СИТНІКОВ Валерій Степанович

УДК 681.518: 004.031.43: 621.372.54

ТЕОРЕТИЧНІ ТА РЕАЛІЗАЦІЙНІ ОСНОВИ СТВОРЕННЯ ЛІНІЙНИХ ЦИФРОВИХ ЧАСТОТНО-ЗАЛЕЖНИХ ПЕРЕТВОРЮВАЧІВ З РЕГУЛЬОВАНОЮ ТОЧНІСТЮ ДЛЯ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ

05.13.05 елементи та пристрої обчислювальної техніки та систем керування

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Одеса – 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Одеському національному політехнічному університеті

Міністерства освіти та науки України

Науковий консультант заслужений діяч науки і техніки України,

член-кореспондент АПН України,

доктор технічних наук, професор

Малахов Валерій Павлович,

завідувач кафедри комп’ютерних систем

Офiцiйнi опоненти:

заслужений діяч науки і техніки України,

доктор технічних наук, професор Верлань Анатолій Федорович,

Інститут проблем моделювання в енергетиці НАН України ім. Г.Є. Пухова,

завідувач відділом моделювання динамічних систем;

доктор технічних наук, професор Овчаренко Олександр Іванович,

НТУ „Харківський політехнічний інститут”,

професор кафедри інформаційно-вимірювальної техніки;

доктор технічних наук, професор Ніколаєнко Василь Максимович,

Одеський національний політехнічний університет,

професор кафедри електронних засобів та інформаційно-комп’ютерних технологій

Провідна установа Інститут проблем реєстрації інформації НАН України, відділ цифрових моделюючих систем, м. Київ.

Захист відбудеться “4” липня 2005 р. о 12.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 41.052.01 при Одеському національному політехнічному університеті (65044, м. Одеса, проспект Шевченко, 1).

З дисертацією можна ознайомитися у науково-технічній бібліотеці ОНПУ,

65044, м. Одеса, проспект Шевченко, 1

Автореферат розісланий “30 ” травня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ямпольський Ю.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

При удосконаленні властивостей сучасних систем автоматичного керування (САК), які створені на основі мікропроцесорної техніці з обмеженими технічними ресурсами, значна роль належить властивостям окремих елементів та вторинних перетворювачів інформації, які входять до складу цих систем. Не урахування існуючих технічних обмежень не дозволяє покращити характеристики пристроїв і системи у цілому.

Актуальність теми. Одним з традиційних шляхів раціонального вирішення існуючих протиріч є ускладнення побудови лінійних цифрових частотно-залежних вторинних перетворювачів (ЦЧП) за рахунок розширення розрядної сітки та підвищення порядку передавальної функції перетворювача.

Однак якість роботи САК визначається показниками точності, в основі яких лежить величина помилки, яка дорівнює різниці між необхідним і дійсним значенням регульованої величини. Помилки в САК залежать насамперед від структури системи і її елементів, від збурень діючих на об'єкт керування, від обмеженості керуючого впливу по величині і потужності, а також похибок у вимірювальних і перетворюючих елементах і т.п. В залежності від джерела помилки виділяють ряд складових, які зменшуються за допомогою методів теорії автоматичного керування так, щоб не тільки мінімізувати помилку, а і регулювати точністю системи на різних етапах її роботи.

До складу САК входять підсистеми передачі даних, збору та перетворення сигналів, вироблення керуючого впливу. Поліпшення характеристик елементів цих підсистем приводить до підвищення якісних показників. Сучасний стан мікропроцесорної техніки дозволяє поліпшити їх характеристики і наблизити до ідеальних. У цьому випадку важливою є задача створення елементів з квазіідеальними характеристиками.

До числа елементів системи, які найчастіше використовуються, варто віднести ЦЧП, які виконують лінійне перетворення вхідної послідовності в залежності від вигляду оператору перетворення. Вони працюють вже з обробленою послідовністю і всі її похибки можна віднести до неточного завдання.

У багатьох випадках ЦЧП реалізуються на основі чисельних методів. Однак частотні характеристики таких перетворювачів при заданій точності мають обмежений частотний діапазон.

Для розширення частотного діапазону і поліпшення частотних характеристик в основному використовують інтерполяційні поліноми і методи, які залучають варіації частоти дискретизації. Традиційне збільшення порядку полінома не дає бажаного результату через велику кількість обчислень, а варіації частоти дискретизації спричиняють ускладнення роботи системи тому, що крок дискретизації однозначно зв'язаний з заданою смугою пропускання системи і зміною обсягу інформації, яка використовується для перетворення. Слід зазначити, що в системах реального часу необхідні жорсткі вимоги до високої швидкодії, чим обумовлене застосування пристроїв з фіксованою крапкою та обмеженою розрядною сіткою.

У цифрових системах квантування ускладнюється характер протікання динамічних процесів і в першому наближенні цифрові системи розглядаються як дискретні з наступним врахуванням впливу квантування за рівнем, у вигляді додаткових шумів квантування.

Для зменшення рівня вихідного шуму квантування в основному використовують пристрої з розширеною розрядною сіткою і високою швидкодією, що робить дорожчою розробку.

