7. Tkachuk V. M. Supersymmetry of a nonstationary Pauli equation // J. Phys. A— 1998.— V. — P. –1866.

8. Tkachuk V. M., Roy P. Supersymmetry of a spin 1/2 particle on the real line // Phys. Lett. A— 1999.— V. — P. –249.

9. Tkachuk V. M., Roy P. Motion of a spin 1/2 particle in shape invariant scalar and magnetic fields // J. Phys. A— 2000.— V. — P. –4167.

10. Tkachuk V. M. Quasi-exactly solvable potentials with two known eigenstates // Phys. Lett. A— 1998.— V. — P. –182.

11. Tkachuk V. M. Supersymmetric Method for Constructing Quasi-Exactly Solvable Potentials // Condens. Matter Phys. (Lviv)— 1999.— V. , №2(18)— P. –204.

12. Tkachuk V. M. Supersymmetric Method for Constructing Quasi-Exactly and Conditionally-Exactly Solvable Potentials // J. Phys. A— 1999.— V. , № — P. 1291–1300.

13. Tkachuk V. M. Supersymmetric approach for generating quasi-exactly solvable potentials with arbitrary two known eigenstates // J. Phys. A— 2001.— V. — P. –6348.

14. Kuliy T. V., Tkachuk V. M. Quasi-Exactly Solvable Potentials with Three Known Eigenstates // J. Phys. A— 1999.— V. , № — P. –2169.

15. Tkachuk V. M., Voznyak O. O. Supersymmetric approach for generating quasi-exactly solvable periodic potentials // Journal of Physical Studies (Lviv)— 2002.— V. 6, №1— P. –45.

16. Tkachuk V. M., Voznyak O. O. Quasi-exactly solvable periodic and random potentials // Phys. Lett. A— 2002.— V. 301— P. 177–183.

17. Возняк O. O., Ткачук V. M. Квазiточно розв'язувана невпорядкована модель Кронiґа-Пеннi // Журнал фізичних досліджень— 2004.— Т. ,№ — С. .

18. Tkachuk V. M., Fityo T. V. Multidimensional quasi-exactly solvable potentials with two known eigenstates // Phys. Lett. A— 2003.— V. — P. –356.

19. Tkachuk V. M., Fityo T. V. Factorization and superpotential of the PT symmetric Hamiltonian // J. Phys. A— 2001.— V. — P. –8677.

20. Ткачук В. М., Вакарчук С. І. Квазіточно розв'язуване рівняння Паулі // Журн. фіз. досл.— 2002.— Т. , №2— С. –152.

21. Tkachuk V. M. Supersymmetry in the problem of electron motion in an axially symmetric magnetic field //Proceedings of International Conference Physics in Ukraine, Physics of Elementary Particles and Quantum Field Theory. Kiev, 22–27 June, 1993.— Kiev: Bogolyubov Institute for Theoretical Physics, 1993.— P. 106–109.

22. Quesne C., Penson K. A., Tkachuk V. M. Maths-type q-deformed coherent states for q>1 // Phys. Lett. A— 2003.— V. — P. .

23. Quesne C., Penson K. A., Tkachuk V. M. Revisiting maths-type q-deformed coherent states // Proceeding of the 8th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations. Puebla, Mexico-June 9–13, 2003. / Edited by H.Cessa, R.S.and O.— Paramus, NJ: Rinton Press.: 2003.— P. .

24. Quesne C., Penson K. A., Tkachuk V. M. Comment on: “Maths-type q-deformed coherent states for q>1”: [Phys. Lett. A 313 (2003) 29] // Physics Letters A— 2004.— Iss. –6— P. 402–404.

25. Frydryszak A. M., Tkachuk V. M. Aspects of pre-quantum description of deformed theories // Czechoslovak J. Phys.— 2003.— V. , № — P. .

26. Quesne C., Tkachuk V. M. Harmonic oscillator with nonzero minimal uncertainties in both position and momentum in a SUSYQM framework // J. Phys. A: Math. Gen.— 2003.— V. — P. –10389.

27. Quesne C., Tkachuk V. M. More on a SUSYQM approach to the harmonic oscillator with nonzero minimal uncertainties in position and/or momentum // J. Phys. A: Math. Gen.— 2004.— V. — P. –10113.

28. Quesne C., Tkachuk V. M. Dirac oscillator with nonzero minimal uncertainty in position // J. Phys. A: Math. Gen.— 2005.— V. .— P. –1765.

