розвитку теорії потенціалів.

Розглянуто також особливості чисельної реалізації існуючих алгоритмів, їх оптимізації та підвищення ефективності.

Проаналізовано основні структури, для яких вдається успішно побудувати моделі їх дифракційної взаємодії зі змінним електромагнітним полем, та вказано межі їх застосовності.

У другому розділі дисертації викладено застосування методу механічних квадратур для розв’язання сингулярних інтегральних та інтегродиференціальних рівнянь.

При моделюванні розсіяння хвиль періодичними структурами доцільно використати апарат інтегральних рівнянь. Через наявність у ядрах таких рів-нянь функції Ґріна періодичної дифракційної задачі вони володітимуть лога-риф-мічною особливістю або сингулярністю типу Коші. Стандартним методом розв’язання сингулярних інтегральних рівнянь є їх аналітична регуляризація і наступне числове обертання отриманих інтегральних рівнянь Фредгольма дру-гого роду. Однак, при такій процедурі значно ускладнюються ядра регуля-ри-зо-ва-ного рівняння. Тому застосовують прямі методи розв’язання вихідних син-гу-ляр-них інтегральних рівнянь, що приводять до скінчених алгебраїчних систем.

Із структури сингулярних рівнянь випливає, що їх чисельний розв’язок зручно шукати методом механічних квадратур. Цей метод базується на спеціально побудованих квадратурних формулах для сингулярних інтегралів і без попередньої аналітичної регуляризації приводить до добре обумовлених скінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

У підрозділі 2.1 розглянуто сингулярне інтегральне рівняння першого роду з ядром Коші, до якого можна звести задачу дифракції Е-поляризованої електромагнітної хвилі на ідеально провідній циліндричній перешкоді у випадку розімкнутого контура інтегрування. Для його чисельного розв’язку, використовуючи спеціально побудовані квадратурні формули, отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

Враховуючи особливість чисельного розв’язування таких інтегральних рівнянь, багатократне обчислення їх ядер є неминучим елементом математич-ної моделі розсіяння хвиль періодичними структурами. Це гостро ставить проблему ефективності таких обчислень. Показано, що коли застосувати процедуру інтерполяції безпосередньо до шуканої густини інтегрального рівняння, то отримані в кінцевому результаті СЛАР будуть більш зручними та ефективними для числового розв’язання таких інтегральних рівнянь.

Аналогічний підхід застосовано у підрозділі 2.2 для розв’язання слабо сингулярних інтегральних рівнянь (інтегральних рівнянь з логарифмічною особливістю) як першого, так і другого роду для розімкнутого контура інтегрування.

У підрозділі 2.3 розроблені чисельні схеми узагальнено на випадок наближеного розв’язування інтегральних рівнянь за наявності в їхніх ядрах сингулярностей обох типів (з особливістю типу Коші та з логарифмічною особливістю). Необхідність такого узагальнення виникає, зокрема, при моделюванні двовимірних задач дифракції Н_поляризованої електромагнітної хвилі на ідеально провідних розсіювачах.

Побудовані у цьому розділі СЛАР є дискретними аналогами вихідних сингулярних інтегральних рівнянь і служать основою для ефективного моделювання дифракційної взаємодії періодичних структур з електромагнітними хвилями.

У розділі 3 дисертації розроблено новий високоефективний метод обчислення канонічної функції Ґріна періодичної дифракційної задачі на основі модифікації контура інтегрального зображення функції Ганкеля та використання інтерполяційного полінома Лагранжа від кількох змінних.

Нехай досліджувана періодична (період d) структура знаходиться у середовищі з дійсним хвильовим числом і опромінюється плоскою електромагнітною хвилею (кут падіння – ). Тоді обчислення канонічної функції Ґріна періодичної дифракційної задачі

(1)

ви-магає згортання рядів типу Шльомільха, що слабо збігаються. У підрозділі 3.1, після застосування відомого інтегрального зо-бра-жен-ня функ--ції Ганкеля та проведення математичних перетворень, отримано нове представлення функції Ґріна. Для забезпечення математичної коректності та збіжності нескінченного ряду у т. зв. “точках ковзання” (полюси підінтегральної функції) запропоно-вано модифікувати контур інтегрування. Спеціально вибраний контур m у комплексній площині змінної інтегрування забезпечує максимально швидке заникання підінтегральних функцій, а значить – і високу ефективність усієї обчислювальної схеми. Як результат, функцію Ґріна періодичної дифракційної задачі запропоновано обчислювати за такою формулою:

;

. (2)

Рис. 1. f___6Контур інтег-ру-ван-ня для обчислення асимптотики функ-ції Ґріна в дальній зоні, що вра-ховує на-яв-ність полюсів.

