Міністерство освіти і науки України
Міністерство освіти і науки України
Львівський національний університет імені Івана Франка
ТКАЧУК
Володимир Михайлович
УДК 530.145.61
CУПЕРСИМЕТРІЯ ТА ТОЧНО РОЗВ'ЯЗУВАНІ ЗАДАЧІ
У КВАНТОВІЙ МЕХАНІЦІ
01.04.02 — теоретична фізика
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
ЛЬВІВ — 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі теоретичної фізики Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України
Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор
Вакарчук Іван Олександрович,
ректор Львівського національного університету імені Івана Франка, завідувач кафедри теоретичної фізики
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Нікітін Анатолій Глібович
завідувач відділу прикладних досліджень
Інституту математики НАН України;
доктор фізико-математичних наук, професор
Ваврух Маркіян Васильович
завідувач кафедри астрофізики Львівського національного університету імені Івана Франка;
доктор фізико-математичних наук,
Заславський Олег Борисович
провідний науковий співробітник
кафедри математичної фізики і комп’ютерної математики Харківського національного університету ім. В. Каразіна.
Провідна установа: Інститут теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України (м. Київ), відділ теорії ядра і квантової теорії поля.
Захист відбудеться “12” жовтня 2005 р. о 1530 на засіданні спеціалізованої Вченої ради Д .051.09 при Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79005, м. Львів, вул. Кирила і Мефодія, 8, фізичний факультет, Велика фізична аудиторія
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана- Франка за адресою: 79005, м. Львів, вул. Драгоманова 5
Автореферат розісланий “07” вересня 2005 р.
Вчений секретар
cпеціалізованої Вченої ради
доктор фіз.-мат. наук, професор Павлик Б. В.
Загальна характеристика роботи
Актуальність теми. Квантова механіка, яка виникла на початку минулого століття,
постійно привертає до себе підвищений інтерес, який за останні роки суттєво зріс. Виникли нові області досліджень, такі, як суперсиметрична квантова механіка, квантова механіка з деформованою алґеброю Гайзенберґа, квантова інформація.
Так ідея суперсиметрії, яка виникла в квантовій теорії поля, дуже швидко проникла в різні області фізики та математики. У 1974 році Ніколаі показав, що суперсиметрія може бути успішно використана для дослідження нерелятивістських квантових систем [Nicolai H., J. Phys. A. 9, 1497 (1976)]. Через п’ять років Віттен запропонував суперсиметричну квантову механіку як лабораторію для вивчення основних властивостей суперсиметричних моделей [Witten E., Nucl. Phys. B 188, 513 (1981)]. Саме ця робота спричинила потік досліджень на дану тему, і дуже швидко було виявлено, що суперсиметрія в квантовій механіці є цікавою сама по собі і може бути успішно застосована для вивчення багатьох квантово-механічних систем, а також дала можливість по-новому глянути на традиційні задачі квантової механіки. Виникла нова область досліджень — суперсиметрична квантова механіка, в рамках якої було отримано багато цікавих нових результатів, наприклад, стосовно руху електрона в магнітних полях, точно розв'язуваних задач. Зауважимо, що хоча суперсиметрія не відкрита експериментально на рівні елементарних частинок, існують квантово-механічні системи, які можна описати за допомогою алґебри суперсиметрії, і для яких суперсиметрія є фізичною симетрією задачі. Прикладом такої системи є рух електрона в довільному двовимірному магнітному полі. Актуальною залишається задача пошуку нових систем, для яких суперсиметрія є фізичною симетрією.
Останнім часом інтенсивно досліджуються квантові системи з деформованою алґеброю Гайзенберґа. Такі задачі виникають в багатьох областях фізики. Одна з них — це некомутативний, чи квантовий, простір. Фізика квантового простору має довгу історію, і перша робота на цю тему була опублікована ще у 1947 році (Snyder H. S., Phys. Rev. 71, No 1, 38 (1947)). Зацікавленість цією проблемою була відновлена дослідженнями на малих віддалях у квантовій теорії струн в квантовій гравітації, які передбачають існування ненульової мінімальної невизначеності координат. З іншого боку, дослідження на великих віддалях у кривому просторі ведуть до припущення про існування ненульової мінімальної невизначеності імпульсу. Було показано, що мінімальна невизначеність координати та імпульсу може бути описана в рамках малих деформацій канонічних комутаційних співвідношень (алґебри Гайзенберґа) (див. наприклад, Kempf A., Mangano G., Mann R. B., Phys. Rev. D 52, Iss. 2, 1108 (1995)). Саме роботи Кемпфа стимулювали дослідження традиційних квантово-механічних задач у просторах з мінімальною невизначеністю координати та імпульсу. Ці задачі дають можливість виявити, як впливає квантування простору на спектри та хвильові функції квантових систем. Ще одна цікава задача, яка пов'язана з деформованими алґебрами Гайзенберґа — це квантовий рух частинок, ефективна маса яких залежить від координат. Такі задачі є цікавими й актуальними з огляду на широке застосування концепції ефективної маси у фізиці конденсованої матерії для вивчення домішок кристалу, електронних властивостей напівпровідників, квантових точок тощо. Зауважимо, що алґебра Гайзенберґа лежить в основі квантової механіки. Тому дослідження впливу деформації алґебри Гайзенберґа на поведінку квантових систем є цікавими і дають можливість вивчати фундамент квантової механіки.
