Одеський державний університет ім
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ім. І.І. Мечникова
ШИНКАРЕНКО Володимир Миколайович
УДК 517.925
АСИМПТОТИЧНІ ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ –ГО ПОРЯДКУ
З ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНОЮ НЕЛІНІЙНІСТЮ
01.01.02 – диференціальні рівняння
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Одеса – 2005
Дисертацією є рукопис.
Роботу виконано на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського національного університету ім.І.І.Мечникова.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Євтухов В’ячеслав Михайлович, Одеський національний університет ім. І.І.Мечникова,
завідувач кафедри диференціальних рівнянь.
Офіційні опоненти: академік АН Грузії, доктор фізико-математичних наук, професор
КІГУРАДЗЕ Іван Таріелович,
Інститут математики ім. А.Размадзе АН Грузії, директор;
доктор фізико-математичних наук, професор
Теплінський Юрій Володимирович,
Камянець-Подільський державний університет,
завідувач кафедри диференціальних рівнянь і геометрії.
Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ.
Захист відбудеться 28.10. 2005 р. о годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К41.051.05 при Одеському національному університеті ім. І.І.Мечникова за адресою 65026, м.Одеса, вул. Дворянська, 2, ауд.73.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Одеського національного університету ім.І.І.Мечникова (65026, м.Одеса, вул. Преображенська, 24).
Автореферат розісланий 26.09. 2005р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Вітюк О.Н.
1
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Сучасні потреби практики вимагать необхідності подальшого розвитку теорії нелінійних диференціальних рівнянь. Саме тому побудова нових методів дослідження таких рівнянь є однією з самих актуальних задач сучасної якісної теорії диференціальних рівнянь. Велику кількість результатів принципового характера для нелінійних диференціальних рівнянь було отримано в останні 50 років. А саме, дано класификацію рівнянь за осцилляційними властивостями їх розв’язків, встановлено ознаки існування і відсутності сингулярних, правильних, коливних, неколивних і монотонних розв’язків різних типів, отримано оцінки і точні асимптотичні формули для правильних розв’язків в околі нескінченно віддаленої точки та ін. Дослідження в цьому напрямку, які виконувались до 1990 року, підсумовані в монографії І.Т. Кігурадзе і Т.А. Чантурія “Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений.” – М.: Наука, 1990. Тут, зокрема, відображені результати, що стосуються встановлення точних асимптотичних формул для правильних і сингулярних розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь типу Емдена – Фаулера
, (1)
де і неперервно диференційована функція. Окремі випадки цього рівняння виникають в астрофізиці, ядерній фізиці, газовій динаміці, механіці рідин і в інших галузях природознавства.
Основні прийоми і методи встановлення асимптотики правильних і сингулярних розв’язків рівняння (1) були розроблені в роботах І.Т. Кігурадзе, Т.А. Чантурія, Ш. Белогорця, О.В. Костіна і Л.В. Клебанова.
В роботах О.В. Костіна, В.М. Євтухова детально було розглянуто питання про асимптотику всіх правильних і сингулярних неколивних розв’язків рівняння, яке містить в правій частині також похідну від невідомої функції. При цьому, на відміну від попередніх досліджень, був розглянутий випадок довільних , більш глибоко розглянуті особливі випадки і надано єдиний підхід дослідження правильних і сингулярних неколивних розв’язків. Такого типу нелінійні рівняння виникають, наприклад, при вивченні розподілу електростатичного потенціалу в сферично-симетричному об’ємі плазми продуктів згорання.
2
Результати, отримані для суттєво нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку зі степеневою нелінійністю, стали важливою передумовою для побудови асимптотичних методів
дослідження розв’язків різних класів нелінійних неавтономних звичайних диференціальних рівнянь - го порядку (). Наприклад, І.Т. Кігурадзе розроблені методи, які дозволяють отримувати двосторонні асимптотичні оцінки для так званих кнезеровських, швидкозростаючих і сингулярних неколивних розв’язків рівнянь типу Емдена – Фаулера. Крім того, І.Т. Кігурадзе досліджено питання про умови існування у рівняння загального вигляду розв’язків зі степеневою асимптотикою.
