НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМЕНІ С.П.ТИМОШЕНКА

Терещенко Лідія Миколаївна

УДК 539.3

ЗАДАЧІ СТАТИЧНОЇ МАГНІТОПРУЖНОСТІ ДЛЯ ТІЛ ІЗ МАГНІТО-М'ЯКОГО ФЕРОМАГНЕТИКА З ЕЛІПТИЧНИМ ТА СФЕРИЧНИМ ВКЛЮЧЕННЯМИ І ПОРОЖНИНАМИ

01.02.04- механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук

Київ-2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор

Подільчук Юрій Миколайович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, завідувач відділу реології.

Офіційні опоненти - член - кор. НАН України, доктор фізико-математичних

наук, професор Шульга Микола Олександрович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділу електропружності;

- кандидат фізико-математичних наук, Вовкодав Наталія

Іванівна, доцент кафедри інформатики Національного

університету харчових технологій.

Провідна установа - Київський національний університет ім. Тараса Шевченка,

кафедра механіки суцільних середовищ.

Захист відбудеться “ 27 ” вересня 2005 року о 10 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.166.01 Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, 03057, м. Київ-57, вул. Нестерова, 3.

Автореферат розіслано “ 13 ” серпня 2005 року.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради Д 26.166.01

доктор фізико-математичних наук О.П.Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Для розвитку сучасної науки та техніки характерною ознакою є широке використання матеріалів з різними фізико-механічними властивостями, які знаходяться під дією фізичних полів різної природи. Однією з таких властивостей є намагніченість. Розробка нових конструкцій із магніто- м’яких феромагнетиків, а також підвищення вимог до надійності та стабільності роботи при експлуатації потребують удосконалення та створення нових методів розрахунку напруженого стану тіл (в тому числі і магніто-м’яких феромагнетиків), що мають інородні включення та порожнини. Проведений аналіз публікацій з цих питань свідчить, що в літературі не розглядалися аналітичні розв’язки задач магнітопружності для тіл із магніто-м'яких феромагнетиків з круговими, еліптичними та сферичними порожнинами та включеннями. Тому побудова аналітичних розв’язків становить інтерес як з теоретичної, так і з практичної точки зору. Дослідження по даній темі відповідають сучасному стану механіки деформівного твердого тіла.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження виконані у відповідності з науковою тематикою відділу реології Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України по темам НДР "Розвиток підходів до побудови аналітичних розв’язків деяких нелінійних задач магнітопружності" (№ ДР 0101U002863); “Тривимірні лінеаризовані задачі механіки суцільних середовищ” (№ ДР 0102U007023).

Мета і задачі дослідження. Метою цієї дисертаційної роботи є побудова аналітичних розв’язків задач статичної магнітопружності для тіл із магніто-м’якого феромагнітного матеріалу з еліптичним та сферичним включеннями і порожнинами. Для досягнення поставленої мети необхідно:

1. Отримати аналітичні розв’язки відповідних задач магнітопружності.

2. Дослідити отримані аналітичні розв’язки та розробити алгоритми їх числової реалізації на ПК.

3. Провести аналіз залежності напружено-деформованого стану тіл від геометричних характеристик та фізико-механічних властивостей матеріалу.

4. На основі порівняльного аналізу виявити характерні механічні ефекти, властиві класам задач та матеріалам, що розглядаються.

Об'єкт дослідження – ізотропний магніто-м'який нескінченний феромагнетик, що містить кругову, еліптичну, сферичну порожнини і включення та знаходиться під дією однорідного магнітного поля.

Предмет дослідження – концентрація напружень на границі кругової, еліптичної, сферичної порожнини та включення при дії однорідного магнітного поля.

Методи дослідження – лінеаризація основних рівнянь та граничних умов; побудова точних аналітичних розв'язків повної системи рівнянь статичної теорії магнітопружності як суми частинного та загального розв'язків.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступних основних положеннях, які виносяться на захист:

1. Отримано точні аналітичні розв’язки задач магнітопружності для магніто-м’яких феромагнетиків, що мають кругову та еліптичну порожнини чи включення.

2. Знайдено аналітичний розв’язок просторових задач магнітопружності для магніто-м’яких феромагнетиків, що містять сферичну порожнину чи включення.

3. Розроблено алгоритми числової реалізації отриманих розв'язків на ПК.