Таким чином, розробка теоретичних та реалізаційних основ створення нових та вдосконалення наявних перетворювачів з регульованою точністю для систем керування, які забезпечують мінімальну допустиму похибку та розширений робочий частотний діапазон, є актуальною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Цільова спрямованість дисертаційної роботи тісно пов'язана з планами наукових досліджень Одеського національного політехнічного університету (ОНПУ). Робота виконувалась в рамках фундаментальних держбюджетних науково-дослідних робіт (НДР), які проводились під науковим керівництвом д.т.н. Малахова В.П. “Структурний синтез цифрових фільтрів низького порядку для електронних систем керування та збору інформації” № U002520, 20022004; “Оптимальний параметричний синтез аналогових частотно-вибіркових елементів високого рівня для систем керування” № U001543, 1999-2001; “Матричні перетворення в теорії проектування різних класів електронних ланцюгів” № U023193, 1996-1998; “Алгоритмическое обеспечение методов и аппаратно-программных средств акусто-электронного зондирования в медицине” № U000198, 1994-1996; “Разработка методов автоматического проектирования активных аналоговых цепей” № 0195U012351, 1994-1995; “Разработка пакета прикладных программ автоматизированного проектирования аналоговых активных фильтров” № U027490, 1991-1993, які виконувались на кафедрі “Комп’ютерних систем” Одеського національного політехнічного університету.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є розробка теоретичних та реалізаційних основ створення лінійних цифрових частотно-залежних вторинних перетворювачів з регульованою точністю, які мають удосконалені властивості, що сприяє підвищенню ефективності функціонування системи керування.

Для досягнення поставленої мети необхідно разв’язати такі задачі:

— проаналізувати похибки ЦЧП при обмеженій розрядності, які істотно впливають на точність цифрового перетворювача;

— розробити та узагальнити теоретичні основи регулювання точністю ЦЧП на базі формування опису їх передавальних функцій;

— розробити та узагальнити умови одержання квазіідеальних частотних характеристик ЦЧП інтегруючого (ЦЧПІ) та диференціюючого (ЦЧПД) типів з регульованою точністю;

— розробити реалізаційні основи регулювання точністю на базі формування опису ЦЧПІ та ЦЧПД;

— розробити та вдосконалити теоретичні основи регулювання точністю ЦЧП за рахунок контролю вихідного шуму квантування;

— створити реалізаційні основи побудови ЦЧП з регульованою точністю (ЦЧПРТ) на базі контролю дисперсії вихідного шуму квантування;

— розробити теоретичні основи регулювання точністю ЦЧП за рахунок формування їх структурної організації та її оцінки;

— створити реалізаційні основи регулювання точністю ЦЧП на базі побудови структурної організації ЦЧПІ та ЦЧПД;

— створити та впровадити ЦЧПРТ для систем керування.

Об’єкт дослідження лінійні цифрові частотно-залежні вторинні перетворювачі з регульованою точністю для систем керування.

Предмет дослідження теоретичні та реалізаційні основи створення і технічна реалізація лінійних цифрових частотно-залежних перетворювачів з регульованою точністю для систем керування

Методи досліджень. Для досягнення мети у роботі використовувались такі методи досліджень:

- чисельні методи, теорія функцій, теорія наближених обчислень та теорія похибок, застосовувались для дослідження ЦЧП, які широко використовуються, а також для отримання елементарного перетворювача;

- теорія апроксимації, використовувалась для дослідження і отримання квазіідеальних частотних характеристик ЦЧП;

- теорія автоматичного керування, Z-перетворювання, застосовувались для дослідження і узагальнення методу отримання квазіідеальних ЦЧП, корекції частотних характеристик;

- теорія структурного аналізу, теорія математичної статистики та теорія графів, використовувались для комплексного аналізу похибок квантування, аналізу та побудови структур, які мають мінімальний рівень шуму квантування;

- теорія проектування елементів цифрової схемотехніки та цифрових систем керування, теорії моделювання та синтезу пристроїв застосовувались для проектування цифрових перетворювачів.

Достовірність результатів перевірялась розрахунками, моделюванням та експериментами на моделях та виготовлених зразках.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукова новизна роботи полягає у розробці теоретичних та реалізаційних основ створення і технічного втілення ЦЧП з регульованою точністю, що базуються на розвитку формування їх опису, контролі рівня вихідного шуму квантування та формуванні структурної організації в умовах обмеженої розрядності.

Запропоновані додаткові фактори, які знижують вплив обмеженої розрядності на точність, та визначені напрямки її компенсації за допомогою корекції характеристик, контролю рівня вихідного шуму квантування та зміни структурної організації ЦЧП.

Запропоновані теоретичні основи створення ЦЧП на базі розподілу передавальної функції на елементарну складову та складову корекції, що регулює точність відтворення заданих характеристик на відміну від традиційних методів.

Запропоновані теоретичні основи корекції квазіідеальних частотних характеристик ЦЧП згідно заданим показникам точності, що на відміну від традиційних методів дозволяє одержати гарантовані вимоги до корекції ЦЧПІ та ЦЧПД.

Запропоновано реалізаційний метод корекції частотних характеристик для одержання квазіідеальних ЦЧП з регульованою точністю низького порядку, що підтверджує та розширює коло передавальних функцій ЦЧПІ та ЦЧПД.

Одержав подальший розвиток метод оцінки рівня вихідного шуму квантування ЦЧП на базі введення коефіцієнта підсилення шуму квантування, що дозволило визначити верхню границю похибки квантування та обґрунтувати метод створення ЦЧПРТ.

Вперше запропоновано метод зменшення шуму квантування ЦЧПРТ високого порядку та метод їх реалізації, які враховують властивості їх класу і типу, а також їхню структурну організацію при каскадному з’єднанні секцій низького порядку.

Вперше запропоновано метод створення структурної організації ЦЧПРТ на базі мінімізації коефіцієнта підсилення шуму за допомогою пошуку нових прямих зв’язків, що дозволяє регулювати точністю.