Також звернемо увагу на те, що фундаментальні основи квантової механіки завжди викликали значний інтерес. Експериментальна техніка останніх кількох десятків років суттєво розширила свій арсенал і дала можливість проводити експерименти над індивідуальними квантовими системами. Виникла нова область — квантова інформація, яка зараз бурхливо розвивається. Не торкаючись деталей цієї проблематики, зауважимо, що однією з цікавих задач в цій області є утримування лазерно-охолоджених атомів, ізольованих від зовнішнього оточення та дослідження їхніх квантових властивостей при русі в електромагнітних полях. З цієї точки зору важливим є знаходження нових способів утримування лазерно-охолоджених атомів, а також дослідження квантових топологічних фаз, які виникають при русі атома як цілого в електромагнітному полі.
Для глибокого розуміння квантово-механічних проблем завжди важливу роль відігравали точно розв'язувані задачі. Ще від появи квантової механіки існує значна зацікавленість моделями, для яких відповідне рівняння Шредінґера може бути розв'язане точно. Розрізняють три класи потенціалів стосовно розв'язуваності рівняння Шредінґера. Перший клас — це точно розв'язувані потенціали, для яких можна в явному вигляді знайти всі енерґетичні рівні і відповідні хвильові функції. Для знаходження точних розв’яків рівнянь на власні значення та власні функції Шредінгером та Інфельдом і Хіллом був розвинутий метод факторизації. Атом водню та гармонічний осцилятор — найбільш відомі приклади цього типу. Другий клас — так звані квазі-точно розв'язувані (КТР) потенціали, для яких можна в явному вигляді знайти кілька енерґетичних рівнів та відповідних хвильових функцій. Третій клас — умовно-точно розв'язувані (УТР) потенціали, для яких рів-нян-н-я на власні значення можна розв'язати точно, коли параметри потенціалу задовольняють певні умови. Тому пошук нових точно розв'язуваних, квазі-точно чи умовно-точно розв'язуваних задач у деформованому чи недеформованому просторі є актуальною задачею. І саме суперсиметрична квантова механіка є зручним і потуж-ним знаряддям для цього. В рамках суперсиметричної квантової механіки були відкриті точно розв’язувані формінваріантні потенціали. Пізніше було показано, що метод суперсиметрії з формінваріантністю є еквівалентний методу факторизації.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка та згідно держбюджетних тем Фф-289Б “Структура та термодинамічні властивості конденсованих систем з різними типами невпорядкованості (аморфні тіла, кристали з домішками, плазмоподібні фермі-системи)” (1997–1999 рр), Фф-38Б “Квантова теорія конденсованих систем з різними типами невпорядкованості” (2000–2001 рр, номер держреєстрації № U001446), Фф-39Б “Нелінійні флюктуації в квантових рідинах” (2001–2002 рр, номер держреєстрації № U001447), Фф-150Ф “Розробка нових математичних методів дослідження квантових систем” (2003–-2005 рр, номер держреєстрації № 100U001446), а також в межах проекту ДФФД 2.7/00152 “Кооперативні ефекти в ґраткових спінових та квантово-польових моделях з локальними та протяженими дефектами у просторово-часовому многовиді” (2001–2005 рр, договір Ф7/385-2001).
Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є виявлення нових квантово-механічних систем, які володіють суперсиметрією, а також розвиток суперсиметрії як методу для знаходження точних енерґетичних спектрів та відповідних хвильових функцій квантових систем. При цьому увага приділялася застосуванню методу суперсиметрії для побудови нових точно, квазі-точно та умовно-точно розв'язуваних одночастинкових задач квантової механіки та розширенню методу суперсиметрії на випадок квантово-механічних задач з деформованою алґеброю Гайзенберґа. Метою роботи було також дослідження квантового руху нейтральних атомів в магнітному полі феромагнітної нитки.
Об'єктом досліджень суперсиметрія в одночастинкових задачах квантової механіки та точно розв'язувані задачі квантової механіки. Предметом досліджень є алґебра суперсиметрії задач квантової механіки, для яких суперсиметрія є фізичною симетрією, та точні розв'язки для енерґетичних рівнів та хвильових функцій одночастинкових задач квантової механіки з недеформованою та деформованою алґеброю Гайзенберґа. Для досягнення цілей досліджень ми використовували: різні представлення алґебри суперсиметрії, метод суперсиметрії з форм-інваріантністю (метод факторизації), узагальнене представлення Фока або еквівалентне представлення Берґмана, q-диференціальні похідні.
Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі знайдено нові квантово-механічні системи, для яких реалізується суперсиметрія з двома, трьома і чотирма суперзарядами, і для яких суперсиметрія є фізичною симетрією задач. Досліджено суперсиметрію електрона при русі нестаціонарному електромагнітному полі, знайдено суперзаряди та алгебру, яку вони задовольняють в цьому випадку.
Запропоновано новий суперсиметричний метод для дослідження квазі-точно та умовно-точно розв'язуваних задач квантової механіки та побудовано нові квазі-точно розв'язувані потенціали, для яких у явному вигляді знайдено кілька енерґетичних рівнів та відповідних хвильових функцій. Запропоновано послідовну процедуру знаходження нових точно роз’язуваних потенціалів, які є нижніми сурерсиметричними партнерами до відомих відомих точно роз’язуваних потенціалів.