В роботах О.В. Костіна вперше був запропонований метод, заснований на використанні формул Г.Харді, який припускає встановлення точних асимптотичних формул для правильних неколивних розв’язків диференціальних рівнянь - го порядку, в яких головну роль у правих частинах відіграють члени зі степеневими нелінійностями. Їх використання дозволило отримати достатні ознаки існування розв’язків такого типу і їх асимптотичні зображення.
В роботах В.М. Євтухова для суттєво нелінійного диференціального рівняння типу Емдена-Фаулера введено клас так званих - розв’язків. Були отримані необхідні і достатні умови існування кожного з можливих типів - розв’язків і їх асимптотичні зображення. У подальшому ця методика була поширена і на рівняння вигляду (3).
Потрібно зазначити, що в роботах Р. Емдена, опублікованих ще наприкінці ХІХ -- початку ХХ століття, присвячених астрофізичним дослідженням, поряд з диференціальним рівнянням другого порядку зі степеневою нелінійністю зустрічаються також рівняння вигляду (5).
Проте, на відміну від (1) такі рівняння не привернули увагу математиків. Були отримані лише деякі частинні результати про поведінку розв’язків цього рівняння. Диференціальні рівняння з експоненціальною нелінійністю виникають і в інших галузях фізики. В 80-х роках ХХ століття у роботах С. Хастінса і Е. Пура при дослідженні задачі Лінана з теорії згорання, також зустрічаються рівняння з експоненціальною нелінійністю. При вивченні розподілу електростатичного потенціалу в циліндричному об’ємі плазми продуктів згорання виникає рівняння, яке може бути зведено до вигляду (5), що містить в правій частині експоненціальну нелінійність. В роботах Євтухова В.М., Дрік Н.Г отримані результати, які стосуються асимптотичної поведінки правильних і сингулярних
3
неколивних розв’язків рівняння (5). Створена для таких рівнянь методика дослідження у цілому відрізняється від методик, які застосовувались для рівнянь зі степеневою нелінійністю.
У зв’язку з цим і вказаними вище результатами для диференціальних рівнянь -го порядку, що грунтуються на степеневому характері нелінійності, цілком природною, як з теоретичної, так і з практичної точки зору, є ідея побудови асимптотичної теорії для нелінійних диференціальних рівнянь -го порядку з експоненціальною нелінійністю.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, обраний в дисертації, є складовою частиною теми “Дослідження асимптотичного поводження розв’язків диференціальних рівнянь аналітичними і якісними методами”, яка виконується на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова. (Номер держреєстрації 0101U008290.)
Мета і задачі дослідження. Дослідити асимптотичне поводження при всіх правильних розв’язків суттєво нелінійного неавтономного звичайного диференціального рівняння
, (6)
де , . Отримати асимптотичні зображення при всіх правильних розв’язків рівняння (6), необхідні і достатні умови існування правильних розв’язків рівняння (6) із знайденими асимптотичними зображеннями.
Методи дослідження. В дослідженнях дисертаційної роботи використовуються методи теорії диференціальних рівнянь, класичного аналізу, лінійної алгебри, асимптотичні методи, а також сучасні результати теорії звичайних диференціальних рівнянь.
Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертації є новими. Вони суттєво доповнюють результати, що отримані в роботах І.Т. Кігурадзе, Г.Г. Квінікадзе і В.М. Євтухова. Деякі з них є новими навіть для рівняння другого порядку (5).
Головними з них є наступні:
1.
Отримано необхідні і достатні умови існування у диференціальних рівнянь (6) розв’язків зі степеневою асимптотикою.
2.
Розроблено два методи дослідження асимптотичного поводження правильних розв’язків рівняння (6), які відрізняються від розв’язків зі степеневою асимптотикою, один з яких – з використанням методик О.В. Костіна і В.М. Євтухова.
4
3.
Доведено теореми про точні асимптотичні формули при
для правильних розв’язків рівняння (6), які відрізняються від розв’язків зі степеневою асимптотикою.
4.