Вперше запропоновано метод оцінки структурної організації ЦЧПРТ та новий її показник, що сприяє регулюванню точністю на базі обрання найкращої структурної організації у робочому частотному діапазоні.

Запропоновано реалізаційний метод обрання структурної організації ЦЧПРТ з мінімальним рівнем вихідного шуму квантування в робочому частотному діапазоні з використанням коефіцієнта підсилення сумарного шуму квантування, який враховує крім властивостей структурної організації ЦЧП, їх клас і тип, а також розрядність вхідної послідовності і коефіцієнтів перетворювача.

Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що розроблені теоретичні та реалізаційні основи створення ЦЧПРТ при заданих обмеженнях дозволили вдосконалити їх властивості, а також сприяли підвищенню ефективності функціонування системи та гарантували необхідну точність ЦЧПРТ у розширеному частотному діапазоні, який в залежності від заданої точності та методу корекції зростав в 1,1-2 рази.

Запропоновані методи регулювання точністю ЦЧП та розроблені на їх основі пристрої впроваджені в конкретні розробки для промислових підприємств України. Так у системі керування двигуном внутрішнього згорання в блоці відстеження детонації використовується цифровий смуговий фільтр (ЦСФ) з змінними коефіцієнтами, який створено з використанням методів регулювання точністю на базі контролю вихідного шуму квантування, формування та оцінки структурної організації його складових. Використання нового ЦСФ, який реалізовано на ПЛІС SPARTAN3 XC2S400-4-PQ20S фірми Xilinx, дозволило знизити рівень вихідного шуму квантування у середньому в 1,8 раза, що підвищило точність відстеження детонації на ранніх етапах її з’явлення.

В системі керування вертикальним стрічковим транспортером (норією) в пристрої обробки сигналів системи контролю температурного стану двигуна застосовані нові ЦЧПІ і ЦЧПД з регульованою точністю, які створені на базі методів формування опису ЦЧП, контролю рівня вихідного шуму квантування та формування їх структурної організації. Програмна їх реалізація на базі мікроконтролера AT91M40400 фірми Atmel дозволила регулювати точністю обробки і підвищити її до 0,5% на деяких режимах роботи.

При модернізації схеми керування вимірюванням та обробкою сигналів в системі акустичного місцевказувателя руйнувань типу АМУР-6 застосовані ЦЧПІ з регульованою точністю, які реалізовані на дискретних інтегральних мікросхемах серії SN74 фірми Texas Instruments. При створюванні цих ЦЧПІ використовувались розроблені методи формування їх опису, контролю рівня вихідного шуму квантування та формування їх структурної організації, що дозволило на лінійних конструкціях отримати усереднену точність менше ніж %.

З метою підняття точності системи керування обладнанням для нанесення вологозахистного покриття при модернізації застосовані розроблені ЦЧПІ з регульованою точністю першого та другого порядків, які реалізовані програмно на мікроконтролері H8S/2345 фірми Hitachi. На всіх режимах роботи системи керування обладнанням отримано усереднену точність 1%.

Результати роботи також впроваджені в навчальний процес в Одеському національному політехнічному університеті на кафедрі комп’ютерних систем та у Донбаському державному технічному університеті на кафедрі електронних систем.

Відповідні документи надаються в матеріалах дисертації.

Особистий внесок здобувача. Особистий внесок здобувача складається з розробки теоретичних та реалізаційних основ аналізу та технічної реалізації ЦЧП, які забезпечують роботу перетворювача в умовах обмеженої розрядності при заданих похибках частотних характеристик у робочому частотному діапазоні, а також в реалізації ЦЧП з мінімальним рівнем шуму квантування. Наукові положення, висновки і рекомендації, що викладені в дисертації та виносяться на захист, отримані особисто здобувачем в період з 1987 по 2004 рр. [1, 2, 14, 22, 24, 27, 29-32, 34, 37, 40, 43, 56, 60, 62, 63, 71] і узагальнені під час оформлення дисертації. В працях, виконаних у співавторстві [3-13, 15-21, 23, 25, 26, 28, 33, 35, 36, 38, 39, 41, 42, 44-55, 57-59, 61, 64-70] автору належать вибір наукового напрямку, розробка та аналіз математичних підходів, обґрунтування методів дослідження, аналіз та технічна реалізації ЦЧП системи, опрацювання та аналіз результатів.

Дисертантом запропоновані базові підходи до аналізу шуму квантування у робочому частотному діапазоні [12], теоретичні та реалізаційні основи ідеальності ФЧХ для пристроїв корекції та вибір необхідних передавальних функцій [16, 23], теоретичні основи та умови квазіідеальності на дійсну та умовну частини комплексного коефіцієнта фільтру [28], теоретичні основи створення передавальної функції ЦЧП за заданими вимогами до його характеристик [44], теоретичні основи підвищення точності ЦЧП [45], реалізаційні основи та використання пристроїв корекції для ідеалізації частотних характеристик ЦЧПІ та ЦЧПД [58, 59, 61].

