НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ

НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ІМ. Б.І. ВЄРКІНА

ВАКСМАН Леонід Львович

УДК 517.986.4

ОСНОВИ КВАНТОВОЇ ТЕОРІЇ ОБМЕЖЕНИХ СИМЕТРИЧНИХ ОБЛАСТЕЙ

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків-2005

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Фізико-технічному інституті низьких температур

імені Б. І. Вєркіна НАН України.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Клімик Анатолій Улянович,

Інститут теоретичної фізики імені М. М. Боголюбова НАН України,

завідувач відділу математичних методів в теоретичній фізиці;

доктор фізико-математичних наук

Самойленко Юрій Стефанович,

Інститут математики НАН України (м. Київ), відділ функціонального аналізу.

доктор фізико-математичних наук Фельдман Геннадій Михайлович,

Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України

Провідна установа:

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, механіко-математичний факультет

Захист відбудеться 20 грудня 2005 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47, к. 216

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України, м. Харків,

пр. Леніна, 47.

Автореферат розісланий 1 листопада 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В. О. Горькавий

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Під впливом квантової фізики у середині минулого століття поруч з добре відомими математичними теоріями постали їх некомутативні аналоги: теорія алгебр Неймана та теорія С*-алгебр. Протягом сімдесятих та вісімдесятих років було побудовано операторну К-теорію, некомутативну диференціальну геометрію, некомутативну алгебраїчну геометрію та теорію квантових груп.

В той же час некомутативний комплексний аналіз майже не привертав уваги дослідників, хоча в теорії квантових груп були відомі некомутативні аналоги деяких однорідних комплексних многовидів – флагових многовидів.

У дев’яності роки послідовне використання квантових груп у некомутативному комплексному аналізі призвело до створення квантової теорії обмежених симетричних областей, основи якої становлять зміст дисертації.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводилися у відділі математичної фізики Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України у межах тем „Алгебраїчні та геометричні методи в теорії операторів і теорії динамічних систем” (номер державної реєстрації 0196U002943), „Алгебраїчні та аналітичні методи в теорії операторів і теорії динамічних систем” (номер державної реєстрації 0100U004485), „Аналітичні методи в теорії операторних алгебр, динамічних систем і теорії розсіяння” (номер державної реєстрації 0103U000313).

Мета і задачі дослідження. Запровадити до розгляду квантові аналоги алгебр функцій у незвідних обмежених симетричних областях. Знайти явний вигляд інваріантного інтегралу та побудувати коваріантне диференціальне числення. Одержати некомутативні аналоги інтегральних представлень Бергмана та Коші-Сеге, а також некомутативний аналог принципу максимуму для голоморфних функцій.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертації є новими. Знайдено квантові аналоги алгебр функцій у незвідних обмежених симетричних областях загального вигляду та вирішено такі задачі:

- подано опис усіх точних незвідних *-зображень зазначених вище алгебр обмеженими лінійними операторами у гільбертових просторах;

- побудовано коваріантні диференціальні числення над цими алгебрами;

- знайдено явний вигляд інваріантного інтегралу в квантовій обмеженій симетричній області;

- подано опис межі Шилова квантових обмежених симетричних областей;

- знайдено явний вигляд зважених ядер Бергмана та Коші-Сеге для квантових матричних куль;

- доведено справедливість принципу максимуму у випадку квантової кулі;

- розвинуто метод квантування за Березіним у контексті квантових обмежених симетричних областей.

До дисертації включено перші результати про некомпактні квантові групи та про зв’язки теорії квантових груп із теорією базисних гіпергеометричних рядів, що належать здобувачеві.