4. Виявлено механічні ефекти характерні для магніто-м’яких феромагнетиків.

Достовірність результатів. Достовірність основних наукових положень і отриманих результатів забезпечується коректністю постановки задач, вибором обґрунтованих моделей тіл, відповідністю отриманих результатів фізичним міркуванням, строгими математичними викладками, співпаданням з розв’язками аналогічних пружних задач.

Практичне значення отриманих результатів. В результаті проведених досліджень отримано співвідношення, які дозволяють проводити обчислення напружено-деформованого стану та індукованого магнітного поля магніто-м’яких феромагнетиків, які мають кругову, еліптичну, сферичну порожнини чи включення. Побудовано графіки залежності сумарних напружень від зміни індукції магнітного поля та від магнітних і механічних властивостей матеріалу тіла і включення, що дозволяє оцінити міцність та надійність різноманітних конструкцій, а саме: трансформаторів, двигунів, генераторів, моторів та різних приладів, для яких використання магніто-м'яких феромагнетиків має особливо важливе значення.

Особистий внесок здобувача. В роботах [1-4], опублікованих у співавторстві з науковим керівником, автору і співавтору належить участь у постановці задач, розробка підходу до розв'язку задач, а також обговорення отриманих результатів. Автору належать аналітичні розв'язки задач та їх числова реалізація на ПК.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювались на

1. Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (25-28 січня 2001 р.), Київ, Київський національний Університет ім. Тараса Шевченка.

2. Семінарах відділу реології Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (Київ, 2002-2004 рр.).

3. Семінарі кафедри “Механіка суцільного середовища” механіко-математичного факультету Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (Київ, 2005 р.).

Публікації. За результатами роботи опубліковано сім робіт, всі в наукових журналах, затверджених ВАК України спеціалізованими виданнями в області фізико-математичних наук.

Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел.

Структура та обсяг дисертації. Загальний обсяг дисертації становить 133 сторінки, в тому числі 13 рисунків та 8 таблиць. Список використаних джерел складається з 144 найменувань на 15 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито стан наукової проблеми та актуальність теми дисертації, сформульовано мету та задачі досліджень, показано наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі проведено огляд наукових робіт за тематикою дисертації, присвячених різним проблемам магнітопружності, зокрема взаємодії механічних та електромагнітних полів у пружних тілах та магніто-м'яких феромагнетиках. Найбільш повний внесок та послідовний розвиток в цьому напрямку зроблено такими вченими, як В. Новацький, А. Ф. Улітко, X. Тірстен, І. Пао, С. А. Амбарцумян, Г. Е. Багдасарян, У. Браун, Я., О. М. Гузь, Е. Ерінген, Б. А. Кудрявцев, Л. Д. Ландау, П. Г. Махорт, Ж. Можен, Л. В. Мольченко, В. 3. Партон, Ю. М. Подільчук, Л. І. Сєдов, Л. А. Фильштинський, Я. Шиндо, М. О. Шульга та ряд інших. Проведений огляд дозволяє стверджувати наступне: на основі багаточисельних як аналітичних так і числових методів розв'язано ряд плоских задач магнітопружності для магніто-м'яких феромагнетиків, які мають тріщини та отвори, але більш складні задачі про криволінійні включення та просторові задачі про сферичні включення та порожнини в літературі невідомі.

У другому розділі, що складається з п'яти підрозділів, наведено основні співвідношення теорії магнітопружної взаємодії, виведені основні лінеаризовані рівняння і граничні умови та описано метод їх розв'язання. У першому підрозділі представлено основні рівняння теорії магнітопружності та граничні умови для магніто- м'яких феромагнетиків і описано метод їх лінеаризації.

Основні рівняння до лінеаризації

рівняння рівноваги , (1)

, (2)

тензор магнітопружних напружень , (3)

тензор напружень Максвела , (4)

тензор пружних напружень , (5)

рівняння Максвелла , (6)

, (7)

де  вектор намагніченості;  вектор напруженості магнітного поля;  абсолютна магнітна стала ; -вектор магнітної індукції, - символ Кронекера; G – модуль зсуву; - коефіцієнт Ляме.

