Вступ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ
Шраменко Володимир Миколайович
УДК 517.946
ІНДЕКС КРИТИЧНОЇ ТОЧКИ
НЕДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ЕЛІПТИЧНИХ ОПЕРАТОРІВ
01.01.02 – диференціальні рівняння
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Донецьк - 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк).
Науковий керівник: академік НАН України,
доктор фіз. - мат. наук, професор
Скрипник Ігор Володимирович,
Інститут прикладної математики і
механіки НАН України (м. Донецьк).
Офіційні опоненти: доктор фіз. - мат. наук,
Тедеєв Анатолій Федорович,
Зав. відділом рівнянь математичної фізики,
Інститут прикладної математики і
механіки НАН України (м. Донецьк).
доктор фіз. - мат. наук, доцент,
Димарський Яків Михайлович
Зав. кафедрою математичного аналізу та статистики,
Луганський національний педагогічний університет.
Провідна установа: Київський національний університет ім. Т.Г.Шевченка,
кафедра математичної фізики.
Захист відбудеться “ 16 ” березня 2005р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.
Автореферат розіслано “ 11 ” лютого 2005р.
Вчений секретар
Спеціалізованої вченої ради _________________ Ковалевський О.А.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Топологічний ступінь або, у іншій термінології, обертання векторного поля є фундаментальним поняттям у алгебраїчній топології та аналізі. Велику роль відіграють топологічні методи і у теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними. Основою цих методів є введення та доречне застосування властивостей деякого інваріанта, який і має назву – ступінь відображення. Вперше такий інваріант розглядався у роботах Кронекера 1869 та Пуанкаре 1883. Але класичного формулювання це поняття набуло завдяки роботам Брауера, який сформулював також теорему про нерухому точку відображення, яка стала потужним інструментом нелінійного аналізу. На той час поняття ступеню існувало тільки для скінченновимірних відображень і не могло задовольнити багатьох потреб функціонального аналізу, диференціальних та інтегральних рівнянь.
Першою спробою поширення топологічного інваріанту на нескінченновимірні відображення та його застосування до нелінійних диференціальних задач, була робота Г.Біркхофа, О.Келлога. Але нового розвитку топологічні методи набули завдяки надзвичайно важливій роботі Ж.Лере та Ю.Шаудера 1934 J. Leray , J. Schauder, Topologie et equations fonctionnelles, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3) 51 (1934), 45-78. (російською мовою Ж.Лере, Ю.Шаудер, Топология и функциональные уравнения. УМН 1, №3-4, стр.71-95, 1946.). Було введено поняття ступеню для відображення типу I-T, де I - тотожній оператор, а T є цілком неперервним. Базуючись на властивостях ступеню був доведений принцип існування нерухомої точки, відомий як принцип Лере-Шаудера. Застосування цілком нового підходу до диференціальних рівнянь з частинними похідними дозволило позбутися багатьох обмежень, яких потребували існуючі на той час методи.
У 1950-60-х роках визначилась велика цікавість до нової теорії, з'явилося багато робіт у яких ступінь Лере-Шаудера застосовувався до різноманітних задач існування, оцінки кількості розв'язків та точок біфуркації нелінійних рівнянь у банахових просторах та нелінійних диференціальних та інтегральних рівнянь. Такий бурхливий розвиток відбувся завдяки роботам Ж.Лере, Ю.Шаудера, М.О.Красносельського, Е.Роте, М.Нагумо, К.Міранда, О.О.Ладиженської, Н.Н.Уральцевої, Л.Ніренберга, Ф.Е.Браудера та інших.
Лише наприкінці 1960-х інтерес до нових задач, застосування до яких теорії Лере-Шаудера викликало великі складнощі або було принципово неможливим, викликав розвиток теорій ступеню для відображень, відмінних від цілком неперервних. Такі приклади є у роботі М.О.Красносельського, П.П.Забрейко М.А.Красносельский, П.П.Забрейко, Геометрические методы нелинейного анализа, М. 1975.. K.Elworthy та A.Tromba Elworthy K.D., Tromba A.J., Degree theory on Banach manifolds, in “Nonlinear Functional Analysis”, F. E. Browder Ed., Proc. Symp. Pure Math., Vol. 18 (Part 1), 1970, 86–94. визначають ступінь фредгольмових відображень між банаховими многовидами. У роботах В.В.Петрішина та Ф.Е.Браудера F.E.Browder, W.V. Petryshyn, The topological degree and Galerkin approximations for noncompact operators in Banach spaces, Bull.Amer.Math.Soc. 74 (1968), 641-646 було введено поняття ступеню А-власного відображення.