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації розглядалися та обговорювалися на засіданнях кафедри “Комп’ютерні системи” ОНПУ. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на Міжнародних науково-технічних конференціях: “Автоматика-2004”, Київ, 2004; “Proceeding of East-WEST Design & Test Workshop”(EWDTW’04), Ялта, 2004; “Мікропроцесорні пристрої та системи в автоматизації виробничих процесів”, Хмельницьк, 2004; “Современные информационные и электронные технологии”(СИЭТ-2004), Одесса, 2004; “Аерокосмічні системи моніторингу та керування” (АВІА-2004), Київ, 2004; “Автоматика-2003”, Севастополь, 2003; “Современные информационные и электронные технологии”(СИЭТ-2003), Одесса, 2003; “Сучасні інформаційні технології в освіті та промисловості”, Миколаїв, 2003; “Радиоэлектроника и молодежь в ХХІ веке”, Харьков, 2003; “Автоматика-2002”, Донецьк, 2002; “Современные информационные и электронные технологии”(СИЭТ-2002), Одесса, 2002; “Кораблебудування і освіта, наука, виробництво”, Миколаїв, 2002; “Проблемы энергосбережения и экологии в судостроении”, Николаев, 2002; “Автоматика-2001”, Одеса, 2001; “Современные информационные и электронные технологии”(СИЭТ-2001), Одесса, 2001; “Системы и средства передачи и обработки информации”(ССПОИ-98), Одесса, 1998.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 71 науковій праці: 45 статтях у фахових наукових журналах та збірниках наукових праць; 18 праць конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, 6 розділів, висновків, списку використаних джерел з 264 найменувань та 16 додатків. Містить 127 рисунків, 24 таблиці. Загальний обсяг роботи складає 337 сторінок, включаючи 255 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, сформульована мета роботи, виділено перелік проблем та питань, що розглянуті в дисертації, наведено характеристику отриманих теоретичних та практичних результатів.

У першому розділі проведено аналіз застосування і особливостей частотно-залежних перетворювачів. На підставі аналізу застосування та функціонального призначення пристроїв, які входять до складу САК, виділені перетворювачі та пристрої формування керуючого впливу. Введено означення лінійного цифрового частотно-залежного перетворювача (ЦЧП).

Означення 1 Лінійними цифровими частотно-залежними перетворювачами (ЦЧП) називається клас цифрових пристроїв, які використовуються після первинної фільтрації та обробки і перетворюють вектор вхідних змінних у вектор вихідний змінних на основі лінійного оператора , який описується лінійними різницевими рівняннями або лінійними передавальними функціями,

.

Лінійний частотно-залежний оператор буде описуватися різницевими рівняннями типу

, (1)

де - відліки вхідної та вихідної послідовності відповідно; - дійсні коефіцієнти;

або передавальними функціями типу

(2)

При побудові ЦЧП апаратно або програмно з використанням мікропроцесорної техніки необхідно проаналізувати їхні похибки та їх вплив на точність при обмеженій розрядності перетворювача.

На підставі проведеного загального аналізу складові похибки цифрового перетворювача класифіковані за такими категоріями:

- методична – похибка на кроці;

- трансформована – похибка квантування вхідного сигналу;

- інструментальна – похибка квантування коефіцієнтів функції перетворення; –

похибка квантування результатів арифметичних операцій.

Аналіз складових похибки дозволив виявити вплив опису ЦЧП, рівня вихідного шуму квантування та структурної організації ЦЧП на регулювання точністю.

Аналіз впливу опису ЦЧП на регулювання точністю показав, що покращення частотних характеристик дозволяє підвищити точність перетворювача зменшуючи похибку на кроці. Це дає змогу ввести критерій якості функціонування ЦЧП. Відтворення бажаної частотної характеристики приводить до зменшення методичної похибки. Тоді на основі чисельних методів виникає необхідність в обранні метода опису ЦЧП з мінімальною методичною похибкою в робочому частотному діапазоні.

Традиційне збільшення розрядності ЦЧП зменшує методичну похибку, за рахунок зменшення похибки апроксимації характеристик перетворювача; трансформовану похибку, за рахунок зменшення похибки квантування вхідного сигналу; інструментальну похибку, за рахунок підвищення точності обчислень.

Однак збільшення розрядності ЦЧП приводить до ускладнення та затримки процесу обчислень, підвищення фінансових витрат на швидкодіючі апаратні засоби мікропроцесорної техніки з розширеною арифметикою та розрядною сіткою, підвищення енерговитрат на обчислення.

Аналіз впливу вихідного шуму квантування ЦЧП на регулювання точністю показав, що дисперсія вихідного шуму квантування арифметичних операцій складається з двох множників один з яких залежить від кількості двійкових розрядів дробової частини розрядної сітки ЦЧП (де - крок квантування), а другий - від структурної організації процедури перетворення послідовностей у ЦЧП (де - кількість джерел шуму у -му вузлі перетворювача, - комплексний коефіцієнт передачі від -го вузла до виходу перетворювача).

Тоді частину похибки квантування арифметичних операцій можна регулювати не тільки за рахунок зміни розрядності, а і за рахунок пошуку нової структурної організації процедури перетворення, щоб .

Дослідження та аналіз впливу шумової складової структурної організації обчислювальної процедури та методів її визначення показує, що при використанні методів поліпшення характеристик структурної схеми в просторі станів усі схеми зводяться до однієї єдиної. При вирішенні задачі поліпшення характеристик вже існуючої структурної схеми з використанням методів перетворення у просторі станів усі переваги найкращої структурної схеми у більшості випадків губляться.

Тому для регулювання точністю ЦЧП на базі формування найкращої їх структурної організації при заданих обмеженнях та припущеннях необхідно шукати нові методи їх опису та формування.

У другому розділі розроблені теоретичні основи регулювання точністю ЦЧП на базі формування їх опису.

Передавальну функцію ЦЧП мінімального порядку визначимо у вигляді (2) по заданим у діапазоні робочих частот , АЧХ і ФЧХ таку, щоб похибки апроксимації АЧХ і ФЧХ були не більш і

, (3)

, (4)

де - період дискретизації.