Лінеаризація загальних рівнянь механіки та електродинаміки для намагнічених середовищ проводиться за допомогою припущення, що компоненти магнітного поля в деформівному тілі можливо розбити на дві складові, зв’язані зі станом жорсткого недеформованого тіла і збуреним станом , зумовленим деформацією тіла. Для цього використовувались умови малості деформацій незбуреного стану та умови малості збурень. В основу наступних спрощень покладено варіант теорії малих деформацій, згідно до якого відповідні видовження, зсуви та похідні від вектора переміщень вищих порядків є малими у порівнянні з одиницею.

У другому, третьому, четвертому підрозділах виведені основні рівняння та граничні умови для ортотропних, трансверсально-ізотропних та ізотропних магніто-м'яких феромагнетиків.

Основні рівняння після лінеаризації в переміщеннях для ізотропних магніто-м'яких феромагнетиків мають вигляд

=0,

=0,

=0. (8)

, , (9)

а граничні умови _

, (10)

, (11)

. (12)

Для всіх задач, передбачається, що для збуреного стану мають місце рівняння магнітостатики. Тому можна припустити, як і у випадку жорсткого тіла, що нормальна складова вектора магнітної індукції в тілі та включенні співпадають, тобто можна знехтувати деформативністю середовища в граничній умові (12). Тоді ця умова набуває вигляду

. (13)

У випадку кругової порожнини граничні умови не спрощуються.

У п'ятому підрозділі запропоновано представлення розв'язку повної системи рівнянь статичної теорії магнітопружності для ізотропних магніто-м'яких феромагнетиків (1) –(6), або в лінеаризованому вигляді (8), (9) через гармонічні функції. Загальний розв'язок будувався як сума розв'язків магнітної та пружної складових: (_частинний розв’язок системи; _розв’язок Папковича- Нейбера). Напруженість магнітного поля () представлена через магнітний потенціал () в такому вигляді .

Частинний розв'язок рівнянь виражається через магнітний потенціал як , де А, , _невідомі сталі; задовольняє рівнянню і має вигляд

, (14)

де  магнітна сприйнятливість;  коефіцієнт Пуассона.

Повний розв'язок системи рівнянь магнітопружності можна записати через гармонічні функції наступним чином:

, (15)

де , , , _гармонічні функції; - радіус –вектор точки простору.

Для числових розрахунків брались магніто-м'які феромагнітні матеріали з наступними властивостями:

1) ферит Ф-107 — ; ; ;

2) алфер —; ; ;

3) технічне залізо —; ; .

Третій розділ містить два підрозділи та присвячений побудові точних розв'язків плоских задач магнітопружності для магніто - м'якого нескінченного ізотропного феромагнетика, що містить кругове та еліптичне включення чи порожнину, і знаходиться під дією однорідного магнітного поля.

Перший підрозділ третього розділу містить два пункти. У першому пункті розглядається плоский деформований стан необмеженого магніто-м’якого феромагнітного тіла, що містить кругову порожнину та знаходиться під дією однорідного магнітного поля . Магнітне поле діє в напрямку осі у.

Для розв’язку задачі вводяться полярні координати ; . Граничні умови мають вигляд відповідно (10) - (12). Гармонічні функції для розв'язку задачі вибираємо у вигляді

, , , , (16)

де  невідомі сталі.

Розв'язок поставленої задачі для тіла та порожнини записується відповідно наступним чином:

, , ,

. (17)

, , , , . (18)

В задачі розраховано напружено –деформований стан на границі тіло- порожнина при різних матеріалах тіла. Виявлено, що із збільшенням значення магнітної сприйнятливості тіла зменшуються значення напружень на границі тіло-включення. Найбільша концентрація напруження досягається при куті , . Індукція магнітного поля В02=1 Тл.

Рис. 1. Залежність концентрації безрозмірного сумарного нормального напруження від кута, магнітних та механічних властивостей матеріалу тіла

У другому пункті розглядалась задача про плоский деформований стан необмеженого магніто-м'якого ізотропного феромагнетика, що містить кругове включення та знаходиться під дією однорідного магнітного поля. Магнітне поле діє в напрямку .

Слід зазначити, що праві частини граничних умов (11) та (12) не є інваріантними відносно проекцій вектора переміщень та . Тому задача досліджувалась двома підходами. При першому підході в правих частинах граничних умов (11), (12) покладається , тобто беруться повні граничні умови

, , (19)

, (20)

, (21)

. (22)

В другому підході, беручи до уваги спрощення (13), нехтуємо деформативністю середовища в граничній умові (3).