Практичне використання одержаних результатів. Результати роботи зможуть знайти застосування в теорії операторних алгебр і при вивченні точно вирішуваних моделей квантової фізики.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані здобувачем особисто і самостійно. З результатів робіт, що виконані у співавторстві, на захист виносяться лише положення, одержані автором. Результати Д. Шклярова, опубліковані у наших спільних роботах, увійшли до його кандидатської дисертації, захищеної у ФТІНТ НАНУ в 2001 році, а результати Я. Сойбельмана та Л. Корогодського – до їхньої книги Ya. Sobelman, L. Korogodski, “Algebras of Functions on Quantum Groups”, AMS, Providence RI, 1998.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на семінарах в математичних інститутах Києва, Петербурга, Амстердама, в університетах Москви, Бостона, Парижа, Лейпціга, Марбурга, Копенгагена, Лунда, Ґетеборга, в технічних університетах Хайфи і Дельфта, а також на таких наукових конференціях:

- „Некомутативна геометрія і теорія зображень у математичній фізиці” (Карлстад, липень 2004);

- „Квантові групи та інтегровні системи-10” (Прага, червень 2001);

- „Суперсиметрія і квантова теорія поля” (Харків, липень 2000);

- „Некомутативні структури в математиці та фізиці” (Київ, вересень 2000);

- „Квантові групи та інтегровні системи-8” (Прага, червень 1999);

- „Квантова геометрія, випадкові матриці, статистичні моделі струн та квантова гравітація” (Копенгаген, листопад 1998);

- „Суперсиметрія і квантова теорія поля” (Харків, січень 1997);

- „Квантові групи” (Петербург, грудень 1990).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 22 статях [1-22] та двох оглядах [23-24].

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, переліку цитованої літератури (336 найменувань) та додатку. Обсяг дисертації становить 298 сторінок. Обсяг переліку цитованої літератури – 28 сторінок. Обсяг додатку – 121 сторінка.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У першому розділі подано огляд літератури й методів дослідження. Наприкінці сімдесятих років вивчення точно вирішуваних задач статистичної механіки та квантової теорії поля призвело Л. Фаддеєва та його співробітників до створення квантового методу оберненої задачі розсіяння. У межах цього напрямку сучасної математичної фізики в середині вісімдесятих років В. Дрінфельдом і М. Джимбо було запроваджено та вивчено квантові аналоги універсальних огортуючих алгебр – квантові групи. Наведемо найбільш суттєві моменти визначення цих алгебр.

Нехай – проста комплексна алгебра Лі рангу . Як показав Серр, вона припускає опис у термінах твірних та відомих співвідношень Шеваллє між ними. Це подає зручний опис універсальної огортуючої алгебри . Квантова універсальна огортуюча алгебра . Є алгеброю Хопфа з твірними та визначальними співвідношеннями Дрінфельда-Джимбо. У подальшому припускається, що . Співвідношення Шеваллє можна одержати зі співвідношень Дрінфельда-Джимбо формальним граничним переходом .

Перед початком дев’яностих років було знайдено застосування теорії квантових груп у маловимірній топології та в теорії категорій, її зв’язки з конформною квантовою теорією поля та з теорією q-спеціальних функцій.

Важливим напрямком у теорії квантових груп є вивчення квантових аналогів алгебр функцій на однорідних просторах некомпактних груп Лі. Важливий клас таких однорідних просторів складають незвідні обмежені симетричні області. Найпростішою такою областю є одиничне коло в , а повний перелік незвідних обмежених областей, що розглядаються з точністю до ізоморфізму, одержаний Е. Картаном. Комплексифікація алгебри Лі групи автоморфізмів такої області є простою комплексною алгеброю Лі. Як показав Хариш-Чандра, векторний простір канонічним способом наділяється нормою, і область що розглядається як однорідний комплексний многовид, ізоморфна одиничній кулі. Це є так званою стандартною реалізацією обмеженої симетричної області.

У дисертації розглядаються квантові аналоги стандартно реалізованих незвідних обмежених симетричних областей. Основні результати доводяться у розділах 2 – 4 методами теорії зображень. Квантові аналоги функціональних просторів виникають при побудові геометричних реалізацій -модулів.

В другому розділі дисертації запроваджено квантовий аналог поліноміальних функцій на векторному просторі. Один з основних результатів розділу полягає в тому, що *-алгебра має єдине з точністю до унітарної еквівалентності точне незвідне зображення обмеженими операторами в гільбертовому просторі (твердження 2.3.46). Це зображення називають фоківським.

Як показано в роботі, *-алгебра квантових поліномів припускає опис у термінах твірних та визначальних співвідношень ступеню не вище від двох. Однак такий опис є незручним з багатьох причин. Зокрема, він маскує справжню квантову групу симетрії алгебри що розглядається.

