Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

Власенко Дмитро Іванович

УДК 514.772

ОПУКЛІ ГІПЕРПОВЕРХНІ

В РІМАНОВИХ ПРОСТОРАХ НЕДОДАТНОЇ КРИВИНИ

01.01.04 — геометрія і топологія

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Борисенко Олександр Андрійович,

Харківський національний університет

імені В.Н. Каразіна, завідувач кафедри

геометрії, м. Харків.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Діскант Валентин Іванович,

Черкаський державний технологічний університет,

завідувач кафедри вищої математики, м. Черкаси;

кандидат фізико-математичних наук

Болотов Дмитро Валерійович,

Фізико-технічний інститут низьких температур

імені Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків,

старший науковий співробітник відділу геометрії.

Провідна установа: Інститут математики НАН України (відділ топології), м. Київ.

Захист відбудеться 4 січня 2006 р. о 15-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К .051.11 при Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. .

З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий 2 грудня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Скорик В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Опуклою поверхнею називають межу або частину межі опуклого тіла, тобто такого тіла, що з любою парою своїх точок містить в собі найкоротшу лінію, яка з’єднує ці точки.

Опуклі поверхні вивчалися багатьма авторами. Нерегулярні опуклі поверхні ріманових просторів вивчались О.В. Погорєловим, А.Д. Мілкою, С.В. Буяло, Ю.Д. Бураго, В.А. Залгаллером, регулярні – Ж. Адамаром, С. Александер, О.А. Борисенком, К. Курье, Р. Лашофом, Р. Сакстедером, Ж. Хейенортом, С. Черном та багатьма іншими.

Неможливо однозначно перенести поняття опуклості з евклідового простору до довільного ріманового простору. Це пов’язано, перш за все, з тим, що в довільному рімановому просторі геодезична може не бути найкоротшою і дві точки можуть з’єднуватись не єдиною найкоротшою. Відмінності з’являються при розгляді кількості топологічних типів опуклих поверхонь у просторі Лобачевського.

У тривимірному евклідовому просторі існує лише три топологічних типа повних опуклих поверхонь, а в просторі Лобачевського їх кількість нескінченна. Більш того, опукла поверхня простору Лобачевського гомеоморфна області на сфері і для будь-якої області на сфері існує гомеоморфна їй повна опукла поверхня. Природно виникає питання: за яких додаткових умов можливо відокремити множину повних опуклих поверхонь простору Лобачевського яка б мала скінченне число топологічних типів.

Прикладом такої множини є клас повних h-опуклих гіперповерхонь простору Лобачевського. Головна властивість h-опуклої гиперповерхні полягає в тому, що через кожну точку поверхні проходить опорна орисфера. Зазначимо, що секційна кривина таких поверхонь не менше одиниці.

Поняття опуклої поверхні і h-опуклої поверхні узагальнюються поняттям л-опуклої поверхні простору Лобачевського. Головна властивість л-опуклої гіперповерхні полягає в тому, що через кожну точку поверхні проходить локально опорна поверхня, нормальні кривини якої в цій точці не менше л. Наприклад, опукла поверхня буде 0-опуклою, а h-опукла буде 1-опуклою.

Наступним кроком є узагальнення поняття h-опуклої та л-опуклої поверхонь на ріманів многовид. Узагальнення можливе для многовиду Адамара – повного однозв’язного многовиду недодатної кривини.

Вивчення геометричних властивостей h-опуклих та л-опуклих поверхонь у дисертації проводится в декількох напрямках. По-перше, з’ясовується коли занурена h-опукла та л-опукла гіперповерхні будуть вкладеними. По-друге, досліджується сім’я гіперповерхонь, поширюваних на весь простір недодатної кривини. Знаходиться границя відношення об’єму, обмеженого гіперповерхнею, до площі її межі.

Ще в 1897 році Ж. Адамаром було доведено, що занурена в евклідів простір n-вимірна (n>1) гладка гіперповерхня додатної кривини буде вкладена як межа опуклого тіла. Цей результат у 1952 році узагальнив Хейенорт на загальні локально опуклі гіперповерхні, що занурені в евклідів простір. Аналог цієї теореми для випадку С?-гладких ізометрично занурених гіперповерхонь у простір Лобачевського було отримано Курьє в 1989 році.

