Дисертацією є рукопис
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Шепелев Володимир Вячеславович
УДК 515.2
ВІДОБРАЖЕННЯ ПЛОЩИНИ НА ПОВЕРХНЮ
ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ
Спеціальність 05.01.01 –
“Прикладна геометрія, інженерна графіка”
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Донецьк – 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Донецькому національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник: - д.т.н., проф.
Скідан Іван Андрійович,
завідувач кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки,
Донецький національний технічний університет
(м. Донецьк);
Офіційні опоненти: - д.т.н., проф.
Корчинський Володимир Михайлович,
завідувач кафедри електронних засобів телекомунікацій,
Дніпропетровський національний університет
(м. Дніпропетровськ).
- к.т.н., доцент
Несвідомін Віктор Миколайович,
доцент кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки
Національний аграрний університет
(м. Київ).
Провідна установа: Національний технічний університет України
(Київський політехнічний інститут),
кафедра нарисної геометрії, інженерної і комп’ютерної графіки,
Міністерство освіти і науки України, (м. Київ).
Захист відбудеться “_11_” “__травня__” 2005 р. о 13.00 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради Д 11. 052. 04 Донецького національного технічного
університету за адресою:
83000, Донецьк, вул. Артема, 58, корп. 6, ауд. 202.
З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Донецького національного технічного
університету за адресою: 83000, Донецьк, вул. Артема, 58, корп. 2.
Автореферат розісланий “_8_” “_квітня_” 2005 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради,
к.т.н., доцент _______________________________Т. Г. Івченко
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. В науці і практиці широко використовуються геометричні методи відображення криволінійної поверхні на площину. Картографія та інженерна графіка – яскраві тому приклади. Перша дисципліна вивчає способи складення ман земної поверхні, друга є основою графічного моделювання тривимірних об’єктів, в тому числі і криволінійної форми, на площині, що становить основу проектування.
Оберненій задачі, - відображенню площини на криволінійну поверхню, - приділялось значно менше уваги: в основному, це графічні способи побудови плафонної перспективи, проблема зорового сприйняття графічних об’єктів, нанесених на криволінійну поверхню та деякі інші питання, вивчення яких не набуло ознаки систематичності. Як правило, відомі розв’язання оберненої задачі носять суто конструктивний, а не аналітичний характер, що становить вагому перешкоду використанню сучасних комп’ютерних технологій в отриманні розв’язків як в графічній формі на стадії проектування, так і в натуральній реалізації на стадії здійснення на устаткуванні з числовим програмним керуванням.
Координація графічного об’єкта на площині та його точкове відображення на криволінійну поверхню – актуальна проблема нанесення візерунків-орнаментів на споруди (оболонки) та автоматизованого гравірування зображень та надписів на виробах криволінійної форми.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась за планом наукових досліджень, що проводяться кафедрою нарисної геометрії та інженерної графіки Донецького національного технічного університету.
Мета і завдання досліджень. Мета досліджень: на основі наукових положень про відображення криволінійної поверхні на площину та на сферу розробити аналітичний апарат оберненого відображення і застосувати його для перенесення зображень з площини на поверхню стосовно автоматизації процесу гравірування на криволінійних поверхнях та нанесення зображень на оболонки.
Для досягнення мети необхідно розв’язати такі задачі:
-
систематизувати елементарні перетворення на площині та визначити засоби компіляції комплексного зображення, складовими якого є перетворення деякого базового елемента;
-
скласти конструктивні моделі точкового перетворення площини на поверхню на таких заставах:
-
згинання розгортних поверхонь на площину;
-
використання еквідистантних координат на сфері;
-
стереографічного проекціювання площини на сферу;
-
використання бельтрамієвих координат на сфері;
-
використання сферичного відображення поверхні;
-
використання перетворення інверсією;
-
скласти аналітичні моделі відображення площини на поверхню на основі:
-
топологічної відповідності чотирикутників на площині і на поверхні, обмежених парами координатних ліній двох координатних сімей, за умов віднесення площини до прямокутних декартових координат, поверхні - до будь-яких криволінійних координат, в тому числі і спеціальних;
-
використання сітки Боне на сфері;
-
скласти аналітичну модель відображення як суперпозицію відображень площина – сфера – нерозгортна поверхня;
-
розробити засоби управління відображенням графічної (текстової) інформації з площини на поверхню стосовно розв’язання задач прикладного декоративного мистецтва та автоматизації процесу гравірування на кривих поверхнях;
-
впровадити результати досліджень в інженерну практику та розробити рекомендації подальшого впровадження в інших галузях.