Суперсиметрична квантова механіка Віттена узагальнена на випадок, коли суперсиметричні партнери описують рух частинки зі спіном ? у потенціальному і магнітному полях. Узагальнивши також умову форм-інваріантності на цей випадок, знайшли потенціальні та магнітні поля, для яких задача на власні значення та власні функції розв’язується точно.
Поширивши метод суперсиметричної квантової механіки і форм-інваріантності на випадок квантових систем з деформованою алґеброю Гайзенберґа, вперше точно знайдено стаціонарні стани гармонічного осцилятора у просторі з мінімальною невизначеністю як координати, так й імпульсу. Вперше точно розв'язано рівняння на власні стани релятивістського осцилятора Дірака в просторі з мінімальною невизначеністю координат.
Встановлено зв’язок між рухом частинки у просторі з деформованою алґеброю Гайзенберґа, рухом у кривому просторі та рухом у плоскому просторі з масою залежною від координат. Вперше знайдено точний енерґетичний спектр та відповідні хвильові функції кулонівської задачі для частинки з певною спеціальною залежністю маси від координат.
Метод суперсиметрії з форм-інваріантністю узагальнено для знаходження точних розв'язків рівнянь на власні значення та власні функції для частинок з масою, залежною від координат. Вперше знайдено три класи потенціалів та відповідних деформаційних функцій, пов'язаних з масою, для яких виконується умова форм-інваріантності. У цьому випадку енерґетичні рівні та власні функції можна знайти точно.
Показана можливість утримання лазерно-охолоджених атомів з допомогою феромагнітної нитки. Вперше показано, що феромагнітна нитка з намагніченістю, паралельною до неї, яка лінійно змінюється вздовж нитки, моделює лінію магнітних зарядів і може бути використана для виявлення квантової топологічної фази електрично-поляризованого атома, що циркулює навколо нитки. Запропоновано експериментальну схему для виявлення цієї квантової топологічної фази.
Практичне значення одержаних результатів. Результати представлених в дисертації досліджень, крім самостійного інтересу, можуть бути використані для пояснення експериментальних результатів. Так, результати Розділів 1 і 2 можна використати для пояснення енерґетичних спектрів електронів в магнітних полях. Двоямні квазі-точно розв'язувані потенціали (Розділ 3) можна застосувати для розрахунку енерґетичних рівнів та хвильових функцій дворівневих систем, які виникають в невпорядкованих тілах. Результати Розділу 4 можна використати для оцінки можливої величини мінімальної невизначеності координат простору. Результати досліджень рівняння Шредінґера з масою, залежною від координат (Розділ 5), можна застосувати у фізиці напівпровідників та наносистем, де ефективна маса електрона залежить від координат. У Розділі 6 запропоновано спосіб
утримування лазерно-охолоджених атомів за допомогою феромагнітної нитки, який, на нашу думку, міг би бути реалізований експериментально. Також у цьому розділі виявлено, що для поляризованого атома (електричного диполя), який рухається навколо феромагнітної нитки, з намагніченістю, що лінійно змінюється вздовж неї, набігає квантова топологічна фаза. Запропоновано експериментальну схему для виявлення цієї фази. Методи та ідеї, запропоновані в наших роботах, знайшли своє продовження в роботах інших авторів. Так, наприклад, наші результати стосовно квазі-точно розв'язуваних задач квантової механіки були використані в роботах: B. Bagchi, C. Quesne, Mod. Phys. Lett. A 17, 463 (2002); N. Debergh, J. Ndimubandi, B. Van Den Bossche, Annals of Physics 298, 361 (2002); N. Debergh, J. Ndimubandi, B. Van Den Bossche, Int. J. Mod. Phys. A 18, 5421 (2003). Наші результати стосовно квантової топологічної фази використовувались в роботах: G. Spavieri, Phys. Lett. A 310, 13 (2003); C. Furtado, C. A. de Lima Ribeiro, Phys. Rev. A 69, 064104 (2004).