. (23)

Крайова умова (21) при такому припущенні набуває вигляду

. (24)

Гармонічні функції , , , вибираються наступним чином:

, , , , (25)

де  _невідомі сталі.

Розв'язок задачі для тіла та включення матиме вигляд відповідно

, , ,

, (26)

, , ,

, , (27)

де , , _невідомі сталі.

Як показали проведені дослідження обидва підходи до розв'язання задачі дають однакові результати, що свідчить про достовірність вибраних підходів та отриманих результатів.

В задачі розраховано напружений стан на границі тіло -включення. Як видно з рис.2, чим більша магнітна сприйнятливість тіла при однаковій сприйнятливості включення, тим більш магніто м'який феромагнетик і менша концентрація сумарних нормальних напружень та в околі кругового включення. Індукція магнітного поля 1 Тл.

Рис. 2. Графік залежності безрозмірних сумарних нормальних напружень та від зміни кута та магнітної сприйнятливості тіла при однаковій сприйнятливості включення

З рис. видно, що із збільшенням індукції магнітного поля нормальне напруження зростає.

Рис. . Залежність безрозмірного сумарного нормального напруження від зміни індукції магнітного поля для різних магніто- пружних характеристик тіла і включення

У другому підрозділі третього розділу розглядались задачі про напружений стан необмеженого м'якого феромагнітного пружного тіла з еліптичним включенням при дії магнітного однорідного поля в різних напрямках. В першому пункті розглядається напружений стан магніто-м'якого феромагнетику з еліптичним включенням при дії магнітного поля в напрямку малої осі еліпса. Для розв'язку задачі вводяться еліптичні координати ; .

Рис. 4. Задача про напружений стан феромагнетика з еліптичним включенням при дії магнітного поля в напрямку малої осі еліпса

Основні рівняння та граничні умови мають вигляд (8)-(11), (13). Гармонічні функції для тіла та включення покладаються рівними

, , ,

, , , (28)

де , , _невідомі сталі.

Розв'язок задачі має вигляд

,

,

, , (29)

, ,

, . (30)

Значення напружень розраховувались в залежності від зміни кута і відношення осей еліпса (рис. 5). Матеріал тіла і включення - алфер і ферит Ф-107 відповідно. Індукція зовнішнього магнітного поля покладається рівною Тл. Як видно з графіків, максимальне значення напруження досягається при значенні кута , а напруження _при . З числових розрахунків видно, що із зменшенням значення , значення напружень на границі тіло-включення зростають.

.

Рис.5. Графіки залежностей напружень від зміни кута та відношення

осей еліпса

У другому пункті розглядався напружений стан магніто-м'якого феромагнетику з еліптичним включенням при дії однорідного магнітного поля в напрямку великої осі еліпса (). Основні рівняння та граничні умови мають вигляд (8)-(11), (13).

Рис. 6. Задача про напружений стан феромагнетика з еліптичним включенням при дії магнітного поля в напрямку великої осі еліпса

Гармонічні функції покладаються рівними

, , ,

, , (31)

де , , _невідомі сталі.

Розв'язок для тіла та включення має вигляд відповідно

,

,

, ,

, , ,

,

, , (32)

де  невідомі сталі.

На рис.7 показані залежності зміни значень напружень , , у тілі на поверхні включення ( ) від зміни кута і відношення осей еліпса . Матеріал тіла і включення - відповідно алфер і ферит Ф-107. Індукція зовнішнього магнітного поля покладається рівною Тл. Як видно з графіків, максимальне значення напруження досягається при значенні кута , а напруження _при . Максимальне дотичне напруження при досягається в різних точках поверхні включення в залежності від відношення осей еліпса. З розрахунків випливає, що із зменшенням значення , концентрація напружень, що виникає в околі включення зростає.

Рис. 7. Залежність напружень від зміни кута та відношення осей

Четвертий розділ містить два підрозділи, в яких розглядаються просторові задачі про напружений стан необмеженого магніто-м'якого ізотропного феромагнетика, що містить сферичне включення чи порожнину та знаходиться під дією однорідного магнітного поля.