Важливою інформаційною ха-рак-теристикою дифрагованого поля, що описує його енергетичні власти-вості і часто використовується при дослід-женні розсіяння хвиль нескін-ченними ґратками, є його асимптотика на не-скін-ченості. Таку асимптотику можна записати, використовуючи асимпто-тику функції Ґріна на нескін-чен-ності. Однак, формула (2) для цього є непри-дат-ною. У підрозділі 3.2 дисертації запро-поновано інший контур інте-гру-вання, зображений на рис. .

При цьому є очевидним, що підінтегральні функції у виразі (2) на дійсній осі мають полюси m. Оскільки сам інтеграл, в силу спеці-аль-но проведеного контура інтегру-ван-ня, на нескінченості швидко пря-мує до нуля, то основний внесок в асимптотику функції Ґріна дають ли-ше лишки у згаданих полюсах. Для випадку одномодового режиму опро-мі-нення, коли вся енергія хвилі зосе-ред-жена у головній гармоніці, асимптотика функ-ції Ґріна на нескінченності буде такою:

. (3)

Для моделювання дифракції хвиль на періодичних структурах необхід-но обчислювати перші та другі похідні функції Ґріна періодичної дифракцій-ної задачі по нормалі до контура інтегрування L, що геометрично співпадає з поперечним перерізом нескінченно тонкого ідеально провідного розсіювача. Використовуючи правила диференціювання узагальнених функцій та власти-вості похідних функції Ганкеля, такі вирази отримані у підрозділі 3.3 дисерта-ції. З їх допомогою необхідні нормальні похідні можуть бути обчислені у будь-якій точці поперечної до осі циліндричної періодичної структури площи-ни, включаючи точки контра L. Проведено порівняння запропонованих числових схем та вибрано найбільш ефективні їх параметри з точки зору програмної реалізації (час розрахунку, простота тощо).

Як видно з попереднього викладу, канонічна функція Ґріна періодичної дифракційної задачі містить контурні інтеграли типу Зоммерфельда. Їх багато-крат-не обчислення, необхідне для заповнення матриці алгебраїчної системи – дискретного аналога відповідного інтегрального рівняння математичної моде-лі – потребує значних машинних ресурсів. Звідси зрозуміла необхідність по-шу-ку альтернативного варіанту для усунення цих труднощів. Для цього у під-роз-ділі 3.4 дисертації запропоновано використати добре відому з теорії апро-ксимації концепцію інтерполювання. Щоб скоротити час обчислень інтегралів типу Зоммерфельда побудовано інтер-по-ля-ційний по-ліном Лагранжа за че-би-шев-ськими вузлами від трьох змінних: x=Re{z}; y=Im{z}; d. При цьому зроб-лено при-пущення, що для будь-яких двох фіксованих змінних деяка функція S(x,y,d) апро-ксимується таким поліномом по відношенню до третьої змінної:

, (4)

де ., , , – поліноми Чебишева першого роду, – вузли інтерполяції.

Щоб підвищити ефективність розрахунків за формулою (4), області ви-зна-чення кожної із змінних – x, y, d – розбивали на менші сегменти, що дало мо-жли-вість отримувати необхідну точність без збільшення ступеня інтерпо-ляційного полінома (тобто, без збільшення значень параметрів mx, my, md).

Для тестування алгоритму обчислення інтеграла (2), останній безпосередньо рахувався у 2000 довільно вибраних точках. У цих же точках проводили інтерполяцію, попередньо заповнивши масив . Абсолютну точність інтерполяції e=1.ґ10-5 було досягнуто при mx=my=md=5. При цьому кількість сегментів на довжину хвилі складала lx=ly=ld=8. Ма-кси-мальна відносна похибка обчислення при цьому не перевищила 0,01%, а для більшості точок вона становила 0.001%. Час прямого обчислення інтеграла (2) у 1000 точках склав 2 хв .88 сек; час його обчислення із використанням інтерполяції: – 4.89 сек.