Особистий внесок здобувача. Всі викладені в дисертації оригінальні результати отримано автором самостійно або при його безпосередній участі. У спільних публікаціях авторові дисертації належить постановка задач та вибір методів дослідження. Цілу низку результатів дисертант отримав самостійно: метод для побудови квазі-точно розв'язуваних задач з двома енерґетичними рівнями; суперсиметрія нестаціонарного рівняння Паулі; узагальнення віттенівської квантової механіки на випадок руху частинки зі спіном 1/2 як у скалярному, так і в магнітному полях; розширення методу суперсиметрії для знаходження точних розв'язків рівняння Шредінґера у просторі з деформованою алґеброю Гайзенберґа; точні розв'язки гармонічного осцилятора та релятивістського осцилятора Дірака у деформованому просторі; метод суперсиметрії та форм-інваріантності розширено на випадок частинок з масою, залежною від координат; знайдено класи потенціалів та відповідні маси, залежні від координат, для яких задача на власні значення розв'язується точно; знайдено точний розв'язок кулонівської задачі з певною спеціальною залежністю маси від координат.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на таких конференціях:
Ё Physics in Ukraine, International Conference, Kiev, 22–27 June, 1993;
Ё Mathematical Result in Quantum Mechanics, Ascona, Switzerland, June 23–28, 1996;
Ё Науковий Семінар з статистичної теорії конденсованих систем, Львів, Україна 14–15 березня, 1997;
Ё The 10-th Max Born Symposium “Quantum Future”, Wroclaw, Poland, Sept 24–27, 1997;
Ё INTAS Workshop on Condensed Matter Physics, Lviv, Ukraine, May 21–24, 1998;
Ё EPS-11: Trends in Physics, London, 6–10 September 1999;
Ё Workshop: Modern problems of soft matter theory, Lviv, Ukraine, 27–31 August, 2000;
Ё Різдвяні дискусії 2001, Львів, 3–4 січня 2001;
Ё The Second ESF QIT Conference Quantum Information: Theory, Experiment and Perspectives, Gdansk, Poland, July 10–18, 2001;
Ё Різдвяні дискусії 2002, Львів, 4–5 січня 2002;
Ё 9 International Seminar on Physics and Chemistry of Solids, ISPCS '03, Zloty Potok, k/Czкstochowy, Poland, 28–31 Maja 2003;
Ё 8th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations. Puebla, Mexico. June 9–13, 2003;
Ё 5-th International Conference “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics”, Kyiv, Institute of Mathematics, June 23–29, 2003;
Ё “Сучасні проблеми квантової теорії” приcвячена 100-річчю від дня народження Зіновія Храпливого, Тернопіль, 15–16 березня 2004;
Ё Різдвяні дискусії 2005, присвячені 100-річчю від дня народження професора Василя Міліянчука, Львів, 13–14 січня 2005;
Ё 6-th International Conference “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics”, Kyiv, Institute of Mathematics, June 20–26, 2005.
Окремі результати були темами семінарів, проведених автором в університетах Львова, Відня, Брюсселя, Вроцлава та неодноразово обговорювались на семінарах кафедри теоретичної фізики Львівського національного університету імені Івана Франка та Інституту фізики конденсованих систем НАНУ.
Публікації. Матеріали дисертації опубліковано у 30 статтях у фахових виданнях, визначених переліком ВАК України, та у 2 матеріалах конференцій.
Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 312 сторінок, включно зі списком використаних джерел, що містить 312 найменувань. У роботі міститься 1 рисунок.
Основний зміст роботи
У вступі висвітлено актуальність теми досліджень, сформульовано мету роботи та визначено її наукову новизну і практичне значення.
У першому розділі “Суперсиметрія електрона в магнітних полях” досліджено суперсиметрію електрона при русі в магнітних полях, який описується рівнянням Паулі та релятивістським рівнянням Дірака. Показано, що існують тривимірні магнітні поля, при русі електрона в яких реалізовується суперсиметрія з двома, трьома і чотирма суперзарядами, , , які задовольняють таку алґебру:
,
де H — гамільтоніан Паулі, — оператор інверсії вздовж -осі.
Суперсиметрія з двома суперзарядами і реалізовується при русі електрона в магнітному ролі з векторним потенціалом, який має таку симетрію відносно оператора інверсії вздовж z-осі.
Суперсиметрія з трьома суперзарядами , , реалізовується при русі електрона в магнітному ролі з векторним потенціалом, який має таку симетрію відносно оператора інверсії вздовж z, y-осей.
Суперсиметрія з чотирма суперзарядами , , , реалізовується при русі електрона в магнітному ролі з векторним потенціалом, який має таку симетрію відносно оператора інверсії вздовж z, y, x-осей.
Результат узагальнено на релятивістський випадок, коли рух електрона описується рівнянням Дірака.
Досліджено основний стан електрона в магнітному полі прямого провідника зі струмом з аксіально-симетричним розподілом густини струму, який створює векторний потенціал. Рух електрона в цьому магнітному полі володіє суперсиметрією з трьома суперзарядами. Показано, що енерґія основного стану є додатною і не може приймати нульового значення. Це означає, що суперсиметрія є порушеною. Для певного класу векторних потенціалів знайдено асимптотику енерґії основного стану при малих значеннях повного моменту кількості руху .
Ми дослідили також суперсиметрію нестаціонарного двовимірного рівняння Паулі з гамільтоніаном, що містить векторний потенціал.Побудовано алґебру суперсиметрії при наявності як нестаціонарного магнітного поля, так і нестаціонарного електричного. Система, яка була розглянута, описує ізотропний двовимірний нестаціонарний заряджений гармонічний осцилятор у змінному в часі однорідному магнітному полі. Суперзаряди отримані як інтеґрали руху даного гамільтоніану, які задовольняють рівняння.
В результаті знайдено розв’язки для суперзарядів.
Цікаво зауважити, що у випадку постійного електричного і магнітного полів ці суперзаряди залежать від часу t. Суперзаряди є інтеґралами руху гамільтоніану і задовольняють алґебру суперсиметрії.
Повний момент кількості руху J=Lz+Sz комутує зі всіма ґенераторами алґебри. Ми показали, що одержана алґебра суперсиметрії може бути використана для ґенерування точних розв’язків нестаціонарного рівняння Паулі.
Результати першого розділу опубліковані в роботах [1–7].
У другому розділі “Суперсиметрія частинки зі спіном 1/2 на дійсній осі” віттенівська суперсиметрична квантова механіка узагальнена на випадок, коли кожен із суперсиметричний партнерів або описує рух частинок зі спіном ? на дійсній осі z у скалярному потенціалі та магнітному полі . При V=0 ми повертаємось до віттенівської квантової механіки.