Отримано необхідні і достатні умови існування у рівнянь (6) правильних розв’язків із знайденими асимптотичними зображеннями.
Практичне значення отриманих результатів. Робота має, в основному, теоретичний характер. Результати дисертації та розроблена в ній методика дослідження можуть бути використані для вивчення асимптотичних властивостей розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь -го порядку більш загального вигляду, а також для дослідження конкретних нелінійних диференціальних рівнянь, які зустрічаються в теоретичній фізиці, механіці.
Особистий внесок здобувача. Всі основні результати отримані автором самостійно. В сумісних з науковим керівником роботах [1], [4], [6], [8 – 10] Євтухову В.М. належать постановка задач, вибір напрямків досліджень та загальне керівництво роботою.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на V Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 1996 р.); на Всеукраїнській конференції “Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування” (Чернівці, 1996 р.); на 1-й Міжнародній науково-практичній конференції “Математика і психологія в педагогічній системі “Технічний університет” (Одеса, 1996 р.); на Міжнародній науковій конференції “Нелінійні крайові задачі математичної фізики і їх додатки” (Кам’янець-Подільський, 1996 р.); на VII Міждународному симпозіумі “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики” (Феодосія, 1997 р.); на Міжнародній конференції “Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань” (Київ, 1997 р.); на Міжнародній науковій конференції “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики” (Нальчик, 1997 р.); на Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми математики” (Чернівці, 1998 р.); на
Четвертій Кримській Міжнародній Математичній школі “Метод функцій Ляпунова та його застосування” (Сімферополь, 1998 р.); на Міжнародній конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння” (Одеса, 2000 р.); на Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (Чернівці, 2001 р.); на семінарі з якісної теорії диференціальних рівнянь в Московському держуніверситеті ім. М.В. Ломоносова (керівник – В.М. Мілліонщиков, Москва, 2001 р.); на Міжнародній конференції “Теорія еволюційних рівнянь” (Кам’янець-Подільский, 2002 р.); на Міжнародній конференції “Шості Боголюбовські читання” (Чернівці, 2003 р.); на Міжнародній конференції “Analysis and its applications” (Мерсін, Туреччина, 2004 р.); на Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, 2004 р.); на семінарі в
5
Інституті математики НАН України (керівник – А.М. Самойленко, Київ, 2004 р.); неодноразово на наукових семінарах в Одеському національому університеті ім. І.І. Мечникова.
Публікації. За основними результатами дисертації опубліковані п’ять робіт в наукових виданнях, що входять до переліку, затвердженого ВАК України. Крім того, результати відображені в 13 доповідях, опублікованих в матеріалах і тезах міжнародних наукових математичних конференцій.
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, які розбиті на підрозділи, висновків та списку використаних джерел, який містить 119 найменувань. Повний обсяг роботи становить 150 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
В першому розділі проведено аналіз численних досліджень асимптотичного поводження розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь і розроблених при цьому методів. В результаті такого аналізу виділено клас рівнянь з експоненціальною нелінійністю вигляду (6), які виникають в різних галузях природознавства і потребують детального дослідження.
Для рівнянь вигляду (6) дано опис всіх можливих типів його правильних розв’язків, запропоновані шляхи дослідження кожного з таких типів розв’язків. З вигляду рівняння видно, що кожен його розв’язок , заданий в деякому лівому околі , або володіє однією із властивостей
при
або властивістю : при
Розв’язки із властивістю досліджуються в другому розділі дисертації. Тут також розглядаються розв’язки із властивістю , для яких Основні результати цього розділу наведені в теоремах 2.1 – 2.5 підрозділу 2.1. Вони формулюються окремо
для випадку і для випадку . Теореми, що стосуються випадку , можуть бути використані для встановлення асимптотики сингулярних розв’язків рівняння (6).
В підрозділі 2.2 доводяться всі теореми, формулювання яких наведено в підрозділі 2.1.
6
З метою вивчення критичних випадків, які виникають при подальшому дослідженні диференціального рівняння (6), в другому розділі також розглядається диференціальне рівняння
(7).