В першому підрозділі четвертого розділу розглядається напружений стан необмеженого ізотропного магніто  м’якого феромагнітного пружного тіла, що містить сферичну порожнину і знаходиться під дією однорідного магнітного поля.

Для побудови розв’язку задачі вводяться сферичні координати ; ; (; ; ).

Вважається, що магнітне поле діє в напрямку осі z, тобто .

Основні рівняння та граничні умови мають вигляд (8) - (11), (13). Гармонійні функції вибираються у вигляді

, , ,

, ,

, (33)

де ,- невідомі сталі.

Розв'язок задачі має вигляд

,

,

, , , , (34)

де .

На рис.8 представлено залежності напружень та від зміни індукції магнітного поля. Як видно з графіків, із збільшенням індукції магнітного поля сумарні напруження та матеріалу 2 зростають швидше, а матеріалу 1 - повільніше, що обумовлено механічними та магнітними властивостями матеріалу (1-ферит; 2-алфер).

Рис.8. Залежність концентрації сумарних та напружень від зміни

індукції магнітного поля та магнітних та пружних характеристик матеріалу

В даній задачі також розраховувалась зміна напружень , в околі порожнини для різних матеріалів при зміні кута при Тл. Графіки залежності напружень від зміни кута та характеристик матеріалу представлені на рис.9. Як видно з наведених залежностей при =0 напруження та рівні між собою ( для фериту та для алфера).

Рис.9. Залежність концентрації сумарних та напружень від зміни кута для різних матеріалів

У другому підрозділі четвертого розділу розглядається напружений стан необмеженого ізотропного магніто - м'якого феромагнетику, що містить сферичне включенням та знаходиться під дією однорідного магнітного поля. Магнітне поле діє в напрямку осі z.

Рис. 10. Задача про напружений стан феромагнетика з сферичним включенням при дії магнітного поля

Основні рівняння та граничні умови мають вигляд (8)-(11), (13). Гармонічні функції , для тіла та включення такі:

, , ,

, ,

, ,

,

,

, (35)

де , , а ,  _невідомі сталі.

Розв'язок задачі має вигляд для тіла та включення відповідно

,

,

, ,

,

,

, , (36)

де ; ; ; .

Як видно з рис. 11, концентрація сумарного напруження (матеріал тіла феріт, а включення алфер) зростає із збільшенням індукції магнітного поля. Найбільша концентрація напруження досягається при та при .

Рис.11. Графік залежності сумарного напруження в тілі від зміни індукції магнітного поля та кута

ВИСНОВКИ

В даній роботі отримано нові точні аналітичні розв’язки плоских та просторових задач магнітопружності для магніто-м’яких ізотропних феромагнетиків, що мають кругову, еліптичну, та сферичну порожнини чи включення відповідно і знаходяться під дією однорідного магнітного поля в різних напрямках. Встановлено, що магнітне поле суттєво впливає на розподіл напруження на границі тіло-включення (порожнина). Із збільшенням величини індукції магнітного поля концентрація напруження зростає. Величина напружень залежить від механічних та магнітних властивостей тіла і включення та форми граничної поверхні. В задачах про плоский деформований стан тіла з круговим включенням чи порожниною виявлено, що із збільшенням значення магнітної сприйнятливості тіла концентрація напружень на границі тіло-включення (порожнина) зменшується. Найбільша концентрація для нормального напруження досягається при куті . В задачах про напружений стан магніто - м'якого феромагнетику з еліптичним включенням при дії магнітного поля в різних напрямках виявлено, що при зменшенні значення відношення осей еліпса концентрація нормальних напружень зростає. Побудовано графіки залежності сумарних напружень від зміни індукції магнітного поля та від магнітних і механічних властивостей матеріалу тіла і включення, що дозволяє оцінити міцність та надійність конструкцій, побудованих на основі таких матеріалів. В задачах про напружений стан тіла з сферичною порожниною та включенням виявлено, що найбільша концентрація напружень досягається при куті . Для матеріалу з більшим значенням магнітної сприйнятливості (ферит) концентрація напружень на границі тіло-включення в 4 рази менша, ніж для матеріалу, що має менше значення магнітної сприйнятливості (алфер). Коли наблизити значення сприйнятливості тіла до значення магнітної сприйнятливості включення, напруженого стану в тілі не виникає. Достовірність основних наукових положень і отриманих результатів забезпечується коректністю постановки задач, вибором обґрунтованих математичних моделей, відповідністю отриманих результатів фізичним міркуванням, строгими математичними викладками, співпаданням з розв’язками аналогічних пружних задач у часткових випадках. Практичне значення проведених досліджень полягає в отриманні співвідношень, які дозволяють проводити обчислення напружено-деформованого стану та індукованого магнітного поля магніто-м’яких феромагнетиків, які мають кругові, еліптичні, сферичні порожнини чи включення, що в свою чергу дозволяє проводити розрахунки на міцність та надійність конструкцій, побудованих на основі таких матеріалів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Подильчук Ю.Н., Терещенко Л.Н. Магнитоупругое поле в ферромагнитной среде со сферической полостью // Прикл. механика. _2001. – Т.37, № 3. _С. 71-79.