Знайдено точний розв’язок рівняння на власні значення і власні функції частинки зі спіном ? у періодичному гвинтовому магнітному полі. Спектри і у цьому випадку є повністю ізоспектральними з двозонним енерґетичним спектром.
Цікавим є питання про існування точної і порушеної симетрії. Найнижча енерґія E=0 для першої зони (з мінусом) існує при хвильовому векторі , при . Однак, коли , найнижча енерґія існує при q=0 і є ненульовою. Таким чином, в цьому випадку суперсиметрія є порушеною.
Ми дослідили також питання про точну і порушену суперсиметрію при русі як у скалярному, так і в магнітному полях. Показано, що достатньо сильне гвинтове магнітне поле порушує суперсиметрію навіть при наявності скалярного потенціалу і з асимптотикою суперпотенціалу при .
Для знаходження точно розв’язуваних скалярних та магнітних полів ми узагальнили умову форм-інваріантності на наш випадок.
Перше рівняння є умовою форм-інваріантності для скалярного потенціалу, тоді як друге є рівнянням форм-інваріантності для магнітного поля. Умови форм-інваріантності складаються в нашому випадку із чотирьох рівнянь, на відміну від одного рівняння у віттенівській квантовій механіці.
Нам вдалося розв’язати ці рівняння для випадку , де — постійні, взаємно перпендикулярні вектори. Розглянуто, як приклад, суперпотенціал і , для яких точно знайдено енерґетичні рівні та хвильові функції.
Енерґетичні рівні при русі частинки зі спіном ? в потенціальному полі V– та магнітному полі B– визначаються формулою.
Результати другого розділу опубліковані в роботах [8,9].
У третьому розділі “Квазі-точно та умовно-точно розв’язувані задачі квантової механіки” досліджуються квазі-точно та умовно-точно розв’язувані задачі у квантовій механіці. Запропоновано новий суперсиметричний підхід для побудови квазі-точно та умовно-точно розв’язуваних потенціалів у квантовій механіці. Метод ґрунтується на використанні властивостей суперсиметричних партнерів та .
А саме, всі енерґетичні рівні суперсиметричних партнерів, крім нульового, збігаються. І тільки один з партнерів має стан з нульовою енерґією, наприклад, . Хвильові функції зв’язані перетворенням.
Використовуючи добре відому процедуру, розвинуту в рамках суперсиметричної квантової механіки N+1 розв’язків рівняння на власні значення та власні функції запишемо
з енерґією , опера-тори містять суперпотенціали Wn(x), які задовольняють систему N рівнянь. Для N =1 маємо одне рівняння, розв’язки якого дають можливість знайти хвильові функції для двох рівнів з енерґіями 0 і для гамільтоніану з супер-потенціалом, — деяка ґенеруюча функція, позначена як .
Для забезпечення квадратичної інтеґровності хвильових функцій при . Крім того, ми вимагаємо несинґулярності потенціалу , що приводить до ряду умов на генеруючу функцію. В точках, де має нулі першого порядку, повинна виконуватися умова . Ми також показали, що синґулярні ґенеруючі функції з поведінкою в околі сингулярності і приводять до несинґулярних потенціалів, і в результаті приходимо до такого висновку. Нехай функція має n- нулів з від'ємними похідними в точках , n0 полюсів в точках ak (k=1,..., n0) з асимптотичною поведінкою в області цих точок –1/(x-ak)+const і m0 в точках bk (k=1,..., m0) з асимптотичною поведінкою –3/(x- bk). Число нулів функції з додатною похідною в точках дорівнює n+=n– +n0+ m0+1. Тоді хвильова функція має (n– + m0) нулів в точках та bk і, таким чином, відповідає (n– + m0) збудженому стану. Хвильова функція має n++m0= n–+n0+2m0+1 нулів у точках та bk і, таким чином, відповідає (n–+n0+2m0+1) збудженому стану.
Перевагою запропонованого методу є те, що він може бути розширений для знаходження умовно-точно розв’язуваних потенціалів, які є точно-розв’язувані тільки при певних значеннях параметрів потенціалів. Ідея полягає в наступному: якщо при певних параметрах W1 є таким, що H+ стає точно-розв’язуваним, тоді Н- (нижній суперсиметричний партнер) є новим точно-розв’язуваним гамільтоніаном, який містить додатково нульовий рівень порівняно з H+. Використовуючи цю ідею та результати для квазі-точно розв’язуваних потенціалів з двома рівнями, ми розвинули послідовну процедуру для знаходження нових точно-розв’язуваних потенціалів, а функція f після дуального перетворення задовольняє рівняння шредінґерівського типу для суперсиметричної квантової механіки. Ми використовуємо тільки такі суперпотенціали W1 (x), для яких дуальний суперпотенціал є дійсною функцією . У цьому випадку рівняння для є звичайним рівнянням Шредінґера суперсиметричної квантової механіки. Маючи його точні розв’язки, знаходимо новий точно-розв’язуваний потенціал V– .
Використовуючи цей метод ми знайшли для прикладу нові точно розв’язувані потенціали, які є нижніми суперсиметричними партнерами до гармонічного осцилятора та потенціалу Розена–Морзе.