У роботах І.В.Скрипника вперше було введено та знайшло багато важливих застосувань до рівнянь з частинними похідними - поняття обертання векторного поля класу , яке пізніше розглядалось Ф.Е.Браудером, як ступінь відображень класу (S+). Деякі результати стосовно введення ступеню таких відображень отримані у роботах Ю.Берковіца та В.Мустонена.
Великого розвитку топологічні методи для відображень, відмінних від цілком неперервного, здобули також завдяки зусиллям таких вчених, як: Р.Нуссбаум, П.Фітцпатрик, Ю.Г.Борисович, В.Г.Звягін, Р.Л.Фрум-Кетков та інших.
Кожний побудований ступінь знаходить своє коло застосувань, але тому типу нелінійних еліптичних задач, які вивчаються дисертантом, більш за все відповідає теорія ступеню щільно визначених відображень типу (S+)0,L, яка була розвинена у роботі А.Г.Картсатоса, І.В.СкрипникаA. G. Kartsatos, I. V. Skrypnik, Topological degree theories for densely defined mappings involving operators of type (S+), Adv. Differential Equations, 4 (1999), p.413-456..
Згадана теорія надає можливість вивчати нові типи диференціальних задач, але є багато питань, на які ще немає відповіді. Це пов'язано в першу чергу з тим, що застосування абстрактної теорії до деяких задач вимагає великих технічних складностей, деякі питання потребують узагальнення відомих абстрактних результатів, а низка задач, при звільненні від додаткових умов, взагалі може не зводитись до відображень класу (S+)L.
Окремий інтерес викликають теореми про індекс ізольованої критичної точки, а також їх застосування до оцінювання кількості розв'язків та у задачах про точки біфуркації. І хоча ця тема розглядалась багатьма авторами, одним з відкритих питань залишалося обчислення індексу у випадку, коли еліптичний оператор визначений всюди, належить до класу (S+), але не має похідної.
Тому зусилля автора, які викликані теоретичним інтересом до даної проблеми, спрямовані на дослідження топологічних характеристик нелінійних недиференційовних еліптичних операторів та їх застосування до питань існування та єдиності розв'язків, а також до задач про точки біфуркації.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації включена в План наукових досліджень відділу нелінійного аналізу Інституту прикладної математики та механіки НАН України на 2000-2002 роки.
Мета та задачі досліджень. Першою метою дослідження є можливе узагальнення результатів, отриманих у роботі А.Г.Картсатоса, І.В.Скрипника A. G. Kartsatos, I. V. Skrypnik, The index of a critical point for densely defined operators of type (S+) in Banach spaces, Trans. Amer. Math. Society 354 (2001), p.1601-1630.. Це надає можливість застосування абстрактної теорії індексу критичної точки до деяких нелінійних еліптичних крайових задач, які зводяться до рівнянь з недиференційовними операторами.
Наступною метою роботи є доведення теореми про індекс критичної точки нелінійного еліптичного оператора другого порядку. Розглядається оператор, який є всюди визначеним, належить до класу (S+), але не має похідної. Отримана теорема про індекс застосовується до задачі про точки біфуркації. Очікуваний результат є безпосереднім наслідком абстрактної теореми про індекс, але при перевірці її умов виникають окремі важливі питання. Одним з таких питань є регулярність розв'язків рівняння , причому відповідна оцінка повинна бути незалежною від параметра . Тут - нелінійний оператор, індекс критичної точки якого ми знаходимо, а оператор є його лінеаризацією у деякому сенсі.