Об’єкт дослідження. Геометричні відображення однієї поверхні на іншу.
Предмет дослідження. Застосування в оберненій постановці відображення сфери на площину та сферичного відображення поверхні для розв’язання прикладних задач.
Методи дослідження. Теоретичну основу проведених в роботі досліджень складають положення теорії поверхонь і диференціальної геометрії, праці професорів Бадаєва Ю. І., Борисенка В. Д., Ваніна В. В., Іванова Г. С., Ковальова С. М., Котова І. І., Куценка Л. М., Михайленка В. Є., Найдиша В. М., Павлова А. В., Підгорного О. Л., Підкоритова А. М., Пилипаки С. Ф., Рижова М. М., Скидана І. А.,Тевліна А. М. та їх учнів в області аналітичного дослідження поверхонь, геометричних перетворень та їх застосувань.
В роботі прийнято аналітичний метод дослідження з використанням засобів комп’ютерної графіки для представлення результатів у графічній формі.
Наукова новизна одержаних результатів:
-
набув подальшого розвитку спосіб базового елемента у формоутворенні візерунків та орнаментів у частині його аналітичної та програмної реалізації;
-
вперше точкове відображення площини на криволінійну поверхню набуло систематичного дослідження, в результаті якого отримані кінцеві функції відображення і програми візуалізації образів відображення разом з їх носієм;
-
вперше розв’язано в оберненій постановці задачі згинання на площину розгортних поверхонь, конформного відображення сфери на площину і сферичного відображення поверхонь;
-
вперше отримані функції топологічної відповідності між координатними чарунками площини та криволінійної поверхні, які покладено в основу точкового відображення плоского графічного об’єкта на криволінійну поверхню.
Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій. Всі наукові положення представлені у аналітичному вигляді та у вигляді комп’ютерних програм. Їх достовірність забезпечується візуалізацією засобами комп’ютерної графіки аналітичних моделей.
Практичне значення одержаних результатів. Результати досліджень способів відображення площини на поверхню отримані з цільовим практичним призначенням формувати на площині вхідні дані для задач нанесення графічної чи текстової інформації на криволінійні поверхні. Галузі застосувань в цій частині – художнє та прикладне декоративне мистецтво, виглядові ефекти тривимірної комп’ютерної графіки, гравірування на криволінійних поверхнях.
Окремо спосіб компіляції складного зображення із компонентів, отриманих суперпозицією перетворень на площині поданого базового елемента, може бути використано при формуванні і нанесенні візерунків на тканини та шпалери.
Аналітичні моделі, отримані в роботі, реалізовано на рівні програмних інтерпретацій.
Методику та програмне забезпечення автоматизованого гравірування на криволінійних поверхнях передано для впровадження на ВАТ Рутченківський завод “ГОРМАШ”.
Особистий внесок здобувача. У статтях, опублікованих у співавторстві з науковим керівником, останньому належать постановка задачі та контроль достовірності отриманих результатів. Решту досліджень автор дисертації здійснював самостійно.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались: на VII Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, 17 – 20 червня 2003р., м. Мелітополь, на VIII Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, 1 – 4 червня 2004р., м. Мелітополь, на наукових семінарах кафедр технології машинобудування та нарисної геометрії і інженерної графіки Донецького національного технічного університету.
Публікації. Результати досліджень опубліковано у 9 наукових працях, з них 8 у наукових статтях фахових видань, затверджених ВАК України, 3 праці опубліковані у співавторстві з науковим керівником, решта – одноосібно.
Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 111 найменувань, додатків обсягом 7 сторінок. Обсяг роботи: 138 сторінки, 46 рисунків, 3 таблиці.
ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі наведено характеристику роботи: обґрунтовано актуальність теми, сформульовано
мету і завдання досліджень, визначено об’єкт, предмет і метод досліджень, наведено засоби досягання достовірності отриманих результатів, визначено новизну основних теоретичних положень і практичне значення одержаних результатів, наведено відомості про апробацію та публікації результатів досліджень та про структуру дисертації.
В першому розділі наведено положення понятійного апарату геометричних відображень, показано роль перетворень для численних гілок геометрії і, зокрема, для нарисної і прикладної геометрії.
Відображення поверхонь на площину становить предмет вивчання таких дисциплін як картографія і нарисна геометрія. Оберненій задачі, - відображенню площини на поверхню, - приділено значно менше уваги. Цю задачу в основному розв’язували в зв’язку з орнаменталістикою (В. Є. Михайленко, В. О. Плоский, Ю. А. Аскаров, Н. І. Сідлецька, С. М. Камалов, О. В. Черніков, М. П. Цой, М. І. Яковлєв) з наголосом на зміст орнаменту та його формоутворення. Щодо методів відображення з площини на криволінійну поверхню візерунків та орнаментів, то вони обмежені застосуванням центрального проекціювання при побудові плафонної перспективи (Підгорний О. Л.), ортогонального проекціювання відносно основних площин проекцій (графічний пакет Rhinoceros). Аскаров Ю. А. відображає прямолінійні елементи плоского орнамента на криволінійну поверхню проведенням через них проекціювальних площин та відшуканням ліній їх перетину з поверхнею. Ященко А. А., Камалов С. Н. отримують відображення площини на поверхню попередньою апроксимацією поверхні циліндрами з подальшим відображенням площини на відсіки апроксимантів.
В. В. Ванін і О. В. Павлов відображають площину на поверхню гіперболічного параболоїда на основі проекційної відповідності плоского та просторового чотирикутників, перший з яких є проекцією другого, а другий відіграє роль визначника гіперболічного параболоїда.
Дисертацію присвячено систематичному дослідженню відображення площини на поверхню стосовно перенесенню з площини на криволінійну поверхню візерунків, орнаментів, текстової інформації та автоматизованого гравірування на криволінійних поверхнях. Ця задача є оберненою відносно відомих способів відображення поверхонь на площину.
Оскільки робота орієнтована на використання комп’ютерних технологій як в процесі дослідження, так і в практиці реалізації отриманих результатів, в першому розділі наведено аналітичні вирази елементарних геометричних перетворень на площині, що становить основу для формування графічних об’єктів способом базового елемента. Наведено також відомі розв’язки прямої задачі відображення прямих конусів та циліндрів, торсів на площину на основі згинання, відображення сфери на площину на основі еквідистантних, стереографічних та бельтрамієвих координат, сферичне відображення поверхні.
Другий розділ розпочинається з аналітичного представлення способу базового елемента
формування упорядкованого точкового каркасу візерунків, орнаментів, надписів, які названо графічними об’єктами-прообразами. Оскільки прообраз передбачається відображати з площини на криволінійну поверхню, кінцеві точки відрізків прямих, дуг кіл чи інших кривих, доповнюються застосуванням програм проміжними точками, так що відстані між суміжними точками каркасу майже однакові. На першому кроці визначається масив координат точок для елемента кінцевого зображення, що є базовим. На кожному наступному кроці базовий елемент застосуванням одного з перетворень чи композиції перетворень доповнюється до зображення, яке становить базовий елемент для подальшого кроку, і так до досягнення кінцевого зображення. Масиви координат точок супроводжуються масивом значень параметра, ефективного з прорисовкою чи марного без прорисовки перебігу “самописця”. Масив розміщується у файл вхідних даних.