Таким чином, показано, що застосування інтерполяції дозволяє суттєво скоротити час обчислень, а досягнута абсолютна точність інтерполяції є одного порядку із точністю прямого обчислення періодичної функції Ґріна. Це означає, що для організації масових обчислень періодичної функції Ґріна доцільно поступити так: безпосереднім контурним інтегруванням інтегралів Зоммерфельда обчислюємо "базовий" масив їх значень у точках , ; ; . Далі інтерполяцією за формулою (4) отримуємо необхідні значення цих інтегралів для довільних змінних (x, y) та періоду структури d.

Для того, щоб уникнути прямого диференціювання виразу для функції Ґріна, у цьому ж підрозділі запропоновано провести диференціювання безпосередньо побудованого інтерполяційного полінома (4). Це дає додаткові часові переваги при отриманні числових результатів математичної моделі процесу розсіяння хвиль періодичними структурами.

У розділі 4 дисертації методом сингулярних інтегральних рівнянь з використанням розробленого алгоритму обчислення функції Гріна розв’язано задачу дифракції плоскої Е- та Н-поляризованої електромагнітної хвилі на багатоелементній дифракційній ґратці, розташованій в однорідному просторі, за умов довільної геометрії елементів та довільного кута падіння хвилі.

У підрозділі 4.1 здійснено математичну постановку задачі. Розглянуто нескінченну дифракційну ґратку з пе-рі-о-дом d, розташовану в однорідному ізо-троп-ному се-ре-довищі з хвильовим числом . Один період ґратки міс-тить N ци-лін-дричних ідеально провідних не-с-кін-чен-но тонких розсіювачів з твірними, котрі паралельні осі Oz. Поперечні перерізи розсіювачів площиною xOy ут-во-рюють відкриті контури типу Ляпунова . Кут падіння електро-маг-нітної хвилі у пло-щи-ні xOy вважали гострим (0<</2), а хвильове чис-ло  – дійсним. Таку задачу зведено до розв’язання рів-няння Гельмгольца, що за-до-воль-няє умо-вам Діріхле (у випадку E-поляризації) чи Неймана (у випадку H-поляризації) на контурах ; типу Мейкснера в околі ребер (кінцевих точок контурів ). Крім того, результуюче (дифраговане) електро-маг-нітне поле не повинно містити жодних хвиль, які розповсюджуються з нескінченості, окрім па-да-ю-чої.

У підрозділі 4.2, застосувавши представлення функції Ґріна, отримане у розділі 3 дисертації, отримано системи сингулярних інтегральних рівнянь для випадків Е- та Н-поляризації. На основі асимптотик дифрагованого поля у да-ль-ній зоні введено поняття кое-фі-ці-єн-тів відбивання R та проходження T ґратки.

Врахувавши умову Мейкснера на ребрі, яка фізично означає ви-мо-гу скінченності дифрагованого поля в усіх точках простору, включаючи і окіл ребер, проведено алгебраїзацію систем сингулярних інтегральних рівнянь та записано СЛАР для обох випадків по-ляризації. При цьому за-діяно метод механічних квадратур, в основі якого лежать спеціальні квад-ра-турні фор-му-ли інтерполяційного типу, та викладені у розділі 2 чисельні схеми розв’я-зання сингулярних інте-граль-них та інтегро-диференціальних рівнянь. У резуль-таті такого підходу відповідний моделі алгоритм вклю-чає розв’язання систем nґN лінійних ал-ге-б-ра-їч-них рівнянь, матриці яких, в силу прева-лю-вання сингулярних діаго-нальних елементів, є добре обумовленими. Розмірність отриманих СЛАР є невеликою, а отже для запропонованої моделі не виникає особливих труд-но-щів при чисельній реалізації.

У підрозділі 4.3 проведено чисельну реалізацію побудо-ваної моделі. Описані вище алгоритми застосували до моделювання взаємодії плоскої електромаг-нітної хвилі з диф-ракційною ґраткою, на пе-ріоді якої роз-ташовані два однакові розсіювачі. Кон-тури Lk вважали дугами парабол з кінцями в точках та вершинами в точках , у системі координат xOy (рис. 2). Па-ра-ме-три-чні рівняння дуг Lk у комп-лек-с-ній площині z=x+iy мають вигляд

,,

де l – віддаль між шарами, – без-роз-мір-ний параметр, що харак-те-ри-зує прогин дзеркала розсіювача.