Третя мета - це з'ясування усіх необхідних умов та доведення теореми про індекс критичної точки нелінійного еліптичного оператора вищого порядку. До того ж ця теорема має велике значення у контексті задачі про точки біфуркації. Перевірка умов абстрактної теореми про індекс виділяється у окрему задачу завдяки суттєвій відмінності у питанні регулярності розв'язків для рівнянь другого та вищого порядку. Саме тому, на відміну від другого порядку, ми розглядаємо задачу у плоскій області .
Останньою метою дисертанта є дослідження задачі із сильним (можливо експоненціальним) зростанням коефіцієнтів. Така задача розглядалась у роботі А.Г.Картсатоса, І.В.Скрипника, але при відсутності молодших членів. Також подібний результат був отриманий у роботах Х.Брезіса, Ф.Браудера, але із сильним зростанням лише у молодшій частині. Поєднуючи ці роботи, ми розглядаємо рівняння із сильним зростанням коефіцієнтів, як у головній, так і у молодшій частинах. Важливо дослідити при яких умовах на коефіцієнти такий оператор буде належати до класу (S+)0,L, тоді для нього можна ввести ступінь відображення, а натомість і довести формулу для обчислення індексу критичної точки. Окремо розглядається цікавий випадок, коли розв'язок є необмеженим.
Наукова новина отриманих результатів визначається наступними моментами.
У роботі була узагальнена абстрактна теорема про індекс критичної точки. Розглядався випадок, коли нелінійний оператор є всюди визначеним, належить до класу (S+), але не має похідної. Тому лінеаризація цього оператора проводиться за допомогою лінійного необмеженого оператора , причому оператори та , які фігурують у теоремі про індекс, є щільно визначеними, хоча раніше на них накладалася умова, щоб вони були цілком неперервними.
За допомогою доведеної у цій роботі абстрактної теореми про індекс критичної точки були отримані відповідні теореми про індекс для операторів другого та вищого порядків. Подібні задачі для випадку, коли оператори мають похідну за Фреше або за Гато, були вирішені раніше у роботі И.В.Скрыпник, Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. К. 1973., але для випадку, коли не існує похідної, вперше реалізовано підхід, який базується на теорії ступеню щільно визначених відображень класу (S+)L.
При доведенні основних теорем про індекс були отримані деякі узагальнення відомих результатів І.Нечаса, І.В.Скрипника, О.О.Ладиженської та Н.Н.Уральцевої стосовно регулярності розв'язків рівнянь другого та вищого порядків. Доведення регулярності розв'язків проводилося за допомогою ітераційної техніки Ю.Мозера. При цьому основним було показати незалежність відповідної оцінки від параметру , який входив до рівнянь.
До того ж у роботі була досліджена нелінійна еліптична задача із сильним зростанням коефіцієнтів у головній та молодшій частинах. Були отримані достатні умови того, щоб досліджуваний оператор належав до класу (S+)0,L. Це надало можливість ввести поняття ступеню відображення для такої задачі, отримати теорему про існування розв'язків та формулу для обчислення індексу критичної точки. Завдяки цьому на розглянутий тип задач можливо перенести результати про точки біфуркації.
Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають теоретичне значення. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку теорії ступеню відображення та її застосувань до дослідження нелінійних граничних задач. В роботі апробовані різні методи, які мають велике значення при дослідженні питань існування та єдиності розв'язків, у задачах про точки біфуркації, а також при отриманні важливих апріорних оцінок.
Особистий внесок дисертанта. Всі результати роботи були отримані дисертантом самостійно. Результати Розділу 4 отримані у співпраці з науковим керівником І.В.Скрипником, якому належить постановка задачі та основні ідеї її розв'язання. Особистий вклад дисертанта у результати Розділу 4 полягає в узагальнені абстрактної теореми про індекс критичної точки на випадок недиференційовних операторів, а також у доведенні допоміжної теореми про регулярність розв'язків. Дисертанту також належить допоміжний результат про регулярність розв'язку рівняння вищого порядку, який, деякою мірою, є узагальненням відомих результатів І.Нечаса та І.В.Скрипника.