2. Подільчук Ю.М., Терещенко Л.М. Напружений стан магніто _м'якого феромагнетика із сферичним включенням при дії однорідного магнітного поля // Вісник Київського Університету. Сер. фіз.-мат. наук. – 2001. – Вип. . – С. .

3. Подильчук Ю.Н., Терещенко Л.Н. Магнитоупругое поле в ферромагнитной среде с эллиптическим включением // Прикл. механика. _2002. – Т. 38, № 5. -С. .

4. Подильчук Ю.Н., Терещенко Л.Н. Концентрация напряжений в магнито-мягком ферромагнетике с эллиптическим включением при действии однородного магнитного поля // Прикл. механика. _2004. – Т. 40, № 1. _С. .

5. Терещенко Л. Н. Плоская деформация ферромагнетика с круговым включением при действии однородного магнитного поля // Вісник Донецького Університету. Сер. А: Природничі науки. – 2002. _Вип. 2.С. 97_.

6. Терещенко Л. Н. Рівняння теорії магнітопружності для ортотропних та трансверсально - ізотропних магніто –м’яких феромагнетиків, що знаходяться під дією однорідного магнітного поля // Вісник Київського Університету. Сер. фіз.-мат. наук. – 2003. – Вип. . – С. 138 - 144.

7. Терещенко Л. Н. Деформований стан магніто –м’якого ізотропного феромагнетика, що містить кругову порожнину та знаходиться під дією однорідного магнітного поля // Вісник Київського Університету. Сер. фіз.-мат. наук. – 2004. – Вип. . – С. 250 - 255.

АНОТАЦІЯ

Терещенко Л. М. Задачі статичної магнітопружності для тіл із магніто м'якого феромагнетика з еліптичним та сферичним включеннями та порожнинами. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, Київ, 2005.

У дисертаційній роботі розв'язані нові плоскі та просторові задачі магнітопружності для магніто-м'яких ізотропних феромагнетиків, що мають кругове, еліптичне та сферичне включення чи порожнину. Для побудови розв'язку основні рівняння механіки та електродинаміки намагнічених середовищ лінеаризувалися за допомогою припущення, про те що компоненти магнітного поля в деформівному тілі можна розбити на дві складові, зв'язані зі станом жорсткого недеформованого тіла та збуреним станом, обумовленим деформацією тіла. Для цього використовувались умови малості деформацій незбуреного стану та умови малості збурень. В основу лінеаризації було покладено метод малих деформацій Pao Y.-H. і Yeh C.-S. Розв'язки задач було побудовано за допомогою узагальненого представлення повного розв'язку системи рівнянь магнітопружності через гармонічні функції. Одержано точні аналітичні розв'язки 6 задач про концентрацію напружень в магнітно-м'яких феромагнетиках із порожнинами та включеннями у формі круга, еліпса та сфери при дії однорідного магнітного поля різних напрямків, заданого на нескінченності. Числові розрахунки проведено за допомогою пакета математичних програм Maple 7. Проведено аналіз механічних ефектів, що виникають на граничних поверхнях концентраторів напружень. Досліджено вплив магнітних властивостей матеріалів тіла та включень і геометричної форми граничної поверхні на напружений стан тіла.

Ключові слова: магнітопружність, напружений стан, плоский деформований стан, магніто-м'який феромагнетик, магнітне поле, круг, еліпс, сфера, порожнина, включення.

АННОТАЦИЯ

Терещенко Л. Н. Задачи статической магнитоупругости для тел из магнито мягкого ферромагнетика с эллиптическим и сферическим включениями и полостями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2005.