Рис. 2. Дифракційна ґратка з двох криволінійних розсіювачів на періоді.

З метою апро-бації алгоритму змодельовано класичний випадок відбивання плоскої E-по-ляризованої електромагнітної хви-лі від ідеаль-но про-від-ної плоскої поверхні. Площину y=0 розбили на сис-те-му однакових плоских екранів шириною 2a, що дотикаються своїми ребрами, і трактували її як нескінченну ґратку з періодом d=2a. Таку за-да-чу розв’язали чисельно з використанням побудованих алгоритмів. Крім того, цю ж площину роз-гля-дали як ди--фрак-ційну ґратку, що містить на періоді два однакових плоских екрани розміром 2?a=р/2. ? обох випадках чисельне значення густини струму, отримане після розв’язання системи інтегральних рівнянь при, відповідно, N=1 та N=2, співпало з відповідним ана-літичним розв’язком такої тестової задачі. Зауважимо, що при чисельному роз-в’язанні жодним чином не враховувалась специфіка розглядуваної за-да-чі.

У часткових випадках зображеної на рис. 2 структури (одношарова ди-фрак-цій-на ґратка з елементів постійної та змінної кривизни при нормальному падінні на неї плоскої Е-по-ля-ри-зо-ваної хви-лі; двоелементна плоска ґратка розташова-них один під одним розсіювачів (e=0) в полі H-по-ля-ри-зо-ваної пло-с-кої хви-лі) чис-лові ре-зультати співпали з даними, опубліковани-ми раніше іншими авторами. При цьому відхи-лен-ня наших результатів від тестових не пе-ре-вищувало 5.0ґ10-6 при вибраній кіль-кос-ті вузлів у квад-ратурній форму-лі n=6. Таким чи-ном, мож--на стверджу-ва-ти високу ефектив-ність за-про-по-но-ва-ної моделі з точ-ки зору її універсальності та затрат машинних ресурсів.

Рис. 3. Коефіцієнт проходження T електромагнітної хвилі, що розсію-єть-ся двоелементною криволінійною ґраткою (1=2==0.25).

Розроблена математична модель дає можливість отримати нову інформацію про розсіяне електро-магнітне поле у випадку змінної кривизни елементів періодичної струк-тури. Для цього чисельно дослі-дили вплив зміни геометричних та час-тотних параметрів моделі на по-ве-дін-ку коефіцієнтів відбивання та про-ходження ґратки. Один з результатів моделювання дифрак-цій-них власти-востей каскадної ґратки представлено на рис 3. На ньому зображено поведінку коефі-цієнта проходження плоскої E-поляризованої електромагнітної хвилі, що падає нормально (?=0) до двошарової ґратки з параболічних розсіювачів у залежності від cl та cd (частотна залежність). Значення геометричних параметрів ґратки є такими: a=d/2 і 1=2==0.25. Зауважимо, що у резонансних точках прово-ди-ли додаткову перевірку моделі на збіжність. Виявлено, що при числі n=10 та n=20 вузлових точок, які вибрано на кожному з контурів Lk, результати різняться у п’ятому знаку.

Із проведених досліджень можна зробити висновок, що двошарова дифракційна ґратка відбиває майже всі хвилі. Але тоді, коли l”k/2, k=1,…, що відповідає частотам, при яких утворюються незатухаючі хви-лі між верхнім і нижнім шарами ґратки, виникають резонансні ефекти. У таких випадках досліджувана структура пропускає майже всі хвилі, в той час як відбивання суттєво зменшується. Резонансний розмір l() залежить від частоти – при більших частотах такий своєрідний хвиле-від виглядає ширшим. Справді, ґратку із двох певним чином розташо-ва-них на періоді екранів (рис. 2) можна розглядати як відкритий планар-ний хвилевід. Було показано, що при деяких віддалях l така структура може пропускати електромагнітні хвилі, довжини яких є співмірними з періодом ґратки. Коефіцієнт проходження електро-магнітної хвилі, що розсіюється двошаровою ґраткою з плос-ких екранів, є максимальним при таких віддалях l між шарами, які відповідають зародженню додат-ко-вих мод пла-нар-но-го хвилеводу. Ця резонансна віддаль зале-жить від ширини самих розсіювачів: при ма-лій щільності заповнення ґратки хви-левід наче розширюється. При збільшенні коефіцієнта заповненості ґратки () зростає відбивна здат-ність її верхнього шару і, як на-слі-док, зменшується пропускання хвиль.