Апробація результатів дисертації. Усі результати дисертаційної роботи були докладені на:
· Міжнародній конференції "Нелінійні диференціальні рівняння"(NPDE), Київ, 23-28 серпня 2001 р.;
· Міжнародній конференції "Функціональний аналіз та його застосування", присвяченої 110-ій річниці з дня народження Стефана Банаха, Львів, 27-31 травня 2002 р.;
· Міжнародній конференції "Differential and Functional Differential equations", Москва, 11-17 серпня, 2002 р.;
· Міжнародній конференції "Нелінійні диференціальні рівняння"(NPDE), Алушта, 15-21 вересня 2003 р.;
· Семінарах відділів нелінійного аналізу, рівнянь в частинних похідних та рівнянь математичної фізики Інституту прикладної математики та механіки НАН України, Донецьк, 1999-2004рр. (керівники академік НАНУ І.В.Скрипник та професор А.Є.Шишков)
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 8 роботах, серед них 3 статті у збірниках наукових праць, 5 робіт у збірниках тез конференцій.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 144 сторінках і містить вступ, основну частину з шести розділів, висновки, список літератури. Список літератури складається з 106 джерел і розташований на 11 сторінках.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
У вступі обґрунтовуються актуальність теми, формулюються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення і апробація результатів дисертації.
В першому розділі подається огляд робіт, що мають відношення до теми дисертаційної роботи. В підрозділі 1.1 мова йде про виникнення та розвиток теорії ступеня скінченновимірних відображень. В підрозділі 1.2 розглянуто деякі результати, які стосуються перенесення теорії ступеню на різноманітні типи нескінченновимірних відображень. В підрозділі 1.3 наведено огляд робіт щодо теорії ступеню відображень класу (S+), а також теорії індексу критичної точки для таких відображень.
В другому розділі викладено загальну методику, яка пов’язана із напрямком дисертаційної роботи. В підрозділі 2.1 наведено ідею топологічного методу у дослідженні існування розв’язків крайових задач. Підрозділ 2.2 присвячено методу ефективного обчислення індексу критичної точки щільно визначеного оператора. Основним моментом є ідея лінеаризації досліджуваного оператора у випадку, коли він є щільно визначеним. В підрозділі 2.3 викладено топологічний підхід до дослідження задач про точки біфуркації, який суттєво спирається на теорію індексу критичної точки. В підрозділі 2.4 наводяться основні ідеї ітераційного методу Ю.Мозера, за допомогою якого у роботі встановлюється регулярність розв’язків рівнянь другого та вищого порядків.
В третьому розділі доводиться теорема про індекс критичної точки абстрактного недиференційовного оператора. Підрозділ 3.1 присвячений формулюванню основних умов на простори та оператори.
Нехай X є дійсним сепарабельним рефлексивним банаховим простором, що задовольняє умови:
X1) існує обмежений демінеперервний оператор , який задовольняє умову (S+) для деякого , та при .
X2) існує обмежений лінійний оператор такий, що для .
Введемо класи операторів, які будуть розглядатись у цьому розділі.
Нехай лінійний оператор , задовольняє умовам:
Рівняння має лише нульовий розв'язок. Існує лінійний, взагалі необмежений, оператор такий, що та
де - додатна константа, яка залежить лише від , а - деяке достатньо мале число.
Будемо розглядати оператор який є визначеним, до того ж існує лінійний цілком неперервний оператор , з яким він співпадає при . Оператор задовольняє умову (S+)L, для довільного .
Проблема лінеаризації оператора A розв'язується наступним чином:
для оператора , визначеного
для деякого , де
Також необхідною є умова:
C) слабке замикання множини
не містить нуля для достатньо малого .
Введемо деякі підпростори просторів X, X*, пов'язані з операторами , , визначеними в умові A'). По-перше визначимо два інваріантних підпростори цілком неперервного оператора . Позначимо через пряму суму усіх інваріантних підпросторів оператора , які відповідають характеристичним числам цього оператора з інтервалу (0,1). Нехай буде замиканням прямої суми усіх інваріантних підпросторів оператора , які не увійшли до . Тоді та є інваріантними підпросторами оператора та має місце пряма сума
З властивостей характеристичних чисел цілком неперервного оператора випливає, що є скінченновимірним підпростором та , де - сума кратностей характеристичних чисел оператора з інтервалу (0,1).
Введемо оператор проектування який відповідає розкладанню, наступним чином: для .