У 1972 році, вивчаючи деякі проблеми геометричної теорії ймовірностей, Л.А. Сантало та І. Йанеш довели, що для сім’ї Щ(t) компактних h-опуклих областей у площині Лобачевського, поширюваних на всю площину, за прямуючим до нескінченності t відношення площини Щ(t) до довжини межі Щ(t) прямує до 1. Л.А. Сантало та І. Йанеш висунули гіпотезу, що вимога h-опуклості області надмірна, і твердження буде вірним для опуклих областей, поширюваних на площину. Ця гіпотеза була спростована в 1985 році Є. Галего та А. Ревентосом, які довели, що ця границя може приймати значення від 0 до 1. У 1999 році О.А. Борисенком і В. Мікуелем було отримано узагальнення результату Є. Галего та А. Ревентоса на багатовимірний простір Лобачевського.

У той же час Є. Галего та А. Ревентосом була досліджена поведінка сім’ї л-опуклих областей, поширюваних на площину Лобачевського. З’ясувалось, що границя відношення площі області до довжини її межі буде приймати значення від л до .

Виникає природне питанння про вивчення h-опуклих та л-опуклих поверхонь як у просторі Лобачевського, так і у многовиді Адамара і узагальнення результатів на багатовимірний випадок.

Таким чином, актуальним є дослідження h-опуклих та л-опуклих поверхонь у просторі Лобачевського та у многовиді Адамара і застосування розробленої теорії до вивчення внутрішньої і зовнішньої геометрії h-опуклих та л-опуклих поверхонь.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі геометрії механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна в межах держбюджетних науково-дослідних тем:

– “

– “

– “

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є: одержати критерії вкладеності опуклих поверхонь у простори недодатної кривини; описати поведінку сімей h-опуклих та л-опуклих поверхонь, поширюваних на весь простір недодатної кривини.

Об'єктом дослідження є геометрія опуклих, h-опуклих та л-опуклих поверхонь у просторах недодатної кривини.

Предметом дослідження є необхідні та достатні умови, за яких занурена гіперповерхня буде вкладеною як h-опукла або л-опукла поверхня; поведінка сім’ї h-опуклих та л-опуклих поверхонь, поширюваних на весь простір недодатної кривини.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

1. Знайти критерій, коли занурена у простір Лобачевського локально опукла поверхня буде вкладеною у цей простір.

2. Отримати оцінки відношення об’єму л-опуклого тіла до площі його межі у просторі Лобачевського. Отримати оцінку для л-опуклих тіл, поширюваних на простір Лобачевського.

3. Отримати оцінки відношення об’єму h-опуклого тіла до площі його межі у многовиді Адамара. Отримати оцінку для h-опуклих тіл, поширюваних на многовид Адамара.

4. Знайти умови, за яких повні h-опуклі гіперповерхні многовиду Адамара будуть ізометричними метричним сферам простору Лобачевського.

5. Довести, що h-опуклі поверхні простору Лобачевського, як метричні простори, є просторами невід’ємної кривини у розумінні Александрова.

Методи досліджень – методи геометрії Лобачевського, диференціальної та ріманової геометрії, теорія просторів Александрова.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі знайдено і досліджено нові властивості h-опуклих та л-опуклих поверхонь у просторах недодатної кривини. Досліджено поведінку сім’ї h-опуклих та л-опуклих поверхонь, поширюваних на весь простір недодатної кривини. Отримано нові результати по геометрії h-опуклих та л-опуклих поверхонь. А саме:

1.

2.

3.

4.

5.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Отримані результати і розроблені в ній методи можуть бути використані для подальших досліджень геометрії h-опуклих та л-опуклих поверхонь у просторах недодатної кривини.