29. Quesne C., Tkachuk V. M. Deformed algebras, position-dependent effective masses and curved spaces: an exactly solvable Coulomb problem // J. Phys. A: Math. Gen.— 2004.— V. , № — P. –4281.

30. Bagchi B., Banerjee A., Quesne C., Tkachuk V. M. Deformed shape invariance and exactly solvable Hamiltonians with position-dependent effective mass // J. Phys. A: Math. Gen.— 2005.— V. .— P. –2945.

31. Tkachuk V. M. Binding of neutral atoms to ferromagnetic wire // Phys. Rev. A— 1999.— V. — P. –4717.

32. Tkachuk V. M., Quantum topological phase of an electric dipole circulating around a ferromagnetic wire // Phys. Rev. A— 2000.— V. — P. .

Анотація

Ткачук В. М. Cуперсиметрія та точно розв'язувані задачі у квантовій механіці.— Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 теоретична фізика, Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2005.

У дисертаційній роботі досліджувались суперсиметрія електрона в стаціонарних тривимірних магнітних полях і нестаціонарних електромагнітних полях у двовимірному випадку та частинки зі спіном Ѕ в потенціальному і магнітному полях в одновимірному випадку. Також суперсиметрія була розвинута як метод для побудови квазі-точно та умовно-точно розв’язуваних задач квантової механіки та знайдено нові точно розв’язувані потенціали. Метод суперсиметрії з форм-інваріантністю узагальнено на випадок квантової механіки з деформованою алґеброю Гайзенберґа та знайдено точні розв’язки для енерґетичних рівнів та хвильових функцій гармонічного осцилятора та релятивіського осцилятора Дірака у цому випадку. Встановлено зв’язок між рухом частинки у просторі з деформованою алґеброю Гайзенберґа, рухом частинки у кривому просторі та у плоскому просторі, але з масою, залежною від координат, і як приклад приведена точно розв’язувана кулонівська задача з певною залежністю маси від координати. Знайдено три класи потенціалів і відповідних функцій деформацій (мас, залежних від координат), для яких задача на власні значення та власні функції розв’язується точно. Досліджено рух нейтральних атомів з магнітним моментом в магнітному полі феромагнітної нитки з різними конфіґураціями намагніченості і виявлено, що атоми можуть бути захоплені цією ниткою. Показано, що при русі поляризованого атома (електричного диполя) навколо прямої феромагнітної нитки з намагніченістю, яка лінійно змінюється вздовж неї, виникає квантова топологічна фаза. Запропоновано експериментальну схему для виявлення цього ефекту.

Ключові слова: суперсиметрична квантова механіка, рівняння на власні значення та власні функції, Рівняння Паулі, Рівняння Дірака, квазі-точно та умовно-точно розв’язувані задачі, ефективна маса, деформована алгебра Гайзенберґа, гармонічний осцилятор, квантова топологічна фаза.

Аннотация

Ткачук В. М. Cуперсимметрия и точно решаемые задачи в квантовой механике.— Рукопись.

Дисертация на соискание научной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 теоретическая физика, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2005.

В дисертационной работе исследована суперсимметрия электрона в стационарных трехмерных магнитных полях и нестационарных электромагнитных полях в двухмерном случае и частицы со спином Ѕ в потенциальном и магнитном полях в одномерном случае. Также суперсимметрия была разработана как метод для построения квази-точно и условно-точно решаемых задач квантовой механики и найдены новые точно решаемые потенциалы. Метод суперсиметрии с форм-инвариантностью обощен на случай квантовой механики с деформированной алгеброю Гайзенберга и найдены точные решения для энергетических уровней и волновых функций гармонического осцилятора и релятивистского осцилятора Дирака в этом случае. Установлена связь между движением частицы в пространстве с деформированной алгеброй Гайзенберга, движением частицы в искривленном пространстве и в плоском пространстве, но с массой, зависящей от координат, и как пример, приведена точно решаемая кулоновская задача с некоторой зависимостью массы от координаты. Найдены три класса потенциалов и соответствующих функций деформаций (масс, зависящих от координат), для которых задача на собственные значения и собстенные функции решается точно. Исследовано движение нейтральних атомов с магнитным моментом в магнитном поле ферромагнитной нитки с разными конфигурациями намагниченности и обнаружено, что атомы могут быть захвачены этой нитью. Показано, что при движении поляризированного атома (электрического диполя) вокруг прямой феромагнитной нити с намаганиченностью, которая изменяется линейно вдоль нее, возникает квантовая топологическая фаза. Предложена эксперементальная схема для обнаружения этого эффекта.