У підрозділі 2.2 дисертації запроваджена алгебра, що є квантовим аналогом алгебри гладких функцій з компактними носіями, та доведено існування позитивного інваріантного інтегралу та його єдність із точністю до числового множника. Знайдено явний вигляд цього інваріантного інтегралу (твердження 2.2.30).

У третьому розділі побудовано коваріантні диференціальні числення.

В пункті 3.1.1 дисертаційної роботи одержано коваріантне диференціальне числення першого. Це диференціальне числення одержане за дуальністю із використанням узагальнених модулів. Цьому диференціальному численню першого порядку відповідає універсальне повне диференціальне числення. Повна алгебра диференціальних форм є біградуйованою, і, як показано в пункті 3.1.2, вимірність однорідних компонент дорівнює відповідним значенням у класичному випадку . В пункті 3.1.3 запроваджено q-аналог алгебри диференціальних операторів із голоморфними поліноміальними коефіцієнтами, а також доведено, що вона є модульною підалгеброю алгебри всіх лінійних операторів.

Коваріантність одержаних диференціальних числень легко витікає з їх побудови. В дисертаційній роботі подано опис цих диференціальних числень у термінах твірних та співвідношень (пункти 3.1.1, 3.1.2, 3.2.1, 3.2.2).

Таким чином, у розділах 2 та 3 закладено основи диференціального та інтегрального числень у квантових обмежених симетричних областях. В четвертому розділі одержані раніш результати використовуються при вирішенні низки задач некомутативної теорії функцій та некомутативного гармонічного аналізу.

Модуль над *-алгеброю називають унітарним, якщо для певної позитивно визначеної ермітової форми у має місце рівність

.

У підрозділі 4.1 одержано геометричну реалізацію серії унітарних модулів, що є q-аналогом голоморфної дискретної серії зображень групи автоморфізмів обмеженої симетричної області. Як і в класичному випадку , скалярний добуток має вигляд

де , – досить велике позитивне число. Поповнення передгільбертового простору є q-аналогом зваженого простору Бергмана і позначається через .

У пункті 4.1.3 розглядаються оператори Теплиця з фінітними символами в гільбертових просторах, і доведено, що у граничному випадку модульна алгебра таких операторів переходить у .

Подальші результати одержано для однієї з серій обмежених симетричних областей – матричних куль. У пункті 4.9.1 знайдено явний вигляд зваженого ядра Бергмана. У пункті 4.2.7 знайдено явний вигляд аналітичного продовження скалярного добутку за параметром , що є квантовим аналогом відомого результату Б. Орстеда про аналітичне продовження голоморфної дискретної серії.

Відомо, що в класичному випадку () одна з основних вироджених серій зображень групи припускає геометричну реалізацію у просторі Харді функцій на межі Шилова. У підрозділі 4.2 одержано квантовий аналог цього результату. Зокрема, запроваджено основну вироджену серію модулів, і квантовий аналог простору Харді.

В класичному випадку () голоморфна в та неперервна в відтворюється за своїми значеннями на межі Шилова за допомогою інтеграла з ядром Коші-Сеге. В пункті 4.2.5 одержано квантовий аналог інтегрального представлення Коші-Сеге.

У пунктах 4.3.4, 4.3.5 дисертації доведено, що у випадку квантової матричної кулі в має місце некомутативний аналог принципу максимума модуля. Цей результат одержаний методами теорії Надя-Фояша унітарних дилатацій стиснень у гільбертовому просторі.

У підрозділі 4.4 розглядаються квантове коло та споріднені квантові однорідні простори. Одне з них є квантовим аналогом ермітового симетричного простору , а друге – квантовим аналогом евклідової площини. Воно було одержане за допомогою q-аналога контракції Іненю-Вігнера. У дисертаційній роботі показано, що зональні сферичні функції в усіх трьох випадках є відомими q-спеціальними функціями – q-аналогами функцій Лежандра і функції Бесселя . З використанням відомих властивостей ортогональних поліномів Аль-Салама-Чихари в роботі знайдено міру Планшереля для квантового кола та явний вигляд q-бідиференціальних операторів, що виникають при побудові деформації квантового кола методом Березіна.