Матеріали, що містяться в дисертації, можуть бути корисними для читання спецкурсів з диференціальної геометрії і проведення геометричних семінарів.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач та ідеї доведень теорем належать науковому керівнику. Реалізація ідей і доведення результатів зроблені здобувачем.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на 3-й та 5-й Міжнародних конференціях з геометрії і топології (м. Черкаси, 1999 р. та 2003 р.), на Міжнародній конференції-школі з геометрії та аналізу, присвяченій пам’яті академіка О.Д. Александрова (м. Новосибірськ, 2002 р.), на семінарі “Геометрія в цілому”, присвяченому 85-річчю з дня народження академіка О.В. Погорелова (м. Харків, 2004 р.), на Міжнародній конференції-школі з геометрії та аналізу, присвяченій 75-річчю академіка Ю.Г. Решетняка (м. Новосибірськ, 2004 р.), на науковому семінарі відділу топології Інституту математики НАН України (м. Київ), на міському геометричному семінарі м. Харкова (керівник – член-кореспондент НАН України О.А. Борисенко).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 5-ти статтях у наукових журналах, включених до переліку ВАК України, та в 3-х тезах доповідей на міжнародних конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації складає 119 сторінок. Список літератури займає 6 сторінок і містить 53 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність наукової проблеми, що розглядається в дисертації, визначено мету і задачі дослідження, дано оцінку наукової новизни отриманих результатів.

У першому розділі наводиться огляд літератури за темою дисертації, вводяться основні геометричні об'єкти, що досліджуються в роботі, та визначається напрямок дослідження.

Основні результати дисертації наведено в другому, третьому та четвертому розділах.

Другий розділ дисертації присвячений h-опуклим та л-опуклим поверхням простору Лобачевського.

У підрозділі 2.1 отримано допоміжну оцінку кута, утвореного перетином променя з орисферою. Оцінка виражається через відстань від точки, з якої виходить промінь, до орисфери.

У підрозділі 2.2 доведено, що локально h-опукла область простору Лобачевського буде h-опуклою. Доведена теорема про опуклі поверхні простору Лобачевського.

Теорема 2.2. Нехай занурена у простір Лобачевського повна n-вимірна (n?2) гіперповерхня M буде локально опуклою і локально опорною на орисфери. Тоді гіперповерхня M буде вкладена як межа опуклого тіла і, або M буде компактом гомеоморфним сфері, який обмежує опукле тіло, або M буде орисферою.

У підрозділі 2.3 розглядаються л-опуклі поверхні простору Лобачевського. Отримано допоміжну оцінку кута, утвореного перетином променя з л-площиною. Оцінка виражається через відстань від точки, з якої виходить промінь, до орисфери.

Теорема 2.3. Нехай Е – компактне ?-опукле тіло () у (n+1)-вимірному просторі Лобачевського кривини -1. Тоді:

1. при ,

,

2. при ,

,

де через r, R позначені радіуси вписаної та описаної куль.

Для сім’ї компактних л-опуклих поверхонь, поширюваних на весь простір Лобачевського, як наслідок теореми 2.3 доведено наступне.

Теорема 2.4. Нехай буде сім’єю компактних ?-опуклих тіл простору Лобачевського Ln+1 кривини -1, поширюваних на весь простір. Тоді

.

Отримано допоміжну оцінку кута, утвореного променем та нормаллю до сфери радіусу R.

Теорема 2.5. Нехай точка Р належить кулі радіусу R простору Лобачевського Ln кривини –k2, k>0. Нехай кут А утворюється променем з початком у точці Р та нормаллю до сфери радіуса R у точці перетину променя і сфери. Нехай r – відстань від точки Р до сфери. Тоді

.

У третьому розділі дисертації досліджуються h-опуклі та л-опуклі поверхні у многовиді Адамара.

Теорема 3.2. Нехай Е – компактне h-опукле тіло у (n+1)-вимірному многовиді Адамара з обмеженими секційними кривинами , . Тоді

,

де через r, R позначені радіуси вписаної та описаної куль.

Для сім’ї компактних h-опуклих поверхонь, поширюваних на весь многовид Адамара, як наслідок теореми 3.2, маємо наступний результат.

Теорема 3.3. Нехай буде сім’єю компактних ?-опуклих тіл у (n+1)-вимірному многовиді Адамара з обмеженими секційними кривинами , , поширюваних на весь многовид. Тоді

.

У підрозділі 3.2 розглядається вкладена поверхня, нормальні кривини якої не менші за нормальні кривини опорної орисфери у відповідних напрямках.