Наступна теорема узагальнює теорему 2.3 з роботи А.Г.Картсатоса, І.В.Скрипника.
Теорема 1. Нехай демінеперервний обмежений оператор задовольняє умову (S+) та . Будемо вважати, що існує лінійний (можливо необмежений) оператор , який задовольняє умови ,. До того ж оператор обмежений та виконується умова С).
Тоді нуль є ізольованою критичною точкою оператора та його індекс дорівнює , де - сума кратностей характеристичних чисел оператора , які належать інтервалу (0,1).
Доведенню цієї теореми за допомогою лем про допоміжні гомотопії, присвячений підрозділ 3.2.
В четвертому розділі доведена абстрактна теорема застосовується до обчислення індексу критичної точки недиференційовного еліптичного оператора 2-го порядку.
Розглядається задача Діріхле
(1)
(2)
яка зводиться до рівняння з нелінійним еліптичним оператором другого порядку, що діє з простору у простір та є недиференційовним при . Тут обмежена відкрита множина з межею , .
У підрозділі 4.1 сформульовано теорему про індекс критичної точки наступного оператора.
(3)
Будемо вважати, що виконано наступні умови:
дійснозначні функції , визначені при усіх та неперервно диференційовні. Більш того .
існують додатні константи такі, що для ,
(4)
(5)
де , , .
Визначимо оператор
, де ,
де .
Введемо також оператор ,
,
Неважко перевірити, що при достатньо великому є визначеним оператор . Розглянемо оператор , який діє за формулою де та є розв’язком наступного рівняння
З’ясовується, що введений таким чином оператор є всюди визначеним та цілком неперервним.
Теорема 2. Нехай виконуються умови для та рівняння має лише нульовий розв’язок у . Тоді індекс критичної точки оператора обчислюється за формулою , де - сума кратностей характеристичних чисел задачі
, (6)
(7)
з інтервалу (0,1).
Зауваження 1. Число є характеристичним числом задачі (6), (7), якщо існує розв'язок цієї задачі для такий, що . Зрозуміло, що є характеристичним числом задачі (6), (7) тоді й тільки тоді, коли є характеристичним числом оператора . Тому будемо розуміти кратність характеристичного числа задачі (6), (7) як кратність характеристичного числа оператора .
Підготовчим етапом до доведення теореми про індекс є підрозділ 4.2 в якому було встановлено наступний результат про регулярність розв'язків.
Теорема 3. Нехай виконуються умови , на коефіцієнти та є розв'язком рівняння .
Тоді для деякого та має місце оцінка
із сталою M, яка залежить лише від .
Підрозділ 4.3 цілком присвячений доведенню теореми 2, а саме перевірці усіх умов абстрактної теореми про індекс.
У підрозділі 4.4 доведена формула індексу критичної точки застосовується при дослідженні точок біфуркації крайової задачі (1), (2).
Будемо вважати, що функції задовольняють умову та наступну умову:
існують додатні константи такі, що для виконуються нерівності (5) та
До того ж, нехай виконуються наступні умови на функцію :
дійснозначна функція визначена для та є неперервно диференційовною, .
існує додатна константа така, що для усіх виконується нерівність
Розглянемо лінеаризовану задачу
(8)
(9)
Теорема 4. Нехай функції задовольняють умови Тоді необхідною умовою того, що буде точкою біфуркації задачі (1), (2), є умова, що є характеристичним числом задачі (8), (9).
Теорема 5. Нехай виконуються умови попередньої теореми та є характеристичним числом задачі (8), (9) непарної кратності. Тоді є точкою біфуркації задачі (1), (2).
В п’ятому розділі дисертації доведено теорему про індекс критичної точки недиференційовного оператора вищого порядку, який пов'язаний із крайовою задачею:
(10)
(11)
де відкрита обмежена область з межею . Оператор діє з простору у спряжений, для . Він є всюди визначеним, але не має похідної. У підрозділі 5.1 сформульовано основні умови на коефіцієнти та наведено теорему про індекс критичної точки оператора вищого порядку.
Будемо вважати, що виконані наступні умови:
дійснозначні функції , визначені при усіх та неперервно диференційовні. Більш того, .
існують додатні константи такі, що для
де , ,
Визначимо оператор
, де ,
де .