Ми знайшли також розв’язки рівняння (1) для N=2 і побудували квазі-точно розв’язувані потенціали з трьома відомими станами. Ми також застосували запропоновану схему для побудови квазі-точно розв’язуваних періодичних та випадкових потенціалів з двома рівнями, PT-симетричних потенціалів, розглянули багатовимірні квазі-точно розв’язувані потенціали. Ми розвинули також суперсиметричний метод для побудови квазі-точно розв'язуваних аксіально-симетричних магнітних полів для двовимірного рівняння Паулі та в явному вигляді знайшли хвильові функції нульового й одного збудженого енерґетичного рівнів.
Результати третього розділу опубліковані в [10–21].
У четвертому розділі “Суперсиметричний підхід до гармонічного осцилятора у деформованому просторі” досліджується гармонічний осцилятор у просторі з деформованою алґеброю Гайзенберґа, яка приводить до мінімальної невизначеності координати та імпульсу. Розширивши метод суперсиметрії з форм-інваріантністю на деформований випадок знайдено енерґетичні рівні гармонічного осцилятора.
Знайдено також хвильові функції у q-деформованому представленні Берґмана
де — –деформована експонента, — поліноми за n-го порядку, які задовольняють співвідношення, де , D-q — q-деформована похідна.
Ми також дослідили вплив електричного поля на енерґетичні рівні та хвильові функції гармонічного осцилятора. Поправки до енерґетичних рівнів, зумовлені полем, такі які, на відміну від недеформованого випадку, залежать від квантового числа n і спадають при його зростанні.
Розглянуто також багатовимірний гармонічний осцилятор у деформованому просторі з мінімальною невизначеністю координат, який задається деформованою алґеброю. Показано, що метод суперсиметрії дає можливість простим алґебраїчним способом знайти енерґетичні рівні та хвильові функції в імпульсному зображенні, які були раніше знайдені технікою диференціальних рівнянь.
Досліджено релятивістський осцилятор Дірака у деформованому просторі з мінімальною невизначеністю координат та точно знайдено енерґетичні рівні та відповідні хвильові функції. Характерною особливістю енерґетичного спектру порівняно з недеформованим випадком є наявність в ньому доданків, пропорційних квадрату квантового числа.
Деформація також приводить до нової цікавої властивості енерґетичного спектру: для s=1/2 існує різниця в його поведінці для малих і великих j. Для малих j основний стан має нульову енерґію і суперсиметрія є точною, як і у звичайному випадку. Для дуже великих j основний стан має ненульову енерґію , як і для випадку s=–1/2 так, що суперсиметрія є порушеною. Для проміжних значень j осцилятор Дірака не володіє зв'язаними станами.
Результати четвертого розділу опубліковані в роботах [22–28].
У п’ятому розділі “Рівняння Шредінґера з масою, залежною від координат, та деформована алґебра Гайзенберґа” ми вивчали рівняння на власні значення гамільтоніану
,
де та задовольняють деформовану алґебру Гайзенберґа.
Ми показали, що гамільтоніан, який описує частинку з масою, залежною від координат, зводиться до H1 з деякою ефективною потенціальною енерґією. При цьому функція деформації f та маса m пов’язані співвідношенням: , де M(x)=m(x)/m0 — безрозмірна маса. Ми також показали, що рух у кривому просторі з метрикою з гамільтоніаном H3 також може бути описаний гамільтоніаном H1 з деякою ефективною потенціальною енерґією за умови, що g(x)=1/f2(x). Таким чином, ми встановили зв'язок між деформованим рівнянням Шредінґера, рівнянням Шредінґера з масою, залежною від координат, і рівнянням Шредінґера в кривому просторі. Функція деформації f (x), безрозмірна координатно залежна маса M(x) і діагональний метричний тензор g(x) пов'язані співвідношенням.
Використовуючи метод суперсиметрії знайдено точний розв’язок кулонівської задачі у деформованому просторі з функцією деформації . Для енерґетичних рівнів ми отримали, де n=k+l+1 і , , a — борівський радіус. Пораховані також відповідні хвильові функції функції.
Ця задача еквівалентна руху частинки з масою у кулонівському потенціалі. Цікаво, що для довільного розміщення операторів імпульсу і маси, залежної від координат, в кінетичній енерґії задача зводиться до гамільтоніану H1 з ефективною потенціальною енерґією кулонівського типу. В результаті ми отримали також точний вираз для енерґетичних рівнів частинки в цьому випадку. Зауважимо, що дана задача еквівалента руху частинки у кривому просторі з метрикою з ненульовою кривизною. Таким чином, маса, залежна від координат, ефективно моделює кривий простір. Показано, що, на відміну від стандартного випадку, але подібно до кулонівської задачі, в просторі з постійною від'ємною кривизною існує тільки скінчене число зв'язаних станів.
Метод суперсиметрії з форм-інваріантністю, розвинутий раніше для точного знаходження енерґетичних рівнів та хвильових функцій в одновимірному недеформованому випадку ми, розвинули на випадок деформованих комутаційних співвідношень , які відповідають координатно-залежній масі. Рівняння форм-інваріантності в цьому випадку запишеться
Знайдено три класи суперпотенціалів та відповідних функцій деформацій, для яких виконується умова форм-інваріантності, і рівняння на власні функції та власні значення частинки, яка описується гамільтоніаном розв’язуються точно.
Отримані результати узагальнюють форм-інваріантні потенціали на випадок деформованих комутаційних співвідношень (маси залежної від координат). При отримуємо недеформований випадок.
Результати п'ятого розділу опубліковані в роботах [29,30].