Теорема 3.6. Нехай у (n+1)-вимірний многовид Адамара М, з обмеженими секційними кривинами (k>0), занурено у повний в індукованій метриці n-вимірний гладкий многовид Fn вимірності n>1, при цьому у кожній точці Fn нормальні кривини kn не менше k cth kR0 (k cth kR0-опуклий). Тоді можливі наступні випадки:

1. Якщо хоча б в одній точці Fn нормальні кривини дотичної до Fn сфери радіусу R0 строго менші нормальних кривин гіперповерхні у відповідних напрямках, то Fn буде вкладеною компактною опуклою гіперповерхнею діффеоморфною сфері та Fn буде глобально спиратися в кожній точці на дотичну сферу радіусу R0 многовиду Адамара та буде розташованою у сфері радіусу, меншого R0.

2. Якщо в кожній точці Fn існує напрямок, в якому нормальні кривини гіперповерхні і дотичної сфери радіуса R0 будуть рівні, то Fn буде сферою у многовиді Адамара радіусу R0, яка обмежує у многовиді М кулю, ізометричну кулі простору Лобачевського кривини –k2.

У розділі 4 розглядаються h-опуклі гіперповерхні. Основний результат розділу полягає в тому, що h-опуклі гіперповерхні, як метричні простори, будуть просторами Александрова недодатної кривини. Доведення цього твердження спирається на низку тверджень, наведених у підрозділі 4.2.

Основним результатом підрозділу 4.3 є

Теорема 4.7. На h-многогранниках простору Лобачевського Ln виконується вимога опуклості.

З цієї теореми, як наслідок, отримано теорему.

Теорема 4.9. h-опуклі поверхні, як метричні простори, будуть просторами Александрова недодатної кривини.

ВИСНОВКИ

У дисертації проведено дослідження геометрії h-опуклих та л-опуклих поверхонь у просторах недодатної кривини. Вивчено поведінку сім’ї h-опуклих та л-опуклих поверхонь, поширюваних на весь простір недодатної кривини.

Основні результати, отримані у дисертації, полягають у наступному:

1. Знайдено критерій, коли занурена у простір Лобачевського локально опукла поверхня буде вкладеною. Доведено, що коли занурена у простір Лобачевського повна n-вимірна (n?2) гіперповерхня M буде локально опуклою і локально опорною на орисфери, тоді гіперповерхня M буде вкладена, як межа опуклого тіла, та або M буде компактом гомеоморфним сфері, який обмежує опукле тіло, або M буде орисферою.

2. Отримано оцінки відношення об’єму л-опуклого тіла до площі його межі у просторі Лобачевського за допомогою оцінки кута, утвореного перетином променя з л-площиною, які виражаються через радіуси вписаної та описаної куль. Як наслідок, отримано аналогічну оцінку для л-опуклих тіл, поширюваних на простір Лобачевського.

3. Отримано оцінки відношення об’єму h-опуклого тіла до площі його межі у многовиді Адамара за допомогою оцінки кута, утвореного перетином променя з орисферою. Оцінка відношення виражається через радіуси вписаної та описаної куль. Як наслідок, отримано аналогічну оцінку для h-опуклих тіл, поширюваних на многовид Адамара.

4. Знайдено умови, за яких повні h-опуклі гіперповерхні многовиду Адамара будуть ізометричні метричним сферам простору Лобачевського.

5. Доведено, що h-опуклі поверхні простору Лобачевського, як метричні простори, є просторами невід’ємної кривини у розумінні Александрова.

Знайдено аналоги теорем та отримано узагальнення деяких результатів на випадок простору Лобачевського та многовиду Адамара про h-опуклі та л-опуклі поверхні в просторах евклідового простору та простору Лобачевського, що були одержані у роботах О.Д. Александрова, О.А. Борисенка, К. Курье, Р. Лашофа, А.Д. Мілки, Р. Сакстедера, Ж. Хейенорта та інших авторів.

Отримані результати можуть бути використаними для подальших досліджень геометрії h-опуклих та л-опуклих поверхонь у просторах недодатної кривини.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Власенко Д.И. О кривизне общих h-выпуклых гиперповерхностей в пространстве Лобачевского // Успехи математических наук. – 1999. – Т. 54, № 4(328). – C. 149–150.

2. Борисенко А.А., Власенко Д.И. Выпуклые поверхности пространства Лобачевского // Математическая физика, анализ, геометрия. – 1997. – Т. 4, № 3. – C. –285.

3. Борисенко А.А., Власенко Д.И. Асимптотическое поведение объемов выпуклых тел в многообразии Адамара // Математическая физика, анализ, геометрия. – 1999. – Т. 6, № 3/4. – C. 223–233.