Оскільки зміст графічного об’єкта-прообразу не є предметом дослідження, візьмемо два типи зображень, що наведені на рис. 1 та 2. На цих прикладах в роботі показано сутність способу
Рис. 1. Кінцевий графічний об’єкт
Рис. 2. Визначення точкового каркасу графічного об’єкта текстового типу
базового елемента у формуванні візерунків, а саме, у визначенні масивів координат упорядкованого точкового каркасу графічного об’єкта-прообразу на площині. У цьому і в подальших розділах проблема точкового відображення площини на поверхню вирішується з використанням лише цих двох прообразів.
Відображення площини на поверхню на основі проекціювання, згинання та з використанням сферичного відображення названо конструктивними.
Поточна точка з прямокутними декартовими координатами на площині відображається на розгортні поверхні на основі згинання у точку з координатами :
-
на циліндр обертання (рис. 3) радіуса
; (1)
-
на конус обертання (рис. 4) з кутом нахилу
твірної до площини основи
; (2)
Рис. 3. Відображення площини на Рис. 4. Відображення площини на
прямий круговий циліндр прямий круговий конус
-
на евольвентний гелікоїд (рис. 5)
, (3)
де - радіус циліндра інциденції ребра звороту, - крок ребра звороту,
- кривина ребра звороту,
- кутовий параметр
положення точки на ребрі звороту.
Відображення площини на сферу на основі:
-
еквідистантних координат (рис. 6)
; (4)
Рис. 5. Відображення площини Рис. 6. Відображення площини на сферу
на евольвентний гелікоїд на основі еквідистантних координат
-
стереографічних координат
a)
стереографічним проекціюванням екваторіальної площини на сферу із її південного полюса (рис. 7)
; (5)
б) стереографічним проекціюванням із північного полюса площини, дотичної до
сфери у південному полюсі (рис. 8)
; (6)
Рис. 7. Відображення екваторіальної Рис. 8. Відображення площини, дотичної
площини на сферу проекціюванням до сфери у південному полюсі проекціюванням
із південного полюса із північного
-
бельтрамієвих координат (рис. 9)
. (7)
Рис. 9. Відображення графічного об’єкта текстового типу на сферу на
основі бельтрамієвих координат
Крім самостійного значення, відображення площини на сферу відіграє роль посередника у відображенні площини на довільну нерозгортну поверхню на основі сферичного відображення останньої.
Якщо сферичне відображення поверхні має вигляд
, (8)
де - спільні криволінійні координати на поверхні та на її сферичному відображенні, а
- (9)
будь-яке відображення площини на сферу за умов, що її віднесено до прямокутних декартових координат з початком у центрі та її радіус дорівнює 1, то проблема відображення площини на поверхню полягає у виключенні з рівнянь (8) та (9) та у отриманні функцій
, (10)
підстановка яких до параметричних рівнянь поверхні приводить до шуканого відображення.
Наприклад, сферичне відображення гіперболічного параболоїда
, (11)
має вигляд
. (12)
Зіставимо його з відображенням площини на сферу одиничного радіуса на основі бельтрамієвих координат (7). Отримаємо функції (10) у вигляді
,
і підставимо їх до параметричних рівнянь гіперболічного параболоїда (11). Одержимо
-
функції відображення площини на гіперболічний параболоїд. Підставляючи в них замість координати точок каркасу (рис. 2), отримаємо образ його відображення на гіперболічний параболоїд (рис. 10).
Рис. 10. Сферичне відображення графічного об’єкта текстового
типу на гіперболічний параболоїд
Візерунок-прообраз (рис. 1) відображено на тривісний еліпсоїд (рис. 11) використанням відображення площини на сферу одиничного радіуса на основі бельтрамієвих координат і оберненого сферичного відображення еліпсоїда.
Рис. 11. Тривісний еліпсоїд з візерунком, закоординованим на площині
На рис. 12 показано сферу, отриману перетворенням інверсією площини, дотичної до сфери інверсії у північному полюсі, разом з візерунком (рис. 1), нанесеним на площину. Функції відображення
.