Доведено теореми 2.6 – 2.8, в яких отримані умови існування і асимптотична поведінка при розв’язків диференціального рівняння (7) із властивістю
В підрозділі 2.3 в якості прикладу розглядається при диференціальне рівняння
(8). Для нього, з використанням основних теорем другого розділу, отримані наслідки про поводження розв’язків в правому околі нуля, на нескінченності і про наявність різних типів сингулярних розв’язків.
У третьому розділі розглядається рівняння (6), в якому
,
неперервно диференційовна функція, яка задовольняє умову (9) .
Досліджується питання про існування і асимптотику розв’язків диференціального рівняння (6) із властивістю , для яких і існує скінченна або рівна границя
.
Такі розв’язки називаються розв’язками із властивістю .
В підрозділі 3.1 формулюються основні результати (теореми 3.1 – 3.4) про існування і асимптотику розв’язків із властивістю диференціальних рівнянь (6) і (7). Аналогічні результати (теореми 3.3, 3.4) формулюються для рівняння (7). У підрозділі 3.3 із застосуванням допоміжних тверджень підрозділу 3.2, доводяться всі тереми, що сформульовані у підрозділі 3.1.
Підрозділ 3.4 присвячений детальному дослідженню рівняння зі степеневим коефіцієнтом (8), яке проведено з використанням основних результатів розділу.
7
У четвертому розділі, на відміну від результатів третього розділу, здійснено спробу зняти додаткове обмеження (9) на функцію при дослідженні розв’язків із властивістю , для яких .
В основі методики дослідження, що запропонована у четвертому розділі, лежать ідеї, які закладені у роботах О.В. Костіна, В.М. Євтухова і використовувались для дослідження рівнянь зі
степеневою нелінійністю. З метою застосування цих ідей рівняння (10) зводиться за допомогою перетворення до рівняння зі степеневою нелінійністю і розглядаються наступні класи розв’язків.
Розв’язок рівняння (9) називається розв’язком, якщо він визначений на деякому проміжку і для функції виконуються умови:
1)
при
;
2)
при довільному
,
або ,
або ;
3)
існує скінченна або рівна
границя
,
причому при для довільного
Основні результати (теореми 4.1 – 4.5) формулюються в підрозділі 4.1.
Підрозділ 4.2 носить допоміжний характер. Тут встановлено декілька лем про властивості розв’язків, які використовуються в підрозділі 4.3 для доведення всіх наведених в підрозділі 4.1 результатів.
8
ВИСНОВКИ
В дисертаційній роботі розглядається клас істотно нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь -го порядку з експоненціальною нелінійністю вигляду (6), частинні випадки якого виникають в різних галузях фізики та механіки.
Показано, що множина всіх розв’язків диференціального рівняння (6), що визначені в деякому лівому околі , розпадається на розв’язки із властивістю і розв’язки із властивістю.
При достатньо природних умовах на коефіцієнт побудовано методики дослідження асимптотичного поводження таких розв’язків при .
Доведено леми про асимптотичні властивості таких розв’язків у випадку їх наявності, а також отримано теореми про необхідні і достатні умови існування кожного з класів розв’язків і про їх асимптотичні зображення.
Методика дослідження - розв’язків єдина для випадків і , тому отримані результати дають можливість описати асимптотичне поводження при не тільки правильних, але і різних типів сингулярних розв’язків.
Деякі з отриманих результатів є новими навіть для рівнянь другого порядку (5), які раніше досліджувались у роботах В.М. Євтухова і Н.Г. Дрік.
У випадку довільного результати дисертації суттєво доповнюють відомі результати І.Т. Кігурадзе, Г.Г. Квінікадзе, В.М. Євтухова та О.В. Костіна і можуть бути застосовані для дослідження диференціальних рівнянь більш загального вигляду.
ПУБЛІКАЦІЇ
1.
Евтухов В.М., Шинкаренко В.Н. О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экспоненциальной нелинейностью // Нелінійні коливання. – 2002. – Т. 5, № 3. – С. 306 – 325.
2.
Шинкаренко В.Н. Асимптотические представления решений дифференциальных уравнений п-го порядка с экспоненциальной нелинейностью // Нелінійні коливання. – 2004. – Т. 7, № 4. – С. 562 – 573.