Введемо також оператор ,
,
Тут функції повинні бути такими, щоб виконувалась умова .
З такими операторами має місце наступна теорема.
Теорема 6. Нехай виконуються умови для та рівняння має лише нульовий розв’язок у . Тоді індекс критичної точки оператора обчислюється за формулою , де - сума кратностей характеристичних чисел з інтервалу (0,1) задачі
,
Також у підрозділі 5.2 було доведено теорему про регулярність розв’язків рівняння та показана незалежність оцінки від параметра . Це деякою мірою узагальнює відомі результати І.В.Скрипника та І.Нечаса .
Підрозділ 5.3 присвячений доведенню теореми 6. Для цього треба перевірити усі умови абстрактної теореми про індекс критичної точки.
Аналогічно розділу 4, за допомогою теореми про індекс у підрозділі 5.4 були отримані необхідні та достатні умови існування точки біфуркації для крайової задачі (10), (11).
У шостому розділі дисертаційної роботи розглядаються рівняння із сильним зростанням коефіцієнтів, як у головній, так і у молодшій частинах. Будемо вважати, що - обмежена відкрита множина в , та . Подібна задача, але без сильного зростання у молодшій частині розглядалась у роботі А.Г.Картсатоса, І.В.Скрипника A. G. Kartsatos, I. V. Skrypnik, The index of a critical point for nonlinear elliptic operators with strong coefficient growth, J. Math. Soc. Japan 52, (2000), 109-137.
Розглянемо крайову задачу
(12)
(13)
де коефіцієнти та можуть мати експоненціальне зростання.
Для функцій виконуються умови .
дійсна функція визначена та неперервно диференційовна на R;
існує таке додатне число , що для довільного маємо
де константа
функція неперервно диференційовна,
існує функція, така, що для
,
при .
існує така додатна константа , що
Визначимо оператор
для де
У підрозділі 6.1 було доведено, що введений таким чином оператор задовольняє умову (S+)0,L з . Це надало змогу ввести ступінь відображення для такого оператора.
Застосуємо теорію ступеню для оператора до розв’язності крайової задачі (12), (13). Розглянемо однопараметричну сімю крайових задач
(14)
(15)
де .
Використовуючи властивість гомотопічної інваріантності ступеню відображення та принцип ненульового ступеню, отримаємо наступну теорему.
Теорема 7. Нехай виконано умови на коефіцієнти та ,i=1,2,..n. До того ж існує таке , що для довільного розв’язку u з задачі (14) , (15) виконується оцінка .
Тоді задача (12), (13) має хоча б один розв’язок у просторі .
Підрозділ 6.2 присвячений доведенню теореми про індекс критичної точки для таких операторів.
Теорема 8.. Нехай мають місце відповідні умови на коефіцієнти, та рівняння
має лише нульовий розвязок у . Тоді індекс критичної точки оператора обчислюється за формулою, де - сума кратностей характеристичних чисел задачі ,
з інтервалу (0,1). Тут , число визначається коефіцієнтами задачі, а – символ Кронекера для , інакше .
Ця теорема про індекс критичної точки надає можливість перенести відомі раніше результати, які стосуються задач про точки біфуркації, на новий тип операторів.
У підрозділі 6.3 розглядається можливість доведення теореми про індекс критичної точки у випадку, коли рівняння може мати необмежені розв’язки.
У випадку простору розглядається така ситуація, коли рівняння (12) містить у молодшій частині доданок вигляду , де
Відомо, що якщо розглядати таку задачу у згаданому просторі, то її розв'язки можуть бути необмеженими. При таких обставинах умова не виконується, однак замість неї має місце більш слабка умова
існує таке додатне число , що для довільної послідовності такої, що , ми маємо для усіх та для
Тут множина , а оператор можливо обрати таким чином
Нарешті і у випадку необмеженого розв’язку має місце теорема про індекс критичної точки, а тому і всі попередні результати про точки біфуркації.
ВИСНОВКИ
В дисертації досліджено питання обчислення індексу ізольованої критичної точки недиференційовних еліптичних операторів, а також застосування отриманих результатів до задач про точки біфуркації.