У шостому розділі “Квантовий рух нейтральних атомів у полі феромагнітної нитки” ми вивчали стаціонарні стани нейтральних атомів з магнітним моментом в магнітному полі
,
де , S — оператор спіну, g — фактор Ланде, 0 — магнетон Бора. Розглядалися різні магнітні поля, створені магнітною ниткою з різним типом намагніченості. Ефективний двовимірний 1/2-потенціал виникає при взаємодії магнітного моменту атома з феромагнітною ниткою з намагніченістю, перпендикулярною до неї. Двовимірной 1/-потенціал виникає при взаємодії з магнітним полем феромагнітної нитки, намагніченість якої паралельна до неї і лінійно змінюється вздовж нитки де q=–dM/dz можна трактувати як лінійну густину магнітних зарядів. Тривимірний 1/r2-потенціал виникає при взаємодії магнітного моменту атома з кінцем однорідно намагніченої нитки з намагніченістю, паралельною до неї. Обчислення показали, що лазерно-охолодженні атоми можуть бути захоплені такими феромагнітними нитками. Також феромагнітні нитки можна використати для транспортування лазерно-охолоджених атомів.
Ми також вивчали квантово-топологічну фазу, яка виникає при русі електричного диполя (поляризованого атома) навколо ліній магнітних зарядів,
де d — дипольний момент атома, A — векторний потенціал, B — магнітне поле. Такий вираз для квантової топологічної фази отримав Спавієрі і цей вираз відрізняється від фази Вілкенса на перший доданок, який звичайно для однозначного векторного потенціалу пропадає. Саме ця різниця між фазами та експериментальна схема, запропонована Вілкенсом, були предметом дискусії між ними.
В нашій роботі ми моделюємо лінію магнітних зарядів з допомогою феромагнітної нитки, намагніченість якої є паралельна до неї і лінійно змінюється вздовж нитки (Рис. ). Якщо нитка достатньо довга, то її кінці не дають внеску в магнітне поле в просторі біля середньої частини нитки. Для векторного потенціалу такої феромагнітної нитки ми отримали
Цей векторний потенціал є справді однозначною функцією координат і таким чином, фази Вілкенса і Спавієрі для нашої схеми збігаються.
Рис. . Схема для виявлення квантової топологічної фази електричного диполя d, який рухається навколо феромагнітної нитки. Феромагнітна нитка, намагніченість якої паралельна до неї, а її величина змінюється лінійно вздовж нитки, моделює лінію магнітних зарядів (монополів). Намагніченість нитки позначена вертикальними стрілками. Різний розмір стрілок показує, що намагніченість змінюється вздовж нитки. Магнітні заряди позначені “+”. В експерименті когерентний пучок атомів з дипольним моментом d розщеплюється на два, які обходять нитку з двох різних боків і потім інтерферують, показуючи фазовий зсув.
Для того, щоб порахувати зсув фаз, розглянемо дипольний момент d=|e|a0 (e — заряд електрона, a0 — борівський радіус), який рухається навколо феромагнітної нитки і паралельний до неї. Нехай феромагнітна нитка має такі параметрами: радіус нитки — r, довжина нитки — L, середня віддаль між магнітними атомами в нитці — a, магнітний момент атома — f. Намагніченість змінюється лінійно від Mmax на нижньому кінці нитки до – Mmax на верхньому кінці. Тоді фазовий зсув можна представити у такий спосіб,
де — стала тонкої структури, 0 — магнетон Бора.
Зауважимо, що атомні інтерферометри можуть детектувати фазу порядку 0.1 рад. А розщеплення між атомними пучками може досягати міліметрів. Для залізної нитки радіусом r =0.2 mm і довжиною L = 0.1 m ми отримаємо . Таким чином, фазовий зсув в рамках запропонованої схеми можна виявити з допомогою сучасної експериментальної техніки.
Результати шостого розділу опубліковані в роботах [31,32].
Основні результати та висновки:
1. Показано, що при русі електрона в магнітних полях може реалізовуватися суперсиметрія з двома, трьома та чотирма суперзарядами.
2. Досліджено основний стан електрона, який рухається в магнітному полі прямого провідника зі струмом з аксіально-симетричним розподілом густини струму. Рух електрона в цьому магнітному полі володіє суперсиметрією з трьома суперзарядами. Показано, що енерґія основного стану є додатною і не може приймати нульового значення. Це означає, що суперсиметрія є порушеною.
3. Виявлено суперсиметрію нестаціонарного рівняння Паулі в присутності змінних магнітного та електричного полів. Знайдено суперзаряди в цьому випадку та відповідну алґебру суперсиметрії. Показано, що отриману алґебру можна використати для знаходження точних розв'язків нестаціонарного рівняння Паулі.
4. Одновимірну суперсиметричну квантову механіку Віттена узагальнено на випадок, коли суперсиметричні партнери описують частинки зі спіном 1/2, які рухаються як у скалярному потенціалі, так і в магнітному полі. При цьому замість одного скалярного суперпотенціалу віттенівської квантової механіки ми маємо скалярний суперпотенціал та векторний суперпотенціал з трьома компонентами. Знайдено точні розв'язки для енерґетичного спектру частинки зі спіном 1/2 у гвинтовому магнітному полі. Показано, що для достатньо слабкого магнітного поля суперсиметрія є точною, тобто існує стан з нульовою енерґією, сильне магнітне поле порушує суперсиметрію.