4. Борисенко А.А., Власенко Д.И. О поведении объемов выпуклых тел в многообразии неположительной кривизны // Доповіді НАН України. – 2000. – № 6. – C. 10–14.

5. Борисенко А.А., Власенко Д.И. Экстремальные свойства пространства Лобачевского // Доповіді НАН України. – 2004. – № 12. – C. 13–19.

6. Борисенко А.А., Власенко Д.И. Выпуклые поверхности пространства Лобачевского // Тезисы международной конференции по геометрии, посвященной Н.В. Ефимову. – Ростов-на-Дону.– 1996. – C. 37–38.

7. Борисенко А.А., Власенко Д.И. О поведении объемов выпуклых тел в многообразии неположительной секционной кривизны // Тезисы 3-й международной конференции по геометри в целом. – Черкасы. – 1999. – C. 12–13.

8. Борисенко А.А., Власенко Д.И. Экстремальные свойства пространства Лобачевского // Тезисы 5-й международной конференции по геометрии в целом. – Черкасы. – 2003. – C. 21–22.

Висловлюю щиру подяку моєму науковому керівнику – доктору фізико-математичних наук, член-кореспонденту НАН України О.А. Борисенку за постановку задач і допомогу в роботі над дисертацією.

АНОТАЦІЯ

Власенко Д.І. Опуклі гіперповерхні в ріманових просторах недодатної кривини. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню опуклих, h-опуклих та л-опуклих поверхонь у просторах недодатної кривини. У дисертації отримано узагальнення на випадок простору Лобачевського і випадок многовиду Адамара результатів про опуклі, h-опуклі та л-опуклі поверхні робіт О.Д. Александрова, О.А. Борисенка, А.Д. Мілки, Ж. Хейенорта та інших авторів.

Отримано критерій вкладеності для зануреної в простір Лобачевського локально опуклої гіперповерхні. Критерій є аналогом теореми Ж. Хейенорта для евклідового простору.

Отримано нижню та верхню оцінки відношення об’єму л-опуклого тіла до площі його межі в багатовимірному просторі Лобачевського. Отримано нижню та верхню оцінки відношення об’єму h-опуклого тіла до площі його межі у многовиді Адамара.

Знайдено умови, за яких повна л-опукла гіперповерхня многовиду Адамара ізометрична метричній сфері простору Лобачевського, і куля, обмежена сферою у многовиді Адамара, є ізометричною кулі простору Лобачевського.

Досліджено властивості h-многогранників простору Лобачевського – нового класу об’єктів, досліджених у цій роботі. Показано, что h-опуклі поверхні простору Лобачевського являються метричними просторами недодатної кривини у розумінні О.Д. Александрова.

Ключові слова: опуклі поверхні, h-опуклі поверхні, л-опуклі поверхні, геометрія Лобачевського, многовиди Адамара, простори Александрова.

АННОТАЦИЯ

Власенко Д.И. Выпуклые гиперповерхности в римановых пространствах неположительной кривизны. — Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 – геометрия и топология. – Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2005.

Предметом изучения диссертации являются выпуклые, h-выпуклые и л-выпуклые поверхности в пространствах неположительной кривизны. В диссертации получены обобщения на случай пространства Лобачевского и многообразия Адамара результатов о выпуклых, h-выпуклых и л-выпуклых поверхностях, полученных в работах А.Д. Александрова, А.А. Борисенко, А.Д. Милки, Ж. Хейенорта и других авторов.

Получен критерий вложенности для погруженной в пространство Лобачевского локально выпуклой гиперповерхности общего типа. Доказано, что если погруженная в пространство Лобачевского полная n-мерная (n?2) гиперповерхность M будет локально выпуклой и локально опорной на орисферы, то гиперповерхность M является вложеной, как граница выпуклого тела, и либо M будет компактом, ограничивающим выпуклое тело и гомеоморфным сфере Sn, либо M будет орисферой. Критерий является, с одной стороны, аналогом результата Ж. Хейенорта для евклидова пространства, а с другой, – обобщением результата К. Курье для C?-гладких поверхностей пространства Лобачевского на общие поверхности.