Виділимо найбільш важливі результати, отримані у дисертації.
1. Доведено теорему про індекс критичної точки абстрактного недиференційовного оператора, яка узагальнює результат роботи А.Г.Картсатоса, І.В.Скрипника .
2. За допомогою абстрактної теореми доведено теорему про індекс критичної точки квазілінійного еліптичного оператора другого порядку для області довільної вимірності .
3. З'ясовано необхідні та достатні умови існування точки біфуркації відповідної еліптичної задачі другого порядку.
4. Доведено теорему про індекс критичної точки квазілінійного еліптичного оператора вищого порядку для плоскої області , тобто при . Ця теорема спирається на абстрактний результат, доведений у даній роботі.
5. З'ясовано необхідні та достатні умови існування точки біфуркації відповідної еліптичної задачі вищого порядку.
6. Отримано корисні результати стосовно регулярності розв'язків рівнянь для операторів другого та вищого порядків. До речі, теорему про регулярність розв'язків рівнянь вищого порядку можна вважати деяким узагальненням результатів І.Нечаса та І.В. Скрипника.
7. Досліджено задачу із сильним зростанням коефіцієнтів (можливо експоненціальним). З'ясовано достатні умови того, щоб щільно визначений оператор, який відповідає задачі, задовольняв умову (S+)0,L. Це надало можливість введення поняття ступеню відображення та його застосування у питанні існування розв'язків. Також доведено теорему про індекс критичної точки. Окремо розглянуто випадок рівняння, яке може мати необмежені розв'язки.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1.Шраменко В.Н. Индекс критической точки недифференцируемого эллиптического оператора второго порядка // Труды ИПММ НАН Украины.- 2003. - Т.8. - С. 229-238.
2.Шраменко В.Н. Индекс критической точки недифференцируемого эллиптического оператора высшего порядка // Труды ИПММ НАН Украины.- 2004. - Т.9. - С. 221-231.
3.Шраменко В.М. Топологічні характеристики задач із сильним зростанням коефіцієнтів // Вісник ДонНУ, Серія А. – 2003. - Т.2. - С. 23-30.
4.Shramenko V.N. Application of the topological degree theory to a problem of resolvability of nonlinear elliptic dirichlet problems // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts of XIV International conference dedicated to J.P.Shauder. – Lviv. – 1999. - P.190.
5.Shramenko V.N. Index of a critical point for quasilinear elliptic operator of the second order // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. – Donetsk. – 2001. - P.111.
6.Shramenko V.N. The index of a critical point for densely defined potential mappings of type (S+) // Functional analysis and applications. Book of abstracts of International conference dedicated to Stefan Banach. – Lviv. – 2002. -P.184.
7.Shramenko V.N. Topological characteristics for one nonlinear elliptic operator // Book of abstracts of International conference on differential and functional differential equations. – Moscow. – 2002. - P.113.
8.Shramenko V.N. The index of a critical point for high order nondifferentiable elliptic operator // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. – Donetsk. – 2003. - P.189.
АНОТАЦІЇ
Шраменко В.М. Індекс критичної точки недиференційовних еліптичних операторів. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2004.
В дисертації досліджуються питання обчислення індексу ізольованої критичної точки недиференційовних еліптичних операторів другого та вищого порядків. Ці результати є наслідком доведеної у цій роботі теореми про індекс критичної точки абстрактного недиференційовного оператора класу (S+). За допомогою доведених теорем про індекс з’ясовуються необхідні та достатні умови існування точок біфуркації відповідних крайових задач для рівнянь другого та вищого порядків. Суттєва увага приділяється теоремам про регулярність розв’язків квазілінійних рівнянь другого та вищого порядків, які містять параметр. Досить технічним питанням було показати незалежність відповідної оцінки від цього параметру. Доведення цих результатів проводилося за допомогою ітераційної техніки Ю.Мозера.
В роботі також досліджуються топологічні характеристики нелінійних еліптичних операторів із сильним (можливо експоненціальним) зростанням коефіцієнтів у головній та молодшій частинах. Доведено теореми про існування розв’язків відповідної задачі Діріхле, а також про формулу індексу критичної точки, яка знаходить подальшого застосування у задачах про точки біфуркації.