3.
Шинкаренко В.Н. Асимптотические представления правильных неколеблющихся решений одного нелинейного дифференциального уравнения п-го порядка // Сб. науч. тр. НАН Украины. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев – 1996. – С. 277 – 278.
9
4.
Евтухов В.М., Шинкаренко В.Н. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений п-го порядка с экспоненциальной нелинейностью // Дифференц. уравнения. – 2001. – Т. 37, № 11. – С. 1578 – 1579.
5.
Шинкаренко В.Н. Асимптотические представления правильных решений дифференциального уравнения с экспоненциальной нелинейностью // Сб. науч. тр. Ин-та математики НАН Украины “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики”. Киев –1997. – С. 287 – 289.
6.
Евтухов В.М., Шинкаренко В.Н. К вопросу об асимптотике правильных решений одного нелинейного дифференциального уравнения п-го порядка // Сб. статей 1-й международной научно-практической конференции. Математика и психология в педагогической системе “Технический универсистет”. Одесса. – 1996. – Ч. 1. – С. 37 – 39.
7.
Шинкаренко В.Н. Асимптотическое поведение одного класса решений дифференциального уравнения с экспоненциальной нелинейностью // Труды VII Международного симпозиума “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики” Феодосия – 1997. - С. 215 – 218.
8.
Евтухов В.М., Шинкаренко В.Н. Об асимптотике решений одного нелинейного двучленного дифференциального уравнения п-го порядка // Сб. “Сучасні проблеми математики”. Матеріали Міжнародної наукової конференції. Чернівці – Київ, 1998. Частина
І. – С. 202 – 205.
9.
Євтухов В.М., Шинкаренко В.М. Асимптотичне поводження розв’язків диференціального рівняння з експоненціальною нелінійністю. – П’ята Міжнародна Наукова конференція ім. ак. М.Кравчука. – 1996, Київ. – Тези доповідей. – С. 136.
10.
Евтухов В.М., Шинкаренко В.Н. Асимптотика решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в особых случаях // Четвертая Крымская Международная Математическая школа “Метод функций Ляпунова и его приложения”. Тезисы докладов. Симферополь. – 1998. – С. 25.
11.
Шинкаренко В.М. Асимптотичне поводження розв’язків диференціального рівняння п-го порядку з експоненціальной нелінійністю // Всеукраїнська конференція “Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування”. Тези доповідей. Київ. - 1996. – С. 200.
12.
Шинкаренко В.Н. Об асимптотическом поведении решений нелинейного дифференциального уравнения п-го порядка // Міжнародна конференція “Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань”. Треті Боголюбовські читання. Тези доповідей. Київ – 1997. - С. 185 – 186.
10
13.
Шинкаренко В.Н. Об асимптотических свойствах решений одного нелинейного дифференциального уравнения п-го порядка // Міжнародна конференція “Диференціальні та інтегральні рівняння”. Тези доповідей. Одеса – 2000. – С. 298 – 299.
14.
Шинкаренко В.Н. Асимптотических свойства решений одного дифференциального уравнения п-го порядка // Український Математичний Конгрес. Міжнародна конференція “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”. Тези доповідей. Київ – 2001. – С. 167.
15.
Шинкаренко В.Н. О правильных решениях нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка с экспоненциальной нелинейностью // Міжнародна конференція “Теорія еволюційних рівнянь”. Тези доповідей. Кам’янець-Подільський – 2002. – С. 176.
16.
Шинкаренко В.Н. Асимптотические свойства решений одного нелинейного дифференциального уравнения специального вида // Міжнародна конференція “Шості Боголюбовські читання. Тези доповідей. Київ – 2003. – С. 244.
17.
Шинкаренко В.М. Асимптотика розв’язків одного нелінійного диференціального рівняння в особливому випадку // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька. Тези доповідей. Львів – 2004. – С. 231.
18.
Shinkarenko V. On the solutions of the differential equations with exponential Nonlinearity// Analysis and its applications. Mersin – 2004 – P. 49.