Рис. 12. Відображення на сферу візерунка, закоординованого
на площині, перетворенням інверсії
Таким чином, конструктивні відображення площини на поверхню здійснюються встановленням їх спільної координації безпосередньо або за участю оберненого сферичного відображення поверхні.
У третьому розділі пропонуються аналітичні способи відображення площини на поверхню. В той час, коли здійснення конструктивних способів зв’язано з розв’язанням систем рівнянь, аналітичні способи менше обумовлені і тому припускають загальну алгоритмізацію.
Основна ідея аналітичних відображень полягає у встановленні точкової топологічної відповідності між будь-якими відсіками на площині та на поверхні, обмеженими двома парами координатних ліній за умов належності пар різним координатним сім’ям. Такі відсіки названо координатними чарунками.
Точкове відображення координатної чарунками площини
(13)
на координатну чарунку поверхні
(14)
здійснюється застосуванням лінійних залежностей між площинними координатами і криволінійними координатами , що мають вигляд
. (15)
Оскільки існувала попередня домовленість про використання на площині лише прямокутної декартової координації, єдиною умовою здійснення відображення функціями (15) є відсутність на координатній чарунці (14) особливих точок координації.
Відображення здійснюється підстановкою в параметричні рівняння поверхні виразів (15).
Аналітичні відображення застосовні без ускладнень для будь-якої параметризації поверхні, в тому числі і спеціальної. В роботі наведено ознаки спеціальних параметризацій поверхонь і показано відображення площини на такі спеціальні координатні сітки: Чебишева, ортогональну, спряжену, півгеодезичну, сітку з ліній кривини, сітку з асимптотичних. На рис. 13, наприклад, показано відображення на різьблену поверхню Монжа, координатна сітка якої ортогональна, спряжена, складається з ліній кривини і півгеодезична.
Рис. 13. Графічний об’єкт на різьбленій
поверхні Монжа
Оскільки, як вже було відзначено, будь-яка нерозгортна поверхня та її сферичне відображення мають спільну параметризацію, функції (15) є спільними для відображення площини на сферу одиничного радіуса та на поверхню, для якої це відображення є сферичним. В зв’язку з цим в роботі досліджено конструктивні способи побудови двох нетривіальних випадків сітки Боне на сфері. Ця сітка складається з двох ортогональних сімей кіл. Сітка Боне на сфері одиничного радіуса є сферичним відображенням класу поверхонь з двома сім’ями плоских ліній кривини.
На рис. 14, 15 показано відображення графічного об’єкта, закоординованого на площині, на сітку Боне сфери і на поверхню з двома сім’ями плоских ліній кривини, відображення здійснено однією і тією ж функцією (15).
У четвертому розділі розроблено засоби управління відображенням та наведено напрямки практичного використання отриманих результатів.
Рис. 3.11. Графічний об’єкт на Рис. 3.12. Графічний об’єкт на чарунці
чарунці сітки Боне сфери сітки ліній кривини поверхні
Засоби управління відображенням:
1)
зміна положення і форми закоординованого прообразу на площині за чинниками:
-
запобігання наявності особливих точок на області відображення;
-
ненакладення зображення образу;
-
розташування образу у цілому на видимій частині поверхні при деякому прийнятному ракурсі.
Цей засіб здійснюється застосуванням елементарних перетворень на площині, перелік і
програмна реалізація яких були застосовані при формуванні графічного об’єкта на площині;
2)
зміна форми і положення координатної чарунки на поверхні, на яку відображається
прообраз на основі топологічної відповідності координатних чарунрок. Чинники, що визначають доцільність зміни, такі ж, як і в попередньому випадку;
3)
зміна координатної сітки на поверхні.
Супроводження аналітичних моделей відображення їх візуалізацією засобами комп’ютерної графіки складає критерій для отримання оптимальних параметрів відображення за його візуальною оцінкою.