У додатку до дисертації наведено відомі результати теорії квантових груп у тому вигляді, в якому їх використано в основній частині роботи.

ВИСНОВКИ

У дисертації побудовано теорію квантових обмежених симетричних областей та пов’язаних з ними квантових модулів Хариш-Чандри. Зокрема,

§ одержано некомутативний аналог алгебри обмежених функцій в обмеженій симетричній області, стандартно вкладеної у векторний простір;

§ впроваджено модульну алгебру, яка є некомутативним аналогом алгебри поліноміальних функцій, і доведено, що фоківське зображення є єдиним точним незвідним зображенням алгебри;

§ доведено, що позитивний інваріантний інтеграл існує і є єдиним з точністю до числового множника; знайдено явний вигляд інваріантного інтегралу;

§ побудовано коваріантні диференціальні числення над модульними алгебрами;

§ знайдено некомутативні аналоги зважених просторів Бергмана;

§ для квантових матричних куль одержано явний вигляд зважених ядер Бергмана і ядра Коші-Сеге;

§ знайдено явний вигляд аналітичного продовження голоморфної дискретної серії -модулів, що становить некомутативний аналог теореми Орстеда;

§ у випадку квантової кулі методами теорії Надя-Фояша доведено некомутативний аналог принципу максимуму модуля для голоморфних функцій;

§ виявлено зв’язки теорії сферичних функцій на квантових однорідних просторах і теорії q-спеціальних функцій.

ПЕРЕЛІК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Ваксман Л. Л. q-Аналоги коэффициентов Клебша-Гордана и алгебра функций на квантовой группе SU(2) // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 306. — № 2. — С. 269-271.

2. Ваксман Л. Л. Интегральные сплетающие операторы и квантовые однородные пространства // Теор. И мат. физика. — 1995. — Т. 105. — № 3. — С. 355-363.

3. Ваксман Л. Л. Quantum matrix ball: the Cauchy-Szegц kernel and the Shilov boundary // Математическая физика, анализ, геометрия. — 2001. — Т. 8. — № 4. — С. 366-384.

4. Ваксман Л. Л., Корогодский Л. И. Алгебра ограниченных функций на квантовой группе движений плоскости и q-аналоги функций Бесселя // Докл. АН СССР. —1989. — Т. 304. — С.1036-1040.

5. Ваксман Л .Л., Корогодский Л. И. Сферические функции на квантовой группе SU(1,1) и q-аналог формулы Мелера-Фока // Функц. Анализ и его прил. — 1991. — Т. 25. — № 1. — С.60-62.

6. Ваксман Л. Л., Сойбельман Я. С. Алгебра функций на квантовой группе SU(2) // Функц. Анализ и его прил. — 1988. — Т. 22. — № 3. — С. 1-14.

7. Ваксман Л. Л., Сойбельман Я. С. Алгебра функций на квантовой группе SU(n+1) и нечетномерные квантовые сферы // Алгебра и анализ. — 1990. — Т. 2. — Вып. 5. — С. 101-120.

8. Ваксман Л. Л., Шкляров Д. Л. Интегральные представления функций в квантовом круге. I // Математическая физика, анализ, геометрия. — 1997. — Т. 4. — № 3. — С. 286-308.

9. Ваксман Л. Л. Принцип максимума для “голоморфных функций” в квантовом шаре // Математическая физика, анализ и геометрия. — 2003. — Т. 10. — № 1. — С. 12-28.

10. Ваксман Л. Л. Квантовые группы и гармонический анализ // XVI Всесоюзная школа по теории линейных операторов в функциональных пространствах / Ред. М. А. Антонец. — Нижний Новгород: НГУ, 1992. — С. 52-76.

11. Korogodsky L. I., Vaksman L. L. Quantum G-spaces and Heisenberg algebra // Quantum Groups. — Berlin: Springer, 1992. — Vol. 1510 of Lect. Notes Math. — Pp.56-66.