При опро-мі-ненні ґратки H-по-ля-ри-зованою плоскою хвилею, яка поширюється під ку-том до осі Oy, досліджено вплив геометричних па-ра-метрів періодичної структури на поведінку коефіцієнта відби-ван-ня. Один з отриманих результатів такого моделювання показано на рис. .

З аналізу результатів досліджень моделі двошарових ґраток можна зро-би-ти такі висновки. Коефіцієнт проход-жен-ня ґратки із опуклих (1=>0, 2=_<0) та увігнутих (1=_<0, 2=>0) екранів є різним. Кривина екранів міняє поведінку таких залежностей. Вплив запов-нення ґратки на проходження хвиль змі-ню-єть-ся. При малій кривизні елементів проходження хвиль спостері-гається лише для малої заповненості ґратки. Відбувається практично рівно-мір-не про-ход-ження хвиль по гар-моніках планарного хвилеводу. Мала кривизна еле-мен-тів періодичної структури спри-чи-ня-є погіршення пропускних власти-вос-тей, тобто амплітуда хвилі, що пройшла крізь структуру, є невеликою. Із зрос-тан-ням кривизни елементів ґратки ефект проходження хвиль починає про-яв-ля-тись при більшому коефіцієнті заповнення ґратки.

Рис. 4.f___4 Залежність коефіцієнта відбивання двошарової каскадної ґратки від кута падін-ня хвилі та кривини розсіювачів (період d=1.0 (d=2), розкрив апертури розсіювачів 2a=0.5d, відстань між шарами l=0.5d).

Таким чином, запропонований підхід дав мож-ли-вість роз-в’язати у стро-гій постановці задачу дифракції елек-тро-магнітної хвилі на періо-дич-ній бага-то-еле-мент-ній струк-турі при довільних геометрії розсіювачів та ку-тах па-діння хви-лі. Отримані чисельні результати дають можливість зробити висновок про резонанс-ний характер взаємодії зондуючої хви-лі із до-сліджуваним об’єктом та показали принципову мо-ж-ливість засто-су-ван-ня запропонованого підхо-ду до ви-рі-шення прак-тич-них задач неруйнівного контролю дефектності шля-хом побудови при-ладів індикаторного принципу дії.

Рис. 5. Геометрія задачі.

У п’ятому розділі дисертації розширено межі застосовності ство-реної у розділі 4 моделі на випадок розміщен-ня дифракційної ґратки у діелектрич-ному півпросторі з неплоскою періодич-ною межею. У підроз-ділі 5.1 роботи здійсне-но постанов-ку задачі. Вона є ана-логічною до постановки дифракцій-ної за-дачі з розділу 4, за винятком тако-го до-пов-нення: на періоді d нескінченної пе-рі-одич-ної структури міститься час-ти-на (контур L0) межі розділу двох середо-вищ: верхнього S1 та нижньо-го S2 (рис. ). Шуканий же роз-в’я-зок рівнян-ня Гельм-голь-ца з кусково-сталим хви-льо-вим числом повинен задо-воль-няти відомі умови спряження на контурі L0.

У підрозділі 5.2, застосувавши пред-ставлення функції Ґріна, отримане у розді-лі 3 дисертації, та задовольнивши умови спряження на межі середовищ виведено систе-ми сингулярних інтегральних рівнянь для випадків Е- та Н-поляризації.

У підрозділі 5.3, після відповідної параметризації контурів L0 та здійснено нормування системи сингулярних інтегральних рівнянь, виділили характеристичну частину їх ядер і, з застосуванням методу меха-ніч-них квадратур, проведено алгебраїзацію СІР для обох випадків поляризації.

Таким чином, для проведення числового моделювання необхідно розв’я-зати систему N+2 зв’язаних інтегральних або інтегро-диференціальних рівнянь, залежно від поляризації падаючої хвилі. Такі рівняння є еквівалентними системі (N+2)nґ(N+2)n лінійних ал-ге-б-ра-їч-них рівнянь. Матриці відповідних алгебраїчних систем, в силу переважання сингулярних діагональних елементів, є добре обумовленими. Тому запропонований в дисертації підхід не викликає особливих труд-но-щів при числовій реалізації і для випадку кусково-однорідного середовища.