Галузі застосувань отриманих результатів:
-
формування візерунків, що наносять на шпалери, лінолеум та інші покриття способом базового елемента;
-
формування на площині і нанесення на оболонки надписів, орнаментів та інших зображень;
-
формування на площині та нанесення на вироби криволінійної форми засобами автоматизованого гравірування графічних об’єктів певного змісту.
Для здійснення останнього застосування до вхідних даних, що містять масиви просторових координат точок образу на поверхні додають масиви значень напрямних косинусів нормалі до поверхні, забезпечуючи орієнтацію осі обробного інструмента.
ВИСНОВКИ ПО РОБОТІ
В роботі вирішено актуальну проблему перенесення вхідних даних, представлених на площині у вигляді графічних об’єктів (візерунків, орнаментів, логотипів, надписів) на криволінійну поверхню.
1.
Дістав подальшого розвитку спосіб використання базового елемента у формуванні візерунків та орнаментів за рахунок ієрархічності схеми формування, в якій початковий базовий елемент застосуванням множини елементарних геометричних перетворень перетворюється на будь-якому кроці у наступний проміжний базовий елемент аж до досягнення кінцевого зображення.
2.
На основі використання відомих положень геометрії, щодо відображень поверхні на площину та сферу (еквідистантне, конформне, бельтрамієве відображення сфери на площину, сферичне відображення поверхні) в роботі вперше знайшло систематичного дослідження обернене відображення, тобто, відображення площини на криволінійну поверхню.
3.
Крім конструктивних способів відображення, які встановлюють жорсткий зв’язок між точками-прообразами та точками-образами, що здійснюється згинанням чи проекціюванням, в роботі запропоновано гнучкий аналітичний спосіб відображення на основі топологічної точкової відповідності наперед поданих координатних чарунок на площині і на поверхні, який може застосовуватись як окремо, так і в комбінації з будь-яким конструктивним способом.
4.
Вперше в прикладній геометрії в роботі здійснено побудову координатної сітки Боне на сфері, з використанням якої отримано відображення площини на координатну сітку сфери, яка складається з двох ортогональних сімей кіл, та на клас поверхонь з двома сім’ями плоских ліній кривини.
5.
Розроблено низку засобів управління відображенням: варіюванням значеннями сталих параметрів, зміною положення графічного об’єкта-прообразу на площині, зміною форми і положення результату відображення (образу) на кривій поверхні, переходом до нової координатної сітки на поверхні.
6.
Наведено рекомендації по впровадженню отриманих результатів досліджень: в практику формування візерунків стосовно нанесення на плоскі поверхні шпалер, лінолеумів і інших покриттів; в практику автоматизованого перенесення зображень графічних об’єктів, в тому числі текстової інформації, з площини на криволінійну поверхню.
7.
До захисту дисертації здійснено впровадження на ВАТ Рутченківський завод “ГОРМАШ” рекомендацій до застосування результатів досліджень в інженерну практику автоматизованого гравірування на кривих поверхнях на обладнанні з ЧПК та у навчальний процес на кафедрах “Нарисна геометрія та інженерна графіка” і “Технологія машинобудування” ДонНТУ.
8.
Акцент на алгоритмізацію і розробку програмного забезпечення, використання сучасного графічного комплекса MAPLE для візуалізації результатів дослідження і їх представлення у вигляді аксонометричної проекції поверхні разом з відображеним на неї графічним об’єктом дозволяє впевнитися у достовірності отриманих результатів і забезпечує застосування комп’ютерних технологій в процесі проектування та вироблення.
Основні положення дисертації опубліковані в таких роботах:
1. Шепелєв В. В. Перетворення на поверхні. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Київ: КНУБА, 2001. Вип. 69. – С. 173-177.
2. Скидан І. А., Шепелєв В. В. Перетворення довільних криволінійних координат на поверхні до ортогональних координат. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2001. Вип. 4. – Т. 12. - С. 21-24.
- автору належать аналітичні дослідження в перетворенні довільних криволінійних координат на поверхні до ортогональних та комп’ютерна реалізація.