Ключові слова: диференціальні рівняння з частинними похідними, ступінь відображення, індекс критичної точки, точки біфуркації, регулярність розв’язків, метод Мозера, недиференційовний оператор, щільно визначені оператори класу (S+) .
Шраменко В.Н. Индекс критической точки недифференцируемых эллиптических операторов. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2004.
В диссертации исследуются вопросы вычисления индекса изолированной критической точки недифференцируемых эллиптических операторов второго и высшего порядков. Для дифференцируемых операторов класса (S+) такие вопросы были изучены в работах И.В.Скрыпника. Следует отметить, что существенным моментом при построении теории индекса критической точки является линеаризация нелинейного оператора с помощью его производной в смысле Фреше либо в смысле Гато. Операторы, рассмотренные в данной диссертации, являются всюду заданными деминепрерывными отображениями класса (S+), но не имеют производной. Поэтому нелинейный оператор линеаризуется с помощью линейного плотно заданного неограниченного оператора , который связан с специальным условием. Заметим, что если производные Фреше и Гато определяются единственным образом, то введенная нами “производная” может быть не единственной.
Теория индекса критической точки плотно заданных отображений класса (S+) была построена в современных работах А.Г.Картсатоса, И.В.Скрыпника, но ее основные результаты применимы к рассматриваемым в диссертации дифференциальным задачам лишь при весьма существенных ограничениях. Поэтому автором была доказана обобщенная абстрактная теорема об индексе, на основании которой были получены формулы для вычисления индекса критической точки дифференциальных операторов. При помощи этих результатов в работе выясняются необходимые и достаточные условия существования точек бифуркации соответствующих граничных задач для уравнений второго и высшего порядков.
Существенные технические сложности при доказательстве теорем об индексе дифференциальных операторов связаны с проверкой всех условий абстрактной теоремы. Одним из особо трудоемких вопросов является доказательство вспомогательных теорем о регулярности решений квазилинейных уравнений второго и высшего порядков, которые содержат параметр. Основным при этом было показать независимость соответствующих оценок от этого параметра. Доказательство этих результатов проводилось с помощью итерационной техники Ю.Мозера. Следует отметить, что для уравнений второго порядка задача рассматривается в области произвольной размерности, а для уравнений высшего порядка только в плоской области. В первую очередь это связано с существенным отличием в вопросе регулярности решений уравнений второго и высшего порядков.
В работе также исследуются топологические характеристики нелинейных эллиптических операторов с сильным (возможно экспоненциальным) ростом коэффициентов в главной и младшей частях. Получены достаточные условия на коэффициенты, при которых такой оператор принадлежит классу (S+)0,L, что дает возможность ввести для него понятие степени отображения. Доказаны теоремы существования решений соответствующей задачи Дирихле, а также получена формула для вычисления индекса критической точки, которая находит дальнейшее применение в задачах о точках бифуркации.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных, степень отображения, индекс критической точки, точки бифуркации, регулярность решений, метод Мозера, недифференцируемый оператор, плотно заданные операторы класса (S+) .
Shramenko V.N. The index of a critical point for nondifferentiable elliptic operators.
Thesis for a candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.02 – differential equations. – Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Donetsk, 2004.
The dissertation is devoted to the computation of the index of a critical point for nondifferentiable nonlinear elliptic operators of the second and higher orders. These results follow from the theorem on index of a critical point for abstract nondifferentiable operators of type (S+), which was proved by the author. Also the applications of the index formula to relevant bifurcation problems were given. The essential attention was paid to regularity results for quasilinear elliptic equations of the second and higher orders, with a parameter. The main technical problem was to show, that the corresponding estimate is independent of this parameter. The proves of these results are based on Moser’s iterations technique.
Topological characteristics for nonlinear elliptic operators with strong (possibly exponential) coefficient growth in the main and low order parts are also studied in the thesis. Using a topological theory we obtain new existence result for relevant boundary value problem and calculate the index of a critical point. The index theorem has applications in bifurcation problems.
Key words: partial differential equations, degree theory, index of a critical point, bifurcation points, regularity of solutions, Moser’s method, nondifferentiable operator, densely defined operators of type (S+) .