Рассмотрено семейство компактных л-выпуклых тел пространства Лобачевского Ln, распространяющихся на все пространство. Получена нижняя и верхняя оценки отношения объема л-выпуклого тела к площади его границы в многомерном пространстве Лобачевского. Получена оценка предела отношения для семейства л-выпуклых тел, распространяющихся на пространство Лобачевского, в случае, когда радиус вписанного шара устремлен к бесконечности. Это является обобщением результата Э. Галего и А. Ревентоса, полученного ими в случае плоскости Лобачевского.

Найдена оценка отношения объема к площади для h-выпуклого тела в многообразии Адамара. Из этой оценки предельным переходом получена оценка верхнего и нижнего предела отношения объема к площади границы для семейства h-выпуклых гиперповерхностей, распространяющихся на все многообразие Адамара. Полученные оценки обобщают аналогичные оценки для пространства Лобачевского, полученные А.А. Борисенко и В. Микуэлем.

Изучены свойства полных л-выпуклых гиперповерхностей, кривизны не меньшей k cth kR0, погруженных в многообразие Адамара. Показано, что они будут вложены как граница компактного выпуклого тела. Более того, если хотя бы в одной точке поверхности нормальные кривизны касательной сферы радиуса R0 строго меньше нормальных кривизн поверхности в соответствующих направлениях, то поверхность будет вложенной, компактной, выпуклой гиперповерхностью, диффеоморфной сфере и глобально опирающейся в каждой точке на касательную сферу радиуса R0 многообразия Адамара M и лежащей в сфере радиуса, меньшего R0. А если в любой точке существует направление, в котором достигается равенство нормальных кривизн поверхности и касательной сферы радиуса R0, то поверхность будет сферой многообразия Адамара радиуса R0, которая ограничивает в многообразии шар, изометричный шару пространства Лобачевского кривизны –k2.

Изучены свойства вводимых в работе h-многогранников пространства Лобачевского – нового класса объектов. Показано, что h-выпуклые поверхности пространства Лобачевского будут метрическими пространствами неотрицательной кривизны в смысле А.Д. Александрова.

Ключевые слова: выпуклые поверхности, h-выпуклые поверхности, л-выпуклые поверхности, геометрия Лобачевского, многооборазия Адамара, пространства Александрова.

ABSTRACT

Vlasenko D.I. Convex hypersurfaces in Riemannian spaces of nonpositive curvature. – The мanuscript.

A Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.01.04 - geometry and topology. – Karazin Kharkov national university, Kharkov, 2005.

The Thesis is devoted to a study of convex, h-convex and л-convex surfaces in spaces of nonpositive curvature. In the thesis generalizations of some results of A.D. Aleksandrov, A.A. Borisenko, A.D. Milka, J. Hejenoort and others concerning convex, h-convex and л-convex surfaces on the case of Lobachevsky space and Hadamard manifolds are obtained.

The criterion of embedding for immersed locally convex hypersurface in the Lobachevsky space is obtained. The criterion is similar to the result of J.for Euclidean space.

The lower and upper bounds for the ratio of a volume of a л-convex body to an area of its boundary in multidimensional Lobachevsky space are obtained. The lower and upper bounds for the ratio of a volume of a h-convex body to an area of its boundary in the Hadamard manifold are obtained.

Conditions under which a complete л-convex hypersurface in the Hadamard manifold is isomeric to a metric sphere in the Lobachevsky space; the conditions when a ball which bounded by a sphere in the Hadamard manifold is isomeric to a ball in the Lobachevsky space are found.

The properties of h-polyhedrons in Lobachevsky space – a new class of geometrical objects introduced in the Thesis are investigated. It is show, that h-convex surfaces in the Lobachevsky space are metric spaces of a non-negative curvature in A.D.sense.

Keywords: convex surfaces, h-convex surfaces, л-convex surfaces, Lobachevsky geometry, Hadamard manifolds.

Наукове видання

Власенко Дмитро Іванович“

Опуклі гіперповерхні в ріманових просторах недодатної кривини”

Підписано до друку 25.11.2005. Формат 60х90/16. Папір офісний. Друк-ризографія. Умовн. друк. арк. 1,0. Облік.-вид. арк. 1,3. Наклад 100 прим.

61077, м. Харків, пл. Свободи, 4,

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

Надруковано ПП “Азамаєв В.Р.”, 61144, м. Харків, вул. Героїв праці, 17