3. Скидан І. А., Шепелєв В. В. Сферичне зображення поверхонь і його візуалізація. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2001. Вип. 4. – Т. 14. - С. 9-14.
- автору належить аналітична і комп’ютерна побудова поверхонь сферичним зображенням.
4. Шепелєв В. В. Перетворення на поверхнях сфери і тора. // Геометричне та комп’ютерне моделювання. Харків: Харк. держ. акад. технол. та орг. харчування, 2002. Вип. 1. – С. 98-102.
5. Шепелєв В. В. Побудова поверхонь з двома сім’ями плоских ліній кривини за сферичним відображенням. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2002. Вип. 4. – Т. 17. - С. 91-95.
6. Шепелєв В. В. Перетворення координат на поверхні і проблема візуалізації. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. – Т. 18. - С. 88-92.
7. Шепелєв В. В. Перетворення на поверхні і проблема візуалізації її відсіків. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. – Т. 19. - С. 68-72.
8. Скідан І. А., Шепелєв В. В. Побудова координатної сітки Боне на сфері. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. – Т. 22. - С. 50-56.
- автору належать дослідження координатної сітки Боне на сфері.
9. Шепелєв В. В. Відображення площини на сферу. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2004. Вип. 4. – Т. 27. - С. 73-76.
Шепелев В. В. Відображення площини на поверхню та його застосування. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05. 01. 01. – Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Донецький національний технічний університет, Донецьк, Україна, 2005.
Дисертація присвячена вирішенню проблеми відображення площини на криволінійні поверхні. В геометричному аспекті ця задача є оберненою до задачі відображення криволінійної поверхні на площину, яка є предметом вивчення картографії та нарисної геометрії. З точки зору застосувань проблема координації на площині графічної інформації у вигляді візерунків, орнаментів, логотипів, надписів та перетворення цієї інформації з метою її відображення на криволінійну поверхню є актуальною для прикладного мистецтва та машинобудування у частині автоматизованого гравірування на виробах криволінійної форми. Розв’язання проблеми ґрунтується на точкових відповідностях між площиною та криволінійною поверхнею, встановлені при розв’язанні прямої задачі. Отримання розв’язків в аналітичній формі, складання програм, що інтерпретують аналітичні моделі, застосуванням програмного комплексу MAPLE для візуалізації поверхні разом з відображеним на ній графічним об’єктом дозволяє візуально оцінити розв’язок, обрати його оптимальні параметри, застосувати комп’ютерні технології на стадії проектування та на стадії здійснення.
Ключові слова: відображення, згинання, проекціювання, сферичне відображення, координатна комірка, топологічна відповідність, автоматизоване гравірування.
Шепелев В. В. Отображение плоскости на поверхность и его приложения. – Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук по специальности 05. 01. 01 – Прикладная геометрия, инженерная графика. – Донецкий национальный технический университет, Донецк, Украина, 2005.
Диссертация посвящена решению проблемы отображения плоскости на криволинейные поверхности. В геометрическом аспекте эта задача представляется обратной задаче отображения криволинейной поверхности на плоскость, являющейся предметом изучения картографии и начертательной геометрии. С точки зрения приложений проблема координации на плоскости графической информации в виде узоров, орнаментов, логотипов, надписей и преобразования этой информации с целью её отображения на криволинейные поверхности является актуальной для прикладного искусства и машиностроения в части автоматизированного гравирования на изделиях криволинейной формы.
Решение проблемы основано на точечных соответствиях между плоскостью и криволинейной поверхностью, установленных при решении прямой задачи. Так, задача отображения плоскости на развёртываемые поверхности решена как задача, обратная задаче построения развёртки, на основе точечного соответствия между развёртываемой поверхностью и плоскостью, устанавливаемого изгибанием.
Точечные соответствия между плоскостью и сферой, установленные специальными параметризациями сферы (эквидистантные, стереографические и бельтрамиевы координаты на сфере), являлись основой для определения функций точечного отображения плоскости на сферу, так же, как и точечное преобразование инверсией плоскости в сферу.