У підрозділі 5.4 запропоновану числову схему застосовано для опису властивостей електромагнітного поля, що дифрагує на системі розсіювачів, роз-міщених біля межі розділу двох середовищ. Періодичну структуру змо-де-льо-вано каскадною ґраткою, повністю зануреною у півбезмежний діелек-трик. На одному пе-ріоді такої ґратки роз-ташовано N елементів-розсіювачів і фраг-мент межі розділу. Оскільки останній трактується як елемент ґратки, на якому за-довольняються умо-ви спряження тангенціальних складових електро-маг-ніт-но-го поля, то така модель, побудована для глад-кого контура L0 довільної кри-вини, є універ-саль-ною стосовно періодичної границі, що розділяє се-ре-до-ви-ща.

Рис. 6. Розсіяння плоскої електромагнітної хвилі дифракційною ґраткою у випадку плоскої межі розділу середовищ.

Параметри структури:

1d=, 2d=2, 2a/d=0.5, l/d=1.0, d=1.0, -1 = 2 = 0.5.

Рис. 7. Розсіяння плоскої електромагнітної хвилі дифракційною ґраткою у випадку синусоїдальної межі розділу середовищ.

Параметри структури:

1d=, 2d=2, 2a/d=0.5, l/d=1.0, d=1.0, h0/d=0.34.

Розроблена математична модель дає можливість отримати інформацію про розсіяне електромагнітне поле у випадку довільної геометрії елементів періодичної структури та довільного кута падіння хвилі. Зокрема, чисельно досліджено вплив зміни геометричних та частотних параметрів моделі на по-ведінку коефіцієнта відбиття ґратки. Один із результатів моделювання дифрак-цій-них властивостей такої каскадної ґратки представлено на рис . На ньому у 3-D формі зображено залежності “кут падіння хвилі – гли-бина за-нурення ґратки h0” для певної комбінації параметрів моделі. На рис. представлено результати моделювання структури з хвилястою границею розділу середовищ, що змінюється за синусоїдальним законом.

Порівняння числових даних, отриманих за допомогою запропонованого у цьому розділі алгоритму, із результатами для аналогічної каскадної ґратки, розташованої в однорідному середовищі показало дуже добре узгодження (з точністю до 4-х знаків). Це дає підстави стверджувати, що запропонований підхід до моделювання періодичних структур, розташованих у кусково-одно-рідному середовищі, є високоефективним та надійним з точки зору достовір-нос-ті отриманих результатів.

Кількісні характеристики сформульованої тут моделі є наступними: ма-к-симальна розмірність комплекснозначної матриці алгебраїчної системи (N+2)n(N+2)n досягала 40 (N=2, n=10). При тестових розрахунках кількість вузлів n у квадратурних формулах, рівна n=10 та n=20, забезпечила незмін-ність трьох значущих цифр мантиси коефіцієнта розсіяння R. Це означає, що кожен елемент періодичної ґратки, а також розташована на періоді частина ме-жі розділу середовищ потребувала 10 вузлових точок для забезпечення аб-со-лютної похибки отриманих результатів, рівної 10-04. Нев’язка числового роз-в’яз-ку СЛАР при цьому склала 10-06. Час розрахунку на ПЕОМ типу PC PII_350 для отримання одного числового розв’язку склав у середньому 1,87 сек.

З аналізу результатів досліджень моделі двошарових ґраток за наявності межі розділу середовищ можна зробити такі висновки. Розсіяне електромаг-ніт-не поле має складну структуру і головно за-ле-жить від кута па-дін-ня зондуючої хвилі та глибини занурення розсіювачів. Кривина елементів ґратки впли-ває від-чутно менше і не призводить до якісних змін енергетичних характеристик розсіяння. За де-яких ку-тів падіння (~60) досліджувана структура є практич-но не-прозорою не-за-леж-но від глибини занурення та кривизни її елементів. Кри-вина межі розділу середовищ суттєво посилює резонансні властивості ґрат-ки, зменшуючи вплив кривини її елементів та посилюючи резонансну за-лежність від кута падіння зондуючої хвилі.