Ключевые слова: суперсимметрическая квантовая механика, уравнение на собственные значения и собственные функции, уравнение Паули, уравнения Дирака, квази-точно и условно-точно решаемые задачи, эффективная масса, деформированная алгебра Гайзенберга, гармонический осциллятор, квантовая топологическая фаза.

Abstract

V. M. Tkachuk. Supersymmetry and exactly solvable problems in quantum mechanics.— A Manuscript.

Thesis for the Degree of Doctor of Sciences in physics and mathematics, speciality 01.04.02 – theoretical physics, Ivan Franko National University of Lviv, 2005.

The thesis concerns the study of supersymmetry in quantum mechanical problems and the use of supersymmetry as a method for finding exact solution of the eigenvalue problems.

The supersymmetry of the electron in three dimensional stationary magnetic fields was considered. It is shown that supersymmetry with two, three and four supercharges can be realized in this case. We also studied the supersymmetry of the electron in both nonstationary magnetic and electric fields in a two-dimensional case. The supercharges that are the integrals of motion as well as their algebra are established. Using the obtained algebra the solutions of the nonstationary Pauli equation are generated.

The Witten model of the supersymmetric quantum mechanics is generalized for the case when supersymmetric partners describe the mothin of the spin Ѕ particle moving in magnetic field and scalar potential. We introduce the concept of shape invariant scalar and magnetic fields and it is shown that the eigenvalue problem admits exact analytical solutions when such fields are considered.

We developed a new supersymmetric method for constructing quasi-exactly solvable potentials with two and three eigenstates. This method is extended for constructing conditionally-exactly solvable potentials. We also developed a systematic procedure generating a new exactly-solvable potentials which are a lower supersymmetric partners to the known exactly-solvable potentials.

In the context of a two-parameter deformation of the Heisenberg algebra leading to non-zero minimal uncertainties in both position and momentum, the harmonic oscillator spectrum and eigenvectors are determined by using an extension of the techniques of conventional supersymmetric quantum mechanics combined with shape invariance under parameter scaling. Using supersymmetric quantum mechanics and shape invariance method we found exact solution of the eigenvalue problem for the relativistic Dirac oscillator with deformed Heisenberg algebra leading to isotropic nonzero minimal uncertainties in position.

We show that there exists some intimate connection between three unconventional the Schrodinger equations based on the use of deformed canonical commutation relation, of a position-dependent effective mass or of a curved space. This occurs whenever a specific relation between the deforming function, the position-dependent mass and the (diagonal) metric tensor holds true. We illustrate these three equivalent approaches by considering a new Coulomb problem and solving it by means of supersymmetric quantum mechanics and shape invariance techniques.

The supersymmetric quantum mechanics with shape invariance technique is extended for the case of the Schrхdinger equation with position-dependent mass or deformed Heisender algebra. We found three classes of potentials and corresponding functions of deformation (position-dependent mass) for which the respective eigenvalue problems can be solved exactly.

We also studied quantum motion of the neutral atoms in the field of ferromagnetic wire with different types of magnetization. It is shown that ferromagnetic wire can be used for trapping and guiding neutral atoms. The possibility of experimental realization of binding sodium atoms is discussed.

The quantum topological phase of electric dipole circulating around the line of magnetic charges (monopoles) is discussed. We propose to mimic the line of magnetic monopoles using a ferromagnetic wire in which magnetization is parallel to the wire and magnitude of magnetization changes linearly along the wire. The phase shift in the proposed scheme is within the reach of present-day experimental techniques and may by observed in atomic or molecular interferometry.

Key words: supersymmetric quantum mechanics, eigenvalue problem, Pauli equation, Dirac equation, quasi-exactly and conditionally-exactly solvable problems, effective position-dependent mass, deformed Heisenberg algebra, harmonic oscillator, quantum topological phase.

Підп. до друку _______. Формат 60?84/16. Папір друк. №3

Друк офсет. Умовн. друк. арк. . Обл.-вид. арк. .

Умовн.-фарб. відб. 1,0 Тираж 100. Зам. .

Видавничий центр Львівського національного університету імені Івана Франка 79000, Львів, вул. Університетська, 1.