Для отображения плоскости на поверхность, не являющуюся сферой и не относящуюся к развёртываемым, используется одно из отображений плоскости на сферу единичного радиуса и сферическое отображение поверхности. Сначала графический объект отображается с плоскости на сферу единичного радиуса и получают функции отображения, аргументами которых являются точечные координаты на плоскости. На эту же сферу единичного радиуса точечно отображается поверхность, так что пара криволинейных координат определяют точку как на поверхности, так и на сфере, то есть аргументами функций сферического отображения являются криволинейные координаты поверхности.
Для отыскания функций отображения плоскости на поверхность через сферическое отображение необходимо приравнять правые части функций отображения плоскости на сферу единичного радиуса и функций сферического отображения поверхности. Разрешением полученных равенств относительно криволинейных координат поверхности и подстановкой полученных решений в параметрические уравнения поверхности получают функции точечного отображения плоскости на поверхность, аргументами которых являются точечные координаты на плоскости.
Наряду с перечисленными способами установления точечного соответствия, которые названы конструктивными, предложена линейная зависимость между прямоугольными декартовыми координатами на плоскости и криволинейными координатами на поверхности, обеспечивающая топологическое точечное соответствие отсеков на плоскости и на поверхности, заключённых между парами координатных линий, относящихся к разным семействам. Кроме того, выбор криволинейных координат на поверхности многозначен. Следовательно, такой способ установления точечного соответствия менее обусловлен по сравнению с конструктивными способами, что позволяет отображать габаритный прямоугольник плоскостного изображения на произвольный криволинейный четырёхугольник произвольной координатной сети, в том числе и специальной, поверхности.
Разработанные аналитические модели формирования изображений на плоскости и их отображения на криволинейные поверхности, их программная интерпретация, применение пакета MAPLE для визуализации поверхности вместе с отображённым графическим объектом, позволяет визуально оценить принятое решение, определить оптимальные значения его параметров, применять компьютерные технологии при проектировании и в производстве. Приводятся рекомендации по применению результатов исследования при составлении управляющих программ автоматического гравирования на изделиях криволинейной формы. В этом случае управляющими координатами являются прямоугольные координаты точек на графическом или текстовом объекте, закоординированном на плоскости. Функции отображения, аргументами которых являются прямоугольные координаты на плоскости, одновременно играют роль параметрических уравнений поверхности, что позволяет определить направляющие косинусы нормали к поверхности в текущей точке.
Кроме автоматизированного гравирования, результаты работы применимы в прикладном декоративном искусстве при нанесении орнаментов на криволинейные оболочки.
Ключевые слова: отображение, изгибание, проецирование, сферическое отображение, координатная ячейка, топологическое соответствие, автоматизированное гравирование.
Schepelev V. V. Mapping of plane onto surface and its applications. – Manuscript.
Engineering sciences candidate disertation on specialty 05. 01. 01 – Applied geometry, engineering graphics. – Donetsk National Technical University, - Donetsk, - 2005.
Disertation is devoted to mapping of plane drawings and inscriptions onto curved surfaces. From the geometry point of view it is the inverse problem of the known task which consists in mapping of a curved surface onto a plane. The last task is studied by descriptive geometry. From the point of view of application the mapping of plane onto surface in interesting for engraving on curved surfaces and ornamenting of shells.
Resolving of problem is based on bijection of curved surface and plane established by direct problem. The point-to-point correspondence of sphere to plane is consequence of using equidistant conform and Beltramy coordinates on the sphere. Correspondence of developable surfaces to plane is carried out by bending first on second. The spherique mapping of nondevelopable surfaces is used for mapping of plane onto other surfaces except sphere.
Another method of mapping of plane onto any curved surface consists in establishing of one-to-one correspondence between the curvilinear surface’s and plane’s elements of coordinate lattice.
Elaborated analytic models of drawings and inscriptions mapping from plane onto curved surface are applicable for computer aided design and production.
Key words: plane, curved surface, mapping, correspondence, bending, engraving, ornament, inscription.