В теорії автоматичного керування для одержання досить доброго наближення до бажаної характеристики вводяться пристрої корекції або зв’язок, що коректує, так, щоб залишкові перекручування частотних характеристик були мінімальними відповідно до встановленого показника похибки, забезпечуючи стійкість пристрою при мінімальному складі апаратних засобів.

Показано, що вирішення цієї задачі може здійснюватися у трьох напрямках:

1. На основі чисельних методів визначається передавальна функція , коефіцієнти якої використовуються для апроксимації АЧХ. Для заданої ФЧХ визначається передавальна функція фазового коректора

де - дійсні коефіцієнти передавальної функції, у якої АЧХ дорівнює одиниці на всій вісі частот, а ФЧХ визначається зі співвідношення

При каскадному з'єднанні знаходять такий поліном , при якому сума буде з заданою точністю відтворювати необхідну залежність ФЧХ.

2. Інший шлях вирішення поставленої задачі починається з визначення передавальної функції вигляду

,

де - постійне число, яке обирається за умовою завдання.

Передавальна функція відтворює задану ФЧХ перетворювача. Для відтворення з заданою точністю АЧХ знаходять поліном парного ступеня вигляду . Тоді при каскадному з'єднанні передавальна функція буде задовольняти вимогам до частотних характеристик перетворювача.

3. На основі аналізу цих шляхів при апроксимації складних або специфічних вимог до частотних характеристик на різних ділянках робочого частотного діапазону можна запропонувати узагальнений шлях.

На першому етапі на основі чисельних методів або алгоритму роботи перетворювача визначається передавальна функція елементарного цифрового перетворювача, що у першому наближенні задовольняє умові (3). Для зменшення кількості коефіцієнтів, що добираються, і формування простих передавальних функцій порядку не більш слід використовувати передавальні функції з лінійними ФЧХ. Однак при цьому чисельник і знаменник описуються поліномами із симетричними або антисиметричними коефіцієнтами .

На другому етапі визначаються вимоги до ФЧХ пристрою корекції

.

Далі здійснюється добір вигляду відповідної передавальної функції і її коефіцієнтів.

При каскадному з'єднанні елементарного і пристрою корекції є можливість на основі умов (3) і (4) визначити коефіцієнти бажаної передавальної функції, з наступною оптимізацією отриманих частотних характеристик заданим вимогам. Для спрощення задачі можна використовувати прості поліноми спеціального вигляду, наприклад, двочлени

,

їхні комбінації, а також ступені двочленів.

Оскільки ЦЧП інтегруючого (ЦЧПІ) та диференціюючого (ЦЧПД) типів мають специфічні частотні характеристики і широко використовуються на практиці, то визначення елементарного перетворювача проведено на їх прикладі.

Означення 2 Елементарним ЦЧП інтегруючого або диференціюючого типів будемо називати перетворювачі мінімального порядку, які мають реакції на вхідні впливи аналогічні реакціям ідеального безперервного інтегратора або диференціатора.

На основі характеристик ідеальних безперервних інтеграторів і диференціаторів та чисельних методів визначені дискретні елементарні пристрої інтегруючого та диференціюючого типів .

З аналізу частотних характеристик дискретних інтеграторів та диференціаторів, які широко використовуються, видно, що їх АЧХ та ФЧХ далекі від ідеальних (рис. 1 і 2).

Рис. 1. АЧХ и ФЧХ дискретних інтеграторів

1 – ідеальний інтегратор, 2 – дискретний інтегратор за методом прямокутника з відставанням, 3- дискретний інтегратор за методом трапецій, 4 - дискретний інтегратор за методом Сімпсона

Рис. 2. АЧХ и ФЧХ дискретних диференціаторів.

1 - ідеальний диференціатор, 2 - дискретний диференціатор за методом різниці по двом точкам, 3 - дискретний диференціатор за методом центральної різниці по трьом точкам, 4 - дискретний диференціатор за методом апроксимації поліномами з використанням МНК по п’яти точкам.

В якості показника точності пристроїв використовується відносна похибка АЧХ

. (5)

Відносна похибка показує величину викривлення пристроєм амплітуди окремої гармонічної складової вхідного сигналу на відносній частоті , яка змінюється від 0 до .

Відносні похибки АЧХ дискретних інтеграторів та диференціаторів, які широко використовуються, наведені на рис. 3 та 4.

Рис. 3. Відносна похибка АЧХ дискретних інтеграторів, які широко використовуються, побудованих за методом прямокутника (1), трапецій) та Сімпсона (3) | Рис. 4. Відносна похибка АЧХ дискретних диференціаторів, які широко використовуються, побудованих за методом різниці по двом точкам (1), центральної різниці по трьом точкам (2) та апроксимації поліномами з використанням МНК по п’яти точкам (3)

З рис. 3 та 4 видно, що ці пристрої мають малий робочий частотний діапазон при заданій похибці. Так вище дискретні інтегратори мають відносну похибку гірше 10%, а дискретні диференціатори таку похибку мають при . Тому слід розглянути питання поширення робочого частотного діапазону при заданій похибці АЧХ та ФЧХ.

При створенні ЦЧПД з використанням МНК для центральної точки одержуємо найкращу АЧХ, але найкращу ФЧХ мають перетворювачі, які запроектовані для крайньої точки. Таким чином, одночасна мінімізація похибки АЧХ та ФЧХ неможлива, тому слід віддати перевагу важливості одній або іншій характеристиці.