ВИСНОВКИ

1. При моделюванні розсіяння хвиль періодичними структурами доцільно використати апарат інтегральних рівнянь. Через наявність у ядрах таких рівнянь функції Ґріна періодичної дифракційної задачі (або її похідних) рівняння мають логарифмічну особливість, або володіють сингулярністю типу Коші. Чисельні алгоритми розв’язування таких рівнянь доцільно будувати на основі методу механічних квадратур, який без попередньої аналітичної регуляризації приводить до добре обумовлених скінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Регулярні ядра інтегральних рівнянь, що не викликають особливих проблем у випадку розсіяння хвиль поодинокими перешкодами, у випадку періодичних структур приводять до суттєвого ускладнення чисельних алгоритмів. Фізично таке ускладнення зумовлене наявністю незатухаючих на нескінченності хвиль, породжених періодичністю структури; математично воно виражається у присутності в ядрах інтегральних рівнянь осцилюючих невласних інтегралів типу Зоммерфельда. Враховуючи особливість чисельного розв’язування таких інтегральних рівнянь, багатократне обчислення їх ядер є неминучим елементом математичної моделі розсіяння хвиль періодичними структурами і гостро ставить проблему ефективності таких обчислень. Розв’язання цієї проблеми подано в дисертації.

2. Застосування прямих числових методів для багатократного отримання значень канонічної функції Ґріна періодичної дифракційної задачі є неефективним з точки зору затрат машинного часу. Тому спеціально сконструйований інтерполяційний поліном дозволяє значно пришвидшити розрахунки без зменшення точності отриманих результатів, що суттєво підвищує ефективність числових алгоритмів. Процедура розбиття області наближення функції Ґріна на окремі підобласті та наступна інтерполяція по окремому визначеному сегменту з використанням малої кількості вузлів є значно ефективнішою, ніж "глобальна" інтерполяція по всій області із застосуванням великої кількості вузлів. Досягнута абсолютна точність інтерполяції є одного порядку із точністю прямого обчислення періодичної функції Ґріна.

3. Модель сис-те-ми розсіювачів у вигляді двошарової кас-кад-ної ґратки з криволінійними еле-ментами володіє вира-же-ни-ми ре-зонансними влас-ти-востями. Нескінченну ґратку із двох екранів можна розглядати як модель відкритого планарного хвилевода. При деяких віддалях l між шарами така структура може пропускати електромагнітні хвилі, довжина яких є співмірна з періодом ґратки. Коефіцієнт проходження електромагнітної хвилі, що розсіюється двошаровою ґраткою із плос-ких екранів, є максимальним при таких l, які відповідають зародженню додаткових мод пла-нар-но-го хвилеводу. Ця резонансна віддаль зале-жить від роз-мі-рів самих екранів. Мала кривина розсіювачів спри-чи-ня-є погіршення пропускних властивостей ґратки. Для криволінійних елементів ефект проходження хвиль починає про-яв-ля-тись при більшому заповненні ґратки. При певних значеннях параметрів ґратки, що відповідають частотам, при яких зароджуються незатухаючі хвилі хвилевода, виявляються резонансні ефекти: досліджувана структура пропускає майже всі хвилі, в той час як відбивання суттєво заникає.

4. Запропоновано ефективний підхід до моделювання періодичних струк-тур, розташованих у кусково-однорідному середовищі з однією межею розділу, за допомогою ідеально-провідних нескінченно тонких розсіювачів довільної кривизни та границі розділу, як елемента періодичної структури. Ос-кіль-ки межа розділу се-ре-до-вищ трактується як елемент ґратки, на якому за-до-вольняються умо-ви спряження тангенціальних складових електромагнітного поля, то такий алгоритм є універ-саль-ним стосовно періодичної границі, що розділяє се-ре-до-ви-ща.

5. Розсіяне електромагнітне поле у випадку періодичної системи розсіювачів, розташованих біля межі розділу середовищ, має складну структуру і головно за-ле-жить від кута па-дін-ня зондуючої хвилі та глибини занурення розсіювачів. Кривина елементів ґратки впли-ває значно менше і не викликає якісних змін енергетичних характеристик розсіяння. Для де-яких ку-тів (~60) падіння хвилі досліджувана структура є практично не-прозорою не-за-леж-но від глибини занурення та кривини її елементів. Кривина межі розділу середовищ суттєво посилює резонансні властивості ґратки, при цьому зменшуючи вплив кривини її елементів та посилюючи резонансну залежність від кута падіння зондуючої хвилі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.