12. Shklyarov D., Sinel'shchikov S., Stolin A., Vaksman L. Non-compact quantum groups and quantum Harish-Chandra modules // Supersymmetry and Quantum Field Theory / Ed. by D. Sorokin. — Netherlands: North Holland, 2001. — Vol. 102 & 103 of Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.). — Pp. 334-337.

13. Shklyarov D., Sinel'shchikov S., Stolin A., Vaksman L. On a q-analogue of the Penrose transform // Укр. фiз. журн. — 2002. — Т. 47. — № 3. — С. 288-292.

14. Shklyarov D., Sinel’shchikov S., Vaksman L. q-Analogues of some bounded symmetric domains // Czechoslovak Journal of Physics. — 2000. — Vol. 50. — № 1. — Pp. 175-180.

15. Shklyarov D., Sinel’shchikov S., Vaksman L. Geometric realizations for some series of representations of the quantum group SU(2,2) // Математическая физика, анализ, геометрия. — 2001. — Т. 8. — № 1. — Pp. 90-110.

16. Shklyarov D., Sinel'shchikov S., Vaksman L. Hidden symmetry of some algebras of q-differential opertors // Noncommutative Structures in Mathematics and Physics /Ed. by J. Wess, S. Duplij. — Dordrecht: Kluwer, 2001. — Pp. 309-320.

17. Shklyarov D., Sinel’shchikov S., Vaksman L. Hidden symmetry of some algebras of q-differential operators // Noncommutative Structures in Mathematics and Physics / Ed. by S. Duplij, J. Wess. — Dordrecht, Boston, London: Kluwer, 2001. — Vol. 22 of NATO Science Series. — Pp. 309-320.

18. Shklyarov D., Sinel'shchikov S., Vaksman L. Fock representations and quantum matrices // International J. Math. — 2004. — Vol. 15. — № 9. — Pp. 1-40.

19. Shlyarov D., Sinel'shchikov S., Vaksman L. A q-analogue of the Berezin quantization method // Lett. Math. Phys. — 1999. — Vol. 49. — Pp. 253-261.

20. Sinel'shchikov S., Vaksman L. Hidden symmetry of the differential calculus on the quantum matrix space // J. Phys. A: Math. Gen. — 1997. — Vol. 30. — Pp. L23-L26.

21. Sinel'shchikov S., Vaksman L. Harish-Chandra embedding and q-analogues of bounded symmetric domains // Supersymmetry and Quantum Field Theory / Ed. by J. Wess, V. P. Akulov. — Berlin-Heidelberg: Springer, 1998. — Vol. 509 of Lecture Notes in Physics. —Pp. 312-316.

22. Sinel'shchikov S., Vaksman L. On q-analogues of bounded symmetric domains and Dolbeault complexes // Math. Phys. Anal. Geom. — 1998. — Vol. 1. — |№ 1. — Pp. 75-100.

23. Sinel'shchikov S., Vaksman L., Stolin A. Spherical principal non-degenerate series of representations for the quantum group SU2,2 // Czechoslovak J. Phys. — 2001. — Vol. 51. — № 12. — Pp. 1431-1440.

24. Soibelman Y. S., Vaksman L. L. On some problems in the theory of quantum groups // Representation Theory and Dynamical Systems / Ed. by A. M. Vershik. — Providence, R. I.: American Mathematical Society, 1992. — Vol. 9 of Advances in Soviet Mathematics. —Pp. 3-55.

25.

Ваксман Л. Л. Квантова теорія обмежених симетричних областей. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України, Харків 2005.

У рамках теорії квантових груп вивчаються квантові аналоги обмежених симетричних областей, стандартно вкладених у векторні простори. Доведено існування й єдиність точного незвідного зображення *-алгебри, що є квантовим аналогом алгебри поліномів. Побудовано некомутативні диференціальні й інтегральні числення у квантовій обмеженій симетричній області. Знайдено явний вигляд ядер Бергмана й Коши-Сеге. У випадку квантової кулі Пуша-Вороновича доведено некомутативний аналог принципу максимуму модуля для голоморфних функцій.

Ключові слова: обмежені симетричні області, квантові групи, квантові однорідні простори.

Ваксман Л. Л. Квантовая теория ограниченных симметрических областей. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Физико-технический институт низких температур НАН Украины, Харьков 2005.