В диссертационной работе решены новые плоские и пространственные задачи магнитоупругости для магнито-мягких изотропных ферромагнетиков, содержащих круговое, эллиптическое и сферическое включение или полость. Для построения решения основные уравнения механики и электродинамики намагниченных сред линеаризовались с помощью предположения о возможности представления компонент магнитного поля в деформируемом теле в виде двух составляющих, связанных с жестким недеформированным состоянием тела и возмущенным состоянием тела, вызванным действием магнитного поля. Для этого использовались условия малости деформаций невозмущенного состояния и условия малости возмущений. В основу был положен метод малых деформаций Pao Y.-H. и Yeh C.-S. Для решения задач в целом предварительно находилось магнитное поле в середине полости и включения. Для этого сначала решались задачи магнитостатики для каждой из практически рассматриваемых задач. Решения задач магнитоупругости построены с помощью обобщенного представления общего решения системы уравнений магнитоупругости через гармоничные функции в виде суммы частного решения и решения Папковича- Нейбера. В работе получены точные аналитические решения 6 задач о концентрации напряжений в магнито-мягких изотропных ферромагнетиках с полостями и включениями в форме круга, эллипса и сферы при действии однородного магнитного поля разного направления, заданного на бесконечности. Числовые расчеты проведены с помощью пакета математических программ. Проведен анализ механических эффектов, которые возникают на граничных поверхностях концентраторов напряжений. Из числовых расчетов установлено, что магнитное поле существенно влияет на напряженное состояние на граничной поверхности. С увеличением индукции магнитного поля напряжения на границе дефекта возрастают. Исследовано влияние магнитных свойств материалов тела и включений и геометрической формы граничной поверхности на напряженное состояние тела. С ростом магнитной восприимчивости материала тела отмечается уменьшение напряжений на границе тело-включение, тело –полость. В задачах о напряженном состоянии магнито-мягкого изотропного ферромагнетика с эллиптическим включением получено, что с уменьшением величины отношения осей эллипса концентрация напряжений на границе тело – включение возрастает. Наибольшая концентрация напряжения в задаче о плоском – деформированном состоянии ферромагнетика с круговым включением достигается при угле . Если свойства материала приближаются к свойствам тела, то напряженное состояние в теле не возникает.

Полученные в работе точные аналитические решения и формулы позволяют проводить вычисления напряженно-деформированного состояния и индуцированного магнитного поля магнито - мягких изотропных феррома-гнетиков, которые имеют дефекты в виде полостей и включений и находятся под воздействием однородного магнитного поля. С помощью данных решений можно определить точки наибольших значений концентрации напряжений для магнито - мягких ферромагнетиков с концентраторами в виде круга, эллипса и сферы.

Ключевые слова: магнитоупругость, напряженное состояние, плоское деформированное состояние, магнито-мягкий ферромагнетик, магнитное поле, круг, эллипс, сфера, полость, включение.

ABSTRACT

Tereshchnko L. M The problems of static magnetoelasticity of magneto-soft ferromagnetic for bodies with elliptic and spherical inclusions and cavities. - Manuscript.

Thesis for the Candidate Degree in Physics and Mathematics on speciality 01.02.04 - mechanics of deformable Solids. - S. P. Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

The manuscript contain solutions of plane and three-dimensional problems of magnitoelasticity for magneto-soft isotropic ferromagnetic with circular, elliptic and spherical inclusions. For construction of the solution the basic equations of the mechanics and electrodynamics of magnetized environments was linearized with the assumption of breaking of components of a magnetic field in a deformable body on two compounds, which are connecting with the rigid undeformed state and perturbed state. For this purpose the conditions of smallness deformations of the not perturbation condition and the condition of smallness perturbation were used. The method of small deformations of Pao Y.-H. and Yeh C.-S. was make it a basis. Solution are constructed in a general form using of harmonious functions. The distribution of the stress components on the boundary of cavities and inclusions is studied. The influence of magnetic properties of the material and the geometry of boundary surface on the are stress state of the body is investigated. The analytical and numerical calculations are carried out using the packages of mathematical programs.

Key words: magnetoelasticity, stress state, soft ferromagnetic solid magnetic field, elliptic and spherical cavity, inclusion.