Аналіз структур передавальних функції дискретних інтеграторів і диференціаторів, які широко використовуються, виявив, що передавальна функція теж складається з елементарного перетворювача та пристрою корекції.

Тоді на основі вищевказаного передавальна функція ЦЧП мінімального порядку визначена у вигляді каскадного з’єднання елементарного перетворювача і пристрою корекції

(6)

по заданим у діапазоні робочих частот , АЧХ і ФЧХ така, щоб похибки апроксимації АЧХ і ФЧХ були не більшими і

; (7)

(8).

Передавальну функцію пристрою корекції будемо шукати у загальному вигляді аналогічному (2). Введемо означення.

Означення 3 Пристрої, які мають скоректовані частотні характеристики, що задовольняють умовам (7) та (8) будемо називати квазіідеальними.

Ідеальні ЦЧПІ та ЦЧПД мають специфічні частотні характеристики (табл.1).

Таблиця 1

Ідеальні частотні характеристики ЦЧПІ та ЦЧПД

Характеристики | ЦЧПІ | ЦЧПД

Амплітудно-частотна

Фазочастотна

Оскільки ФЧХ таких ЦЧП постійна на усьому частотному діапазоні, то їх доцільно компенсувати відповідним підбором класу передавальних функцій пристроїв корекції.

При послідовному з’єднанні елементарного перетворювача з передавальною функцією та пристроєм корекції (6) є можливість за фазовою характеристикою елементарного перетворювача визначити вимоги до фазової характеристики пристрою корекції при заданих умовах до ФЧХ ідеального перетворювача. Тоді ФЧХ пристрою корекції повинна задовольняти таким умовам

- при корекції ЦЧПІ - ; (9)

- при корекції ЦЧПД - . (10)

Використання інших схем включення пристроїв корекції (паралельного або у ланцюг зворотного зв’язку) при отриманні таких самих характеристик створює ускладнену передавальну функцію пристрою корекції та його схемну реалізацію. Знайдені умови до ФЧХ пристрою корекції обмежили клас можливих передавальних функцій.

Комплексна корекція вимагає накласти обмеження на АЧХ та ФЧХ перетворювача, які звичайно задають у вигляді нерівностей

; (11)

. (12)

З урахуванням особливостей ідеальних характеристик ЦЧПІ та ЦЧПД (табл. 1) одержані умови квазіідеальності для дійсної та уявної частин комплексного коефіцієнту передачі перетворювача, який створюється.

Для того, щоб дійсна та уявні частини ЦЧПІ гарантовано знаходились у бажаній області їх треба шукати у прямокутній області (рис. 5).

Рис. 5. Геометрична інтерпретація нерівностей (11) та (12) для ЦЧВПІ

Обмеження дійсної частини комплексного коефіцієнту передачі виражається нерівністю

, (13)

а для уявної частини

. (14)

Аналогічно для ЦЧПД гарантована бажана область для дійсної та уявної частин зображена на рис. 6.

Рис. 6. Геометрична інтерпретація нерівностей (11) та (12) для ЦЧВПД

Обмеження дійсної частини комплексного коефіцієнта передачі виражатиметься нерівністю

, (15)

а для уявної частини

. (16)

Отримані нерівності дозволяють знайти коефіцієнти передавальних функцій пристроїв корекції при заданих обмеженнях і , та знайти взаємозв’язок та граничні значення між заданими обмеженнями.

У третьому розділі викладені реалізаційні основи регулювання точністю ЦЧП на базі формування їх опису.

Для корекції АЧХ ЦЧПІ при неконтрольованій ФЧХ використовувались методи чисельної оптимізації коефіцієнтів передавальної функції пристрою корекції. При цьому використовувались пристрої корекції не рекурсивного та рекурсивного типів не вище другого порядку. Порядки позначені, як , де та - відповідно ступінь чисельника та знаменника передавальної функції (рис. і 8).

Порівнюючи графіки відносної похибки АЧХ ЦЧПІ, які широко використовуються, та одержаних при використанні пристроїв корекції нерекурсивних типу, необхідно звернути увагу на зменшення рівня відносної похибки. Наприклад, робочий частотний діапазон дискретного інтегратора за методом Сімпсона (рис. 3) дорівнює на рівні 5% відносної похибки. ЦЧПІ, який одержано при використанні пристрою корекції другого порядку на тому самому рівні відносної похибки має робочий частотний діапазон (рис. 7), що відповідає розширенню частотного діапазону у 1,9 рази.

Рис. 7 Відностна похибка АЧХ ЦЧПІ при застосуванні пристрою корекції нерекурсивного типу нульового порядку (1), першого порядку (2) та другого порядку (3) | Рис. 8 Відностна похибка АЧХ ЦЧПІ при застосуванні пристрою корекції рекурсивного типу порядків 01 (1), 02 (2), 11 (3), 12 (4), 21 (5), 22 (6) відповідно.

Застосування рекурсивних пристроїв корекції дозволяє додатково знизити відносну похибку у 3 рази до рівня (1,8...2)%. Робочий частотний діапазон розширюється до

Корекція ФЧХ при неконтрольованій АЧХ виконувалась при використанні вимог до ФЧХ пристроїв корекції (9).

Аналіз відносної похибки АЧХ (5) для ЦЧПІ першого порядку з ідеальної ФЧХ дає можливість знайти , де - задана відносна похибка, яка зв’зана з співвідношенням . Тоді передавальна функція ЦЧПІ першого порядку дорівнює

. (18)

При відносній похибці передавальна функція відповідає дискретному інтегратору за методом трапецій, тоді передавальну функцію (18) можливо також назвати узагальненим дискретним інтегратором за методом трапецій.