Начиная с работ Неймана по теории операторных алгебр, активно изучаются некоммутативные аналоги хорошо известных математических теорий: теории меры, общей топологии, К-теории, теории аффинных алгебраических групп, линейного функционального анализа. В диссертационной работе построен некоммутативный аналог теории функций в ограниченных симметрических областях конечномерного комплексного векторного пространства.

Как известно, каждая неприводимая ограниченная симметрическая область изоморфна единичному шару комплексного банахова пространства, являющегося однородной компонентой градуированной простой комплексной алгебры Ли.

Во втором разделе диссертационной работы рассматривается *-алгебра Хопфа и

- введена модульная алгебра, являющаяся q-аналогом алгебры полиномов на комплексном векторном пространстве, и доказано, что эта алгебра являются квадратичной;

- введена модульная алгебра, являющаяся q-аналогом алгебры полиномов на овеществленном векторном пространстве, и доказано, что она допускает описание в терминах образующих и соотношений степени не выше 2;

- получен q-аналог естественного вложения неприводимой ограниченной симметрической области в двойственное по Картану компактное эрмитово симметрическое пространство;

- доказано существование и единственность (с точностью до унитарной эквивалентности) точного неприводимого представления *-алгебры полиномов ограниченными операторами в гильбертовом пространстве;

- введена модульная алгебра, являющаяся q-аналогом алгебры гладких функций с компактными носителями в ограниченной симметрической области, найден явный вид положительного инвариантного интеграла и доказана его единственность с точностью до числового множителя.

В третьем разделе диссертационной работы

- найдено ковариантное дифференциальное исчисление над модульной алгеброй и получено его описание с помощью образующих и соотношений;

- найдены ковариантные дифференциальные исчисления над модульными алгебрами и получены их описания с помощью образующих и соотношений;

- доказано, что квантовые аналоги алгебр дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами обладают скрытой симметрией.

В четвертом разделе диссертационной работы

- введены квантовые аналоги операторов Теплица c ограниченными символами во взвешенных пространствах Бергмана в квантовой ограниченной симметрической области, найден предел при квантовых операторов Теплица с финитными символами;

- выявлена скрытая симметрия квантового векторного пространства прямоугольных матриц размера и получено описание модульной алгебры в терминах образующих и соотношений;

- найден явный вид взвешенного ядра Бергмана для квантового матричного шара;

- получено описание границы Шилова квантового матричного шара в терминах образующих и соотношений, найден явный вид ядра Коши-Сеге для этой квантовой ограниченной симметрической области;

- получены геометрическая реализация скалярной голоморфной дискретной серии представлений квантовой группы и аналитического продолжения этой серии;

- методами теории унитарных дилатаций сжатий в гильбертовом пространстве установлен q-аналог принципа максимума для голоморфных функций в шаре;

- методом квантования по Березину получена нетривиальная однопараметрическая деформация модульной алгебры финитных функций в квантовом круге, найден явный вид q-бидифференциальных операторов, определяющих эту деформацию;

- показано, что зональные сферические функции во внешности квантового круга и на квантовой евклидовой плоскости выражаются через известные q-аналоги гипергеометрической функции и функции Бесселя.

Ключевые слова: ограниченные симметрические области, квантовые группы, квантовые однородные пространства.

Vaksman L. L. Quantum theory for bounded symmetric domains. – Manuscript.

Thesis for a doctor degree in specialty 01.01.01 – mathematical analysis. – Institute for Low Temperature Physics and Engineering, Ukrainian National Academy of Sciences, Kharkov 2005.

Quantum analogues of bounded symmetric domains that admit standard embedding into vector spaces are studied within the quantum group theory. Existence and uniqueness of a faithful irreducible representation is proved for a *-algebra which is a quantum analogues of polynomial algebra. Non-commutative differential and integral calculi on a quantum bounded symmetric domain are constructed. An explicit form of the Bergman and Cauchi-Szego kernels is found. In the case of the Pusz-Woronowicz quantum ball, a non-commutative analogue for the maximum modulus principle for holomorhpic functions is proved.

Key words: bounded symmetric domains, quantum groups, quantum homogeneous spaces.