5. Форм-інваріантність розширено на випадок частинок зі спіном 1/2 на дійсній осі, які рухаються як у потенціальному, так і в магнітному полях. Це дало можливість знайти точні розв'язки рівнянь на власні значення для форм-інваріантних потенціаних та магнітних полів.
6. Запропоновано суперсиметричний метод для побудови квазі-точно розв'язуваних потенціалів з двома та трьома енерґетичними рівнями. Показано, що нулі та синґулярності ґенеруючої функції визначають вузли хвильової функції. Метод застосовано для побудови таких квазі-точно розв'язуваних задач: потенціалів з дискретним спектром, періодичних та випадкових потенціалів, PT-симетричних потенціалів, рівняння Паулі. Метод узагальнено для отримання умовно-точно ровз'язуваних задач квантової механіки. Запропоновано послідовну процедуру знаходження нових точно-розв’язуваних потенціалів, які є нижніми суперсиметричними партнерами до відомих точно-розв’язуваних потенціалів. Запропоновано також простий спосіб побудови квазі-точно розв'язуваних багатовимірних задач квантової механіки.
7. Метод суперсиметрії з форміваріантністю розширено для квантової механіки з деформованою алґеброю Гайзенберґа. Знайдено енерґетичні рівні та власні вектори гармонічного осцилятора у просторі з ненульовою мінімальною невизначеністю як координати, так й імпульсу. Показано, що форм-інваріантність у цьому випадку приводить до скейлінґу параметрів форм-інваріантності, що, своєю чергою, веде до експонентної залежності енерґетичного спектру від квантового числа. Виявлено вплив електричного поля на гармонічний осцилятор у просторі з ненульовою мінімальною невизначеністю координати та імпульсу і показано, що на відміну від недеформованого випадку, поправка до енерґетичних рівнів, зумовлена електричним полем, залежить від квантового числа і спадає при його зростанні.
8. Показано, що техніку суперсиметрії можна застосувати до радіального рівняння багатовимірного гармонічного осцилятора у просторі з ізотропною ненульовою невизначеністю координат. У результаті простим алґебраїчним способом були отримані енерґетичний спектр та відповідні хвильові функції.
9. За допомогою техніки суперсиметрії знайдено енерґетичні рівні та відповідні хвильові функції релятивістського осцилятора Дірака у деформованому просторі з ненульовою мінімальною невизначеністю координат. Деформація канонічних комутаційних співвідношень приводить до додаткового члена у виразі для E2–1, який є квадратичним за головним квантовим числом n. Деформація також приводить до нової цікавої властивості енерґетичного спектру: для s=1/2 існує різниця в його поведінці для малих і великих j. Для малих j основний стан має нульову енерґію і суперсиметрія є точною, як і у звичайному випадку. Для дуже великих j основний стан має ненульову енерґію, як і для випадку s=–1/2 так, що суперсиметрія є порушеною. Для проміжних значень j осцилятор Дірака не володіє зв'язаними станами.
10. Встановлено зв'язок між рівнянням Шредінґера з деформованою алґеброю Гайзенберґа, рівнянням Шредінґера з масою, залежною від координат, та рівнянням Шредінґера в кривому просторі. Знайдено точний розв'язок кулонівської задачі для частинки з масою, залежною від координат, m(r)=m0/(1+r)2 для довільного впорядкування операторів імпульсу та маси в кінетичній енерґії. Показано, що, на відміну від стандартного випадку, але подібно до кулонівської задачі, в просторі з постійною від'ємною кривизною існує тільки скінчене число зв'язаних станів.
11. Узагальнено метод суперсиметрії з форм-інваріантністю для знаходження точних розв'язків рівняння на власні значення та власні функції для частинки з масою, залежною від координат. Знайдено три класи потенціалів і відповідних функцій деформації, що пов'язані з масою, для яких виконується умова форм-інваріантності. У цьому випадку енерґетичні рівні та хвильові функції можна знайти точно у явному вигляді.
12. Досліджено квантовий рух нейтральних атомів в полі феромагнітної нитки. Показано, що феромагнітна нитка може бути використана для утримування та транспортування лазерно-охолоджених атомів. Виявлено, що феромагнітна нитка з намагніченістю, яка лінійно змінюється вздовж нитки, моделює лінію магнітних зарядів, і атом, що рухається навколо нитки, набуває квантової топологічної фази. Запропоновано експериментальну схему для перевірки даного ефекту.
Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах:
1. Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. N = 4 Supersymmetry of Electron in the Magnetic Field // Журнал фізичних досліджень — 1996.— V. — P. –41.
2. Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. Supersymmetry of the Electron in a Three-Dimensional Magnetic Field // Phys. Lett. A— 1997.— V. — P. –145.
3. Frydryszak A. M., Tkachuk V. M. Lie symmetry, discrete symmetry and supersummetry of the Pauli Hamiltonian // Czechoslovak Journal of Physics— 2001.— V. , №12— P. 1325-1329.
4. Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. Broken supersymmetry for the electron in the magnetic field of straight current // Journal of Physical Studies (Lviv)— 1999.— V. — P. –294.
5. Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. Ground state of the electron in the magnetic field of a straight current // J. Phys. A— 2001.— V. 34— P. 653–662.
6. Ткачук В. М., Суперзаряди при русі електрона в нестаціонарному мегнетному полі