Дослідження впливу коефіцієнтів і передавальної функції на точність відтворення ідеальної АЧХ показує, що відносна похибка

, (19)

де ,

має екстремальне значення на частотах при коефіцієнті в діапазоні та на частоті при або .

З аналізу екстремумів відносної похибки та характеру її поведінки одержані гарантовані значення коефіцієнту

Показано, що при і похідна відносної похибки зменшується, що дає можливість визначити залежність коефіцієнту від граничної частоти

.

При змінюванні коефіцієнту у діапазоні похідна відносної похибки зростає, тоді коефіцієнт дорівнює

.

Передавальна функція ЦЧПІ другого порядку з урахуванням вище згаданого має вигляд

,

де та коефіцієнти і , які одержані за різними умовами роботи ЦЧПІ.

В одержаній передавальній функції квазіідеальна АЧХ з заданою відносною похибкою буде зберігатися до граничної робочої частоти . При похибці передавальна функція відповідає дискретному інтегратору за методом Сімпсона і її можливо також назвати узагальненим дискретним інтегратором за методом Сімпсона.

Аналіз одержаних залежностей показує, що кожний діапазон змінювання коефіцієнтів і відповідає певному діапазону робочих частот . Порівняння вказує на те, що діапазонами та можна нехтувати, оскільки їх граничні частоти знаходяться нижче значень за методом Сімпсона. Діапазони змінення коефіцієнтів та відповідно розширяють діапазон робочих частот у середньому на 27% і на 14%.

Комплексна корекція приводить до звужування робочого частотного діапазону за рахунок появи початкової частоти . Однак задані похибки і мають вплив і на початкову, і на граничну частоти. Значний вклад на це мають вимоги до ФЧХ.

Для корекції АЧХ ЦЧПД при неконтрольованих змінах ФЧХ використовувались методи чисельної оптимізації коефіцієнтів передавальної функції пристрою корекції нерекурсивного та рекурсивного типів не вище другого порядку. Порядки позначені, як , де та - відповідно ступінь чисельника та знаменника передавальної функції (рис. 9 і 10).

Рис. 9 Відностна похибка АЧХ ЦЧПД при застосуванні пристрою корекції нерекурсивного типу нульового порядку (1), першого порядку (2) та другого порядку (3) | Рис. 10 Відностна похибка АЧХ ЦЧПД при застосуванні пристрою корекції нерекурсивного типу порядків 01 (1), 02 (2), 11 (3), 12 (4), 21), 22 (6) відповідно.

Порівнюючи графіки відносної похибки АЧХ ЦЧПД, які широко використовуються, та одержаних при використанні пристроїв корекції нерекурсивних типу, можна казати, що рівень відносної похибки зменшується. Наприклад, робочий частотний діапазон дискретного диференціатора за методом апроксимації поліномами з використанням МНК по п’яти точкам (рис. ) складає на рівні 5% відносної похибки. Використання пристрою корекції другого порядку дає можливість розширити робочий діапазон , що відповідає розширенню частотного діапазону у 2,7 рази.

Застосування пристроїв корекції рекурсивного типу ще зменшує відносну похибку до рівня (1,5...2)%, а робочий частотний діапазон розширюється до

Корекція ФЧХ при неконтрольованій АЧХ виконувалась за використанням вимог до ФЧХ пристроїв корекції (10). З можливих передавальних функцій нерекурсивного та рекурсивного типів першого та другого порядків відібрані функції, які дозволили сформувати нові функції ЦЧПД (табл. 2).

Таблиця 2

ЦЧПД з ідеальною ФЧХ

Порядок | Передавальні функції

1

2

3 | , де .

Одержані передавальні функції мають полюси при , а при порядку - кратні полюси, тобто вони знаходяться на межі стійкості і чутливі до високочастотних перешкод. Тому їх доцільно використовувати для диференціювання низькочастотних сигналів з попередньою фільтрацією високочастотної перешкоди.

Аналіз частотних характеристик цих передавальних функцій показує, що з зростанням їх порядку область частот зменшується.

Теорема Для ЦЧПД порядку з знаменником, який має вигляд область частот обмежена частотою .

Доведення. Дійсно, з зростанням порядку ЦЧПД знаменник передавальної функції має вигляд , а комплексний коефіцієнт передачі тоді дорівнює . З цього виходить, що , коли , тобто

.

Таким чином, частотний діапазон ЦЧПД з ідеальною ФЧХ зменшується з збільшенням порядку фільтра .

Показано, що з аналізу відносної похибки АЧХ ЦЧПД першого та другого порядків є можливим знайти коефіцієнти і , а також взаємозв’зок між відносною похибкою АЧХ та граничною частотою  (рис. 11) (лінії 1 і 2 відповідно для першого та другого порядків).

При узагальненні передавальні функції ЦЧПД першого та другого порядків з ідеальною ФЧХ мають вигляд

та

або .

Рис. 11 Графік залежності

У зв’язку з тим, що максимальна частота при заданій точності відтворення ідеальної АЧХ менше допустимої частоти за теоремою, то доцільно використовувати ЦЧПД першого та другого порядків із-за спрощення їх передавальної функції.

Комплексна корекція дає незначне розширення робочого частотного діапазону. На граничну частоту значний вклад мають вимоги до АЧХ, а вплив заданих похибок і крім того носить нелінійних характер.

У четвертому розділі викладені теоретичні та реалізаційні основи регулювання точністю ЦЧП за рахунок вихідного шуму квантування

Основними джерелами похибок квантування, як визначалось раніше, є квантування вхідного сигналу, квантування коефіцієнтів процедури перетворення сигналів та квантування результатів арифметичних операцій.

При аналізі похибок квантування вхідного сигналу робиться припущення, що похибка рівноймовірна у границях кроку квантування і тоді похибку квантування розглядають як випадкову величину з рівномірною густиною розподілу. Дисперсія шуму квантування дорівнює

, (20)

де - кількість двійкових розрядів вхідної послідовності.

Зворотне перетворення цифрової послідовності у аналоговий сигнал виконується після керуючого пристрою і тоді для оцінки похибки квантування перетворювача це перетворення можливо опустити. Однак похибка квантування виникає, якщо число розрядів ЦАП менше за число розрядів керуючого пристрою.

При реалізації ЦЧП коефіцієнти и його передавальної функції (2), мусять бути подані у двійковому коді. Для чого їх нормалізують так, щоб і , а потім квантують. При цьому виникає похибка квантування представлення коефіцієнтів, яка впливає на точність реалізації частотних характеристик у вигляді додаткової похибки апроксимації.

Вплив цих похибок показано на прикладі цифрових фільтрів. В залежності від вигляду апроксимуючої функції використано чотири типи фільтрів – Баттерворта, Чебишова, інверсний Чебишова, еліптичний. По вигляду АЧХ у смузі пропускання їх можливо розділити на дві групи

- з монотонною АЧХ – фільтри Баттерворта і інверсний Чебишова;

- з рівнохвильовою АЧХ – фільтри Чебишова і еліптичний.

Показано, що для забезпечення мінімальної розрядності коефіцієнтів фільтру їх частоти зрізу для ФНЧ та ФВЧ, а також смуги пропускання та затримання для ПФ та РФ повинні знаходитися у діапазоні .

Похибки квантування арифметичних операцій виникають у місцях підсумовування та помножування. Якщо розрядна сітка пристрою вибрана вірно і при підсумовуванні переповнення немає, то джерелами шуму можуть враховуватися операції помножування. Однак при аналізі проміжних результатів виникають переповнення і при операції підсумовування. Тому джерелами похибки квантування слід розглядати і підсумовування і помножування.

Аналіз рівня вихідного шуму квантування арифметичних операцій проводиться на основі шумової моделі Джексона. Якщо до -го вузла підключено джерел шуму і кожний з них створює білий шум з дисперсією (20), де - це вже розрядність мантиси коефіцієнтів процедури перетворення послідовностей, то відповідно до моделі Джексона дисперсія вихідного шуму буде визначатися як

, (21)

де - кількість вузлів в пристрої, - кількість джерел шуму в -му вузлі, - комплексний коефіцієнт передачі від -го вузла до виходу пристрою.

З виразу (21) виділено квадрат коефіцієнту підсилення шуму

, (22)

який є комплексним показником, включаючи вплив розрядності на квантування коефіцієнтів передавальної функції, тобто і на похибку апроксимації, та на квантування результатів арифметичних операцій. Крім того він має частотно-залежну характеристику, тому його доцільно визначати у смузі пропускання корисної складової сигналу, щоб при його мінімізації зменшити долю додаткового шуму у корисному сигналі на виході перетворювача. Тоді для зручності використання вводиться усереднений у смузі пропускання коефіцієнт підсилення шуму

,

де - ширина смуги пропускання.

В цьому випадку дисперсію вихідного шуму квантування можна оцінити як

. (23)

Оскільки , то .

По аналогії з (23) похибку від проходження шуму квантування вхідного сигналу через цифровий фільтр у смузі пропускання оцінимо як

. (24)

При некорельованості шумів квантування вхідного сигналу на виході цифрового фільтру у смузі пропускання (24) і шуму квантування коефіцієнтів та арифметичних операцій (23) вихідний шум цифрового фільтру буде дорівнювати

(25)

або після перетворення одержимо

(26)

З (26) виходить, що мінімальне значення сумарного шуму залежить від співвідношення усереднених у смузі пропускання коефіцієнтів и .

Показано, що усереднений у смузі пропускання коефіцієнт підсилення шуму значно більше усередненого коефіцієнта ЦЧП . Дисперсія проходження шуму квантування вхідного сигналу через ЦЧП на порядок менше дисперсії вихідного шуму квантування арифметичних операцій . Тоді дисперсію вихідного шуму ЦЧП можна оцінити за величиною дисперсії вихідного шуму квантування арифметичних операцій , тобто .

Оцінюючи дисперсію шуму на виході ЦЧП за величиною дисперсії, проходження шуму квантування вхідного сигналу через перетворювач , формулу (26) узагальнюючи запишемо як

. (27)

В (27) вираз у квадратних дужках є коефіцієнтом підсилення сумарного шуму квантування.

Мінімізація відношення дозволяє одержати мінімум підсилення шумів квантування на виході ЦЧП. Однак дана задача не проста, оскільки це відношення залежить прямо пропорційно від особливостей структурної організації ЦЧП і розрядності мантиси його коефіцієнтів та обернено пропорційно від класу і типу перетворювача, а також від розрядності вхідного сигналу. Слід відзначити, що однозначного формалізованого математичного описання впливу структурної організації перетворювача немає. Є тільки деякі підходи до вирішення цієї задачі.

Тому для регулювання точністю за критерієм мінімуму вихідного шуму квантування доцільно накласти обмеження на це відношення так, щоб воно було меншим за якесь задане

. (28)

Дисперсія вихідного шуму квантування послідовно